El documento contiene 7 temas de un examen de cálculo diferencial. El primer tema involucra calcular el área de una región sombreada entre dos circunferencias. El segundo tema trata de determinar el valor de un ángulo dado otro. El tercer tema pide calcular volúmenes removidos y depositados en diferentes figuras geométricas. Los temas restantes involucran operaciones con vectores, límites y evaluación de límites.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL Examen:
Examen de la Primera Evaluación
II Término – 12/diciembre/2008 Lecciones:
Deberes:
Otros:
Nombre: ___________________________ Paralelo: ___
Total:
TEMA No. 1 (10 PUNTOS)
Sean O y O’ los centros de las circunferencias mostradas. Si BC = r , determine el área
de la región sombreada.
1.1.- Planteamiento
Área ( Región sombreada ) = Área ( ΔABC ) + Área ( ΔADE )
EAD ≅ BAC ( Son ángulos opuestos por el vértice )
DEA ≅ ACB ( Son ángulos rectos por estar inscritos en una semicircunferencia )
⇒ ΔABC ∼ ΔADE ( Criterio AA de semejanza de triángulos )
DA = 4r y AB = 2r
DA
∴ =2
AB
Área ( ΔADE )
= ( 2) = 4
2
Área ( ΔABC )
Área ( ΔADE ) = 4 Área ( ΔABC )
⇒ Área ( Región sombreada ) = 5 Área ( ΔABC )
AC ⋅ BC AC ⋅ r
Área ( ΔABC ) = =
2 2
Página 1

2. 2 2 2
ΔABC es rectángulo, por lo tanto : AC = AB − BC
AC = ( 2r ) − r 2
2 2
2
AC = 3r 2
AC = r 3
⎛ r 3⋅r ⎞ 5 3 2
∴ Área ( Región sombreada ) = 5 ⎜
⎜ 2 ⎟= 2 r
⎟
⎝ ⎠
1.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
El estudiante Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
identifica No logra Plantea el área Identifica Plantea y
triángulos identificar la de los dos semejanza y calcula
semejantes, semejanza, no triángulos e propiedades, correctamente
conoce sobre la utiliza las intenta pero no calcula
proporcionalidad propiedades calcularlos correctamente
entre áreas de
figuras
semejantes,
identifica
triángulos
rectángulos y
puede aplicar el
teorema de
Pitágoras 0–1 2–5 6–8 9 – 10
TEMA No. 2 (10 PUNTOS)
Dado α en la siguiente figura, donde los segmentos PQ y QR son congruentes,
determine en función de α la medida del ángulo RSP, sabiendo que la circunferencia
centrada en O es tangente a la recta L.
Q
O
R
L α S
P
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3. 2.1.- Planteamiento
RSP + RQP = α (α es ángulo externo del vértice P )
RQP = 2 QPO ( ΔPQO ∼ ΔRQO y ΔPQO es isósceles )
QPO = 90o − α ( ya que OP ⊥ L )
⇒ RSP = α − 2 ( 90o − α ) = 3α − 180o
2.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
El estudiante Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
debe conocer No alcanza a Plantea Relaciona y Plantea y
propiedades de plantear ecuaciones plantea bien, calcula bien
ángulos en los ecuaciones apropiadas pero pero falla en
triángulos y en la pertinentes no logra cálculos
circunferencia; relacionarlas
debe poder
relacionarlos
para despejar el 0–1 2–5 6–8 9 – 10
valor deseado
TEMA No. 3 (10 PUNTOS)
¿Cuántos metros cúbicos hay que extraer de un tanque cónico lleno de agua, que tiene
0.9m de altura y 0.3m de radio para que el nivel del agua descienda a 0.4m? Si este
volumen de agua se deposita en un cilindro de radio 0.2m, ¿cuál sería el nivel que
alcanzaría el agua en este recipiente?
3.1.- Planteamiento
V ( a extraer ) = VCmayor − VCmenor
1 1
V ( a extraer ) = π ( 0.3) ( 0.9 ) − π ( rm ) ( 0.4 )
2 2
3 3
ΔVOP ∼ ΔVO ' P ' rm = O ' P '
0.3 rm
⇒ =
0.9 0.4
0.4
⇒ rm =
3
π⎡ ( 0.4 ) ⎤
3
a) V ( a extraer ) = ⎢( 0.3) ( 3) −
3
⎥
3⎢ ⎣ 9 ⎥ ⎦
⎡ ( 0.4 ) ⎤
3
V ( a extraer ) = π ⎢( 0.3) −
3
⎥
⎢
⎣ 27 ⎥ ⎦
V ( a extraer ) ≈ 0.0247π m 3
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4. b) V ( a extraer ) = Vcilindro
0.0247π ≈ π ( 0.2 ) h
2
0.0247
⇒h≈ ≈ 0.61m
0.04
3.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Grafica Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
correctamente la Bosquejo Bosqueja figura Grafica y Planteamiento y
situación, parcial y correctamente plantea resultados
plantea el fórmulas y plantea correctamente correctos
volumen de los inconexas fórmulas pero falla en los
conos o de un pertinentes cálculos
cono truncado 0–1 2–5 6–8 9 – 10
TEMA No. 4 (10 PUNTOS)
Determine el área de la superficie total del paralelepípedo sustentado en los vectores
V1 = (1,2,3) , V2 = (1,−1,1) y V3 = (−1,2,4) .
4.1.- Planteamiento
Al graficar los 3 vectores se concluye que son no coplanares y forman un paralelepípedo.
Por lo tanto :
ATotal = 2 Área ( Paralelogramo formado por V1 y V2 ) + 2 Área ( Paralelogramo formado por V1 y V3 )
+ 2 Área ( Paralelogramo formado por V2 y V3 )
ATotal = 2 V1 × V2 + 2 V1 × V3 + 2 V2 × V3 = 2 ( V1 × V2 + V1 × V3 + V2 × V3 )
i j k ⎛5⎞
⎜ ⎟
V1 × V2 = 1 2 3 = i ( 2 + 3) − j (1 − 3) + k ( −1 − 2 ) = ⎜ 2 ⎟
1 −1 1 ⎜ −3 ⎟
⎝ ⎠
i j k ⎛ 2⎞
⎜ ⎟
V1 × V3 = 1 2 3 = i ( 8 − 6 ) − j ( 4 + 3) + k ( 2 + 2 ) = ⎜ −7 ⎟
−1 2 4 ⎜ 4⎟
⎝ ⎠
i j k ⎛ −6 ⎞
⎜ ⎟
V2 × V3 = 1 −1 1 = i ( −4 − 2 ) − j ( 4 + 1) + k ( 2 − 1) = ⎜ −5 ⎟
−1 2 4 ⎜1⎟
⎝ ⎠
ATotal = 2 ( 25 + 4 + 9 + 4 + 49 + 16 + 36 + 25 + 1 )
ATotal = 2( 38 + 69 + 62 u 2 )
Página 4

