Este documento explica la transformada de Fourier, una transformación matemática que convierte señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería como procesamiento de señales, resolución de ecuaciones diferenciales y tratamiento digital de imágenes. La transformada de Fourier descompone una señal en sus componentes de frecuencia y es reversible entre los dominios del tiempo y la frecuencia.

1. Autor: YRUANY RANGEL
CI. 20397530
Transformada de Fourier
La buena transformada de Fourier , denominada así por Joseph
Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar
señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la
frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería.
Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de
transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un
sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la

2. transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un
conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de
las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la
señal del dominio-tiempo original.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería
como la física, la teoría de los números, la combinatoria,
el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad,
la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En
procesamiento de señales la transformada de Fourier suele
considerarse como la descomposición de una señal en componentes
de frecuencias diferentes, es decir, corresponde al espectro de
frecuencias de la señal .
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y
sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

3. Teorema de inversión
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar
espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de
Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del
punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones
φ rápidamente decrecientes.Sin embargo aquí tomamos un camino
más directo para formular un enunciado:
Teorema. El espacio de funciones complejas definidas en la
recta tales que y la transformada de Fourier de sean
integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que
por la transformada de Fourier inversa. Además para una
función en este espacio, vale el teorema de inversión (1).
Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se
fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene
muchas extensiones naturales.

4. Uso en ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio
de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el
dominio temporal. Por ejemplo,es más fácil saber sobre qué ancho de
banda se concentra la energía de una señal analizándola en el
dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales
con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de
controladores clásicos de sistemas realimentados, si conocemos la

5. densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la
densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de
filtros de radio transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del
tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o
definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una
computadora, véase ondícula.
Transformada de Fourier entre
dos funciones.
La función f(x), (1), es
dependiente deltiempo (línea
roja). Es la suma de seis
funciones sinusoidales con
diferente amplitud pero con
frecuencias armónicamente
relacionadas entre sí. La suma
de dichas funciones se
denomina serie de Fourier.
La transformada de
Fourier ˆf(ω), (2), (línea
azul) representaamplitud vs.
frecuencia, y da cuenta de las
seis frecuencias y de sus
correspondientesamplitudes.

6. (1) (2)
La función (2) es la transformada de Fourier de la función (1)
La función (1) es la transformada de Fourier inversa de (2)

7. Tabla de transformadas

8. Ejemplos: