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ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
2do semestre “Ingeniería Industrial”
Realizado por:
Jesús D. Lugo V
C.I:28.501.507
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo se presentan temas de interés y aprendizaje de Algebra Vectorial y el
marco de temas asociados a Ecuaciones Paramétricas.
Es un tema amplio de envergadura para los análisis en Ingeniería, física y otras áreas.
Se desarrollan definiciones , fundamentos, y gráficos asociados básicos con el fin de conocer
el material para el desarrollo profesional y aplicativo.
ALGEBRA VECTORIAL
DEFINICION:
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar
sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales.
RELACION CON :
 áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional,
investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
 otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de
esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos
mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del
universo.
CONCEPTOS BÁSICOS
A continuación conceptos básicos asociados al Algebra Vectorial , importantes para entender el tema:
 Sistemas de Ecuaciones Lineales: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más
ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
 Matriz: Es un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.
 Vectores:
 es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano
euclidiano bidimensional o tridimensional.
 O es un elemento en un espacio vectorial. permiten representar magnitudes físicas dotadas no sólo de
intensidad, sino de dirección, como es el caso de la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. Ese rasgo
de contar con dirección es el que distingue a las magnitudes vectoriales de las escalares.
TIPOS DE VECTORES
Según la ubicación de su punto de aplicación, los vectores se clasifican en:
 Vectores libres: Aquellos que no poseen un punto de aplicación particular.
 Vectores deslizantes: Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser uno cualquiera a lo
largo de la recta de aplicación.
 Vectores fijos o ligados: Aquellos que poseen un único y determinado punto de
aplicación
TIPOS DE VECTORES
Clasificación de vectores según otros elementos:
 Vectores angulares o concurrentes: Aquellos que forman ángulos respecto de sus líneas
de acción o direcciones.
 Vectores opuestos: Aquellos que poseen igual magnitud pero sentido contrario.
 Vectores colineales: Aquellos que comparten recta de acción.
 Vectores paralelos: Aquellos cuyas líneas de acción sean, justamente, paralelas.
 Vectores coplanarios: Aquellos cuyas rectas de acción estén situadas en un mismo plano.
GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
 Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las
operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son
definidas a través de métodos geométricos.
 Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL
 Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un
sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los sistemas
mencionamos:
 Sistema unidimensional
 Sistema de coordenadas rectangulares
 Sistema de coordenadas polares
 Sistema tridimensional rectangular
ECUACIONES PARAMETRICAS
DEFINICION:
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el
plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales,
mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto
como una función dependiente del parámetro.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para
determinar la posición y la velocidad de un móvil.
ECUACIONES PARAMETRICAS
Donde
 x e y, son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
 a1 y a2, son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
 v1 y v2, son los componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.
 λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del
valor que se le asigne.
Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la
siguiente expresión:
GRAFICA ECUACIONES PARAMETRICAS
Ejemplo para elaborar una ecuación paramétrica :
Observa la siguiente figura
ECUACIONES PARAMETRICAS
 Como puedes observar, la recta “r” pasa por el punto A (1,4) y las coordenadas del vector
director son
 El vector director siempre será paralelo a la recta 'r'
 La ecuación de la recta 'r' puede escribirse como:
GRAFICA DE ECUACIONES PARAMETRICAS
Elaborar una grafica con el siguiente ejemplo:
Una recta pasa por el punto A (-1,3) y tiene un vector director . Escribir sus
ecuaciones paramétricas y elaborar su grafica.
 Sabemos que a1= -1 y a2= 3
 Además v1= 2 y v2= 5
Por lo que
TRANSFORMAR LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS
Definición de Ecuación cartesiana de un plano
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que
satisfacen la ecuación y forman un plano. Para encontrar la ecuación cartesiana de un
plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica: ... Se escribe como un sistema de
ecuaciones correspondiente.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación
paramétrica:
1) Se igualan las coordenadas.
2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables
(x, y, z).
TRANSFORMAR LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS
Comparación grafica de ecuación paramétrica y de Cartesiano
En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y.
 Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación
Cartesiana.
 Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo
parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.
 Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica.
 Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin
de representar el parámetro ‘t’ como:
 x = f(t) y = g(t).
 Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la
más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los
valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son
después trazados en coordenadas Cartesianas.
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir,
cuando “x” y “y” son funciones de una nueva variable, el parámetro “t”. Para poder usar la
integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos “dx” y “dy” y en términos de “dt”.
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término dt2 fuera del radical
Ejemplo
1) Hallar la longitud de arco mediante ecuaciones paramétricas
 X= 5 cost – cos 5t y y= 5sin t – sin 5t, (0,2 tt)
Solución : Derivamos la ecuación paramétrica “X”
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Derivando la Ecuación Paramétrica “Y”
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco
 a=0, b=2tt
 dx = -5sin t + 5sin 5t , dy = 5cost – 5 cos 5t
dt dt
Sustituyendo
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Donde “u” representa “unidades”
LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Representación grafica de las ecuaciones paramétricas
CONCLUSIÓN
En este trabajo aprendimos sobre las ecuaciones paramétricas y sus gráficas, y podemos sacar como
conclusión que:
 Algebra Vectorial, es un sistema de interés en las matemáticas de ecuaciones lineales, vectores, matrices,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales
 Las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones.
 El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto la variable x como la variable y, y a
medida que aumenta el parámetro, los valores de x e y trazan una ruta a lo largo de una curva plana.
