Este documento describe el proceso de calibración utilizado para determinar parámetros en un modelo de equilibrio general computable. La calibración es un método determinista para estimar valores de parámetros cuando la estimación econométrica no es factible debido a limitaciones de datos. El documento explica cómo se calibran parámetros clave como las elasticidades de sustitución en funciones de producción utilizando información de una matriz de contabilidad social. Se proporciona un ejemplo numérico utilizando datos de Bogotá, Colombia.
Este documento describe los conceptos básicos de oferta, demanda y equilibrio de mercado. Explica cómo la curva de demanda muestra la relación entre el precio y la cantidad demandada de un bien, y cómo la curva de oferta hace lo mismo para la cantidad ofrecida. El equilibrio de mercado ocurre cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida a un precio de equilibrio particular.
Álgebra Lineal y Modelamiento EconómicoJuan Segura
Este documento introduce conceptos básicos de matrices y vectores para su aplicación en modelos económicos. Explica que los modelos económicos abstractan las características relevantes de un objeto de estudio mediante variables, ecuaciones y parámetros. Luego define conceptos como rango de una matriz, dependencia e independencia lineal de vectores, y matriz singular vs. no singular. El objetivo es preparar al lector para el análisis de sistemas de ecuaciones y modelos de múltiples mercados mediante el álgebra lineal.
Un Modelo de Equilibrio General Simple con Insumos IntermediosJuan Segura
Implementación de un Modelo de Equilibrio Generl Computable con Insumos Intermedios, -tecnologías de Leontief-, a partir de matrices de insumo producti
El documento define bienes públicos como bienes cuya utilización por un agente no impide su uso por otros agentes. Explica que los bienes privados son de consumo rival, mientras que los bienes públicos pueden ser consumidos de forma simultánea por varias personas. También señala que la provisión voluntaria de bienes públicos es ineficiente porque los consumidores no tienen en cuenta el beneficio de su contribución para otros.
Uls mic3 -- un modelo dinámico de equilibrio general - v - 2012Juan Segura
1) El documento presenta un modelo dinámico de equilibrio general con agentes que toman decisiones económicas intertemporales sobre consumo y ahorro. 2) Se describe un modelo básico de dos períodos con una única mercancía de consumo y un agente representativo que vive dos períodos y maximiza su utilidad intertemporal sujeta a su presupuesto. 3) El documento también introduce ocio en la función de utilidad y describe cómo el agente equilibra el consumo y el ocio entre períodos.
Este documento presenta un modelo de minimización de costos con una tecnología CES donde se derivan las funciones de demanda de factores. Se muestra que bajo esta tecnología, la demanda de cada factor depende de su propio precio, el precio del otro factor y los parámetros del modelo, incluyendo la elasticidad de sustitución. Adicionalmente, se incorporan impuestos a los factores y se derivan nuevas expresiones para la demanda de cada factor que incluyen estos impuestos.
Segura 2012 -- equilibrio competitivo y tiempo - v1 - 19 - oct - 2012Juan Segura
Este documento presenta tres propuestas para interpretar el equilibrio competitivo cuando se introduce explícitamente el tiempo. Primero, analiza un escenario con mercados de futuros completos donde es posible realizar transacciones sobre bienes disponibles en el presente y el futuro. Segundo, considera mercados secuenciales donde solo existen mercados para bienes disponibles en cada período. Tercero, propone mercados secuenciales con posibilidad de contratos de futuros. El autor explora las implicaciones de cada escenario y las condiciones de equilibrio.
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Este documento introduce conceptos básicos de matrices y vectores para su aplicación en modelos económicos. Explica que los modelos económicos abstractan las características relevantes de un objeto de estudio mediante variables, ecuaciones y parámetros. Luego define conceptos como rango de una matriz, dependencia e independencia lineal de vectores, y matriz singular vs. no singular. El objetivo es preparar al lector para el análisis de sistemas de ecuaciones y modelos de múltiples mercados mediante el álgebra lineal.
