1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Por ejemplo:
CEPUNS 
- -10º
10º - 
Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico” Semana Nº 1
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
A
Lado Inicial
Definición
0 
0 
Lado Terminal
B
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está definido:
tanto no hay ángulos negativos.
 Están limitados
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características ( 0º  águlo Trigonomét rico  360º )
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
Por ejemplo:
10º - 
- -10º

1
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Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º  (GradoSexagesimal )
360
1º  60`( MinutoSexagesimal )
1` 60``( SegundoSexagesimal )
1º  3600``( SegunoSexagesimal )
0
Debemos tener en cuenta:  b c 
a º b ´ ´´ a º b ´c ´´  a 
c  
 60 3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g  (GradoCentesimal )
400
1g  100 m (min utoCentesimal )
1m  100 s ( SegundoCentesimal )
1g  10000s ( segundoCentesimal )
g
Debemos tener en cuenta: g g b c
a b mc s  a  b m  c s  a 
 
 
 100 10000 
Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
La medida de un ángulo en Aproximaciones de 
radianes viene expresado por:   3,1416
 22
  
r 7
  3 2
Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
2
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RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
  a
360º 400 g
2rad
Sº Cg Rrad
  c
180º 200 g
rad
Sº C g 20Rrad
  k
9º 10 g rad
También una equivalencia de esta última relación es:
 S  9k ; C  10k ; R  k
20
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
OBSERVACIÓN
Sexagesimales Centesimales
RELACIÓN DE MINUTOS: # de grados S C
. M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES # de minutos 60 S 100 C
27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES # de segundo 360 S 10000 C
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
. a  b .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
PROBLEMAS RESUELTOS Número Número
Segundos  Minutos = 15700
1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal Sexg. Cent.
que la diferencia de su número de segundos
3600 S  100 C = 15700
sexagesimales y de su número de minutos 39(9n)  (10n) = 157
centesimales sea 15700. 314n = 157
A)  B) 2 C)  D) 40 E)  1 
n R 
2 40 10 2 40
RESOLUCIÓN

  rad RPTA.: C
Piden:  Rrad S = 9n
40
Sabemos C = 10n
2. Sabiendo que “S” y “R” son los números de
R=  n grados sexagesimales y radianes de un
Condición: 20
ángulo, donde:
3
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²S²  R² A)52g B) 30º C)45g D)45º E) 135º
 179R
181
RESOLUCIÓN
Halle “R”.
A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2
=?
RESOLUCIÓN
10g
S = 180 K 10  ²  10  40     45  9  º
g
C = 200 K 9º
R=K ²  10 + 40 =   5
² 180k    k  ²
2
  179(k) ( + 5)² + 15 =   5
181 ( + 5)² =   20
²k² 180  ²  ²k²
 179  k    20  0   = 20 (mínimo)
181
²k² 181 179  
   179k 
181
k = 1
1   45  9  º
1
k R      1 RPTA.: A
 
3. Halle “C” a partir de la ecuación:
6 (45 9)º = (9  45)º
S C7 20 8

9 10


R  4 S5  C6  R 7 ,   = (180  45)º
= 135º
  = 45º RPTA.: D
Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un
mismo ángulo. 5. Se inventan 2 sistemas de medición
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 angular “x” e “y”, tal que: 25x < >
RESOLUCIÓN 50g , además 80y < > 90º.
Determinar la relación de conversión entre
S = 180 K estos 2 sistemas x/y.
Sabemos C = 200 K =?
R=K A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
8 8 8 8 8
Condición: RESOLUCIÓN
S 5 C 6 20
9
S 
10
C 

R R 7  4 S5  C6  R 7   1x = 2g
20 K 20 K 20 K 8y = 9º
º
1x 2g  9 
   10  g
5 6 7
20k (S +C R ) = 4 (S + C R ) 5 6 7 8y 9º  
k= 1
5 1x 1

 C  40 RPTA.: C 8y 5
4. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “” toma su 5x  8y  Re lación de Sistemas
mínimo valor. RPTA.: B
B A x y x 5
  
5 8 y 8
 45  9  º 10  ²  10  40 
g
o
C D
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
PROBLEMA DE CLASE 5) Calcular 100a  9b
1) De la figura halla el máximo valor que
toma "  "
A) 1 B) -1 C) 2 D) 0 E) 3
6) Calcular la medida de un ángulo en radianes, si
se cumple la siguiente condición:
A) 180° B) 160° C) 150° D) 135° E) 120°
S 5 C 5 5R 5

36 40


 2 S 4  C 4  R4  
A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 2
rad rad rad rad rad
2) Del gráfico, calcular la relación que cumplen 5 5 10 4 9
los ángulos:  ,  ,
7) Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el
valor simplificado de:
C S 3 C S
P 4  8
C S C S
A) 3 B) -3 C)5 D) -5 E) 2
8) Siendo “S” el número de grados sexagesimales
de un determinado ángulo que cumple:
A)       720       720
B) 18 4
 S  3 , Calcular la medida de dicho
C)       720 D)       360 4
S
E)       360 ángulo en radianes.
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 5
rad rad rad rad E) rad
20 15 15 25 18
3) Si se cumple :
 S 2  C 2  R2 
2 2 2
    