ANEXOS
 https://www.youtube.com/watch?v=gsmsCc7Hr44&t=80s
 https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo
 https://www.youtube.com/watch?v=kZdgeJaHhPs
BIBLIOGRAFÍAS
 https://www.lifeder.com
 https://www.superprof.es/
 https://temasdecalculo2.wordpress.com/
 https://es.khanacademy.org/

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Ecuaciones parametricas

  • 1. ECUACIONES PARAMÉTRICAS Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” 2do semestre “Ingeniería Industrial” Realizado por: Jesús D. Lugo V C.I:28.501.507
  • 2. INTRODUCCIÓN El presente trabajo se presentan temas de interés y aprendizaje de Algebra Vectorial y el marco de temas asociados a Ecuaciones Paramétricas. Es un tema amplio de envergadura para los análisis en Ingeniería, física y otras áreas. Se desarrollan definiciones , fundamentos, y gráficos asociados básicos con el fin de conocer el material para el desarrollo profesional y aplicativo.
  • 3. ALGEBRA VECTORIAL DEFINICION: El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. RELACION CON :  áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.  otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.
  • 4. CONCEPTOS BÁSICOS A continuación conceptos básicos asociados al Algebra Vectorial , importantes para entender el tema:  Sistemas de Ecuaciones Lineales: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.  Matriz: Es un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.  Vectores:  es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano euclidiano bidimensional o tridimensional.  O es un elemento en un espacio vectorial. permiten representar magnitudes físicas dotadas no sólo de intensidad, sino de dirección, como es el caso de la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. Ese rasgo de contar con dirección es el que distingue a las magnitudes vectoriales de las escalares.
  • 5. TIPOS DE VECTORES Según la ubicación de su punto de aplicación, los vectores se clasifican en:  Vectores libres: Aquellos que no poseen un punto de aplicación particular.  Vectores deslizantes: Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser uno cualquiera a lo largo de la recta de aplicación.  Vectores fijos o ligados: Aquellos que poseen un único y determinado punto de aplicación
  • 6. TIPOS DE VECTORES Clasificación de vectores según otros elementos:  Vectores angulares o concurrentes: Aquellos que forman ángulos respecto de sus líneas de acción o direcciones.  Vectores opuestos: Aquellos que poseen igual magnitud pero sentido contrario.  Vectores colineales: Aquellos que comparten recta de acción.  Vectores paralelos: Aquellos cuyas líneas de acción sean, justamente, paralelas.  Vectores coplanarios: Aquellos cuyas rectas de acción estén situadas en un mismo plano.
  • 7. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:  Geométricamente Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos.  Analíticamente La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
  • 8. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL  Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los sistemas mencionamos:  Sistema unidimensional  Sistema de coordenadas rectangulares  Sistema de coordenadas polares  Sistema tridimensional rectangular
  • 9. ECUACIONES PARAMETRICAS DEFINICION: Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
  • 10. ECUACIONES PARAMETRICAS Donde  x e y, son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2, son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).  v1 y v2, son los componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.  λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne. Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión:
  • 11. GRAFICA ECUACIONES PARAMETRICAS Ejemplo para elaborar una ecuación paramétrica : Observa la siguiente figura
  • 12. ECUACIONES PARAMETRICAS  Como puedes observar, la recta “r” pasa por el punto A (1,4) y las coordenadas del vector director son  El vector director siempre será paralelo a la recta 'r'  La ecuación de la recta 'r' puede escribirse como:
  • 13. GRAFICA DE ECUACIONES PARAMETRICAS Elaborar una grafica con el siguiente ejemplo: Una recta pasa por el punto A (-1,3) y tiene un vector director . Escribir sus ecuaciones paramétricas y elaborar su grafica.  Sabemos que a1= -1 y a2= 3  Además v1= 2 y v2= 5 Por lo que
  • 14. TRANSFORMAR LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS Definición de Ecuación cartesiana de un plano Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano. Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica: ... Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente. Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica: 1) Se igualan las coordenadas. 2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente. 3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables (x, y, z).
  • 15. TRANSFORMAR LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS Comparación grafica de ecuación paramétrica y de Cartesiano En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y.  Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.  Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.  Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica.  Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como:  x = f(t) y = g(t).  Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.
  • 16. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando “x” y “y” son funciones de una nueva variable, el parámetro “t”. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos “dx” y “dy” y en términos de “dt”.
  • 17. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término dt2 fuera del radical Ejemplo 1) Hallar la longitud de arco mediante ecuaciones paramétricas  X= 5 cost – cos 5t y y= 5sin t – sin 5t, (0,2 tt) Solución : Derivamos la ecuación paramétrica “X”
  • 18. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Derivando la Ecuación Paramétrica “Y”
  • 19. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco  a=0, b=2tt  dx = -5sin t + 5sin 5t , dy = 5cost – 5 cos 5t dt dt Sustituyendo
  • 20. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS
  • 21. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Donde “u” representa “unidades”
  • 22. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS Representación grafica de las ecuaciones paramétricas
  • 23. CONCLUSIÓN En este trabajo aprendimos sobre las ecuaciones paramétricas y sus gráficas, y podemos sacar como conclusión que:  Algebra Vectorial, es un sistema de interés en las matemáticas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales  Las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones.  El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto la variable x como la variable y, y a medida que aumenta el parámetro, los valores de x e y trazan una ruta a lo largo de una curva plana.
  • 25. BIBLIOGRAFÍAS  https://www.lifeder.com  https://www.superprof.es/  https://temasdecalculo2.wordpress.com/  https://es.khanacademy.org/