Un Modelo de Equilibrio General Simple con Insumos IntermediosJuan Segura
Implementación de un Modelo de Equilibrio Generl Computable con Insumos Intermedios, -tecnologías de Leontief-, a partir de matrices de insumo producti
El documento define bienes públicos como bienes cuya utilización por un agente no impide su uso por otros agentes. Explica que los bienes privados son de consumo rival, mientras que los bienes públicos pueden ser consumidos de forma simultánea por varias personas. También señala que la provisión voluntaria de bienes públicos es ineficiente porque los consumidores no tienen en cuenta el beneficio de su contribución para otros.
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1) El documento presenta un modelo dinámico de equilibrio general con agentes que toman decisiones económicas intertemporales sobre consumo y ahorro. 2) Se describe un modelo básico de dos períodos con una única mercancía de consumo y un agente representativo que vive dos períodos y maximiza su utilidad intertemporal sujeta a su presupuesto. 3) El documento también introduce ocio en la función de utilidad y describe cómo el agente equilibra el consumo y el ocio entre períodos.
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Segura 2013 -- actitudes frente al riesgo - utilidad von neumann morgentser...Juan Segura
Teoría de Juegos: La Utilidad Esperada y el Riesgo - La Utilidad de Von Neumann - Morgenstern. Pruebas de Existencia, Unicidad y buen comportamiento de la Función de Utilidad Esperada. Actitudes de los individuos respecto del riesgo. Aversión, Propensión y Netutralidad respecto del riesgo.
Segura 2013 -- el problema fundamental de la medición de impacto - v2 - 11 ...Juan Segura
El documento introduce conceptos clave para evaluar el impacto de un programa o política, incluyendo tratamiento promedio (ATE), tratamiento promedio para los tratados (ATT), y tratamiento promedio para los no tratados (ATU). Explica cómo estimar el ATT comparando los resultados promedio para individuos que recibieron el tratamiento versus aquellos que no lo recibieron, siempre que sus resultados fundamentales sean los mismos con o sin tratamiento.
Segura 2013 -- Los Teoremas de Bienestar y la distribución del ingreso - 18...Juan Segura
Este documento discute los Teoremas Fundamentales del Bienestar en teoría económica. Explica que el Primer Teorema establece que cualquier asignación de recursos que resulte de un equilibrio competitivo es eficiente en el sentido de Pareto. También explica que el Segundo Teorema indica que es posible lograr cualquier asignación de recursos eficiente mediante la redistribución de la riqueza inicial y dejando que opere el mercado. Finalmente, señala que estos teoremas sugieren que se pueden compatibilizar los objetivos
Segura 2013 -- equilibrio de nash - 28 abril 2013Juan Segura
El documento presenta el concepto de equilibrio de Nash, que es la solución central en la teoría de juegos clásica. Define estrategias mixtas y utilidad esperada, y explica que un equilibrio de Nash ocurre cuando ningún jugador tiene incentivos para cambiar su estrategia dado las estrategias de los demás. Incluye ejemplos como "La batalla de los sexos" para ilustrar cómo calcular un equilibrio de Nash. También introduce la noción de dominancia estricta en estrategias mixtas.
Segura 2010 -- Evalución de la Política Pública - Esquema y PropuestaJuan Segura
Este documento presenta una propuesta para desarrollar un sistema de toma de decisiones que permita evaluar las políticas socioeconómicas implementadas por la Administración Distrital de Bogotá. El sistema utilizaría ecuaciones de movimiento para modelar la dinámica de variables clave como el gasto público, la inversión y el capital humano. Esto permitiría cuantificar los efectos de cambios en las variables instrumentales del gobierno sobre objetivos como el crecimiento económico y el bienestar social. El modelo propuesto ofrecería una herram
Segura 2013 -- equilibrio de nash - 02 abril 2013Juan Segura
Este documento presenta conceptos clave sobre el equilibrio de Nash. Define estrategias mixtas como distribuciones de probabilidad sobre estrategias puras de cada jugador. La utilidad esperada de un jugador se calcula como la suma de las utilidades de cada estrategia pura multiplicada por sus probabilidades. El equilibrio de Nash ocurre cuando ningún jugador puede aumentar su utilidad cambiando unilateralmente su estrategia mixta, dado las estrategias mixtas de los demás. El documento ilustra estos conceptos con varios ejemplos de juegos estraté
Este documento presenta los conceptos básicos de dominancia en teoría de juegos. Explica que una estrategia domina a otra si ofrece un pago mayor o igual, independientemente de la estrategia del oponente. Identifica estrategias estrictamente dominantes, que siempre dan el pago más alto, y estrategias débilmente dominantes, que dan un pago mayor o igual. El documento ilustra estos conceptos con varios ejemplos de juegos y muestra cómo eliminar estrategias dominadas puede ayudar a encontrar la solución de un juego.