5. 4.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
El estudiante Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
debe ser capaz Sólo bosqueja Bosqueja y Bosqueja y Grafica, plantea
de graficar y y no logra trata de utilizar plantea y calcula
visualizar el cuantificar el fórmulas fórmulas correctamente
paralelepípedo y área pertinentes correctas de
conoce que la áreas pero falla
norma del en los cálculos
producto cruz
entre 2 vectores
cuantifica el
valor del área del
paralelogramo y
utilizar esto para
calcular el área
total del
paralelepípedo 0–1 2–5 6–8 9 – 10
TEMA No. 5 (10 PUNTOS)
Sean los vectores V1 = ( x + y, x − y ) , V2 = ( x − 3 y,3 x + y ) y V3 = (1, −1) , determine, de
ser posible, los valores de x, y ∈ , para que 2V1 − V2 y V3 sean iguales.
5.1.- Planteamiento
2V1 − V2 = V3
⎛ x + y ⎞ ⎛ x − 3y ⎞ ⎛ 1 ⎞
2⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ x − y ⎠ ⎝ 3 x + y ⎠ ⎝ −1⎠
⎛ x + 5y ⎞ ⎛ 1 ⎞
⇒⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ − x − 3 y ⎠ ⎝ −1⎠
⎧x + 5y = 1
⇒⎨
⎩ − x − 3 y = −1
2y = 0 ⇒ y = 0
⇒ x =1
5.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
El estudiante Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
debe conocer Vacío o no Plantea bien las Llega al S.E.L. Plantea y
igualdad entre maneja operaciones pero no a la resuelve
vectores y las operaciones pero no llega al solución correctamente
operaciones de entre vectores S.E.L. correcto
suma y
multiplicación
por un escalar
para plantear un
S.E.L. 2x2 0–1 2–5 6–8 9 – 10
Página 5

