1. El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas. Las preguntas abarcan temas como superficies equidistantes, curvas de nivel, límites, ecuaciones de Laplace y error en el cálculo de potencia eléctrica. 2. El examen instruye a los estudiantes a leer todo el examen antes de comenzar y les da un tiempo límite de 1 hora y 15 minutos. Cada pregunta tiene un valor específico dependiendo de si la respuesta y proceso son correctos o incorrectos

1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
´
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
´
AREA DE MATEMATICAS
´
CALCULO VECTORIAL
PARCIAL II
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 15 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta selecciona-
o ´ a
da es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO
es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso
adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece
en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1] La ecuaci´n para la superficie formada por todos los puntos P equidistantes del punto (0, 0, 4) y del plano xy
o
es:
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
a) z = 4 + 4 +1 b) z = 8 + 8 −2 c) z = 8 + 8 +2 d) z = 4 + 4 −1
2. [1] Describa las curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = xy. Dibuje las curvas de nivel correspondientes a k =
o
±1, ±2, ±3, ±4.
3. [1] Utilice las coordenadas polares para hallar el limite
sin(x2 + y 2 )
l´
ım .
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
[Sugerencia: Tomar x = r cos θ y y = r sin θ, y observar que (x, y) −→ (0, 0) implica r −→ 0.]
1
4. [1] Verifique que la funci´n z = 2 (ey − e−y ) sin x satisface la ecuaci´n de Laplace zxx + zyy = 0
o o
2
5. [1] La potencia el´crica P esta dada por P = E donde E es el voltaje y R es la resistencia. La aproximaci´n del
e R o
dP
m´ximo error porcentual (Que es: P ) al calcular la potencia si se aplican 200 volts a una resistencia de 4000 ohms
a
y los posibles errores porcentuales al medir E y R son 2 % ( dE ) y 3 % ( dR ) respectivamente, es: [Sugerencia:El
E R
maximo error ocurre cuando dE y dR difieren en signos]:
a) 5 % b) 3 % c) 7 % d) 9 %

2. 1. Sea R(0, 0, 4), tomemos el punto P (x, y, z) en la superficie y R(x, y, 0) en el plano xy.
d(P, Q) = d(P, R)
x2 + y 2 + (z − 4)2 = (x − x)2 + (y − y)2 + z 2
x2 + y 2 + z 2 − 8z + 16 = z 2
8z = x2 + y 2 + 16
x2 y 2
z= + +2
8 8
k
2. Las curvas de nivel son hip´rbolas equil´teras de la forma k = xy, que pueden ser escritas como y = x .
e a
y
2
k = 4
k = 3
k = 2
k = 1
x
k = −1
−2 2 k
k
=
=
−2
−3
k = −4
−2
3.
sin(x2 + y 2 ) sin(r2 cos2 θ + r2 sin2 θ)
l´
ım = l´
ım
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2 r−→0 r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
sin(r2 )
= l´
ım
r−→0 r2
=1
1
4. Sea z = 2 (ey − e−y ) sin x. Encontremos zxx y zyy
1
zx = (ey − e−y ) cos x
2
1
zxx = − (ey − e−y ) sin x
2
1
zy = (ey + e−y ) sin x
2
1
zyy = (ey − e−y ) sin x
2
Tenemos entonces
1 1
zxx + zyy = − (ey − e−y ) sin x + (ey − e−y ) sin x = 0
2 2

3. E2 dE dR
5. Sea P = R , tenemos que E = 0,02 y R = −0,03. Entonces dP = PE dE + PR dR, as´
ı
dP PE dE PR dR
= +
P P P
2
2E − E 2 dR
dP R dE R
= E2
+ E2
P
R R
dP dE dR
=2 −
P E R
dP
= 2(0,02) − (−0,03)
P
dP
= 0,07
P
dP
= 7%
P