Este documento contiene 20 problemas de matemáticas con sus respectivas soluciones. Los problemas abarcan diferentes temas como álgebra, geometría y progresiones. Cada problema viene acompañado de 5 opciones de respuesta de las cuales se debe elegir la clave correcta. El documento proporciona también los datos de contacto de dos centros educativos.

1. Cuarto de Secundaria
Solucionario
Jr. Rufino Torrico # 862 - LIMA Telefs. 424-7771 Telefax : 425-0554
Av. Arequipa 1250- Sta.Beatriz Telefs. 471-4432 Telefax: 470-9025
NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS
1
1. Sea la P.G:
a ; ar ; ar2 ; ar3 ; ar4; ar5; .............
xr xr
a+ar+ar2
+ar3
+ar4
+ar5
= 9.(a+ar+ar2
)





















1
r
1
r
.
a
9
1
r
1
r
.
a
3
6
(r6
-1) = 9(r3
–1)
(r3
+1) (r3
–1) = 9(r3
–1)
r3
+1 = 9  r3
= 8
 r = 2
Clave : d
2. Si:











2
1
;
3
1
3
x
2
2
1
3
x
2
3
1



3
2
1
x
2
3
3
1




2
5
x
2
3
8




4
5
x
1
6
8




8
6
x
5
4



 ................... ( I )
A qué intervalo pertenece:
x
2
1
x
4
5


x
2
1
3
2
x
2
1
3
)
x
4
2
(
x
2
1
x
4
5









Entonces:
4
3
x
5
4




2
3
x
2
5
8





5
8
x
2
2
3



5
8
1
x
2
1
2
3
1 




5
13
x
2
1
2
5


 
5
2
x
2
1
1
13
5



5
6
x
2
1
3
13
15



5
6
2
x
2
1
3
2
13
15
2 





5
16
x
2
1
x
4
5
13
41




Entonces:






5
16
;
13
41
x
2
1
x
4
5
Clave : a
3.
L1
L2
X
L4
L5
L3
Si :  -  = 40º  = 65º
Pero:  +  = 90º  = 25º

2. Cuarto de Secundaria
Solucionario
Jr. Rufino Torrico # 862 - LIMA Telefs. 424-7771 Telefax : 425-0554
Av. Arequipa 1250- Sta.Beatriz Telefs. 471-4432 Telefax: 470-9025
NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 2
Ahora :  +x = 180º  x = 180º-
 x = 180º -65º = 115º
Clave : b
4. 180º- { 90º -
2
1 [ (180º-)-(90º-)]}
180º - {90º -
2
1 [90º]}
180º - { 45º} = 135º
Clave : e
5.
A= 10
-1
- 10
-2
+ 10
-3
- 10
-4
+ ........
x(-10
-1
) x(-10
-1
) x(-10
-1
)
)
10
(
1
)
10
(
A
1
1





10
11
10
1
10
1
1
10
1
A 


11
1
A 
Clave : b
6.
m-
n
n
m
180º-m
180º-m 160º
(180º-m) + (n) = 160º
180º - (m –n) = 160º
 m-n = 20º
Clave : d
7. F(x) = | | x+2| - 1|
y
y
y
x
x
x
| x+2 |
| x+2 |-1
| | x+2 | -1|
Clave : e
8. Sean los tres números: x; y; z
Progresión Armónica: x; y; z

z
1
;
y
1
;
x
1 está en progresión
aritmética.
Propiedad:






















z
1
x
1
y
1
.
2
y
xz
.
2
z
x
xz
z
x
y
2




 ...............(I)
Progresión Aritmética: x+4; y+6; z
Propiedad: 2(y+6) = (x+4) +(z)
2.(y+4) = x+z .............(II)
Progresión Geométrica: x; y+1; z-3
Propiedad : (y+1)2
= (x) . (z-3) .......(III)
(I) en (II)
2(y+4) = 2.
y
xz y.(y+4)=x.z......... (IV)
(IV) –(III)

3. Cuarto de Secundaria
Solucionario
Jr. Rufino Torrico # 862 - LIMA Telefs. 424-7771 Telefax : 425-0554
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NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 3
y2
+4y = xz
y2
+2y +1 = xz –3x
2y –1 = 3x  2y = 3x+1.......(V)
(V) en (II)
2y +8 = x+z
(3x+1) +8 = x+z  z = 2x+9 ............(VI)
(V) y (VI) en (I)
(y) .(x+z) = 2(x) .(z)
(2y) .(x+z) = 4(x) .(z)
(3x+1) .(3x+9) = 4(x) (2x+9)
9x2
+30x +9 = 8x2
+36x
x2
–6x+9 = 0
(x-3)2
= 0
x = 3  y = 5  z = 15
 x + y + z = 23
Clave : d
9.
A C
B
x°
D
E
50º
40º
20º
50º
60º
60º
10º
80º
m  ACE = 60º
 AC = CE = AE
m  ACD = m ADC = 50º
 AC = AD
 AD = AE
A C
B
D
E
40º
20º
80º
80º
X
x +80º = 180º
 x = 100º
Clave : c
10. “r” y “s” son las raíces de la ecuación:
x2
+ ax + b = 0
r + s = -
1
a = -a
rs = b
1
b

a
s
r
r
s
E 


rs
rs
2
r
s
E
2
2 


rs
)
r
s
(
E
2


b
a
b
)
a
(
E
2
2



Clave : c
11.
D
C
B
3x 2x A
3x+90º +2x = 180º
5x = 90º
x = 18º
º
27
2
º
18
.
3
2
x
3



