Implementación de un Modelo de Equilibrio Generl Computable con Insumos Intermedios, -tecnologías de Leontief-, a partir de matrices de insumo producti

1. Un CGE Simple con Insumos Intermedios
Introducción al Modelaje de Equilibrio General Computable
basado en Tablas de Contabilidad Socioeconómica
Eco. J.C.Segura M.Sc.
Octubre, 2010

2. Preliminar
El modelo IO de Leontief ofrece una serie de ventajas para el
modelamiento multisectorial de las economías actuales. Sin
embargo, presenta también un conjunto de debilidades que
hacen deseable contar con un esquema más flexible. En
específico, en el modelo de Leontief:
a. La Frontera de Posibilidades de Producción siempre
responde a los requerimientos de la demanda final;
b. No hay posibilidades de producción;
c. Las demandas y ofertas de mercancías no responden a los
precios;
d. La demanda final es exógena.

3. Preliminar (continuación)
Consideraremos ahora un modelo de equilibrio general simple
basado en relaciones SAM con insumos intermedios. En
modelos anteriores, la producción estaba a cargo de un
conjunto de agentes que insumían únicamente factores fijos
como capital y trabajo; mediante la incorporación de materias
primas es posible ahora tener un modelo con mayor realismo
para las economías modernas si bien, por el momento, la
economía modelo sigue siendo cerrada, i.e., sin sector externo.

4. Preliminar (continuación)
• En la primera parte se presenta una interpretación de la
economía que además de incluir insumos intermedios, divide la
demanda final en dos componentes: el consumo final y la
inversión. El consumidor típico, no consume todo su ingreso sino,
únicamente su ingreso disponible, que es la diferencia entre el
ingreso proveniente de la venta de sus dotaciones en los
mercados dispuestos para tal efecto, y el ahorro, que se considera
una fracción fija, mps de aquél.
• En la segunda parte, se elabora el conjunto de relaciones
funcionales entre variables y parámetros que da lugar al modelo
de economía que tenemos por propósito mostrar. En el apéndice
se ofrece un modelo GAMS que computa las soluciones para tal
modelo.

5. La Economía Modelo
Se suponen tres cosas fundamentales:
• La economía es cerrada;
• Hay n productores tomadores de precios que reúnen
materias primas y factores fijos que maximizan beneficios
mediante el proceso fabril en el que se involucran;
• Hay un único consumidor representativo que consume y
ahorra;
• Hay un banco de inversión que resume el ahorro del hogar
representativo y lo distribuye entre los diferentes sectores
productivos.

6. La Economía Modelo (Cont.)
• Los datos de la economía modelo pueden resumirse en
una SAM típica en la que, por el momento, no hay
gobierno ni hay transacciones con el resto del mundo.
• Hay un número de firmas que producen combinando
factores primarios y materias primas que compran a
otras ramas productivas en la economía.
• Un único consumidor percibe la renta de los factores
productivos, que distribuye de acuerdo con una regla
fija, entre el consumo final y el ahorro.
• La SAM para este modelo aparece a continuación.

7. Matriz de Contabilidad Social para la Economía Modelo

8. Economía Modelo: Descripción
• Hay tres (3) sectores productivos: ሼܵ݁ܿ1, ܵ݁ܿ2, ܵ݁ܿ3ሽ
cuya producción final, ‫ݔ‬௝ reúne capital, trabajo e
insumos intermedios.
• El consumidor final alquila factores primarios y con
estas rentas financia su consumo y su ahorro.
• Un banco de inversión comunica los fondos prestables
del consumidor con las necesidades de inversión de las
firmas.
• No hay gobierno. No hay sector externo.

9. Los HogaresLos HogaresLos HogaresLos Hogares
La estructura de las decisiones del hogar representativo se
ilustra a continuación:

10. Los HogaresLos HogaresLos HogaresLos Hogares (cont.)
Se asume que el hogar maximiza una función de utilidad
linealmente homogénea de la clase Cobb-Douglas.
‫ݑ‬ = ෑ ܿ௜
௔ு೔
ଷ
௜ୀଵ
Con ∑ ܽ‫ܪ‬௜௜ = 1. La restricción de presupuesto es la habitual:
෍ ‫݀݌‬௜ ∙ ܿ௜ = ‫ܯ‬
௜
Donde ‫݀݌‬௜ es el precio del bien ݅ y ‫ܯ‬ es el ingreso disponible. El
consumidor ahorra una fracción ݉‫ݏ݌‬ del ingreso ܻ. El ahorro
nominal del hogar es, por consecuencia,
‫ݏ‬ℎ = ݉‫ݏ݌‬ ∙ ܻ ⟹ ܻ = ‫ܯ‬ + ‫ݏ‬ℎ

