1) El documento presenta información sobre procesos estocásticos de medias móviles. 2) Explica las diferencias entre modelos AR y MA, señalando que los MA tienen memoria finita y siempre son estacionarios. 3) Describe los modelos MA(1) y MA(2), analizando sus características de estacionariedad, invertibilidad, momentos y correlograma.

1. ECONOMETRÍA
NOTAS DE CLASES1:
PROCESOS ESTOCÁSTICOS DE MEDIAS MÓVILES.
Prof.: Eva Cattaneo Tibis
Autor:
Nicolás Ajzenman
Introducción
En su forma genérica podemos expresar al modelo MA(p) de la siguiente forma:
Yt = ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 − ... − ϕ p ε t − p
Los modelos de Medias Móviles, al igual que los modelos Autorregresivos, constituyen
un tipo de estructura estocástica lineal que genera datos económicos. A diferencia de los
procesos AR (p), los valores que toma la variable dependiente a lo largo del tiempo no
se explican por los valores pasados que haya tomado esa variable, sino por los efectos
de los shocks aleatorios que se hayan producido en el momento t, t-1, t-2,…, t-p. Esto
implica que los modelos MA(p) se caracterizan por tener memoria finita,
contrariamente a lo que sucede con los modelos Autorregresivos.
Se destacan dos diferencias adicionales de los modelos del tipo AR(p) respecto de los
modelos MA(p). En primer lugar, estos últimos son siempre estacionarios, lo cual
deriva de la característica de memoria finita. En segundo término, se debe notar que un
proceso no estacionario no puede ser transformado algebraicamente en uno
estacionario ni viceversa. Por tal motivo, la única condición para que un AR sea
invertible en un MA, que por definición es estacionario, es que el AR original también
lo sea. En cambio, para invertir un MA en un AR es necesario imponer condiciones de
estacionariedad para el AR resultante.
Modelos AR(p) Modelos MA(p)
Memoria Infinita Finita
Estacionariedad | Raíces de la ecuación característica | < 1 Siempre
Si | Raíces de la ecuación característica | < 1
Invertibilidad Si es estacionario, entonces AR(P) → MA(∞)
entonces MA(p) → AR(∞)
Explicitadas las principales características de los procesos de Medias Móviles,
procederemos a continuar con el esquema analítico propuesto para el estudio de los
1
Estas notas fueron pensadas para ser utilizadas exclusivamente en el marco del curso de Econometría de
la profesora Eva Cattaneo Tibis, de la FCE-UBA y son una continuación de las notas de clase de procesos
autorregresivos. Críticas, correcciones, dudas, comentarios, etc. a: nicolas.ajzenman@gmail.com.

2. modelos Autorregresivos: invertibilidad, momentos (valor medio, FAS y FAC) y
correlograma.
Modelos MA(1) : Yt = ε t − ϕε t −1
El siguiente esquema simboliza la relación existente entre el ruido blanco (ε t ) y el valor
que toma la variable explicada (Yt ) en cada período.
Yt Yt +1 Yt + 2
−ϕ −ϕ −ϕ
εt ε t +1 ε t +2
Se advierte que la memoria de los procesos MA(1) es finita, ya que su efecto residual se
acaba al segundo período sucedido luego del shock aleatorio.
1. Estacionariedad:
Como se expresó en párrafos previos, los modelos MA(1) son siempre estacionarios,
por lo que no hay que analizar ninguna condición de estacionariedad.
2. Invertibilidad:
Para que un modelo del tipo MA(1) se invertible, es necesario que se cumplan ciertas
condiciones. Analizaremos la invertibilidad del proceso utilizando dos métodos
diferentes: (A) Por sustitución y (B) Por operador π t . De allí derivaremos las
condiciones necesarias y suficientes.
(A) Invertibilidad por sustitución
Partimos de la expresión original:
(1) Yt = ε t − ϕε t −1
Luego despejamos el error:
(2) ε t = Yt + ϕε t −1
Y le aplicamos el operador rezago:
(3) ε t −1 = Yt −1 + ϕε t − 2 y (4) ε t − 2 = Yt − 2 + ϕε t −3
Reemplazando (3) en (1):
(5) Yt = ε t − ϕYt −1 − ϕ 2ε t − 2
Reemplazando (4) en (5):
(6) Yt = ε t − ϕYt −1 − ϕ 2Yt − 2 − ϕ 3ε t −3
Si continuamos rezagando la ecuación (2) y realizando reemplazos sucesivos (N veces),
obtendremos la siguiente expresión:

3. Yt = ε t − ϕYt −1 − ϕ 2Yt − 2 − ϕ 3Yt −3 − ... − ϕ N ε t − N
AR(N-1)
Lo cual se puede expresar como:
Yt = AR( N − 1) − ϕ N ε t − N
Si | ϕ |< 1 ⇒ lim ϕ N ε t − N = 0 ⇒ Yt ≅ AR(∞)
N →∞
Conclusión: Un modelo del tipo MA(1) será invertible en un AR(∞) toda vez que se
cumpla la siguiente condición2:
| Raíces de la Ecuación característica | < 1
O, lo que es equivalente,
| Raíces del Polinomio característico | > 1
(B) Invertibilidad utilizando operador π ∞
Arribaremos a las mismas conclusiones siguiendo otro procedimiento para invertir el
modelo de Medias Móviles. Para ello, utilizaremos como herramienta un polinomio
operador de retardos π ( ∞ ) ( L) .
Partimos de:
Yt = ε t − ϕε t −1
Aplicamos el operador retardo:
Yt = (1 − ϕL)ε t
Despejamos ε t :
 1   1 
(1) ε t = 
 1 − ϕL Yt , denominamos
  1 − ϕL  = π L
 
   
Sabemos que se cumple la siguiente igualdad, siempre que | ϕ |< 1 3:
 1 
 1 − ϕ  = 1 + ϕ + ϕ + ... + ϕ
 2 n

 
Por lo que:
 1 
 1 − ϕL  = 1 + ϕL + (ϕL) + ... + (ϕL) ,
 2 n

 
Yt +1 = ε t +1 − ϕε t Yt = (1 − ϕL)ε t
2
Raíces de la Ec. Caract.: 0 = λλ − ϕλt t
Raíces del Pol. Caract.: 1 = ϕL
0 = λ (λ − ϕ ) →| λ = ϕ |< 1
t
1
| L = |> 1
ϕ
3

4.  1 
 1 − ϕL  = π L = 1 + π 1 L + π 2 L + ... + π n L
(2)  2 n

 
Reemplazando (2) en (1):
ε t = (1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln )Yt
Aplicando los operadores de retardo y distribuyendo Yt :
(3) ε t = Yt + π 1Yt −1 + π 2Yt −2 + ... + π nYt −n
Hallamos el valor de los parámetros π i que, hasta el momento, son desconocidos.
Partimos de (2):
1 = (1 − ϕL)(1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln ) ,
Distribuimos:
1 = 1 + (π 1 − ϕ ) L + (π 2 − ϕπ 1 ) L2 + (π 3 − ϕπ 2 ) L3 + ....
Considerando que 1 = 1:
(π 1 − ϕ ) = 0 ⇒ π 1 = ϕ
(π 2 − ϕπ 1 ) = 0 ⇒ π 2 = ϕ 2
π3 = ϕ3
.
.
.
Reemplazando lo hallado en (3):
ε t = Yt + ϕYt −1 + ϕ 2Yt −2 + ... + ϕ nYt −n
Despejando Yt :
Yt = −ϕYt −1 − ϕ 2Yt −2 − ... + ϕ nYt − n + ε t
La expresión encontrada representa un modelo AR(∞) estacionario. Nótese, que para
que sea válido el desarrollo, debe cumplirse la misma condición que se enunció en
el método utilizado previamente.
3. Momentos de un MA(1):
Partimos de la expresión original: Yt = ε t − ϕε t −1 , siendo ε t ≈ IID ( 0 ; σ ε
2
)
A. Media
Aplicamos esperanza a la expresión original:

