SISTEMAS NUMÉRICOS

Sis†e師QS
Num6ricos
Hacia un州eVO eS†iIo de ense和r y ap「ender′.
MSc, Paco Bas†idas Romo
MSc. Edwin Lozaれo
MSc. MiI†on Coronei S6れChez
MSc・ C○○ios Mon†ene9○○ Boiseco
Quito置きcuado「
2

rNTRODUCC工ON
Serfa gra†o, Pa「a los∴au†ores, COmP'lar un †ex†o defln'†'VO SOb「e S'S†emas Num鉦cos ・ que∴Se
conv一「†le「a en el manuai comple†0′,′ Pe「O aque帖no es poslble La ges†(6n cen†rada en la ense稲nza de
es†a †em品ca ̀ZS SLlma爪en†e amplla y PO「 lo m'SmO, Se 「equie「e de muchos 。恥e de experlmentaCi6n
Sin emba「go. es hora. de "pone「 orden en los da↑os de nuest「a expe「'enC'a diddc†'Ca. med‑an†e …a
comp‑Iac16n de 'deas, refiex‑OneS, nO†as y ac†lVldades・ Pa「a efec†os de segu'「 un Cam‑nO de ap「end'ZaJe
y desa○○oIio 'ndlV‑duaI e 'nS†'†uc‑Onal
En Ma†ematlCa, un S'S†ema …mdrico es … ・OnJun†o prov'S†o de dos operac'OneS b…arraS (ad'C'6n y
mui†'Plieac'6n), que Ve「‑flCa C'ertoS aX'OmaS (clausu「a†'VO. COnmu†a†'VO. aSOC‑a†一VO. mOduiativo,凪Ve「†'VO
y d'S†「一but'VO de la mul†一PIiCaC16n 「espec†o de la∴adiC16n), Seg n el caso Se carac†er‑Zan PO「 Ser
ex†ensIOneS de los ndmeros na†urales, y ademds por †ener una es†ruc†ll「a algebra'Ca (a用=0, CamPO. en†「e
o†「as), Sa†'Sface「 p「opledades de orden (†0†ai, Pa「C‑a上eS†「ic†o). †opo16g'Cas y ana冊cas (dens'dad,
co爪pほ†i†ud)
siS†emas Num6「一COS′′. no se presen†a para que usted Ia ap「enda ide memo「ia ′ … Pa「a que la∴adop†e
precip'†adamente, SlnO PClra que enCue面e un modo preciSO de u帥za「lo・ medlan†e p「6c†一CaS 「eflexlVaS
(vIS16n pe「sonal) e 'n†e「ac†'Vas (vis'6n g「upai). en ei es†udiO de la Ma†em存'Ca (Teo「fa de ConJun†os・
ReiacIOneS. Func10neS. e†c )
Po「 flneS eStrlC†amen†e dld6c†iCOS, Se ha diVIdldo eI es†ud10 de SIS†emas Num6ricos̀ en s'e†e capi†uIos
Ndme「os Na†u「ales (par†e l). N心me「os Naturales (pa「†e 2), En†e「OS膏ac'Onales.工rrac'Onaies, Reales,
Teo「emas de los n血e「os Reales y CompleJOS ∈n cada uno dee=os se espec'f'Can ias defln'C'OneS bds'CaS・
†eo「emaS (de ser necesar10), eJemPIos. eJe「C'CIOS 「esueI†os y eJe「CiCiOS PrOPueS†os
Los obJe†'∨OS generaies del presen†e es†ud‑O Son. P「op'C'ar el uso co「「ec†o de Ios ax'OmaS y †eoremas・ y
「esoiver ecuac10neS e lneCuaC教Ones bdsiCaS, median†e p「opos'Ciones ‑ 「aZOneS La ‑na†emd証ca・ COnS†「u'da
sob「e d'Chos concep†os bdsICOS. Se「d no soIo mds comprens'bie・ S'nO †amb'6n mds …†eresan†e y
宣mI90bie′
Las∴amab'es∴Suge「enClaS, de …me「OSOS maes†roS y maeS†ras・ han perm'†'do me↓O「ar los pr'me「OS
apun†es. no SO‑o en la 〃之XPOS'C'6n de los p「'nC'Pales con†enidos de nS'S†emas Numdr'COS y sus eJerC'Cios
propues†oS, S'nO. fundamentalmen†e 弧SU enfoque d'd6c†一CO DeJamOS COnS†ancla de∴nueS†「O lnfln'†o
ag「adecimien†o por †odos sus comen†a「'OS.
Lo d'†imO. Pe「O nO PO「 el‑o lo menos lmPOr†ante・ nueS†「a g「at'†ud y 「econoc‑mien†o a los es†ud'antes de
la Ca「rera de Pedagogta de it s C'enC'as Expe…entales・ Ma†ematlCa y Fisica de Ia Facui†ad de F'losoffa・
Le†「as y C'enClaS de la Educac'6n′ de ia Un'VerS‑dad Cen†「ai del Ecuado「・ quienes contrlb=ye「On Pa「a que
es†a edlCI6n sea una 十ealidad・・.一a m‑Sma que lieva el se=o de sus suge「enc'aS †an†o en su fondo como en
sufo「爪o
MSc Paco Bas†idas Romo & O†「os
Qul†o. 26 de sep†lembre dei 2O16
iIi

￨ND￨CE GENERAL
CAPfTULO l: NJMEROS NATU瞳ALES (N)
1ま. 工n†○○duccI6n
l ‖ Sis†ema de nllme「aC16n declmai
ま1 2 AxIOmOS de Ios Ⅲ鉦e「os no†u「QIes
し2. 工9UOIdcd de而爪e「os N
121 Ax10maSdela'gUaldad
1
1
2
2
2
3
2
う
う
7
8
8
8
9
1
0
重
2
1
3
1
3
1
4
1
う
1
7
1
7
1
7
1
8
重
8
1
8
2
0
2
0
2
0

う
3
3
3
3
3
3
4
3
4
3
う
%
約
3
7
3
7
3
7
3
9
3
9
4
1
4
3
4
3
4
3
4
4
碕
4
6

う
3
う
3
5
4
う
4
う
5
う
う
う
ら
う
9
う
9
う
9
0
0
0
0
机
6
1
0
0
6
4
的
∴
∵
∞
的
的
7
6
8
6
9
7
0
7
1
7
1
7
1
7
之

7
7
7
9
7
9
的
8
1
8
2
8
2
8
2
8
2
8
2
8
3
8
3
帥
8
う
鎚
∴
的
8
6
8
8
8
9
9
0
9
1
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
う
%

9
6
%
㌶
器
9
8
9
9
誓
書
霊
重
2
4
1
2
5
蓑
ま
2
6
1
2
8
器
重
3
3
朗
1
3
8
霊
霊
椎
1
う
う
閃

CAP￨TULO I
N¥)MEROS NATURALES (N)
1.1.工N丁農ODUCC重くうN
〔I conJun†o de i。S ndmeros O言. 2. 3,リuSados pa「a conto「 los∴eiementos de un conJ…†o, Se岨ma
con」…†o de los ndmeros natu「ales Se representa co両ie†「a N o N. may竜cula (negritas) Es†e conJUn†o
se puede de†e「…a「 de var'aS mane「aS・ las mds 'mPO両n†es Son diag「ama de Venn ‑ Eule「・ fo「ma
9eOm6†「lCa. eX†ens'6n y con P「enSj6n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
c Ex†en5i6n N こく0,1,2,3, 〉
d Comp「ensj6n N = (× / xes ndmero na†ural;
Obse「vaci6n: Losれdmeros natu「ales son los pr'me「OS que Surgenl en Ias d'S†一n†as c一∨'i‑ZaC‑OneS, ya que
ias †a「eas de con†a「 y de ordena「 son las mds eiementales en el †「a†amien†o de las ca面dades
l.1 1. SrSTEMA DE NUMEI!ACr6N DEC工MAL
Se肱ma∴SIS†ema de nume「ac 6n al conjun†o de simboIos (ntime「os o le†「as) y 「egles que pe「ml†en
rep「esen†a「 †odos Ios ndme「os Se9血los sinbolos y 「eglas eleg'dos′ Se Ob†'enen d'S†'n†os s'S十emas de
nume「a⊂'6n. por ejempIo declmal, 「OmanO. bina「iO. en†re o†「os
〔l s'S†ema que tiene mayor uso es el s'S†ema de …me「aCi6n decmal, =amado as白oo「que usa drez sinboIos:
0, 1. 2. 3. 4, 5. 6. 7. 8, 9; Cada …O de los cuales se liama c‑f「a Los ndmeros que †一enenuna SOia cIfra se
=aman di9i†os y los de爪ds de una clf「a pol'dig'†os
En e庵†e s'S†ema de nume「ac16n declma上ei conJUntO de dleZ unidades (u) se =ama decena (d). ei conjun†o
de lO decenas se =ama ⊂en†ena (c), el de 10 cen†enas se肱ma un‑dad de m'l, y asi sucesivamente Por
eJemPIo. E1 24 †一ene 2 decenas y 4 …idades・ eS dec‑r
24こ20十4=2×10+4×1
Msc. Paco Bastidas貫omo & Otros I Ndmeros Na†urales

正しA工eUAしDAD (二) ̲̲コ
[ AXエOMAsト‑→

NOMB貫∈ 妊Tg$酘7"サ EJ巨Mpし○ 侘ｲ 4dﾔ" H h4t4
1.D工CO丁OM壬A 4y3sond庁e「巳n†鍵粨ﾓﾖ#｢
m†u「oiescuQIe印uie「o 滴 #2
SeCumPIeunaysolo unodeIossi9uie両es V 燈T 亡R 〇二b里∴0≠b
「eiocのne5;Sonj9uOie与ﾓ"
2‑慮EFしEX工∨○ 粨ﾘ8ﾓ｢ﾖ b
○ 俶痘T 薮2或 ‑ﾆ eI3,en†0れCe与3ニ3.
3.5工M∈丁農工CO 遊 V ﾉjH V 9‑ﾆX V 2Z∈N Y 4∈N‥ 耿ﾓﾖ#｢
/(ヽ匁 WX T 4 V帽 V SR
i9uOio … 5e9undo. )? H 鼎ﾓ#" 〇二b⇔b=0
o b ¥̲∵ 7X誇帽 FV6 WVVT 6S遊襷 W6燈T 柳 V ﾆX X ｨ R
4.TRANSr「￨VO 天遊ｩ{ﾆX V霾ﾆX V 4二22^22こ8/2→4二8/2 耿粨ﾕﾖ" ﾖ3｢
(￣ヽ了ヽ o b c 匁 WX V 妨6燈VE V
Se9…doYeS†色i9uロio
¥¥̲ノノ郵.ｨ VX T6X X ｸﾋ贐末6 VR Y(iuﾉlｦX ｸｶW6燈X8ﾔ柳 VX V6X S
5.AD工丁重∨○ 5ioioi9uOidQd3すう=8 粨ﾗﾖ" ﾖ3｢
∵ 遊踵jeT 芳 G6Y 8ｽ V 与eSu爪oein心me「o4.与e 高色白e:
CU画面e予o,Ioi9uOidQd 茶2ｸ*B諜CﾓさB
o◆C=b+∴C T6 X Ud V#T VR
pe「調onece). W ｼ U 胞 G6V6 X Wf 因C(+(‑ﾃ"停
S‖厄i9血dQd4十2こら5e
∵ a)くC=bxc 遊蹂祷ｴ胞 H 6R mul†ip"capo「eln心me「o
爪山†申ic叩○○un面s爪o 綏X V坊覺｢ィｳ" + .x
n宣伸e「o no†u「oI(N)
Cuaiquie「a.Iaigualdad
SeCon5e「>o(Subsi計e, 犯殆V ﾆF G6V6 X Wf
pe「爪肌eCe). 茶 φ ｒ

Eれio5I9uien†e f‑ U「OSe 「eP「eSe両OIosu爪Q 2書4こら:
l. G「afiCamoS el orIgen de la flecha 2 en e1 0ysu pun†o f川al en e1 2,
2 Luego ei o「igende lafIecha 4 en ei 2 ysuex†「emo eれeI pun†0 6,
3 La sumo se「ep「esen†a p。「 lafIecha 6, CuγO O「'genSeenCllen†raene1 0yel plln†o f用al eneI 6
(つ (二〇

上しAUS囲丁重V。 i
l coNMUTAT[VO l
i AS。00冊。 i
i M。DUしA冊。 l
NOMB貫き祢 Y 碑 D9^ t 巨J∈MPL° 巴ﾔ #gV4
nQ†u予oies∴CuOie5qUie「o 滴ｳI? .r ∪=N.∀Q.∀b,Sc(ヨゆ:
心証c°. x尨 Q子b二C二⇒C∈N
う十4 二 4+う耿粨ﾗﾈﾖ#｢
9二9 ｨﾆ( ﾘ "ｳ
(2子3)十うご2十(3十う) 耿粨ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
5ePueden09「uPQ「○ ○SOC了o「decuoIquie「 0→b)+C二ロ{(b+C)
modo,5高qued†巳「eio Bｸ*I? ( ﾃ
Su爪O†○†oi. ? C
4.MODUしA丁重∨○ 埜 VX 8 ｵ薮V V枇 V 粨ﾓ討
Eice「o(0),5e =o爪o ﾆﾆU7Vﾖ F 6 V ﾇ V帽 R
eie爪乞n†o id音信仁O, 價v蒙X V ﾆV VW7V V H ｸｷ2
Sie爪p「e e与e 面5爪O

1.4. MUL丁陣LZCACr6N DE N0MEROS NATURALES
L4.重. D巨円NエC重6N
Se =ama p「oduc†o de lln ntime「o na†u「al a po「 o†ro b. al ndme「o na†u「al c que se ob†Iene Sumando b veces
el ndme「o a. S'mb6l'Camen†e se ind'Ca de妃siguien†e mane「a
oxb=C ⇔ C二0十0十0 +0;bveceso
Po「ejempIo. el produc†o 8x3 = 24 es ‑guai a iasuma de 3 sumandos ‑guaIesa8 24 = 8 + 8 + 8.
Observaci6n: Se =ama fac†o「eSa los ndmeros ay b (a se =ama mul†lPli⊂ando, b mul†'PliCado「 y c p「oduc†o)
Algunas veces se llamafac†or a los ntime「os ayb Ei p「oduc†o de cualqu'er nlime「o na†u「al a por ei ntimero
Ce「o.鐸i9uqI o ce「o
Los operado「es (SimboIos) de la muI†iPl‑CaC毒n son la x. un puuto. o un par6nteslS S=os nd爪e「OS eS†ch
expresados l'†eralmen†e, Se SuP「'me el s‑gno y Se eSC「iben las le†「as una a cont刑aC16n de la o†ra. Po「
eJe爪pio:与io二3.b二4yc二12.
3賀4=宣2 3・4= 12 0b二C
Pa「a mul†・Pl'Car n心爪e「OS COn m6s de uれa Clf「a se †oma en cuen†a ios valo「es 「ela†一VOS de sus clf「as Por
e」e爪Pioま4×け= 238.
Cen↑eれaS de⊂anas Unidad l Esc「‑balosfac†ares uno deba」O del o†ro. en la
C D U 霊:岩盤霊書芸。嵩。書誌
COn ias unldades, las decenas con las decenas, e†⊂ ).
y †「ace una linea ho「lZOn†aI po「 debajO de elIos
三田2
9▼ 8′
1 4
幸
[亘り与…丁工V。」
「。NM…nV。 i
漢 AS。魔仰V。「
「M。…冊。 i

NOMB瞳E 禰 $ 7"サ ∈J∈MPLO 巴番#dﾇ$4
EIp「oduc†o de dos 滴ﾃ( 紵? ∪二N.∀c,∀b.5c(弓の‥
CuOiesquie「o es un ヨ〇・b二C二二⇒C∈N
5×4 = 4×5 耿粨ﾓﾖ#ｲ
0・b=b・0
p「oduc†0†0†0上ｩ? # Q.b二b.0
3.ASOC工A丁重VO (3×2)×̀二3×(2×6) 粨ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
Puedenag「upa「o 低OCi○○decuqIquic予〇・b)・Cこ〇・(b・C)
爪odo.5高queoi†e「ee 塗緤? 8 " (ob)c‥:0(bc)
PrOduc†o. h6｣3b
4.MODULAT工VO ｷ VWV蹂< 4 薮V V V 粨ﾕﾂﾘ 2討
EI…o(1).se 肱mo VX ﾗVﾈ V ﾆ F "
elemen†o id6ntico, T V忘uﾈ 6ﾖX V ? ｦﾃﾓ
mui†坤CQCi6∩. {忘‑ﾇ VX W6X 抦ﾘ&踉

l.44. DEFrNICr6N DE D肥￨(うN
Sean. a・ b y c ntimeros na†urales. Divldir u…血ero a pa「a o†ro b, b ‡ 0, eS enCOnlra「 un ntimero c †a申e
C.b : a. S'endo a mdi†lPio de b (divisi6n exac†a). En fo「ma simb6llCa. Se †iene
a‑b=C ⇔C.b=a;amdl†ipIodeb^b≠O.
Porejemplo 36/4:9s'ySOIos‑9×4= 36.36esm踊pIode4y4≠O
Observaci6m Ei nLime「o 36 se "ama dividendo, e1 4 diviso「 y e圧esul†ado 9 se =ama ⊂OCjen†e
La d'VIS' n lampoco es una ope「aci6n in†e「na en N Pues e圧oc‑ente de dos ndmeros na†ura‑es puede no
Se「 un ndmero na†urai (no Io es cuando el dividendo no es m心i†jpIo deI d'∨一SO「).
Los operadores (S'gnOS) de la d・VISi6n son. ( " o blen los dos pu而os ( J, una raya incl周ada ( / ), una
linea ho「'ZOn†al (臆),O la9alera ( L ). Po「 eJemPIo.
12了3こ4 12:3こ4 宣2/3=4 孝二4 12畦
4
La d'∨一S16n se usa pa「a 'れdlCa○○ ei n血ero de vece5 qUe tJn n血e「o dado ⊂On†一ene a O†「o Po「 eJemPIo. 12
COn†一eれe a1 3 cua†ro veces, PO「 esO 12 dIVldldo en†re 3 es 4
1 Todondmerona†ura同∨'dldoparaIaunidades‑gualalm'SmOntime「o a → 1 = a 2÷1= 2
2. Todo nLime「o na†uraI′ d'ferentedeO, d'V‑dldo para si m‑Smo eS ‑gual a l a ÷ a = 1; a ≠ 0.
l. Deac=erdo con lo quese exige en le definic'6n・ ei d一∨'SO「 nO Puedese「cero La d一Visj6n paraO,O
b‑e…O eXiS†e o no es†d def…ida Po「 eJemP'o.
5/0 = X <→ 5 = Ox・ …, eXis†e ningdn n血ero x quemuI†'Phcado porO d6 5
2 A… en el supues†o que el d'∨ dendo, †amb'dr, Sea O, eS decur, Ia d ViSi6n O/O, da「iacomo 「esuItado
Cualquler Valo「・ dado qlle ・uaIqu'e…dme「o muI†'Pii⊂ado po「 el div'SO「 O da O Po「 eJe申o
O/0ニ3 <臆、 0=03・ O/0=12 臆 O=O12;0/0:Infjn'tasreSPl'eS†as(cualquierValor)
重・4・4・1・ AP此A偶ON∈S (貫とSOしUC王らN D∈ ECUAαON亡S BAs工CAS)
貫esoiver una ecuac16n es de†erm'nar los valo「es de las lnC6gni†as que hacen ve「dade「a ‑a igua‑dad Es↑os
Vaiores se =aman soIuciones o rafces de la ecuac‑6n Po「 eJemPIo
Ejemplo l. Res°Iver laecuac16n, X ÷ l = 7

