1) El documento describe conceptos básicos de geometría analítica en el espacio como productos escalares, productos vectoriales, coordenadas de vectores libres, ecuaciones de planos y rectas. 2) Explica cómo calcular ángulos entre planos, rectas y un plano, y distancias entre puntos, puntos y planos/rectas. 3) También cubre cálculos de volúmenes, áreas, bisectrices de ángulos y posiciones relativas de planos, rectas y más.

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
PRODUCTO ESCALAR
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosx (Cuando sepamos el ángulo que forman a y b).
a ⋅ b = a 1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3 ( Cuando sepamos las coordenadas de a y b ).
Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar sera 0.
PRODUCTO VECTORIAL
i j k
r r r r
Dados lo vectores u = (x,y,z) y v = (x',y',z') uxv = x y z
x' y' z'
r r
(El vector que resulta de este determinante es perpendicular a u y v , y su módulo
coincide con el ÁREA DEL PARALELOGRAMO que forman u y v ).
COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
Dados los puntos A(a,b,c ) y B (d,e,f ) el vector con origen en A y extremo en B se calcula
restando B - A AB = B - A
ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO .Para hallar la ecuación de una recta
es necesario conocer UN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR de la misma.
Una recta, (obtenida a partir de un PUNTO (x0 , y0,, z0) y un VECTOR (v1 , v2 , v3) ),se
puede expresar de las siguientes formas:
1.- ECUACIÓN VECTORIAL: ( x,y,z) = (x0 , y0,, z0) + t (v1 , v2 , v3)
x = x0 + t •v1
2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS : y = y0 + t •v2
z = z0 + t •v3
x − x 0 y − y0 z − z 0
3.- ECUACIÓN CONTINUA: = =
v1 v2 v3
4.- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS: Ax+By+Cz+D=0
(EC.GENERAL DE LA RECTA) A’x + B’y + C’z + D = 0
NOTA: Para hallar el vector de una recta expresada como intersección de dos planos
basta con hacer el producto vectorial (i, j, k) axb. siendo a=(A,B,C) y b=(A’,B’,C’).
Para hallar un punto sólo hay que darle a la x o a la y o a la z un valor arbitrario,
sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas.
1

2. ECUACIONES DEL PLANO Para hallar la ecuación de un plano es necesario conocer
UN PUNTO Y DOS VECTORES DIRECTORES del mismo.
r
plano ,(Obtenido a partir de un PUNTO (x0 , y0,, z0) y DOS VECTORES V (v1 , v2 , v3)
Un r
y W (w1, w2, w3) ), se puede expresar de las siguientes formas:
1.- ECUACIÓN VECTORIAL: ( x,y,z) = (x0 , y0,, z0) + t (v1 , v2 , v3) + s(w1,w2,w3)
2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS x = x0 + t •v1 + s•w1
y = y0 + t •v2 + s•w2
z = z0 + t •v3 + s•w3
3.- ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA:
x - x 0 y - y0 z - z 0
Ax + By + Cz + D = 0 v1 v2 v3 =0
w1 w2 w3
NOTA: Para hallarla sólo hay que
realizar este determinante e igualarlo a 0.
x y z
4.- ECUACIÓN SEGMENTARIA: + + =1
a b c
r r r
Los valores a, b y c se denominan, respectivamente, abscisa, ordenada, y cota en el
origen.
5.- OTRA FORMA DE HALLAR LA ECUACIÓN DE UN PLANO:
Un plano también se puede hallar sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VECTOR, siempre y
cuando ese vector sea perpendicular al plano( llamado vector normal), las coordenadas
de ese vector coinciden con los coeficientes ( A,B,C ) del plano; para hallar el término
independiente ( D ) del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del punto que nos
den y despejar D.
Ej/. π: Ax + By + Cz + D = O
Vector normal ( 3, 4, 5)
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3. POSICIONES RELATIVAS.
Posición relativa
DE DOS PLANOS.
A B C  A B C D 
π: A x + B y + C z + D = 0 M=  M* =  
π‘: A’x + B’y + C’z + D’ = 0  A' B' C'  A' B' C' D'
Rango de M Rango de M* Posición de DOS PLANOS
Caso 1 2 2 Planos secantes
Caso 2 1 2 Planos paralelos y distintos
Caso 3 1 1 Planos coincidentes
secantes paralelos coincidentes
A B C D A B C D A B C D
≠ ≠ ≠ = = ≠ = = =
A' B' C' D' A' B' C' D' A' B' C' D'
Posición relativa A B C  A B C D  π : A x + B y + C z + D = 0
DE TRES PLANOS M =  A' B' C'   
M* =  A' B' C' D'  π‘: A’ x + B’y + C’z + D’ = 0

 
   π‘’: A’’x + B’’y + C’’z + D’’ = 0
 A'' B'' C''  A'' B'' C'' D''
Rango de M Rango de M* Posición de TRES PLANOS
Caso 1 3 3 Planos secantes en un punto.
Caso 2 a) Planos secantes dos a dos forman una
2 3 superficie prismática. (3 SEC)
b) Dos planos paralelos cortados por el otro.
(2 PARAL. y 1 SEC)
Caso 3 a) Plano distintos y se cortan en una recta.
2 2 (3 SEC.)
b) Dos coincidentes y el otro los corta.
(2 COINC. y 1 SEC.)
Caso 4 a) Planos paralelos y distintos dos a dos.
1 2 (3 PARAL.)
b) Dos son coincidentes y el otro paralelo
a ellos y distinto. ( 2 COINC. y 1PARAL.)
Caso 5 1 1 Planos coincidentes.
3

