Semana 2 Integrales, sustitución

1. Matemática Superior I
Tema 1: INTEGRAL INDEFINIDA
Docente: PhD. Maryory Urdaneta Herrera

2. Objetivo
• Definir el concepto de integral
indefinida.
•Determinar la antiderivada (o primitiva) de
un función dada.
•Determinar integrales indefinidas de
funciones de manera inmediata y por el
método de integración por sustitución y
de fracciones racionales.
● La integral indefinida y sus
propiedades.
● Integración inmediata.
● Integración por sustitución y de
fracciones racionales.
Contenido

4. ”
Para empezar un gran
proyecto hace falta
valentía, para terminar
un gran proyecto hace
falta perseverancia.

6. Primitiva de una
función
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es un
función primitiva de f, o simplemente una primitiva de f, si F tiene por derivada a f.
𝐹 𝑥 → 𝐹′(𝑥)
𝐹′ 𝑥 → 𝐹(𝑥)

7. Primitiva de una
función
EJEMPLOS:
𝐹 𝑥 = 𝑥3 + 2
Derivación
𝑓 𝑥 = 𝐹′
𝑥 = 3𝑥2
Integración

8. Primitiva de una
función
Una función f dada tiene infinitas primitivas.
Las funciones:
𝐹 𝑥 = 𝑥3 − 7
𝐹 𝑥 = 𝑥3
+ 2
Son también funciones primitivas de 𝑓 𝑥 = 3𝑥2

9. INTEGRAL INDEFINIDA
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto
de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

10. Propiedades
de la Integral
Indefinida
01
02
03
04
La integral del producto de una constante por una función es
igual al producto de la constante por la integral de la función:
𝑐 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de
las integrales de las funciones sumando:
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
La integral de una diferencia de funciones es igual a la
diferencia de las integrales de las funciones minuendo y
sustraendo.
La integral de una suma algebraica de funciones: es igual a
la suma algebraica de las integrales de todas y cada una
de las funciones sumandos.
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 + ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + ℎ 𝑥 𝑑𝑥

11. Integrales Inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla
de derivadas leída al revés
proporciona primitivas e
integrales indefinidas.

12. Integrales inmediatas
para funciones
compuestas
EJERCICIO: Hallar la integral de
𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ 𝐶
6𝑥−2
𝑑𝑥 = 6
𝑥−1
−1
+ 𝐶
= 6 𝑥−2𝑑𝑥 = −6𝑥−1 + 𝐶

13. Integrales por Sustitución
Para calcular una integral por cambio de variable o sustitución:
• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.
du = g'(x) dx
• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo
g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

14. EJEMPLO: Calcular la siguiente integral utilizando el método de sustitución
𝑥
2 + 𝑥2
𝑑𝑥
Hacemos el cambio de variable: 𝑢 = 2 + 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
Sustituimos en la integral:
𝑥
𝑢
𝑑𝑢
2𝑥
=
𝑑𝑢
2𝑢
=
1
2
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2
𝐿𝑛𝑢 + 𝐶
Devolvemos el cambio: =
1
2
𝐿𝑛 2 + 𝑥2 + 𝐶

15. Conclusiones
• Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
• Para calcular una integral por cambio de variable o sustitución se buscar una
transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.

16. Gracias
Responsabilidad con pensamiento positivo

17. Tu futuro nos inspira
0995 595 047 murdaneta@uisrael.edu.ec