Clave : c
12.
(-)

4. Cuarto de Secundaria
Solucionario
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NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 4
L1
E
180°- -x
A
F
2
B
D
+
C
x
180º-2
L2
 : es agudo   < 90º
(180º -2) +  + 2 = 180º (ABF)
 = 2( - )   -  =
2
 .
(180º -  - x)  +  = 180º (EBC)
x =  +  - 
x =  - ( - )
x =
2

2x =  < 90º
2x < 90º
x < 45º
xmáx = 44º
Clave : d
13. Sea la progresión aritmética:
P.A.t1; t2; .............; t6; t7; t8; t9; t10; t1
1 ,........; t
16
r r 6 términos centrales
t6 + t7+t8+t9+t10+t11 = 141
(t1 +5r)+(t1+6r)+(t1+7r)+(t1+8r)+(t1+9r)+
(t1+10r) = 141
6t1 +45r = 141
2t1 +15r = 47
(t1) +(t1+15r) = 47
(t1) x (t16) = 46
(t1) x(t1+15r) = 46
Entonces: tn = t1 +(n – 1)r
tn = 1+(n-1)3 = 7 n = 3
 tn = t3 : 3ro
Clave : c
14. x + = 180º  x =180º - 
x
x x
x
2 2
x
2 +2 +  = 5 = 180º   = 36º
 x = 180º - 36º = 144º
Clave : a
15.
2
15º
2
A C
B
D
90º-
90º-
2 +15º = 90º - 
3 = 75º   = 25º
 2 = 50º
t1 =1
t1+15r=46r=3

5. Cuarto de Secundaria
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NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 5
Clave : a
16.
x
A
B
C
D
20º
65º
80º
15º
AB = BC x +20º = 65º
 x = 45º
Clave : d
.
17.
O A
B
X
X
“n” rayos interiores entonces son “(n+1)”
ángulos interiores
mAOB = (n+1)= =
)
1
n
( 

x =  - 3
x =  - 3








1
n
= 








1
n
2
n
Clave : d
18.
7 10
8
y
x z
7 < x +y < 8 +10
10 < y +z < 7 + 8
8 < z +x < 10 +7
25 < 2(x+y+z) < 50
12,5 < x+y +z < 25
(x+y+z) puede medir : 20
Clave : c
19.
x
F
O
E D
G
C
B
A
x
 =  +x +2
m  AOF = x+ + + + x +  = 114º
= 2(x +  +) = 114º
x +  + = 57º ……………… (I)
2
1
( +) = 16º   + = 32º …..(II)
(II) en (I) :
x + 32º = 57º
x = 25º
Clave : d
20.
+

6. Cuarto de Secundaria
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NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 6
2
2
2
x
y
z
4 + 4 + 4w = 180º
 +  + w = 45º
x = 4 +  + w
y =  + 4 + w
z =  +  + 4w
x +y +z = 6( +  + w)=6.(45º)= 270º
Clave : c
21. O : Circuncentro
G : Baricentro
H : Ortocentro
3x 3x
2x
x
G
18
O
H
90-
90-
Propiedad : 2
GO
HG

3x+3x = 18dm
6x = 18dm
x = 3dm
Clave : d
22.
A H
B
F
D
3
3
3
6
3
5
90-
C
6.BD = 5.AC 
6
5
AC
BD

ABH  ABF
AH = BF = 3
3 = 37º
 = 37º/3 = 12º + 1º/3
 = 12º 20´
m  BCA = 90º - 
m  BCA = 90º -12º 20´
m  BCA = 77º 40`
Clave : d
23. Trazamos BH perpendicular a la
prolongación de AP .
Como : AM = MB
 AQ = QH
 AC = CH
A
M
B
H
P
C
a
a
2x
2
b
x
Q
b
y BH = 2.MQ
BH = 2x
Entonces en el gráfico se ve que el
BHC es isósceles.
BH = HC
(+)

7. Cuarto de Secundaria
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NO TENEMOS SUCURSALES EN PROVINCIAS 7
2x = a
 x = a/2
Clave : d
24. m  = 78º  m B̂ = 24º  m Ĉ =78º
78º
A B
C
78º
12º
X
I
O
12º
12º24º
 AOB es isósceles :
m OAB = mOBA=12º
“I” es incentromCAI = mIAB=
2
º
78
m  IAB = 39º
x + 12º = 39º
x = 27º
Clave : a
25.
A
B
C
N
P
M
21
21
90º-2
21
20
20
2
2
2
20
X
ABC  AM = MC = BM = 21
PMC  PN = NC = MN = 20
Como : BM = MC mCBM =
mMCB = 
Entonces:
mAMB = 2  mBMP =90º-2.
Como : PN = NM  mMPN =
mPMN= 2.
Entonces el BMN es un triángulo
rectángulo.
x2
= 212
+ 202
x2
= 441 + 400 = 841
x = 29u
Clave : b
Departamento de Publicidad
“TRILCE”