Este documento presenta los conceptos básicos de dominancia en teoría de juegos. Explica que una estrategia domina a otra si ofrece un pago mayor o igual, independientemente de la estrategia del oponente. Identifica estrategias estrictamente dominantes, que siempre dan el pago más alto, y estrategias débilmente dominantes, que dan un pago mayor o igual. El documento ilustra estos conceptos con varios ejemplos de juegos y muestra cómo eliminar estrategias dominadas puede ayudar a encontrar la solución de un juego.

1. Principios Solución: Conceptos de Dominancia
Una GuíaGeneral
J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela Colombiana de Ingeniería
Facultad de Economía
jcsegura@lasalle.edu.co / juan.segura@escuelaing.edu.co / j.c.segura@gmail.com
URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter: @JackFlash
Bogotá, D.C., Febrero de 2013
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2. Forma Estratégica de un Juego Finito
Definición.— Forma Estratégica de un Juego Finito: Un juego en forma estratégica o normal
puede ser representado mediante una tupla que describe los agentes involucrados, las
estrategias disponibles para cada uno de ellos y los pagos que cada jugador recibe por cada
combinación de estrategias posible. Borel [1921], Von Neumman [1928] resumen esta
información en una tupla como:
Γ= , ,
En este conjunto de datos fundamentales que caracterizan a un juego:
es el número de jugadores que se enfrentan en el juego Γ.
es el conjunto de estrategias puras correspondiente al -ésimo jugador, y
es una función que relaciona los pagos que para cada jugador representa cada perfil
de estrategias puras, es decir, : ∏ ⟶ ℝ , y el producto cartesiano ∏ =
× ⋯× × ⋯×
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3. Juegos con Información simétrica.—Se dice que el juego representado mediante
Γ= , , es un de información simétrica o información completa si resulta que los
datos en Γ son de conocimiento común. “Cuando todos los jugadores conocen en su totalidad la
estructura del juego (sus oponentes, cada una de sus estrategias y los pagos de cada combinación posible de
estrategias) diremos que el juego tiene información completa. En caso de que alguna de las anteriores
condiciones falle, el juego tiene” (Manrique, Villa, Junca y Monsalve, 1999: 175).
Common Knowledge.— Todos los jugadores conocen Γ, cada jugador sabe que los
demás conocen Γ, cada uno sabe que los demás saben que él conoce Γ, etc.1
Si el jugador = 1, … , está consciente y tiene noticia de las decisiones tomadas
previamente, o aún en el mismo momento del juego, si dirá que el juego presenta información
completa. En caso contrario, el juego tiene información incompleta.
1
Cfr Monsalve & Arevalo (2005) quienes atribuyen el termino a D.K. Lewis. Ver Lewis, D. K. (1969): Convention: A Philosophical Study. Cambridge Mass.: Harvard University
Press.
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4. Una forma flexible de representar los elementos en Γ es una bi-matriz como aquellas a
continuación que se refieren a (izq) la Batalla de los Sexos y el Dilema del Prisionero (derecha):
Esposa Preso 1
Boxeo Ballet Confesar Callar
Boxeo 2,1 0,0 Confesar -4,-4 0,-5
Preso
Esposo
2
Ballet 0,0 1,2 Callar -5,0 -1,-1
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5. Principios Solución2
El problema de resumir la información relativa a los fundamentales del juego es una primera
labor a adelantar. El segundo paso tiene que ver con la solución del juego, cuestión que
involucra definir el conjunto de criterios que los agentes adoptarán para elegir las alternativas
y estrategias a su disposición
Todo agente se tiene por racional y por consiguiente, debe representar un preorden completo
de preferencias sobre el conjunto × . [Ver Segura, 2008: “Preferencias y Elección”
<Slideshow>]
La racionalidad de los agentes implica que los agentes buscarán estrategias con pagos altos y
las preferirán sobre aquellas que tienen menores pagos.
2
Cfr: Monsalve & Arevalo (2005: 35+)
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6. Dominancia
Ejemplo 1.— Considere el juego de la matriz a continuación3 :
Jugador II
L R
U 3,0 0,-4
Jugador I
D 2,4 -1,8
Note las siguientes circunstancias en el juego propuesto:
Si el Jugador I juega (arriba) la mejor respuesta del Jugador II es jugar L (izquierda);
Si el Jugador I juega D (abajo), la mejor respuesta del Jugador II es jugar R (derecha);
La mayor ganancia para el Jugador I surge cuando juega U y es independiente de lo que
el Jugador II haga (es decir, independiente de que II juegue L o R)
Por consiguiente, I deberá jugar U y, en respuesta, II deberá jugar L.
