1) El documento presenta la resolución de 6 problemas de ecuaciones diferenciales y de valores iniciales realizada por Roberto Cabrera para un examen parcial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral. 2) Se resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo orden con valores iniciales, una ecuación cuarta orden y una ecuación diferencial no lineal. 3) Finalmente, se desarrolla una serie de potencias para resolver aproximadamente una ecuación diferencial ordinaria.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Examen Parcial de Ecuaciones Diferenciales
RESUELTO POR: ROBERTO CABRERA
Fecha de examen: Julio 07 del 2006
1.-Resolver las siguientes ecuaciones de primer orden:
a. y ' = ( x − y ) 2 + 1 (Sugerencia: efectúe el cambio de variable z = x − y )
y = x−z
dy dz
= 1−
dx dx
dy
Reemplazando z, en la ecuación diferencial:
dx
dz
1− = z2 +1
dx
dz
− = z2
dx
dz
− 2 = dx
z
dz
∫ − z 2 = ∫ dx
1
= x + c ; pero z = x − y ;
z
1
= x+c
x− y
1
x− y = ;
x+c
1
y = x−
x+c

2. b. ( x − y + 2) dx + ( x − y + 3) dy = 0
z = x − y;
dy
Despejando de la ecuación diferencial:
dx
y = x−z
dy dz
= 1−
dx dx
dy
=−
( x − y + 2)
dx ( x − y + 3)
Reemplazando z = x − y en la ecuación:
1−
dz
=−
( z + 2)
dx ( z + 3)
1+
( z + 2) = dz
( z + 3) dx
z + 3 + z + 2 dz
=
z +3 dx
2 z + 5 dz
=
z + 3 dx
z +3
dz = dx
2z + 5
z+3
∫ 2 z + 5dz = ∫ dx
1 1
z + 3 = ( 2 z + 5) +
2 2
 1 1
 2 ( 2 z + 5) + 2  dz
  = dx
∫ 2z + 5 ∫
1 1 dz
2 ∫ dz + 2 ∫ 2 z + 5 = x + c
1 1
z + ln 2 z + 5 = x + c
2 4
2 z + ln 2 z + 5 = 4 x + c
2( x −y ) + 2( x −y ) + =4 x +
ln 5 c

3. 2.-Resolver el siguiente problema de valores iniciales, si se conoce que y1 = x 3 es una
solución de la ecuación homogénea:
(3x + 2 x ) y' '−6(1 + x ) y '+6 y = (3x + 2 x )
2 2 2
6(1 + x ) 6
y ' '− y '+ y = 3x + 2 x 2
3x + 2 x 2
3x + 2 x 2
6(1 + x )
p( x ) = −
3x + 2 x 2
e − ∫ p ( x ) dx
y 2 = y1 ∫ 2
dx
y1
6 ( 1+ x )
∫ dx
3 x+ 2 x2
e
y2 = x ∫
3
dx
x6
2 ln x + ln 2 x + 3
e
y2 = x ∫
3
dx
x6
x 2 ( 2x + 3)
y2 = x3 ∫ dx
x6
y2 = x3 ∫
( 2x + 3) dx
x4
 2 3 
y2 = x 3  ∫ 3 dx + ∫ 4 dx 
 x x 
 1 1
y2 = x 3 − 2 − 3 
 x x 
y2 = −x −1
yc = c1 x 3 + c2 ( − x − 1)
yc = c1 x 3 + c2 ( x + 1)
yp = ?
y p = u1 y1 + u2 y2
x3 x +1
W ( x 3 , x + 1) = = x 3 − 3x 3 − 3x 2
3x 2 1
W ( x 3 , x + 1) = −2 x 3 − 3 x 2 = − x ( 3 x + 2 x 2 )
0 x +1
u1 ' =
3x + 2 x 2
1
=
( x + 1) (3x + 2 x 2 )
W ( x 3 , x + 1) x(3x + 2 x 2 )
1
u1 ' = 1 +
x
 1
u1 = ∫ 1 + dx = x + ln x
 x

4. x3 0
3x 3x + 2 x 2 x3 (3x + 2 x 2 )
2
u2 ' = =
W ( x 3 , x + 1) − x(3x + 2 x 2 )
u2 ' = − x 2
x3
u 2 = ∫ − x 2 dx = −
3
y p = u1 y1 + u2 y2
 x3 
y p = x 3 ( x + ln x ) + ( x + 1)  − 
 3
 
( x + 1) + x 3 ( x + ln x ) − x ( x + 1)
3
y = c1 x 3
+ c2
3
4
x x3
y = c1 x 3 + c2 ( x + 1) + x 4 + x 3 ln x − −
3 3
 1
y = x 3  c1 −  + c2 ( x + 1) + x 3 ( x + ln x )
 3
y =c1 x 3 + 2 ( x + ) +x 3 (x + x
c 1 ln )