Segura 2013 -- juegos de suma cero - v1Juan Segura
Este documento introduce los juegos de suma cero y la teoría de juegos. Explica que la teoría de juegos estudia las interacciones estratégicas entre agentes racionales. Define los elementos básicos de un juego como el número de jugadores, sus estrategias y funciones de pago. Presenta la forma normal de representar un juego de dos personas y cómo encontrar el valor del juego usando las estrategias maximin y minimax. Finalmente, da ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
Este documento resume el papel del gobierno en un modelo dinámico estocástico general (DSGE). El gobierno proporciona bienes y servicios públicos, realiza transferencias para promover la equidad y financia estos gastos a través de impuestos, deuda o impresión de dinero. El documento analiza cómo estas decisiones de política fiscal afectan a hogares y empresas y cómo se equilibra el presupuesto del gobierno.
Segura 2010 -- los hogares en un dsge típicoJuan Segura
(1) Los hogares típicos en un modelo DSGE buscan maximizar su utilidad sujeta a restricciones presupuestarias y de acumulación de capital. (2) Sus condiciones de equilibrio intertemporal incluyen que la tasa de interés iguala el precio marginal de sustitución intertemporal y que la tasa de crecimiento del consumo iguala la tasa de rendimiento del capital. (3) Estos resultados de los hogares se combinan con los de las firmas representativas para completar el modelo macroeconómico dinámico general de
Segura 2012 -- wage curves and cge modelsJuan Segura
Este documento presenta los aspectos teóricos y empíricos del tratamiento del mercado laboral en modelos de equilibrio general computado. Describe cómo los modelos multisectoriales permiten evaluar políticas mediante el uso de una matriz de contabilidad social y la teoría de Arrow-Debreu sobre el equilibrio competitivo.
Este documento describe diferentes tipos de funciones de utilidad que pueden representar las preferencias de los consumidores, incluyendo funciones lineales, de Leontief, Cobb-Douglas, CES y homogéneas. Explica que las funciones de utilidad deben ser continuas, monótonas y estrictamente cuasi-cóncavas para representar adecuadamente las preferencias de los consumidores. También discute cómo maximizar la utilidad sujeto a restricciones presupuestarias.
Segura 2009 -- dualidad en la teoría de consumidorJuan Segura
Este documento discute la dualidad en la teoría del consumidor. Presenta el problema de maximización de la utilidad del consumidor y su problema dual de minimización del gasto. Define las funciones de demanda individual, utilidad indirecta y demanda compensada (función de Hicks), y describe sus propiedades clave como la continuidad, homogeneidad y monotonía. Explica que la función de demanda compensada muestra cómo cambia el consumo óptimo cuando varían los precios relativos manteniendo constante el nivel de utilidad.
Segura 2006 -- equilibrio general introducción - notas de claseJuan Segura
Este documento presenta los conceptos fundamentales del modelo de equilibrio general. Brevemente, introduce el modelo de equilibrio competitivo de Arrow-Debreu, el cual describe una economía con múltiples consumidores y bienes donde los precios se determinan de forma que la demanda total sea igual a la oferta total para cada bien. Asimismo, explica el concepto de caja de Edgeworth, una herramienta gráfica que permite representar las posibilidades de intercambio entre consumidores.
Este documento presenta un modelo de equilibrio general basado en el modelo de insumo-producto de Leontief. El modelo describe la producción de n industrias que utilizan insumos intermedios y factores primarios en proporciones fijas. Se establecen ecuaciones para la demanda de insumos intermedios y factores, así como para la oferta de bienes y empleo de factores. El sistema de ecuaciones permite calcular la producción y precios compatibles con una demanda final y precios de factores dados.