3
Tomado de Jehle & Reny, 2001, p. 270. Varian (1993: 320) presenta un juego similar.
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7. En este caso, el jugador fila (Jugador I) tiene una estrategia que domina las demás estrategias a
su disposición (sus pagos son estrictamente mayores que los de las estrategias alternativas).
Se dice entonces que para un jugador determinado una estrategia domina estrictamente
a la estrategia si dadas las estrategias disponibles para los demás jugadores, el pago
correspondiente a es estrictamente mayor que el que reportaría jugar . Al mismo
tiempo, se dirá que está estrictamente dominada por . Un jugador racional NUNCA
adoptará una estrategia estrictamente dominada ni esperará que un oponente racional lo
haga.4 En términos formales:
4
Cfr Bierman and Fernandez, 1998, p.9 y ss.
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8. Ejemplo 1A [ Manrique, Villa, Junca, Monsalve (1999): 175]: Peatón ( ) y Conductor ( ) se
enfrentan en la calle y sus alternativas son transitar con cuidado ( ) ó sin cuidado ( ). En
este caso, Γ contiene los siguientes datos:
= , !
" = # = , !
La matriz de pagos es:
Conductor
NC CC
NC -100,0 -100,-10
Peatón
CC -110,0 -20,-10
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9. Comience por considerar al Peatón. Si el conductor transita sin cuidado, el máximo pago a
que aquel jugador puede aspirar, es el que reporta transitar sin cuidado: $-100. Si el
conductor transita con cuidado, la ganancia del peaton aumenta a $-20.
Para el conductor, transitar con cuidado implica un pago de $-10 en tanto que transitar sin
cuidado, le reporta pago $0. Si el conductor es racional, debería elegir la estrategia “ ”
puesto que esta le supone mayores pagos absolutos que aquellos asociados a la estrategia
“ ”. En este sentido, la estrategia ≻% y por tanto domina a en el caso del
conductor ( ).
El peatón sabe esto (Common Knowledge Assumption), por lo que, deberá elegir, siendo él
mismo racional, entre transitar con cuidado o sin cuidado, dado que el conductor debe
transitar sin cuidado. El mayor pago a que el peatón aspira es la que aparece asociada a transitar
sin cuidado, dado que el conductor racional deberá transitar sin cuidado).
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10. Ejemplo 1B [ Elecciones <Juego de Suma Cero>]: Considere dos Políticos que deben
repartirse el electorado total, dadas su ofertas de bienes de desarrollo, contenidas en tres
distintos Planes de Gobierno. En este juego, = , !, "& = "' = (, ((, (((!. La matriz
de pagos contiene las proporciones del electorado ganadas por el Jugador fila:
P2
I II III
I 10% 20% 40%
P1 II 10% - 50%
III - 10% -
Para el político 1, prometer el Plan de Gobierno I, le reporta mayores ganancias absolutas que
el Plan de Gobierno III. En este caso, una estrategia domina a otra, si bien no a otras. El político
2 no observa ganancias absolutas o relativas entre las distintas estrategias de las que dispone.
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11. Estrategias Estrictamente Dominantes [Dominancia Estricta en Estrategias Puras].— En un
juego Γ = , , se dice que una estrategia pura a disposición del jugador i-
ésimo domina estrictamente a una segunda estrategia ) también a disposición de este
jugador siempre que:
)
, > ,
Para cualquier estrategia correspondiente a “todos los jugadores a excepción del jugador
”
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12. Ejemplo 2 [ Jehle & Reny (2001): 271]. Considere la siguiente payoffs matrix:
Jugador II
L M R
U 3,0 0,-5 0,-4
Jugador I C 1,-1 3,3 -2,4
D 2,4 4,1 -1,8
La presencia de estrategias Estrictamente Dominantes es altamente inusual de modo que
si no es posible encontrar una estrategia cuyo pago sea estrictamente mayor que las demás
estrategias disponibles, independientemente de lo que los demás [“− ”] jugadores elijan,
todavía es posible reducir las dimensiones del juego detectando estrategias menos deseables
o Estrategias Dominadas por otras estrategias disponibles para el jugador . Jehle y Reny
(2005: 217) ofrecen como ejemplo la matriz supra (que es versión original del juego del
primer ejemplo).
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13. En el ejemplo, para el Jugador I no resulta clara la existencia de una estrategia estrictamente
dominante, pero si resulta que la estrategia aparece dominada por la estrategia D que tiene
pagos mayores. Dado que un jugador racional nunca elegirá estrategias dominadas, esta
estrategia no será elegida por I. Tras su eliminación, la matriz de pagos queda:
Jugador II
L M R
U 3,0 0,-5 0,-4
Jugador I
D 2,4 4,1 -1,8
Para el Jugador II, tampoco hay una estrategia pura estrictamente dominante. No obstante,
es de notar que la estrategia , esta dominada por la estrategia - y puede ser por tanto
eliminada. La eliminación secuencial (iterada) de estrategias dominadas conduce a la
versión del juego que se pudor resolver mediante la identificación de estrategias
estrictamente dominantes. En el presente ejemplo, sin embargo, se ha otorgado especial
énfasis en la dominancia de una estrategia respecto de otra, en lugar de en la dominancia de
una estrategia sobre todas las demás.
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14. Estrategias Estrictamente Dominadas.— En un juego Γ = , , se dice
que una estrategia pura ̂ domina estrictamente a otra de sus estrategias, por ejemplo / si
resulta que:
̂, > /, ∀ ∈
Entonces / se dice Estrictamente Dominada en
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15. Estrategias Débilmente Dominantes [Dominancia Estricta en Estrategias Puras].— En un
juego Γ = , , se dice que una estrategia pura a disposición del jugador i-
ésimo domina débilmente a una segunda estrategia ) también a disposición de este
jugador siempre que:
)
, ≥ ,
Para cualquier estrategia correspondiente a “todos los jugadores a excepción del jugador
”
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16. Ejemplo 3 [ Jehle & Reny (2005: 272) Estrategias Débilmente Dominadas ]. Considere la
siguiente matriz de pagos:
Jugador II
L R
U 1,1 0,0
Jugador I
D 0,0 0,0
Aquí ningún jugador tiene estrategias estrictamente dominadas. Sin embargo 3 y - están
débilmente dominadas por 4 y . Aislar las estrategias débilmente dominadas puede dar
lugar a la detección del equilibrio del juego.
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17. Ejemplo 4 [ Bierman & Fernández (1998: 8) ]. Considere el Juego de la perforación de
pozos entre las firmas Clampett y TEXplor (un juego del tipo dilema del prisionero)
Clampett
Angosto Ancho
Angosto 14,14 -1,16
TEXplor
Ancho 16,-1 1,1
Si TEXplor decide perforar angosto sus ganancias son menores que si decide perforar Ancho.
Note que Ancho domina estrictamente a Angosto para el jugador Fila. Luego, eliminando las
estrategias dominadas para TEXplor, queda para Clampett elegir entre perforar Angosto o
perforar Ancho, dado que se sabe que TEXplor es recional y que perforará Ancho. Si
Clampett perfora Angosto pierde 1 (billón). Si perfora Ancho, gana 1. En este caso, Angosto
está estrictamente dominada para TEXPlor. En consecuencia, la solución del juego es
(Ancho, Ancho), caso en el cual, cada jugador gana $1 (billón).
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18. No deje de notar que si los dos hubieran elegido (Angosto, Angosto) los dos habrían podido
ganar $14 (billones). Es decir, hay un resultado del juego en el cual los dos podrían estar
mejor que en el equilibrio encontrado bajo eliminación de estrategias [estrictamente]
dominadas. Se dice que el resultado obtenido en este caso [ así como en los juegos básicos de
Dilema de Prisionero ], es Pareto Dominado.
Definición (Dominancia en el Sentido de Pareto).— Sea 5 el resultado de un juego. Se dice
6
que este resultado es Pareto Dominado si hay un resultado alternativo 5 tal que:
6
758 ≥ 5 ∀ = 1, … ,
y
6
758 > 5 9: ∈
6
Se dice además que un resultado 5 de un juego es Pareto Óptimo si ∄5 respecto del cual el
resultado 5 resulte Pareto Dominado.
