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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA                                                        Por ejemplo:



                    CEPUNS                         
                                                                              -                            -10º
                                                                                                                      10º - 


                                          Ciclo 2012-III
                                     TRIGONOMETRÍA
                                “Ángulo Trigonométrico”                                    Semana Nº 1

Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.

                                                               Ángulo

                                Geometría Plana                                    Trigonometría Plana

                   Abertura determinada por dos rayos a            Abertura que se genera por el movimiento
                   partir de un mismo punto.                       de rotación de un rayo alrededor de su
                                                           A       origen, desde una posición inicial (lado
                                                                   inicial) hasta una posición final (lado final)

                                                                                                             A
                                                                                    Lado Inicial
   Definición

                           0          
                                                                        0                    
                                                                               Lado Terminal
                                                           B
                                                                                                                 B
                         Son estáticos                                      Son móviles
                         No tienen sentido de giro, por lo                  Su sentido de giro está definido:
                          tanto no hay ángulos negativos.
                          Están limitados
                                                                             Los       ángulos positivos tienen
                                                                                   sentido antihorario ().
 Características      ( 0º  águlo Trigonomét rico  360 º )
                                                                             Los       ángulos negativos                  tienen
                                                                                   sentido horario ().
                                                                             Su magnitud no tiene límites.


Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
   sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:

                                                               Por ejemplo:


                                                                                         10º - 
                                             -                                -10º
        




                                                       1
Centro Preuniversitario de la UNS                 S-01                                    Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                          Trigonometría.
Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:

Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:


                                                                               1v
                                                                        1º       (GradoSexagesimal )
                                                                              360
                                                                        1º  60`( MinutoSexagesimal )
                                                                        1` 60``( SegundoSexagesimal )
                                                                        1º  3600 ``( SegunoSexagesimal )

                                                                               0
Debemos tener en cuenta:                                    b         c   
                           a º b ´ ´´ a ºb ´c ´´  a 
                                 c                                        
                                                            60       3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´

Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
                                                                             1v
                                                                      1g       (GradoCentesimal )
                                                                            400
                                                                      1g  100 m (min utoCentesimal )
                                                                      1m  100 s ( SegundoCentesimal )
                                                                      1g  10000 s ( segundoCentesimal )


                                                                                             g
Debemos tener en cuenta:    g          g                   b                         c
                           a b mc s  a  b m  c s  a 
                                                                                        
                                                                                        
                                                                       100        10000 
Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s

Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
                                            La medida de un ángulo en                              Aproximaciones de 
                                            radianes viene expresado por:                            3,1416
                                                                                                     22
                                                                                                  
                                                 r                                                     7
                                                                                                     3 2



Observación:     1 rad = 57º17´45``                               1rad > 1º > 1g

                                                         2
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Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                         Trigonometría.
 RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
 Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
 siguiente conclusión:


                                                                              Sº    Cg     Rrad
                                                                                               a
                                                                             360 º 400 g
                                                                                           2rad

                                                                              Sº    Cg     Rrad
                                                                                              c
                                                                             180 º 200 g
                                                                                           rad

                                                                             Sº C g    20 Rrad
                                                                                             k
                                                                             9º 10 g    rad

 También una equivalencia de esta última relación es:
                            S  9k ; C  10k ; R  k
                                                           20

                            S  C       ; S  180 R ; C    200
                                                                   R
                             9 10                                 
                            S  C       ; S  180 R ; C    200
                                                                   R
                             9 10                                 


     OBSERVACIÓN
                                                                                               Sexagesimales      Centesimales
     RELACIÓN DE MINUTOS:                                                 # de grados                S                 C
          . M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES                            # de minutos             60 S              100 C
            27 50     m: # MINUTOS CENTESIMALES                           # de segundo             360 S            10000 C
     RELACIÓN DE SEGUNDOS:
         . a  b .
                        a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
           81 250       b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

 PROBLEMA DE CLASE                                              2.     De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:

1.    De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:

                                                                                           x

                             
                   
