1) El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas. 2) La primera pregunta solicita identificar la ecuación de una superficie equidistante. 3) La segunda pregunta pide describir y graficar curvas de nivel de una función. 4) La tercera pregunta calcula un límite utilizando coordenadas polares. 5) La cuarta pregunta verifica que una función satisface la ecuación de Laplace. 6) La quinta pregunta calcula el error porcentual

1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
´
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
´
AREA DE MATEMATICAS
´
CALCULO VECTORIAL
PARCIAL II
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 15 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta selecciona-
o ´ a
da es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO
es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso
adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece
en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1] La ecuaci´n para la superficie formada por todos los puntos P equidistantes del punto (0, 0, 4) y del plano xy
o
es:
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
a) z = 4 + 4 +1 b) z = 8 + 8 −2 c) z = 8 + 8 +2 d) z = 4 + 4 −1
2. [1] Describa las curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = xy. Dibuje las curvas de nivel correspondientes a k =
o
±1, ±2, ±3, ±4.
3. [1] Utilice las coordenadas polares para hallar el limite
sin(x2 + y 2 )
l´
ım .
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
[Sugerencia: Tomar x = r cos θ y y = r sin θ, y observar que (x, y) −→ (0, 0) implica r −→ 0.]
1
4. [1] Verifique que la funci´n z = 2 (ey − e−y ) sin x satisface la ecuaci´n de Laplace zxx + zyy = 0
o o
2
5. [1] La potencia el´crica P esta dada por P = E donde E es el voltaje y R es la resistencia. La aproximaci´n del
e R o
dP
m´ximo error porcentual (Que es: P ) al calcular la potencia si se aplican 200 volts a una resistencia de 4000 ohms
a
y los posibles errores porcentuales al medir E y R son 2 % ( dE ) y 3 % ( dR ) respectivamente, es: [Sugerencia:El
E R
maximo error ocurre cuando dE y dR difieren en signos]:
a) 5 % b) 3 % c) 7 % d) 9 %

2. 1. Sea R(0, 0, 4), tomemos el punto P (x, y, z) en la superficie y R(x, y, 0) en el plano xy.
d(P, Q) = d(P, R)
x2 + y 2 + (z − 4)2 = (x − x)2 + (y − y)2 + z 2
x2 + y 2 + z 2 − 8z + 16 = z 2
8z = x2 + y 2 + 16
x2 y 2
z= + +2
8 8
k
2. Las curvas de nivel son hip´rbolas equil´teras de la forma k = xy, que pueden ser escritas como y = x .
e a
y
2
k = 4
k = 3
k = 2
k = 1
x
k = −1
−2 2 k
k
=
=
−2
−3
k = −4
−2
3.
sin(x2 + y 2 ) sin(r2 cos2 θ + r2 sin2 θ)
l´
ım = l´
ım
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2 r−→0 r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
sin(r2 )
= l´
ım
r−→0 r2
=1
1
4. Sea z = 2 (ey − e−y ) sin x. Encontremos zxx y zyy
1
zx = (ey − e−y ) cos x
2
1
zxx = − (ey − e−y ) sin x
2
1
zy = (ey + e−y ) sin x
2
1
zyy = (ey − e−y ) sin x
2
Tenemos entonces
1 1
zxx + zyy = − (ey − e−y ) sin x + (ey − e−y ) sin x = 0
2 2

3. E2 dE dR
5. Sea P = R , tenemos que E = 0,02 y R = −0,03. Entonces dP = PE dE + PR dR, as´
ı
dP PE dE PR dR
= +
P P P
2
2E − E 2 dR
dP R dE R
= E2
+ E2
P
R R
dP dE dR
=2 −
P E R
dP
= 2(0,02) − (−0,03)
P
dP
= 0,07
P
dP
= 7%
P