上誓C㌢」こ
津{
与u爪o
Mul†iPiICaC16n
Re5†0
†

1.6. DES工GUAしDAD D∈ Nt/MEROS NATURALES
宣.e重. D∈陣N重C工6N
La deslgUaidad. es una 「elac'6れma†emdrica∴en†「e dos∴eXPreS‑Ones que∴nO SOn 'guales Los simboIos
ll†lllZados pa「a deno†ar llna desIgualdad son:
= (menor que) o = (mayo「 que)
1 Un nJmero na†u「al a es men○○ que un ntime「o na†u「ai b, S' en la 「ec†a numd占ca el pun†o a es†a
a la'Zqunerda del pun†o b,SeeSC「‑be a < b. Po「eJemPlo. 4 < 7
o b

NOMBR∈ 妊Td皮ﾄ7#d Tｨﾄ e7ﾄﾔ
l.TRECOTOMiA 冰ｨ X VX F 8 9‑ﾆX V 8 ' V7Vﾗ妨 VS｢ﾓﾖ#
CUaIesquiera,Secumple 僞i? "
UnOY SOIo uno deIos E U6T8 9I VSｨ &( ﾈ # h #ﾆ"
S19uほ∩†es「eIロcione5: H "
‑5〇両9uOIes V7Vﾗ妨 VS｢
ーEi重 Oesmoyo「叩eei2d〇一巨は○○es爪e爪○○ueeはdo *ﾘ 2
2.丁RANSr「工∨° 遊 YlｦX Y: 9‑ﾆX V う>2 <2>0‑÷ 篳ﾓﾈﾖ"ﾈﾖ3｢
//ヽ/(¥ 匁 WX V 妨9‑ﾅ枇 R ﾆX R
queun5e9Undoyes†e C
¥二二ノﾅ枇 R ﾘｿｦ R倆遊X 2 V蒙X ｸｶU9‑ﾆｸ R ﾆV蹂 R遊VH VX V6X ｸｲ 1<2<2く3 →重く3 ﾆ% ﾆ9? ﾆ2
3.ANT工S￨METRrCO 添ﾆ苻ﾘ( T 9>3 → 3<9
爪oyo「que…Se9undo, 凵ｾ=N.∀Q,∀b: 0>bく⇒b<q
e而0∩⊂eSeise9undoe5 巾e∩o「勺ueeip「了me「°. 滴*ﾘ‑ﾃ( 因C#紕 0>b⇔b‡0
4.AD宣丁工VO 7>3<2二2→ 粨ﾓﾈﾖ" ﾖ3｢
∴ 芳W6ｦwV 芳 G6X 7Vﾖ V
mismo nしime○○ nQ†u「ロI 度ｳ" 0>b^C二C⇒Q+C>b十C
CuOIquie手口.els〇両dode id )d 鉄ﾃﾕﾃ2ﾒ c<b^C=C⇒ひC<b十C
(Eise面donoco爪biq) *ﾘ+vU6痘T ﾏﾉ4芳ｴ4 ‑ﾆ$飛ﾂ <̲3‑ナ 5+3←9+3
5.MULT￨PLエCATIVO F ﾖ坊ﾖ'& FWV Na†u〇〇両qY○○queO 粨ﾓﾖ" ﾖ3ｲ
∴ 芳W6殆V ﾆF G6VﾗY) ﾖ6
PO「unmismondme「o †I *ﾓﾈ #ﾓ( *B o>b<C=C⇒Q.C>b.c
(日se面don°CO爪bic) 門 X ｸｴ薄蔔ｸｷ VT ﾆT 6V蹌vF FX V FW6殆V 芳 B 踐6 ﾖ) 2 3.2 く 9,2

CAP壬丁Uし0 2
Nし)MEROS NATURALES (PARTE 2)
之.1.工N丁RODUCCェ6N
En es†e cap行uIo se anal'Zan las opera⊂一OneS: PO†enclaC'6n y 「acl'CaCi6n Ademds. eI mdx・mO COm血d・∨'SO「
y e両面mo com血m謝†'PIo. de un conJ…†o fl両O de ǹme「os na†urales
2. 2. POT∈NCrACI(5N (NATURALES CON EXPONENT∈S NATURA鵬S: NN)
Se =ama po†enciaCi6n, en los ndmeros na†urales, ai p「oduc†o fo「mado med'ante mu凪pI‑CaC'One卸CeS一VaS
de un m'SmO nlimero na†ural Po「 eJemPIo
23二2.2.2 e両OnCeS 2事=8
Ei n寄れerO 2 se =ama base. eI 3 exponente ('nd'Ca ei n心me「o de veces que el nJme「o 2 se ha de ml lt'P"car
po「sfmlSmO) Como 23=8, ei 8 es la†ercera po十en・iade 2
2.2.1. DEFIN￨CrONES BAsICAS
S=a base a y el exponente n. son n竜me「os na†u「aies, N = (0工2,3, ・)
EXP寄居与暮らN 禰ｯ偬D t8 H*ﾘ*D EJ∈MPしO
La po†encia ce「o(exponen†e cero),de un ｨｩ? 謦
ndme「ona†u「aladis†in†odecero,eS guaial: 茶 ?
○○=1;o≠0 茶" ｩ?
しapo†enciauno(exponentel,Prime「apo†encia) 6｣
deunndme「ona†urala,eSiguaIaim'Smondmero ﾓ
5ineIexpon釧†巳 ol二〇ﾓ" 3 ? 2
しaP∈Pdeunn血erona†urala,eSlgUaial ? ｢
PrOduc†odenvecesa;Siendon>1: ｩ? ﾈ ?
POS工T￨VA(PEP) 3二2.2.2二8
N★=(2,3,4.弓妹fT6U2 33二3.3.3二27

NOMB貫きｨ,t $Tﾔ EJ∈MPLO
1.POTENCrA∈NEs￨MADEL 犯 VV ﾆ V 蒙 FVﾇ & GV8 V FV襷ﾖX V 2 (2.3)0二重
naturales,eSiguaialp「oduc†odelaspo†encjas 茶"ﾃ2綿6｣" + .r
P貫ODUC丁O (2.3)2二22.3Z
佃.by=Oh.bh s)? B纈
2.POTENCrAENおrMAD〔L 犯 VV V緘6蒙 FVﾆ6 6坊 VX Tﾅ 8 V (̀/3)0二
(divisi6heXaC†°)den心me「osno†u「oies.乞si9uQ 茶b 2 ? b 2
oicocie面edeiaspo†enciasenさ5i爪os;b≠0‥ 茶b 2 ? c" 3"
(○/br=○リbh;b≠0 #ﾓ8.r
OPEBACエ6N ITEOR∈MA
1P慮ODUC丁°D亡認Xｼ T VS｢ 8 20.23こ20◆3二23
Po丁∈NC工AS 帽ｽ .ｨ T坊觜ﾋ飩妊 6U U7Y‑ﾅ .ｦ 6U 觜黐W2 22.23ニ22↓3こ25
2.COC重さN丁EDE 認V｣郵8ﾘ,ﾓ VSｲ 24/23二243ニ2
5色爪on†ie∩eiobaseyse「es†ohiosexponen†e5.
PO丁∈NC工AS 柳ﾒ φ 3ｹ: ･鑓 #
pO丁ENCエA X ﾖ蹤坊觀ﾆ & 6X 6X ﾗVﾈ V ﾆ貳 2 (23)2二23×2二
expon巳n†es・
(om)〇二〇同n

iXP買電S工dN 禰ｯ 7#d ど丁EMPしO
1.RAizENEsrMA …晦ニ2《→23=8
「adicando,esO†rona↑u「alque,elevadoalapo†encin
EXAC丁A 坊觚6ﾆﾖﾆU6ﾆwV ﾆ匁ﾅ6ﾖ V Fﾄ6 襷 J亨二九enN
N★=(2,3,4....) 跿･h辺ﾘ蓼 v｣ﾕﾈ "
2.【ミAiz∈NEsrMADEl 犯 V 率V 蒙 FVﾆW6殆V ﾃｲ Vi=1
祈=1
3・RA字γpO丁∈NC重A ∈NきS工MA: 犯 V 立 VV V緘6蒙 FWV贍ﾖ .ｦFﾖX V 拒ニ2
no†u「o上SeSi爪p冊con:
押=(昨)∩=o
監護寓語割
1 Hal ar la rafz cuadrada o c心b‑Cade los slgulen†es n心me「os, Seg血co「respoれda: 1. 8. 4, 27. 9, 64, 16,
宣25. 3ら. 64.81.重00
2 Cons†…「 Un men†efoc†o pa「a la 「adiCa⊂16n
3 Escr‑ba las propiedades de la 「adiCaC16川†lllZaれdo ei axioma s'm封rico (=).
Msc・ Paco Bas†idas Domo & O↑ros 20 Ntime「os Na†u「aies (Par†e 2)

十票竺雲上
1 ∈sc「lba los 6 p「Ime「OS m冊IPIos de los sIguIen†es ndme「os. po「 ex†ens'6n y comp「ensi6n.
1,2.3.4.6.7.8.9.O
DEFEN￨Cェ6N: SUBMl)LTrPLO

N血ero natural par: S「詩誌示'endo n eleme元高e los natural云「

1 3 釘う
e 途 8 湯 10
廿 " 13 B 1う
1e ﾃr 重8 20
2ま " 23 B 之5

2.5.3. DrV工S￨B￨L￨DAD PARA 5
Un ndme「o es d'ViSible pa「a 5 ⊂Uando †erm'na en O 6 clnCO▲
‑ E=0 esd'∨一S'bie para5. porque †ermlna en CerO, 10 ‑うニ2.
‑ E1重5es d一∨'S'ble pa「a 5. porque †e「mma enc'nCO: 15 ‑ 5 = 3
一日18れO eS divi5ibie po「oう. po「queれ。 †e「爪inoe∩5れi enO.
開園日
I rndiques' loss‑gu'en†es ndmerossondivIS'bIes para. 2, 3 6 5
14・10′30,24,3う.40,2重.27,33.36.39,3う
2 6 DESCOMPOSrCT6N D∈ N面EROS NATURALES ∈N FACTORES PR工MOS
DEF￨NrCl(うN
Losfac†ores p「imOSde 30son 2, 3y 5
La descompos C'6n en fa⊂†o「es p「‑mOS eS. 30 = 2×3x5
Los fac†o「es p「'mOS de 24 son 2y 3
La descompos‑C'竜n en fac†ores pr'mOS eS 24 = 23×3
Losfac†o「es p「'mOS de 50son. 2 yう
La descompos'C'6n eれfac†o「es prlmOS eS 50 = 2x 52

葛二」
÷
6
3
1
2
﹁
う
3
〇
一
1
う
う
重

畳語豊国
1 HaIlar el mcd de los s'gu'en†es n心meros por descompos'C16n fac†orra1
農工8・30 2 15・35 3 10,25
う14・28 ら・ま2′36 7.ま6.32

b. Luego.se hallaei p「oduc†o de los fac†ores comunes: El mcd (12. 18, 24)= 2. 3 = 6
Obse「vaci6n: e1 2, 3 y4 son pr'moS en†resi
星竃砦醒
Ha=ar el mcd de los slgulen†es ndmeros po「 descomposIC16n fac†orIal (m封odo sln†aico)
18﹁
1
2
一
ら
2

1 Si la d VIS16n dea para b esexac†a,e而OnCeS b es el mcd de los dos nt]me「os
2 S ia d'ViS'6n de a para b no es exac†ay deJa 「eS†o 「l ≠ 0′ Se P「OCedea d'Vld'「 b pa「a rl. Sl eS†a
dlVIS16n es exac†a, en†onces el mcd (a. b) = 「1
3 S' ladiv‑Si6nan†e〇一O「 nOeSeXaC†ay deJa 「eS†o 「2 ≠0 SePrOCede en†oncesadMd'○ ○l Pa「a 「2.y
asi sLICeS一Vamen†e, has†a ha"a「 un res†o 'gual a O
4 ∈l di†imo dMSOr emPleado serd en†onces el mcd de los ndme「os dados
Ejempio l: Ha=ar el m⊂d de(5,20)
D‑VId凪o与20 po「0 5 co爪o e五〇s†o e5 0.
言0 」÷ ・・爪⊂d(5・20)こう
Ejemplo 2: Ha肱「 eI mcd de(12,3O)
D'∨一dlmOS 3O pa「a 12′y iuego 12 pa「a 6
DrVrSrON∈S SUCES工VAS
30 」」」
6 2
ま2 」臆臆と
O 2
Como e圧es†o es O, en la segunda d・∨・S16n, en†onces: El mcd (12,30) = 6
各jc爪pIo 3: H訓0「 e吊⊂d de (17‑40)
DMdi爪O与40 p〇〇〇 17・ Iue90けp〇〇〇 6, e pO「qう.YうpQ「O l.
D工∨ェS工ONES SUC∈S工VAS
40」L 17」」‑∴ら」 5」⊥
6∴∴∴Z 5 2 1 宣 0 5
Como el 「es†o es O. en la cl'ar†a dlV Si6n, en†onces El m⊂d (17, 4O) = 1
∈jemplo 4. Ha=a「el mcd (12. 18, 24)
En es†e ⊂aSo′ Se halIa el m⊂d de Ios dos prlme「OS, y 'uego ei mcd del res両ado an†eriOr Con ei †erce「
印書me「o:
1 D'∨'dimOS18para12・yluego12para6.
18 」上乙工2 」L
6 1 0 2 ・爪cd(重2.18)二6
Msc. Paco Bastidas fromo & Olros 28 Ntine○○s Natura‑es (pa「↑e 2)

2 D「Vid‑爪OS24po「a6
24 」」
O 4
豊麗闇
1 Hallar el mcd de ios slgU‑en†es n me「os. por d'VIS‑O=eS SuCeS'VaS:

2.8.3. F6RMULA (MEDIANTE軋m⊂d)
Sl dos o mds ndmeros no pueden descompone「se en fac†ores fdcilme而e. se apl'Ca ei sigu'en†e †eorema:
El mcm de dosれdme「os es iguahai p「oduc†o de d'Chos ndme「os d一Vldldo por el mcd de los m'SmOS
Si rePreSen†amos po「 a y b Ios ndmeros dados, Se †iene que.
巾cm(0.b)=o.b/調cd(Q. b)
EjempIo l. Hallar el mcm de. (5. 2O)
a Hallamos el mcd de(5, 2O), dlVldiendo 2O pa「a 5.
20 」○○」
O 4 爪cd(う.20)二5
b ApllCamOS Iaf6「mula.
mcm(a.b)=ab/mcd(a.b) mcm(5,20)二5 20/5 ∴ mcm(5.20)=20
Ejempio 2. HalIa「 el mcm de (12. 18, 24)
Hallamos el mcd y mcm de dos de e=os Luego 「epetimos el p「oced'm'en†o, COn los 「esu庇dos anterrores
y eI †e「亡巳「 n心me予o
a HaIiamos ei mcd de(12, 18). po「 dlV'S'OneS SuCeS一VaS:
重8 」」二重2 」」
ら 1 0 2 mcd(18,12)こら
b. Api'CamOS laf6rmula
爪c爪(d, b) = Ob/爪cd (○, b): 爪C爪(ま2. 18)二重2.18/6 ‥ mC爪(重8,重2) = 3ら
C Ha=amos el mcd de (24. 36), POr dlVISionessuceslVaS.
36 」坐̲ 24 」阜
12 1 0 2 爪cd(24.3ら)ニ12
d A坤CamOS la f6「mula.
爪c爪(0,b)= O b/mcd (0.b) 爪cm (24.36)=之4.36/12 ・●爪c爪(24.36)こ72

CAP壬丁U」0 3
NOMEROS∴ ENTEROS (z)
3.1. 工N丁鼠ODU亡C重6N
Las diferencras (「es†as) en las cuales el m…uendo es meno「 que el sus†raendoれO †一enen reSPuesta en eI
COnJ=ntO de los n血e「os na†u「ales. por io que se d'Ce que nO eStdn def…'das, Por eJemPIo.2 ‑ 4 =?
Po「 es†a 「oz6n. fue necesa「'O eX†ende「∴ei conJ…†o de los ndme「os na†u「ales, 'nC時endo Ios n心me「os
nega†・VOS‑ Los nJme「os negatlVOS Pe「ml†en con†ar nuevos †・POS de cantidades (SaIcIos de doudores) y
O「dena「 po「 enclma O PO「 debaJO de un cle「†o elemen†o de∴refe「enc'a (las †empe「a†u「as superiOres O
unfe「‑O「es a O g「ados. los p'SOS de … ed'f'C'O PO「 enClma O PO「 deba」O de la en†「adcI P…CIPal)
3.2. NOM験oS EN丁E貫O与(Z)
Ei conJun†o de los n心meros en†eros se rep「esen†a con la ie†「a Z o Z, maydscula (ne9両as). y estd formado
POr ios ente「os posit'VOS, el cero y los en†eros nega†ivos
zこし,‑4,‑3,‑2.‑重,0,L2,3,4. )
3 2ま EN丁験OS pOSmVOS (誰 )
EI conJun†o fo「mado por los en†eros mayo「es que ce「o se =ama conJuれ†o de Ios n心meros ente「os posl†'VOS,
Se 「ePreSen†a con Z◆. Es†e con」un†o se pl ede de†ermlna「 de varras mane「as. las mds lmPO「†an†es son
d'agrama de Venn ‑ Eule「. forma geom訂r‑Ca. eX†ens'6n y comprensi6n:

ー3 ‑2 ‑1 0 1 2∴∴∴∴ 3
† 」」 †
Ndmeros en†eros opues†os
Msc. Paco Bas†idas Romo & Otros 34 N心meros En†e○○s

i AX重OMA与i‑→
国
書
顕
臆
菖
臆
国
書
国
書
臆
臆
臆

N°MBR∈ 祢ﾘﾔﾔ H*ﾘ*D ∈J∈MPしO 巴ﾔ #dﾇﾄ4
4Y3soれdife「en†鍵聆｢ﾕﾈﾖ#ｲ
e両e○○scuoIe5叩ie「ose 滴 #2
Cu爪pieundSoIQdeio5 Siguien†es「elaciones: 蔦(< ﾓ'8 ｩ{ﾃ裕妨2 0二byo≠b
ーS°ni9uOie5 蔦)? ﾓ"
∪=z.∀0:ロ=Q
○ 俣裕薮6ﾆﾖｧ9‑ﾆ eI3.en†once53こ3. ‑9こ‑9
3.与重ME丁R工C° ﾇV貳X RﾔﾆX ｸｶV VX ｨｲ ‑22∈乙 Y ‑4∈Z: ｢ﾕﾈﾖ#｢
/〆、ヽ U 倆遊帽 V6W6痘T V
2d〇・叩…VOIeod色。「que 蔦#)? ﾓH * "ﾓCﾒﾓ#" ロ二b⇔b=0
o b ¥̲! 傍 S彪襷 W6痘U 柳 uﾆﾆX X ｨ R
4.TRANSrlTVO 遊貳X y 9‑ﾆX V V VX X ｲ 4二22<22=8/2→4二8/2 ｢ﾕﾖ" ﾖ3ｲ
//、、ヽ/￣ヽ ¥二二ノ妨6殆V ﾆ V F 妨8 VR
i9uQ○○∴un3 〇・言爪piicQ 甲eeile「鐸i9udoI3○○.
う.AD恥° Sioiai9uOidロd3+う=8 聆｢ﾕﾈﾖ" ﾖ3｢
〇一Cこb書C 4 燈V 芳 G6W7Y‑ﾆ V Se与u爪aein心爪e「○○4,
￣∵ T 倆遊帽 V 餉ﾈ VV柳Cf S色†iene: (3+5)十(一4)二8+(‑4). ? #ﾄ9? 86ｨ8 ｴ86ｦ"ｴ2 ｢ﾖ2 ﾖ"ﾈﾖ3｢
dei9UQIdGd与econse「vo V 燈U 芳 G6V6 騏觝uﾇe
(pe「爪dneCe). 茶CﾓB停
e. S=Qi9uOIdqd4+2こらse
Una i9UOIdod se 儲Ylｧﾆ VVﾆ貳蒙W& 2 Xﾘ&X.ｦS｢
QXC=bxc 儲Vﾈ V 粕6 WV贍ｧ6ﾖｩ? #ﾄ9? 9? 襭ﾖ"
∵二夜 6ﾖX V ｦ7V V帽 U ﾄ薬 VV柳6吐襷V痘X ｸｶF G6R (4・2)×3二6×3.
COnSe「VO(pe「m肌eC色). 犯ﾖwV ﾆF G6V6 X Wf 因C ｒ

EJe爪P○○:
l2l=2 ^ l‑2上2 →l2上l‑21
l3iニ3^ l‑3上3 ‑〉i3主I引
く二)

b. SUMA DE DOS NOME貫OS N∈GA巾VOS
EれIa slgll'en+e figu「a se rep「esenta la suma (‑3)十(‑1) =一4・ de la sigu‑ente manera: gra毎amOS e恒igen
de la fiecha ‑3 eneI Oysu p…†o f周al en el ‑3 l=egO el o「‑gende 'af‑echa ‑l en dr3 ysu ex†「emo en
eipun†○‑4.
La suma se 「epresenta medlan†e ia fIecha ‑4・ CuγO O「igen Se enC=entra en e‑ O y su p…†o f…al en e仁4
園田
圏国
Obse「vaci6n: Ias flechas se g「aflCan hac航'Zqu'e「da po「que 「ep「esentan n meros nega†'VOS (‑3 y十1)
〔l 「esul†ado es ia flecha que va deI O al ‑4 y 「ep「ese両o a一面ne「o nega†'Vo ‑4
Pa「a suma「 dos nlime「os rlega†iVOS Se Sllman SUS Valo「es abso厨os y se pone el s'gnO ‑1、 al 「eslll†ado.
(‑3)十(‑1)二〇4
c suMA DE UN NOM蹴O POSrrrVO γ OTRO NEGATrVO
En la s‑gu‑en†e f'gu「a Se 「ePreSen↑a la suma (+3) + (‑6)ニー3 de la slgulen†e manera. graf'CamOS el o「‑gen
de la fiecha 3 en el Oy su pu両final en e1 3・一uego el origen de ‑a f‑echa ‑6 ene‑ 3 ysu ex†「emo en el
pu而○○3
La sl'ma Se 「ep「eSenta medIante Ia flecha ‑3・ CuyO O「‑gen Se enCuen†ra en e1 0 y su pun†o f'nal en ei ‑3
I≡)
圏壁画
Obse「vaci6n: La flecha +3 se g「aflCa hacla 'a de「echa・ a Par↑l「 del cero Luego, la fiecha ‑6 hacia la
iZqule「da・ a Par†l「 de恒n†o +3 El 「esultado es la flecha ‑3, que Va desde e' cero al pun†0 ‑3
Pa「a sl,ma「 …血e「o pos一†'VO y O†「o negat'VO Se hal航dife「enc'a de sus va‑o「es abso厨os y se antepone
a汗esultado ei s'gnO de同調e「O qUe †'ene mayOr Valor absolu†o Por eJemPlo.
(←3)←(‑̀)こ‑3
Msc. Paco Bas†idas Romo & O†ros 38 N血eros ∈n†eros

ー∞ ‑7 ‑6 ‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3 4 ∞
因薗墨壷墨壷
Para sumar un ndme「o nega†'VO y O†ro pos'†'VO・ Se ha刷a d‑fe「encla de los vaiores absolu†os y se an†epone
al 「esul†ado ei s'gnO del ndmero que †iene mayO「 Vaio「 absolu†0
(‑3)←(‑1)= ‑4
R∈SUM∈N:
1 Posl†lVO + POSl†一VO (+7) + (+4) = (+ 11) posl†lVO
2. Nega†lVO + nega†lVO (‑7) + (‑4) = (‑ 11) nega†lVO
3 Posl†lVO ‑ nega†lVO (イ)+ (‑4)二(十3)
4 Ne9〔而∨○ ○P°引†NO (一7)・ (十4)二(‑3)
Observa⊂i6n en el caso 3 y 4 se halIa la d'ferenc'a de sus valo「es absolu†os y se an†epone ai resu航do
el s'gnO del ndme「o que †'ene mayO「 Vaio「 absoiu†o

NOM8R∈ 祢ﾘﾔﾔﾔヅ ∈J∈MPし° 巴ﾄﾔ#dﾄ
しosu調odedosれ心me「o与滴｣ﾅ｢ｳH+ .r ∪二及.∀0.∀b.5c(弛):
e両e予oscuoIe5qUie「OeS 坪 (.x ｢ c書b=CこうC∈Z
5+4 = 4+5 ｢ﾓﾖ#ｲ
0+b 二 b十0
Lossumandossepueden id 茶"ｳ2頂*H ∪二z.∀0,∀b.∀c;
Cualquie「modo.sinque ｲｳR (〇十b)→C=〇十(b十C)
4.MODU」A丁重∨○ 埜 VWV踞薮V h X V ｧ｢ﾓﾅ6 ﾒ討
EIce「o(0).seiio爪Q Y‑ﾅ F e6 7T V帽 R
eIe爪en†o jdきれ高co. 俾vﾘｨｨｨ V VX ｸｲ T (‑3)十0二〇十(‑3)二‑3
「e5ul†adocssIC巾PrCCSC
5.重NVE農丁工∨○ ﾈ R 十う +(‑う)二〇･｢ﾘｲﾈ8ｈｸｲ憧
(‑o),Se=o爪oinve「SO 坊 VX V へ V VSｲ 3+(‑3)二〇ｨ爾ｸｲ｣｣ #
Qd証vouopues†ode ｲふ騏譁V覃ｸｲ
(十〇)YVi⊂eVe「如.

ー∞ ‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3 4 ∞
上臆臆三三二†三
1 Resolve「 las s'gu‑en†es ecuaciOneS aP Cando Ios axiOmaS de la 'guaidad y de la adiC'6n de los ndmeros
en↑eroS. Rep「esen†e la soiuc'6n en la rec†a …m6「iCa.

(事4) ( ‑5) = (‑20)
S‑ OY b 50n壷me「o5e而e「osy
abニC, la leyde lossignOS Se
「esu爪e de Iロ与‑9U‑en†e f○○爪o・
NOMBRE 禰ﾊﾈﾔﾔ H*ﾘ*D ∈J∈MPしO 巴 $ﾔ#dﾈﾔ
EI甲oduc†odedos e而e「。与∴CUOiesquie「ces 滴･紊ﾓ ∪二z・∀0.∀b,5c(ヨ母
→8∈乙
引o予dehdeiosfQC†○○es H 紿蓼 H B ∪二z,∀0.∀b;
n°如e「Qeip「odu⊂†°, ×b二bxo d.b=b、a
3.ASOC工A丁重VO VVFV x WW V 6 6 R [(‑3)×(‑2)Ix6; ｧ｢ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
d色音‑CuロIqui○○ 爪odo,Sin 窒ﾓ2 蟯ふ" 綟ﾒ (QXb)×Cニ0×(bxc)
queal†ereeIp「oduc†o. Qb)⊂=ロ(bc)
4.MODUしA丁重∨° 埜 VWV蹂< 4 薮V X ) 末B ｢ﾓﾅ6ﾂ磯
日 uno(重).seiIomq $7V ﾇ V妨&貳蒙X V ｦ末B
CO, mu帖p曜QC竜n. 忘‑ﾇ觜 X+6X ﾖ冰ﾄ (一3)×ま二1×(‑3)=‑3 ﾆ ? I?

ー∞ ‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1 0 1 2 3 4 ∞
∈J批工虞?S i
l Resolver Ias s'guien†es ecuac'OneS aPl・Cando ax‑OmaS
l 重x十2こら 2 1×′3=3 3 1×十2=3 4̲1×+4=場5
う1×+うニーま 6 1×十4=1 7.ま×予2=‑4 8 1×+3=̲2
9 1×‑3二‑う 10重x‑2二‑7 1ま1×‑2こ3 ま2 1×‑4二‑6
13,重x‑5=2 14重×‑う二5 1うま×‑4二‑1 16 1×‑7二‑2
17 3=1×置2 重8 2二1×‑4 重95二1×+2 20う二重x+3
Msc. Paco Bas+idas Qomo & O†ros 44 N(ime○○s En†eros

「￣￣￣‑下oMB震巨禰ｹ t靫ﾔｈ*D EJEMPLO 侘ｲﾔ #iE
1.TRrCOTOMiA 2Y2.secu叩pieque: 聆｢ﾓﾈﾖ#｢
en†針oscuQiesquie「Q5e ﾓ"
CU爪pie肌OYSOiounQde G ﾅ6T8 5 VSｲ 0≠b・≒〉0>byo<b
i055i9uie両e5「色IQCiones; 鉄 "
与〇両9uqies,eil「Oes V7Y‑ﾇ妨 VS｢
爪ロYO「勺ueeI2do,Oe=「。 es爪eno「queei2d0. ﾈ 2
2.丁RAN与「「重∨○ 耻｢ﾓﾈﾖ" ﾖ3｢
了￣ヽ(「冕E9‑ﾄ毘uﾂﾈﾎ跖ｸｲ VWV &F 佻ﾇ8 VY‑ﾅ枇 R ﾆV蹂 R 5>2^2>0→ う>0
¥、̲̲ノ倆遊X 38 s 觀 V Yu B t W9‑ﾆ鑓 R ﾉ 3 R VR 1<2 ^ 2<3 →
eI3○○. 偬H*ﾓ2
9>3 ぐ÷ 3<9 ｢ﾖBﾈﾖ#｢
mYO「勺ueUnSe9…do, 冩>b⇔bくc
en†0れCe5ei5e9und○○5 爪eno「queeip〇両e○○. 鼎ﾃ (* C #紕 o>b⇔b巨
4.ADmVO 蓬ﾈﾆFB 7>3 2‑2 ｢ﾕﾈﾖ" ﾖ3｢
∴ ^ ‑ → 7十2>3十2
CU{中ui色「qeise面dode 鉄ﾃﾈ 9? 8 d<b^C二C二〉〇十C<b十C
(Ei与‑gnOnOCO爪biQ) FW6殆V 芳 F踐6 ﾖ& 5+3<9十3
NdmeropositlVO 聒ﾓﾖ" ﾖ3ｲ
∴ 芳W8ｼ T 芳 G6XﾘI) 2
CQP°「…mI5爪oen†e「o ●† i ddi *ﾓ偵" N心爪e「opo5砧vo(c→0)
(〔Isi9noCO爪bia5iei 芳W8*C裕芳 H 蹂 6 ‑ﾆ&薬 N心爪e「°n色9面vo
foc†o予esne90†jvo) ( T 6天Y: Y) 末5 R 秘 9‑ﾆX X ｶ覺 T蔗 8
∴ 遊觀 VYuﾆ S ﾘ Vｧf B YS紋 FV FW6等4薄F B 6 ‑ﾆ&薬 3(‑2)>9(‑2) ? 8 ｸ萪ﾆ"

∈×P虞ES工6N 妊Xﾌｸ4t靫 ^ t 僞JEMpし°
」opo†enc R 「o,eXponen†eO,de…=壷me予o ? v｢
en†e「○○.d oO 凵 odecero,es;gualal: 茶" +
:o≠0 窒ﾓ" ﾓ
」opo†enc 遊踉 W 8 VX B芳WV餉ﾖﾖX V ﾓ
en†e「O a.eSigUaialmlSmo nume「o Sln∴e 剴& "
expo彫れ†e. 01=o 剪ふ"偃Rﾓ"
3.POT∈NC￨A∈NEsrMA 犯 U ﾆFWV跏FﾖX V V VX V ﾆU6殆V 0)2二〇.0 2○ ○
POS工丁工VA(PEP) N青こく2.3.4.…) 2)‑2.2‑4 (‑2)之二(‑2)(‑2) (‑3)う=(‑3)(‑3)(‑3)
nVeCeS
NOM8貫きｨ,d ﾄTﾔ EJ∈MPLO
LaPEPpa「debaseposit'Va(+)onega†Na(‑)es 茶" ? B
posj†ハ伯: 茶2 ?
POSr丁重VAPA貫中ﾘ羝 ' R (‑2)2=4
(‑○)∩=×;∴h∈N青p○○ 窒ﾓ2 ?
LaP∈Pimpardebaseposi†iva(+)espositlVay debosene9Q†ivo(‑)鐸ne9Q†ivo: 茶" I? 2
(c)hこ×;れ∈N当面po「茶2 #r ふ" ﾒﾓ
(‑n)∩=‑×;h∈N青j巾pd「窒ﾓ2 ? ﾓ#r
Lapo†enciaen6simadeIproduc†odeǹme「os 窒ﾓ" 僞i? ふ"覆 Eb
en†eros,eSjgualalp「oduc†odelaspo†encids
P慮ObUCTO 坊緘6蒙 6FX ﾆ F V踐FVﾆ 6f 8 S VU2 (‑2.3)2二(‑2)2、32
(c.bγ=an.bh .y? 3b
4.POT∈NC￨A∈NEs￨MAD∈L Y$ VX.､8,ｶV覿9lｦ FV8 ｴ6坊 VVW 8 X ｲ F庸塗.｢ (‑6/3)2こ(一6)Z/32
cxQC†○)de而爪e「osen†e「°与,跨i9uOicIcocie両e
COC工EN丁∈∈×AC丁° 芳X ｸｷ7 VX 6薮6V靜 lｦ 2ﾆ( # (‑2)2二36/9
(a/by =an/bn;b≠0 的? B
OP蛾AC重6N ｨ,h ｸｿ凵ｸJ∈MPしO
PO丁∈NC宣AS 認V痘T 6Y‑ﾆ6 bqs ene . U冰覿7Vﾘｩ{ﾃ VU ‑ﾉ4 VSR ﾖﾘ (一2)2,(‑2)3二 (‑2)2 う二(‑之)う
Dei9UO Se爪Qれ 2 V覲ｽ bo与乞ySe「eS†oni05eXpOnen†鐸. 窒ﾓ" ﾂ｣" ? ふ" H *Cﾒふ" ? B
POTENC工AS 剪
5e調on 岬V覲 baseysemul†ip caniosexponentes ｲふ" ｣)? ふ"
PO丁〔NC重A 中ｬ毎+ ｸ y$ 兌(‑2)幸三26

EXPRES暮らN 禰 t靫ﾔヅ EJEMPLO
1.心電z∈Nお工MA ∈×oc†0
radicando.eso†「oen†e「oque.elevadoaiapo†encja 偃依I? % ﾃ#9?
∈×AC丁A 忘{76耗覿6痘VF 冤ｩ4鑓 V6H,尾襷ﾒ要れexoc↑o
N★こく2,3.4....) hﾍﾉ? 謌+ ｶ｢ J乏二月enZ
2.RA壬乙EN王ら工MAD∈1 犯 V gｦV緘6蒙 FVﾆW6殆V ﾃｲ V王二1
V丁こ1
3貫A宣zyp°丁ENC重A 犯 V 立 VV V緘6蒙ﾆFWV贍ﾖ 6ﾖX V V言二2
eh†e「o.5e5imp凪c飾 8ﾌｳﾕ "
〔Nお皿肌A: ﾒ hｾR ｣ﾖｶ耿 fﾗｸｲ搾二2 √季二重
V示=(昨)∩=0;0≧0^h∈N★p○○

NOMBR∈ ｨ $Tﾔ ∈JEMP」°
1,農A重きNお工MA PA農と×AC丁A Fﾄ6 襷 6 V庸ご gH fV觀F 7& W6 ﾆﾆW8 V 2 ∈×Oc†o
∃Q当庁こ±×;o>0<h∈N青p○○ 畑ﾋ H6ｩ 8*E
工nexcc†a:J言こ乱en乙宙ﾘ*B 3ﾓ(*B
2.Rqdicqndoi9ucioO:†je∩eu同○○i暮色IO.
N★=(2.3,4,...〕 Tiene3posib紺dades: Cﾓﾆ ' ｸｲ v厄三〇.臆, (0)2二〇
3.Radjcandonegatjvo(‑):nO†iene「afcesenZ. 9U9? ?ｶV蠅
V石二かh∈N★po「
1・Radicandoposi†No(リ:r eneunaraizposj†iva 品U8蔘( ｸｸゅ#9?
弛昨=・×;o>0<れ∈時当面p○○
工れeXOc†n;Vテ=乳en乙
工MPA員∈×AC丁A F ﾆ襷殆V ﾆｨ V坊覽ﾄ匁 V g｢ﾆS ?府=0
N賀ごく2,3.4...̲) Tiene3pos;bilidades: 苗cﾓ H 9h.ｧ R
3・Rodicondo〔e90†時O(‑):†ieneuno手oIzne90†博. 丶8+ 璽"粐ふ" + ﾓ
ヨ一〇:昨=‑×:Q>0^n∈N当mp○○
工heXcC†c:いちこかe∩Z
3.M主乙EN∈sェMA 犯 & 率V緘6蒙 FWV & GV8 V W6殆V ﾆﾇ V GV8 S 佃=沃・J
dela「afzen6simadecadafac†o「(definidasenZ):
DきしP員ODUC○○ ｹﾉ? ﾟ b 庸二生enz
4.RA壬乙∈Nお工MA W V 率V ﾆ耗 FV柳I[ 9<X ; 8 V W6燈U 躍 J了百万=J而/J石
COCien†edeiasrafcesen6simas(definidas∴enZ).
d'∨一dendoyd'ViSO「;b≠O.
∈×AC丁O ｨｬﾃﾘﾟ 7 5Θ( # Jう7ラ二乳enZ