11. Los HogaresLos HogaresLos HogaresLos Hogares (cont.)
Para el problema en cuestión, la función de Lagrange es:
ℒ(ܿ௜; ߣ) = ෑ ܿ௜
௔ு೔
ଷ
௜ୀଵ
− ߣ ൤෍ ‫݀݌‬௜ ∙ ܿ௜ = ‫ܯ‬
௜
൨
Diferenciando esta función w.r.t. sus argumentos y resolviendo
el sistema de ecuaciones resultante, se encuentran las
demandas del consumidor por el ݅ = ݆-ésima mercancía:
‫݀݌‬௜ ∙ ܿ௜ = ܽ‫ܪ‬௜ ∙ ‫ܯ‬
Es decir, el gasto nominal en la mercancía i es una fracción fija
del presupuesto consumible.

12. Las FirmasLas FirmasLas FirmasLas Firmas
El comportamiento de las firmas se modela bajo un esquema de
producción multinivel.
En un primer nivel se tiene una función de producción que
agrega Valor Añadido e Insumos Intermedios;
En el segundo nivel se tienen dos funciones de producción: Una
que agrega en el Valor Añadido los factores de producción y
otra que agrega los insumos intermedios en un bien compuesto
de materias primas.
El esquema a continuación ilustra esta suposición.

13. Las FirmasLas FirmasLas FirmasLas Firmas (cont.)

14. Las FirmasLas FirmasLas FirmasLas Firmas (cont.)
Para la j-ésima rama el valor bruto de la producción es:
ܺ‫ܦ‬௝ = ݂൫‫ܭ‬௝‫ܮ‬௝; ‫݀ݔ‬ଵ௝, ‫݀ݔ‬ଶ௝, ‫݀ݔ‬ଷ௝൯
Donde ‫݀ݔ‬௜௝ es la demanda por la i-ésima mercancía intermedia
de la firma j. En consecuencia, en el primer nivel de la
producción se tendrá:
ܺ‫ܦ‬௝ = ݃௝൫ܸ‫ܣ‬௝, ‫ܱܫ‬௝൯

15. En el segundo nivel, se tendrán las funciones agregadoras:
ܸ‫ܣ‬௝ = ݃൫‫ܭ‬௝‫ܮ‬௝൯ y ‫ܱܫ‬௝ = ℎ൫‫݀ݔ‬ଵ௝, ‫݀ݔ‬ଶ௝, ‫݀ݔ‬ଷ௝൯
Para el caso de la función agregadora de primer nivel,
ܺ‫ܦ‬௝ = ݃௝൫ܸ‫ܣ‬௝, ‫ܱܫ‬௝൯ se ha elegido una forma Leontief típica, que
bajo asignación óptima de recursos implica:
ܸ‫ܣ‬௝ = ܾ௝ܺ‫ܦ‬௝ y ‫ܱܫ‬௝ = ൫1 − ܾ௝൯ܺ‫ܦ‬௝
ܾ௝ ∈ ሾ0,1ሿ es un coeficiente fijo que refleja el valor agregado
real como proporción del valor bruto de la producción.

16. Para el caso de la función ܸ‫ܣ‬௝ se ha elegido una función
linealmente homogénea de la clase CES en el capital y el
trabajo.
ܸ‫ܣ‬௝ = ቀߛ‫ܨ‬௝ ∙ ‫ܭ‬௝
ିఘೕ
+ ൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯ ∙ ‫ܮ‬௝
ିఘೕ
ቁ
ି
ଵ
ఘೕ
Combinando con ܸ‫ܣ‬௝ = ܾ௝ܺ‫ܦ‬௝ tendremos,
ܺ‫ܦ‬௝ = ܽ‫ܨ‬௝ ቀߛ‫ܨ‬௝ ∙ ‫ܭ‬௝
ିఘೕ
+ ൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯ ∙ ‫ܮ‬௝
ିఘೕ
ቁ
ି
ଵ
ఘೕ
Donde ܽ‫ܨ‬௝ = ܾ௝
ିଵ
es el parámetro de eficiencia (residuo de
Solow?), es un parámetro de distribución, y 1 ߩ௝⁄ es un
parámetro que se relaciona con la elasticidad de sustitución ߪ‫ܨ‬௝
mediante ߪ‫ܨ‬ = 1 1 + ߩ௝⁄ :

