El documento presenta la resolución de tres problemas de electromagnetismo por parte de un profesor. En el primer problema, se determina la función de permitividad y la capacitancia de un cable coaxial. En el segundo, se calcula la densidad de flujo magnético y flujo en un núcleo ferromagnético. En el tercero, se calcula el flujo magnético en un lazo cuadrado debido a un rayo de corriente.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITO
SCUELA POLITÉCNICA LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ELECTROMAGNÉTICA
ING. CARLOS DEL POZO C. ( )
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
TERCER EVALUACIÓN
TERCERA Fecha: martes 15 de febrero del 2011
es
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Total Tercer
Tercera
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Evaluación
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 20 – 2S
FIEC 2010

2. Primer Tema:
Un cable coaxial de radio interior “a” y radio exterior “2a”, tiene el espacio entre
conductores lleno con un dieléctrico cuya permitividad ε ( r ) es una función de la distancia
“r” medida desde el eje central del cable. Si el valor de la permitividad del dieléctrico en
contacto con el conductor interior es ε 1 , determinar:
1) La función de la permitividad ε ( r ) para que el campo eléctrico sea constante en todos
los puntos. 2) La capacitancia por unidad de longitud del sistema.
Vamos a asumir que al cable coaxial lo
someteremos a una diferencia de potencial
Vo , donde la placa de radio a será más
positiva que la placa de radio b , con lo cual
se tendrá lo siguiente:
b
∫ D ( a < r ≤ b ) ⋅ dS = Q
⊙→
NETA (Σ a < r ≤ b)
a D ( a < r ≤ b ) 2π rl = Q ( r = a )
r
b = 2a Q (r = a)
ε (r ) ε (r = a ) = ε1 D (a < r ≤ b) =
2π rl
Q (r = a) Q (r = a)
D (a < r ≤ b) = µr ⇒ E (a < r ≤ b) = µr
2π rl 2π rlε ( r )
Del enunciado del problema, se puede concluir que:
E ( a < r ≤ b ) = E ( a < r ≤ b ) r =a
Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a)
= ⇒ =
2π rlε (r ) 2π rlε (r ) r = a 2π rlε (r ) 2π alε1
a
rε ( r ) = aε1 ⇒ ε (r ) = ε1
r
Q (r = a)
E ( a < r ≤ b) = µr
2π alε1
a a
Q (r = a)
Vo = − ∫ E ( a < r ≤ b ) dl cos 180o = − ∫ ( −dr ) cos 180o
b b
2π alε1
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3. a
Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a)
Vo = − ∫ dr = − (a − b) = (b − a ) = ( 2a − a )
b
2π aε 1 2π aε 1 2π aε 1 2π aε1
a Q (r = a) Q (r = a)
Vo = ⇒ Vo =
2π l a ε 1 2π lε1
Q (r = a)
Csist = ⇒ Csist = 2πε1l
Vo
Csist
= 2πε1
l
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4. Segundo Tema:
Un núcleo toroidal, de sección transversal 2 cm2 y cuya longitud promedio lm = 0.5 m, es
hecho de un material ferromagnético cuya curva de magnetización satisface la relación:
2H m
Bm = , H >0
( 400 + H m ) m
Donde: Bm ≡ Densidad de flujo magnético del material ferromagnético.
H m ≡ Intensidad de campo magnético del material ferromagnético.
Sobre este núcleo, se enrolla una bobina de N = 200 espiras, la misma que transporta una
corriente eléctrica de intensidad I = 2 [A]. Considerando la existencia de un entrehierro de
longitud media lo= 1 mm, determinar la densidad de flujo magnético Bo en el entrehierro y el
flujo magnético Φ .
Φ
Φ
I
ℜm
N l0 , A0
NI = 400
ℜo
lm , Am
∑H
K
l = NI
K K ⇒ H 0 l 0 + H m l m = NI
A partir del circuito eléctrico análogo, se puede concluir que:
Φ = Φm = Φ0 ⇒ Bm Am = B0 A0
Como no existe dispersión: A0 = Am ⇒ B0 = Bm , por lo cual:
B0 Bm
l 0 + H m l m = 400 ⇒ l 0 + H m l m = 400
µ0 µ0
µ0 µ0
Bm = 400 − H ml m ⇒ Bm = 0.5026 − 0.628 x10 −3 H m
l0 l0
En base a la información técnica del problema, la ecuación anteriormente indicada
representa la curva de operación característica del presente circuito magnético; la misma
que al igualarla o graficarla en conjunción con la curva de magnetización del núcleo
ferromagnético, nos generará el punto de operación de dicho circuito magnético.
