Este documento presenta un solucionario de ejercicios de matemáticas para el segundo año de secundaria. Contiene 16 resoluciones de ejercicios numéricos que abarcan temas como números reales, racionalización de expresiones y operaciones con raíces. El documento está dividido en dos niveles de dificultad y proporciona las respuestas correctas a cada ejercicio resuelto.
El documento presenta información sobre números enteros. Explica que los números enteros incluyen los números positivos, negativos y cero. Proporciona ejemplos de sumas, restas, comparaciones y valor absoluto de números enteros utilizando la recta numérica. También incluye ejercicios de práctica sobre operaciones con números enteros.
Este documento presenta un solucionario para el segundo año de educación secundaria. Incluye ejercicios resueltos de números reales con diferentes niveles de dificultad. También presenta ejercicios sobre operaciones con raíces y fracciones algebraicas, así como la resolución de ecuaciones y expresiones algebraicas. El documento proporciona las respuestas detalladas a cada ejercicio para que los estudiantes puedan revisar los pasos de resolución.
Este documento presenta varios problemas relacionados con números racionales y fracciones. Incluye ejercicios sobre fracciones equivalentes, operaciones con fracciones como suma, resta, multiplicación y división, y representación de fracciones en la recta numérica. También cubre temas como ordenar fracciones de menor a mayor y reducir fracciones a un denominador común.
1) El documento presenta una guía de matemáticas con temas sobre números enteros y fracciones. Incluye ejercicios sobre representación de números en una recta numérica, cálculo de visitantes a un museo, ganador de un juego, amplitud térmica, operaciones con números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, y conversión de fracciones a decimales.
Este documento describe las propiedades de la adición en números naturales (N), incluyendo la propiedad conmutativa, asociativa, del elemento neutro y de clausura. También presenta ejemplos prácticos de sumas y métodos para realizar sumas mentalmente formando grupos de 10 o separando números de forma conveniente.
El documento habla sobre conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, exponentes, operaciones algebraicas como suma, resta y multiplicación. Explica propiedades como la ley de signos y la propiedad distributiva. Presenta ejemplos de resolución de operaciones algebraicas como sumas, restas y multiplicaciones de polinomios y trinomios. Finalmente, plantea dos problemas para modelar el área de un terreno rectangular y el costo total de una compra de tres artículos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre operaciones básicas con números reales, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias con números racionales e irracionales. Se explican las propiedades de estas operaciones y se piden completar tablas y expresar números enteros como fracciones. El documento también incluye representar conjuntos de números en una recta numérica y aplicar las operaciones básicas a números racionales.
Este documento presenta un examen de matemáticas con 6 preguntas. La primera pregunta involucra operaciones con potencias. La segunda pregunta involucra operaciones con números enteros. La tercera pregunta pide calcular el MCD y MCM de dos números. La cuarta pregunta involucra simplificar fracciones. La quinta pregunta involucra simplificar expresiones con fracciones y divisiones. La sexta y última pregunta pide realizar operaciones aritméticas básicas. El examen evalúa conceptos matemáticos fundamentales como potencias, números enter
El documento presenta información sobre números enteros. Explica que los números enteros incluyen los números positivos, negativos y cero. Proporciona ejemplos de sumas, restas, comparaciones y valor absoluto de números enteros utilizando la recta numérica. También incluye ejercicios de práctica sobre operaciones con números enteros.
Este documento presenta un solucionario para el segundo año de educación secundaria. Incluye ejercicios resueltos de números reales con diferentes niveles de dificultad. También presenta ejercicios sobre operaciones con raíces y fracciones algebraicas, así como la resolución de ecuaciones y expresiones algebraicas. El documento proporciona las respuestas detalladas a cada ejercicio para que los estudiantes puedan revisar los pasos de resolución.
Este documento presenta varios problemas relacionados con números racionales y fracciones. Incluye ejercicios sobre fracciones equivalentes, operaciones con fracciones como suma, resta, multiplicación y división, y representación de fracciones en la recta numérica. También cubre temas como ordenar fracciones de menor a mayor y reducir fracciones a un denominador común.
1) El documento presenta una guía de matemáticas con temas sobre números enteros y fracciones. Incluye ejercicios sobre representación de números en una recta numérica, cálculo de visitantes a un museo, ganador de un juego, amplitud térmica, operaciones con números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, y conversión de fracciones a decimales.
Este documento describe las propiedades de la adición en números naturales (N), incluyendo la propiedad conmutativa, asociativa, del elemento neutro y de clausura. También presenta ejemplos prácticos de sumas y métodos para realizar sumas mentalmente formando grupos de 10 o separando números de forma conveniente.
El documento habla sobre conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, exponentes, operaciones algebraicas como suma, resta y multiplicación. Explica propiedades como la ley de signos y la propiedad distributiva. Presenta ejemplos de resolución de operaciones algebraicas como sumas, restas y multiplicaciones de polinomios y trinomios. Finalmente, plantea dos problemas para modelar el área de un terreno rectangular y el costo total de una compra de tres artículos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre operaciones básicas con números reales, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias con números racionales e irracionales. Se explican las propiedades de estas operaciones y se piden completar tablas y expresar números enteros como fracciones. El documento también incluye representar conjuntos de números en una recta numérica y aplicar las operaciones básicas a números racionales.
Este documento presenta un examen de matemáticas con 6 preguntas. La primera pregunta involucra operaciones con potencias. La segunda pregunta involucra operaciones con números enteros. La tercera pregunta pide calcular el MCD y MCM de dos números. La cuarta pregunta involucra simplificar fracciones. La quinta pregunta involucra simplificar expresiones con fracciones y divisiones. La sexta y última pregunta pide realizar operaciones aritméticas básicas. El examen evalúa conceptos matemáticos fundamentales como potencias, números enter
El documento presenta dos problemas de proporciones geométricas. El primero involucra una proporción continua donde el producto de sus términos es 1296 y uno de los extremos es 3. El segundo involucra una proporción discreta donde el producto de sus términos es 15876 y el primer término es 7, se pide calcular el producto de los términos medios.
Este documento contiene una serie de ejercicios de matemáticas sobre sucesiones numéricas y series. Incluye 30 problemas que van desde calcular términos que continúan en una sucesión, determinar sumas de series numéricas, hasta identificar figuras geométricas que siguen un patrón. El objetivo es que los estudiantes practiquen y refuercen conceptos básicos sobre sucesiones y series numéricas.
Este documento propone reformas al Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación Intercultural relacionadas con los exámenes supletorios, remediales y de gracia. Se establece que los estudiantes con notas entre 5 y 6.9 podrán rendir un examen supletorio para aprobar asignaturas, y aquellos con nota menor a 5 deberán presentar un examen remedial. También se permite un examen de gracia para quienes reprueben un examen remedial.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
Este documento es una evaluación de matemáticas sobre los números reales para un grado escolar. Contiene 8 preguntas con múltiples partes que prueban la comprensión de los estudiantes sobre los diferentes tipos de números reales, operaciones con potencias y raíces, y transformaciones entre potencias y raíces. Los estudiantes deben clasificar números, resolver operaciones, y verificar resultados de raíces.
Este documento trata sobre los signos de agrupación como paréntesis, llaves y corchetes. Explica que estos símbolos se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Luego muestra ejemplos de cómo se usan y cómo se pueden eliminar los signos de agrupación cambiando o no la expresión interna dependiendo de si el signo que precede es positivo o negativo.
Este documento presenta un conjunto de 8 ejercicios de matemáticas sobre fracciones y decimales. Los ejercicios incluyen calcular resultados, clasificar números como decimales exactos o periódicos, resolver problemas que involucran conversiones entre fracciones y decimales, y determinar si ciertas afirmaciones son verdaderas o falsas.
1) El documento contiene ejercicios de matemáticas sobre números enteros, fracciones y decimales para 2o de ESO.
2) Incluye ejercicios para representar números en una recta numérica, calcular visitantes en un museo, determinar quién ganó un juego, calcular amplitud térmica, operaciones con números enteros y valores absolutos.
3) También presenta ejercicios para expresar números como fracciones equivalentes, reducir fracciones a común denominador, ordenar fracciones, realizar operaciones con fracciones de distinto denominador
Este documento presenta las soluciones a 31 problemas de álgebra. Los problemas cubren temas como operaciones con exponentes y raíces, simplificación de expresiones algebraicas, y resolución de ecuaciones y desigualdades. El profesor Hans Tafur Pereda provee las respuestas detalladas a cada problema para ayudar a los estudiantes a practicar y comprender mejor los conceptos de álgebra.
Identidades trigonométricas de ángulo simpleTAFURH
Este documento presenta 12 problemas de trigonometría y sus resoluciones. Los problemas involucran identidades trigonométricas, binomios al cuadrado, diferencia de cuadrados y otras operaciones. Las respuestas a los problemas van desde simplificar expresiones trigonométricas hasta hallar valores numéricos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que incluyen: 1) expresar frases en lenguaje algebraico, 2) calcular valores numéricos de expresiones algebraicas, 3) resolver sumas y productos de monomios y polinomios, 4) resolver cocientes de polinomios, 5) calcular potencias y productos directamente, y 6) expresar diferencias de cuadrados como productos. Las soluciones a estos ejercicios se proporcionan en la página 3.
El documento contiene 10 ejercicios de matemáticas para primero de ESO. Los ejercicios incluyen ordenar fracciones, hallar fracciones irreducibles, realizar operaciones con fracciones y números decimales, resolver problemas de porcentajes y proporciones, calcular mcm y mcd, y reducir potencias.
Este documento presenta un examen de matemáticas de 1o de ESO que consta de 6 preguntas. La primera pregunta incluye representar fracciones en la recta numérica y pasar fracciones a números mixtos. La segunda pregunta involucra calcular valores de expresiones algebraicas simplificando fracciones. La tercera pregunta trata sobre fracciones de una clase. La cuarta pregunta implica resolver operaciones con fracciones. La quinta pregunta plantea problemas de porcentajes. La sexta pregunta abarca simplificar fracciones.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre potenciación de números enteros. Los estudiantes deben completar tablas, identificar cuadrados y cubos perfectos, calcular expresiones con exponentes, y resolver operaciones combinadas que involucran potencias. Finalmente, se piden respuestas a preguntas de selección múltiple relacionadas con estos conceptos.
1. Resume tres operaciones matemáticas con sus respectivas soluciones.
2. Explica cómo calcular la expresión (11*7) * (5*8) y llega a la respuesta 0.5.
3. Resuelve la ecuación 4#n=2 * n y encuentra que n=-3.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre sucesiones numéricas, con sus respectivas soluciones. Se piden hallar términos, completar sucesiones, calcular términos generales y realizar operaciones entre sucesiones. Los ejercicios van desde hallar los primeros términos hasta operaciones más complejas entre sucesiones dadas por sus términos generales.
Este documento presenta ejercicios sobre potencias y raíces. 1) Expresa números como potencias. 2) Lee potencias y exprésalas como productos. 3) Completa tablas de potencias. 4) Calcula valores de potencias mentalmente u con lápiz y papel. 5) Obtén raíces cuadradas con ayuda de tablas o calculadora. El documento ofrece ejercicios para practicar el cálculo de potencias y raíces.
El documento repite la frase "UPeU BECA 18" y números de manera continua sin otro contenido relevante. No es posible extraer información fundamental o de alto nivel del texto dado.
Aquí les dejo fichas de trabajo del sub-área de Álgebra para el 6º grado de primaria, I bimestre. Para mayor información... visita mi blog: maestrosenaccion2011... lo espero
Este documento contiene 20 problemas resueltos de matemáticas que incluyen temas como matrices, sistemas de ecuaciones, series, funciones, desigualdades, teoría de ecuaciones, probabilidades y estadística descriptiva. Cada problema está numerado y tiene la solución escrita debajo. El documento provee una variedad de ejercicios resueltos de diferentes temas matemáticos para que los estudiantes puedan revisar y aprender.
Este documento trata sobre el tema de la división de polinomios. Explica los pasos para realizar divisiones de polinomios con ejemplos numéricos. También incluye preguntas de ejercicios resueltas sobre división de polinomios y cocientes notables.
Este documento presenta un examen de aritmética con 15 preguntas. Las preguntas cubren temas como operaciones aritméticas, reglas de tres, porcentajes y problemas de lógica. El examen evalúa las habilidades básicas de los estudiantes en aritmética.
El documento presenta dos problemas de proporciones geométricas. El primero involucra una proporción continua donde el producto de sus términos es 1296 y uno de los extremos es 3. El segundo involucra una proporción discreta donde el producto de sus términos es 15876 y el primer término es 7, se pide calcular el producto de los términos medios.
Este documento contiene una serie de ejercicios de matemáticas sobre sucesiones numéricas y series. Incluye 30 problemas que van desde calcular términos que continúan en una sucesión, determinar sumas de series numéricas, hasta identificar figuras geométricas que siguen un patrón. El objetivo es que los estudiantes practiquen y refuercen conceptos básicos sobre sucesiones y series numéricas.
Este documento propone reformas al Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación Intercultural relacionadas con los exámenes supletorios, remediales y de gracia. Se establece que los estudiantes con notas entre 5 y 6.9 podrán rendir un examen supletorio para aprobar asignaturas, y aquellos con nota menor a 5 deberán presentar un examen remedial. También se permite un examen de gracia para quienes reprueben un examen remedial.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
Este documento es una evaluación de matemáticas sobre los números reales para un grado escolar. Contiene 8 preguntas con múltiples partes que prueban la comprensión de los estudiantes sobre los diferentes tipos de números reales, operaciones con potencias y raíces, y transformaciones entre potencias y raíces. Los estudiantes deben clasificar números, resolver operaciones, y verificar resultados de raíces.
Este documento trata sobre los signos de agrupación como paréntesis, llaves y corchetes. Explica que estos símbolos se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Luego muestra ejemplos de cómo se usan y cómo se pueden eliminar los signos de agrupación cambiando o no la expresión interna dependiendo de si el signo que precede es positivo o negativo.
Este documento presenta un conjunto de 8 ejercicios de matemáticas sobre fracciones y decimales. Los ejercicios incluyen calcular resultados, clasificar números como decimales exactos o periódicos, resolver problemas que involucran conversiones entre fracciones y decimales, y determinar si ciertas afirmaciones son verdaderas o falsas.
1) El documento contiene ejercicios de matemáticas sobre números enteros, fracciones y decimales para 2o de ESO.
2) Incluye ejercicios para representar números en una recta numérica, calcular visitantes en un museo, determinar quién ganó un juego, calcular amplitud térmica, operaciones con números enteros y valores absolutos.
3) También presenta ejercicios para expresar números como fracciones equivalentes, reducir fracciones a común denominador, ordenar fracciones, realizar operaciones con fracciones de distinto denominador
Este documento presenta las soluciones a 31 problemas de álgebra. Los problemas cubren temas como operaciones con exponentes y raíces, simplificación de expresiones algebraicas, y resolución de ecuaciones y desigualdades. El profesor Hans Tafur Pereda provee las respuestas detalladas a cada problema para ayudar a los estudiantes a practicar y comprender mejor los conceptos de álgebra.
Identidades trigonométricas de ángulo simpleTAFURH
Este documento presenta 12 problemas de trigonometría y sus resoluciones. Los problemas involucran identidades trigonométricas, binomios al cuadrado, diferencia de cuadrados y otras operaciones. Las respuestas a los problemas van desde simplificar expresiones trigonométricas hasta hallar valores numéricos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que incluyen: 1) expresar frases en lenguaje algebraico, 2) calcular valores numéricos de expresiones algebraicas, 3) resolver sumas y productos de monomios y polinomios, 4) resolver cocientes de polinomios, 5) calcular potencias y productos directamente, y 6) expresar diferencias de cuadrados como productos. Las soluciones a estos ejercicios se proporcionan en la página 3.
El documento contiene 10 ejercicios de matemáticas para primero de ESO. Los ejercicios incluyen ordenar fracciones, hallar fracciones irreducibles, realizar operaciones con fracciones y números decimales, resolver problemas de porcentajes y proporciones, calcular mcm y mcd, y reducir potencias.
Este documento presenta un examen de matemáticas de 1o de ESO que consta de 6 preguntas. La primera pregunta incluye representar fracciones en la recta numérica y pasar fracciones a números mixtos. La segunda pregunta involucra calcular valores de expresiones algebraicas simplificando fracciones. La tercera pregunta trata sobre fracciones de una clase. La cuarta pregunta implica resolver operaciones con fracciones. La quinta pregunta plantea problemas de porcentajes. La sexta pregunta abarca simplificar fracciones.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre potenciación de números enteros. Los estudiantes deben completar tablas, identificar cuadrados y cubos perfectos, calcular expresiones con exponentes, y resolver operaciones combinadas que involucran potencias. Finalmente, se piden respuestas a preguntas de selección múltiple relacionadas con estos conceptos.
1. Resume tres operaciones matemáticas con sus respectivas soluciones.
2. Explica cómo calcular la expresión (11*7) * (5*8) y llega a la respuesta 0.5.
3. Resuelve la ecuación 4#n=2 * n y encuentra que n=-3.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre sucesiones numéricas, con sus respectivas soluciones. Se piden hallar términos, completar sucesiones, calcular términos generales y realizar operaciones entre sucesiones. Los ejercicios van desde hallar los primeros términos hasta operaciones más complejas entre sucesiones dadas por sus términos generales.