Segura 2011 -- un modelo formal de externalidadJuan Segura
Este documento presenta un modelo formal de externalidades propuesto por Baumol y Oates. 1) El modelo define las condiciones para asignaciones Pareto eficientes en una economía con múltiples consumidores, productores y bienes donde hay externalidades. 2) Las condiciones óptimas surgen de maximizar la utilidad total sujeta a restricciones tecnológicas y de recursos. 3) El documento analiza cómo los precios de mercado y los impuestos compensatorios podrían inducir comportamientos que lleven a la asignación óptima en
Segura 2009 -- eficiencia y bienestar en el modelo competitivoJuan Segura
Este documento discute la eficiencia y el bienestar en el modelo de mercado competitivo desde una perspectiva normativa. Examina si las asignaciones de recursos logradas a través de mercados competitivos pueden considerarse socialmente deseables o justas. Introduce el concepto de asignación óptima de Pareto como aquella en la que no es posible mejorar el bienestar de un individuo sin empeorar el de otro, y analiza cómo este criterio puede usarse para evaluar la equidad de las asignaciones de equilibrio competitivo.
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Segura 2009 -- eficiencia y bienestar en el modelo competitivo
Segura 2004 -- calibración
1. Calibración
Juan Carlos SEGURA-ORTIZ M.Sc.
Universidad de La Salle / Escuela Colombiana de Ingeniería
Bogotá, D.C., 2004
2. Determinación de Parámetros: La Calibración
La calibración constituye una aproximación determinista de la estimación de los valores de
los parámetros en un CGE.
La estimación econométrica de un CGE es usualmente implausible por dos razones
principales:
a. En los modelos aplicados aparece tal cantidad de parámetros que su estimación
simultánea haciendo uso de series de tiempo es, al menos por el momento, implausible
debido a que se requerirían grandes cantidades de datos y resolver grandes problemas de
identificación.
b. La información de benchmark (SAM / MIP) tiene por unidades valores; su
descomposición en observaciones separadas para precios y cantidades no garantiza la
obtención de secuencias con unidades consistentes a través del tiempo, como se exige en
series de tiempo.
Para resolver estos problemas se procede de dos maneras (Keyzer & Ginsburgh, 1997):
1. Utilizando estimaciones econométricas por componentes, tomando algunos parámetros de
la literatura (pero no incorporan todas las restricciones contenidas en el modelo completo);
2. Definiendo los parámetros restantes a través de métodos de calibración (benchmarking
methods)
3. Con Keyzer y Ginsburgh [1997], el procedimiento de la calibración puede entenderse
como la selección de valores numéricos para los parámetros de las funciones de
demanda del consumidor xi(p, hi), así como para las funciones de producción yj(p) o
los requerimientos directos unitarios A(p).
En términos de las variables de la Matriz de Contabilidad Social xi*, hi*, yj*, p*, la
calibración consiste en resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
( )
xil p* , hi* ; β, γ = xil
*
∀i ,l
[A] y ( p ; β, γ ) = y
jl
* *
jl ∀j ,l
A ( p ; β, γ ) = A
lh
* *
lh ∀l , h
β y γ son vectores de parámetros, y A* es la matriz de insumo-producto.
4. Con frecuencia algúnos parámetros clave como las elasticidades de sustitución o las
tasas de retorno a escala, ― γ ―, se toman prestados de investigaciones y trabajos
econométricos (i.e., estimados en sistemas parciales). En contraste, los parámetros en
el vector β harán las veces de incógnitas en el sistema [A].
El supuesto clave es que existe un equilibrio de alguna clase en la economía
observada de manera que la primera tarea en el ciclo de modelaje no es hallar el
equilibrio sino utilizar el equilibrio observado para determinar parámetros
consistentes con esa observación (Shoven & Whalley, 1992).
Puesto que los datos de benchmark vienen en valores (p*q), es preciso escoger
unidades particulares para poder separar precios de cantidades. Una convención muy
popular, originalmente adoptada por A. Harberger (1959, 1962) consiste en escoger
unidades para bienes y factores tales que, en el equilibrio base, tengan un precio igual
a uno (1).