CAP壬丁U」0 4
Nl)MEROS BACrONALES (Q)
4.l. rNTPODUCCr(5N
Los n血eros na†urales, N = (O. l, 2. 3. ), Se uSan Para COnta口os eIemen†os de Ios conJun†os En N
Se Puede suma「 y mul†iPIiCa「, y COn ambas ope「ac‑OneS el resul†ado es. en †odos Ios casos, un ndme「o
na†urai S‑n embargo. no siempre pueden 「es†a「Se … d'∨'d・rSe (n' 2 ‑ 5 n1 7臆4 son n11meros na†u「aIes)
EI conJun†o delos n心meros en†e「os, Z =( , ‑3ノー2. ‑1,0工2, 3, ),eS†dcomplleS†o po「 losna†u「alesy ios
CO「「eSPOnd'en†es nega†iVOS (eI O no es poslitivo n' nega†'VO) Ei conJun†o de los ndmeros en†eros pe「mite
resoive「 el p「oblema de la sus†「acc'6= de ndme「os ra「厨ales・ PO「 lo †an†0, en Z se puedesumar. …l†ip"car
y res†a「・ en †odos los casos Sun emba「go・ en general・ dos ndme「os ente「os no se pueden d'V'di「. por
eJemPI〇・ 3/4 Po「 es†a 「az6n se c「ea e圧onJuntO de los ndme「os 「acIOnales
4.2. N¥)MEDOS RACIONALES (Q)
∈l conJ…†o formado po「 las exp「esiones: a/b・ doれde ay b son n血eros en†e「os, COn b d‑fe「ente de cero.
Se llama conJ…†o de los ndmeros 「acionales Se rep「esenta con Ia le†ra Q車Q. maydscu'a (neg「'†as) La
le†「a l用C'al Q se der'Va de quo†ien† de同g16s, 「eS両ado de la dlV‑Si6n
Qこく×/×二告∈Z<b∈Z,b≠0)
S' COnS'de「amos el conJun†o de ios ndme「os en†e「os・ Z =上′ ‑3・ ←2・ ‑l・ 0・ l・ 2. 3.上e巾OnCeS, Se Pueden
esc「一bir algunas f「acc‑OneS d‑V'd‑endo・ POr eJemPIo′ e1 1 pa「a cualquler ndme「o en†e「o, eXCeP†o el ce「o.
1/2.ま/3.1/4,重/う.ま/6,重/7. 6∴ま/‑2.1/‑3,1/‑4.重/‑う.
Del mlSmOmOdo,COn el nJme「o 2:
2/3,2/4,2/5.2/ら.2/7,2/8, 6 2/‑重.2/‑2,2/‑3.2/‑4,2/‑う.
yロs了sucesiVcme両e
3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6. 3/7. 3/8. . 6 3/一2. 3/‑3, 3/‑4, 3/‑5,
4/1, 4/Z. 4/3,4/う.4/6.4/了. 4/8. 6∴4/‑1, 4/‑2. 4/一3,4/‑4,
0/ま,0/2,0/3.0/4.0/う, 6 ‑0/2,○○/3.○○/4∴0/う..
Los ndme「os na†uraIes y enteros son subconJUntOS de los ndme「os rac‑Onales. ya qL e Se ob†ienen ‑ned'an†e
el coc‑e両e de s白nismos pa「a ia …dad (a = a/1) o cuando ei nume「ador es m冊ipio dei deno爪mado「.
3/1= 3.4/2二2 (n寄れe「o博†u○○上帥†e「。) 6 ‑3/ま二‑3, 4/‑2こ‑2 (而爪印o如e「o)
Observaci6n. losれ心meros racIOnaies no en†eros se Ilaman f「acciona「ios Se 「ep「esen†a con la letra F
∈n el conJun†o de los nine「os en†eros (Z) cada n血e「o †一ene un S'g…en†e, PO「 eJemPIo. el slgu‑en†e aI 3
es ei 4′ el siguien†e al ‑3 es e上2 En eI con」=ntO Q de los n心me「os 「ac‑Onales no pasa lo m'Smo, PlleS eれ†「e
Cada dos n心meros 「acionales exis†en infini†os n心meros 「acioれales.
Msc‑ Paco Bas†idas Romo & O†ros 53 N寄me「os Racioれales

Las fraccIOneS, a/b. cons†an de dos t6「mmos. a =amado …me「ador y b denomlnado〇・ Po「 e」emPIo. en 7/8・
e1 7 se i ama nume「ado「 y ei 8 el denomlnado「 La f「acci6n: 7/8・ Se Pueden escrlb‑r・ ademds, de la fo「ma
台7‑臆8・〔n la expresi6n: 7、‑8・ el numerado「 es el dlV‑dendo y ei denom'nador el d'ViSO「
Pa「a lee「 una f「acci6n se enuncia P「imero e同unerado「 y despu6s el denomlnado「 Por e」emPIo:3/2 se Iee
十手es medlOS・・ Sl ei denom'nador es mayo「 que 10, Se a和de al denom…ador la †e「m'naC‑6n 、 avo ・ Po「
eJemP'o. 4/12 se lee cua†ro doceavos′′・ 7/15骨e†e qulnCeaVOS ・ e面e O†「os
4.2 1. CしA与ES D∈ NlタMEROS印AC偶ONAR工OS
Los ntimeros f「acc教Ona「lOS Se ClaslflCan en PrOPIOS e imp「opiOS
l. FRACCt6N PROPIA: Cuando el間merado「 es meno「 que eI denom・nador Toda fracc・6n
p「o叩eS menO「quelaunidad PoreJemPIo 2/3 7/8・ 9/13・ entre O†「OS
2. FRACC￨6N rMPROPIA: CUando el nume「ado「 es mayo「 que el clenom'nador Toda f「acc16n
‑mP「OPia es mayo「 que ia …dad Por eJemPIo1 3/2 4/3 7/5・ entre O†「OS.
se llama n血e「o mixto aquel que ⊂OnS†a de … enterO y una f「acc'6n Pa「a convertir un n心mero m'×†o en
fracc'dr, Se m冊一P"ca ei ente「o por eI denomlnador′ al produc†o se suma eI nume「ador′ y eS†a suma se
div'de po「 ei denom…ador Por eJemPio1
1÷二色塾上皇∴二‥呈
3 3
para corIVe「†I「 una fl.aCCi6n impropia en un ndmero mix†o・ Se diV教de el nume「ado「 para el denom̀nado「
sI eI coclen†e eS eXaC†0, ds†e 「ep「eSeれ†a un ndme「o en†e「o; S川O eS∴eXaC†0 Se a私dei aI en†e「O un
queb「ado que †enga por numerador ei res†o y po「 denominador eI diV'SO「・ Po「 eJemPIo. 11/8 = 1言
霊豊麗慧聞
1 Ha=e ia fra⊂Ci6n co「「espond‑en†e a los slgu'e面es ndmeros m'X†oS
1 2言 2生∴∴∴∴ 3幸 4享 51‡
6ら三 7 5‡ 8・5言 97言∴∴∴∴ 103‡
2 Halle ei ndme「o miX†o co「reSPOnd'en†e a las s'guren†eS fracc'OneS:

p〇両e en†e「0 (ま)
十竺雲上
1 G「afIque. en la 「ec†a num6rlCa, Ios s'guien†es ndme「os 「ac'OnaIes
1 2/3 2 ‑4/5 3 2/7
6 ‑ 7/2 7. 7/3 8∴‑ 9/4
11 4/3 12 ‑9/うま3 10/3
16. 11/3 重7 ‑まう/4 ま8 13/5
4.2.3 戸RACC工ONES工GUAしES
[三三]三
1 Ve「ifica「 s‑ las sigulen†es f「acc10neS SO用guales
まl/3Y2/6 2 重/5Y‑2/ま0
5. ‑7/14Y 21/42 ら.‑3/4Y ‑9/3ら
4.2.4. SIMPLrFrCAC￨6N DE FRACCIONES

7 9i 聖二聖二冥 6∴鴛二誓言
Obse「vac‑6n el proceso anter‑O「 equ'Va‑e a diV‑d吊os dos t6rm'nOS de ‑a f「acc'6n・ SuCeSiVamen†e, POr
Ios fcc†○○es comun巳s o dICh°S竜minoS
監監醒
1 S'mPl‑f'Ca「応slgUIen†es f「accIOneS:
1 18/30 2 ‑1う/3う 3 10/2う 4 ‑6/22
5重4/28 ̀重2/3̀ 7ま6/32 8重5/30
9 ‑8/24 ま0 21/35 11 ‑8/12 重2重5/20
4・2 5. EXPRES16N D∈CTMAL DEしOS NUMEROS RAC￨ONAL∈S
S' el n mero 「ac10nal no es entero, a' d'Vidi「 el nume「ado「 pa「a el denominador, Se Ob†一ene la exp「es'6n
dec'mai del ndme「o 「ac'Onal dado Por eJemPIo. 1′2 = O・5 Pa「adiS…gul「 la prlme「anO†aci6n de la segunda.
Se COnVlene 〃2n =amar n丘uero decinaI a la segunda.
Msc. Paco Baslidas ftomo & O†ros 56 N心meros RacionaIes

Ha=a「 la exp「esj6n dec‑mai de; 3/4 y 24/5
3/4 30 L臆臆1̲̲
2○ ○,7う
0
24 」
40 4, 8
0

山‑ さま∴e
亨I !曇まく! ! i くらま∴まま」i ( i !十三
1 L3 2 ∞

「￣にoM醒妊Thﾔﾔ #d ∈丁EMpし° 派 7$ﾔ" Dﾇ$4
1.D工C°丁OM壬A 3/4Y3/25on 耻ﾓﾖ#｢ﾖ); &"
「ocionoies∴∴C仰Ie5quie○○ 芳貿X VX.ｨ VW32 Hｮ " ‑ﾂ % g8 ｩ{ﾃ氷ｸｹ b
SeCu爪Pieunaγ50Iouれ0 deIos si9uie面鐸
「eiodones!Soni9uOIeso #ﾓ2 .r
2.R∈「しきXェVO 彦 F 貳蒙W& V 6柳ﾆW2 SeoeI高調e「oQこ‑3 ﾈﾓ｢ｩ? ｢
○ 俣謬ﾗ6fﾖ ‑ﾆ Iue9○○3ニー3. Sies‑2/う,‑2/うニー2/5
3.与エMm工CO V頽H ｸｶ 9‑ﾆX V V ﾆｶﾔ 2/3∈QY4/ら∈Q: t定ﾓﾈﾖ#｢
/(ヽ W lｩ h ｸｶW6｣遊F 2
2do.e申VOie∴Odeci「que 3ﾓB h* CB .sﾓ" 2 。ニbく⇒b二〇
o b ¥̲∵ 坊 F W6痘V 躍偬H S
4.TRANSITlVO 3/6ごま/2 < ま/2こう/重0 ﾓﾈﾖ"ﾈﾖ3｢
(/ヽ了ヽ f｣郵*ｶ萌V F 剖8 VR
i9uQIaun3「o言爪申c叩ue
O b c J 坊偬H t W6痘V 柳 S
5.AD工丁重∨○ ﾓﾈﾖ"ﾈﾖ3｢
÷∵ 魅裕芳 H ｩX 7Y‑ﾆ V Io喝uQIdod:3+う=8与e
Cualquiera,la「elaci6nde V坊覺｢
o∴書∴⊂二b◆⊂ 俣裕 Mﾆ H 6X 6 Yuﾇe
(subsis†e,pe「mQneCe). 之 V W6ﾆ殆V 芳 G6R 4 X Uf 汀(+ 汀"停
Siioi9UロIdod4書2二6si t｢ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
二至上俣裕芳 G6X葮}W 末9$ R Semu面plicapo「l/3.se 宜ene:
Cualquie「a,la「elacj6nde 茶B Rｳ" *B 3ﾘ.r *H ﾂ 2
axcこbxc 祷 U6 {乏 X Y‑ﾅ覽6R陳 O「†antoa'gualdadse COnSe「VO(6/重5=6/15),

EJe爪pi〇・
l2上2^上2l=2→l21」‑21
「3/7上3/7 ^十3/7l二3/7一再/7i二十3/7i
口
丁
9
‑
3
3

3窪
41言
巨三三可
1.∴ Suma「 las slgulenteS fracc'OneS:
1重/2Yう/4
4 う/3Y2/5
7 4/5 Y 13/ら

豊璽豊醐
し∴ Su爪o「 Ios 5i9Uien†es n心爪e「os en†e〇°S Y mIX†os
重吉 2巨∴∴∴∴ 3・与1 4三日
5計ら3・4‡ 7十5 8申
4.4.3. AXrOMAS D∈ LA ADrC工6N DE LOS N¥)MEROS RAC重ONAL∈S
Son los m'SmOS qUe Pa「a los ntime「os en†e「OS y SOn Clausu「a†iv0. COnmll†a†ivo, aSOCia†ivo, mOdula↑lVo
e inver†ivo. A con†inuaC'6n se 'ndlCan la def'n'Ci6n, un eJemPIo y la fo「ma s‑mb6llCa de cada lInO de los
Obse「vaci6m eI slgいen†e esquema p「esen†a alg…OS ndmeros racIOnaies y sus respec†'VOS OPueS†os EI
opues†o de un nJmero 「aciOnal a es o†「o ǹme「o 「aciOnal ‑a Po「 eJemPIo.
‑7I2 ‑713 ‑112 1 I2 7I3 7I2
† 」」 †
田
圃
園
田
l
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4
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う

NOMBi‡E 禰艙 X D8ﾔヅ ∈J∈MPしO 巴 $ﾔ#dﾄ
重/3Yま/2∈Q< ･ﾓﾈﾖ"ﾅ63｢
q 心nico. ﾂ 8 )? *B R コ h 0+bニC⇒C∈Q
EIo「dendelossumandos ∪二Q.∀Q,∀b:
3/う ( ? ( ﾈ｢
3.ASOC工A丁工∨○ X VVFX C UW T (重/2+3/4)+2/5= ﾖﾖ" ﾖ3｢
αOCio「decuロIquie「 modosinque∴al†e「ela ﾂ "ｲ Bｳ" *B (〇十b)十Cこい(b+C)
Su爪Q†0†0上
4.MODULATIVO 埜 VX尨 Ⅲ蔟冰踐薮V 白 2/3+〇二〇十2/3二 2/3 耻ﾓ｢
Eic〇〇〇(0),与e 肱爪o 也Y‑ﾆX X ｹuﾅ 6毘‑ﾆﾈ V VR 7Vﾕ H $4 X8ﾖ V帽 R
elemen†o id6面co, 俾y‑ﾆX ｨｨｨｦ6ｦ踐定 V (‑ま/3)十〇二0+(‑1/3)
予e5山†odoes5ie爪p「eese
=‑1/3
5.￨NVElミTlVO X ( E .ｩ 9+&X ｸｲ +3/5十(‑3/5)二0 耻ﾗｲｸｲ討
(‑○),5eIIQ爪Oinve「so 俾vﾙjH ｸｸ V ﾆ柳踝窒ﾖ V 3/4・(‑3/4)二0 ｲｸｲ噸･ #
aditlVOuOPueS†ode 倆遊Xﾋ霄窒ﾓ｢亰 F
(+○)YVjceve「与0、芳貿X VV VVFV6X ｸｲﾂ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞
!璽醤豊艶
1 Resolver las sigll'enteS eCuaC'OneS. Rep「ese巾e la soIuc‑6n en la 「ec†a num諒ca.

NOMBR∈ 妊YnT d8 H*ﾘ*D E丁EMPしO 侘ｲﾔ ( ﾙ?
iip「oduc†o de dos 5釘 *H ∪こQ.∀0.∀b.Sc:
Cuolesquie「億 eS∴1川モ *H QXb=亡⇒C∈Q
EIordendeIosfac†o「es ∪ニQ.∀0,∀b:
nooi†e「oe恒子oduc†0. ×b=bxQ a.b=b.0
3.ASOC重A丁重∨° X VVFV x WW ｸｲ [(‑章/3)×(一重/2)書x重/6 ･ﾖﾖ"ﾈﾖ3｢
OS°Cね「 de∴CUOiquie「 0×b)xcこQX(bxc)
爪odo,Sinqueo庇「eei P「Oduc†0, ふ 2 苒ふ " h ｢ (Qb)c=0(bc)
4.M°DUしA丁重∨○ 埜 VWV蹂< 6 薮V 豚 V 耻ﾓﾅ6ﾃ｢
Eiuno(1).雪e=Q爪a I†‑d 彪Xｬ Y ﾄ4 F R ﾂ
(‑3/4)×1=1×(‑3/4)= 傚 y? ｦﾈ6｣
mui†坤⊂OCj6n. 忘‑ﾇ VX X劜瑛｣Y‑ﾆ ‑3/4
う.工NV∈R丁重∨○ V E 8ｽ X ｸｲ 5×ま/う =1 ･ﾖ2ﾈ8ｃ討
(ま/o).se岨mo高ve「so ii VD6柳踝薬襷貿X VV VVFR
m冊iPICa†lVO,inVe「Soo 「e昂p○○code(o)Y VICeVe「SO. V66柳茶 V VS｢ R 豚‑ﾂ (‑3/4)×(‑4/3)二1 R 豚‑ﾃｶ # 8ﾒ R

+
2
▲
,
1
⊥
2
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葛
に
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一
2
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3
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▲
‑
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2
0

NOMB貫E 禰ｹ t靫ﾔヅ丿T､Tﾕ +T 戸.扇面云㌃「
l.TR工COTOMiA % ﾂ Eb騏觀7Y‑ﾇ亡｢ ∪=⑭.∀0,∀b:
○○cionoies cuoI色squie「ロ /2二重/之
SeCumPIeunasoIadelas †i 凾､/2Yl/2.secumpIe: う/2>1/2 6ｦ"ﾃﾆ *ﾖ"
与i9 ーe ーe ‑e 偬H V W6痘VI: &F 重/3Y8/3,5eCu叩Ie:
1○○爪oYo「queei2do,0 l「omenorquee12do. 8 ﾈ 2
2.丁食ANS「「工VO ∪二Q.∀d,∀b.∀c:
/￣iヽ/￣ヽ g9‑ﾆ枇 R ﾆV踵uﾂ WV F ﾂｸ*H R #
o b c 忘YVY‑ﾅ鑓 R ﾈｵ R ﾆﾆWV t 觀 V W6S V
¥、̲̲ノ i‑ﾅ鑓 R ﾖV ｸ R VT 8 ｸｲﾃr "
∪二Q.∀○,∀b:
爪Qyo富里euれ5e9…do, 剴ﾆ#ﾅ
eh†oncesei5e9Uれdoes ﾆ(*ﾘｶ#
同eh○○queeIp「ime○○. 剴ﾆ(ﾖ3
5.AD工丁重∨○ 芳W6ｦwV ﾆF G6X 7Vﾖ V ∪=Q.∀Q,∀b.∀c:
∵‑ (EI5iqnonocombio) VF V帽 V ﾆV YlｦF FR
ladesigualdadnocambia.
d ldd 帖l 儂dmeroposl†ivo 3/5<9/22‑2 耻ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
eSI pO「「cci 尾 6優錨 Vﾂ ^ ‑ ‑〉秘 6ﾖX ｸｷ 9lｧf 3
(EIs手9れoCOmbio5iei V蹤芳 FVﾆ FW6殆V ﾆF B 秘 9‑ﾆX V 覺 T蔗 N心爪e「one9〇両vo(c<0)
foc†0「eSne90†ivo) 匁 8 &ﾖ& X V 6 R
∵ ﾇT R V ﾆ FV 坤CqP°「un証爪e〇° On口iれe90†ivoeは9n○ ○desiquoidod⊂O爪bio. Rふ"薙汀"ふ"