6. TEMA No. 6 (5 PUNTOS)
Demuestre formalmente que:
x 2 − 9 x + 20
lim =1
x →5 x−5
6.1.- Planteamiento
x 2 − 9 x + 20 x 2 − 9 x + 20
lim = 1 ≡ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, 0 < x − 5 < δ ⇒ −1 < ε
x →5 x−5 x−5
x 2 − 9 x + 20
Análisis preliminar : −1 < ε
x −5
⇔
( x − 5 )( x − 4 ) − 1 < ε
x −5
x ≠ 5 ⇔ ( x − 4) − 1 < ε
⇔ x−5 < ε
Por lo tanto : δ = ε
Demostración formal :
∀ε > 0 ∃δ > 0 δ =ε ,∀x
0 < x−5 <δ
⇒ x −5 < ε
⇒ ( x − 4) −1 < ε
⇒
( x − 4 )( x − 5) − 1 < ε
x −5
x 2 − 9 x + 20
⇒ −1 < ε
x−5
6.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Conocer la Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
definición de No conoce la Conoce la Determina el Plantea la
límite para definición de definición de valor de δ pero definición, halla
encontrar el límites límites e intenta no sabe el valor de δ y
valor de δ que encontrar δ concatenar demuestra la
permita correctamente implicación
establecer la lógica
implicación lógica correspondiente
correspondiente
0 1–2 3–4 5
Página 6

7. TEMA No. 7 (20 PUNTOS)
Evalúe, de ser posible, los siguientes límites:
⎧1 , x ≤ 1
x2 + f ( x ) − 2 ⎪
a) lim , siendo f ( x ) = ⎨
x →1 x −1
2
⎪ x3 , x > 1
⎩
7.a.1.- Planteamiento
x2 + f ( x ) − 2
a) El lim existe si y sólo si los límites laterales existen y son iguales.
x →1 x2 − 1
Por lo tanto, se necesita determinar :
x2 + f ( x ) − 2 x2 + f ( x ) − 2
lim y lim
+
x →1 x2 −1 −
x →1 x2 − 1
x2 + f ( x ) − 2 x 2 + x3 − 2 ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) x2 + 2x + 2 5
lim = lim = lim = lim =
x →1+ x2 −1 x →1+ x2 − 1 x →1+
( x − 1) ( x + 1) x →1+ x +1 2
x2 + f ( x ) − 2 x2 + 1 − 2 x2 −1
lim = lim = lim 2 =1
x →1− x2 −1 x →1− x2 − 1 x →1− x − 1
∴ El límite no existe
7.a.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Conocer la Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
definición de Ni siquiera Plantea los Plantea y Plantea, calcula
límite bilateral y plantea límites límites laterales resuelve los y concluye
en caso de que lo laterales pero no puede límites correctamente
requerirlo , saber resolverlos correctamente
evaluar los pero no
límites laterales concluye
cuando se
analice una
función que 0–1 2–5 6–8 9 – 10
cambie en este
punto de la regla
de
correspondencia
Página 7

8. 1− x
b) lim
x →1 3
7+ x −2
7.b.1.- Planteamiento
b) Cambio de variable :
y = 3 7+ x
x →1 ⇒ y → 2
y3 = 7 + x
x = y3 − 7
x = ( y 3 − 7 ) = y 6 − 14 y 3 + 49
2
Por lo tanto :
1− x 1 − ( y 6 − 14 y 3 + 49 )
lim = lim
x →1 3
7+ x −2 y →2 y−2
− y 6 + 14 y 3 − 48
= lim
y →2 y−2
( y − 2 ) ( − y 5 − 2 y 4 − 4 y 3 + 6 y 2 + 12 y + 24 )
= lim
y →2 y−2
= lim ( − y 5 − 2 y 4 − 4 y 3 + 6 y 2 + 12 y + 24 )
y →2
= −24
7.b.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Debe identificar Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
el tipo de Vacío o no Realiza algún Plantea un Plantea y
indeterminación puede plantear tipo de resultado calcula
que se presenta una sustitución correcto pero se correctamente
y elegir la manipulación pertinente pero equivoca en los
sustitución algebraica no logra llegar cálculos
adecuada para adecuada a un resultado
factorizar y
determinar el
límite
0–1 2–5 6–8 9 – 10
Página 8