Este documento presenta ejercicios sobre potencias y raíces. 1) Expresa números como potencias. 2) Lee potencias y exprésalas como productos. 3) Completa tablas de potencias. 4) Calcula valores de potencias mentalmente u con lápiz y papel. 5) Obtén raíces cuadradas con ayuda de tablas o calculadora. El documento ofrece ejercicios para practicar el cálculo de potencias y raíces.
El documento repite la frase "UPeU BECA 18" y números de manera continua sin otro contenido relevante. No es posible extraer información fundamental o de alto nivel del texto dado.
Aquí les dejo fichas de trabajo del sub-área de Álgebra para el 6º grado de primaria, I bimestre. Para mayor información... visita mi blog: maestrosenaccion2011... lo espero
Este documento contiene 20 problemas resueltos de matemáticas que incluyen temas como matrices, sistemas de ecuaciones, series, funciones, desigualdades, teoría de ecuaciones, probabilidades y estadística descriptiva. Cada problema está numerado y tiene la solución escrita debajo. El documento provee una variedad de ejercicios resueltos de diferentes temas matemáticos para que los estudiantes puedan revisar y aprender.
Este documento trata sobre el tema de la división de polinomios. Explica los pasos para realizar divisiones de polinomios con ejemplos numéricos. También incluye preguntas de ejercicios resueltas sobre división de polinomios y cocientes notables.
Este documento presenta un examen de aritmética con 15 preguntas. Las preguntas cubren temas como operaciones aritméticas, reglas de tres, porcentajes y problemas de lógica. El examen evalúa las habilidades básicas de los estudiantes en aritmética.
El documento presenta ejercicios resueltos sobre ángulos y sistemas de medida angular. En el primer ejercicio se calcula el valor de x dado que se cumple que 1k = 7k y x = nk. En el segundo ejercicio se resuelve un sistema de ecuaciones angulares dando como resultado que x = 15. El tercer ejercicio expresa un ángulo en radianes dando como resultado 5 radianes.
1era parte solucionario libro matematica 5to grado Cobeñas Naquiche,hecho en ...julio vera edquen
El documento presenta ejercicios resueltos sobre ángulos y sistemas de medida angular. En el primer ejercicio se calcula el valor de x. En el segundo ejercicio se resuelve una ecuación angular expresada en radianes. En el tercer ejercicio se calcula la medida de un ángulo expresado en el sistema sexagesimal.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento contiene 18 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran cálculos algebraicos, lógica y transformaciones entre bases numéricas. El documento provee la solución completa para cada problema con el objetivo de explicar los pasos involucrados en la resolución.
Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra como la suma, resta, multiplicación y reducción de raíces cuadradas. Incluye ejemplos de transformación de radicales y reducción de expresiones algebraicas. El objetivo es presentar los principios fundamentales del álgebra de una manera concisa.
El resumen trata sobre la teoría de exponentes y ecuaciones de primer grado. Se presentan 5 ejercicios resueltos que involucran operaciones con exponentes, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones de primer grado.
Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra como la suma, resta, multiplicación y reducción de raíces cuadradas. Incluye ejemplos de transformación de radicales y reducción de expresiones algebraicas. El objetivo es presentar los principios fundamentales del álgebra de una manera concisa.
Este documento presenta 30 proyectos o ejercicios matemáticos relacionados con intervalos en una recta numérica. Los ejercicios involucran operaciones como unión, intersección y diferencia de intervalos, así como también cálculos algebraicos y ordenamiento. Cada proyecto contiene la pregunta y su correspondiente solución de manera simbólica y/o numérica.
Este documento presenta dos problemas relacionados con el número áureo Φ.
1) Demuestra que la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular es Φ. Esto se logra mediante la semejanza de triángulos.
2) Muestra que si se quita un cuadrado de un rectángulo, el rectángulo restante es semejante al original, por lo que su razón de lados es Φ.
Este documento presenta fórmulas y propiedades de álgebra elemental como identidades y productos notables. Incluye operaciones con binomios cuadrados, cubos y otros polinomios, así como la factorización de expresiones algebraicas.
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)George Montenegro
La semana 1 cubre teoría de exponentes y ecuaciones de primer grado, con 15 ejercicios resueltos como ejemplos. Los ejercicios involucran operaciones con exponentes, simplificación de expresiones, resolución de ecuaciones y cálculo de valores numéricos.
Este documento presenta diferentes tipos de operadores matemáticos, incluyendo operadores convencionales como la adición, sustracción, multiplicación y división, así como operadores no convencionales definidos de manera arbitraria. Explica cómo resolver ejercicios que involucran operadores definidos mediante leyes de formación, datos auxiliares y una incógnita.
Este documento presenta una lista de 10 productos notables de álgebra que se obtienen directamente sin necesidad de realizar la multiplicación. Estos incluyen el binomio al cuadrado, identidades de Legendre, binomio al cubo, diferencia de cuadrados, multiplicación de dos binomios con un término común, suma y diferencia de cubos, trinomio al cuadrado y al cubo, e igualdades condicionales.
Este documento presenta dos problemas de sistemas de ecuaciones. El primer problema pregunta para qué valores de K el sistema no tendría solución. La resolución muestra que el sistema no tendría solución si K = -1 o K = 6. El segundo problema pide calcular el valor de (a + b) si una de las raíces es 1 + 2i. La resolución muestra que a = 19 y b = 15, por lo que a + b = 34.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con el valor absoluto de números reales. Incluye teoremas sobre propiedades del valor absoluto y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades, como sumas, restas y desigualdades con valores absolutos.
Este documento contiene 17 proyectos de matemáticas sobre álgebra, funciones y gráficas. Los proyectos incluyen simplificar expresiones, calcular valores numéricos, determinar grados de polinomios, hallar vértices y puntos de corte de parábolas, y representar gráficamente funciones cuadráticas.
Este documento contiene 21 proyectos de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Los proyectos incluyen ejercicios sobre fracciones, conjuntos, polinomios, álgebra y cálculo. El estudiante debe desarrollar las soluciones a cada uno de los proyectos en su cuaderno.
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
3. - 3 -
Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 1
NÚMEROS REALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54)
NIVEL I
Resolución 1
Vemos que: *
8
5
1 6= ,
*
3
11
0 27= , (Periódico puro)
*
1
2
0 5= ,
*
1
3
0 3= ,
)
(Periódico puro)
*
8
15
0 53= ,
)
(Periódico mixto) Rpta.: E
∴ B A− = 3 8; Rpta.: C
Resolución 4
Son irracionales: π y 7
∴ Hay 2 números irracionales Rpta.: B
Resolución 7
Sea 4 7 13x − =
Por propiedad: Si a b=
à a = b ∨ a = −b
Tenemos que:
4x − 7 = 13 ∨ 4x − 7 = −13
4x =13 + 7 4x = −13 + 7
4x = 20 4x = −6
x = 5 ∨ x = −
3
2
Luego, tomamos el valor negativo de “x”
∴ x = −
3
2
Rpta.: D
Resolución 5
5 2666 5 26
526 52
90
, .... ,= =
−)
= =
474
90
79
15
= 5
4
15
Rpta.: A
Resolución 6
Si A ; 3= −∞ ; B = −2 8;
Graficamos los intervalos.
Resolución 2
⊂ IR (V)
IN Q⊂ (V)
∪¤ II = ¡ (V)
∴ VVV Rpta.: C
Resolución 3
Denso Rpta.: B
Resolución 8
A) − =3 3 (verdadero)
B) − =4 2 4 2 (verdadero)
C) x x= , si x > 0 (verdadero)
D) 6 6 0+ − = (falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
E) x x= − , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D
Resolución 9
1
14 2
1
7 2
1
14 2
1
7 2
: =
= =
1 7 2
1 2
1
2
1
2
14
×
×
= 0,50 Rpta.: B
4. - 4 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 10
I. a5·a2 = a10 ........... es falso
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10
II. a a273 3
= ........ es falso
ya que: a a a a273
27
3 9 3
= = ≠
III. b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21
IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso
ya que: 0 9
9
10
3
10
0 3, ,= = ≠
∴ F F V F Rpta.: D
Resolución 11
− + − = − + −125 243 5 33 53 3 b g b g = −83
= −2 Rpta.: B
Resolución 12
A = = =16 64 16 4 433 3
· à A = 4
B = = =6 36 6 6 6· à B = 6
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
∴ (A + B)2 = 100 Rpta.: C
Resolución 13
3 12 3 80 4 45 2 27− + −
3 4 · 3 3 16 · 5 4 9 · 5 2 9 · 3− + −
3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3· · · ·− + −
3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3· · · ·− + −
6 3 12 5 12 5 6 3 0− + − = Rpta.: E
Resolución 14
L =
+
−
=
+
−
50 2
18 2
25 2 2
9 2 2
·
·
L =
+
−
25 2 2
9 2 2
·
·
L =
+
−
= =
5 2 2
3 2 2
6 2
2
3
2
1
2
∴ L = 3 Rpta.: C
=
7
2
1
7
· =
7
2 7
7
7
× =
7 7
2 7·
=
7
2
Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
I. 3, 15 > 3, 2 es falso
II. −5, 7268 < −5, 7271 es falso
III. 3,1416 es irracional es falso
∴ Relación correcta: F F F Rpta.: E
Resolución 2
Por dato: −2r > 7
r < −
7
2
r < −3,5
à r: −4; −5; .........
∴ rmax = −4 Rpta.: B
Resolución 3
Graficamos los intervalos dados:
Luego: A B∩ = −2 3;
C = −∞; 3
à A B C∩ − = − − −∞b g 2 3 3; ;
={3} Rpta.: D
Resolución 4
Reemplazamos con los valores aproxima-
dos al centésimo, obtenemos:
π + −10 13 10e j e j:
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)
6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C
Resolución 15
1
7
7 2 7 2 7 1
2 2 72 14 14
= =
5. - 5 -
Segundo Año de Secundaria
Tenemos que:
1 2 1 2− = − −e j
1 2 2 1− = −
2 3 2 3− = − −e j
2 3 3 2− = −
Reemplazando en (I) tenemos que:
2 1 3 2− + −e j e j
2 1 3 2 2− + − =
∴ 1 2 2 3 2− + − = Rpta.: B
Resolución 7
2 7 1 26 0x − − − =
2 7 1 26x − =
Resolución 5
I. π ∈IR ....................... (V)
II. − ∈52
IN ................... (F)
ya que: − = − ∉5 252
IN
III. ( )∪ ∩ =¥ ¤ ¢ ¢
∩ = . .............. (V)
IV. − ∈49 IR ................. (F)
∴ Relación correcta es: V F V F Rpta.: D
Resolución 6
1 2 2 3− + − ........ (I)
como: 1 2 0 2 3 0− < ∧ − <
7 1 13x − =
à 7x − 1 = 13 ∨ 7x − 1 = −13
x = 2 ∨ x = −
12
7
∴ Solución mayor = 2 Rpta.: E
Resolución 9
* A = + −12 75 48
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + − =2 3 5 3 4 3 3 3
à A = 27
* B = + −16 128 543 3 3
B = + −8 2 64 2 27 23 3 3
· · ·
B = + − =2 2 4 2 3 2 3 23 3 3 3
à B = 543
Luego:
A B2 3 2
3
3
27 54+ = +e j e j
Resolución 8
1
16
2 2
1
2
1
2
1
2
4 2 3
1 3
2 3
1 3
− −
F
HG
I
KJ = − −
F
HG I
KJ− −
− −/ /
= − −
F
HG I
KJ
−
1
2
1
4
1
8
1
3
=
F
HG I
KJ
−
1
8
1 3/
= =8 2
1
3
Rpta.: B
= + =27 54 81
∴ A B2 3
9+ = Rpta.: B
Resolución 10
A =
−
RS|
T|
UV|
W|
−
81
32 27
3 4
2 5 1 3
1 3/
/ /
/
A =
−
R
S|
T|
U
V|
W|
−
81
32 27
4 3
5 2 3
1 3/
A =
−
RS|
T|
UV|
W|
−
3
2 3
3
2
1 3/
6. - 6 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 11
Racionalizamos cada sumando:
1
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3 5 3+
−
−
=
−
+ −
×
e je j
=
−
−F
H
I
K
5 3
5 3
2 2
=
1
5 3
5 3
2+
=
−
1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1 3 1+
−
−
=
−
+ −
×
e je j
=
3 1
3 1
2 2
−
−
1
3 1
3 1
2+
=
−
1
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5 4 2 5−
+
+
=
+
− +
×
e je j
=
+
−
2 2 5
4 2 52 2
e j
e j
=
+
−
2 2 5
4
e j
1
4 2 5
2 5
2−
= −
+
Luego, efectuando tenemos que:
1
5 3
1
3 1
1
4 2 5+
+
+
−
+1 24 34 123 1 24 34
5 3
2
3 1
2
2 5
2
−
+
−
− −
+F
HG
I
KJ
5 3 3 1 2 5
2
1
2
− + − + +
=
Rpta.: A
Resolución 12
8 36 3 729
6 16
8 6 3 3
6 2 2
6 9
3
3 69
3
e j e j· ·
·
=
= 2 3 33 23
·
= 2 3 323
·
=2·3 = 6 Rpta.: D
Resolución 13
L nn nn
= − +
7 494 2
·
L n nn
= − +
7 494 2
·
L n n
n= − +
7 74 2 2
· e j
L n nn
= − +
7 74 2 4
·
L n nn
= − + +
7 4 2 4
L nn
= =7 73 3
∴ L = 343 Rpta.: E
Resolución 14
E =
9 9 9
9 9
6 4 3
20 5
· ·
·
Hallamos el M.C.M de los índices de las
raíces:
m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60
Luego:
E =
9 9 9
9 9
10 15 20
3 12
60 · ·
·
E = =9 9 910 2060 60 1
2
30
·
= =9 3
∴ E = 3 Rpta.: B
+ –
– –
–+
–
–
–
–
–
Resolución 15
Reducimos “A”, obteniendo:
A x x x x= 3 43 45 56
· · ·
3·2 3·4 5·4 6·5
A x · x · x · x=
A x x x x= 6 12 20 30
· · ·
m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60
à A x x x x= 10 5 3 260
· · ·
A =
−
RST
UVW =
−
−27
4 3
27
1 3
1 3
/
/
1/ 3
1 1
A
27 3
= =
∴ A =
1
3
Rpta.: C
7. - 7 -
Segundo Año de Secundaria
A x x= =+ + +10 5 3 260 160
203
A x= 3
Ahora reducimos “x”, obteniendo:
33x 4 2 2 64=
x = =4 2 2 4 4 2 83 3
· ·
x = =4 2 2 4 4·
x = 4·2 → x = 8
Luego:
A x= =3 3
8
∴ A = 2 Rpta.: B
Resolución 16
A = − −343 1253 3
2
e j y B = 23643
A = +7 5
2
b g y B = 293
A = 144 y B = 8
Luego:
2
2
2 18 36
18
1
144
8
A
B
=
F
HG I
KJ
= =·
∴
2
6
A
B
= Rpta.: A
Resolución 17
Racionalizamos cada sumando:
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2
+
−
=
+ +
− +
=
+
−
e je j
e je j
e j
=
+
−
2 3
4 3
2
e j
2 3
2 3
2 3
1
2
+
−
=
+e j
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2
−
+
=
− −
+ −
=
−
−
e je j
e je j
e j
=
−
−
2 3
4 3
2
e j
2 3
2 3
2 3
1
2
−
+
=
−e j
Reemplazamos en:
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
2 3
1
2 2
+
−
+
−
+
+
+
−e j e j
1 24 34 1 24 34
2 3 2 3+ + −e j e j
2 3 2 3 4+ + − = Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos “A”
A = − = − −2 5 2 5e j ; ya que: 2 5 0− <
à A = −5 2
Hallamos “B”
B = − = −3 5 3 5 ; ya que: 3 5 0− >
à B = −3 5
Luego:
A B+ = − + −b g e j7 7
5 2 3 5 =17
∴ A B+ =b g7
1 Rpta.: A
Resolución 19
3 2 2 1 2
2
+ + −e j
1 2 2 2 1 2+ + + −
1 2 2 2 1 2 12 2
+ + + −· · e j
2 1 2 1
2
+ + −e j
2 1 2 1 2 2+ + − = Rpta.: C
8. - 8 -
Manuel Coveñas Naquiche
→
→
→
→
→
=
−
+
F
HG I
KJ3 3
2 2
1
2
=
+
F
HG I
KJ0
2 2
1 2/
= 0 Rpta.: E
Resolución 24
Reducimos “E”
E
x x
x
=
5
3 ;
x x x
x
x x · x
= =
E x x x x= =· ·53
1
2
1
5
3
E x=
7
10
3
à E x=
7
30 ; para: x = 2
60
7
E =
F
H
GG
I
K
JJ =2 2
60
7
7
30
60
2
7
7
1
30
×
E = 22 → E = 4 Rpta.: A
Resolución 25
Expresamos las fracciones en decimales
y comparamos con:
7
20
0 35= ,
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
29
60
11
30
3
20
3
10
1
5
=
−22 5 3
22
e j
22
5 3
5 3
+
= −
Reemplazando en:
1
2 3
22
5 3−
+
+124 34 124 34
2 3 5 3 7+ + − = Rpta.: B
Resolución 21
A = +
+
−
1
5
1
1
1
5
5
4
A = +
+
−
1
5
1
5 1
5
5
4
A = +
+
−
5
5
5
5 1
5
4
A = +
−
+ −
−
5
5
5 5 1
5 1 5 1
5
4
e j
e je j
A = +
−
−
−
5
5
5 5
5 1
5
42 2
A = +
−
−
5
5
5 5
4
5
4
A =
+ − −4 5 5 5 5 5 5
20
e j ·
4 5 25 5 5 25 5
A
20 20
+ − − −
= =
Resolución 22
2 2 3 1 26 3
+ −·
2 1 1 2
2
6 3
+ −e j ·
2 1 1 23 3
+ −·
1 2 1 23 + −e je j
1 2 1 12 23 3
− = − = − Rpta.: E
Resolución 23
27 3
32 2
3 3
2 2
3 1 1
5 0 5
2 1
1 1 2 1
−
+
F
H
GGG
I
K
JJJ
=
−
+
F
HG
I
KJ
− −
−
− −
−
e j
,
( )×( )
à
Resolución 20
Racionalizando cada sumando:
*
1
2 3
1 2 3
2 3 2 3
2 3
2 32 2
−
=
+
− +
=
+
−
· e j
e je j
=
+
−
2 3
4 3
1
2 3
2 3
−
= +
*
22
5 3
22 5 3
5 3 5 3
22 5 3
5 32 2
+
=
−
+ −
=
−
−
· e j
e je j
e j
=
−
−
22 5 3
25 3
e j
∴ A =
− 5
20
Rpta.: E
9. - 9 -
Segundo Año de Secundaria
f = = =
108 53
99
159
99
1 60
3
1
36
×
×
,
∴ f = 1,60 Rpta.: C
Resolución 27
S = −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
25
...