17. Para la función ‫ܱܫ‬௝ = ℎ൫‫݀ݔ‬ଵ௝, ‫݀ݔ‬ଶ௝, ‫݀ݔ‬ଷ௝൯ se ha elegido una
agregación de la clase Leontief, de acuerdo con la cual.
‫݀ݔ‬ଵ௝ = ݀ଵ௝‫ܱܫ‬௝, ‫݀ݔ‬ଶ௝ = ݀ଶ௝‫ܱܫ‬௝ y ‫݀ݔ‬ଷ௝ = ݀ଷ௝‫ܱܫ‬௝
Definamos:
݅‫݋‬ଵ௝ = ൫1 − ܾ௝൯݀ଵ௝, ݅‫݋‬ଶ௝ = ൫1 − ܾ௝൯݀ଶ௝, y ݅‫݋‬ଷ௝ = ൫1 − ܾ௝൯݀ଷ௝
Entonces, las demandas intermedias están dadas, por:
‫݀ݔ‬ଵ௝ = ݅‫݋‬ଵ௝ܺ‫ܦ‬௝, ‫݀ݔ‬ଶ௝ = ݅‫݋‬ଶ௝ܺ‫ܦ‬௝ ‫ݕ‬ ‫݀ݔ‬ଷ௝ = ݅‫݋‬ଷ௝ܺ‫ܦ‬௝

18. Las demandas óptimas por factores primarios surgen de la
solución del problema de minimización del coste del output, en
este caso, del valor bruto ܺ‫ܦ‬௝ sujeto a la función agregadora
CES propuesta:
ܺ‫ܦ‬௝ = ܽ‫ܨ‬௝ ቀߛ‫ܨ‬௝ ∙ ‫ܭ‬௝
ିఘೕ
+ ൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯ ∙ ‫ܮ‬௝
ିఘೕ
ቁ
ି
ଵ
ఘೕ
Las CPO son:
ܽ‫ܨ‬௝
ିఘೕ
∙ ߛ‫ܨ‬௝ ∙ ‫ܭ‬௝
ି൫ଵାఘೕ൯
ܺ‫ܦ‬௝
൫ଵାఘೕ൯
= ߣିଵ ∙ ܲ‫ܭ‬
ܽ‫ܨ‬௝
ିఘೕ
∙ ൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯ ∙ ‫ܮ‬௝
ି൫ଵାఘೕ൯
ܺ‫ܦ‬௝
൫ଵାఘೕ൯
= ߣିଵ ∙ ܲ‫ܮ‬

19. Dividiendo la primera ecuación por la segunda, se llega a la
condición de tangencia habitual:
ఊிೕ
൫ଵିఊிೕ൯
൬
௄ೕ
௅ೕ
൰
ି൫ଵାఘೕ൯
=
௉௄
௉௅
Puesto que se ha definido ߪ‫ܨ‬௝ = 1 1 + ߩ௝⁄ , la producción bruta
se puede expresar como:
ܺ‫ܦ‬௝ = ܽ‫ܨ‬௝ ൬ߛ‫ܨ‬௝ ∙ ‫ܭ‬௝
ି൫ଵିఙிೕ൯ ఙிೕൗ
+ ൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯ ∙ ‫ܮ‬௝
ି൫ଵିఙிೕ൯ ఙೕൗ
൰
ି
ଵ
൫ଵିఙிೕ൯ ఙிೕൗ
Así que:
ߛ‫ܨ‬௝
൫1 − ߛ‫ܨ‬௝൯
ቆ
‫ܭ‬௝
‫ܮ‬௝
ቇ
ିଵ ߪ‫ܨ‬݆⁄
=
ܲ‫ܭ‬
ܲ‫ܮ‬

20. Operando sobre esta condición, las demandas por capital y
trabajo son, respectivamente (ver Silberberg and Suen, 2003):
‫ܭ‬௝ = ߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
∙ ܲ‫ܭ‬ିߪ‫ܨ‬݆ ቀߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
∙ ܲ‫ܭ‬൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯
+ ቀ1 − ߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
ቁ ∙ ܲ‫ܮ‬൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯
ቁ
ߪ‫ܨ‬݆ ൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯⁄
∙ ൫ܺ‫ܦ‬௝ ܽ‫ܨ‬௝⁄ ൯
‫ܮ‬௝ = ቀ1 − ߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
ቁ ∙ ܲ‫ܮ‬ିߪ‫ܨ‬݆ ቀߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
∙ ܲ‫ܭ‬൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯
+ ቀ1 − ߛ‫ܨ‬௝
ߪ‫ܨ‬݆
ቁ ∙ ܲ‫ܮ‬൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯
ቁ
ߪ‫ܨ‬݆ ൫ଵିߪ‫ܨ‬݆൯⁄
∙ ൫ܺ‫ܦ‬௝ ܽ‫ܨ‬௝⁄ ൯