4. Caso 1:
Caso 2: a) b)
Caso 3: a) b)
Caso 4: a) b)
Caso 5:
Posición relativa DE PLANO Y RECTA.
 Ax + By + Cz + D = 0
Si la recta nos la dan de la forma general: r : 
 A' x + B' y + C ' z + D' = 0
Y el plano de la siguiente forma α = A" x + B" y + C " z + D" = 0
4

5. A B C A B C D 
   
M =  A' B' C'  M* =  A' B' C' D'  Entonces se estudian los rangos de M y M':
 A" B" C"   A" B" C" D"
   
Rango de M Rango de M* Posición de recta y plano Graficamente
Caso 1 3 3 Recta y plano secantes
Caso 2 2 3 Recta y plan paralelos
Caso 3 2 2 Recta contenida en el plano
Posición relativa DE DOS RECTAS.
Dadas dos rectas r y s por sus ecuaciones generales:
A B C  A B C D 
   
 Ax + By + Cz + D = 0 A" x + B" y + C"z + D"= 0  A' B' C'   A' B' C' D' 
r : s:  M = M =
 A' x + B' y + C ' z + D' = 0 A'" x + B'" y + C'" z + D'" = 0 A" B" C"  
A" B" C" D" 

   A' "
 A' "
 B' " C' " 
  B' " C' " D' "

Entonces se estudian los rangos de M y M':
Rango de M Rango de M* Posición de DOS RECTAS
Caso 1 3 4 rectas cruzadas
Caso 2 3 3 rectas secantes
Caso 3 2 3 rectas paralelas
Caso 4 2 2 rectas coincidentes
Dadas dos rectas r y s, de las que conocemos el vector director y un punto de cada una:
r r
VECTORES V (v1 , v2 , v3), W (w1, w2, w3) y PUNTOS (x0 , y0,, z0), (x1 , y1,, z1)
 V1 V2 V3  Rango de M Rango de M* Posición de DOS
M =
w 
 1 w2 w3 
 RECTAS
Caso 1 2 3 rectas cruzadas
Caso 2 2 2 rectas secantes
 V1 V2 V3 
  Caso 3 1 2 rectas paralelas
M =  w1 w2 w3 
X − X Y −Y Z − Z 
 1 0 1 0 1 0 
Caso 4 1 1 rectas coincidentes
5

6. Ángulo de DOS RECTAS:
Sean u y v los vectores de dos rectas r y s.
r r x
u⋅ v
Cos x = r r
u ⋅ v
Ángulo entre DOS PLANOS:
Sean u y v los vectores normales de dos planos π π‘
r r
u⋅ v
Cos x = r r x
u ⋅ v
Ángulo entre PLANO Y RECTA. r
β N
Sea N el vector normal del plano
v el vector director de la recta. v
r r α
N⋅ v
Cos β = r r
N ⋅ v
El ángulo que hay que hallar NO
es β sino α que se calcula: α= 90º - β
Distancia ENTRE DOS PUNTOS
A( a1 , a2 , a3) B( b1 , b2 ,b3) d ( A,B) = (b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 )2 + (b3 − a 3 )2
Distancia DE UN PUNTO A UNA RECTA
r
• P( a1 , a2 , a3)
ArP X Vr
d(P, r) = r
vr
r
Ar Q vR
6

7. Distancia DE UN PUNTO A UN PLANO
P( x0 , y0 , z0)
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
d( P, π ) =
A 2 + B2 + C2
π: Ax + By + Cz + D =0
Distancia entre DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
r r
det(PrP s , ur , us )
d(r, s) = r r
ur xus
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS CRUZADAS
Se llama perpendicular común de dos rectas cruzadas a la recta que corta p
ortogonalmente a cada una de ellas.
( r r r
)
det Ar X, ur , ur Xus = 0

p:
( r r r
)
det A s X, us , ur Xus = 0

VOLUMENES Y ÁREAS
C
ÁREA DEL
PARALELOGRAMO: S(ABC) = ABX AC
A B
1
ÁREA DEL TRIANGULO: S(ABC) = AB X AC C
2
A B
7

8. VOLUMEN DEL
PARALELEPÍPEDO: (
V = det AB AC AD
, , ) C
D
A B
1
VOLUMEN DEL TETRAEDRO: V =
6
(
det AB, AC, AD ) C
D
A B
2 22
SUPERFICIE ESFÉRICA: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN.
Llamamos bisectriz, b, del ángulo que forman las rectas r yr' a la recta que divide a dicho ángulo en dos
partes iguales.
Hay que observar que son dos las bisectrices que podemos trazar, para hallarlas utilizaremos los vectores
directores de las rectas r yr'.
r r
Sean r yr' dos rectas secantes en un punto P, con vectores directores u y v , es decir:
r r r r r r
r : X = P +λ ⋅u y r' : X = P + µ ⋅ v
- Si los vectores directores de las rectas tuviesen el mismo módulo, al sumarlos formaríamos un rombo,
en el cual el vector suma y el vector diferencia serían las diagonales mayor y menor, respectivamente.
En este caso, las diagonales del rombo son las bisectrices de los ángulos interiores, por tener los cuatro
lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos.
- Si los vectores no tienen el mismo módulo, normalizándolos obtenemos vectores directores de las rectas
de módulo uno, y los vectores directores de las bisectrices serían el vector suma y el vector diferencia de
los normalizados. Por tanto, las ecuaciones de sus bisectrices serán:
r r r r r r r r
b1 : X = P + λ ⋅ (u'+ v' ) y b 2 : X = P + µ ⋅ (u'− v' )
r r r r
siendo u' y v' los vectores unitarios de u y v .
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