べ・喜一音‑‑‑‑∴二二二一一〇〇・
誓‡章二竃
∴三十一」〇十 ∴∴こ
CO

∈×pRお王らN 禰ｦXﾌｸﾔ 4t8 H*ﾘ*D ∈J∈MPLO
Lapo†enciace「o(exponenteO)dellnndmero 茶 *B ﾘ
racionaIa.distin†odecero,esigualal; 窒ﾓ2 B ? B
oO=1;c≠0 窒ﾓ" *B ? B
Lapo†enciauno(P「ime「apo†encia)de…ndme「o ? ｢
「acionaia,eSiguaialmismo ndme「o sin e ｣2
expone∩†e: 01=○ 窒ﾓ" 2 6ｨｳ" 2 葵ｳR ? ﾓR
LaPEP.deun…merO「aCionala.esiguaiaI 茶 " ?
PrOduc†odenvecesa;Siendon>1: 茶 "茶 "
POS￨T工VA(PEP) ( )%Xﾇﾈ 8. ｸ跖｢蘿T652 (‑3/2)2=
N青=(2,3,4,...) ‑3/2)(‑3/2)
LaPEN.deu…llmerO「aCionaladis†in†odece「o, ? 披
esig=aiaiinve「sodelapo†enciaconexponente ﾓﾓ "
NEGAnVA(P∈N) 8 ㌶ﾃ｢ 2￣3二1/23
(3/4)￣2二重/(3/4)2
NOMBRE ､T ｭ Tﾔ悩)､Tﾕ d
l.POT∈NCrA∈NEsrMA h墸 U VFV&76W 8ｭC ご .ｩ c V庸ぴ妨2 忠訂Eb ?
po与柄vQ: 2/3)Z=4/9
P°Sエ丁重VAPAR 中惇Ω ｧ R 窒ﾙEb 2 ? B
(‑o)∩二×;∴h∈N ｸｲ (‑3/4)2二9/16
LaP∈Pimpardebasepos 沫f2ご妨7 8ｶﾗe < V庸｢ (2/3)主8/27
debロsene9o†ハ伯(‑)鋳れe 3/2)3こ27/8
(o)∩=×;h∈N青 R +' ｸｲ (‑2/3)3二‑8/27
(○○)hニー×;h∈N ‑3/2)e二‑27/8
3.POT∈NC工A∈N∈S￨MAD∈L 犯 VV V 蒙 FVﾇ & GV8 V FX.ｩ{6ﾖX V 2 粉 R茶2 b辺
racronaiesesiguaiaiproduc†odelaspo†encias
P瞳ODUC丁O 坊緘8 Vﾖ 6FX ﾆ F X.ｦ FVﾆ 6f 8 V VW2 茶" *B ﾂ
(o.b)nこon.bh
4.POTENCIAENおlMAD∈L 犯 VV V靜 6ﾖ FVﾈﾄﾆｦV VVFV襷ﾖW& 2 粉ッ *B " c)?
racionaies(divisi6n).esig
CoαEN丁と VV 薮6X G9lｧ 2ﾆ( # 茶b *B "
(o/b)n=oh/bh;b≠0

OP軸AのくうN ｨｿ Tﾔ ┴ +T
Dei9Udibose: ‑宣/2)2子1/2)3=
Se爪on† 末V觀ﾆ & 6W W7Vﾖ貳 6W 觀 VW2
PO丁ENC工AS 剪ふ " c3ﾒふ " B
Dei9uOi 3e爪on† 6Sｲ坊觀ﾆ & 6W X VW8 V 譁 6W 觀 VW2 (‑宣/3)4/(‑1/3)e=
PO丁ENC工AS 窒ﾘ‑ﾂ 2滴 cﾒふ 2壷Eb
Se爪on 末V觀ﾆ & 6W VﾗVﾈ Xﾚ66 譁 6W 觀 VW2 [(‑2/う)当2=
(o巾)∩こo剛
P°丁∈NC工A 剪ふ" R ? ｲ *B乏
Obse「vaci6n:Pa「a†odoa「acionaIynen†e「ose†・ene:‑an二‑(an),PO「eJemPIo‑24=‑(24).
〔×P暖与ェ6N 妊Xﾌｸﾔﾔﾔヅ ┴ +T
1.RAfz∈NおrMA 犯 V gｦV緘6蒙 W 8 V FWV跏FﾖX V V 6柳ﾂ埜ﾈ X
iiamado「adicandoeso†「o「aciona仁x'′.que.eievado 剋O伯万テ=2/3ト.
EXAC丁A. VV V緘6蒙ﾆU6殆V ﾆﾆﾗ6ﾖ V Fｦ6 襷茶" 2偃S #r
N章二(2,3,4,…) + 聒ﾈ4ｳﾖｨ.ｨ "
工れcXoC†Q:J乏万二からnQ
2.貫AizENお工MAD∈1 品{ 爪Qde重esi9uqIo宣: 1 ﾈ+
3.RA宣ypo丁∈NC重A 犯 V 率V緘6蒙 VV V緘6蒙ﾆFWV贍ﾖ僭φ" *B vi? ﾓ" *B G ( ﾈ*B Gﾈ+ 披
n心爪e「o「ocionoic.sesi爪piificoれ‥
∈N∈S工MA; 品lｨ+ 衣 y? ｩﾈ 9i+' ｸｲ
陸中こ(咋)∩=o;o≧0^n∈N青p○○
Obse「vaci6n. la 「aiz de un ndmero raciOnai no s'emPre eS POS‑ble, S6io ocu「「e ⊂uando la 「aiz en6sima eS
exac†a (def niC16n l) Po「 e」emPIo ̀句高二±2/5 ・当主2/5)2 = 4/25 La 「aiz /∑7秀no es posibIe, en los
n竜me「os 「ac'OnaIes po「que no ex'S†e ning血n竜mero que eievado a la po†encia 2 de 2/25・ Del n¥'SmO mOdo.
ia 「aiz de ̀何75. no es posible porque no exIS†e …g血n血ero 「ac‑Ona恒e eievado ai cuad「ado de 4/3
Msc. Paco Baslidas Qomo & O†ros 75 Ndmeros f近cianaIes

NOM馴ミ∈ ｨｹ陏Dﾔ ∈JEMP」O
1.貫A壬之∈NおェMA pAREXAC丁A N置こく2,3,4,..,) 丁iene3posibiiidcde5: F 襷 6友庸ご gFﾆV觀F 8 V W6 VW8 V 2 Exoc†a
ヨ〇号眉こ圭×;∴0>0∧h∈N青po「畑ﾜｳx sﾘﾓ" *E
要れeXoc†o:、廃二九ehQ 宙ﾓ" *B ﾓB (*B
2.RadicandoigualaO:†ieneuna「afz.eiO )n 6｣ B
V百三〇:h∈N具p○○ 茶ﾓ
3.Radjcandonega†ivo(‑):nO†ieneraicesenQ. 9U3xｶ ? 咤 5
V:石=短n∈N*par(no†ienesoluci6nenQ)
2.RA壬zENお工MA 工MPAR∈×AC「A ﾂ F F 9lｧf ご i{ﾆX.ｦWX.ｨｨｨｦ立 8ｶﾗf Exoc↑o
∃0当庁=・×;o>0<れ∈N当調pa「刧 x蠹ﾓ" 5
工nexo⊂†o:昨7示=乱enQ 茶" 2偃S #r
2.鎚dicandojguaiaO士ienellna「aiz,eIO 侭ﾉ?
Tjene3posibiIidades: 品U9? ｩﾈ 9i: ｸｲ
3.Rロdicondon乞9a†jvo(‑)∵吊eneuno「oIzn色9ロ高vo. 埜 8 ｦ
ヨ一〇:V二百=‑X;o→0^h∈N裏面po「品? ﾋ繦{ ﾒﾓ" *B粐
宣hさXoc†o;洋弓7蚕これe∩Q 宙璽" *B ? ﾓ #R
3.賢A立∈Nお工MA 犯 V 率V緘6蒙 FV V GV8 V W6殆V ﾆ V GV8 V FR ∈×OC十〇
ia「afzen6simadecadafac†or(definidasenQ): ?
DELPRODUCTO &#ｩG ﾟﾋ南方‑.J黍7示二
暮れeX○○†d:而翻す=乳色れQ 茶" 2停 B b
4.RA壬z∈Nお工MA V V {率V緘6蒙 FVﾆ6 6坊 VR襷V蹤蒙W& 8 V 6柳ﾆW2 ∈×OC†o
esiguaiaIcocien†edelasraicesen6simas(definidas enQ).dividendoydivlSO「;b≠O. 巍iﾉ{ﾈﾊ
Jう万/直訴汚=
ヨQ,b言伝有￣=昨/砺:b≠0
重hCXO⊂†o:J(2/9)/(う/ら)=軋enQ ( B R
2 Ha=a「 el valo「 de lavarlabie:
まJテ二9/重0 2 、反=‑3/4 3・汚=‑2/う 4 V… =3/4
う預二〇1/Z 6醤=‑2/3 7醤=‑う/4 8醤=3/う
3 Escrlba ias p「opiedades y †eo「emas de la 「adicac'6n apllCando el ax10ma Slm封rlCO (=)
4. RealiZar las ope「ac'OneS y eXP「eSar Ia respues†a con exponentes pos †lVOS
1ト串)午3 2

CAP￨TULO 5
NlタM軸OS随Aしお(叩
5工重N丁良ODUCC暮らN
En ei con」…†o de los ndme「os N = (O. 1, 2. 3,弓, uSados pa「a c。n†ar los eIementos de un conjun†o, ias
dife「enc'aS (restas) en las cuales el m'n∪endo es menor que eI sustraendo no †'ene 「eSPUeS†a. por lo que
Se d'Ceque nO eS†drdef刑das, PO「 eJemPIo l ‑ 2. 2 ‑ 3, en†「e o†「os.
Po「 o†ro lado・ eI conJllntO de Ios ndme「os na†u「ales no pe「m一†e la cons'derac'6n de magnl†udes que dan
山ga「 a dos sen†ldos, COmO la †empera†u「a (SOb「e十Ce「O O baJO CerO) Por es†as razones, e面e o†「as. fue
necesロ「○○ O面pI‑q「 ei co間u両。 de Ios n心爪e予o5 n小u「Qies. ind=Yend〇両爪乞「o5 ne90†‑∨OS
∈l conJun†o formado po「 l。S ndmeros natu「ales y sus ooues†os se llema conJU而o de los ntlmeros en†eros
yse 「epresenta con la letra Z =上‑3ノー2ノー1, 0. 1, 2, 3, 〉 Es†e conj=ntO Perm一†e 「esoIve「 el problema
de la sus†「acc'6n de los ndmeros na†u「ales en †odos los casos y †amb諺n el de las mag用†udes qlIe dan
Jugar a dos se両dos ∈n el Conjunto乙Ias dlV'SIOneS: 4/7, ‑3/8, entre O†ras川O estdn def…das, POr eS†a
「az6n fue necesa「lO amPl'ar eI conJu而o de losれ心me「os en†eros.
EI con」un†o fo「mado por las expresrones: a/b, donde a y b so…dmeros en†e「os. con b dlfe「ente de ce「o,
Se Iama coれJun†o de los ndme「os 「acIOnaIes: Q= (X/×二言・ a ∈Z ^ b ∈Z, b z O)しos na†u「aIesy los
ente「os son subcon」un†os de ios nLimeros 「ac10nales
S' d一∨一d'mOS el nume「ado「 para el deno個nador, de =na fracc'6n. el coclen†e puede se予一
1 Unれ竜me○○ en†ero EJemPIo; 2O/4 = 5
La d一∨一Sit;n es exac†a po「quel el res†o es O, en E1 20 se仕ema dlVldendo, ei 4 diViSOr. e1 5
鐸†e cq50 Se †「ロ†Q de壷爪e「os en†e○○s coc‑e∩†e Y i O 「es†0
2 Nume「o decjmaI exac†o. es dec'「∴COn un EJemPio. 1/4=O.25
ndmero flnl†o de clfras declmales
La d Vrs'6n es exac†a po「que e五es†o es O EI O.25 se liama decmal exac†o
3 Nume「o decima=nfini†o peri6dico puro. es EJemPIo: 1O/3 = 3.33333.ニ3.3
dec'「 COn lnf'nl†as∴Cifras declmales que, a
po両「 de Io com. 5e 「eP庇n 〔n es†e coSO IQ f「occi6n lO/3 se deれ°調inQ
しas clfras que se 「ep一†en se肱man pe「iodo pe「16dica pu「a (el pe「(odo es 3)
Observac16れ: Se usa el sinbolo 〈・′. sob「e e‑ perfodo, Para eVi†ar la repet'C'6n del m'SmO
4. N心mero decima=nfini↑o pe「・6dlCO m。(十〇, eS ∴∴ EJemPIo 7/18ご0.38888. = 0, 38
deci「 con 'nfinl†as cif「as decimales que, a
Pa「†ir de Ia coma, alguれaS nO Se 「ePl†eny o†r(ts∴∴∴∴∈高es†e caSo la f「acd6∩ 7/18 se denomina
Sf pe「I6dico爪教X†〇・ El pe「了odo e与8 Y ei宜〇
日 no periodo es†d fo「mado por庵c'fras periodo e1 3
COmP「endldas entre la coma y el periodo
Po「 Io †anto, unれ̀mero dec'mal puede ser exac↑o e inexac↑o pe「i6d'CO PUrO O mix†o Toda expres16n
declma上ob†e用da de es†a manera. se puede †ransfo「ma「 e掴na f「acc‑6n,肱mada f「acc16n gerle「a†r'Z de
la expres・6n declmai Para ha用a「 la f「acc‑6n gene「at「'Z de …a eXPreS16n declmai exac†a o pe「i6d'Ca. Se
p「ocede de io 5I9uien†e爪one「Q

En gene「a上los n血e「os lr「aCIOnales de Ia forma /a. sjendo a un nlimero natu「al, Pueden 「epresen†a「Se
sobre la rec†a 「eaI descompo…endo p「eviamen†e eI ndmero a en llna Suma de cuad「ados Por ejemPIo
I Pa「a作se†lene 2 = l2+l2 2 Pa「a/5se†lene 5= 22+12
3 Po「〇、信5e巾とne. 3 = 12 + (J言)Z 4. Po「QJ〒5e †ほれ色7二22 + (、何)2
監砦星型
1 G「afique los s・guieutes n心me「os i「「a⊂lOnales
宣、信 2.∨石 3̲J宮 4う+、伝う‑3十Jう
5.3.高IM∈ROS京∈Aしお
EI conJun†o fo「mado po「 la unit5n de los ndmeros 「acIOnales y los n心me「os '「「aCiOれales fo「man el conJl n†o
de los ndmeros reaIes Se 「ep「esen†a con la le†「a隠O R, may心scuia (れeg「i†a§)

NOM8賢∈ 妊Y t靫ﾔｸ*D 〔J∈MP」O 侘ｲ Dﾔ(.x+Xﾔ
重.D工CO丁OM壬A VV ﾆW8 7V ﾆW7 V帽 V 6R 4y3sondife「e両es4≠3
CumPieunaysoiounade ﾂ '飛 G8 ｶ謫謬妨2 a=bととc≠b
Iossi9両en†es「eiocione与: 5On∴19uOIcsoson 偬B (+ B
2.R∈干し〔×工VO 仗 H ｩ{ﾉ‑ﾆX V X v妨6痘T 5eoein色調e「o「eoi3, M8 ﾕ｢ﾓ
○ 冓ue9o3=3・ Sie5‑之,‑2二〇2
3.S￨METRICO 遊ﾆﾘｸｶ 6ﾖ8 ｨｨｦVB 重/4∈RYO.2う∈R; ｩ' ﾔrﾈﾖ#ｲ
/( ▼ V ﾇ X VW& W6殆V ‑ﾗV
o b 添 c彪襷ﾆW X黐坊 FV6 R 重/4二〇,25ぐう0,2う二重/4 ﾖ( ﾆ#ﾔr
¥̲/ノ佛觀V天S 6F W8.GX ｨ
p「ime「〇・
4.丁貫ANS「「工∨○ 5 V蒙X V 6ﾖX V VX ｴ 0,う二重/2^1/2二2/4→ ' ﾘ8ﾒﾖ"ﾈﾖ3｢
//ヽ了ヽ q b c 妨8ﾘ謬 V綏S 6F 0,う二2/4
鐸†ej9Uaio…†e「ce予o.
¥¥」/ノ末ﾙﾄ6 VVV V蒙X V W2 殆V : VX V6X S
う.AD丁「工VO S吊Ioi9U口Idad3+う二8 栞ﾓ蘿" ﾖ3ｲ
二〇二俣謬芳 H 6X ザY‑ﾄ V
Po口0†anto.Iaigualdad
CuQi叩ie「o.i○○eiQC毒nde
c∴十C=bヽ∴亡俣裕芳 H VX 6 X Ud
(SUbsi5†e.pe「爪肌eCe). T6 X Ug ? "停
S=ロi9uQidQd事2こらse H粨ﾓﾖ" ﾖ3｢
∵ 末wV 芳 G6VﾗYlｧﾆ " 剛I†申c°PO「3se†了ene
CU(中山ie「Q.l〇〇〇I億cj6nde 茶Bｳ" ? g
0×(二三bxc 俣裕芳 H 7V'6 VR 6R Po「†an†o.laigualdadse
COnSe「VO). x蠇f 悼? ｒ
Compie†aremos los eJemPIos an†e「'O「es a9「egando que el valor absoIu†o de O es O, eS declr, lo l = O.
Msc‑ Paco Bas†Idas Romo & O†ros 83 Ntimeros農eaies