5. E (Yt ) = E (ε t ) − ϕE (ε t −1 ) = 0
0 0
Entonces: E (Yt ) = 0
B. FAS
Partimos de la definición de función de FAS:
γ k = E[Yt Yt −k ] = E[(ε t − ϕε t −1 )(ε t −k − ϕε t −k −1 )]
Si k = 0:
γ 0 = E[(ε t − ϕε t −1 )(ε t − ϕε t −1 )]
γ 0 = E (ε t 2 ) − 2 E (ϕε t ε t −1 )) + E ( ϕε t )
2
σε2 0 ϕ 2σ ε 2
γ 0 = σ ε 2 (1 + ϕ 2 )
Si k = 1:
γ 1 = E[(ε t − ϕε t −1 )(ε t −1 − ϕε t −2 )]
γ 0 = E (ε t ε t −1 ) − E (ϕε t − 2ε t ) − E (ϕε t −1ε t −1 ) + E (ϕε t −1ε t −2 )
0 0 ϕσ ε 2 0
γ 1 = −ϕσ ε 2
Si k = 2:
γ 2 = E[(ε t − ϕε t −1 )(ε t −2 − ϕε t −3 )]
γ 0 = E (ε t ε t −2 ) − E (ϕε t −3ε t ) − E (ϕε t −1ε t − 2 ) + E (ϕε t −1ε t −3 )
0 0 0 0
γ2 = 0
Nota: La esperanza del producto de dos errores en diferentes momentos del tiempo
es igual a 0 porque los errores son estadísticamente independientes.
En general, γ k = 0 ∀ k > p , lo que refleja la memoria finita de los procesos MA(p).
γ 0 = σ ε 2 (1 + ϕ 2 )
γ 1 = −ϕσ ε 2
γ k>p = 0
C. FAC

6. γk
Partimos de la definición de función de FAC: ρ k =
γ0
Entonces:
σ ε (1 + ϕ 2 )
2
ρ0 = 2 =1
σ ε (1 + ϕ 2 )
− ϕσ ε −ϕ
2
ρ1 = =
σ ε (1 + ϕ )
2 2
(1 + ϕ 2 )
ρk>p = 0
4. Correlograma de un MA(1):
Si ϕ < 0
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si ϕ > 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k

7. Nuevamente, queda claro que la memoria de los shocks aleatorios del momento t es
finita, y su duración se extiende hasta el período p. Una vez superado el momento p, se
pierde todo registro del shock inicial.
Modelos MA(1) con constante: Yt = ε t − ϕε t −1 + δ
A continuación observaremos la caracterización del modelo MA(1) cuando incluye
constante.
En este caso, comenzamos estudiando sus momentos, particularmente la media:
A. Media
E (Yt ) = E (ε t ) − ϕE (ε t −1 ) + E (δ ) = δ , ya que la media de los shocks es igual a 0 en
cualquier momento del tiempo.
B. FAS
γ k = E[(Yt − E (Yt )][Yt − k − E (Yt − k )] = E[(Yt − δ ][Yt −k − δ ]
Yt − δ = ε t − ϕε t −1 + δ − δ
Yt − δ = ε t − ϕε t −1
Yt − k − δ = ε t −k − ϕε t − k −1 + δ − δ
Yt − k − δ = ε t −k − ϕε t − k −1
Entonces, debemos calcular γ k = E[(ε t − ϕε t −1 )(ε t −k − ϕε t −k −1 )] .
Nótese que la expresión hallada es idéntica a la FAS del modelo sin constante. En
consecuencia, las conclusiones son exactamente iguales, es decir que tanto la FAS,
como la FAC y el correlograma coinciden en el modelo MA(1) con y sin constante.
Modelos MA(2) : Yt = ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2 ε t −2
El siguiente esquema simboliza la relación existente entre el ruido blanco (ε t ) y el valor
que toma la variable explicada (Yt ) en cada período.
Yt Yt +1 Yt + 2 Yt +3
− ϕ1 − ϕ1 − ϕ1
εt ε t +1 ε t +2 ε t +3
− ϕ2
− ϕ2
Al igual que en el modelo de Medias Móviles de orden 1, se advierte que la memoria
de los shocks aleatorios es finita, sólo que su influencia dura un período más. A
continuación, procederemos a desarrollar la caracterización del MA(2) a través del
estudio de su estacionariedad, invertibilidad, momentos y correlograma.

8. 1. Estacionariedad:
Como se expresó en párrafos previos, los modelos MA(2) son siempre estacionarios,
por lo que no hay que analizar ninguna condición de estacionariedad.
2. Invertibilidad:
De manera similar a lo que sucede en MA(1), para que un modelo del tipo MA(2) sea
invertible, es necesario que se cumplan ciertas condiciones. Analizaremos la
invertibilidad del proceso utilizando el método de operador π t . De allí derivaremos las
condiciones necesarias y suficientes.
Partimos de:
Yt = ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2 ε t −2
Aplicamos el operador retardo:
Yt = (1 − ϕ1 L − ϕ 2 L2 )ε t
Despejamos ε t :
 1   1 
(1) ε t = 
 1 − ϕ L − ϕ L2 Yt , denominamos
 
 1 − ϕ L − ϕ L2  =πL

 1 2   1 2 
Sabemos que se cumple la siguiente igualdad, siempre que | 1 − ϕ1 L − ϕ 2 L2 |> 1 4:
 1 
(2) 
 1 − ϕ L − ϕ L2  = π L = 1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln

 1 2 
Reemplazando (2) en (1):
ε t = (1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln )Yt
Aplicando los operadores de retardo y distribuyendo Yt :
(3) ε t = Yt + π 1Yt −1 + π 2Yt −2 + ... + π nYt −n
Hallamos el valor de los parámetros π i que, hasta el momento, son desconocidos. Parto
de (2):
 1 
 1 − ϕ L − ϕ L2  = π L = 1 + π 1 L + π 2 L + ... + π n L
 2 n

 1 2 
1 = (1 − ϕ1 L − ϕ 2 L2 )(1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln )
Distribuimos el paréntesis
4
Esta condición es equivalente a la que se utilizó en el modelo MA(1) y se refiere al módulo de las raíces
de la ecuación característica. Sin esta condición el desarrollo no es válido.

9. 1 = 1 + π 1 L + π 2 L2 + ... + π n Ln − ϕ1 Lπ 1 L − ϕ1 Lπ 2 L2 − ϕ1 Lπ n Ln − ϕ 2 L2 − ϕ 2 L2π 1 L − ϕ 2 L2π n Ln
Agrupamos
1 = 1 + (π 1 − ϕ1 ) L + (π 2 − ϕ1π 1 − ϕ 2 ) L2 + .... + (...) Ln
Considerando que 1 = 1:
(π 1 − ϕ1 ) = 0 ⇒ π 1 = ϕ1
(π 2 − ϕ1π 1 − ϕ 2 ) = 0 ⇒ π 2 = ϕ1π 1 +ϕ 2 = ϕ1 +ϕ 2
2 2
.
.
.
Reemplazando lo hallado en (3):
ε t = Yt + ϕ1Yt −1 + (ϕ1 2 + ϕ 2 )Yt −2 + ...
Despejando Yt :
Yt = ε t − ϕ1Yt −1 − (ϕ1 + ϕ 2 )Yt −2 − ..
2
AR(∞)
La expresión encontrada representa un modelo AR(∞) estacionario. Nótese, que para
que sea válido el desarrollo, debe cumplirse la condición de raíces características,
en módulo, menores a uno (o bien, módulo de las raíces del polinomio
característico mayores a uno).
Conclusión: Un modelo del tipo MA(2) será invertible en un AR(∞) estacionario toda
vez que se cumpla la siguiente condición:
| Raíces de la Ecuación característica | < 1
O, lo que es equivalente,
| Raíces del Polinomio característico | > 1
Partimos de la expresión original:
3. Momentos de un MA(2):
Partimos de la expresión original: Yt = ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2 ε t −2 , siendo
ε t ≈ IID ( 0 ; σ ε
2
)
A. Media
Aplicamos esperanza a la expresión original:
E (Yt ) = E (ε t ) − ϕ1 E (ε t −1 ) − ϕ 2 E (ε t −2 ) = 0