S =
1
2
2
3
3
4
4
3
24
25
· · · · ... ·
∴ S =
1
25
Rpta.: C
Resolución 28
Graficamos los intervalos:
Del gráfico vemos que:
A B∩ = 2 6;
Por datos: A B
a
b∩ =
2
3;
Por comparación: 2
2
=
a
à a = 4
6 = 3b à b = 2
∴ a + b = 4 + 2 = 6 Rpta.: D
Resolución 29
E = +
F
HG I
KJ−
0 9 2
1
4
1
0 24
9, ·
,
b g
)
E =
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ
−
9
10
2
1
4
1
2
9
4
9
2
·
Resolución 26
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f =
−109 1
99
53
99
36
99
× :
∴ Está más cerca:
11
30
Rpta.: B
E = = =
10
9
9
4
10 3 5
3
5
3
1
1
9 2
· ·
∴ E =
5
3
Rpta.: A
Resolución 30
A = 2
2
1
3
4
2
3
e j
A = =2 2
7
3
14
3
2
e j
∴ A = 24
Rpta.: D
Resolución 31
3 5 27 7 14
7
· ·F
H
I
K
3 5 22 7 7 2 14
7
× ×
· ·e j
3 5 214 14 14
7
· ·e j
( ) ( )
77 1414 3· 5· 2 30=
= 30
7
1
2
14
= =30 301 2/ Rpta.: D
Resolución 32
M = −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ2
1
2
5
1
5
10
1
10
M = −
F
HG
I
KJ −
F
HG
I
KJ −
F
HG
I
KJ2
2
2
5
5
5
10
10
10
M =
−F
HG
I
KJ −F
HG
I
KJ −F
HG
I
KJ2 2 2
2
5 5 5
5
10 10 10
10
M =
2 4 5
5
9 10
1
2
1
5
2 10
· ·
M = =
2 5 9 10
25
9 2 5 10
25
· · × ×
M = = =
9 100
25
9 10 18
5
2
5
25
×
∴ M = 3,6 Rpta.: C
10. - 10 -
Manuel Coveñas Naquiche
CAPÍTULO N° 2
RELACIONES Y FUNCIONES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92)
NIVEL I
Resolución 1
{ } { }= − ∧ =A 2 ; 3 B 1; 2
à A B× ; ; ; ; ; ; ;= − −2 1 2 2 3 1 3 2b g b g b g b gm r Rpta.: D
Resolución 2
I. ( ) ( )0 3
4 ; 3 1; 27− = − .......... (V)
II. ( ) ( )7 1/ 2 0 3
1 ;16 5 ; 64= ....... (V)
III. (3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
3 ≠ −2 ∧ −2 ≠ 3
∴ La relación correcta es VVF Rpta.: B
Resolución 3
Se debe cumplir:
(a + 3; 7) = (8; b)
à a + 3 = 8 → a = 5
à 7 = b
Luego: a + b = 5 + 7
∴ a + b = 12 Rpta.: A
Resolución 4
M = 0 2 4; ;l q
Luego: M2 = M × M
à M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)}
Rpta.: C
Resolución 5
G = {x∈ /−6 < x < 2}
G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}
n° elementos de G: n(G) = 7
H = {x ∈ /−5 < x < 0}
H = {−4; −3; −2; −1}
n° de elementos de H: n(H) = 4
à n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4
∴ n(G × H) = 28 Rpta.: C
Resolución 34
Resolviendo, tenemos que:
x
x
+
−
=
1
1
3
x x+ = −1 3 1e j
x x+ = −1 3 3
4 2= x
x = 2 → x = 4
Luego: M = x + x2
M = 4 + 42 = 4 +16
∴ M = 20 Rpta.: B
Resolución 33
Hallamos: 2 3 5 5− = − =x
2 − 3x = 5 ∨ 2 − 3x = −5
−3 = 3x 7 = 3x
x = −1 ∨ x =
7
3
Luego:
Σ de soluciones = − + =1
7
3
4
3
b g
∴ Σ de soluciones = 1 3,
)
Rpta.: D
Resolución 6
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}
à A ∩ B = {6}
Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7}
∴ (A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}
Rpta.: E
11. - 11 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 7
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
B = {3; 4; 5; 6}
R x y A B Y
x
= ∈ =
RST
UVW; × /b g 2
à R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)} Rpta.: C
Resolución 8
R x y S T y
x
= ∈ =
RST
UVW; × /b g 2
à R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)} Rpta.: A
Resolución 9
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}
à R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)}
Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Ran R = {−3; 1; 5} Rpta.: C
Resolución 10
Recuerde que para que sea una función, la primera com-
ponente de cada par ordenado, debe tener una sola ima-
gen.
∴ Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
Rpta.: A
Resolución 12
Nos dicen que:
{(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Es una función, entonces se debe cumplir que:
* (−5; a + 1) = (−5; 10)
à a + 1 = 10
a = 9
* (−2; b − 7) = (−2; 9)
Resolución 11
Analizamos cada alternativa:
A) f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B) f2 = {(−2; 3);(5; 7)} sí es función
C) f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función
D) f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es función
de B en A
E) f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función
Rpta.: D
à b − 7 = 9
b = 16
Luego, hallamos:
a b+ = +9 16 25 5= =
∴ a b+ = 5 Rpta.: A
Límite superior
Límite inferior
Resolución 13
Si f(x) = 3x2 − 4x + 5
à f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5
f(2) = 9
Si g(x) = 5 − 2x2
à g(−3) = 5 − 2(−3)2
g(−3) = −13
Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)
∴ f(2) + g(−3)= −4 Rpta.: D
Resolución 14
Sea f(x) = 3x + 7
x ∈ [ 1; 8 ]
Luego:
f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10
f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31
à f(x)∈ [f(1); f(8)]
∴ Rango = [10; 31] Rpta.: D
Resolución 15
Analizamos las altenativas y podemos ob-
servar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:
y x=
2
3
2
Reemplazamos las coordenadas en la gráfica:
Y x=
2
3
2
à 9
2
3
2
2
= b g
9
8
3
= es falso Rpta.: E
Resolución 16
R = {(x; y)/ x + y es par }
à R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5);
(7; 7);(4; 4);(6; 6)}
∴ n° de elementos de R = 8 Rpta.: B
12. - 12 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 24
Recuerde: R1 será simétrica
Si ∀(a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R
Analizando cada alternativa:
A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1)
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R
∴ No es simétrica.
B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}
(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R
∴ No es simétrica.
C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)}
(1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R
∴ No es simétrica.
D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R
∴ Sí es simétrica
E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)}
(1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R
∴ No es simétrica Rpta.: D
∴ Son refelexivas: R1 y R3 Rpta.: D
Resolución 20
Se tiene que:
Resolución 17
R = {(x; y) / x > y + 1}
à R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Luego: Dom R = {6; 7; 8}
Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D
Resolución 18
Analizando las altenativas, vemos que no
cumple: {(2; 6);(1; 5)}
ya que: 1∉ A Rpta.: C
Resolución 19
Tenemos que:
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}
Rpta.: E
Resolución 21
Recuerde: (a; b) = (m; n)
⇔ a = m ∧ b = n
Luego: 2 1 5 7
3 2
2
x
y
+ =
−F
HG I
KJ; ;b g
à 2x + 1 = 7 ∧ 5
3 2
2
=
−y
x = 3 ∧ y = 4
∴ x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C
Resolución 23
Tenemos que:
R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z);
(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}
Recuerde que una relación R será simétrica cuando:
(a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈R
Luego:
• (Lima; Perú) ∈R
à (Perú; Lima) ∈R ∴ x = Lima
• (Caracas; Z) ∈R
à (Z; Caracas)∈R ∴ Z = Caracas
• (Chile; Santiago)∈R
à (Santiago; Chile) ∈R ∴ Y = Chile
Luego: A= {x; y; Z}
à A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A
Resolución 22
Se tiene: A = {2; 3; 4}
Analizaremos cada alternativa:
A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}
No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)
B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}
Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A
(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A
(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A
∴Sí es refelexiva
Además: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B
13. - 13 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 25
Se tiene:
R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}
Definida en: A = {2; 3; 5; 7}
Cumple:
Rpta.: C
Resolución 26
A = {2; 3; 4}
En “A” se define la siguiente relación:
R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}
y es reflexica
à (2; a) = (2; 2) → a = 2
à (b; 4) = (4; 4) → b = 4
à (3; c) = (3; 3) → c = 3
Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3
∴ a + b + c = 9 Rpta.: D
Resolución 27
Hallamos los elementos del conjunto A
A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A
à R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)
Dom R = {4; 6; 8}
Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D
Resolución 28
Analizamos cada relación:
* R1 ={(x; y) / x es hermano de y}
Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1
à (x; z)∈ R1 (sí cumple)
∴R1 es transitiva.
* R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}
Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2
à (x; y)∈ R2 (sí cumple)
∴R2 es transitiva.
* R3 = {(x; y)/ x es padre de y}
Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3
pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)
∴R3 no es transitiva.
∴ Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
* R1 ={(a; b)/a + 2 = b}
à R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}
Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
* R2 = {(a; b)/a+3=b}
à R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3
Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C
Resolución 3
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}
como:
R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)}
Es reflexiva
à (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R
à c = 7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R
à b = 2 ∧ a = 3
∴ a + b + c = 12
Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}
14243
como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R
à (2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R ∧ (4; 4) ∈R
à (2; 4) ∈ R
Resolución 2
Hallamos los elementos de “A”
A={5; 7; 9; 11}
Se tiene además que:
R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}
Es reflexiva y simétrica.
à (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R
Luego, se debe cumplir que:
à c + b − 1= 11
c + b = 12
7 5
Además como:
(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R
(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) ∈ R
à a = 9 ; b = 5 ; c = 7
∴ a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A
14. - 14 -
Manuel Coveñas Naquiche
UVW à c = 5
Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R à (a; a) ∈ R
cumple.
Luego: (c; a) ∧ (a; c)∈R
Pero (c; c) ∉ R
∴ No es transitiva
Relación correcta: VVF Rpta.: C
Tenemos que:
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
y {2; 3; 4; 5} ∈A
∴ R es reflexiva.
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
∴ R es transitiva Rpta.: E
Resolución 9
Se tiene: M = {8; 9; 10}
Además:
R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}
es reflexiva.
Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R
à c + 5 = 10
à 2c = 10
Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
à a = 8
Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R
à b + 5 = 9 → b = 4
∴ a + b – c = 8 + 4 − 5 = 7 Rpta.: C
Resolución 10
Como:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}
es simétrica.
à (2; 3) ∧ (3; b) ∈R
∴ b = 2
à (4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R
à c + 1 = 4 → c = 3
Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}
à (9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R
à a + 2 = 9 → a = 7
∴ a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C
Resolución 6
n° de relaciones = 2
2 2×
= 24 = 16
Rpta.: E
Resolución 7
I. Si R es una relación de equivalencia, entonces R es
simétrica ... (Verdadero)
II. Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relaciones
diferentes ... (Verdadero)
ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512
III. Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a;
c);(b; d);(c; a);(a; a)}
Entonces R es transitiva ........ (Falso)
Resolución 4
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}
R = {(x; y)/x + y, es número par}
à R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(5; 9);(9; 5);(9; 9)}
∴ n(R) = 8 Rpta.: B
Resolución 5
I. Una relación R definida en el conjunto A es simétrica
si(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verda-
dero)
II. Toda relación de equivalencia es una relación simé-
trica ........... (Verdadero)
III. n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)
IV. Toda función es una relación ...........
....................................... (Verdadero)
∴ Relación correcta: VVVV Rpta.: B
∴ Es transitiva Rpta.: A
Resolución 8
Del gráfico:
Resolución 11
Como:
R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);
(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}
es de equivalencia.
Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R
à (6; 5)∈R
15. - 15 -
Segundo Año de Secundaria
Por deducción: (d; 5) = (6; 5)
à d = 6
Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R
à (4; 6)∈R
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6)
à e = 4
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R
à (5; 5)∈R
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5
(b; b) = (6; 6) b = 6
Luego, la relación quedaría así:
R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}
Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
à c = 4
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4
∴ a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E
Resolución 12
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}
Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”
R a b ab a b= = +; /b go t4
13 = 1 + 4(3) = 13
26 = 2 + 4(6) = 26
39 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B
Resolución 13
M = {x∈ / −2 ≤ x < 2}
à M = {−2; −1; 0; 1}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }
à N = {13; 16}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);
(−1; 16);(0; 13);(0; 16);
(1; 13);(1; 16)}
∴ (−2; 5) ∉ M × N Rpta.: B
Resolución 14
Analizamos cada alternativa:
A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos
D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
→ tiene 24 elementos
E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
Rpta.: D
Resolución 15
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈ }
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}
S = {−9 ; –12}
S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
Rpta.: B
Resolución 16
Hallamos los elementos de cada conjunto:
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈ }
à A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
B
x
x x=
−
− ≤ < ∈
RST
UVW
2
2
6 3/ ;
à
7 5 3 1
B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 0
2 2 2 2
− − − −
= − − − −
Hallamos los elememtos de R:
R x y A B y
x
= ∈ =
+RST
UVW; × /b g 5
2
R = − − −
−F
HG I
KJ −
RST
UVW11 3 8
3
2
5 0; ; ; ; ;b g b g
Rpta.: D
Resolución 17
Hallamos los elementos de “T” :
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈ }
T = {−10; −8; −2; 8}
Ahora se sabe que:
R = {(x; y)∈ T × IN/ y = 4 − 2x}
Hallamos los elementos de la relación R:
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
∴ Dom R = {−2; −8; −10} Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos los elementos de “J” :
J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈ }
J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}
Ahora, se sabe que:
R = {(x; y)∈ J × / y = 30 − 3x}
Hallamos los elementos de la relación R.
R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);
(9; 3);(10; 0)}
∴ Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}
Rpta.: A
16. - 16 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 24
La ecuación de la parábola es de la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k) ... (α)
Donde: vértice = (h; k)
Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1
Para hallar el vértice damos la forma de (α), completando
cuadrados:
y = 2x2 + 4x − 1
y = 2(x2 + 2x) −1
y = 2[(x + 1)2 − 1] −1
y + 1= 2(x + 1)2 − 2
y + 3 = 2(x + 1)2
(x + 1)2 =
1
2
(y + 3)
à (x − (−1))2 =
1
2
(y − (−3))
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = −1 ∧ k = −3
∴ Vértice = (−1; −3) Rpta.: A
Notamos que:
{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.
Ya que: 9 ∉ A Rpta.: C
Resolución 21
Sabemos que: f(x) = 4x − 1
g(x)= 2x + 13
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13
à g(−7) = −1
Luego: f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5
∴ f(g(−7)) = −5 Rpta.: E
Resolución 22
Para graficar: y = 2x + 1
Hacemos: x = 0 à y = 2(0) + 1
y = 1
Obteniendo la coordenada: (0; 1)
Hacemos: y = 0 à 0 = 2x + 1
x =
−1
2
Obteniendo la coordenada:
−F
HG I
KJ1
2
0;
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
Rpta.: B
Resolución 23
Los valores del rango están expresados
por los valores que toma “y”
Tenemos que: h x x( ) = −
1
3
4 ; x ∈ −3 6;
y x= −
1
3
4 ∧ −3 < x ≤ 6
Damos forma conveniente a:
−3 < x ≤ 6
−
< ≤
3
3 3
6
3
x
− < ≤1
3
2
x
(Restamos: 4)
− − < − ≤ −1 4
3
4 2 4
x
123
−5 < y ≤ −2
∴ Rango = − −5 2; Rpta.: E
Resolución 19
Por dato:
{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función
à (a; 3b) = (a; a + b)
3b = a + b → 2b = a
Luego: (a; 3b) = (2b; 3b)
à (2b; 3b) = (2b; 12)
3b = 12 → b = 4
à a = 8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4
∴ a − b = 4 Rpta.: C
Resolución 20
Hallamos los elementos de los conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 1; 2}
17. - 17 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 25
Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola)
Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba
à Las alternativas descartadas.