Geom封「'Camente・ eI vaio「 absoiu†o de l'n n心me「o 「ep「esen†a uれa dis†anc'a Sl a y b son dos pun†os en la
rec†anum訪ca, Iad'S†an⊂'aen†「eay bes. d(a′b) = lb‑al po「eJe申o:
La distonclae両eOy4es. d(0,4) = l4‑Ol=回= 4
Lad'S†anc‑aen†re4yOes d(4,O)=直4i=上4l=4
i引
上4i
5.6 1.l. TEO虞EMAS BAsrcos DE VALOR ABSOLUTO
Los sig川en†es †eoremas se cumpIen pa「a ei valo「 abso山†o:
∪二R ∀×:
1 ixi≧0
2 ixi二0⇔×ニ0
3同2=×2
4問二J矛
5∴lxi≦)(≦lxl
重Ha=a「 la d'S†anc'a en†re los s'gu'en†es pares de nJme「os Represen†e la soluclch en la rec†a num6rlCa
ま‑2Y6 2・2Y‑4 3‑3Y‑2 47yO
2 Resolve「 Ias s‑guien†es ecuaciOneS Represen†e la soIuc16n en la 「ec†a nun詑rica
l x+上3i =6 2 ×+恒2辛=再「∴3.y+i4(‑8)i二‑2,4 4.Y十看5/一2上‑3
3 Escrlba has s gU'en†es exp「es・0neS e…O†a⊂'6n conJun†'S†a (†eo「emas 6.7 y 8)
ま.lxl≦4 2lx‑3l≦9 3lxl≧5 4 Lxl≧2
4 Escrlba un eJemPIo pa「a cada una de Ios †eo「emas de vaio「 absoiu†o
5.ら.2. AXrOMAS DE LA ADrCr(うN DE Nl)MEROS REAL∈S
Los axiomas de la adlC'6n son: ⊂iausu「atlVO. COnmu†a†lVO, asOClativo, mOdulatlVO e lnVer†lVO
×
×
×
0
b
>
‑
i
D
>
‑
×
∨
離
∵
≦
﹂
D
X
i
⇔
古

NOMB食管祢 Y 碑ﾔ H*ﾘ*D EJEMPLO 巴ﾔ #h+X D4
2Y4∈賢<2+4二6 鳧ﾕﾖ" 3｢
「eoiescuQ厄s甲e○○eS… ド榎r 〇十bニC=⇒C∈R
ヽ信+4二4十Jち神ﾓﾈﾖ"
0十b 二 b+0
Puedenag「uparoasociar 宙 )> ｳ2 B諜" Sﾒ ∪=恥∀0.∀b.∀c:
decu○○quie「爪odo.sin 勺ueQけe「e)osu爪o†○†a上 ) ﾒｲ Bｳ" R (〇、b)+C二〇+(b+C)
4.M°bUしA丁重∨○ 埜 VWV踞ｴｷV T (‑3)←0ニ0+(‑3主‑3 聒ﾕ｢
引 ce〇°(0),Se 肱mQ Vﾘ8ﾖH ｸ 4 .ｨ 7V VｦX R
eieme而o i琵n宜c°. 亊I‑ﾆX X ｸｶU 6V冰ﾆW7V V F
es 5ie爪pn乙∴eさe 面s爪o
5.￨NVERT￨VO 十う十(‑う)二〇聒栞ﾗﾈ8ｈ耳｢討
(○○).se =omo jnvと「so 妨店 YjH 6躡‑ﾆX ｸｸ VT 窒ﾒ X ｩD躡 cｸｸﾏｲｸｲ｢ﾂ 3/4+(‑3/4)二〇ﾂｸｲ｣ｳ #
Qdi†iVOuo甲e5†ode (+o)yviceve「SO. X V ヽ信+(‑J言)二〇
￣∞ 4十二聖堂」3 4 5
5売. 3 APLICAC工ONES (RESOLUC￨6N DE ECUACrONES BAs￨CAS)

1 Resoiver Ias s gu'en†es ecuacIOneS Represente la so山ci6n en la rec†a num6r'Ca
l x書咋=6 2・×亘/2二潅 3Y今(,3ニー2.4 4Y十鳴ニー3
5 ‑2・5二Z←、価∴∴ (=/2=Z十潅 7 ‑3/4二Y十汚 8十8二Y+汚
9 VれYこ2.7う 10.汚十×こ○○,9 11 0,2+Zニー泊ま2 1/2+ZニJ…万
ま3.4/7二派・y ま4.1/2こき/3+× 1う0.う二2.7十Z 16、̲作二碕十Z
5.6.4. DE円N工C重くうN D盲慮∈S丁A
Res†ar l'n ndmero real de o†「o equrvaie 《〕 Suma「 al minuendo el oplleS†o del sus†raendo Es declr.
1 Resolver las s'gu‑enteS eCuaC‑OneS Rep「esente la so'uc‑6n en la 「ec†a num品ca.
1 ×‑1/2=3/4 2・3二×‑昨 3 ×‑0,7ニー1,6 4×‑2/3=̲3/4
書誌霊諾笠窪諾;三晶言霊菩
5.7 MULTエPLエCAC工6N DE N¥)M験OS R∈ALES
La ope「ac16n ari†m鉦ca mul†串ac 6n se 'ndlCa COn el s‑gnO POr (リAlgunas veces se u†'一IZa u岬n†° Para
ind'Ca「 Ia mui†'Pl‑CaC16n de dos o mds ndmeros・ y O†「as se l'†itizan parch†esIS.
5 7.l. AX￨OMAS DE LA MULT￨PL￨CAC￨6N
Los Ax'OmaS de la mul†jphcac‑6n son: clausura†ivo, COrmuta†一VO, aSOCia†一VO. mOdu厨iVO e lnVe「†lVO A
COれ†'nuaC'6n se indican la definici6n・ un eJemPIo y la fo「ma sl爪b相ca de cada …O de los AxIOmaS
Msc. Paca Bas↑jdas Qomo & O†ros 86 N心ume「os Reales

NOMB食管妊Thﾔ z 9^ t ∈J∈MPしO 侘ｲﾔ (.x+X D4
EIp「odu⊂†odedos n心爪e「o5 「e○ies 滴 % 紿+ ∪二虹∀q∀b,Sc;
Cudesquje予o 色s un I電爪e〇〇〇eoI心nico. 坪 # "
う×4 二 4×う
no小†e「oe中予oduc†o. ×b二bxo 0,b二b.0
3.ASOC工AT重VO VVFV襪 7 X ｸｵ4 9{8 R [(‑3)x(‑2)]×6= ? ﾓﾖ"ﾈﾖ3｢
de cuoIquie「modo.与in cxb)×Cニ○×(bxc)
que〇五e「eeIp「oduc†0. 窒ﾓ2 蟯ふ" 緝*ｲ (Qb)c二〇(bc)
4.MODUしA丁重∨○ 埜 8 V6ﾂv蔔薮V V
Ei…0(1),5eiiQ爪O I† d 儲Xｸﾇﾆ F R
⊂uaqu‑e「nume「O「ealel 「esu庇doessiemp「eese 窒ﾓ2 + 竄ﾓ2 ﾓ2 重c二ql二〇
爪u帖pijcQC竜n. 匁ﾖ襷ﾖX V VV ﾂ
う.工NVE鼠丁重∨○ U 4 F 几9‑ﾆX ｸｸ詹4薄ﾂう×宣/う二1 ﾍ"蘿2ﾈ8ｈ‑ﾂ討
(1/0),SeIiomQ血e「5o 芳防ｨｨｦ VVFV6X V 觚ｧ8 VR
mu帖plica†IVO,肌VerSOO 遊跌 i+&X V VV 宙‑ﾂ V (‑3/4)×(‑4/3)二l R 艇8ﾒ･ c
「ectp○○code(o)Y V葛CeVe「与り, VSｨｨ R ﾂ 8ﾒ因B B

4 ○○,25×二‑0.5
8 (」/、信)× = ‑7
重2 ○○.75×二J面
N心m〇〇〇s農eoies

NoMB慮巨妊Td皮$8ﾔヅ EJEMPLO 巴ﾄﾔ#dﾇﾄ4
1.職工CO丁OM壬A 2y2.secu爪pIeque; 聘ﾂﾖﾅf)?
「eoI色s cuqiesquiと「o∴∴Se ﾓ" 0=b
CumPIeuna∴SOladelas E V7Y‑ﾇ帽嵭VS｢ 0 > b
5j9Ui釧†es「eIociones: i宣○○ Ii2do H " 0 < b
ーeeSI9uOiQ ー乞=○○es爪oY○○叩eei2do.〇一e=子Oes爪e胴○○ueei2d0. ﾅ6T7Y+' 妨 VX R ﾈ*ﾓ2 0≠b⇒0>bl!0くb
2.丁RANS「「工∨くブ
爪ay○○(叩eno「)型eUれ2do †()
J 遊 s 霑ｨ V W6SﾘｸｶW2 ‑ﾆ枇 R ﾖV蹂 R VVV v
Ji‑>‑ヽ信⇔‑JきくJ丁聘{b ﾓﾈﾖ#｢
調oYO「que∴肌3e9Undo. 鼎ﾃ ( *ﾘｳ #紕 0>bくつb<Q
en†onces∴eIse9…does 涛 X ( 8*ﾓ 0<bく⇒b>Q
menorqueeIp「ine「o. 凵 ♭⇔b圭Q
5.AD￨T￨VO 7>3 ‑ " ﾘ8ﾒﾖ"ﾈﾖ8+
二〇芳W2ﾓ裕芳 G6X 7Y‑ﾇ V <2‑2‑〉了十2>3+2
⊂Uci叩ie「o.else面dode 鉄ﾃﾈ 8+ 8 ﾒ
(EIs=帥OnOC○mbio) 免 FW6ﾆwT6ﾆﾆF F踐6 ﾖ" 5+3<9+3
一̲一六・一一￣蓬ﾈ芳H R譏ﾂ Ndmeroposit'VO 3く9 ‑ " ﾓﾖ" ﾖ3｢
一二 WV ﾆﾖ霾ﾆX V h X ﾆ X fB <十2̲+2‑→ 3.2<9.2 疲FﾖW& 6唯uf 3
(Eisi9noCO調biQS香ei 芳Vﾆ FW6殆V 芳 H 踉 N轟爪e「one9(面vo
foc†o「esne90†ivo) ﾄﾖ&薬 X V 6天R y=y‑ﾆX ｸｶ覺 V庸 3ﾃ
.∵ 儲X 6 'V跏FﾖW& X v哩 c V庸 T 当蔕FR ﾆ FW6 V 芳 F6 ﾖ& 3(‑2)>9(‑2)
7.ARQU壬MEDE与 >3 4∈Z i 聘 x ﾓﾈﾖ#｢
Siunn心meroreaiposit'VOeSmayorqlleO†ron血ero
「ealpositlVO,eXis†epo「 8 < 3.4 ﾈ8 ｨ c｣ﾆ"趙
POSi†ivo.que∴mu帖pljca 芳 VVﾆﾖV蹂 VF V
P「Oduc†oqueesmayo「qLl 坊Vﾆ菷蒙X V ﾖ VF F
8.DENS重DAD > 3.exis†e 耻" ﾖ2ﾈﾖ"ﾈ8 3｢
S両n証me○○「e○Icuoiq 彪ﾆW& U6ﾖ薮' VV W&
exis†epo「Iomenosunndmero「ealqueesmeno「 .う†oIque *ﾘ+"ﾃ
qLlee白mayo「deellosymaya「queeimeno「,Eno†「as > 3.う > 3
Palab「as,en†「edosndmeroscuaiesquie「aexis†elln .1う†oiq叱
○○COn un†oinfin †odendme「os「eaIes. > 3.1う> 3

し・‑‑トート一一一十」で一一十‑‑十一二i ∴ >
￣￣￣￣‑「ぐ￣;￣葛￣￣〇千￣￣‑￣‑￣ ‑へ

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∈×PR∈与重くうN 妊Y t靫 ^ t EJ∈MPしO
Lapo†enciacero(exponen†eO)deunndme「o 窒ﾓ2愉? B
(∈×Ponen†○○) VV ｸｲ襭ﾕ8 Y ﾈ V FV6X V 觚6痘T 柳ﾃ｢ (‑3/4)〇二ま
○○こ宣;○≠0 宙*訳ﾘ‑ﾂ
Lapo†encinuno(P「ine「apo†encia)deunndmero 蔦3 ? ﾓ2
(〔×POne両el) VV ﾆW8ﾏﾇV ﾆ蒙ｧ6ﾖ 6ﾖX V 6ｦ觀ﾆW 觀 VS｢蓼｢蔦" 2 ? ﾓ" 2 耳 < ﾒﾘ
LaPEP・deunndmero「ealaesigualalproduc†o 3/2)Zこ 3/2)(‑3/2)
POSmVA(P∈P) N賀=(2.3.4,…) 柳ﾅ h ﾖ3ｵ渥ﾈ羽畑ﾋ笂)?
∩VeCeS 凵[ヽ信)(‑Jう)
LaPiN.deunndme「o「eaia,djstin†ode∴CerO, 僞h 9? B #2
NEeA丁ェVA(PどN) 妨2vwV ﾆﾈ 5fX U4 FVﾆ VV 6 觚觀 VR (3/4)￣2=
posi†時o:Siendoh>0: 鳴 B
o‑ =書/0∩;○≠0<h>0∈N 嫡ｩkX ‑ﾃﾓ ┴. 2
5.POTENCRAENEsrMA f 踪 VFWV韭y‑ﾆX ｸｸ X t薮 )u讓 X股覿6痘T 躍ﾒ 4主Jオ二8
「0了ze∩きs面od色o巾;Sie∩d。爪Ynn小u「oIes
FiミACC重°NAR工A(p輔) 蒙鑓 VW7 ﾆﾆT V蒙 6V X VW8甁 1 う乏=ヽ信二 2.23()…
〇品n=肺;Q>0
[0‑んこく庁;0>0^爪=1」
NOMBRき､T < Tﾔ EJ∈MPしO
LaP∈Ppardebaseposit'Va(リonegat Va(‑) 茶 ) ﾒ 6｣ 2
espo5i†NO: 茶" ) ﾒ 6｣B 2
POS工丁重VAPAR 中毎+ 羣ｧｸｲ (‑2/J可2二4/3
(○○)n=×;n∈N青po「窒ﾔｨﾋ糒B 6ｨﾔ
3.POT∈NCrA∈NEs￨MA 犯 U 儲 &FV& 6W 6唯uf ご妨7 6友ﾅf (2/3)3二8/27
debosene90†葛VO(‑)e5ne9〇両VO: 茶2 +x+ + #r 2
(○予=×;∴∩∈N当爪po「窒ﾘ r 2 ? ﾘ #r
(○○)h三〇X川∈Nいれp○○ 窒ﾓ2 " ? ﾓ#r
l.POT∈NC工AENEs￨MADEL 犯 VV X.ｩｦﾖ FVﾇ V GV8 V FV襷ﾖX V 2 (¶/5.3/6)2こ
「ealesesigualalproduc†odelaspo†en⊂ias
DきしP慮○○UC丁° 坊ﾆﾖ 6FV6 F V踐FT薮6f 8 V &W2 (汀/5)2.(3/ら)2
(o.b)h=Qh.bh
2.PO丁ENC工AENお工MAD冒し犯 VV V緘6蒙 FVﾆ6 6坊 VR F庸ﾅ6吐笆FR (6/5÷3/2)2=
ndme「osreales,esjgualalcocjen†edelas
C°C工EN丁∈ Y f 薮6Y{76 ﾆ 2 # (6/5)2÷(3/2)2
(o/b)∩こon/bn;b≠0

OP験AC暮らN ｨ $Tﾔ ┴ ﾄ
Dei9UO 6S｢ V觀ﾆ & 6W W7Vﾖ貳 6W .ｦV蹤U8 B ｽｸｸ+ ｽ (‑¶/2)2.(珂/2)主 (重/2)2 3二(重/2)5
pO丁∈NC工AS Vﾕ
2.CoC重言N丁∈D∈ 認X. T bcse: eneIobq雪ey5e「eS†Q吊osexpone巾鐸: 窒ﾘ B 2釘ぺ‑ﾂ 2田ｲ飲汀2釘ﾘ.sﾒぺ B 2壷Eb
P°丁∈NC工人S Xｽ
ソ○○こ〇億当0≠0
Se爪on 末X.ｦVﾆ & 6W VﾗV V ﾆﾆ6 譁 6W 觀 VW3｢工(‑2/5)平=
P°丁各NC工A 俚 ,h8h6ｩ%X 窒ﾓ" R ? ふ" *B r
∈×PRES王らN 妊Y t f H*ﾘ*D ∈JEMPLO
1貫A壬乙ENお工MA 犯 V 率V緘6蒙 W 8 V FWV跏FﾖX X ｸｶV ﾖﾖ F
∈×AC丁A V Fｦ6 襷 W6 W& 蹤蒙W& &V ' h bﾈ V ﾇ VRﾆT妨f F 昨夜テ二2/3.
N★=(之,3,4,...) 免 VV X.｣g6蒙ﾆW6殆V ﾆﾖ ‑ﾄ V F ﾆ襷
ヨd:V石=× ⇔かこ0;h∈N青茶" 2 6｣ #r
2.RA重きN∈sェMADE宣 (了ndice∩.expon巳h†e爪) 犯 V 率V緘6匁 FVﾆW6殆V ﾆﾃｵ6坊襷ｦﾗ問 ∨千二ま
no†u「oie5爪OYO「eSquel:
y戸=1 6 V千こ1
3・議事YPO丁とN慣A EN∈与工M: 犯 V {立 VV X.｣g9lｦ FWV贍ﾖ菷蒙X V VV ﾂ (J三万)2=Z/5
5eSi叩怖con: h 嫡ｨ6ｨﾋ饑ｲ ? ﾔVX 9iﾂ ? " R i? 蕀iﾂ偃Rﾓ" R
V示こ(挿)∩=e;n∈N当調p○○
4.貫A主zENお重MA f U EｦY{76ｦﾖ､ 5 8 V6FX 6 *&X V VX ｴ薬 ∨千二21′3㌶
mayo「queO・eSiguaial/∩川na†uraimayo「quel:
工NEXAC丁A 品聊ﾂｶﾆ 1.25992...
N青=〔2,3,4....) 鰭8#ﾙ'S ｵｨ 9i‑ﾇｸｲ Vモミ‑1.之う9‑.ふ
5.貫Aiz∈Nお工MADE V V gｦV 匁 FWV VV ﾒ椎6坊襷芳ﾖ薮" 搾二22′3二(泥)2
queO.nymna†u「alesinayOreSquel,yP「imosen†「e
UNAPOT∈NC￨A(am) U6燈T 訳｢
∨示=○[Vn二(昨)h;c>0<h∈N青