                                                                                 y
                           -120º

                                                                       a) x + y = 180º            b)     x + y = 360º
                                                                       c) x - y = 360º            d) x - y = 180º
      a)  +  = 240º              b)     +  = 120º                  e) x - y = 270º
      c) -  = 240º               d)  -  = 120º
      e)  -  = 240º


                                                           3
Centro Preuniversitario de la UNS                       S-01                                    Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                        Trigonometría.
                                                                               A) 1          B) 2       C) 3       D) 4        E) 5
3.    Del gráfico señale lo correcto, si: OP es
                     
      bisectriz del AOB.                                                  8.   Calcular la medida de un ángulo en radianes,
                                                                               si cumple la condición:
                                     B                                                         C S 1
                                                                                2S C      
                                                                                9  10  1     1
                                                                                          
                                                       P
                                                                               a) rad  b)  rad c)  rad                      d) 1 e) 0
                                                                                                  2              10
                                           

                                                                          9.   Calcular “n”. Si:
      C                    O                               A
      a) 2 -  = 360º              b) 2 -  = 360º                                                                R
      c) 2 +  = 180º              d) 2 +  = 360º
                                                                               C S  C  S C ...  C   3800
                                                                                   S  
                                                                                                          S
                                                                                                                    
      e) 2 +  = 360º                                                                 "2n " Sumandos
                                                                               a)1       b) 10          c) 30      d) 40   e) 50
4.    De la figura halla el máximo valor que
      toma "  "                                                                                                      A
                                                                          10. Si:     7,29º  A g B m ; calcular 10  
                                                                                                                     B
                                                                               A) 10         B) 8       C) 6       D) 5        E) 12

                                                                          11. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema
                                                                               Rangel En el cual       1R   (grado Rangel) equivale
                                                                               a las 3 partes del ángulo de una vuelta.
                                                                                     4
                                                                                                      7
                                                                                                   R
                                                                                                       3         rad
      a) 180° b) 160° c) 150° d) 135°                  e) 120°                 Simplifique: M              2
                                                                                                           18 º
5.    Del grafico, calcular la relación que cumplen                            A) 10        B) 9        C) ½            D) 5          E) 1
      los ángulos:  ,  , 
                                                                          12. De la siguiente expresión, calcular “n, si:
                                                                                      1º8º27 º   n 3 º        
                                                                                                               420
                                                                                      1 g  2g  3g    n g
                                                                              A) 25        B) 27 C) 18 D) 23            E) 21

                                                                          13. Calcular 100 a  9b



 a)       720          b)         720 
 c)         720       d)         360 
 e)         360 

              xº y' yº x'  ABº CD'
                                                                               a) 1      b) -1          c) 2       d) 0        e) 3
6.    Si:                                                      ;
       x  y  90 , calcular A + B + C + D                                14. Calcular la medida de un ángulo en radianes,
      a) 10   b) 18   c) 15        d) 12       e) 13                          si se cumple la siguiente condición:

                                                                                             2S 4  C 4  R 4 
                                                                               S 5 C 5 5R 5
                                                                                     
7.    Siendo  rad  xºy'. Hallar              y x                            36 40    
              16

                                                                      4
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Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                                 Trigonometría.
    a) 4            b) 2             c) 3            d) 5           e) 2             21. Siendo R, S y C lo convencional para un
               rad               rad              rad           rad             rad
           5                 5               10             4               9                 mismo ángulo, donde :
                                                                                                      x            x
15. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el                                               S  x x  2; C  x x  4 . Calcular R.x
    valor simplificado de:
                                                                                                       