Una prominente característica de la calibración es que no hay pruebas de hipótesis
para verificar si la especificación del modelo es adecuada, justamente por el carácter
determinístico del procedimiento. (Crítica Econométrica)
5. Con la convención de Harberger, en modelos aplicados, las unidades físicas de los
factores son aquellas cantidades que reportan una unidad monetaria de retorno ($1) en
el equilibrio.
Las unidades para las mercancías se derivan, de manera similar, como aquellas
cantidades que se venden por $1, netas de impuestos y subsidios, en el equilibrio.
El supuesto de que en el equilibrio el producto marginal factorial es igual en todos los
usos posibles, permite que los pagos a los factores por industria puedan ser utilizados
como observaciones de las cantidades físicas de los inputs primarios.
Con datos SAM / MIP sobre usos de factores por industria y los supuestos previos, es
posible entonces calcular parámetros para las funciones de producción del modelo.
6. Ejemplo: Calibrando una Función de Producción CES en dos factores
Una función de producción de Elasticidad de Sustitución Constante puede ser escrita
de la siguiente forma:
(
Q = A αK + (1 − α )L
µ
)
µ 1/ µ
[E1.1.]
El producto marginal del capital está dado por:
PmgK = αA(α + ((1 − α )(L / K )µ ))
(1−µ ) / µ
Note además que, dado que de [E1.1.]
(Q / A)µ = αK µ + (1 − α )Lµ [E1.2.]
Se sigue que
PmgK = αAµQ1−µ K µ −1 [E1.3.]
7. Y por simetría, PmgL = (1 − α )AµQ1−µ Lµ −1 [E1.4.]
µ −1
De manera que PmgK α K
TMSTK ,L = = [E1.5.]
PmgL 1 − α L
Las demandas por K,L, se derivan de la siguiente forma: Recuerde que el problema
de minimización del costo unitario es:
min C = k ⋅ Pk + l ⋅ Pl (
s.a. A αK + (1 − α )L
µ
)
µ 1/ µ
=1
Las CPO resultantes son, justamente:
µ −1
PmgK α K PK
= = [E1.6.]
PmgL 1 − α L PL
(
A αK + (1 − α )L
µ
)
µ 1/ µ
=1 [E1.7.]
8. De la CPO [E1.6.], se tiene:
µ / (µ −1)
1 − α µ / (µ −1) P
kµ = K
P
⋅lµ
α L
Reemplazando en [E1.7.] y reordenando, se tiene, finalmente:
µ / (µ −1) µ / (µ −1)
1− α PK
α
P
⋅ l µ + (1 − α ) ⋅ l µ = A−µ [E1.8.]
α L
Expresión que expresa en forma unívoca l y de la cual puede determinarse la demanda
de éste factor de producción, por unidad de producto.
9. En efecto,
(1 − α ) 1 / (1−µ ) 1 / ( µ−1 )
PL
l=
( )
[E1.9.]
A α1 / (1−µ ) PK / (µ −1) + (1 − α ) µ / (µ −1) 1 / µ
µ 1 / (1−µ )
P
L
y de manera similar
1 / ( µ−1 )
1 / (1−µ )
α PK
k=
( )
[E1.10.]
A α1 / (1−µ ) PK / (µ −1) + (1 − α ) µ / (µ −1) 1 / µ
µ 1 / (1− µ )
P
L
Siendo k, l requerimientos unitarios de factores.
10. Premisas para la calibración CES
La calibración de esta forma es de fácil implementación, a partir de la
base de datos del Benchmark. De la SAM (MIP) se obtienen valores para
los factores (k, l) y, en el caso de un modelo con impuestos, las tasas
implícitas de impuestos del benchmark asociadas a cada factor, se
calculan de los pagos efectivos en la submatriz impuestos.
Puesto que, por la convención de Harberger, PK = PL = 1, se dispone de
los precios (netos de impuestos) de equilibrio para los factores, en el año
base.
11. Considere dos posibles isocuantas en una formulación CES:
• En el punto A las dos isocuantas
presentan la misma pendiente (igual
K
a la relación de los precios de los
σ2 σ1 factores) en una relación que resulta
consistente con los precios de los
factores.
• Esto crea un problema de
calibración porque la función tiene
A tres (3) parámetros mientras que de
la SAM se tienen solo dos piezas de
información: las isocuantas pasan a
través de un punto específico con
pendiente específica y un nivel de
producción dados los inputs
L registrados. La respuesta estándar
consiste en tomar prestada la
elasticidad de sustitución, σ.