NOMBii∈ ｨｭ *ｴﾔ EJ∈MPLO
1.RadicandopositlVO(+); 埜 8 V ｲ
l.RAizENEstMA PAR (Ex○○†ooiheXoC†Q) 彦坊觀F 8 V fVW6 VW8 V 2 J石7あ二±Z/う̲(±2/5)そこ4/2う
‡庁=iX;q>0<n∈N★p○○ 儘或 U ｸｸ V ｢
J∑7盃二三作/う‥(±作/う)之=2/2う
2,Rodicondoi9UOioO: 碧n + ﾒ +
丁jeneuh〇〇〇千z,eiO
Tiene3posibilidades: 品U3ﾘｩ{ﾈ羽ｸｲ
N青=(2,3.4,、、̲) F 襷 c V庸 C｢ ∈×OC†ぴ
√盲7務=軋eれ慮
V三二封れ∈N青po「 f U 8 S ｢
√乏7云二年e再
2.PA壬z∈NEsrMA 工MPAR 偬B驅f F 襷 9{ﾅf ご討 ∈×oC†○:
丁ieneu∩o「Oizpo5硝vo 蔚3ykSﾓ" 8 坪 "
V石=十X;0→0^h∈N当れp○○ 茶" 2 ? #r
工れeXOC↑o;
研テ言店/3‥(V5/3)主う/27
2.RadicandojgualaO: 品U3ﾓ B ?
(∈×oC十〇〇iheX○○†n) ｦ坊觝Jt ｨｦ偬BﾆV飛
Tiene3posib用dades: 鰭*H+ ｨﾈｦ ' R
3良Qdicondone90事vo(‑): 埜 8 V
丁ieneun○○a了zne9ロ宜vo. (4 唏ﾘ)? ﾓ" *B bふ" R ? ﾓ (*B
准=‑×;c→0^∩∈N当巾p○○ 儘 e 8 V3｢
√亭祐二‑汚/3..(‑Vう/3)3二‑う/72
3.慮A壬之〔Nお工MA U V6gｦV靜黐 FWV V GV8 V W2 Exロ⊂†a
師二万万￣.廊二
igualaiproduc†odela「aizen6sima B
de∴Cadafac†or(definidasenR): 儘ｦU ﾇD
DEしp慮ODUC丁° 凵A仔方舟57不二J脅す.J云7詣こ
∃0.b:V示=昨言佑うヽ伝/18
、I二才万言7訪,司e∩R
4.貫Ai乙∈Nお重MA e T X 皛6 ﾆ IjIn Hﾘ%6吐觚8.GV Exqc↑a:
Jラ7示す石7黍=Jラ万/廊こう/4
DELCOC￨ENT∈. 中FVf匁芳 6V $ 工れeXoc↑o:
∃0,b:昨7㌃=‡厄/Ⅵ言b≠0 畑,HyCx x,H.syW9? ｩ/｢ U + " ﾒ

5.11 3. rGUALDAD DE RADrCALES
La 'gualdad de 「adlCaies∴Se PUede es†ablece「 a par†'r de la 'gua‑dad de po†en⊂laS de∴eXPOnen†e
f「a⊂CIOna〇一O Dos po†enc'as de exponente fracc'OnarlO SOれiguales s' los 「ad'Ca‑es co「「espo=d‑en†es Io
SOn, O †amb諺n・ S=as fracciones de es†as po†eれClaS Son equ'Valentes.
Ⅵ不二肺≡ ○○Vh=oq/p三豊=♀
S' Se mui†'Pi'Ca O Se d'∨'de∴e同ndice de lln 「adical y eI exponen†e de' 「adi⊂ando por un lm‑Smo n血e「o
na†l'rai d'S†into de ce「o・ Se obtiene o†ro radl⊂aI de i9ual vaIor
V面これ揮
∈s†a p「OPredad perm一†e. s'mP航ar 「ad'Cales・ Ob†e=er dos 「ad'Caies con el mis巾O ind'Ce y COmPa「ar
○○diCQies
5.1l.4. SIMPし肝rCACr6N D∈ RADrCAL∈S
Un 「adiCaI es†d simPl f'Cado cuando †odos ios fac†o「es pr'mOS, de a cantldad subradicai, eS†dn eievados
a exponen†es menores que e用dlCe del rad‑CaI Por eJemPIo: S'mP凪car立暗.
p○○posicioheS
重立幅=J両
2. J蒋二J与奪
3 J雨二席.作
4 J蒋=3ヽ信
嬰露語
重Simp凪⊂0「
繋un小薬‑。「薫藍藍
5.1l ・5・ OBTENCr6N DE DOS BAD￨CALES CON軋M工SMO fND￨C∈
1.∴ Se esc「lben 'os 「ad'CaIes como po†encia de工巳×POnen†e f「acciOna「lO
2. Se s一肌P fi⊂an los exponen†es f「acc‑Ona「‑OS, S' eS POSIbIe,
3 Se hallaei mcm de iosdenominado「es,
4 Se d'∨一de el mcm entre cada denom'nador y el coclen†e se multlPl‑Ca POr el numerado○ ○espectivo
5 Se escr'ben ios exponen†es fracc'Ona「iOS COれel denomInado「 com血.
Po「 eJemPIo esc「lb一〇 los s‑guren↑es 「ad‑Cales・ Can 'gua indi⊂e:折5言y新訂

慧語寓語割
1 Escrlba Ios sigulen†es rad'CaIes con e吊‑SmO fndiCe ￨nd‑que Cudl es mayor
ま弥Y沖 2Vヲy搾 3怖y汚 4Jテy汚
6海yV弓 7J弓‑Y‑塘 8押Y笹戸∴∴∴∴9搾y花戸
ま1 V萄Y細雨12V弱Y廊13汚蚕Y叛汀∴∴∴重4垢テY作
うV漉Y、雁
10.漉Y縞
1う抗享YⅥ戸
監語間
1. Mul†一Pl'Ca「
1 2作3、佑∴∴∴∴ 2 3、信 ‑気位千∴∴∴ 3 4、何十伺う∴∴ 4 、佃、旬
号富業露霊諾菩‡豊富
Msc・ Paco Bas†'das Romo & Otros 99 トl meros Beaies

d. p°丁ENC重A
Para eleva「 un 「ad'Ca‑ a u∩a PO†encia CUaklUiera se eIeva la can†一dad sub「adicai a esa po†encla Po「 eJemPio
Ef。。†…碕)3
P「oposiciones Bazones
l 碕)3三陸)3 Ax‑・Refiex‑V。(ニ)‑
2 碕)3こJず Def (ゆh二J♂
3 WZ )3 = 2vrZ S'mPI‑f'CaCi6nde 「adi・ales・
監票竪悲
1 CoicuIo「.
詔書,書 ;霊,, :謡
e. RAC重ONAし工乙AC工6N
se llama 「ac'Ona一'ZaCi6n a la ope「ac‑6n que cons'S†e en †「ansformar una fracc‑6n・ que †enga uno o m6s
rad,Cd。S en eI denom川ador, en O†「a f「ac(高5n equiVaien↑e sln rad'CaIes en el denom'nador.
En genera巾a「a 「acianal'Zar el denom'nado「 se muI†'PllCa・ el nume「ado「 y el deno…ado「・ PO「 un fac†0「
adecuado que pe「mi†a ob†ene「 uれa f「acci6n equ'Vaien†e CuyO denominador sea un n血e「o 「ac‑O=aI Es
de⊂i「. que †enga 「aiz exa⊂†a・ a fin de∴eX†rae「 ia 「afz y ei‑m'nar eI signO radlCai dei deno…ado「 Se
p「eSe面qn ↑「eS側SOS・
l. Si es de ia fo「ma帝Se mU岬Ca ei nLIme「ado「y denommador por VE Po「 eJemPl〇・

貫o王ones
Ax'Oma ReflexlVO (=)
MuI†lPl「CaCi6n: a/b = aC/b⊂
Def. Po†encIQ
(梼)n=q
SI爪pìfiCOCI6n
2∴∴∴∴ 2
帝二帝
王‑」亜̲
新￣3昨醤
2 之鳴
薪二重
2∴ 2諦
3拓 ‑ 32
2 ̀涛
3弥￣ 3

貫o王ones
AxiO肌O良efiexiVO (こ).
Mul†iPllCaCi6n. a/b = aC/b⊂
Axi. Dほ†「ibutivo. Def a2 ‑ b2
(Ⅶ)h二O
D巳f (十)
0/‑1= ‑0
「≡三重
L慮QC教OnOIIZd「 eI deno爪inddo「.
1嘉 2志方∴∴∴3・詰 4言荒ら古市
6・毒玩 7嘉 8・品ラ 9・言で∴ま0蒜
11蒜雪盲 13蒜 14蒜
2 Construya un esquema de ba「ras pa「a la ciaslf'CaCi6n de los n心me「os reales
Obsc「>odohcS :
1 S‑ Observamos con a†encI6n no†a「em°S que hS PrOP‑edades c e losれdmeros se basan en las ope「acIOれeS de
sum。. mui†一PIl⊂aC'6n y po†enc‑a⊂16∩. debido a qlle SOr OPe「aCioneS b6sicas La 「es†a・ d'VIS16n・ rad'CaC‑ch y
loga両maclch, dependen de e"as La 「es†a es la suma de un 'nVerSO ad・†ivo a‑b = a + (‑b) La diV'Si6n es la
mul†lPl'CaC'6n po「 un lnVe「SO mui†一PllCa†一VO. a/b = al/bこab士b ≠ O La rad'CaC'6n. Va=b≡ bn=a y Ia
lo9a「l†ma⊂16n iogba= n三bn = a La 「es†ay lad'∨一Sit;nれO SOn COnmu†ativas y†ampocoson asoc'a†'VaS A pesar
de es†os …COnVeǹen↑es. es†as ope「ac'aneS SOn lmPOrtan†esくり一ei cdlculo
2 しa sllma, la 「esta. ei p「oduc†o y el coc'en†e de dos n心me「os 「eaIes es o†「o ndme「o 「eaしLa po↑enciac 6n es
pos'ble ⊂uando eI exponente es un n竜mero 「ac'Oれal S=a base es nega†lVa COn eXPOnen†e pa「 la po†enc‑a eS
pos'†.va y s' el exponen†e es 'mPa「 eS negat'Va La 「aiz de l'n ndme「o real no slemP「e eS POS'bie.s6lo ocu「「e
cuando ia raiz es↑6 definida (def'川Ci6n l). Con indiCe Par Se †・ene Pa「a 「ad‑Cando posl†'VO dos rafces (±) y
「ad'Cando nega†lVO nO †・ene SOlu⊂ich Para ind'Ce lmPar e圧ad‑Cando posl†'VO tiene una sola 「aiz (+) y el
「odiCqndo鴫9°†IVO †ie∩e …O SOio 「ciz (‑)

CAP壬丁U」Oら
TEOREMAS DE LOS NしタMEROS DEALES
ら.1工N丁貫ODUCCエ6N
∈n el p「esen†e cap血io se es†udlan los †eo「emas bds‑COS de ios ndmeros 「ea'es. los mlSmOS qUe SOn de
ut'lidad pa「a 「esoIver∴eCuaC‑OneS e 'neCuaC'OneS med‑an†e un p「oceso m6s senc用o qlle∴e‑ es†udiado
an†e「formen†e En gene「al・ Se =amo †eorema a †oda p「opos‑C16n que necesl†a de la demos†「aci6れ
respec†lVa Los †eo「emas∴Se∴C'as‑fiCl]n en dos grupos・ COn f…eS d'ddc†'COS. de la lgualdad y de la
deslgualdad. los m'SmoS qLle Se eS†udian (] COntinuaci6n.
e.2.丁∈0蛇MS Bバ与工C○S (工GUAしDAD)
Los slgulen†es †eoremas se def'nen en el conJun†o de los n meros 「eaies. los m'SmOS que Se demues†「an
usando Ios ax'OmaS eStudIados ante「'O「men†e. p「evIO a Ia u†l'lZaCi6n en 「esoluc16n de ecua⊂iOneS;
T NOMBR∈ FORMA SrMB6L￨CA
l∴CaれCela†一VO (t6「m'nOS POSl†lVOS) a +C = b + C ⇔ a = b
2 Canceia†iVO(t6rm川OSnega†lVOS) a‑C=b‑C ⇔ a= b
3 ConceIo†IVO (foc†on巳S) oc = b.c∴⊂⇒∴〇二b
4 Cancela†'VO(dIVISO「eS) a/c= b/c ⇔ a= b,C≠0
5 T「ansposIC'6れde†drm'nOSPOS面VOS∴∴∴(〕→b=O⇔a=‑b a+b=C⇔a= C‑b
6 Transpos'C'6ndet6「m'nOSnega†'VOS∴∴∴a‑b=0 ⇔a= b a‑b=C ⇔a=C+b
7 T「anspos'Ci6ndefac†0「eS ab= l⇔a= 1/b膏≠O ab=C⇔a=C/b膏≠0
8 Transpos'Cidrded'ViSo「eS a/b= 1⇔a= b. b≠O a/b=C⇔a=Cb. b≠0
9∴∴くね爪bio desi9nOS 〇〇二‑b ⇔〇二b
TEOREMA l : CANCELATtVO (TEBM喜NOS POS￨TlVOS)
S' en Cada m'emb「o de una igUaIdad se sup…e un m‑SmO n血e「o 「eal posit'VO Cualqulera, la 「elac16n de
‑guaidad se conse「va (e中一me「 miemb「o s'gue S'end。 lgual al segundo) Ei s‑gu'ente d'ag「ama mueS†.。,
ql'e Se Puede e"m…a「 el †drm‑no POS'†'VO 3 y ia relaci6n de lgualdad se man†lene
Priǹe「 miemb「o segundo miemb○○ P「imer mjembro segundo miemb「o

「一一「一￣￣「 ⇔ ∠生す△

S‑ en lugar dei O・ Se †iene Cualqu‑e「 O†「o n血e「o 「eal c・ en†onces se esc「‑be de la slgulen†e mane「a.
「￣∪こR∀。・∀b;○○b>c⇔o>言「
EjempIo: ResoIver la slgu・en†e一同eCuaC'6n apl'Cando †eo「emas y ax'OmaS当‑ 3 > 5
P「opos iciones Qazones
ly‑3>5 Do†o
2. Y>5+3 丁.○○b>c⇔0>いb
3 y>8 Def(+)
T∈OREMA 7. TRANSPOSrCr6N D∈ FACTORES POSmVOS
Los fac†o「es pos一†lVOS (mayo「es que ce「o) de una desigUaldad se pueden pasa「. de un mlemb「o a o†「o.
S‑emPre que・ aI m'SmO †iemPO・ Se eSc「‑ba∴COmO dlV‑SO「 Ei s'gu'en†e dlagrama mues†「a. quel Se Puede
†ransponer el fac†o「 posl†lVO 3′ dei ler a1 2do m'embro. s'emP「e q=e Se eSC「‑ba como dlVISOr, es declr COmO
P「=ne「 m'emb「o Segundo miemb「o Prime「 miemb「o seguれdo mi帥bro
圏四国

￣3 了￣1 0 重 2 手 ∞
3>,2
Obse「vaci6n EI 3 se enc=en†ra a la de「echa del ‑2 (3 es mayo「 que ‑2) 〔I ‑3 se eれCuen†「a a ia lZquie「de
dei 2 (‑3 es meno「叩e 2)
En fo「ma smb捕ca. se‖eXPreSa de la slgulen†e rmera

田園国
Observaci6n. En le des'guaidad ‑3 = ‑1 se 〔O†a qlle e十3 se enc=en†「a a la 'Zqu‑e「da de白, en ia 「ec†a
num話⊂a (menor que) AI camb‑a「 los slg=OS neg。†'VOS・ de los m'embros. po「 pos面vos †'ene que 3 es
mayor que l En es†e caso ei 3 se encuentra a la de「echa de=, en la 「ec†a num6rica
←5e回do ne9面vo s色n†ido p。5‑†‑∨。→
‑3く‑1
「「
ー3 ‑2 ‑重 0 1 2 3 ∞
し害容器臆面
3>1
〔n fo「ma s‑mb6l'Ca, Se eXPreSa de ia slg…en†e ‑nanera.

CAP壬丁Uし0 7
Nl加EROS COMPL鞠OS (C )
7. 1.工N丁貫ODUCC工6N
En el conJun†o de los ndme「os na†u「ales (N) no es posible efec†ua「 la sus†「acc'6n en todos I。S CaSOS Las
ec皿c‑OneS del †lPO. × ←7 = 2・ nO †一enen SOiucidr, POrque ‑5 no es e‑emen†o de Ios ndmeros na†ll「ales Pa「a
「esolve「 ecua⊂一Ones de es†a fo「ma・ fue necesar'O amPI'ar N 'n†roduc‑endo Ios n血e「os en†eros (Z)
En ios en†e「os・ Se def…e la d'∨'Si6n s6io cuando ei nume「ado「 es m佃pIo 。e' deno爪iれado「 (diVISi6n
exac†a)・ S'endo el denom周ado「 d'feren†e de cero En乙ecuaciOneS de同po 4× + 3ニ0. no †ienen S。lu。一6n
(xニー3/4), PO「que ‑3/4 rlO eS elemen†o de ios en†eros
Pa「a 「esoIver ec=aC‑OneS de la fo「ma 4×←3 = 0・ fue necesa「'O eX↑ende「 el con」un↑o Z e 'n†「oducI「 el
COn岬†o de los ndme「os 「aciOnales (Q). para dar sig面cado a∴eXPreSiOneS †ales como ‑3/4 (ndme「。S
rac'Onales con un ndmero fini†o de clfras decimales o con un nt mero mflnl†o de clfras decimales
Pe「i6diCOS)
EI problema de la 「es†a y la divISi6n・ PClra tOdos los casos・ Se SOIucIOna en Z y en Q, reSPeC†'Vamen†e
Anal Za「emOS aho「a e恒robIema de la 「adiCaC16n.
1しas 「aices 'mPareS de un ndmero †lenen el miSmO S'9nO qUe Ia cant'dad sub「ad'Ca' Por eJemPIo.
V再三3. V二言テ= ‑3. e而eo†○○s
2 Las rafces pa「es de lln ntlmero I]。Si↑iv。 †ienen dobie s・gnO Po「 e」emPlo.汚=士2, POrqlle 22 = 4y
(‑2)2 = 4 Las 「aices pares de u…dme「o rrega†ivo no es†dn defm‑das en el conJun†o de los ndme「os
「eales p叩=e †oda ca面dad・ POS'†iVa O nega†iVa・ eIevada a …a PO†en⊂ia Pa「 da como resul†ado lln
ndme「o pos面VO La rafz Vh no se puede ex†「ae「 en los n心me「。S 。e。I。S L。「。(z.u。d「。d。 d。 ̲4
no es 2 po「que 22 ≠ ‑4 y †ampo⊂O ‑2 ya que (‑2)2 ≠ ‑4 Obse「vaci6n: Si la ra,竜d。 u…ine「o 。S
exac†a la exp「es16n es rac10nai caso con†「a「iO eS lr「aCIOnai
Al 「esoiver ecuacIOneS dei †iPO X2+ b = O, b z ( Se †'eれe que X = √ちEs†e ndme「o, X. nO †一ene Si9n'flCado
alguno en el conjunto de los nineros 「eales. po「 lo que se d'Ce que la ecuac'6れnO †'ene SOiuc16n en R Po「
eJemPIo. SI X2 + 1 = Oe両On⊂eS Xニ√了EI ndme「o √了no eseIemen†o de l。S 「eales
E' conJun†o de ios ndimeros∴COmPleJOS 「eP「eSentado po「 c o c (maytiscu'a negri†QS). pe「m'†e dar
S‑gn'毎ado a las∴eXP「esiones del †一PO V玉(S‑endo n un ntimero par y 「adiCando ne9a†lVo. O blen, las
PO†enc'aS de base negat'Va CUyO eXPOnen†e es una f「ac・16n i「「educibIe de denomlnado「 pa「)
La manera rl ds senc‑=a de †「abaJa「 COn los ndme「os compleJOS COnSiste en da「 un nombre a √了. A es†a
Can†idad se Ie conoce como unidad ‑mag'nar'a y Se 「eP「eSe血PO「 i Po「 eJemPIo:
押こ之√了二2‑ (‑4)主2√主2i
Observaci6れ: Ex†ende「 un∴COnj…†o slgn'flCa que∴ei nuevo s'S†ema deberia l) feれe「 †odas las
P「OP'edades algebra'CaS del s'S†ema∴an†ecesor 2) Inciu'「 †odos Ios ndmeros del s'S†errla an†eceso「. de
†aI fo「ma que las operac'OneS algebra'CaS an†e「iOreS y nueVaS. cl'ando se ap恒en ai s‑S†ema an†eceso「
Sean las mlSmaS 3) Con†ener los ndme「os dei sIS†ema nuevo̲
Msc. Paco Bas↑idas Romo & Otros 125 Ndmeros comp'ejos