Completamos cuadrados para hallar el vértice.
y = 3x2 − 12x + 20
y = 3(x2 − 4x) + 20
y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4]
y − 20 = 3(x − 2)2 − 12
y − 8 = 3(x − 2)2
(x − 2)2 =
1
3
(y − 8)
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = 2 ∧ k = 8
à Vértice = (2; 8)
Luego, la gráfica es:
Rpta.: C
Resolución 26
Como: f(x) = 3x2 − 1
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1
à f(5) = 74
f(2) = 3(2)2 − 1 = 3(4) -1
à f(2) = 11
f 6 3 6 1 3 6 1
2
e j e j= − = −( )
à f 6 17e j=
Reemplazamos estos valores hallados en:
f f
f
5 2
6
74 11
17
85
17
b g b g
e j
+
=
+
=
∴
f f
f
5 2
6
5
b g b g
e j
+
= Rpta.: A
Resolución 27
Se tiene:
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9
f(–1)= −5
f(−2) = −9
Luego:
k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)
∴ k = −23 Rpta.: C
Reemplazamos los valores hallados en:
f(−2) + (g(4))2 = 23 + 13
2
e j
∴ f(−2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B
Resolución 28
Sea: f(x) = 4x2 − 2x + 3
à f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3
à f(−2) = 23
Sea: g(x) = x2
3−
à g 4 4 3 16 32
b g= − = −
à g 4 13b g=
Resolución 29
El rango viene a ser los valores que toma “y”
Así, tenemos que:
f x xb g= −
1
2
3 ∧ x ∈ −2 4;
y x= −
1
2
3 ∧ −2 < x < 4
−
F
HG I
KJ < <
F
HG I
KJ2
1
2
1
2
4
1
2
x
− < <1
1
2
2x
− − < − < −1 3
1
2
3 2 3x
123
−4 < y < −1
∴ Rango = − −4 1; Rpta.: D
18. - 18 -
Manuel Coveñas Naquiche
Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R
à R no es transitiva.
Luego: R es reflexiva y simétrica.
∴ Cumple: sólo I y II Rpta.: C
Resolución 32
Si f(x) = x2 + 3
à f(10) = 102 + 3 = 103
à f 40 40 3 43
2
e j e j= + =
à f 20 20 3 23
2
e j e j= + =
Reemplazamos los valores hallados en:
f f f10 40 20b g e j b g+ +
103 43 23 169+ + =
= 13 Rpta.: B
Resolución 33
Del gráfico:
Vemos que: f(0) = 3
f(1) = 2
f(2) = 3
Luego: M = f(0) + f(1) − f(2)
M = 3 + 2 − 3
∴ M = 2 Rpta.: D
Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R à (1; 1) ∈ R
à (a; a) = (1; 1) a = 1
Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R à (2; 2) ∈R
à (c; c) = (2; 2) c = 2
Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R à (2; b) ∈ R
Como: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R
à (2; 3) = (2; b) à b = 3
∴ a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6 Rpta.: C
Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a)∈R
à R es reflexiva.
Como: ∀ (a; b)∈R à (b; a) ∈R
à R es simétrica.
Resolución 34
Sabemos que:
R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)}
es transitiva.
Resolución 30
Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que la
función es una recta.
Hallamos dichos puntos:
* Para: x = 0 à y = −
0
2
1 → y = –1
Dando el punto : (0; 1)
* Para: y = 0 à 0
2
1= −
x
→ x = 2
Dando el punto: (2; 0)
Ubicamos los puntos y graficamos:
Rpta.: C
Resolución 31
Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1
A esta ecuación le damos la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: vértice = (h; k)
Multiplicamos por (−1)a ambos lados:
y = −x2 + 2x −1
−y = x2 − 2x + 1
−y = (x − 1)2 , le damos forma
(x − 1)2 = −1 (y − 0)
h = 1 k = 0
∴ Vértice = (1; 0) Rpta.: C Resolución 35
Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9}
y la relación
R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7);
(7; 4);(9; 9)}
19. - 19 -
Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 3
LEYES DE EXPONENTES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112)
NIVEL I
Resolución 1
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
5 5
4 5
5 5 5
4 5
1 1m m
m
m m
m
+
−
=
−
·
·
·
=
−
= =
5 1
4
4
4
1 Rpta.: A
Resolución 2
Aplicando: (−b)par = bpar
(−b)impar = −bimpar
Obtenemos:
(22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 24 − (−25)
= 64 − 16 + 25
= 64 − 16 + 32
= 80 Rpta.: C
Resolución 3
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
2 2
3
2 2 2
3 3
3
2
1 3
2
1a a
a
a a a
a
a+
+
+L
NMM
O
QPP =
+L
NMM
O
QPP
/ /
·
·
=
+L
N
MMM
O
Q
PPP
2 2 1
3 9
3
1
a
a
a
e j
·
/
=
L
NMM
O
QPP =
L
NMM
O
QPP
2 9
3 9
2
3
1 1a
a
a a
a
a
·
·
/ /
=
F
HG I
KJL
N
MM
O
Q
PP
2
3
1a a/
=
2
3
Rpta.: B
Resolución 4
Aplicando: (−b)impar = −bimpar
A Am n P
m n p
e jL
NM O
QP = × ×
Obtenemos:
M
x x
x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
−
−
−
−
6 2 3 2
4 2 3
· ( )
e j
Resolución 5
Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4
à x12 = x4·3x = x3x·4
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos: x x xX x x12 3 4 3 4
= =·
e j
∴ El exponente de x3x es 4 Rpta.: B
M
x x
x
=
F
HG I
KJ−
−
− −
6 23
2
4 2 3
·
( )·( )·( )
M
x x
x
=
−FH IK −
6
23 2
24
·
·b g
M
x x
x
=
− −6 8 2
24
· ( )·( )
M
x x
x
x= = + −
6 16
24
6 16 24·
∴ M = x−2 Rpta.: D
Resolución 6
Aplicando: (Am)n = Am×n
b1 = b ∧ b° = 1
Obtenemos:
a a a a a7 3 4 15 4 6 2 7 0
· · · ·e j e j−
=
= a7· a3×4· a1· a−4×6· a21
= a7·a12·a1·a-24·a2
Aplicando: Am·An·Ap=Am+n+p
Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2 Rpta.: D
Resolución 7
Tenemos que: x6 = x3·x3 ∧ x4 = x3·x
à (x6 + x4)x-3 = (x3·x3+x3·x)x-3
= (x3·(x3+x))x-3
= x3·(x3 + x)·
1
3
x
= x3 + x ... (α)
20. - 20 -
Manuel Coveñas Naquiche
1
3 1 3
3
1 1
27 27
27
64
−
=−
=
=
−
64
1
273
=
−
64
1
3
= = =
1
64
1
64
1
41 3 3/
Rpta.: C
Obtenemos:
− + = − +2 4 2 4
251 2 271 3 25 273
b g b g b g b g/ /
= (−2)5 + (4)3
= −25 + 43
= −32 + 64
= 32 Rpta.: C
Iguales
Aplicando: A An n=
1
Am · An = Am + n
Obtenemos:
x x xa a
1
3
1
2
5
12· =
x x
a a
1
3
1
2
5
12
+
=
x x
a a
a
2 3
6
5
122
+
=
x x
a
a
5
6 2
5
12
=
x x
a
5
6
5
12
=
à
5
6
5
12a
=
12 · 5 = 5 · 6a
12 = 6a → a = 2 Rpta.: B
Resolución 10
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ b° = 1
Obtenemos:
Resolución 8
Por dato:
x x xa a3 2 5 12
· /
=
Pero: x3 = 8 → x3 = 23
x = 2
Luego: x3 + x = 8 + 2 = 10 Rpta.: C
Resolución 9
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
Obtenemos:
5 2
5 2
5 2
1
5
1
2
n n
n n
n n
n n
+
+
=
+
+
− −
=
+
+
5 2
2 5
5 2
n n
n n
n n
·
=
+
+
5 2 5 2
2 5
n n n n
n n
e j ·
= 5n · 2n = (5 · 2)n
= 10n Rpta.: B
Resolución 11
Sabemos que: x −n = 9 ............. (α)
à
1
9
xn
= à xn
=
1
9
.... (β)
Aplicando: Am·n = (Am)n
Tenemos que:
81x2n + x−2n = 81xn·2 + x−n·2
= 81(xn)2 + (x−n)2
Reemplazamos: (α) y (β)
=
F
HG I
KJ +81
1
9
9
2
2
b g
= +81
1
81
81·
= 82 Rpta.: C
Resolución 12
Aplicando: A A
n n
1
=
(−b)impar = −bimpar
21. - 21 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 13
Aplicando: a b a bn nn
= ·
A A
pmn n m p
=
× ×
Obtenemos:
2 2 2 2
8
2
8
F
HG
I
KJ =
F
H
GG
I
K
JJ·
= F
H
I
K2 222 2 2
8
·
× ×
= 8
8 8
e j
= 8 Rpta.: C
Resolución 14
Aplicando: a b a bn nn
= ·
A Amn m n
=
/
Obtenemos:
3 3 3 35 2 5 2 2− −
= e j ·
= −
3 310 22 2
·×
= =−
3 310 24 84
= 3
8
4
= 3 2
∴ El exponente de 3 es 2 Rpta.: B
Resolución 15
Aplicando: (Am)n = Am×n
b° = 1
Obtenemos:
( )
( )
( ) ( )
3
5
5
6
101 531 3
1 1 53
0
7 · 5
7 · 5
12 4 6 8 10
−
−
− × −
=
+ + + +
= 7 5
3
5
53
·
×
= 7 533
·
= 7 × 5
= 35 Rpta.: B
U
V|
W| M
14243
n
Entonces:
M
M
=
8
à M
M
2 8
=
Resolución 16
Sea: K = +3 3 3 6......
Hacemos:n
n
= 3 3 3......
1 244 344
à n n= 3·
n2 = 3n → n = 3
Reemplazamos el valor de “n” en:
K = +3 3 3 6......
K n= + = + =6 3 6 9
∴ k = 3 Rpta.: A
Resolución 17
Sea: M =
8
8
8
M
M3 = 8
M = 2
Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6 Rpta.: B
Resolución 18
x y x y x y
xy xy xy xy
veces
veces
· · · · ...... · ·
· · · ...... ·
3 3 3
60
20
6 7444444 8444444
1 244444 344444
x x x x y y y y
xy
veces veces
· · · ... · · · · · .... ·
30
3 3 3 3
30
20
6 74444 84444 6 74444 84444
e j
x y
x y
e j e j
30
3
30
20 20
·
·
Aplicando: A Amn
m
n=
A
A
A
m
n
m n
= −
22. - 22 -
Manuel Coveñas Naquiche
= = =4 4 4
1
4
1
2
= 2 Rpta.: A
Obtenemos:
2
2
43 3
· 3
2 4
−
+
9
4
3
4
81
12
4
81
2 2
+
L
NM O
QP =
L
NM O
QP
− −
· ·
= 3−2·81
=
1
3
812
·
= =
1
81 9
1
9
9
·
Rpta.: B
= −
2
2 2
2 9
20 8
e j
·
= + −
2
2
2 9
20 8
×
( )
= =
−2
2
2
18
12
18 12
= 26 = 64
Rpta.: B
Aplicando:
A
B
B
A
n n
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
1
A
An
n
−
=
Resolución 19
Tenemos:
2
2 1
4
2 4 1
3 3 3
−
− −
−
+ ⋅
Obtenemos:
x y
x y
x y
x y
x
x
30
2
30
3
20
2
20
2
15 10
10 10
15
10
·
·
·
·
= =
= x15-10
= x5 Rpta.: C
Resolución 20
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ A An n
1
=
Obtenemos:
NIVEL II
Resolución 1
Aplicando: Am·An·AP = Am+n+p
A Am n m n
e j = × A
A
A
m
n
m n
=
−
Obtenemos:
4 4 4
2 16
4
2 2
4
2 2
7 6 10
20 2
7 6 10
20 4 2
9
20 4 2
−
−
− + +
− −
= =
· ·
· · · ×( )
e j
Resolución 2
Sea:
3 5 8 2
2
81 25 2 2
2
4 2
3 4
3
3 4
−
=
−
+ +
e j b g e j· · · ·x
x
x
x
Aplicando: A Am
n
m n
e j = ×
A A Am n m n+
= ·
Obtenemos:
81 25 2 2
2
56 2 2
2 2
3
3 4
3
3 4
−
=+
b g e j· · · ·
·
x
x
x
x
= =
56 2
16
7
·
Rpta.: B
Resolución 3
R
x x
x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
−
−
−
−
12 3
4
3
6 3 2
· e j
e j
Aplicando: ( )
p
nm m n p
A A × ×
=
A Am n m
n
×
= e j
Obtenemos:
R
x x
x
=
− −
− −
12 3 4 3
6 3 2
·
( )· ·( )
( )· ·( )
R
x x
x
x x= = =
12 36
36
12 2 6· ×
R x= 2 6
e j
∴ EL exponente de “x2” es 6 Rpta.: B
23. - 23 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 4
Reducimos: x x xa a a
· ·2 3
Aplicando: A Amn
m
n
=
Obtenemos:
1 1 1
a 2a 3a
x · x · x
Aplicando: Am·An·Ap = Am+n+p
Obtenemos:
x
a a a
1 1
2
1
3
+ +
x
a
11
6 ← Es de grado=
1
12
à
11
6
1
12a
= → a = 22
Reemplazamos el valor de a = 22 en:
x xa11 2211
=
Aplicando: A Amn
m
n
=
Obtenemos:
x x x2211
22
11 2
= =
∴ El grado es 2 Rpta.: B
Resolución 5
Reducimos: x x xn2
·
Aplicando: a b a bn nn
= ·
A Anm m n
=
×
Obtenemos: x x x x x xn n2 2 2
= · ·
= x x xn2 24
·
Aplicando: Am·An = Am+n A Amn
m
n
=
= +x x n2 4 2· =
+
x x
n
2
2
4
·
=
+
+
x
n
2
2
4
Por dato: 2
2
4
4+
+
=
n
Grado
Resolución 6
Sea:
2 4
2 8
14 5
10 2
+
+
Aplicando: A Am n m n
e j = ×
Obtenemos:
2 2
2 2
2 2
2 2
14 2 5
10 3
2
14 10
10 6
+
+
=
+
+
e j
e j
=
+
+
2 2 2
2 2 1
6 8 4
6 4
e j
e j
=
+
+
2 2 1
2 1
4 4
4
e j
= 24 = 16 Rpta.: E
Resolución 7
Aplicando: A Amn
m
n
=
Am·An = Am+n
Reducimos:
x x x xa a a a5 32
1
5
3
2
· ·=
2
4
2
+
=
n
à 2 + n = 8
∴ n = 6 Rpta.: C
=
+
x
a a
1
5
3
2
= x
a
17
10
Por dato: x x
a
17
10
17
20
=
Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
17
10
17
20a
=
∴ a = 2 Rpta.: B
Resolución 8
= =2 216 2 8×
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos:
∴ Es la octava potencia Rpta.: D
24. - 24 -
Manuel Coveñas Naquiche
4
9
4
9
32
1
25 32
1
5
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
−
−
−
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
321 5/
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
325
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
2
=
F
HG I
KJ = =
4
9
9
4
3
2
1
2
Rpta.: B
Resolución 10
Aplicando: Am+n = Am·An
Tenemos que:
5 3
3 3 3
5 3 3
3 3 3 3 3 3
5
4 3 2
5
4 3 2
n
n n n
n
n n n
+
+ + +
− −
=
− −
e j e j· ·
· · ·
Factorizando:
5 3 3 3
3 3 3 3 1
2 3
2 2
· · ·
·
n
n
− −e j
5 3
3 3 1
135
5
3
2
·
− −
=
= 27 Rpta.: D
A
A
n
n
−
=
1
A An n
1
=4
9
32
1
251 2
F
HG I
KJ
−
−
/
Resolución 9
Aplicando:
A
B
B
A
n n
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
A A
m
n mn
=
Tenemos que:
9
2
3
5
3
2
25
81
2
9
5
3
2
3
25
81
1 2
2 0 5
2
2 1 2
F
H
I
K +
F
H
I
K
F
H
I
K +
F
H
I
K
=
F
H
I
K+
F
H
I
K
F
H
I
K +
F
H
I
K
− −
− , /
=
+
+
2
9
25
9
4
9
25
81
=
+
=
27
9
4
9
5
9
3
9
9
= 3 Rpta.: C
Resolución 12
4
9
32 25 1 2
F
HG I
KJ
− − − / Sabemos que:
Resolución 11
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
An·Bn = (A·B)n
Tenemos que:
E
n n
n n
n=
+
+− −
3 5
3 5
E
n n
n n
n
n n
n n
n n
n
=
+
+
=
+
+
3 5
1
3
1
5
3 5
5 3
3 5·
E n nn
= 3 5·
E
nn= 3 5·b g
∴ E = 15 Rpta.: C
Resolución 13
Aplicando: a b a bn nn
= ·
A A
pnm m n p
=
× ×
Tenemos que:
2 2 2 2
33
72
233
72
L
N
MMM
O
Q
PPP
=
L
N
MMM
O
Q
PPP
·
= 83 2 3 2 2
72
× × × ×
= 872
72
= 8 Rpta.: D
Resolución 14
Aplicando: A Amn
m
n
=
A
A
A
m
n
m n
= −
Tenemos que: 5
5
5
5
3
3
3
3
n nn
n n
n( )
( )
+
+
= =
+
5
5
3
3
n
= 5n + 3 − 3 = 5n
∴ El exponente de 5 es n
Rpta.: A
25. - 25 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 15
Aplicamos la siguiente regla práctica:
x x x xm q srpn
mp q r s
npr
· ·
( )
=
+ +
x x xm qpn
mp q
np
· =
+
4 2 4
4 64
2 2 2
2 2
3
34
2 1 2223
2 634
· ·
·
· ·
·
=
(2·2 1)2 2
3·2·2
2·3 6
4·3
2
2
+ +
+
=
= =
2
2
1
12
12
12
12
Rpta.: A
Resolución 16
25 5 534
16
· ·−L
NM O
QP
5 5 52 342
16
· −L
NM O
QP
Aplicamos la siguiente regla práctica:
(mp q)r s
p nprrn m q s
x · x · x x
+ +
=
5 5 5 52 342
16 2 4 3 2 1
2 4 2
16
· ·
( · )
· ·−
− +
L
NM O
QP =
L
N
MM
O
Q
PP
=
L
N
MM
O
Q
PP5
11
16
16
Aplicando: (Am)n = Am×n
Tenemos que: =
L
N
MM
O
Q
PP = =5 5 5
11
16
16 11
16
16
11
×
∴ El exponente de 5 es 11 Rpta.: C
Resolución 17
Tenemos que:
5 5 5 5 5 25· · · ...· · ·
5 5 5 5 5 5· · · ...· · ·
5 5 5 5 25· · · ...· ·
5 5 5 5 5· · · ...· ·
5 5 5 25· · · ...·
5 25· = 5 5 25· = = 5
Rpta.: B
Resolución 19 Si: 8 26
= nn
Pero: 8 2 26 32 3
= =
×
Vemos que:
2 2 2 2 232 3 42 4 52 5 2
= = = = =
× × ×
.... aa
Como: 8 2 26 32 3
= =
×
nn
à 2 2
2
nn aa
=
.....Resolución 18
x x x x n
3
10 4 15
= − −
· ·
x x x x n
3
10 4 1 225
= − −
· ·
Aplicamos la regla práctica:
(mp q)r s
p nprrn m q s
x · x · x x
+ +
=
Obteniendo:
x x
n3
10
4 2 1 2
5 2 2
=
− −( · )
· ·
x x
n3
10
14
20=
−
Luego, a bases iguales, exponentes iguales.
à
3
10
14
20
=
− n
n = 8
Finalmente:
n + = + = =1 8 1 9 3 Rpta.: A
26. - 26 -
Manuel Coveñas Naquiche
E
x y
x y
=
e j e j
60
5
60
3
30
·
Aplicando: A An m
m
n
=
(A·B)n = An·Bn
à A =
1
2
Resolución 20
Tenemos que:
E
x y x y x y
x y x y x y
veces
veces
=
· · · · ....· ·
· · .... ·
5 5 5
120
3 3 3
30
6 7444444 8444444
1 244444 344444
E
x x x x y y y
x y
veces
y
veces
=
F
H
I
K
· · · ... · · · · · ... ·
60
5 5 5 5
60
3
30
6 74444 84444 6 74444 84444
Luego: n = 2a ∧ 2n = 2a
→ 2(2a)= 2a
4a = 2a
Analizando:
Si a = 1 → 4(1) = 21
4 = 2 → no cumple
Si a = 2 → 4(2) = 22
8 = 4 → no cumple
Si a = 3 → 4(3) = 23
12 = 8 → no cumple
Si a = 4 → 4(4) = 24
16 = 16 → cumple
à a = 4
Entonces: n = 2a = 2(4) → n = 8
Hallamos: n + = + =1 8 1 9 = 3
Rpta.. D
Resolución 21
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ A A
m
n mn
=
Calculamos:
= = =
−
16
1
16
1
16
1
4
1 4 4/
Obtenemos:
E
x y
x y
=
60
2
60
5
30
3
·
·e j
à E
x y
x y
=
30 12
10
·
·e j
Aplicando: A B A Bn n n
· ·=
Tenemos que: E
x y
x y
=
30 12
10 10
·
·
E
x y
x y
=
30
2
12
2
10
10
2
·
·
à E
x y
x y
=
15 6
10 5
·
·
Aplicando:
A
A
A
m
n
m n
=
−
Tenemos que:
E = x15−10 · y6−5
∴ E = x5 · y Rpta.: B
27. - 27 -
Segundo Año de Secundaria
B = = = =
−
64
1
64
1
64
1
8
1
2
1 2/
à B =
1
8
Luego: A B· · ·−
−
=
F
HG I
KJ = =1
1
1
2
1
8
1
2
8 4
∴ A · B−1 = 4 Rpta.: B
2 3
x x
5 5
3 3
+
=
Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.
à
2
5
3
5
x
x= +
∴ x = −1 Rpta.. B
Resolución 24
Aplicando la siguiente fórmula:
x a a a a= · · · · ...
à x = a
Tenemos que:
A = 13 13 13· · · ...
à A = 13
B = 3 3 3· · · ...
à B = 3
Luego: A B+ = + =13 3 16 4
∴ A B+ = 4 Rpta.: D
Resolución 22
Aplicando: (Am)n = Am·n
A Amn
m
n
=
Am·An = Am+n
Tenemos que:
9 3 27
5 5x x
= ·
3 3 325 35
e j
x x
= ·
3 3 325 35x x
= ·
3 3 3
2
5
3
5
x
x
= ·
Resolución 23
Hacemos: M = 6 6 6 6· · · · ...
Esta expresión es
igual a "M"
1 244 344
M M= 6 ·
M2 = 6M → M = 6
Reemplazamos el valor de “M” en:
K = +19 6 6 6· · · ...
K M= +19
K = + = =19 6 25 5
∴ K = 5 Rpta.: C
28. - 28 -
Manuel Coveñas Naquiche
• El exponente de la variable “z” es 6
à Grado relativo a “z” : G·R(z) = 6
Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6
∴ G·R·(y) + G·R·(z) = 7 Rpta.: C
A = 4
CAPÍTULO N° 4
POLINOMIOS EN IR
EJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138)
NIVEL I
• El exponente de la variable “y” es 1
à Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1
B =
125
125
125
M
à B = 1253
B = 5
Luego: A B+ = + = =4 5 9 3
∴ A B+ = 3 Rpta.: B
Resolución 25
Aplicando la siguiente fórmula:
x
a
a
a
a
=
M
à x a= 3
Tenemos que:
A =
64
64
64
M
à A = 643
Resolución 1
Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6
Resolución 2
Sea: 5x2a-b+3 y3b+1
Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I)
G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II)
De (II) tenemos que:
3b + 1 = 16
3b = 15 → b = 5 Rpta.: C
Resolución 3
Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1
à G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b
à G(P) = 3b
Resolución 4
Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6
Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)
Por dato: G(P) = 14 ............................... (II)
De (I) y (II) tenemos que:
(3n + 2) + 6 =14
3n + 8 = 14
3n = 6 → n = 2
Rpta.: A
Sea: Q(x; y) = 5xy11
à G(Q) = 1 + 11 = 12
à G(Q) = 12
Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11
Son términos semejantes, entonces sus grados son igua-
les:
à G(P) = G(Q)
3b = 12 → b = 4 Rpta.: B
29. - 29 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 5
Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3
= x9 ya+3
Hallamos el grado del monomio x9ya+3 :
Grado = 9 + (a + 3)
Por dato: Grado = 17
à 9 +(a + 3) = 17
∴ a = 5 Rpta.: C
Resolución 6 Sea:
( )
6 m 9 n
2 m
x y
R x; y
x
− +
−
=
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n
R(x; y) = x6−m−2+m y9+n
R(x; y) = x4 y9+n
G.A.(R) = 4 +(9 + n)
Por dato: G·A·(R) = 21
à 4+(9+n) = 21
13 + n = 21
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 7
Reducimos:
P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2
P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2
P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a
∴ P(a) = 2a Rpta.: A
Resolución 8
Reducimos:
E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y
E = − x + x + y + y − x − y
∴ E = y − x Rpta.: B
Resolución 9
Sea:P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5
Grado del monomio: 6x3y2z5
à 3 + 2 + 5 = 10
Grado del monomio: 9x2y6z4
à 2 + 6 + 4 = 12
Grado del monomio: 13xy7z5
à 1 + 7 + 5 = 13
Luego: grado absoluto del polinomio es:
G·A· (P) = 13 Rpta.: C
Resolución 10
Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6
Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor grado
absoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que:
4m − 3 > 4m − 5
à G·A·(R) = 4m − 3
Por dato: G·A·(R) = 25
à 4m − 3 = 25
∴ m = 7 Rpta.: C
Resolución 11
Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2
Analizando los exponentes de cada término, vemos que:
m > m − 1 > m − 2
à G·A·(Q) = 6
Por dato: G.A(Q) = 6
à m = 6
El coeficiente de mayor valor será:
11m = 11(6) = 66 Rpta.: D
Resolución 12
Si: M = a3xa+8 yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
à x a+8 = x b+5
a + 8 = b + 5
a − b = –3 ........... (I)
à y b−4 = y −a+5
b − 4= −a + 5
b + a = 9 ........... (II)
Sumando (II) + (I):
b + a = 9 (+)
a − b = −3
2a = 6 → a = 3
Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que:
3 − b = −3
b = 6
Luego: a×b = 3×6 = 18 Rpta.: B
Resolución 13 Sea:
P(x; y) = 3xa−8y6 + 4xa−11y5 + 7xa−13y20
Analizando los exponentes de“x” tenemos que:
a−8 > a − 11 > a − 13
30. - 30 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 14 Sea:
Q x y x yaa
; ·b g= − 3 62
Q x y x yaa a
; ·b g=
− −32 62
Q x y x y
a
a a
; ·b g= − −
3
2
6
2
Por dato: G·A·(Q) = 9
à
3
2
6
2
9
a
a a−
+
−
=
3 6
2
9
a
a
+
−
=
3a + 6 = 9(a − 2)
3a + 6 = 9a − 18
24 = 6a → a = 4 Rpta.: B
Resolución 16 Sea:
P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n−1
Donde:
* Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:
(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
* Grado del monomio 4xm+1 y2n − 1 es:
(m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Como: P(x; y) es homogéneo
à m + n + 5 = m + 2n
∴ n = 5 Rpta.: C
à G·R·(x) = a − 8
Por dato: G·R·(x) = 5
à a − 8= 5 → a = 13
Luego:
P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20
P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
Donde:
• Grado del monomio: 3x5y6 es:
5 + 6= 11
• Grado del monomio: 4x2y5 es:
2 + 5 = 7
• Grado del monomio: 7y20 es:
20
∴ G·A·(P) = 20 Rpta.: B
Resolución 15 Reduciendo:
E
x x x
x x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
5 3 4
2
3
2 4 5
3
e j
e j
· ·
·
E
x x x
x x
=
5 3 4
2
3
2 4 5
3
×
×
· ·
·
E
x x x
x x
=
15 4 2 3
8 5
3
· ·
·
à E
x x
x
=
+
+
15 4 2 3
8 5 3
·
E
x x
x
x x
x
= =
19 2 3
13 3
19 2 3
13 3
· ··
·
= x38 + 3 − 39
= x2
∴ Grado del monomio =2
Rpta.: B
Resolución 17
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:
x−y·(−2y)x
Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
Resolución 18
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
à E = (aa + ca − ba)a
E = (22 + 42 − (−3)2 )2
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
∴ E = 121 Rpta.: C
Resolución 19 Sea:
P(x) = 4x + 1
à P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
à P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9
à P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
à P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
Luego: E
P P
P P
=
+
+
=
+
+
=
1 2
3 0
5 9
13 1
14
14
b g b g
b g b g
∴ E = 1 Rpta.: B
31. - 31 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 20 Sea:
P(x−5) = 5x + 5
* Si P(−1) = P(x−5)
à −1 = x − 5 → x = 4
∴ P(−1) = 5(4) + 5
P(−1) = 25
* Si P(0) = P(x − 5)
à 0 = x − 5 → x = 5
∴ P(0) = 5(5) + 5
P(0) = 30
* Si P(1) = P(x − 5)
à 1 = x − 5 → x = 6
∴ P(1) = 5(6) + 5
P(1) = 35
* Si P(−2) = P(x − 5)
à −2 = x − 5 → x = 3
∴ P(−2) = 5(3) + 5
P(−2) = 20
Luego:R
P P
P P
=
− +
+ −
=
+
+
=
1 0
1 2
25 30
35 20
55
55
b g b g
b g b g
∴ R = 1 Rpta.: B
Resolución 21 Sea: P(x) = 2x + 3
à P(2) = 2(2)+3 → P(2) = 7
Luego: P P P2 7b g =
Donde: P(7) = 2(7)+ 3
P P P7 17 2b g b g= =
∴ P P 2 17b g = Rpta.: D
Resolución 22 Sea: P(x+1) = x2
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(2)
à x + 1= 2 → x = 1
∴ P(2) = (1)2 à P(2) = 1
Luego: P(P(2)) = P(1)
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(1)
à x + 1= 1 → x = 0
∴ P(1) = 02 à P(1) = 0
NIVEL II
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = (5xn+4·y2)5
P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5
P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10
P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10
Como el grado del monomio es 40
à (5n + 20) + 10 = 40
5n + 30 = 40
∴ n = 2 Rpta.: B
Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =
Hallamos “x”
Si P(x+1) = P(0)
à x + 1 = 0 → x = −1
∴ P(0) = (1−)2 à P(0) = 1
Finalmente:
P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B
Resolución 2
A = 2mxm+2 · y3m+n
B = 3nx3n−2 y4m−8
Como A y B son términos semejantes, en-
tonces la parte variable tienen los mismos
exponentes.
Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I)
3m + n = 4m − 8 ......... (II)
Sumando: (I) + (II)
m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8
4m + n + 2 = 3n + 4m − 10
10 + 2 = 3n − n
12 = 2n → n = 6
Reemplazando: “n = 6” en (I):
m + 2 = 3(6) −2
m = 14
Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B:
A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
à A = 28x16 y48
B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8
à B = 18x16 y48
Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48
∴ A − B = 10x16 y48 Rpta.: B
32. - 32 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 7
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
Luego: R x yaa
= − 3 62 3
·
R x ya a
=
−3 6
1
2 3
·e j
R x y
a
a a
=
− −
3
2 3
6
2 3
·
G·A·(R)=
3
2 3
6
2 3
a
a a−
+
−
G·A·(R) =
3 6
2 3
a
a
+
−
........ (II)
De (I) y (II), tenemos que:
3 6
2 3
3
a
a
+
−
=
3a + 6 = 3(2a − 3)
3a +6 = 6a − 9
15 = 3a
a = 5
Luego: P = 3x2a·y3a−1
P = 3x2(5)· y3(5)−1
P = 3x10· y14
Donde: G·A·(P) = 10 + 14
∴ G·A·(P) = 24 Rpta.: C
Resolución 8 Sea:
P(x; y) = (5a−1·xa+2 ·ya)2
P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
= 2a + 4 + 2a
G·A·(P) = 4a + 4
Por dato: G·A(P) = 16
à 4a + 4 = 16
4a = 12 → a = 3
Reemplazando el valor de: a = 3
− El coeficiente del monomio será:
52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625
Rpta.: C
Sumando (I) + (III):
3a + b = 11 (+)
a + 3b = 9
4a + 4b = 20
4(a + b) = 20
∴ a + b = 5 Rpta.: B
Resolución 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5
Analizando, vemos que para que cumpla
la igualdad, el exponente de “x” debe ser 5
à b = 5
También, los coeficientes deben ser iguales
en ambos lados de la igualdad, por lo que:
9 + 4a = 17
4a = 8 → a = 2
Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3
Rpta.: B
Resolución 5 Efectuando:
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
A = −p − 4q − 3 − q + 4p
∴ A = 3p − 5q − 3 Rpta.: B
Resolución 6
R x y x x y x x y= − + − − + − +3 2 3 2b g b g
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y
∴ R = 3x + 3y Rpta.: C
UVW
Resolución 3 Sea:
M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
• Como: G·R·(x) = 11
à 3a + b = 11 ........................ (I)
• Como G·A·(M) = 20
à (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
(11) + (a + 3b) = 20
à a + 3b = 9 ........................... (III)
33. - 33 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 9 Sea:
P x x xm m
b g= 3 234
·
P x x xm
m
b g= 3
2
3
4
·
P x x
m
m
b g=
+3
2
3
4
P x x
m m
b g=
+9 2
3
4
P x x
m
b g=
11
3
4
P x x
m
b g=
F
H
GG
I
K
JJ
11
3
1
4
P x x
m
b g=
11
12
Como el grado de P(x) es 22
à
11
12
22
m
=
11 22 12
1 2
m = ·
∴ m = 24 Rpta.: D
Resolución 10
Reduciendo la expresión:
P x
x x
x x
n n
n n
b g e j e j
e j
=
−
−
4
3
4
2
2
4
6
·
·
P x
x x
x x
n n
n nb g=
−
−
3 4 8
4 2 6
( )
( )
·
·
P x
x x
x x
n n
n nb g=
−
−
3 12 8
4 8 6
·
·
P x
x
x
n n
n nb g=
− +
− +
3 12 8
4 8 6
P x
x
x
x
n
n
n n
b g= =
−
−
− − −
11 12
10 8
11 12 10 8( ) ( )
P(x) = x11n−12−10n + 8
P(x) = xn−4
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:
n − 4 = 4
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 11
Reduciendo la expresión:
( )
3 m 7 n
3 n 6 m
x · y
M x; y
x · y
+ −
− −
=
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m
M(x; y) = xm+n · ym−n+1
Sabemos que: G·R·(x) = 5
à m + n = 5 ............................... (I)
Sabemos que: G·A·(M) = 7
à (m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
5 + (m − n + 1) = 7
m −n = 1 ................................. (III)
Sumando (I) + (III), tenemos que:
m + n = 5 (+)
m − n = 1
2m = 6 → m = 3
Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que:
3 + n = 5 → n = 2
Luego: 2m + n = 2(3) + 2
∴ 2m + n = 8 Rpta.: D
UVW
Resolución 12 Sea:
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8(x3y2)6n
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n
Como: G·R·(y) = 24
Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponente
de “y” en la expresión.