12. Tomando el valor de la elasticidad de sustitución de la literatura, aprovechando la
definición funcional de las demandas por factores [E1.9] y [E1.10.], y teniendo en
cuenta que el parámetro µ se relaciona con σ mediante la expresión:
σ=1/(1−µ)
tendremos:
l ⋅ PL =
(1 − α )σ PL− σ ⋅ PL =
(1 − α )σ PL−σ
A(α PK ) A(α PK )
σ 1 / (1− σ ) (σ −1) / σ σ 1 / (1− σ ) (σ −1) / σ
σ 1 / (1− σ )
+ (1 − α ) PL σ 1 / (1− σ )
+ (1 − α ) PL
α σ PK− σ α σ PK− σ
k ⋅ PK = ⋅ PK =
(
Aα P σ 1 / (1− σ )
K + (1 − α ) P
σ
L )
1 / (1− σ ) (σ −1) / σ
(
Aα P σ 1 / (1− σ )
K + (1 − α ) P
σ
L )
1 / (1− σ ) (σ −1) / σ
13. De manera que, si definimos,
k ⋅ PK α σ PK−σ
1
ωKL = =
l ⋅ PL (1 − α )σ PL −σ
1
Asumiendo la Convención de Harberger ( PK = PL = 1), se puede despejar α, sin
complicación:
α=
(ωKL )1 / σ
ˆ
1 + (ωKL )
1/ σ
El valor de A se deriva de las condiciones de beneficio cero que se suponen en un
modelo competitivo. Note que el costo de producir una unidad es:
C = k PK + l PL [E1.10.]
Reemplazando las demandas k, l tendremos:
14. (µ −1)
A
(
C = α1 / (1−µ ) PK / (µ −1) + (1 − α )
1 µ 1 / (1−µ ) µ / (µ −1)
PL ) µ [E1.11.]
Por lo tanto, haciendo uso del valor calibrado de α
( )
1
C = α + (1 − α )
1 σ σ
ˆ ˆ 1− σ =1
A
Resolviendo para A
( )
1
A = α + (1 − α )
σ σ 1− σ
ˆ ˆ ˆ
15. Ejemplo Numérico: SAM Bogotá (1994)
S MBogotá, 1994
A
C ponentes del V A
om alor gregado
Calibración de una F ión C Sen K L
unc E ,
AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN
Remuneración a Asalariados FCTRAS 39.050 106.888 1,160.437 106.413 442.495 1,253.970 2,059.981 2,059.685
Excedente de Explotación FCTEBE 88.296 395.727 4,192.298 268.895 1,562.070 1,735.721 2,472.692 956.799
Consumo de Capital Fijo FCTCCF 1.020 27.341 87.077 9.263 67.509 64.549 180.885 24.135
Impuestos FCTTAX 3.079 -7.641 163.158 12.284 77.173 86.236 332.149 69.731
Calculado K 89.316 423.068 4,279.375 278.158 1,629.579 1,800.270 2,653.577 980.934
Calculado L 39.050 106.888 1,160.437 106.413 442.495 1,253.970 2,059.981 2,059.685
Calculado VA 128.366 529.956 5,439.812 384.571 2,072.074 3,054.240 4,713.558 3,040.619
Calculado k 0.696 0.798 0.787 0.723 0.786 0.589 0.563 0.323
Calculado l 0.304 0.202 0.213 0.277 0.214 0.411 0.437 0.677
Calculado w 2.287 3.958 3.688 2.614 3.683 1.436 1.288 0.476
Prestado σ 1.880 1.966 2.781 10.980 4.390 5.830 2.364 5.607
Calibrado µ 0.468 0.491 0.640 0.909 0.772 0.828 0.577 0.822
Calibrado δ 0.608 0.668 0.615 0.522 0.574 0.516 0.527 0.467
Calibrado A 1.915 1.800 1.866 1.980 1.913 1.994 1.993 1.976
Verificación VA^ 128.366 529.956 5,439.812 384.571 2,072.074 3,054.240 4,713.558 3,040.619
Cálculos: J
-segura@uniandes.edu.co
16. Lo mismo, con GAMS:
PARAMETER