7. 2. DETERM￨NAC工6N DビLOS N0MEROS COMPLEJOS
Dete…n。r un COnJun†o es da「 aconoce「 los eiemen†os que lo confo「man Luego・ los n心me「os comp回os
se pueden formalizar de ‑as sigulen†es mane「aS. b'n6m'Ca・「eC†angular POia「 y †rigonomdrrica.
7.2.1 F°RMA B工N6M工CA (蹄)
DE円NrCT6N. Ei con」un†o de los n血e「os compleJOSSe 「ePreSenta COn la Ie†ra C o C (maydscula negrita)
Y与edef…巳deiQ5・9u‑融o「moc二(乙/Z=0・航∧b ∈咋周
obse「vacI6れ. un ndme「o compleJO Se reP「esenta en fo「ma bin6′nica med'ante la exp「esi6n: a + b'・ S endo
ayb ndmeros 「eales. e ' = √了ia…dad 'mag'れar'a ([ule「・ 1977) Po「 e empio.
c)かこ9‑4i b)ヱ2こ9+Oi c) z3こ2‑
pa「a representa「 geom6tricamente u…血era complejo (Gauss・ 1831) deno†ado en fo「ma b'n6mlCa・ Se
usa los eJeS X e Y. como sis†ema de 「efe「encid EI pr"∩erO eS el eJe 「eal (×)y el se9…do el e」e 'maglna〇一0
(i) 〔i plano X‑Y. asi formado, Se肱ma piano compleJO.
Ejemp‑o l. G「af'Car: Zl = 2 + 2l・ Z2 = ‑1+1・5'・ Z3= ‑1 5‑'・ Z4= 2‑1・5I; en el p厨o c。mPleJO
z2 ̲,5,.‑十‑‑○○‑・‑・・‑‑t Z = 2 2i 。。s。「,。。6両,un†。 Z,ニ2 + 2i se ll。m。。f,,。・′del

Observaci6n: En el paso 2, Se dMde la po†enc(a dada para 4 y se †oma el reslduo como po†encla de l
Iらう=‑× 5う」土̲
3 13
i蜘= i4()3) 3 iうう= i4(13).i3 → Iううこ113(‑ i)二〇i
EI cocien†e周d'Ca que el periodo se 「epl†e 13 veces y el reslduo 'nd'Ca eI expone両e de d'Cho pe「iodo
Msc. Paco Bas†idas Romo & O†「os 129 Nj巾e「OS Compiejos
﹁
ユ
ニ
2
.
i
﹂
÷
章
∵
ギ
●
▲
2
3
4
0

1十i
嵩蓋蓋割
(主i)e‑ 1
(ま十l)e・l
(1‑ I)うら
(1◆ i)う・1
(上i)9
(1 ・.)′

NOMB貫と妊Td碑ﾔ #d ∈JEMP」O 侘ｲ 4dﾔ#h+Xﾔ
宣.D工CO丁OM壬A ‑ﾇ帽 f 67V 帽 V帽 U u覲 Z ≠z 2ﾈﾗｦﾈ5 ｢
CUmPleunaysoIounadeklS Si9Uie両e与「eIcciones:5°n i9uQIeso50ndife「en†es. " ｦﾉ? 6汀"遨Eh6｣ﾈ*H甁ｦﾉ? ｩEb
2.R∈戸しき×工VO ｦ F Mﾘｽ jH T 4 +% 坊ｦ W2 zl=ヽ乍‑0,3i ZlニZ重 2 ﾗ｣｢ｩ?
○ 俣標 6il｣Y‑ﾄ
3.与工M印章C° 天遊ｩ{ﾆX訷 ‑ﾆYuﾆ Zl=3i/2,Z2ごま.5i ､2 ﾗｦﾂﾅ｣#｢
/一、・▼ ‑ﾇ坊ｦ 7U lｦX V W6燈T 3i/2二1,5i
乙I雪2 ¥、̲ノ微V綏S遊襷ﾆW V鋲坊 FV6 W VVT S遊襷 X* V G uﾉlｦX S
4.丁RAN与mVO 遊ﾉ‑ﾆX V 6ﾖX V zl二4上之zニ22主 2 ﾙ u｣"ﾅ｣3｢
(一ヽrヽ ‑ﾅ坊ｦ W6燈T V H X f z3二ヽI而i 沸ﾃﾕ｣2
しこノ VX T6X S ﾋ ' ﾆ VX,d 41二2午^22iニヽ廊i
p「i爪e「oe与i9uOidi†e「ce「o, F ｨﾜF
5.AD丁「工∨○ ZlこZz 俣遊FE G6W7Y‑ﾅ 9‑ﾆ ‑ﾆ zl=4しZ之=22i Z3二2 耿2ﾈﾗｨ.u｣"ﾅ｣3ｲ
Zざ冶ﾈﾆX ｸｶ6 ‑ﾇ帽 f 7V ﾆX U ﾂ鑓 VV鑓ﾆ吐襷V痘U 胞 CVR 6 X Uf2 7V#V VRﾂ X Y‑ﾆ .ｦT6R陳
ら、ヱ1二4主Z2二22i
i9uddodse爪小†坤copo「un 淵9? "
:÷ 冤ｧ9‑ﾆ 9‑ﾆX ｸｶ6 ﾗ帽 h ｲ e5U V帽 V 譁 VV 6吐襷R 燈T 縫vG7V#V冰 VR疫覲 8 ｶ綏X Ud 停 4上2二2之上2

NOMB貫∈ 祢&h 靫ﾔヅ ∈JEMPLO 巴ﾔ #dﾈﾔ
(2,0)y(0,4)∈C^ 耿2ﾈﾗｦﾂﾅ｣"ﾅ7ｨ*r
而面色「osCcuロI鐸qui色「q 茶" 調ﾃB瀞紕
→(2,4)∈C
(う,0)十(0,4)ニﾙ yEc"
Su爪d†0†oi. 茶ﾃB R B コ紕
3.AS°C工A丁重∨○ [(1,2)十(3,4)]十､2ﾈﾗｦﾂ螽ｵBﾉEh*｢
Puedenagrupa「de 茶"絣瀞 (z重やZ2)十Z主
CÙ巾uie「mod°.S高que 茶偖ﾅｲﾃB偖ﾂ
(2,5)」鮒調ｧ箏ｨ饕
4.MODUしA丁工∨○ 譌8 VWV踞薮V (9.4)+(0,0)二(9.4) 2 ﾗ｢ｸｲ討
EIparo「denado(O.0) 茶定 VG VW7Xｽ F 茶調№ﾅ貯? 簓鋳
COnCu。iq両e「C.eI
id4n†jc0.neU†「○○
ndme予oC.
5.工NV∈R丁重∨○ 8*& E ‑ﾉI f ｢ (う,1)十(‑う.‑1)ニ(0.0) 漂? 2 ﾗｨ5 "ぷ｢討
exi5†eunco爪pie」o(‑乙) 兒+(一カニ(0.0)二Z‡(0.0)
(‑要).se=omoinve「so V VW7VﾖF 6W6燈W
Od面vou°PueS†odez. ﾃ洞6 .･ｦF貿X V6 VR FX ﾆX ｨｲ

NOMBR∈ 禰偉ｹ X D8ﾔヅ EJEMP」O 巴ﾔ #dﾇﾄ4
Eip○○duc†odedos 茶" 葡ﾃB ∪ニC.∀zl,Z2.Szお
n心me○○sco爪pIejos 茶"ﾃ R 紕瀞ﾃ
Cuaie5q山手e「qesun CO爪pIe」〇七両co. ｃ"ﾃ
(う.0)・(宣.4)二 2 ﾗｦﾂ Eb
P「Oduc†o†o†al. 宙‑ﾂ紕 R Bﾃコﾃ#
3.ASOC工A丁重∨○ [(ユタ2)・(3.4)]・(2.う)= 2 ﾗｦﾂ (‑ﾂ螽*Cｲ
COmPlejossepueden qg「up叶decuQIquie「嫡ﾃ" Uｲ紕 R B編 (z重・Z2)・Z●=
modo,S高甲edl†e「乞el p「Oduc†o†0†oI. 兒重・(之ま・Z事)
4.MODUしA丁重∨○ 埜Ｖ7GCｧV蔔ﾆ V (9.4)・(L0)=(9.4) 氷6､2 ﾗ｢ﾅ2引｢
E恒0「O「d乞ncdo(重.0) 匁FﾖX V 6 ﾗ坊ｦ V ﾂ宙ﾔづ R 粡貯? 粡鋳
que爪u面申codoc°h
ide面co,neu†「〇° V ﾇ V帽 X ﾄﾕﾆTｦ觀
moduIodeIQ I Xﾎ YMﾖF W76坊ﾕ VR
爪u†IPIICaC‑°n. 亡VX 9‑ﾆX T 4 米傍ｦ
5.￨NVERTn′O (5.1)・(う/26,‑1/26) 2ﾈﾗ｢ｇ｢ﾙu ｨ R ﾔ貯? 憧
(乙￣1),Se肱調Qinve「so ﾄﾕ帽 f Ivﾘ失 VV VR FR 妨 VWV こ(ま,0)
mul†iPIICa†lVOO 「e⊂了p○○code基Y VICe>e「So. ﾖX ｸｶ6 ﾗ坊ｦ 2ﾘ. V VS･ｨ R z ｢因Bﾃ停物 " ﾃ停

Y 「=izi=J市こIx+湘 (丁de唖9○○OS)
Argumen↑o de∴Z O amPl血d, al dngulo pos'†lVO (e) que forma∴el
Segme而o (o「igen ‑ afiJO) con∴el sen†'do positivo del eJe de las
Qbsci的S, d飢0†ロdo p°「 A「9 (z) o e:
小9(z)二e = †G映‡) (Def o予co †叩師e)
El m6duIo. rad10 (r) o valo「 absolu†o de z.
「=図二万÷二ix+γ‑I
「二「之IニJ∑乏￣ニ￣ヂ二2作
E高唱ul。 (0 ≦ e < 2可. 0「9U爪e面。 00mp〇両d de z
e二†on‑1研一巧二†〇両お‑・e二†o時)‑)〇二45〇二か4
F○○ma poIar: Z = (2J∑,450)o z = 2 伝M

重重こ章+i
「,こIzIこ、信子二作
el二†on車)三高4 (pos‑†‑Vo)
zl二Jきれ4二(作:0.2う小
暮2 = ‑4書3i
「2二臣J高市二う
e之二†on‑1(臆言)こ○○,2巾
e2= Tr‑O.217' = 0,797' (posi† Vo)
zz二う0.航= (う: 0.79可
Z3こ ‑2‑2i
障Iz‑二Jこ示云二佃
e3二†ロn辛)二有4
eうニ¶十重/4二う汀/4 (posI†IVO)
z,二、倍う¶/4 = (Jもう了r/4)
乙4= 4‑3i
「串‑二J市布= 5
e4=†証(お二〇〇.21¶
e4二2¶○○.之ま1てこ1.79n (po5i†IVO)
z4こう1,7伸二(5,宣.79巾
嵩1拝二ix十yii

Conve「s'6n 「ec†angula「 a polar
〇二izi討手二〇二J高二布こう
eニ†Qれ当) e=†on‑1(‡)二53,1o
狩Z2二5汀10 Fo「爪opoio「
Ejempio 2・ Sumar: Z = 2450・ Z2= 3190O・ Z3= 2 527OO
「=J(‑1.6)2+(‑1.6)2尋3 e二面(許雄○
○禽22う0 (dn9Uio pos‑†‑∨○) z重+ Z2 + Z3二Z = 2,3之Z5o
b. Res†o (zl‑之2)
Con>e「Si6n 「e⊂†肌9両手o poIa「‑
両i=庸二「二両二5
〇二†dn烏) e二†0映‡)二‑53.重o
Zl‑Z2 = 53叩O Fo「mロpOIo「

∈jempIo I Ob†ener hs †res raices cdblCα5 de l:
Se escr‑be ei l en fo「ma b'n6m‑Ca, (l + 0一). pa「a calc=lar el m6d=lo y el argumen†0, de la fo「ma poIa〇・
M6dulo.「=J声=J7* =l′ A「9(z)=0=†an烏) =†a叫)二0「ad=OO
Fo「爪opoI○○ z二(ら0。).6z二ま○○
Sus†'tllyendo, en el eJe「C'C'O P「OPueS†o. se p'de halhar:折= V市=折こ
詰霊嵩 Z3 、、〇十
z3二重4明= 124○○
Observaci6n; los af'JOS SOn los vdrtices de un †ridngulo equ'id†ero La variaC'6n (espaciado) se
Ob†'ene COn. 2巾/n, Slendoれel nJme「o de rafces工uego la var伯c'ch es de. 2"/3 6 12OO
ConJuntO SOluc'6n V… =(zo, Zl. Z2). CSこくlo," 12n/3, 14wd 6 CSごく1oo. l120O. 124OO)
VER￨FrCACr6N :
z〇二lo二重十〇I 乙o主13=1
zlこ12り/3 = 112○○ zl = (‑宣・ J言i)/2
z13二[(‑ま+ J言I)/2]3
z13二[(‑重)3 +3(‑1)2ノラi) +3(‑1)(Jうi)2 + (、厄i川/8
z主[‑1十3ヽ信主3.3i2 + (ヽ信)3i3]/8二[‑1十3J言上9i2 ・ (ヽ信)2立証I/8
z13二日+3J言i+9‑3ヽ働」/8二8/8二重
z2二14¶/3二124○○ Z2う= [(‑1 ‑ ヽ信I)/2]3こ重
Obse「vaci6n: La expresi6n. zt = (‑1 + ¥6')/2, Se Ob†'ene †「ansfo「mando la fo「ma poia〇・ Zl = l120O, a fo「ma
b周6m'Ca Zl = (一1 + 何l)/2, COn COS1200 = ‑1/2, Sen120OニJヨ/2. cos240〇二一1/2. sen240O = 〇、信/2. De la
mIS爪O f°「爪q Se Ve「ifICO Po「Q Z之
Ejel巾Pio 2 Ha=ar las cinCO rafces quln†as de ‑32
Se escribe ei ‑32 en fo「ma b川6mlCa (‑32 + Ol) y luego en fo「ma pola「
Modulo 「幸司= J示本市= 32
A「9u爪e画布9(z)二e二†Qn実)二†on￣1(茎)ニ1800
Fo「mopoi○○ z= (3之,ま80。)6 z二32180。
Sus↑itnyendo, en el eJerC'Cio propues†o. se p'de. V:語=挿㍍ = (極, 180o)

1 Sus冊Irya 「 POr lzl, en ias slg叫en†es exp「es'OneS, Pa「a Ob†ene「 proposiCiOneS equivalen†es
l・(z)当「e)h ⇔ (z)n=○○n8 2胴中二昨飢=(昨・e費)‥ek=雪雪中二〇.1,2.主(岬
2 Exp「esa「 en forma polar
まま十I 2 2i 3.Jる+J言i 4 3/4+i/2
3 M両'Pil⊂a「, en fo「ma polar T「aza「 la g「dflCa reSPeC†'Va
l zl=2300 Z之二31200 2 zl二54うO Z2二13Zう0
3 zl二3両 Z2=2叫 4 zlニ4乱伐 Z之=2埴
4 DlVldlr, en forma pola「. T「aza「 Ia g「df'Ca resPeC†iVa
ま zlこう1○○ Z2こ1/2ら0 2 z‑二89eO Z2=う8う0
3 z‑二4可e Z2=2中之 4 zl二6¶/12 貫之二2可e
5 Ca厨la「 Ia po†enc‑a. (zl)4 6 (22 )11, Seg血cor「esponda. Traza「 la g「df'Ca reSPeC†lVa
重 zl二2300 2 zz二31之OO 3 zlこう4う0 4‑ 乙2ごま3之う0
う zl二130 6 zz二1/2う0 7 zl二89ら0 8 ヱ2二518う0
6. CalcuIa「 las 「aices, Segdn cor「esponda T「aza「 la 9rdf'Ca 「eSPeC†lVa.
1 zl二2書。0・渦 2 z2二31Z。〇・寝言∴∴己zi=5450言伝 4・ Z之二1.zo.泥を
5・ Zlこ与言伝音∴∴∴ら一2ニ宣/2ヅ;V云 7・ Zl二8タ。0高言 8 z2二5 。う0・∨云
7 HalIar las 「ai⊂eS COmPiejas de las sigU'en†es ecllaCIOneS
l x2‑2×、eニ0 2 x乙3×+3 =0 3 2x2十4×十う二〇
4. ×2十3×十8 5 ×4可3×2十諦∴∴∴∴∴∴∴ 6 ×2、ま6二O
Obse「vac'dr Por ia f6…ula・ SuSt'†u'「 d'S⊂「'minan†e nega†一VO POr i2
8 Ha=ar la exp「esi6n gene「ai pa「a u…dmero compieJO OPueS†o y conJugado en forma poia「
Msc Pa⊂O Bas†idas虞omo & Otros 144 Nheros complejos

EI m6duIo. radiO (「) o vaio「 absoiu†o de z:
z二(×,Y) 「= Izi二万千
「二Izi二J…千手二2J乏
y ∈高ngulo (0 ≦ e = 2高a「gumen†o oamph†udde z
X 〇二†0∩臆‑時→e二†cn均一e二†〇両)→e=4う〇二¶′4

8ih6爪ic○ ○ †手心hO爪と†「ic〇・
Z二×+Yi Bin6mICd
〇二i乙I=J憂二手
A「9 (z)ニe= †o巾当)
Z= lzl (cose+'Sene) Tr‑gOnCm訂「‑Ca
T「igonom6†l.ica a Bin6mjca:
Z= lzl(cose+'Sene) T「lgOnOm封r'Ca
X二手COS8
Y=「Sene

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