7,29º  A g B m ; calcular 10 A 
S R C
  1    1    1   9) Si:
12R S  C  R 2  S  C  R   S  C  R   S  C  R   
donde S, C y R son las medidas usuales del mismo B
A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 12
ángulo; entonces R es igual a:
A)  B)  C)  D)  E) 5
rad rad rad rad rad 10) Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar
120 60 40 30 120
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III) 10
C de la igualdad: SC = CS
A) 10 B)9 C) 1 D) 10/9 E)9/12
4) En la siguiente figura, la medida del ángulo
AOB, en radianes, es: 11) La hora de entrada de Juan a su centro de
trabajo es a las 14:00 horas, y pierde el empleo
por llegar 14 minutos tarde. Calcule la medida
del ángulo que forman en ese momento, las
manecillas del reloj de pared.
A)  B) 17º C) 16º D) 10º + 6º E) 
rad rad  1º
9 10
A)  B)  C)  D)  E) 
6 36 18 12 22 12) Siendo a, b, c, d (en ese orden) los números
(2º EXAMEN CEPUNS 2010 III) que representan la medida de un mismo ángulo
5
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en grados sexagesimales, grados además el ángulo mide 7 segundos
centesimales, minutos sexagesimales y centesimales, calcule el valor de x.
minutos centesimales que cumplen: A) 0,01 B)0,02 C)0,003 D) 0,04 E) 0,2
b  a  10  c  d 
1 ; calcular 47a.
10 20) Calcule la medida de un ángulo en radianes,
A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120 sabiendo que el doble del número de segundos
sexagesimales menos 6 veces el número de
13) La medida de un ángulo “” está dado por S º minutos centesimales de dicho ángulo es igual
C ’ y la de un ángulo ““ está dado por Sg a 29400.
C m . Si la diferencia del número de minutos A)  B)  C)  D)  E) 
Centesimales de  y el número de minutos 40 30 20 10 5
Sexagesimales de  es 360. Calcular “ “
(S y C son los números convencionales) 21) Los ángulos internos de un polígono convexo,
A) 17º21’24’’ B)17º24’11’’ C)17º24’21’’ A, B, C, D y E, cumplen la siguiente relación:
D) 18º11’24’’ E) 18º24’11’’ A B C D E . Calcule la diferencia en
   
2 3 4 5 6
14) Si se cumple que: Ag = Bº, calcular el valor de: radianes de la suma de los dos ángulos
9A º 6B ' mayores menos la suma de los dos ángulos
E 
6B g  9A m menores.
A) 549 B) 849 C) 9 D) 1010 E) 1010 A) 7 B) 9 C) 11 D) 2 E) 3
1010 1010 10 849 549 10 10 10
15) Siendo S , C y R los números convencionales 22) Calcule el número de radianes (R) de un
para un mismo ángulo; Determinar la medida ángulo que verifique
de dicho ángulo, en radianes, si se cumple que: 24  1 2R
  1  2, R  0
4S +2C + R = 561,57 ; Considerando que 2R   2 
 = 3,14.
A)  B)  C)  D)  E) 3 Indique la respuesta en el sistema sexagesimal
6 4 3 2 4 A)  180  B)  270  C)  360 
 º  º  º
        
16) Determinar el valor de la siguiente expresión en
D)    E)   
grados sexagesimales    
 180 º  270 º
     
 rad  90º 50 g  rad  45º 25 g  rad  22º30'12 g 50 m  ...
2 4
A) 360 B) 470 C) 550 D) 630 E) 720 23) Si:   1a5 b3 c3 , es el suplemento del
0 / //
complemento de 25,3925º; entonces el valor
de “a + b + c”, es:
17) El número de grados sexagesimales de un
cierto ángulo y los 2/3 del número de grados A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E) 7
centesimales de otro ángulo están en relación
de 9 a 10; además dichos ángulos son 24) Siendo S , C y R los números convencionales
suplementarios. Calcular la medida del mayor para un mismo ángulo; se cumple:
ángulo.
SC  180CR  200SR 5
 S
A) 100º B)102º C)104º D)108º E)111º SCR 3
Calcular el número de grados sexagesimales.
18) Un cierto ángulo mide a minutos sexagesimales A) 9 B)10 C) 18 D) 24 E) 36
y a su vez mide b minutos centesimales.
Calcular el valor de: a 23 25) Siendo S , C y R los números convencionales
F  para un mismo ángulo; se cumple:
b 50
A) 0 B)1 C)2 D) 3 E) 4 C(C - 1) + S(S - 1) = 2SC
Calcular la medida del ángulo en grados
19) Si al número de minutos centesimales de un sexagesimales.
ángulo se le suma y también se le resta un A) 141º B)151º C)161º D)167º E)171º
cierto número x, se obtienen dos cantidades
proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si
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PROBLEMA DE REPASO 7. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema Rangel
R
En el cual 1 (grado Rangel) equivale a las ¾
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: partes del ángulo de una vuelta.
7
3R  rad
Simplifique: M  2
 18º
A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1

-120º 8. De la siguiente expresión, calcular “n, si:
1º 8º 27 º   n 3 º
 420
 
1g  2g  3g    n g
A)  +  = 240º B)  +  = 120º A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21
C) -  = 240º D)  -  = 120º
E)  -  = 240º 9. Si los números de grados centesimales (C) y
sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo, se
2. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es bisectriz relacionan del siguiente modo:

del AOB. 1
B C  S  x  ; x  R  .
x
¿Cuál es la medida del menor ángulo en radianes
P que verifica la expresión anterior?
 

A) rad B)  rad C) rad D)  rad
E)  rad
 2 4 5 10 20
C O A 10. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
A) 2 -  = 360º B) 2 -  = 360º ángulo, donde :
C) 2 +  = 180º D) 2 +  = 360º x x
E) 2 +  = 360º S  x x  2; C  x x  4 . Calcular R.x
Si: xº y' y º x'  AB º CD ' ;   
3. x  y  90 , A) rad B) rad C)  rad D) rad E)  rad
Calcular A + B + C + D 10 5 12 9 3
A) 10 B) 18 C) 15 D) 12 E) 13
11. Los números que representan la medida de un
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
4. Siendo  rad  xºy'. Hallar y x son números pares consecutivos; calcular el
16 complemento de dicho ángulo expresado en
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 radianes.
A) 2 B) 2 C) 3 D)  E) 
5. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si rad rad rad rad rad
5 3 8 8 6
cumple la condición:
12. Expresar “  ” en radianes:
C S 1
 2S C 
 9  10  1 1
  1  2  3  ...  360
 
A) rad B)  rad C)  rad D) 1 E) 0 A) 359 B) 360 C) 361 D) 362 E) 720
2 10
13. Calcular el mayor valor de un ángulo expresado
6. Calcular “n”. Si: en grados sexagesimales tal que cumpla la
R siguiente condición:
R 
C  S S  ... S  3800
 C  S C   C   2 3 5
"2n" Sumandos
  R
a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
A)1 B) 10 C) 30 D) 40 E) 50
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
14. Calcular: 19. Si el suplemento del complemento de un
C S
8 C  S 
determinado ángulo ““ es 117.3725º, entonces
M 3     / //
S  C S  C 19  C  S  Si : = 2a º 2b 2c , calcular a + b + c
, Siendo R, S y C lo convencional para un mismo A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
ángulo.
a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2 20. El máximo valor angular de un ángulo interno de
un triángulo es  x 2  28xy  y 2  .calcular la

 

15. En la figura, expresar  en términos de  .  x2  y2 
medida circular del mayor ángulo en radianes
que forman las bisectrices interiores de los otros
dos ángulos del triángulo.
A) 11 B) 13 C) 17 D) 19 E) 13
24 24 24 24 24
21. En un ángulo tiene la siguiente medida:
xg = 3’ +6’ +9’ +12’ +15’ +… ; calcular el menor
A)   360   B)   720   valor entero de “x”
C)   360   D)     720 A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9
E)     1080
22. Determine la medida de un ángulo en radianes,
16. Del gráfico, calcular “x”. tales que los números que expresan sus medidas
cumplen la relación:
S C CR 3
 
19 200   4
A)  B)  C)  D)  E) 
42 35 28 21 14
23. Siendo S , C y R los números convencionales
para un mismo ángulo; se cumple:
2
R
   , Calcular la medida del
SR CR
A) 4 B)5 C)6 D)7 E)3 
180 200   
ángulo en radianes.
17. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
A)  B)  C)  D) 3 E) 2
ángulo, calcular M  C  S , si: 3 2 2
R
24. Siendo S y C los números convencionales para
C 2c  10 2C  10 2C  10 2C  10 un mismo ángulo; se cumple:
A)  rad B) 10 C)  D) 20 E) 5  S g 3 , calcular el valor de:
rad rad rad rad rad   Cº
5  10   6 3 8
F = 129 ( 2S – C )
18. En la figura calcular el valor que toma “x” A) 1200 B) 1500 C) 2400
D) 3000 E) 4800
25. Siendo S y C los números convencionales para
un mismo ángulo; se cumple:
Cº =1,9º + Sg, calcular el ángulo en radianes.
A)  B)  C)  D)  E) 
4 8 10 20 50
A) 8° B)10° C) 15° D) 20° E) 25°
8
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