Como:12n > 3n ; ∀ n > 0
à G·R·(y) = 12n = 24
→ n = 2
Hallamos el grado relativo de “x” :
Los exponentes de “x” en la expresión dada son:
4; 4n; 18n
Reemplazando “n = 2”, obtenemos:
4; 8; 36
∴ G·R·(x) = 36 Rpta.: C
34. - 34 -
Manuel Coveñas Naquiche
Luego: R N R3 1b g =
Si: R(x) = 4x + 3
à R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
R(1) = 7
∴ R N 3 7b g = Rpta.: C
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:
2 4
6
3
n +
=
2n + 4 = 18
2n = 14 → n = 7
Luego: el coeficiente será:
3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6)
∴ 3(n − 1) = 18 Rpta.: C
∴ Grado de Q xb g 5
30= Rpta.: C
Resolución 17 Si grado de P(x) = 7
à grado de P3(x) = 7 × 3 = 21
Si grado de Q(x) = 9
à grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
es el mayor grado de ambos monomios:
∴ Grado de H(x) = 21 Rpta.: B
Resolución 18
Como: F(x) = es un polinomio lineal, será
de la forma:
F(x) = ax + b ; a y b constantes
à F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I)
à F(1) = a(1)+ b = 4
a + b = 4 ......... (II)
Restamos (I) − (II); obteniendo:
2a + b = 5
a + b = 4
a = 1
Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II);
obteniendo:
1 + b = 4 → b = 3
Si: F(x) = ax + b = 1·x + 3
F(x) = x + 3
à F(7) = 7 + 3
∴ F(7) = 10 Rpta.: B
Resolución 19
Si: N(x) = 2x − 5
à N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5
N(3) = 1
UVW
0
(−)
Resolución 13
Reduciendo la expresión:
A x n x xn
b g b g= −3 1 2 86
· ·
A x n x xn
b g b g= −3 1 2
8
2
6
· ·
A x n x xn
b g b g= −3 1 2 46
· ·
A x n x n
b g b g= − +
3 1 2 46
·
A x n x
n
b g b g= −
+
3 1
2 4
6·
Resolución 14 Sea:
P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:
a + 8 > a + 6 > a + 5
à G·A(P) = a + 8
a + 8 = 17
Por dato: G·A·(P) = 17
a = 9
Los coeficientes de P(x) son:
3a; 5a; 2a
à La suma de coeficientes será:
3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
à 10a = 10(9) = 90 Rpta.: E
Resolución 15 Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x
P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
à P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3)
P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12
P(3) = 3(3)88(0) + 15
∴ P(3) = 15 Rpta.: C
Resolución 16 Sea:
Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6
Donde: el grado de Q(x) = 6
Luego: el grado de Q xb g 5
6 5= ×
35. - 35 -
Segundo Año de Secundaria
Por dato del problema: G·R·(x) = 10
Entonces, tenemos que:
m + 4 = 10 → m = 6
• Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-
do será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
− Hallamos el grado del 1° monomio:
à (m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3
= 7 + n − 3
à Grado del 1° monomio: n + 4
− Hallamos el grado del 2° monomio
à (m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)
= 9 + n − 4
à Grado del 2° monomio: n + 5
− Hallamos el grado de 3° monomio:
à (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n
à Grado del 3° monomio: 10 + 2n
UVW (−)
Resolución 20
Como: R(x) es un polinomio lineal, será de
la forma:
R(x) = ax + b ; a y b constantes
à R(−3) = a(−3) + b = 8
−3a + b = 8 ......... (I)
à R(2) = a(−2)+ b 6
−2a + b = 6 ........ (II)
Restamos (II) − (I), obteniendo:
−2a + b = 6
−3a + b = 8
(−2a)−(−3a) = −2
−2a + 3a = −2
a = –2
Reemplazando “a = -2” en (I):
−3(−2)+b = 8
6 + b = 8 → b = 2
Las constantes serán: a = −2 y b = 2
à R(x) = −2x + 2
Luego: R(−4) = −2(−4)+2
∴ R(−4) = 10 Rpta.: C
Resolución 21
P(x; y) = 3xm+1 yn−3 + 7xm+3 yn−4 − xm+4 y2n
Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que:
m + 4 > m + 3 > m + 1
à G·R·(x) = m + 4
Resolución 22 Sea:
F(3x − 1) = 2x + 3
P(x) =4x − 1
Hallamos “x” para hallar F(2):
Si F(3x − 1) = F(2)
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:
10 + 2n > n + 5 > n + 4
à G·A·(P)= 10 + 2n
Por dato del problema: G·A·(P) = 16
Entonces, tenemos que:
10 + 2n = 16
2n = 6 → n = 3
Reemplazamos: m = 6 ∧ n = 3 en:
m
n
= =
6
3
2
∴
m
n
= 2 Rpta.: A
à 3x − 1 = 2
3x = 3 → x = 1
Luego: F(2) = 2(1)+ 3
à F(2) = 5
Luego: P F P2 5b gc h b g=
Si P(x) = 4x − 1
à P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴ P F 2 19b gc h= Rpta.: B
Resolución 23 Sea:
Q(x) = 2mxm + 4mxm−1 + 6mxm−2
Analizando los exponentes de “x”, vemos que:
m > m − 1 > m − 2
Entonces: G·A·(Q) = m (Dato)
Pero: G.A(Q) = 5
à m = 5
Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2
Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
Término cúbico
∴ El coeficiente del término cúbico es 30
Rpta.: D
36. - 36 -
Manuel Coveñas Naquiche
2(2) + 1= 7 − m
5 = 7 − m → m = 2
Luego: mn = 22 = 4
∴ mn = 4 Rpta.: B
Resolución 27
P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3
• Factorizando:
P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3
Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
à 6 − n + 5 = 0 ∧ m − 4 = 0
n = 11 ∧ m = 4
Reemplazando estos valores en:
nm
− = −2 11 2
2
4
2
e j e j
∴ nm
− =2 3
2
e j Rpta.: B
Resolución 28
P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5
Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
à a + b = 3 à a = 2 à b = 1
∴ a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: C
Resolución 29
2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)
à B = –4
à −C = 5 → C = −5
à 2A + B = 8
2A + (−4) = 8
2A = 12 → A = 6
Luego:
A + B + C = 6 +(−4) + (−5)
∴ A + B + C = −3 Rpta.: B
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”,
tenemos que:
5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n
4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n
Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43
(18 + 2n) + (4m + 5) = 43
18 + 2n + 4(3) + 5 = 43
18 + 2n + 12 + 5 = 43
2n = 8 → n = 4
Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:
P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
∴ G·A·(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: D
Resolución 25
P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n
Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus térmi-
nos tienen el mismo grado.
Como: P(x; y) es homogéneo
à 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n
2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n
• 2n +6 = 3n + 5 → n = 1
• 3n + 5 = 9 − n → n = 1
Los exponentes de “y” son:
* n + 2 = 1 + 2 = 3
* 9 − n = 9 − 1 = 8
à G·R·(y) = 8 Rpta.: B
menor exponente
de “y”
G:R (y)
G:R (x)
Resolución 24
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 +
7x3m+2n y4m+5
* Los exponentes de “y” son:
2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato: 2m + 1 = 7
2m = 6 → m = 3
Resolución 26
Q(x; y) =
2n 1
x
+
+ 6xn+2 yn−1 − 13y7−m
Como: Q(x; y) es homogéneo:
à n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m
n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m
• n2 + 1 = 2n + 1 → n = 2
• 2n + 1 = 7 − m
Resolución 30 Si:
B(x)=x2 + x − 1
à B(2) = (2)2 + (2) −1
B(2) = 5
Luego: A B A2 5b g =
37. - 37 -
Segundo Año de Secundaria
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146)
NIVEL I
También: Q(x; y) = −3y + x − 9
Luego:
3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9)
= 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9
∴ 3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C
Si: A x
x
b g=
+1
2
à ( )
5 1
A 5
2
+
=
A(5) = 3
∴ A B 2 3b g = Rpta.: B
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = 3x + y + 6
à 3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
Resolución 2 Si:
P(x; y) = 5x + 3y − 3
à 2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
à 2P(x; y) = 10x + 6y − 6
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5
à 5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
à 5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
Luego:
2P(x;y)+5Q(x;y)=(10x+6y−6)+(10y−10x +25)
=10x+6y −6+10y−10x +25
∴ 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (5x2 − 3x +1) − (x2 − 3)
= 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3
= 4x2 − 3x + 4 Rpta.: E
Resolución 4
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)
P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3
P + Q = 4 83 2
4
x x x
tér os
− + +
min
1 244 344
∴ El polinomio resultante tiene 4 términos Rpta.: B
Resolución 5
A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
A − B = 7 32
x
s
−
2 término
124 34
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos.
Rpta.: C
Resolución 6 Hallamos: (B + C − A)
2 4 1 2 3 3 42 2 2
x x x x x x
B C A
− + + − − − − + − =e j e j e j
6 744 844 6 744 844 6 744 844
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
= −9x + 2 Rpta: D
Resolución 7 Hallamos: “A − B + C”
( ) ( ) ( )
CA B
3 3 2 2 3
4x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4− + − − + + − + =
6447448 6447448 6447448
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=
= 4x2 − 2x − 1 Rpta.: C
Resolución 8
* Sea “L” el lado del cuadrado
à Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x + 2
à Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
Perímetro del cuadrado = 12x + 8
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à Perímetro del rectágulo = 2(a + b)
Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2
à Perímetro del rectángulo:
= 2[(4x − 1) + (5x + 2)]
=2[4x − 1 + 5x + 2]
= 2[9x + 1]
Perímetro del rectángulo = 18x + 2
38. - 38 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 14
R = −3x2−{5y +[−3x2 +{y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]}
R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6}
R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6
∴ R = 6 − 5y Rpta.: B
Como: L = 7x + 1
à Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del cuadrado = 28x + 4
* Sea el triángulo isósceles:
à Perímetro del hexágono = 6a
como: a = 2x + 1
à Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1)
Perímetro del
rectángulo = 12x + 6
* Sea “L” el lado del cuadrado
à Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x − 1
à Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)
Perímetro del
cuadrado
= 12x − 4
Luego:
Perímetro del
hexágono − Perímetro del
cuadrado
= (12x+6)−(12x −4)
= 12x + 6 − 12x + 4
= 10
∴ Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución 13
* Si el pentágono es regular, entonces sus cinco lados
son iguales.
Si el lado del pentágono es “L”
à Perímetro del pentágono = 5L
como: L = 4x + 3
à Perímetro del pentágono = 5(4x + 3)
Perímetro del
pentágono = 20x + 15
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à Perímetro del rectángulo = 2(a + b)
como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1
à Perímetrodel
rectángulo
= 2((7x + 4)+(3x + 1)
= 2(10x + 5)
Perímetrodel
rectángulo = 20x + 10
Luego:
Perímetro del
pentágono − Perímetro del
cuadrado
=(20x+15)−(20x+10)
= 20x + 15 −20x − 10
= 5
∴ Excede en 5 Rpta.: D
à Perímetro del
triángulo
= (10x −3)+(10x−3)+(7x + 1)
Perímetro del
triángulo = 27x − 5
Luego:
Perímetro del
cuadrado +
perímetro del
triángulo
=(28x+4)+(27x−5)
= 55x −1
Rpta.: D
Resolución 10
Sea “M” la expresión buscada:
à (5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3
M= 8x2 + 5x − 3 − (5x2 − 3x + 6)
M = 8x2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6
∴ M = 3x2 + 8x − 9 Rpta.: C
Resolución 11
Sea “N” la expresión buscada:
à (16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8
(16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N
16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
∴ N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1 Rpta.: E
Resolución 12
* Si el hexágono es regular, entonces
sus 6 lados son iguales.
Si el lado del hexágono es “a”
Resolución 9
* Sea “L” el lado de cuadrado:
à Perímetro del cuadrado = 4L
Luego:
Perímetro del
cuadrado
perímetro del
rectángulo
+
= (12x + 8)+(18x + 2)
= 30x + 10
Rpta.. D
39. - 39 -
Segundo Año de Secundaria
(M– 6)x3 +(5−N)x2−3x+1=2x3 +3 x2−3x+1
Luego: M − 6 = 2 → M = 8
5 − N = 3 → N = 2
Entonces: M − N = 8 − 2
∴ M − N = 6 Rpta.: B
Resolución 15
E x x x= − + − + +3 2 1 2b g
E x x x= − − + +3 2 2 2
E = x − 3x + 2x − 2 − 2
∴ E = −4 Rpta.: E
Resolución 16
( ){ }P x 2x y x y z x z= + − + − − + − + −
P x x y x y z x z= + − + + − + + −2l q
P = x + z − z
∴ P = x Rpta.: C
Resolución 17
(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx − 6)=5x2 + 7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2
(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2
Luego: A + 3 = 5 → A = 2
5 + B = 7 → B = 2
Entonces: A + B = 2 + 2
∴ A + B = 4Rpta.: D
Resolución 18
(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3)
= 2x3 +3x2 − 3x + 1
Mx3 + 5x2 +2x + 4 − 6x3 − Nx2 − 5x − 3
= 2x3 + 3x2 − 3x + 1
Resolución 19
P+Q−R=(x2+x−3)+(2x2−2x+1)−(3x2−4x+5)
P+Q−R=x2 +x−3+2x2−2x+1−3x2 +4x−5
∴ P + Q − R = 3x − 7 Rpta.: B
Resolución 20
(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3))
−(3x2 − 4x + 1)
(A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3)
−3x2 + 4x − 1
(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1
∴ (A − C) − B = − 2x Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1 Si:
P(x; y) = 2x2 − 2x + 3y2 − 3
à 2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)
2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
Luego:
2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) +
(4x − 4x2 − 3y2 + 6)
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x −
4x2 − 3y2 + 6
∴ 2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C
Resolución 2 Sea:
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8
Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
à 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)
2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
Luego:
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8)
−(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)
A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2
−4x2y − 2xy − 10
∴ A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2 Rpta.: B
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)
P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4
∴ P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
Rpta.: B
Término de
mayor grado
Término de
menor grado
Resolución 4
P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)
P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
Luego:
Coeficiente del
tér o de
mayor grado
min
F
HG
I
KJ −
Coeficiente del
tér o de
menor grado
min
F
HG
I
KJ = 3 − 3
= 0
Rpta.: C
40. - 40 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 9
De la figura:
También: AB = CD
BC = AD
FG = n
GE = m
Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:
AB + BC + CD + AD = 32 x
CD + BC + CD + BC = 32x
2BC + 2CD = 32x
2(BC + CD) = 32x
BC + CD = 16x
à AD + AB = 16x
Vemos que:
DC = AB = 4x + 1
QN = PM = 3x + 2
BC = AP + MN + QD = 6x + 4
Luego:
El perímetro de la figura será:
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC
= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
= AB+AB+ BC +PM+PM+BC
= 2AB + 2BC + 2PM
=2(AB + BC + PM)
= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))
= 2 (13x + 7) = 26x + 14
∴ Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución 10
Sea la figura:
1 244 344
Vemos que:
BC = BF + m → BF = BC − m
CD = ED + n → ED = CD − n
Luego:
Coeficiente del
tér o de
mayor grado
min
F
HG
I
KJ +
Coeficiente del
tér o de
menor grado
min
F
HG
I
KJ = (−2) + 7
= 5
Rpta.: C
Resolución 6
P + Q = (5x3 + 2x2 − x + 6) + (–2x2 + x + 3)
P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3
P + Q = 5x3 + 9 Polinomio de 2 términos
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos
Rpta.: C
Resolución 7
A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8)
− (5x3 + x + 2x2 + 8)
A− B= 6x4 +5x3 +2x2 + x −8−5x3 −x−2x2 −8
A − B = 6x4 − 16 Polinomio de 2 términos
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos
Rpta.: C
Resolución 8
Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4)
Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4
Diferencia = − x3 + 2x2 − x − 2
Sea “M” la expresión pedida:
à M + diferencia = 2x2 + x - 2
M = (2x2 + x − 2) − diferencia
M = (2x2 + x − 2) − (−x3 + 2x2 − x − 2)
M = 2x2 + x − 2 + x3 − 2x2 + x + 2
M = x3 + 2x
M = x(x2 + 2) Rpta.: B
Término de
mayor grado
Término de
menor grado
Resolución 5
A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6)
A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6
A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7
41. - 41 -
Segundo Año de Secundaria
1 244 344
1 24 34
Resolución 11
R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]}