                             C S 3 C S                                                    a)    rad b) rad c)  rad d)  rad e)  rad
               P 4                     8                                                    10       5       12        9         3
                             C S   C S
    a) 3         b) -3                 c)5          d) -5       e) 2                      22. Calcular el valor de        ""     expresado en
                                                                                              radianes:
16. Calcular el valor de                      ""         expresado en                            180   90  45  2230´1115´...
    radianes:                                                                                   a) 2π rad        b) 6 rad c) 3 rad
   200 g  100 g  50 g  25 g  12 g 50 m  ...                                              d) 4 rad               e) 5 rad
   a) 2π rad      b) 6 rad   c) 3 rad
     d) 4 rad                                            e) 5       rad                 23. Los números que representan la medida de
                                                                                              un ángulo en los sistemas sexagesimal y
                                                                                              centesimal son números pares consecutivos;
17. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar
                                                                                              calcular el complemento de dicho ángulo
     10
          C de la igualdad: SC = CS                                                           expresado en radianes.
    a) 10            b)9 c) 1 d) 10/9 e)9/12                                                   a) 2     b) 2     c) 3     d)      e) 
                                                                                                     rad       rad       rad      rad      rad
                                                                                                   5         3         8        8        6
18. A partir del grafico, Calcular el máximo valor
    positivo del ángulo                " "                                               24. Expresar “  ” en radianes:
                                                                                                       1  2  3  ...  360 
                                                                                                a) 359     b) 360 c) 361    d) 362 e) 720

                                                                                          25.    En la figura ABC es un triángulo equilátero. Si
                                                                                                AD y AE son trisectrices del ángulo A, calcular
                                                                                                “x – y” expresado en radianes.


    a)  rad b)  rad c)  rad d)  rad                                e)  rad
       9        8        6        3                                      12

19. Si los números de grados centesimales (C) y
    sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo,
    se relacionan del siguiente modo:
                1
     C  S  x  ; x  R  .
                x                                                                               a)                            
                                                                                                       rad b) rad c) rad d) rad e) rad
    ¿Cuál es la medida del menor ángulo en                                                           3       4      6      9      12
       radianes que verifica la expresión anterior?                                       26. Calcular el mayor valor de un ángulo
    a)  rad             b)  rad c)  rad d)       e)  rad                                 expresado en grados sexagesimales tal que
       2                    4        5
                                                 rad
                                                        20                                    cumpla      la    siguiente     condición:
                                              10
                                                                                                      R         
20. Siendo   “S”    el  número    de    grados                                                  2         3        5
    sexagesimales de un determinado ángulo que                                                                 R
                                                                                                 a) 495°     b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
    cumple: 18  4 S  3 , Calcular la medida
                     4
                         S                                                                27. Calcular:
    de dicho ángulo en radianes.
    a) 9     b) 8     c) 7     d) 6 rad e) 5                                                      C       S    8 C  S 
                    rad       rad                 rad                                     M 3                             
                                                                                                     S  C   S  C 19  C  S 
          rad
       20        15        15        25        18


                                                                                      5
Centro Preuniversitario de la UNS                                               S-01                                     Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                   Trigonometría.
      , Siendo R, S y C lo convencional para un                                                                                 
      mismo ángulo.                                                  32. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB ,
       a) 3      b) -3 c)5    d) -5       e) 2                           calcular "x/y".
                                                                                  A

28. En la figura, expresar             en términos de   .                              3x - 2y
                                                                                                              P




                                                                                                    2x - 3y
                                                                                        O                            B
                                                                          a) 1        b)- 1           c) ½ d) - ½ e) - 2

                                                                     33. Del gráfico señale lo correcto, si:               OQ es
      a)     360          b)     720                                           
      c)     360       720 
                               d)                                         bisectriz del AOB.
      e)        1080                                                          A
                                                                                           Q
                                                                                                          B
29.    Del grafico, calcular “x”.                                                               

                                                                                         


                                                                                  O                                 C
                                                                         a) 2 -  = 90º            b)2 -  = 180º
                                                                         c) 2 +  = 90º            d) 2 +  = -90º
                                                                         e) 2 +  = 45º
       a) 4    b)5       c)6        d)7      e)3                     34. En la figura calcular el valor que toma “x”

30. Del gráfico, señale lo correcto:




                     x                                                    a) 8°       b)10°          c) 15° d) 20° e) 25°

                                                                     35. Del gráfico, señale lo correcto:
                     y
      a) x - y = 180º                   b)    x + y = 180º
      c)x - y = 300º                    d) x + y = 300º
      e) x - y = 450º

31. Siendo R, S y C lo convencional para un                                                 x

      mismo ángulo, calcular M  C  S , si:                                                          y
                                             R

