Este documento explica la función cuadrática y = f(x) = ax^2 + bx + c, incluyendo cómo determinar la concavidad, analizar el discriminante, encontrar máximos y mínimos, calcular las coordenadas del vértice, y encontrar puntos de intersección con el eje y. También contiene ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.

1. Función Cuadrática
Profesor: Braulio Fernández C.

2. Función Cuadrática
Como vimos en
clases anteriores, ya
sabemos que con la y = f ( x) = ax + bx + c
2
información que
nos entrega los a≠0
coeficientes de la
función cuadrática, Donde a ,b y c
podemos graficar la
son los coeficientes de
curva.
la función
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3. Función Cuadrática
1. Concavidad
2. Análisis de discriminante
3. Máximo y mínimo
4. Coordenadas del vértice
5. Intersección de la parábola con el eje y
6. Ejemplo
7. Ejercicios
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4. Función Cuadrática
1.Concavidad :
Para y = f ( x) = ax + bx + c
2
- Si a >0 , la parábola se abre hacia
arriba.
- Si a < 0 , la parábola se abre hacia
abajo.
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5. Función Cuadrática
2. Análisis de discriminante ∆x = b − 4ac
2
Si ∆x > 0 , la parábola corta en dos
puntos al eje x
Si ∆x = 0 , la parábola corta en un
único punto al eje x
Si ∆x < 0 , la parábola no corta al
eje x
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6. Función Cuadrática
2. Análisis de discriminante ∆x = b − 4ac
2
Observación importante:
Si ∆x ≥ 0 , debemos encontrar las raices de la
ecuación para determinar los puntos de intersección
de la parábola con el eje x
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7. Función Cuadrática
3. Máximo o Mínimo
- Si a > 0 , la parábola se abre hacia
arriba.Tiene valor mínimo
- Si a < 0 , la parábola se abre hacia
abajo.Tiene valor máximo
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8. Función Cuadrática
4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo
(Vértice de la parábola)
Para y = f ( x) = ax + bx + c
2
 −b  − b 
V =
 2a , f 

  2a  
Ejemplo

9. Función Cuadrática
Ejemplo: Si y = f ( x) = x 2 − 6 x + 2
a = 1; b = −6; c = 2  − b  − b 
V =
 2a , f  2a  

Reemplazando:   
 − (−6)  − (−6)  
V =
 2 *1 , f  2 *1  
 ⇒ V = ( 3, f ( 3) )
  
f (3) = 3 2 − 6 * 3 + 2
∴ V = ( 3,−7 )
f (3) = −7
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10. Función Cuadrática
Gráficamente:
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11. Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Para y = f ( x) = ax 2 + bx + c , si x=0
y = f ( 0) = c
∴ ( 0, c )
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12. Función Cuadrática
Ejemplo: Si y = f ( x) = x 2 − 5 x + 2
si x=0
y = f ( 0) = 2
El punto de
∴ intersección de la
parábola con el eje y
es:
( 0,2)
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13. Función Cuadrática
Grafique y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3
1. Concavidad: a =1> 0 ∴ La parábola se abre
hacia arriba.
2. Análisis de discriminante: ∆x = b 2 − 4ac
a = 1; b = −2; c = −3 ∆x = 16 > 0
∴ La parábola corta en dos puntos al eje x
x2 − 2x − 3 = 0 ∴ x1 = 3 Puntos de intersección de
( x − 3)( x + 1) = 0 x2 = −1 la parábola con el eje x
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14. Función Cuadrática
3. Máximo o mínimo: Si a =1> 0
∴ La parábola se abre
hacia arriba. Tiene
valor mínimo.
4. Coordenadas del vértice: V =  − b , f  − b  

 2a  2a   
  
a = 1; b = −2; c = −3
Reemplazando:
 − (−2)  − (−2)  
V =
 2 *1 , f  2 *1  
  
 ⇒ V = (1, f (1) )
f (1) = 12 − 2 *1 − 3 = −4 ∴ V = (1,−4 )
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15. Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Si x=0 , en la función y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3
f ( 0) = 0 2 − 2 * 0 − 3
f (0) = −3
∴ ( 0,−3)
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16. Función Cuadrática
Gráficamente:
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17. Función Cuadrática
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18. Función Cuadrática
- Grafica las siguientes parábolas.
1. y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 3
2. y = f ( x ) = − x 2 − 2 x + 1
3. y = f ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 2
4. y = f ( x ) = − x 2 + 2 x − 3
5. y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 1
6. y = f ( x ) = 2 x 2 − 3
7. y = f ( x) = −4 x 2 + 8
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19. Función Cuadrática
Si quieres saber mas de la Función cuadrática,
Puedes ingresar en las siguientes paginas:
http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html
http://www.sectormatematica.cl/informatica/funcion.htm
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=17752