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19. Dominancia Iterada.—
Hay situaciones en las que si bien un jugador no dispone de estrategias dominantes, —
estrategias de ventaja absoluta, independientemente de lo que haga(n) el (los) otro(s)
jufador(es)—, podría disponer de estrategias que individualmente puedan presentar ventajas
sobre otras en su conjunto de elección en un sentido de preferencia débil ≿ . Considere el
juego a continuación, que no presenta estrategias estrictamente dominantes (Bauman, 2009:
101).
Jugador II
L C R
U 1,10 3,20 40,0
Jugador I L 10,20 50,-10 6,0
D 2,20 4,40 10,0
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20. Es de notar, sin embargo, que para el jugador columna jugar 4 es claramente más ventajoso
que jugar - (en tanto que respecto de no es posible obtener una decisión concreta) y, por
tanto 4 ≻== - o bien, que - está estrictamente dominada por 4.
El supuesto Conocimiento Común (Common Knowledge) hace posible anticipar que el Jugador
I reconoce la situación del Jugador II. En esta situación, el juego, luego de eliminar la
estrategia dominada del Jugador II, queda:
Jugador II
L C
U 1,10 3,10
Jugador I L 10,20 50,-10
D 2,20 4,40
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21. Luego de eliminar - se descubre que entre las estrategias del Jugador I, la estrategia 4
domina estrictamente a las demás. Su eliminación da como resultado la siguiente matriz de
pagos:
Jugador II
L C
L 10,20 50,-10
Una nueva ronda de eliminación permite llegar a la conclusión de que la solución del juego
es la dupla 4, 4 = 10,20
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22. Ejemplo 5 [ Manrique, Villa, Junca y Monsalve (1999: 177) ]: Considere de nuevo el juego
que involucra a un conductor (Jugador II) y a un peatón (Jugador I) en una situación en la
que las estrategias disponibles son transitar sin cuidado, con algún cuidado y con cuidado (sc,
c, ac):
Jugador II
sc ac c
sc 50,-3 -99,-2 -100,-3
Jugador I ac -2,-99 -51,-51 -101,-3
c -50,-100 -3,-101 -3,-3
El Jugador I no tiene estrategias dominantes (en sentido débil o fuerte). El jugador II, en
contraste, observa que la estrategia transitar con cuidado domina estrictamente a las otras dos,
que pueden ser eliminadas, dado que se supone que el agente es racional y escogerá aquellas
estrategias que le reporten los mayores retornos, independientemente de lo que haga(n) el
(los) otro(s) jugador(es):
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23. c
sc -100,-3
Jugador I ac -101,-3
c -3,-3
En una siguiente ronda de eliminación, el Jugador I, reconociendo lo que el Jugador II habrá
de elegir, deberá escoger aquella estrategia que, dado lo que el conductor juega, le reporte el
mayor pago (o la menor pérdida) que es, justamente, transitar con cuidado. La solución del
Juego es la dupla , = −3, −3
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24. Una nota sobre Productos Cartesianos.
Considere de nuevo la función de pagos del i-ésimo jugador en juego finito típico:
:∏ ⟶ ℝ. Se ha expresado el conjunto de salida en esta función como:
A = × ⋯× × ⋯×
Para comprender este basta recordar (Sydsaeter & Hammond, 1996: 621) que si B y C son
dos conjuntos, su Producto Cartesiano se define B × C = D, E | D ∈ C, E ∈ B!, es decir, es
el conjunto de los pares ordenados D, E en los cuales D ∈ C y E ∈ B. Ejemplo: Suponga
B = E , E , EG ! y C = D , D , DG !. Entonces:
B×C = E , D , E , D , E , DG , E , D E , D , E , DG , EG , D EG , D , EG , DG !
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25. Referencias
[1.] Bauman., Y. (2009): Quantum Micro, Class Notes. Whitman College.
[2.] Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): Game Theory. Cambridge: MIT press.
[3.] Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Antoni Bosch.
[4.] Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory. N.Y.: Addison-Wesley.
[5.] Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (1999): Competencia Imperfecta I:
Equilibrio de Nash en Juegos Estaticos. Capítulo IV En: Monsalve, S. [ed.] (1999):
Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de
Colombia.
[6.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.
[7.] Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá:
Universidad Externado de Colombia.
[8.] Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.
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