5. 3.-Resolver la ecuación de cuarto orden:
y IV + 2 y ' ' '+2 y ' '+2 y '+ y = 8e x − 1
Solución complementaria:
y IV + 2 y ' ' '+2 y ' '+2 y '+ y = 0
y = e rx ; y ' = re rx ; y ' ' = r 2 e rx ; y ' ' ' = r 3e rx ; y IV = r 4 e rx
Reemplazando y , y ' , y ' ' , y ' ' ' , y IV en la ecuación diferencial:
[
e rx r 4 + 2r 3 + 2r 2 + 2r + 1 = 0]
r 4 + 2r 3 + 2 r 2 + 2 r + 1
( r + 1) 2 ( r 2 + 1) = 0
r1, 2 = −1 ; r3, 4 = ±i
y c = c1e − x + c 2 xe − x + c3 Cosx + c 4 Senx
Solución particular:
y p = Ae x + B
IV
yp ' = yp '' = yp ''' = yp = Ae x
Reemplazando en la ecuación diferencial inicial:
y IV + 2 y ' ' '+2 y ' '+2 y '+ y = 8e x − 1
Ae x + 2 Ae x + 2 Ae x + 2 Ae x + Ae x + B = 8e x − 1
8 Ae x + B = 8e x − 1
A = 1 ; B = −1
y p = ex −1
y = yc + y p
y = 1e − + 2 xe − + 3Cosx + 4 Senx + x −
c x
c x
c c e 1

6. 4.-Resolver el problema de valores iniciales:
y ' ' = 2 yy ' ; y ( 0 ) = 0 ; y ' ( 0 ) = 1
dy
= y' = v
dx
dv
y' ' = v
dy
dv
v = 2 yv
dy
dv
= 2y
dy
∫ dv = ∫ 2 ydy
v = y2 + c
dy
= y2 + c
dx
dy
∫ dx = ∫ y 2 + c
1  y 
x= ArcTan  +k

c  c
 y 
c x = ArcTan  +k

 c
y = cTan c x + k( )
Reemplazando las condiciones iniciales:
k =0
( )
y ' = cSec 2 c x
1 = cSec 2 ( 0 )
c =1
y =Tanx

7. 5.-Un punto material de masa 1 Kg., está animado con movimiento rectilíneo bajo la
acción de una fuerza directamente proporcional al tiempo transcurrido e
inversamente proporcional a la velocidad con la que se desplaza el punto.
En el instante t = 40 segundos, la velocidad es igual a 5 m/seg. y la fuerza que actúa
es de 4 Newtons.
¿Cuál será la velocidad del punto un minuto después de iniciado el movimiento?
t
F =k
v
dv
F = ma ; a =
dt
t dv
k =m
v dt
Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación inicial:
Fv
k=
t
4( 5) 1
k= =
40 2
1 t dv
=
2 v dt
∫ 2vdv = ∫ tdt
1
v2 = t 2 + c
2
1 2
v= t +c
2
Reemplazando las condiciones iniciales para hallar c:
1
c = v2 − t 2
2
40 2
c = 25 − = 25 − 800 = −775
2
1 2
v( t ) = t − 775
2
En t = 60 segundos
1
v( 60 ) = ( 60) 2 − 775
2
m
v( 60 ) = 32,02
s

8. 6.-Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando series de potencias alrededor
del punto ordinario X 0 = 0 (desarrollar unos 5 términos de la serie de potencias
respectiva)
(1 − x ) y ' '+ y = 0
+∞ +∞ +∞
y = ∑ Cn X n ; y ' = ∑ nCn X n −1 ; y ' ' = ∑ n( n − 1) Cn X n −2
n=0 n =1 n =1
+∞ +∞
(1 − x ) ∑ n( n − 1) Cn X n −2 + ∑ Cn X n = 0
n =1 n=0
+∞ +∞ +∞
∑ n( n − 1)Cn X n−2 − ∑ n( n − 1)Cn X n−1 + ∑ Cn X n = 0
n =2 n=2 n=0
+∞ +∞ +∞
∑ ( n + 2)( n + 1)C n+ 2 X n − ∑ ( n + 1)( n )C n+1 X n + ∑ C n X n
n =0 n =1 n =0
=0
+∞ +∞ +∞
2a2 + a0 + ∑ ( n + 2 )( n + 1) Cn + 2 X n − ∑ ( n + 1)( n ) Cn +1 X n + ∑ Cn X n = 0
n =1 n =1 n =1
a0
a2 = −
2
+∞
∑ X [ ( n + 2)( n + 1)C
n =1
n
n+2 − ( n + 1)( n ) Cn +1 + Cn ] = 0
( n + 2)( n + 1) Cn + 2 − ( n + 1)( n ) Cn +1 + Cn = 0
( n + 1)( n ) C n +1 − C n
C n+2 = ; ∀n ≥ 1
( n + 2)( n + 1)
n =1:
2C 2 − C1 C C
C3 = =− 0 − 1
6 6 6
n = 2:
6C 3 − C 2 C 3 C 2 C C C C C
C4 = = − =− 0 − 1 + 0 =− 0 − 1
12 2 12 12 12 24 24 12
n = 3:
12C 4 − C 3 3C 4 C 3 3  C 0 C1  1  C 0 C1  C C
C5 = = − = − − +  + =− 0 − 1
20 5 20 5  24 12  20  6 6  60 24
+∞
y = ∑ Cn X n
n =0
+∞
y = C 0 + C1 X + C 2 X 2 + C3 X 3 + C 4 X 4 + C5 X 5 + ... + ∑ C n X n
n=0
C 0 2  C 0 C1  3  C 0 C1  4  C 0 C1  5
y = C 0 + C1 X − X + − − X + − − X + − −  X + ...
2  6 6   24 12   60 24 
 X2 X3 X4 X5   X3 X4 X5 
y = C0  −
1 − − − + ... + C1 X − − − + ...
 2 6 24 60   6 12 24 