k0(j) Capital - Agrega CCF & EBE
l0(j) Empleo -
va(j) Valor Agregado en L K en Benchmark
psi(j) Ratio k l unitario
mu(j) Exponente en CES
delta(j) Parámetro de Distribución en CES
A(j) Parámetro de Escala en CES
va_hat(j) Chequeo de la Calibración ;
k0(j) = F("FCTEBE",J) + F("FCTCCF",J) ;
l0(J) = F("FCTRAS",J) ;
va(j) = K0(j) + L0(j) ;
psi(j) = (k0(j)/va(j))/(l0(j)/va(j)) ;
mu(j) = -((1-esub(j))/esub(j)) ;
delta(j) = psi(j)**(1/esub(j)) / (1 + psi(j)**(1/esub(j))) ;
A(j) = (delta(j)**esub(j) + (1-delta(j))**esub(j))**(1/(1-esub(j))) ;
va_hat(j) = A(j)*(delta(j)*k0(j)**(mu(j)) + (1-delta(j))*l0(j)**(mu(j)))**(1/mu(j)) ;
18. Ejemplo: Calibrando una Función de Utilidad CES en dos mercancías
Una función de utilidad CES para dos bienes se expresa:
(
u = αX 1(σ −1) / σ + (1 − α )X 2σ −1)/ σ
( )σ (σ
/ −1)
α ∈ [0,1] [E2.1.]
Los símbolos tienen el significado usual. El problema de la maximización de la utilidad:
max (
u = αX 1σ −1)/ σ + (1 − α )X 2σ −1)/ σ
( ( )
σ / (σ −1)
s.a. P X 1 + P2 X 2 ≤ M
1
Da las demandas ordinarias (i.e. de Marshall) por X1, X2:
M
α σ P11−σ
X1 = [E2.2.]
P1 α σ P1−σ + (1 − α )σ P1−σ
1 2
X2 =
M
(1 − α )σ P21−σ
[E2.3.]
P2 α σ P1−σ + (1 − α )σ P1−σ
1 2
19. Participaciones presupuestales en CES
La participación de X1 en el presupuesto es:
X 1P α σ P11−σ
1
= σ 1−σ [E2.4.]
M α P
1 + (1 − α )σ P2 −σ
1
En tanto que la participación de X2 es:
X 2 P2 (1 − α )σ P21−σ
= σ 1−σ
[E2.5.]
M α P
1 + (1 − α )σ P2 −σ
1
A efectos de calibración, resulta útil la relación:
σ σ −1
P1 X 1 α σ P1σ −1 α P
= = 1
[E2.6.]
P2 X 2 (1 − α ) P2
σ σ −1
1 − α P2
20. Por su parte, la elasticidad-precio propio de la demanda por X1, está dada por:
∂X 1 ∂P α σ P σ −1 + σ (1 − α )σ P2σ −1
ξ= 1
= − σ 1 σ −1 [E2.7.]
X1 P 1
α P
1 + (1 − α ) P2
σ σ −1
Note que este resultado sugiere que es posible obtener una estimación de la elasticidad
de sustitución, σ, a partir de alguna estimación de la elasticidad precio de la demanda,
si bien se trata de una función obviamente no lineal.
21. Al utilizar la convención de Harberger, la calibración del parámetro de distribución, -α-,
se logra a partir del mismo procedimiento utilizado en la CES de producción; en el caso
de la utilidad, no hay un parámetro de escala.
No obstante, como anotan Shoven y Whalley [1992], la convención de Harberger debe
ser utilizada con cautela cuando se observan distorsiones sobre los precios: impuestos,
tasas, multas. En estos casos, los precios iniciales son mayores que 1. En estos casos,
σ σ −1 σ
α P1 + τ X 1
σ σ −1
PX α P1 α σ −1
ω= 1 1 = = = θ
P2 X 2 (1 − α )σ P2σ −1 1 − α P2 + τ X 2
1−α
De forma que el parámetro a calibrar es:
ω 1/ σ
α = 1/ σ
ˆ [E2.8.]
ω + θ (σ −1)/ σ