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5. Primera Metodología – Analítica.-
Reemplazando la expresión de la curva de magnetización en la curva característica del
circuito, se tiene:
(0.5026 − 0.628 x10 −3
)
H m (400 + H m ) = 2 H m
2
0.628x10 −3 H m + 1.7486H m − 201.04 = 0
Las soluciones de la ecuación cuadrática anteriormente indicada son las siguientes:
H m1 = 110.58 y H m 2 = −2,894.98 (inadmisible)
De lo cual y partir de que H m1 = 110.58 , se obtiene que Bm1 = 0.433 [T ] , y como:
B m = B0 ⇒ B0 = 0.433 [T ]
En virtud de que: Φ = Φ m = Φ o , se tiene entonces que:
Φ = B0 Ao = 0.433x 2 x10−4 [Wb ] ⇒ Φ = 0.866 x10−4 [Wb ]
Segunda Metodología – Gráfica.-
La intersección de la curva de característica del presente circuito magnético con la curva
de magnetización del núcleo ferromagnético, nos generará el punto de operación de
dicho circuito magnético. A partir del cual, se determina el flujo magnético y con esto se
obtiene la misma respuesta que con la metodología anterior.
1.40
Curva de
1.20 magnetización
1.00
B (T)
0.80
Recta operacional del
0.60
circuito magnético
Bm = Bo = 0.433
0.40
0.20
0.00
0 200 400 600 800 1,000 1,200
H (Amp/m)
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6. Tercer Tema:
Un rayo electrónico cilíndrico de radio “a” y de longitud infinita, que se encuentra centrado
sobre el eje “Z”, conduce una corriente eléctrica distribuida uniformemente en su volumen,
con una densidad J = J o µ z , tal como se muestra en la figura. Determine e encuentra en
una región en la que existe un campo magnético con densidad B, gira alrededor del punto
“P” con velocidad angular ω , tal como se muestra en la siguiente figura.
Determine el flujo magnético sobre el lazo cuadrado de lado “2a”, considerando que el
mismo se encuentra contenido en el plano “YZ”.
z
Vista superior del
a rayo electrónico
J
a /2
y y
Σ J
x
x
∫B c ( r ≤a ) .dl = µ0 I Neta ( r ≤a ) = µ0 J π r 2 = µ0 J 0π r 2
µ0 J 0 r
| B ( r ≤ a ) | 2π r = µ 0 J 0 r 2 ⇒ | B (r ≤ a ) |=
2
∫B c ( r >a ) .dl = µ0 I Neta ( r >a ) = µ0 | J | π a 2 = µ0 J 0π a 2
µ0 J 0 a 2
| B ( r > a ) | 2π r = µ 0 J 0 a 2 ⇒ | B (r > a ) |=
2r
En el presente problema, existen tres flujos: el primero de ellos, corresponde a la
integración entre 0 y a/2; el segundo de ellos, corresponde a la integración entre 0 y a,
en ambos flujos se utilizaría la densidad de campo magnético para cuando r ≤ a . El
tercer flujo magnético, corresponde a la integración entre a y (3/2)a, pero en cambio,
para éste flujo, se utiliza la expresión de la densidad de campo magnético para cuando
r > a . De estos tres flujos, el primero tendría el signo contrario a los dos últimos.
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7. Sin embargo, y debido a que la densidad de corriente eléctrica es constante, entonces el
primer flujo se eliminaría con parte del segundo flujo integrado en un rango similar. Por
lo tanto, el flujo total requerido sería entonces:
ΦTOTAL ( Σ ) = ∫ B ( r ≤ a ) ⋅ dS + ∫ B ( r > a ) ⋅ dS
Σ Σ
a ( 3/ 2 ) a
ΦTOTAL ( Σ ) = ∫ B (r ≤ a)
a/2
2a dr + ∫a
B ( r > a ) 2a dr
a (3/2) a
dr
ΦTOTAL ( Σ ) = µ0 J 0 a ∫
a /2
rdr + µ0 J 0 a 3 ∫
a
r
3 3
ΦTOTAL ( Σ ) = µ0 J 0 a 3  + ln 
8 2
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