10. 0 0 0
Entonces: E (Yt ) = 0
Nótese que, al igual que en MA(1), si añado una constante al modelo, la esperanza
será igual a ella.
B. FAS
Partimos de la definición de función de FAS:
γ k = E[Yt Yt − k ] = E[(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 )(ε t −k − ϕ1ε t −1− k − ϕ 2ε t − 2− k )]
Si k = 0:
γ 0 = E[(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t −2 )(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 )]
γ 0 = E (ε t 2 ) − 2ϕ1 E (ε t ε t −1 ) − 2ϕ 2 E (ε t ε t − 2 ) + ϕ12 E (ε t2−1 ) + 2ϕ1ϕ 2 E (ε t −1ε t −2 ) + ϕ 2 E (ε t2−2 )
2
σε2 0 0 ϕ12σ ε 2 0 ϕ2σ ε 2
2
γ 0 = σ ε 2 (1 + ϕ1 2 + ϕ 2 2 )
Si k = 1:
γ 1 = E[(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 )(ε t −1 − ϕ1ε t − 2 − ϕ 2 ε t −3 )]
γ 1 = E (ε t ε t −1 ) − ϕ1 E (ε t ε t − 2 ) − ϕ 2 E (ε t ε t −3 ) − ϕ1 E (ε t2−1 ) + (ϕ12 − ϕ 2 ) E (ε t −1ε t − 2 )
0 0 0 ϕ1σ ε 2 0
+ ϕ1ϕ 2 E (ε t −1ε t −3 ) + ϕ1ϕ 2 E (ε t2− 2 ) + ϕ 2 E (ε t − 2ε t −3 )
2
0 ϕ1ϕ 2σ ε 2 0
γ 1 = ϕ1σ ε 2 (−1 + ϕ 2 )
Si k = 2:
γ 1 = E[(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 )(ε t − 2 − ϕ1ε t −3 − ϕ 2ε t − 4 )]
γ 1 = E (ε t ε t −2 ) − ϕ1 E (ε t ε t −3 ) − ϕ 2 E (ε t ε t − 4 ) − ϕ1 E (ε t −1ε t − 2 ) + ϕ12 E (ε t −1ε t −3 ) + ϕ 2ϕ1 E (ε t −1ε t −4 )
0 0 0 0 0 0
− ϕ 2 E (ε t2−2 ) + ϕ1ϕ 2 E (ε t −2 ε t −3 ) + ϕ 2 E (ε t − 2ε t −4 )
2
− ϕ 2σ ε
2
0 0
γ 2 = −ϕ 2σ ε 2

11. Si k = 3:
γ 1 = E[(ε t − ϕ1ε t −1 − ϕ 2ε t − 2 )(ε t −3 − ϕ1ε t −4 − ϕ 2ε t −5 )]
γ 1 = E (ε t ε t −3 ) − ϕ1 E (ε t ε t −4 ) − ϕ 2 E (ε t ε t −5 ) − ϕ1 E (ε t −1ε t −3 ) + ϕ12 E (ε t −1ε t − 4 ) + ϕ 2ϕ1 E (ε t −1ε t −5 )
0 0 0 0 0 0
− ϕ 2 E (ε t −2 ε t −3 ) + ϕ1ϕ 2 E (ε t − 2ε t −4 ) + ϕ 2 E (ε t − 2ε t −5 )
2
0 0 0
γ3 = 0
En general, γ k = 0 ∀ k > p , lo que refleja la memoria finita de los procesos MA(p).
γ 0 =σ ε
2
(1 + ϕ 1 + ϕ 2 )
2 2
γ 1 = ϕ 1σ ε
2
(−1 + ϕ 2 )
γ 2 = − ϕ 2σ ε
2
γ k> p = 0
C. FAC
γk
Partimos de la definición de función de FAC: ρ k =
γ0
Entonces:
σ 2 (1 + ϕ1 2 + ϕ 2 )
ρ0 = ε 2 =1
σ ε (1 + ϕ1 2 + ϕ 2 )
ϕ1σ ε 2 (−1 + ϕ 2 ) ϕ (−1 + ϕ )
ρ1 = = 1 2 2
σ ε (1 + ϕ1 + ϕ 2 ) (1 + ϕ1 + ϕ 2 )
2 2
− ϕ 2σ ε − ϕ2
2
ρ2 = =
σ ε (1 + ϕ1 + ϕ 2 )
2 2
(1 + ϕ1 + ϕ 2 )
2
ρk> p = 0

12. 4. Correlograma de un MA(1)5:
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k
Nuevamente, al igual que sucedía en el caso del MA(1), queda claro que la memoria de
los shocks aleatorios del momento t tienen una memoria finita, cuya duración se
extiende hasta el período p. Una vez superado el momento p, se pierde todo registro del
shock inicial.
5
La forma (positivos/negativos) dependerá del valor de los parámetros. Lo cierto es que al período tres,
los valores de la FAC se igualan a 0.