Este documento explica las series de Fourier, que son series infinitas que pueden descomponer funciones periódicas en funciones sinusoidales más simples. Se detalla que las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental para el análisis de Fourier y se utilizan en ingeniería, procesamiento de señales, medicina y otras áreas. Finalmente, se proporcionan ejemplos y referencias sobre series de Fourier.

1. Instituto Tecnológico De Culiacán
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Maestro: Alexis Beltrán Heras
Alumno: Alvarez Moraila Jesús Alexis
Grupo: 7:00-8:00
Clave de grupo: ACF09055E
Numero de control:18170574

2. Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función
periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la
herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar
funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma
infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos
y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-
Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del
calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus
resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas
veces análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de
aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes
y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de
telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de
frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la
señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función f(t).
donde: es la frecuencia fundamental.
Se llaman Coeficientes de Fourier a: . Hay que tener en cuenta que
tanto como hacen referencia a infinitos términos ya que como se ve en la
expresión de la Serie de Fourier el sumatorio va desde 1 hasta n.
Se definen la Sumas Parciales de la Serie de Fourier en el intervalo T o
simplemente la Serie de Fourier de , si la función tiene periodo T, como:

3. Aplicaciones de las series de Fourier en la tecnología u otras disciplinas:
APLICACIÓN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES:
Es importante considerar la aplicación de las series de Fourier, ya que estas sirven
mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es un área de las ciencias e
ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años.
Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los
ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados. Estos circuitos
digitales baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas
digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del
procesado de señales que convencionalmente se realizaban analógicamente, se
realicen hoy mediante hardware digital, más barato y a menudo más fiable. Es
relevante diferencie entre una señal analógica y digital para comprender mejor el
procesamiento de señales, el nombre de una señal analógica se deriva del hecho
de que es una señal análoga a la señal física que se representa.
APLICACIONES EN LA MEDICINA:
Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de
las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de
ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes de Fourier).
En el caso de la válvula mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de
Fourier para diagnosticar al paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes
en el sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias
inherentes a las pruebas endoscópicas

4. Ejemplos de serie de Fourier por expansión de cosenos o senos:

5. Referencias:
http://abcmatematico.blogspot.com/2009/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-
de.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier#:~:text=Una%20serie%20de%20Fo
urier%20es,trozos%20(o%20por%20partes).&text=Fue%20el%20primero%20que
%20estudi%C3%B3,llama%20algunas%20veces%20an%C3%A1lisis%20arm%C3
%B3nico.
https://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf
https://fisicaymates.com/series-de-fourier/
https://es.slideshare.net/joearroyosuarez/series-de-fourier22ejerciciosresueltos