Este documento presenta una introducción a los ángulos trigonométricos. Define ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, y describe las características de cada uno. Luego, explica tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para practicar la conversión entre sistemas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Por ejemplo:
CEPUNS 
- -10º
10º - 
Ciclo 2012-III
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico” Semana Nº 1
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
A
Lado Inicial
Definición
0 
0 
Lado Terminal
B
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está definido:
tanto no hay ángulos negativos.
 Están limitados
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características ( 0º  águlo Trigonomét rico  360 º )
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
Por ejemplo:
10º - 
- -10º

1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º  (GradoSexagesimal )
360
1º  60`( MinutoSexagesimal )
1` 60``( SegundoSexagesimal )
1º  3600 ``( SegunoSexagesimal )
0
Debemos tener en cuenta:  b c 
a º b ´ ´´ a ºb ´c ´´  a 
c  
 60 3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g  (GradoCentesimal )
400
1g  100 m (min utoCentesimal )
1m  100 s ( SegundoCentesimal )
1g  10000 s ( segundoCentesimal )
g
Debemos tener en cuenta: g g b c
a b mc s  a  b m  c s  a 
 
 
 100 10000 
Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
La medida de un ángulo en Aproximaciones de 
radianes viene expresado por:   3,1416
 22
   
r 7
  3 2
Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
  a
360 º 400 g
2rad
Sº Cg Rrad
  c
180 º 200 g
rad
Sº C g 20 Rrad
  k
9º 10 g rad
También una equivalencia de esta última relación es:
 S  9k ; C  10k ; R  k
20
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
 S  C ; S  180 R ; C  200
R
9 10  
OBSERVACIÓN
Sexagesimales Centesimales
RELACIÓN DE MINUTOS: # de grados S C
. M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES # de minutos 60 S 100 C
27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES # de segundo 360 S 10000 C
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
. a  b .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
PROBLEMA DE CLASE 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
x


y
-120º
a) x + y = 180º b) x + y = 360º
c) x - y = 360º d) x - y = 180º
a)  +  = 240º b)  +  = 120º e) x - y = 270º
c) -  = 240º d)  -  = 120º
e)  -  = 240º
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es

bisectriz del AOB. 8. Calcular la medida de un ángulo en radianes,
si cumple la condición:
B C S 1
 2S C 
 9  10  1 1
 
P
a) rad b)  rad c)  rad d) 1 e) 0
 2 10

9. Calcular “n”. Si:
C O A
a) 2 -  = 360º b) 2 -  = 360º R
c) 2 +  = 180º d) 2 +  = 360º
C S  C  S C ...  C   3800
    S  
 S

e) 2 +  = 360º "2n " Sumandos
a)1 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50
4. De la figura halla el máximo valor que
toma "  "  A
10. Si: 7,29º  A g B m ; calcular 10  
B
A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 12
11. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema
Rangel En el cual 1R (grado Rangel) equivale
a las 3 partes del ángulo de una vuelta.
4
7
R
3  rad
a) 180° b) 160° c) 150° d) 135° e) 120° Simplifique: M  2
18 º
5. Del grafico, calcular la relación que cumplen A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1
los ángulos:  ,  , 
12. De la siguiente expresión, calcular “n, si:
1º8º27 º   n 3 º  
 420
1 g  2g  3g    n g
A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21
13. Calcular 100 a  9b
a)       720  b)       720 
c)       720  d)       360 
e)       360 
xº y' yº x'  ABº CD'
a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) 3
6. Si: ;
x  y  90 , calcular A + B + C + D 14. Calcular la medida de un ángulo en radianes,
a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13 si se cumple la siguiente condición:
 2S 4  C 4  R 4 
S 5 C 5 5R 5
 
7. Siendo  rad  xºy'. Hallar y x 36 40 
16
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 2 21. Siendo R, S y C lo convencional para un
rad rad rad rad rad
5 5 10 4 9 mismo ángulo, donde :
x x
15. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el S  x x  2; C  x x  4 . Calcular R.x
valor simplificado de:
 
C S 3 C S a) rad b) rad c)  rad d)  rad e)  rad
P 4  8 10 5 12 9 3
C S C S
a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2 22. Calcular el valor de "" expresado en
radianes:
16. Calcular el valor de "" expresado en   180   90  45  2230´1115´...
radianes: a) 2π rad b) 6 rad c) 3 rad
  200 g  100 g  50 g  25 g  12 g 50 m  ... d) 4 rad e) 5 rad
a) 2π rad b) 6 rad c) 3 rad
d) 4 rad e) 5 rad 23. Los números que representan la medida de
un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal son números pares consecutivos;
17. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar
calcular el complemento de dicho ángulo
10
C de la igualdad: SC = CS expresado en radianes.
a) 10 b)9 c) 1 d) 10/9 e)9/12 a) 2 b) 2 c) 3 d)  e) 
rad rad rad rad rad
5 3 8 8 6
18. A partir del grafico, Calcular el máximo valor
positivo del ángulo " " 24. Expresar “  ” en radianes:
  1  2  3  ...  360 
a) 359 b) 360 c) 361 d) 362 e) 720
25. En la figura ABC es un triángulo equilátero. Si
AD y AE son trisectrices del ángulo A, calcular
“x – y” expresado en radianes.
a)  rad b)  rad c)  rad d)  rad e)  rad
9 8 6 3 12
19. Si los números de grados centesimales (C) y
sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo,
se relacionan del siguiente modo:
1
C  S  x  ; x  R  .
x a)     
rad b) rad c) rad d) rad e) rad
¿Cuál es la medida del menor ángulo en 3 4 6 9 12
radianes que verifica la expresión anterior? 26. Calcular el mayor valor de un ángulo
a)  rad b)  rad c)  rad d)  e)  rad expresado en grados sexagesimales tal que
2 4 5
rad
20 cumpla la siguiente condición:
10
R 
20. Siendo “S” el número de grados 2 3 5
sexagesimales de un determinado ángulo que  R
a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
cumple: 18  4 S  3 , Calcular la medida
4
S 27. Calcular:
de dicho ángulo en radianes.
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 rad e) 5 C S 8 C  S 
rad rad rad M 3    
S  C S  C 19  C  S 
rad
20 15 15 25 18
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
, Siendo R, S y C lo convencional para un 
mismo ángulo. 32. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB ,
a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2 calcular "x/y".
A
28. En la figura, expresar  en términos de . 3x - 2y
P
2x - 3y
O B
a) 1 b)- 1 c) ½ d) - ½ e) - 2
33. Del gráfico señale lo correcto, si: OQ es
a)   360    b)   720    
c)   360       720 
d) bisectriz del AOB.
e)     1080 A
Q
B
29. Del grafico, calcular “x”. 

O C
a) 2 -  = 90º b)2 -  = 180º
c) 2 +  = 90º d) 2 +  = -90º
e) 2 +  = 45º
a) 4 b)5 c)6 d)7 e)3 34. En la figura calcular el valor que toma “x”
30. Del gráfico, señale lo correcto:
x a) 8° b)10° c) 15° d) 20° e) 25°
35. Del gráfico, señale lo correcto:
y
a) x - y = 180º b) x + y = 180º
c)x - y = 300º d) x + y = 300º
e) x - y = 450º
31. Siendo R, S y C lo convencional para un x
mismo ángulo, calcular M  C  S , si: y
R
C 2c  10  2C  10  2C  10  2C  10  a) x + y = 300º b) x - y = 300º
c)  rad d) 20 rad e) 5 rad
c)x + y = 270º d) x - y = 270º
a)  rad b) 10
rad e) x - y = 180º
5  10  
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