9. TEMA No. 8 (10 PUNTOS)
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justificando su respuesta:
g ( x ) − 4 ≤ 4 (1 − x ) lim g ( x ) = 4 .
2
a) Si , entonces
x →1
8.a.1.- Planteamiento
a) Verdadera :
∀x g ( x ) − 4 ≤ 4 (1 − x )
2
⇒ − 4 (1 − x ) ≤ g ( x ) − 4 ≤ 4 (1 − x )
2 2
lim ⎡ 4 − 4 (1 − x ) ⎤ ≤ lim g ( x ) ≤ lim ⎡ 4 + 4 (1 − x ) ⎤
2 2
x →1 ⎣ ⎦ x →1 x →1 ⎣ ⎦
4 ≤ lim g ( x ) ≤ 4
x →1
⇒ lim g ( x ) = 4 Por el teorema del emparedado
x→1
8.a.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Debe conocer las Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
propiedades del Vacío o no Califica Plantea y aplica Planteamiento,
valor absoluto utiliza las correctamente desigualdades manipulación y
para establecer desigualdades y utiliza las pero no respuesta
las desigualdades del valor propiedades del concluye correcta
que tiene que absoluto. valor absoluto correctamente
plantear para Calificación pero no aplica
aplicar el incorrecta el teorema del
teorema del emparedado
emparedado y
calcular el límite
de la función
acotada entre
otras dos 0 1–2 3–4 5
b) Sea f una función definida en el intervalo [0, 4] , en donde f ( 0 ) = −2 y
f ( 4) = 6 , entonces existe al menos un valor c, tal que c ∈ [ 0, 4] en donde
f (c) = 0 .
8.b.1.- Planteamiento
a ) Falsa.
No se dice que la función es continua en [ 0, 4]
Contrajemplo :
⎧−2, 0 ≤ x < 2
f ( x) = ⎨
⎩ 6, 2 ≤ x ≤ 4
¬∃c ∈ [ 0, 4] , tal que f ( c ) = 0
Página 9

10. 8.b.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Debe darse cuenta Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
que no se indica la Vacío o Califica Califica Calificación y
continuidad de f en calificación correctamente correctamente contraejemplo
el intervalo sin e intenta la correctos
señalado y justificación justificar discontinuidad,
construir una construcción de
función discontinua un
que haga que la contraejemplo
proposición sea que no satisface
falsa las condiciones
dadas
0 1–2 3–4 5
TEMA No. 9 (5 PUNTOS)
1
Determine el valor de δ para que si 0 < x −1 < δ , entonces > 104
( x − 1)
2
9.1.- Planteamiento
1
Se desea que : > 104
( x − 1)
2
Entonces :⇔ ( x − 1) < 10−4
2
x − 1 < 10−4
x − 1 < 10−2
δ = 10−2 = 0.01
9.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
El estudiante Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
debe ser capaz Vacío o errores Plantea Equivalencias Plantea y
de partir del algebraicos desigualdades correctas, calcula
consecuente y graves correctas pero cálculos con correctamente
lograr no realiza las errores
equivalencias manipulaciones
algebraicas hasta algebraicas
despejar la apropiadas
desigualdad
deseada 0 1–2 3–4 5
Página 10

11. TEMA No. 10 (10 PUNTOS)
Determine los valores de A y B para que la siguiente función f sea continua en .
⎧ senAx
⎪ , x<0
⎪ 2 x
⎪
f ( x ) = ⎨ Ax + Bx + 1, 0 ≤ x ≤ 2
⎪ πx⎞
⎪ Bsen ⎛
⎜ ⎟, x>2
⎪
⎩ ⎝ 2 ⎠
10.1.- Planteamiento
lim f ( x ) = f ( 0 ) = lim f ( x )
x → 0− x →0+
senAx senAx
lim = lim A = A (1) = A = 1 = f ( 0 ) = lim Ax 2 + Bx + 1
x → 0− x x → 0− Ax x → 0+
lim f ( x ) = f ( 2 ) = lim f ( x )
x → 2− x →2+
⎛πx ⎞
lim Ax 2 + Bx + 1 = 1( 4 ) + 2 B + 1 = f ( 2 ) = lim Bsen ⎜ ⎟=0
⎝ 2 ⎠
− +
x→2 x →2
2B + 5 = 0
5
B=−
2
10.2.- Rúbrica
Capacidades Desempeño
deseadas
Debe conocer las Insuficiente Regular Satisfactorio Bueno
características de Vacío o no Plantea los Plantea y Plantea y
continuidad de enfoca su límites en los resuelve los resuelve
funciones atención en los puntos clave límites correctamente
trigonométricas y puntos claves pero no correctamente
concentrarse en resuelve la pero tiene
los posibles indeterminación errores
puntos de correctamente algebraicos
continuidad.
Debe aplicar la
definición de
continuidad en
x=0 y x=2 y
resolver las
ecuaciones para
determinar los
valores de A y B 0–1 2–5 6–8 9 – 10
Página 11