Los sistemas de numeración maya, egipcio, babilonio, griego, azteca y chino descritos en el documento utilizaban diferentes métodos como sistemas posicionales, no posicionales y de base para representar números. Muchos de estos antiguos sistemas representaban cantidades agrupándolas en niveles de unidades, decenas, centenas y mayores potencias de la base del sistema.

1. Sistemas de NumeraciónUn sistema de numeración es un conjunto de reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común para todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado solo que se puede utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

2. Se pueden clasificar en dos grandes grupos que son los posicionales y no posicionales.En los sistemas no posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupa en el numero.

3. En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. Sistema de numeración MayaAl igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal) y de base 5. También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C. Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.

4. Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.Los mayas tenía tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, asi como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa (variantes de cabeza); y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20, en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 20×20×20.

5. Los tres símbolos básicos eran el punto, cuyo valor es uno ; la raya, cuyo valor es cinco ; y el caracol, cuyo valor es cero . Los mayas idearon un sistema de base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad 1 se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeración maya es vigesimal.

6. Sistema de numeración Egipcio El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglífica. A principios del tercer milenio a. C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal –numeración de base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de Horus.

7. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

8. Sistema de numeración Griego El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

9. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.

10. Sistema de numeración BabilonicoEntre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

11. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

12. Sistema de numeración GriegoLos numerales griegos son un sistema numérico que usa letras del alfabeto griego. En la Grecia moderna aún se usan para los números ordinales, de forma parecida al uso de los números romanos en el occidente europeo; para el resto de usos se emplea la numeración arábiga. El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que funcionaba de forma parecida al romano, que deriva de este sistema. La fórmula acrofónica era la siguiente:Ι = 1, Π = 5, Δ = 10, Η = 100, Χ = 1000 y Μ = 10000. Existían también combinaciones de Π (pente, 5), para 50, 500, 5000 y 50000 añadiéndole versiones diminutas de los símbolos de las distintas potencias de diez.

13. A partir del siglo IV a. C., el sistema acrofónico es sustituido por un sistema alfabético cuasidecimal, a veces llamado jónico. A cada cifra de unidad (1, 2, ..., 9) se le asignaba una letra, a cada decena (10, 20, ..., 90) otra letra y a cada centena (100, 200, ..., 900) otra letra. Esto requiere 27 letras, así que se extendió el sistema griego de 24 letras con tres letras ya anticuadas:digamma (Ϝ) o stigma (ϛ) para el 6 (hoy en día se emplea la combinación sigma-tau, στ),qoppa (ϙ) para el 90 (hoy en día se utiliza el qoppa numérico: Ϟ, y existe la forma uncial Ҁ),sampi (Ϡ) para el 900.Se emplea un acento agudo para distinguir números de letras.El sistema alfabético o jonio se basaba en el principio de la suma en el que los valores numéricos de las letras se suman para formar el total. Por ejemplo, el 241 se representaba como σμα´ (200 + 40 + 1).Para representar números del 1.000 al 999.999 se vuelven a usar las mismas letras de las unidades, decenas y centenas, añadiendo una coma o un acento agudo invertido para distinguirlos. Por ejemplo, el 2004 se representa como ͵βδ´ (2000 + 4).

14. Sistema de numeración AztecaEn México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

15. Sistema de numeración ChinoLa forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

16. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.