R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]}
R = −x + x + {y − z + z }
∴ R = y Rpta.: D
Resolución 12
Q = −[−3x + (−x − {2y−3})]
+{−(2x + y) + (−x −3)+2−(x + y)}
Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)]
+{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y}
Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1}
Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
∴ Q = − 4 Rpta.. D
Luego:
El perímetro de la región coloreada es:
AD + AB + BF + FG + GE + ED =
= 16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) =
= 16x + BC − m + n + m + CD − n =
= 16x + BC + CD
= 16x + 16x
= 32x Rpta.: B
Resolución 13 Tenemos que:
(Ax2 −xy + y2) + (2x2 + Bxy − 3y2)
− (3x2 − xy − Cy2)
= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2
= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2
(A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Luego: A − 1 = 3 → A = 4
B = 2
C − 2 → C = 3
Entonces:
A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C
Resolución 14
Tenemos que:
[(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)]
−(9x2 + 3x − 29) = mx + n
[6x2 +11x −35+3x2 −6x]−9x2 −3x+29=mx+n
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
2 x − 6 = m x + n
Entonces: m = 2 ∧ n = −6
Luego: m + n = 2+ (−6)
∴ m + n = − 4 Rpta.: B
Resolución 15 Sea la figura:
Vemos que:
El perímetro del cuadrado ABCD es:
4(4a) = 16x
a = x
El perímetro de la región coloreada es:
Perímetro de
región coloreada
=2(a + 4a)
=2(5a) = 10a
como: a = x
∴
Perímetro de
región coloreada
= 10x Rpta.: C
Resolución 16
De la figura, podemos observar que:
CD = HG + GF + FN
Como: HG = GF = FN
à CD = 3HG
3x = 3HG → HG = x
FN = x
Luego: AD = BC = 4x + 3
Si: BC = BH + HC
Como: BH = HC = FE
42. - 42 -
Manuel Coveñas Naquiche
à
Perímetro del
rectánguloNFED = 6x + 3
Luego:
Perímetro de la
región coloreada
= (6x + 3)+(6x + 3)
Perímetro de la
región coloreada = 12x + 6
∴
Perímetro de la
región coloreada = 6(2x + 1) Rpta.: D
Resolución 20 Si: A + B = C
à (ax2+bx+c)+(6x2−3x+5)=9x2 +2x+7
(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7
Entonces: a + 6 = 9 → a = 3
b − 3 = 2 → b = 5
c + 5 = 7 → c = 2
Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2
∴ a + b + c = 10 Rpta.: C
Resolución 21 Hallamos: A + B + C
A = x3y3 − x2y2 + 3x3 + y3
B = −2x3y3 + 2x2y2 + x3 − y3 (+)
C = x3y3 − x2y2 + 4x3
∴ A + B + C = 8x3 Rpta.: D
Resolución 22
Sea la diferencia igual a “D”
à D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9)
D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9
D = 2x3 − 10x + 11
Sea “S” la cantidad que se debe sumar:
à D + S = 2x3 + x − 5
(2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5
S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11)
S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11
∴ S = 11x − 16 Rpta.: B
Resolución 23 Hallamos “A + B − C” :
(−4x3y2−7x2y3+2x2y2)+(2x2y3−5y2x3−6x2y2)
−(−5x2y2−5x2y3−9x3y2)=
=−4x3y2 −7x2y3 +2x2y2 +2x2y3 −5y2x3 −6x2y2
+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 =
à A + B − C = x2y2
Luego: A B C x y xy+ − = =2 2
Rpta.: D
U
V|
W|
à BC = 2BH
4x + 3 = 2BH
BH
x
=
+4 3
2
à FE
x
=
+4 3
2
Perímetro de la
región coloreada
= Perímetro del
rectángulo MBHG+ Perímetro del
rectángulo NFED
Si:
Perímetro del
rectánguloMBHG =2
4 3
2
x
x
+
+F
HG I
KJF
HG I
KJ
=
+ +F
HG
I
KJ2
2 4 3
2
x xb g
à
Perímetro del
rectánguloMBHG = 6x + 3
Resolución 17
(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) +
(x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6)
(A+B)−2C=(3x2 +6x3 +2x−5+x2 −4x3 +5x −7)
−2x3 + 2x2 − 6x + 12
(A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2
− 6x + 12
∴ (A + B)−2C = 6x2 + x Rpta.: D
Resolución 18
(2P − R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)
−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2)
(2P − R)+ Q = (2x4 + 6x2 + 10x − 2x4 − x2
− x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2
(2P −R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2
∴ (2P − R)+ Q = 5x2 Rpta.: C
Resolución 19
E x y x y x y x y x= − + − − + − + − − − − +5 2 2 3 1 2b g e j
E x y x y x y x y x= − − − − + − + − − + + +5 5 2 2 3 1 2b g
E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 2 2 2 2 2b g
E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 4 4 4 2
E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x
∴ E = −x − 8y + 4 Rpta.: A
43. - 43 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 24
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy)
+ (x2 − y2 + xy)
P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy
Luego: Suma de
coeficientes
= 9 + 6 + 10
∴ Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
Coeficientes
Resolución 25 Hallamos: A + B + C
A = 6x2y + 3xy2 − 12xy
B = −4x2y + 2xy2 + 16xy (+)
C = x2y − 5xy2 + 4xy
A + B + C = 3 x2y + 8 xy
Luego: Suma de
coeficientes
= 3 + 8
∴ Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
Coeficientes
U
V|
W|
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171)
NIVEL I
Resolución 1
2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)=
=2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12)
= 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12
= 26x − 25x
= x Rpta.: D
Resolución 2
A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x)
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2
A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x2
A = (x4 + 2x2 + 1) − x2
∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
Resolución 3 Sea:
B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2
Aplicamos:
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
Obteniendo:
B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2)
+2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)
B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)
B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2
∴ B = −x Rpta.: B
Resolución 4 Sea:
M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1)
M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2
M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
Obteniendo:
M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2
∴ M = x2 Rpta.: C
Resolución 5 * Hallamos “A” :
A = (2x − 1)(3x + 2)
A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (−1)(3x) + (−1)(2)
A = 6x2 + x − 2
* Hallamos “B” :
B = (4x + 3)(x − 2)
B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2)
B = 4x2 − 5x − 6
Luego:
(A+B)·A=((6x2+x−2)+(4x2 −5x−6))(6x2 +x−2)
(A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)
(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2)
+(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2)
+(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2)
(A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3
−4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16
∴ (A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16 Rpta.: C
45. - 45 -
Segundo Año de Secundaria
• Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2)
Área del rectángulo = ((3x)2+(6−2)(3x)
+ (6)(−2))
Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12
Luego:
Áreadel
cuadrado
F
HG I
KJ− Áreadel
rectángulo
F
HG I
KJ= (9x2 + 12x + 4)
−(9x2 + 12x − 12)
= 9x2 + 12x + 4
−9x2 − 12x + 12
= 16 Rpta.: E
Resolución 12 Sabemos que:
Área del rectángulo =
Lado
mayor
FH IK ×
Lado
menor
FH IK
Áreadel triángulo
rectángulo
=
cateto catetob g b g×
2
De las figuras, tenemos que:
•
Áreadel
rectángulo (x + 2)(8x + 10)
Áreadel
rectángulo= 8x2 + 10x + 16x + 20
Áreadel
rectángulo = 8x2 + 26x + 20
•
Áreadel triángulo
rectángulo
=
+ +4 3 2 5
2
x xb gb g
Áreadel triángulo
rectángulo
2
8x 20x 6x 15
2
+ + +
=
Áreadel triángulo
rectángulo
=
+ +8 26 15
2
2
x x
Luego:
Áreadel
rectángulo
F
HG I
KJ −
F
H
GG
I
K
JJ2
Áreadel
triángulo
rectángulo
=(8x2 + 26x + 20)
Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4
−
+ +F
HG
I
KJ2
8 26 15
2
2
x x
= 8x2 + 26x + 20
−8x2 − 26x − 15
= 5 Rpta.: C
Resolución 13
P = (x + 1)2 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2
P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9)
+ (x2 + 8x + 16)
P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9
+ x2 + 8x + 16
P = 10x − 10x + 4
∴ P = 4 Rpta.: B
Resolución 14 Sea:
Q b ab a b ab= + + + −2 2 22 2 2 2 2
e j b g
Aplicamos: m2 – n2 = (m + n)(m − n)
(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn
(m − n)2 = m2 + n2 − 2mn
Obteniendo:
Q b ab a b ab a b ab= + + + + + −2 2 2 22 2 2 2 2
e je j
Q b ab a b a b= + + + −2 22 2 2
b g b g
Q = 2b2
+ + + −2
2
ab a b a bb gb g
Q b ab a b= + + −2 22 2 2 2
Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2)
Q = 2b2 + 2ab + a2 − b2
Q = a2 + 2ab + b2
∴ Q = (a + b)2 Rpta.: B
Resolución 15
E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo:
E = (x2 − 12)(x2 + 1) + 1
E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
E = ((x2)2 − (1)2) + 1
E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1
∴ E = x4 Rpta.: D
Resolución 16 Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3
à A = (z + 1)3
A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3
A = z3 + 3z2 + 3z + 1
Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
à B = (z − 1)3
46. - 46 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 19 Sea:
A x x= − + −3 3 33 3
e je j
A x x= − − +3 3 33 3
e je j
A x x= − − − +3 3 33 3
e j e j
A x x= + − +3 3 33 3
e je j
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
à A x= + −
F
HG I
KJ3 33 2 2
e j e j
A = 3 + (x6 − 3)
∴ A = x6 Rpta.: E
à
1 1 1
2
1 1 1
2 2 2
x y x x y y
+
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJF
HG I
KJ +
F
HG I
KJ
1 1 1 2 1
2
2 2x y x xy y
+
F
HG I
KJ = + + ......... (I)
Pero: x−1 + y−1 = a
à
1 1
x y
a+ =
También: x·y = b
Reemplazando estos valores en (I), tenemos:
a
x b y
2
2 2
1 2 1
e j= + +
a
b x y
2
2 2
2 1 1
− = +
a b
b
y x
x y
2 2 2
2 2
2−
=
+
·
a b
b
y x
x y
2 2 2
2
2−
=
+
·b g
a b
b
y x
b
2 2 2
2
2−
=
+
b g
a b
x y
b
2
2 2
2− =
+
x2 + y2 = b(a2b − 2)
∴ x2 + y2 = a2b2 − 2b Rpta.: B
Resolución 17 Aplicamos:
(a − b)3
= a3
− b3
− 3a·b(a − b)
Obteniendo:
(x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1)
=x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1
= −3x(x − 1)
=−3x[−(1−x)]
= 3x(1 − x) Rpta.: D
Resolución 18 Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Simplificando, obtenemos:
E
a a b a b
a b a b
=
+ −
+ −
b g b g
b gb g
2
·
à E = a(a + b)
∴ E = a2 + ab Rpta.: E
B = z3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3
B = z3 − 3z2 + 3z − 1
Luego:
B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1)
B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1
∴ B − A = −6z2 − 2 Rpta.: D
Resolución 20 Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
à E = + − −3 2 3 2
2 2
e j e j
E= + + − + − −3 2 3 2 3 2 3 2e j e j e j e j
E = + + − + − +3 2 3 2 3 2 3 2
E = 2 3 2 2
Resolución 21 Sabemos que:
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
Si a·b = 4 ∧ a + b = 3
à (3)2 = a2 + 2(4) + b2
9 = a2 + 8 + b2
∴ a2 + b2 = 1 Rpta.: B
Resolución 22 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
E = 4 6 → E2
2
4 6= e j
∴ E2 = 96 Rpta.: E
Resolución 23 Sea:
M =
−F
HG
I
KJ −
−L
NMM
O
QPP−
3 13
2
3
3 13
2
1
2
47. - 47 -
Segundo Año de Secundaria
( ) ( )
2
3 13 3 3 13
M 1
4 2
− −
= − −
M =
− − − −3 13 6 3 13 4
4
2
e j e j
M =
− − + −3 13 18 6 13 4
4
2
e j
M =
− + −3 13 6 13 22
4
2
e j
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
à M =
− +
F
HG I
KJ+ −3 2 3 13 13 6 13 22
4
2 2
b ge j e j
M =
− + + −9 6 13 13 6 13 22
4
e j
M =
− + −22 6 13 6 13 22
4
∴ M = 0 Rpta.: A
1 244 344
Resolución 24 Aplicamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8
P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8
P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8
P = m2 + n2 − 2mn + 8
P = (m − n)2 + 8
Pero: m − n = 8
à P = (8)2 + 8 = 64 + 8
∴ P = 72 Rpta.. C
Resolución 25
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)
B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)
C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)
= (a + b)2 ................. (Falso)
D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)
E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero)
Rpta.: C
Resolución 26 Sabemos que:
A B A B· ·=
Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Sea:
Q a b a b a b b= + −F
H
I
K −F
H
I
K +· 2
Q a b a b a b b= + −
F
HG I
KJ −F
H
I
K +e je j 2
Q a b a b b= −
F
HG
I
KJ −F
H
I
K +2 2 2
e j
Q a b a b b= −F
H
I
K −F
H
I
K +2 2
Q a b b= −F
H
I
K +2
2
Q = a2 − b + b
∴ Q = a2 Rpta.: B
Resolución 27 Sabemos que:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Si a + b = 3 ∧ ab = 3
à a3 + b3 = (3)(a2 − 3 + b2)
a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I)
Hallamos: a2 + b2
Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Si a + b= 3 ∧ a·b = 3
à (3)2 = a2 + 2(3) + b2
9 = a2 + b2 + 6
a2 + b2 = 3 ..... (II)
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0)
∴ a3 + b3 = 0 Rpta.: A
Resolución 28 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à n
n
+
F
HG I
KJ =
1
3
2
n n
n n
2
2
2
1 1
3+
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ =b g
n
n
2
2
2
1
3+ + =
n
n
2
2
1
1+ = ..... (I)
48. - 48 -
Manuel Coveñas Naquiche
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
à E
x
=
−
2
12 2
; pero: x = 5
à E =
−
=
−
=
2
5 1
2
5 1
2
42
e j
∴ E =
1
2
Rpta.: D
Resolución 30 Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Identidad de Legendre
R
n n
n
=
+ − −3 3
6
2 2
b g b g
R
n
n
n
n
= =
4 3
6
12
6
b gb g
∴ R = 2 Rpta.: B
1 2444 3444 1 2444 3444
Resolución 29 Aplicamos:
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
à P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)
P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12)
P = (x3 + 13 ) − (x3 − 13)
P = x3 + 1 − x3 + 1
∴ P = 2 Rpta.: B
Además: n
n
+
F
HG I
KJ =
1
3
2
à n
n
+ =
1
3 ...... (II)
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
à n
n
n
n
n n
n n
3
3
2
2
1 1 1 1
+
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ − +
F
HG I
KJF
HG
I
KJ·
n
n
n
n
n
n
3
3
2
2
1 1 1
1+ = +
F
HG I
KJ + −
F
HG I
KJ
Reemplazamos (I) y (II):
n
n
3
3
1
3 1 1 3 0+ = − =e jb g b g
∴ n
n
3
3
1
0+ = Rpta.: B
Resolución 31 Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
à P
x X
X
=
+ − +
+
2 2 9
52
b gb g
P
x
x
=
− +
+
2 2
2
2 9
5
e j
P
x
x
x
x
=
− +
+
=
+
+
2
2
2
2
4 9
5
5
5
∴ P = 1 Rpta.: C
Resolución 32 Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
Identidad de Legendre
à M
x x
x
=
+ + − −1 1 2
2 2
2
b g b g
M
x
x
=
+ −2 1 22 2
2
e j
M
x
x
x
x
=
+ −
=
2 2 2 22
2
2
2
∴ M = 2 Rpta.: E
Resolución 33
E
x x
x x
x x
x x
=
+ − −
− +
=
+ − +
− +
1 1
1 1
1 1
1 1
b g b g
b gb g b gb g
E
x x
=
− +
2
1 1b gb g
Resolución 34 Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
à A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2
A = 4(x + y)(1)
∴ A = 4(x + y) Rpta.: A
Resolución 35
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4)
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12)
Hacemos: a = x2 − 7x + 11
à a − 1 = x2 − 7x + 10
à a + 1= x2 − 7x + 12
Reemplazamos estos valores en “R”
R a a a
Diferencia de
cuadrados
= − − +b g b gb g2
1 1
1 244 344
R = a2 − (a2 − 12)
R = a2 − a2 + 1
∴ R = 1 Rpta.: C
49. - 49 -
Segundo Año de Secundaria
S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2)
+(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x)
+(2)(−4)
S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x
+ 10x2 + 2x − 8
∴ S = 5x4 − 4x3 + 5x2 + 6x − 8
Rpta.: B
Resolución 2
A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x)
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
à A = (x2 + 1)2 − x2
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) −x2
A = x4 + 2x2 + 1 − x2
∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1
Reemplazando los valores en:
S = P(Q + R)
S = (x2 −x + 2)((3x2 −x−1)+(2x2 + 2x − 3))
S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4)
Resolución 3 Reemplazando los valores en:
[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)
−3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)]
[2A − 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3
−12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3]
[2A − 3B]2 = 16x3y2 − 15x3y2
∴ [2A − 3B]2 = x3y2 Rpta.: A
Resolución 4
Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enuncia-
do:
(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b