 C        2c  10  2C  10  2C  10  2C  10                    a) x + y = 300º                     b) x - y = 300º
                         c)  rad d) 20 rad e) 5 rad
                                                                          c)x + y = 270º                      d) x - y = 270º
      a)  rad b) 10
                     rad                                                  e) x - y = 180º
         5                 10                



                                                                 6
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Ángulo trigonométrico: definición, sistemas de medición y equivalencias

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Por ejemplo: CEPUNS  - -10º 10º -  Ciclo 2012-III TRIGONOMETRÍA “Ángulo Trigonométrico” Semana Nº 1 Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de ángulo geométrico y observar las características de ambos. Ángulo Geometría Plana Trigonometría Plana Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su A origen, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final) A Lado Inicial Definición 0  0  Lado Terminal B B  Son estáticos  Son móviles  No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está definido: tanto no hay ángulos negativos.  Están limitados  Los ángulos positivos tienen sentido antihorario (). Características ( 0º  águlo Trigonomét rico  360 º )  Los ángulos negativos tienen sentido horario ().  Su magnitud no tiene límites. Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así: Por ejemplo: 10º -  - -10º  1 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. Sistemas de medición angular: Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos: Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia. Equivalencias: 1v 1º  (GradoSexagesimal ) 360 1º  60`( MinutoSexagesimal ) 1` 60``( SegundoSexagesimal ) 1º  3600 ``( SegunoSexagesimal ) 0 Debemos tener en cuenta:  b c  a º b ´ ´´ a ºb ´c ´´  a  c    60 3600  Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´ Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia. Equivalencias: 1v 1g  (GradoCentesimal ) 400 1g  100 m (min utoCentesimal ) 1m  100 s ( SegundoCentesimal ) 1g  10000 s ( segundoCentesimal ) g Debemos tener en cuenta: g g b c a b mc s  a  b m  c s  a       100 10000  Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.) Equivalencias: La medida de un ángulo en Aproximaciones de  radianes viene expresado por:   3,1416  22     r 7   3 2 Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la siguiente conclusión: Sº Cg Rrad   a 360 º 400 g 2rad Sº Cg Rrad   c 180 º 200 g rad Sº C g 20 Rrad   k 9º 10 g rad También una equivalencia de esta última relación es:  S  9k ; C  10k ; R  k 20  S  C ; S  180 R ; C  200 R 9 10    S  C ; S  180 R ; C  200 R 9 10   OBSERVACIÓN Sexagesimales Centesimales RELACIÓN DE MINUTOS: # de grados S C . M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES # de minutos 60 S 100 C 27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES # de segundo 360 S 10000 C RELACIÓN DE SEGUNDOS: . a  b . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES 81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALES PROBLEMA DE CLASE 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: x   y -120º a) x + y = 180º b) x + y = 360º c) x - y = 360º d) x - y = 180º a)  +  = 240º b)  +  = 120º e) x - y = 270º c) -  = 240º d)  -  = 120º e)  -  = 240º 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es  bisectriz del AOB. 8. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si cumple la condición: B C S 1  2S C   9  10  1 1   P a) rad b)  rad c)  rad d) 1 e) 0  2 10  9. Calcular “n”. Si: C O A a) 2 -  = 360º b) 2 -  = 360º R c) 2 +  = 180º d) 2 +  = 360º C S  C  S C ...  C   3800     S    S  e) 2 +  = 360º "2n " Sumandos a)1 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50 4. De la figura halla el máximo valor que toma "  "  A 10. Si: 7,29º  A g B m ; calcular 10   B A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 12 11. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema Rangel En el cual 1R (grado Rangel) equivale a las 3 partes del ángulo de una vuelta. 4 7 R 3  rad a) 180° b) 160° c) 150° d) 135° e) 120° Simplifique: M  2 18 º 5. Del grafico, calcular la relación que cumplen A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1 los ángulos:  ,  ,  12. De la siguiente expresión, calcular “n, si: 1º8º27 º   n 3 º    420 1 g  2g  3g    n g A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21 13. Calcular 100 a  9b a)       720  b)       720  c)       720  d)       360  e)       360  xº y' yº x'  ABº CD' a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) 3 6. Si: ; x  y  90 , calcular A + B + C + D 14. Calcular la medida de un ángulo en radianes, a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13 si se cumple la siguiente condición:  2S 4  C 4  R 4  S 5 C 5 5R 5   7. Siendo  rad  xºy'. Hallar y x 36 40  16 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
  • 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 2 21. Siendo R, S y C lo convencional para un rad rad rad rad rad 5 5 10 4 9 mismo ángulo, donde : x x 15. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el S  x x  2; C  x x  4 . Calcular R.x valor simplificado de:   C S 3 C S a) rad b) rad c)  rad d)  rad e)  rad P 4  8 10 5 12 9 3 C S C S a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2 22. Calcular el valor de "" expresado en radianes: 16. Calcular el valor de "" expresado en   180   90  45  2230´1115´... radianes: a) 2π rad b) 6 rad c) 3 rad   200 g  100 g  50 g  25 g  12 g 50 m  ... d) 4 rad e) 5 rad a) 2π rad b) 6 rad c) 3 rad d) 4 rad e) 5 rad 23. Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos; 17. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar calcular el complemento de dicho ángulo 10 C de la igualdad: SC = CS expresado en radianes. a) 10 b)9 c) 1 d) 10/9 e)9/12 a) 2 b) 2 c) 3 d)  e)  rad rad rad rad rad 5 3 8 8 6 18. A partir del grafico, Calcular el máximo valor positivo del ángulo " " 24. Expresar “  ” en radianes:   1  2  3  ...  360  a) 359 b) 360 c) 361 d) 362 e) 720 25. En la figura ABC es un triángulo equilátero. Si AD y AE son trisectrices del ángulo A, calcular “x – y” expresado en radianes. a)  rad b)  rad c)  rad d)  rad e)  rad 9 8 6 3 12 19. Si los números de grados centesimales (C) y sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo, se relacionan del siguiente modo: 1 C  S  x  ; x  R  . x a)      rad b) rad c) rad d) rad e) rad ¿Cuál es la medida del menor ángulo en 3 4 6 9 12 radianes que verifica la expresión anterior? 26. Calcular el mayor valor de un ángulo a)  rad b)  rad c)  rad d)  e)  rad expresado en grados sexagesimales tal que 2 4 5 rad 20 cumpla la siguiente condición: 10 R  20. Siendo “S” el número de grados 2 3 5 sexagesimales de un determinado ángulo que  R a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315° cumple: 18  4 S  3 , Calcular la medida 4 S 27. Calcular: de dicho ángulo en radianes. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 rad e) 5 C S 8 C  S  rad rad rad M 3     S  C S  C 19  C  S  rad 20 15 15 25 18 5 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
  • 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. , Siendo R, S y C lo convencional para un  mismo ángulo. 32. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB , a) 3 b) -3 c)5 d) -5 e) 2 calcular "x/y". A 28. En la figura, expresar  en términos de . 3x - 2y P 2x - 3y O B a) 1 b)- 1 c) ½ d) - ½ e) - 2 33. Del gráfico señale lo correcto, si: OQ es a)   360    b)   720     c)   360       720  d) bisectriz del AOB. e)     1080 A Q B 29. Del grafico, calcular “x”.   O C a) 2 -  = 90º b)2 -  = 180º c) 2 +  = 90º d) 2 +  = -90º e) 2 +  = 45º a) 4 b)5 c)6 d)7 e)3 34. En la figura calcular el valor que toma “x” 30. Del gráfico, señale lo correcto: x a) 8° b)10° c) 15° d) 20° e) 25° 35. Del gráfico, señale lo correcto: y a) x - y = 180º b) x + y = 180º c)x - y = 300º d) x + y = 300º e) x - y = 450º 31. Siendo R, S y C lo convencional para un x mismo ángulo, calcular M  C  S , si: y R C 2c  10  2C  10  2C  10  2C  10  a) x + y = 300º b) x - y = 300º c)  rad d) 20 rad e) 5 rad c)x + y = 270º d) x - y = 270º a)  rad b) 10 rad e) x - y = 180º 5  10   6 Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo