1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS 180   
R 
360  
  R.T.()

RT() 
Ciclo 2013-III  90   
R    Co  R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220  
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con reducción al primer cuadrante.
 Aplicar técnicas empleadas en la comprobación de diversas identidades.
 Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360°, menores a 360º
y negativos.
Def inición: Por ejemplo; calculemos:
Es el procedim iento m ediante el cual se determ inan 3
las razones trigonom étricas de un ángulo que no es Sen120 º  Sen (90 º 30 )  Cos 30 º 
 
 
()
2
a gudo, en función de otro que sí lo sea. *
R.T.( ) R.T.( ) 1
Cos120 º  Cos(180 º  60º )  Cos60º  
 
 
()
2
*
: no es agudo : sí es agudo
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de Tanº  Tan (270 º 30º )   Cot 30º  3
u n ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un  240
 
á ngulo del primer cuadrante se llama:”reducción al * ()
pr imer cuadrante”
También reducir al prim er cuadrante un ángulo Csc 330 º  Csc(360 º 30 º )  Csc 30 º  2
 
 
significa encontrar los valores de las RT de cualquier * ()
á ngulo en forma directa mediante reglas prácticas.
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
C asos: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. () = R.T. () ; donde  360º
I. Ángulos cuyas medidas están en
q
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descom pone com o la suma o resta de un ángulo Residuo
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo Por ejemplo, calculemos:
qu e sea agudo; para luego aplicar :
3
Sen 2580 º  Sen 60 º  * Tan 3285º = Tan
180    2
R    R.T.()
RT()  360   2580º 360º 3285º 360º
 90    2520º 7 3240º 9
R    Co  R.T.()
220   * 60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca
el ángulo original " α "
1
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2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
* Tan 3285º = Tan45º = 1 Sen (45 º )   Sen 45 º  
* 2
3285º 360º Cos (60 º )  Cos 60 º  1
* 2
3240º 9 Tan (120 º )   Tan 120 º   Tan (90 º 30 º )  (Cot 30 º )  3
 
 
45º ()
*
IV. Ángulos relacionados:
Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) =  Csc30º =  2
 
() Senx  Seny
1200º 360º 
Si : x  y  180º Cosx  Cosy
1080º 3 Tanx   Tany
120º 
1.
Si el ángulo estuv iese expresado en radianes, se
pr ocede de la siguiente manera: Senx   Seny
 Cos 1 1
Sen133   Sen 1   1 
* Cos127  Si : x  y  360º Cosx  Cosy

2 2 3 3 2
Tanx   Tany
133 4 127 6 
132 33 126 221
.
* 1 1
Por ejemplo, calculemos:
Cos127   Cos 1  1 C  Cos   Cos 2  Cos 3   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
* 7 7 7 7 7 7
3 3 2
127 6 En esta expresión note que:
126 21   6     Cos   Cos 6 
1 7 7 7 7
  2   5     Cos 2   Cos 5 
R.T. a   ; a  2b 7 7 7 7
Es decir, si fuese:  b 
Se divide:
3   4     Cos 3   Cos 4 
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a " C   Cos 6   Cos 5   Cos 4   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
Tan 1315   Tan 3  Sen 1345  quedaría C = 0
7 7 7 7 7 7
* Reduciendo,
4 4 3
1315 8 1345 BLEMAS
RO RESUELTOS
51 164
35 1. Reducir:
* 3 sen(180º ) tg 270º   sec 90º  
Q  
cos(90º ) ctg 360º   csc 180º  
III. Ángulos de medida negativa: Se A) 0 B) -3 C)-1
procede de la siguiente manera: D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx  Q  sen  ctg    csc 
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx sen  ctg csc 
Por ejemplo, calculemos:  Q   1   1   1  1
2
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3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
RPTA.: C * 47 
  47 
sen  x   sen   x   sen  22  3  x 
 2   2 

 2 

2. Si      cos x  cos x   cos x
W     
3 cos x
Calcule:
sen  15    cos 92      W= 1 RPTA.: B
P
 927    1683  
sec     csc   
 2   2 
4. Siendo “  ” y “  ” las medidas de dos
A)  3 B)  1 C) 1 D) 3/16 E) 5
ángulos complementarios:
16 16 16 16
cos 2  4  tg 3  2 
RESOLUCIÓN Q 
cos 4   6  ctg 2  3 
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
sen  15      sen 15        sen    sen 
cos 92     cos  RESOLUCIÓN
 1683   *     90
csc       sec 
 2 
 927  
sec      csc  * cos 2   4   cos 2   2  2   cos 180  2   cos 2
 2 
Reemplazando:
P
 sen    cos   
sen  cos  * cos 4  6    cos 4  4  2   cos 360º 2    cos2 
 csc    sen   1
sen  cos 
sen2  cos2  * tg 3  2   tg 2   2     tg 180º    tg 
reemplazando:
 * ctg 2   3   ctg 2  2     ctg 180    ctg 

3
    
P  sen2    cos2      cos 2 tg   cos 2
 3  3 Q  Q 
cos 2 ctg  cos 180  2
2
 3   1
2
3 tg 90   
     
 2   2 16 ctg 
 
RPTA.: A
 Q
 cos 2 ctg 
 2
RPTA.: D
 cos 2 ctg 
3. Reduce:
cos  x   cos 24  x   cos 53   x  5. Reducir:
W

sen  x 
47  H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

7 7 7
 2 
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0 A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
* cos  x   cos x H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 67

7 7
* cos 24   x   cos 2  12  x   cos x
* cos 53   x   cos 52     x   cos    x    cos x
3
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4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
 3  3  
H  cos  cos  cos     cos   
7 7  7 
  7 3) Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
 37 
 3 3  tg 99  x . cos   x . sec90  x 
H  cos  cos  cos  cos R   2 
7 7 7 7  91
ctg 

 x .sen 40  x 
 2 
H= 0 RPTA.: A
a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
6. Si: ctg20  a
4) Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
Calcule: csc 200º sen110º
E = sen100º.cos190º?
E
cos 290º csc 430º
a) a b) 2a c) a/2 d) a 2 e) -a 2
A) a B) -a C)
2
a D)
2
a E) 1 (Segundo examen sumativo 2011 – II)
RESOLUCIÓN 5) ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
( )
csc 200 sen110
()
 que:
E   ()  2a  3b   6  3a  2b 
cos290 csc 430  Tg   Ctg 0
() 
 8   4 
csc 20 sen70
E
sen20 csc 70 a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
cos2 20º 6) Cuál es la relación que existe entre x e y.
E
sen2 20º  40  x   15  4 x  2 y   89 
Tg   Ctg    Cos 
 cos 20 
2
 10   10   2 
E   
 sen20 
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
2
E   ctg 20º
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k


E  a2 RPTA.: D 7) Sabiendo que:
 37   77 
Ksen    ctg     cos(sen)
 2   2 
ROBLEMA DE CLASE
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en
términos de K es: (k > 0)
1) Si      , simplifique:
Sen  2   Cos2     1 ( k 2  1) ( k 2  1)
F
Cos  2   Cos  2  90º   1 A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
A) - 1 B) - ½ C) 0 D) ½ E) 1
8) En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:
A B C A B C
 sen(A  B  C)  cos2      sen2    
 2 2 2 2 2 2
2) Si SenA +2Cos2A = 0, Calcule el valor de F , Entonces el valor del ángulo D es:
Si: Ctg 270º  A.Sec 180º  A.Tg 90º  A
F
Cxc 180º  A.Cos180º  A.Sen360º  A A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
A) –8 B) -5 C) 5/4 D) 0 E) 8
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5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
9) Analice la veracidad de las proposiciones 
xy
siendo , n  Z
14) Si 2 entonces al simplificar:
i. Sen(n   )  Sen
3sec x.sec y cos(8x  9y)
ii.  2   3 5   5  F 
Tg   Tg    Ctg   tgx  tgy sen(9x  8y)
 3   2 6   6 
Se obtiene:
iii. Sec(781  Cos )  Sec(Cos )
iv.  1 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
Ctg  3n    Ctg  
 x  x
a) FFFF b) FFVF c) FVVV 15) Si a y c son suplementarios, además a y b
d) FVVF e) VFVF son complementarios. Reducir:
4 cos(2a  3c)Csc(4b  3c) Sen(a  b  c)
M 
tg (a  b  c) Sen(a  b  c)
10) Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
Sen 6a  7b .Tg 13b  14a 
M
Cos 4b  5a .Tg 10a  11b 
a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1 16)Calcular el valor de
143
Tg
6 
11) Calcular el valor de F, Si: E  Cos(2k  1) ; k  Z
109 253 2
Sen  Sec
 11   23  3 6
Tg    Ctg  
F  12   12  a) 2 b) 2 c) 2 3 d)  2 3 e) 2 3
 29   31  
Tg    Ctg   7 7 21 21 15
 12   12 
PROBLEMA DE REPASO
A) 3 B) 2 C) 3 D) 3 E) 2 3

2 2 2
12) Calcular: 1. Hallar s ot
R  Cos

 Cos
2
 Cos
3
 . . .  Cos
29 y
 30 30
30  30

29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 x
13 (x;-5)
13) En el triángulo ABC, Simplifique la expresión
F, si:
C   A B
SenA.CscB  C   Sen .Sec  a) 2/3 b)-3/2 c) -2/3
F 2  2 
 A d)3/2 e) -2
Cos B  C .Sen 
2
2. Calcular el valor de:
A) SenB  C  B) CosB  C  C) 0 D) 1 E) 2 os os n
os ( )
5
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6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
y
6. Si:
∑ ( ) ∑ ( )
x Calcule:
∑ * +
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
a) n b) n c)-1
d) n e)1
7. Si ABCD es un cuadrado, calcular:
3. Si se cumple:
* + [ ]
2/3
[ ] * +
Calcular: B C
a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3
d) 1 e) 1/3
M
4. Si : s ; s
A D
D t rmin r l v lor d ‘‘m’’ qu h qu
sean suplementarios. a)-2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
a) 1/2 b) -1/2 c) -1/4
d) 0 e) ¼ 8. Hallar: Ctg si ‘‘ ’’ s ntro
5. Si: es centro, hallar:
n| | | ot |
1
y
2
1 3
2
O
3
x
O1 a)31/11 b)11/31 c) -31/11
d) -11/31 e) -1/3
a) -2 b) 2 c) 0
d) 10/3 e) -10/3
6
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