((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M
= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35
M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4)
M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4
∴ M = 24x + 31 Rpta.: A
Resolucíon 5 Sea“N”laexpresiónquesedeberestar, se-
gún el enunciado tenemos que:
(6x + 5)2 − N = (9x + 5)(4x − 3)
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2)− N = 36x2 − 7x − 15
(36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15
(36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N
36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N
∴ N = 67x + 40 Rpta.: B
Resolución 6
* (x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)]
= 3(x + 2)(x − 1)
* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3)
* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)]
= −(2 + x)(3 − 3x)
* (x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x)
* (x + 2)(3x − 3) = 3x2 + 3x − 6
Rpta.: D
Resolución 7 Efectuando:
(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y)
=(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y)
=x((a + b)−(a −b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y)
=x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y)
=2bx + 2by − 2bx − 2by = 0 Rpta.: C
Resolución 8
De la figura, podemos ver que:
Sabemos que:
* Áreadel
cuadrado
=(Lado)2
* Áreadel
rectángulo =(Ladomayor)×(Ladomenor)
Luego:
Área
coloreada
=
Áreadel
rectángulo
ABCD
F
H
GG
I
K
JJ−
Área del
cuadrado
QRCP
50. - 50 -
Manuel Coveñas Naquiche
à
Áreadel
rectángulo =6x2 + 22x + 20
Luego:
Área
coloreada
=
Área del
rectángulo
F
HG I
KJ−
Área del
triángulo
F
HG I
KJ
= 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4))
=6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8)
=6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8
∴ Área
coloreada
= 4x2 + 14x + 12 Rpta.: C
B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10
à B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10
C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25
Luego: S = A − B + C
à S = (6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15)
− (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10)
+(13x3 – 20x2 – 11x + 25)
S = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 +
19x2 + 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25
S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2
− 11x + 25
∴ S = x Rpta.: A
Resolución 9
De la figura podemos ver que:
El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB =
AM = 2x + 4
•
Áreadel
triángulo
=
AB AMb g b g·
2
=
+ +2 4 2 4
2
x xb gb g =
+2 4
2
2
xb g
=
+ +4 16 16
2
2
x x
=
+ +4 4 4
2
2
x xe j
à
Áreadel
triángulo = 2(x2 + 4x + 4)
•
Áreadel
rectángulo =(AD)(CD)
=(3x + 5)(2x + 4)
• Áreadel cuadrado
QRCP
= ((4x + 3) − (3x + 1))2
=(x + 2)2
=x2 + 4x + 4
• Áreadel rectángulo
ABCD
= (7x + 2)(4x + 3)
= 28x2 + 29x + 6
Área
coloreada
=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)
= 28x2 +29x+6 − x2 − 4x −4
∴
Área
coloreada
= 27x2 + 25x + 2
Rpta.: A
Resolución 10
Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enun-
ciado tenemos que:
{x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M
= 2x3y + 3xy3
{x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M
=2x3y+ 3xy3
Resolución 11
A = (2x2 − 3)(3x2 − 2x + 5)
A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5)
+ (−3)(3x2) + (−3)(−2x) + (−3)(5)
A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15
à A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15
B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5)
B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5)
+ (−2)(2x2) + (−2)(3x) + (−2)(−5)
{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3
{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3
(10xy3 − 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3
M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)
M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x3y
∴ M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A
Resolución 12
E = A(B + 1)+B(1 − A) −C
E = AB + A + B − BA − C
à E = A + B − C
Reemplazando los valores dados:
E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y2 − 4xy + 5x2)
− (xy + 5y2 + 8x2)
E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy
− 5y2 − 8x2
E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2
∴ E = −4y2 Rpta.: D
51. - 51 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 13
E = (mx + n)(x2 + x + 1)
E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2)
+ (n)(x) + (n)(1)
E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n
E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n
Según el enunciado:
mx3+(m+n)x2 +(m+n)x+n=4x3+Ax2+Bx+5
Por comparación de términos, tenemos que:
m = 4 ; n = 5
m + n = A ; m + n = B
à A = 4 + 5 ; à B = 4 + 5
A = 9 ; B = 9
Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5
∴ A + B + m + n = 27 Rpta.: B
Resolución 14
R = (ax + b)(x2 − x + 1)
R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2)
+ (b)(−x) + (b)(1)
R = ax3 − ax2 + ax + bx2 − bx + b
R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b
Según el enunciado:
ax3 −(a −b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4
Por comparación de términos, tenemos que:
a = 7 ∧ b = 4
También: m = a − b → m = 7 − 4
n = a − b → n = 7 − 4
à m = 3 ∧ n = 3
Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3
∴ a + b + m + n = 17 Rpta.. C
Resolución 15
T = + + −3 1 3 1 3 14 4
e je je j
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
à T= + −
F
HG I
KJ3 1 3 14
2 2
e j e j
T = + −3 1 3 1e je j
T = −3 1
2 2
e j = 3 − 1
∴ T = 2 Rpta.: C
Resolución 16 Aplicamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à (x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
Pero: x2 + y2 = 26 ; x·y = 5
à (x − y)2 = (26) − 2(5)
(x − y)2 = 26 − 10 = 16
x − y = 4
Luego:
x y−
= =
2
4
2
2 Rpta.: E
Resolución 17 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xy
Si: x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11
à (5)2 = (11) + 2xy
25 − 11 = 2xy
14 = 2xy
xy = 7
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2)
à x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy)
Si: x + y = 5
x2 + y2 =11
x·y = 7
à x3 + y3 = (5)((11) − 7)
∴ x3 + y3 = 20 Rpta.: D
Resolución 18 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Pero: x + y = 2 ∧ x·y = 3
à (2)2 = x2 + y2 + 2(3)
4 = x2 + y2 + 6
x2 + y2 = −2
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
à x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2)
x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)
Si: x + y = 2
x·y = 3
x2 + y2 = −2
52. - 52 -
Manuel Coveñas Naquiche
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à x
x
x x
x x
−
F
HG I
KJ = −
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ1
2
1 1
2
2
2
b g
x
x
x
x
−
F
HG I
KJ = + −
1 1
2
2
2
2
Pero: x
x
2
2
1
7+ =
à x
x
−
F
HG I
KJ = − =
1
7 2 5
2
x
x
− =
1
5
Luego: x
x
x
x
2
2
2
2
1 1
− = −
F
HG I
KJ
Aplicamos: a2 − b2 =(a + b)(a − b)
à x
x
x
x
x
x
2
2
1 1 1
−
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ
Pero: x
x
+ =
1
3 ∧ x
x
− =
1
5
à x
x
2
2
1
3 5−
F
HG I
KJ = b g e j·
∴
2
2
1
x 3 5
x
− = Rpta.: A
Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
Identidad de Legendre
à Suma de
áreas
= 2(x2 + y2) Rpta.: E
à
Resolución 19
(x + a)(x − 2) = x2 + bx + 6
x2 + (a + (−2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6
x2 + (a − 2)x + (−2a) = x2 + bx + 6
(a − 2)x + (−2a) = b x + 6
Por comparación de términos, tenemos que:
−2a = 5 → a = −3
a − 2 = b
(−3) − 2 = b → b = −5
Luego: a − b =(−3)−(−5)
∴ a − b = 2 Rpta.: C
Resolución 20
Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2
• Lado del cuadrado 1: x + y
à Área del cuadrado 1 = (x + y)2
• Lado de cuadrado 2: x − y
à Área del cuadrado 2 = (x − y)2
Suma de
áreas =
Áreadel
cuadrado1
F
HG I
KJ +
Áreadel
cuadrado 2
F
HG I
KJ
Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2
à x3 + y3 = (2)((−2)−3)
x3 + y3 = −10
Luego: R
x y
x y
=
+
+
=
−
−
3 3
2 2
10
2
∴ R = 5 Rpta.: D
Resolución 21 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
2 6 2 4
2
2 2
e j b g= + +x y
24 = x2 + y2 + 8
x2 + y2 = 16 ........ (3)
Resolución 22 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à x
x
x x
x x
+
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ+
F
HG I
KJ1
2
1 1
2
2
2
b g
x
x
x
x
+
F
HG I
KJ = + +
1 1
2
2
2
2
Si: x
x
+ =
1
3 à 3
1
2
2 2
2b g = + +x
x
9 2
12
2
− = +x
x
x
x
2
2
1
7+ =
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:
(x − y)2 = 16 − 2(4)
(x − y)2 = 8
∴ x y− = 8 Rpta.: E
53. - 53 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 24 Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Identidades de Legendre
T
x y x y
x x x x
x y
x x
=
− + +
+ − −
=
+
F
HG I
KJ
− − −
2 3 2 2 3 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
2 2
2
4
e j e j
e j e j
e j e j
·
T
x y
x
x
x y
=
+
=
+2
1 2
1
4 6
2
2
2
4 6
4
e j
· ·
Pero: x4 + y6 = 4
à T
x y
=
+
= =
4 6
2
4
2
2 Rpta.: B
Resolución 23 Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
Identidades de Legendre
à R
x y x y
x y x y
x y
x y
=
+ − −
+ + −
=
+
b g b g
b g b g e j
2 2
2 2 2 2
4
2
·
Si x2 + y2 = 3xy
à R
xy
xy
xy
xy
= =
4
2 3
4
2
3
6b g
∴ R = 2/3 Rpta.: D
Resolución 25
R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3)
R = (x2 +(−3+2)x+(−3)(2))(x2 +(−4+3)x+(−4)(3))
R = (x2 − x − 6)(x2 − x − 12)
R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12)
De la condición: x
x
+ =
2
1
x
x
2
2
1
+
=
x2 + 2 = x → x2 − x = −2
Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo:
R = ((−2)−6)((−2)−12)
R = (−8)(−14)
∴ R = 112 Rpta.: C
Resolución 26
La expresión se puede escribir de la manera siguiente:
P = − − +
L
NM O
QP2 2 1 2 1 41
4
e j e j·
P = −
F
HG I
KJ − +
L
N
MM
O
Q
PP2 2 1 2 1 41
2 2
· ·e j e j
P = − +F
H
I
K − +
L
N
MM
O
Q
PP2 2 2 2 1 1 2 1 41
2 2
2
· · · · e j
( ) ( )
2
P 2· 3 2 2 · 2 1 41
= − − +
( )( ) ( ) ( )
22
P 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 41
= − + − +
P = − − +2 17 12 2 2 1 41· e je j
P = − − + +L
NM O
QP2 17 2 17 12 2 12 2 41
2
·
P = − − +2 29 2 17 24 41·
P = 2 29 2·
P = = =29 2 29 2 58
2
· Rpta.: C
Resolución 27 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à x x+ = +F
H
I
K
−1 2 2
2 2 2e j
x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 2 2+
x2 + 2 + x−2 = 2 2 2+
à x2 + x−2 = 2 2
x x2 2 2 2
2 2+ =−
e j e j
(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8
x4 + 2 + x−4 = 8
∴ x4 + x−4 = 6 Rpta.: C
Resolución 28 Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1)
M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3)
Pero: x2 + 2x = 9
M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3)
M = (−6)(1)(6)
∴ M = −36 Rpta.: C
1 244 344 1 244 344 1 244 344
54. - 54 -
Manuel Coveñas Naquiche
Luego:
Q
x y x y
x y x y
=
+ − −
+ − −
b g b g
e j e j
4 4
2 2 2 2 2 2
2 2
Q
x y x y
x y x y
=
+ − −
+ − −
b g b g
e j e j
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
Aplicamos: a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)2 −(a − b)2 = 4ab
2 2 2 2
à Q
x y x y x y x y
x y
=
+ + − + − −b g b g b g b g
e je j
2 2 2 2
2 2
4 2
Q
x y xy
x y
=
+2 4
8
2 2
2 2
e j
M a a= − + +6 64 1 1 1e je j
M a= −
F
HG I
KJ+6 2 2
4 1 1e j b g
M a a= − + =124 124
1 1
∴ M = a3 Rpta.: B
6 744 844
6 744 844
Resolución 29
La expresión dada se puede escribir de la siguiente mane-
ra:
E = + + + − −2 3 5 2 3 5 2 6e je j e je j
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
à E = + −
F
HG I
KJ −2 3 5 2 6
2 2
e j e j
E = + + −F
H
I
K −2 2 2 3 3 5 2 6
2 2
e je j
E = + − −5 2 6 5 2 6
E = 0 Rpta.: B
Resolución 30
* Área del cuadrado = (Lado)2
à Área del cuadrado = (x + y)2
*
Áreadel
triángulo =
base alturab g b g·
2
à
Áreadel
triángulo=
x y·
2
Según el enunciado, tenemos que:
x y
x y
+ =
F
HG I
KJb g2
8
2
·
(x + y)2 = 4xy
x2 + 2xy + y2 = 4xy
x2 + 2xy + y2 − 4xy = 0
x2 − 2xy + y2 = 0
(x - y)2 = 0
à x − y = 0 → x = y
Resolución 31 Aplicamos:
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
M a a a a a= − + + + + +1 1 1 1 12 3 64 b ge je je j
M a a a= − + + +3 3 3 64 1 1 1 1e je je j
M a a a= − + + +3 3 64 1 1 1 1e je je j
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
M a a= −
F
HG I
KJ + +3 2 2 64 1 1 1e j b g e j
Q
xy x y
xy
=
+8
8
2 2
2
e j
b g
Q
x y
xy
=
+2 2
; pero: x = y
à Q
x x
x x
x
x
=
+
=
2 2 2
2
2
·
∴ Q = 2 Rpta.: B
Resolución 32
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
E = + − −F
H
I
K
F
HG
I
KJ2 3 2 3
2 3
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
E = +F
H
I
K − +F
H
I
K −F
H
I
K+ −F
H
I
K
F
HG
I
KJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 2 3
E = + − + − + −
F
HG I
KJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
3
e je j
E = − + −
F
HG I
KJ4 2 2 3 2 3
3
e je j
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
E = − −
F
HG
I
KJ4 2 2 3
2 2
3
b g e j
E = − −4 2 4 3
3
e j
E = (4 − 2)3
∴ E = 8 Rpta.: C
(a + b) + (a − b) = 2(a +b )
55. - 55 -
Segundo Año de Secundaria
Resolución 33 Sabemos que:
Perímetro del cuadrado = 4×(Lado)
Perímetrodel
cuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)
8 2 1
4
x
Lado
+
=
b g b g
à
Lado del
cuadrado ABCD = 2(2x + 1)
De la figura, podemos ver que:
Lado del
cuadrado ABCD = 2
Lado del
cuadrado EFGD
FH IK
2(2x +1) = 2
Lado del
cuadradoEFGD
FH IK
2 2 1
2
x +b g =
Lado del
cuadrado EFGD
à
Lado del
cuadrado EFGD = 2x + 1
Luego:
Área
coloreada
=
Áreadel
cuadrado
ABCD
F
H
GG
I
K
JJ +
Áreadel
cuadrado
EFGD
F
H
GG
I
K
JJ
Área
coloreada
=
Lado del
cuadrado
ABCD
F
HG
I
KJ
2
+
Lado del
cuadrado
EFDG
F
HG
I
KJ
2
Área
coloreada
= 2 2 1 2 1
2 2
x x+ + +b gc h b g
Área
coloreada
= 4(2x + 1)2 +(2x +1)2
Área
coloreada
= 5(2x + 1)2
Área
coloreada
= 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)
∴ Área
coloreada
= 5(4x2 + 4x + 1) Rpta.: C
1 2444 3444
Resolución 34 Sea:
M = (x + y + z)3 − (x + y)3 − 3(x + y + z)(x + y)z
Hacemos: a = x + y
à M = (a + z)3 − a3 − 3(a + z)(a)z
M = (a + z)3 − a3 − 3az(a + z)
Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
M=(a3+3a2z+3az2 +z3)−a3 −3az(a+z)
M=a3+3a2z+3az2 +z3−a3−3a2z−3az2
∴ M = z3 Rpta.: C
Resolución 35
Sabemos que: 2 = 5 − 3
Luego:
La expresión dada se puede escribir de la
siguiente manera:
M = − + + + +5 3 5 3 5 3 5 3 32 2 4 4 84 b gb ge je j
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
M = − + + +5 3 5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84
e je je j
M = −
F
HG I
KJ + +5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e j e j e j
M = − + +5 3 5 3 34 4 4 4 84
e je j
M = −
F
HG I
KJ +5 3 34 2 4 2 84 e j e j
M = − +5 3 38 8 84
M = =5 584 2
∴ M = 25 Rpta.: E
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pág.(193, 194, 195, 196)
NIVEL I
Resolución 1
Sabemos que: D = d × q + R .... (I)
Según los datos :
d = (x2 + 1)
q = (x + 2)
R = (x − 3)
56. - 56 -
Manuel Coveñas Naquiche
Resolución 8 Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
M
x x x
x x
=
+ + −
+ +
4 6 1
4 7 1
2 2 2
2
e j
M
x x x x x x
x x
=
+ + + + + −
+ +
4 6 1 4 6 1
4 7 1
2 2
2
e je j e je j
M
x x x x
x x
=
+ + + +
+ +
4 7 1 4 5 1
4 7 1
2 2
2
e je j
∴ M = 4x2 + 5x + 1 Rpta.: E
∴ Residuo = −5x + 14 Rpta.: E
Reemplazando en (I) tenemos que:
D = (x2 + 1)(x + 2) + (x − 3)
D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3
∴ D = x3 + 2x2 + 2x − 1 Rpta.: B
Resolución 2
Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor
64 36 8
4
4 1
4
4 2
x x x x− + −
:
16 9 2
1
4
4 2
x x x x− + −:
Aplicamos el método de Ruffini:
Resolución 4
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴ cociente: 16x3 + 4x2 − 8x Rpta.: C
Resolución 3
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Cociente: x − 4
Residuo: 8x − 4
Luego:
Suma de coeficientes
del residuo = 8 +(−4)= 4
Rpta.: D
∴ Cociente = x + 1 Rpta.: A
∴ Cociente = x2 − 3x − 11
Residuo = −34x2 + 2x + 12 Rpta.: C
Resolución 7 Por el teorema del
Resto: x − 1= 0 → x = 1
Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:
Dividendo = 6x3 − 5x2 − 4x + 4
Residuo(R) = 6(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4
= 6 − 5 − 4 + 4
∴ R = 1 Rpta.: A
Resolución 5 Por el teorema del
Resto: x + 3 = 0 → x = −3
Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendo
Dividendo = x4 − 2x2 − 6
Residuo(R) = (−3)4 − 2(−3)2 − 6 = 81 − 2(9) − 6
∴ R = 57 Rpta.: D
Resolución 6
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Resolución 9
Aplicando el método de Horner, obtenemos: