Solucionario matematica 5

Quinto Año de Secundaria
- 1 -
Solucionario
quinto año de educación secundaria

- 2 -
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)
NIVEL I
Factorial de un número
Resolución 2
7! 2 5! 7·6·5! 2·5! 7·6· 5
M
6! 10 4! 6·5! 2·5·4!
− × −
= = =
− × −
! 2· 5− !
6· 5 ! 2· 5− !
2 2
M
6 2
4 −
=
−
∴ M = 10 Rpta.: E
Resolución 1
E = (n + 2)! – 2(n+1)!
E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]
∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D
Resolución 3
1 1 1 1
E
4! 3! 4· 3! 3! 3!(4 1) 3!· 5
= = = =
+ + +
4 4
E
3!· 4· 5 5!
= = Rpta.: E
Resolución 4
1 1 (n 1) 1
E
n! (n 1)! n!(n 1) (n 1)!
+
= − = −
+ + +
+ + −
= − =
+ + +
n 1 1 n 1 1
E
(n 1)! (n 1)! (n 1)!
∴
n
E
(n 1)!
=
+
Rpta.: D
Resolución 5
( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
+ −+ − + −
= = =
− − −
n! n 1 1n 1 ! n! n 1 n! n!
R
n 1 ! n 1 ! n 1 !
( ) ( )
2
n!n n!· n· n n!n
R
n 1 ! n n 1 ! n!
= = =
− −
∴ R = n2 Rpta.: B
Resolución 9
( ) ( )− +
=
x 1 ! x 2 5
x! 3
3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!
3x + 6 = 5x
∴ x = 3 Rpta.: B
Resolución 6
( )n 2 !
6
n!
+
= à
( )( )n 2 n 1 n!
6
n!
+ +
=
(n + 1)(n + 2) = 6
Resolviendo:
∴ n = 1 Rpta.: A
Resolución 7
( )
( )
n 3 !1
· 10
3 n 1 !
+
=
+
(n + 3)! = 30(n + 1)!
(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!
(n + 3)(n + 2) = 30
∴ n = 3 Rpta.: B
Resolución 8
(x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880
(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880
(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880
(x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880
(x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72
x – 1 = 5
∴ x = 6 Rpta.: B
Resolución 10
( )
( )
( )
( )
m! n 1 ! m! n 1 n!
E
m 1 !n! m 1 m!n!
+ +
= =
+ +
∴
n 1
E
m 1
+
=
+
Rpta.: B
Resolución 11
11! 10! 9! 11·10· 9· 8! 10· 9· 8! 9· 8!
R
121· 8! 121· 8!
+ + + +
= =
11·10· 9 10· 9 9
R
121
+ +
=
∴ R = 9 Rpta.: B

- 3 -
Resolución 14
(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2
(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2
(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2
[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n
[(n–1)!]2[n] = 36n
(n–1)! = 6
(n–1)! = 3!
(n – 1) = 3
∴ n = 4 Rpta.: C
Resolución 12
( ) ( )
( )
n 1 ! n 3 !
2 6
n! n 2 !
 + +
− = 
+ 
( ) ( )( )
( )
2· n 1 n! n 3 n 2 !
6
n! n 2 !
+ + +
− =
+
2n + 2 – n – 3 = 6
∴ n = 7 Rpta.: C
Resolución 13
( )
( )
( )x 6 ! x 2 !
44
x 4 ! x!
+ +
− =
+
( )( )( )
( )
( )( )+ + + + +
− =
+
x 6 x 5 x 4 ! x 2 x 1 x!
44
x 4 ! x!
(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44
8x + 28 = 44
∴ x = 2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
( )
2n!
R n
n 2 !
= −
−
( )( )
( )
2 2 2n n 1 n 2 !
R n n n n
n 2 !
− −
= − = − −
−
∴ R = –n Rpta.: D
Resolución 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
   + − + − + −   = = =
− − −
n n 1 ! n! n n 1 n! n! n· n! n 1 1
M
n 1 ! n 1 ! n 1 !
( )
( )
( )
n·n·n n 1 !n·n·n!
M
n 1 ! n 1 !
−
= =
− −
∴ M = n3 Rpta.: C
Resolución 3
( )
( )
( )
( )
n 2 ! n 2 !
P n n 3
n! n 3 !
+ −
= − + +
−
( )( )
( )
( )( )
( )
n 2 n 1 n! n 2 n 3 !
P n n 3
n! n 3 !
+ + − −
= − + +
−
2
P n= n+ 2n+ 2+ 2
n− 3n− n 2+ −
∴ P = n Rpta.: C
Resolución 4
( )
( )
( )
( )
x 5 ! 2 x 4 !
x 3 ! x 2 !
− −
=
− −
( )−x 5 !
( )−x 3 ( )( )− −x 4 x 5 !
( )−
=
2 x 4 !
( )( )− −x 2 x 3 ( )−x 4 !
1 2
x 4 x 2
=
− −
x–2 = 2x – 8
∴ x = 6 Rpta.: D
Resolución 5
( ) ( )x 2 ! x 1 !
720
x
− + −
=
(x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x
(x–2)!(1+x–1) = 720 x
(x–2)! = 6! x–2= 6
∴ x = 8 Rpta.: B
Resolución 6
( )
( )
( )
( )
n 4 ! n 3 !
25
n 2 ! n 2 !
+ +
− =
+ +
( )( )( )
( )
( )( )
( )
n 4 n 3 n 2 ! n 3 n 2 !
25
n 2 n 2 !
+ + + + +
− =
+ +
n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25
n2 + 6n + 9 = 25
∴ n = 2 Rpta.: C
Resolución 7
( )
( ) ( )
( )
( )
n 1 ! n! 2n 3 !
A
2n 1 ! 2n 2 ! n 2 !
   + + +
=    
+ + + +      
( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
n 1 n! n! 2n 3 2n 2 2n 1!
A ·
2n 1! 2n 2 2n 1! n 2 n 1·n!
 + + + + +
=  
+ + + + + +  
n!
=
n 2+
( )2n 1 !
 
 
+ 2n 3+
2n 3
·
+
 
 
( )( )( )2n 2 2n 1 !+ +
n 2+( )( )n 1 n!+
( )2 n 1
n 1
+
=
+
∴ A = 2 Rpta.: B

- 4 -
Resolución 8
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ +
=
+ + +
n 7 ! n 5 !
10!
n 6 ! n 5 !
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n 7 ! n 5 !
10!
n 6 · n 5 ! n 5 !
+ +
=
+ + + +
( ) ( )
( ) [ ]
n 7 ! n 5 !
10!
n 5 ! n 6 1
+ +
=
+ + +
( )( )
( )
n 7 n 6 !
10!
n 7
+ +
=
+
(n + 6)! = 10!
n + 6 = 10
∴ n = 4 Rpta.: E
Resolución 11
( )
( ) ( ) ( )
−
++ +
2
2 2
13! 13!
10! 11!12! 2 12!11! 11!
( )
( )
2
2
13! 13!
10! 11!12! 11!
−
++
( )
( )
2
2
13·12·11! 13·12·11·10!
10! 11·10!12·11! 11!
−
++
Resolución 9
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
a!! 2 ! 2 a!! 1! a!! 2 a!! 1! 2 a!! 1!
R
a!! 1! a!! 1!
+ − + + + − +
= =
+ +
( ) ( )
( )
a!! 1 ! a!! 2 2
R
a!! 1 !
+ + −
=
+
∴ R = a!! Rpta.: B
Resolución 10
E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!
E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!
E = (n!!–1)! n!! – n!!!
E = n!!! – n!!!
∴ E = 0 Rpta.: C
Resolución 14
( ) ( )
( )
n 2 ! n 12 !
5
n! 11 n !
+ +
= +
+
( )( ) ( )( )
( )
n 2 n 1 n! n 12 n 11 !
5
n! n 11 !
+ + + +
= +
+
(n+2)(n+1) = 5+n+12
n2 + 3n+2 = 5+n+ 12
n2 + 2n = 15
∴ n = 3
∴ Suma valores = 3 Rpta.: C
Resolución 12
(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24
(119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24
(119! 120)x!! =(5!!)24!
(120!)x!! = (5!!)24!
(5!!)x!! = (5!!)24!
x!! = 24! x!! = 4!!
∴ x = 4 Rpta.: B
Resolución 13
( )
5 5 5
5! 4! 3! 5· 4· 3! 4· 3! 3! 3! 20 4 1
= =
+ + + + + +
5 1 4 4
3!· 25 3· 2·1· 5 5· 4· 3· 2·1 5!
= = = Rpta.: D
( ) ( )2 2
13·12 11!
( ) ( )+
2 2
12 1 11!
−
13·12·11· 10!
10! ( )+1 11
( )
( )
2
2
13·12 13·12·11
1213
−
(12)2 – 13· 11
∴ 1 Rpta.: A
ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)
NIVEL I
N° maneras = 6 × 4
∴ N° maneras = 24 Rpta.: D
Resolución 1
Resolución 2
5 pantalones 3 blusas
N° maneras = 5 × 3
∴ N° maneras = 15 Rpta.: C

- 5 -
Resolución 5
3 : anillos:
4 : dedos
N° maneras = 4· 3· 2
Resolución 3
m
2V 20=
( )
m!
20
m 2 !
=
−
( )( )m m 1 m 2 !− −
( )m 2 !−
20=
m(m–1) = 4 × 5
∴ m = 5 Rpta.: C
Resolución 4
A B C D ← asientos
N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3
∴ N° maneras = 360 Rpta.: B
5
5
Resolución 9
...................← Personas
--------------- ← asientos
N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1
Resolución 6
10 : amigas
6 : invitadas
N° maneras = 10
6
10· 9· 8· 7
C
1· 2· 3· 4
=
Resolución 7
n
15
4
 
= 
 
( )( )( )n n 1 n 2 n 3
15
1· 2· 3· 4
− − −
=
n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3
∴ n = 6 Rpta.: B
Resolución 8
x x
5 6C C 28+ =
x x x 1
5 6 6C C C 28+
+ = =
( ) ( )( )( )( )+ − − − −
=
x 1 x x 1 x 2 x 3 x 4
28
1· 2· 3· 4· 5· 6
(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3
∴ x = 7 Rpta.: C
Resolución 14
n 1 n
:
n n 1
+   
   
−   
... (1)
Entonces:
n 1 n 1 n 1
n 1
n n 1 n 1
+ + +     
= = = +     
+ −     
n n n
n
n 1 n (n 1) 1
     
= = =     
− − −     
En (1):
∴
n 1
n
+
Rpta.: D
Resolución 10
Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-
mos.
N° maneras = 4!
Resolución 11
N a b c d 6000= >
6 5 2 3
N° maneras = 1· 3· 2· 1
Resolución 12
8
4
8· 7· 6· 5
C
1· 2· 3· 4
=
∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B
Resolución 13
N abc=
números: {1; 2; 3; 4; 5}

- 6 -
Resolución 15
x
5C 21=
( )( )( )( )x x 1 x 2 x 3 x 4
21
1· 2·3· 4· 5
− − − −
=
x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3
∴ x = 7 Rpta.: E
De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos
De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos
N° maneras = 9· 9 = 81
Quitamos los 9 caminos de ida.
N° maneras = 81 – 9
Resolución 1
Resolución 2
N° maneras = 7· 6 · 5
Resolución 3
Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
N a bc d e
9 8 7 6 5
↓ ↓↓ ↓ ↓
=
N° formas = 9· 8·7· 6· 5
∴ N° formas = 15120 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 4
L I B R O → 5 letras
N° palabras = 5!
∴ N° palabras = 120 Rpta.: B
Resolución 5
25
2
25· 24
C
1· 2
=
∴ N° partidos = 300 Rpta.: D
Resolución 6
N° diagonales = 8
2C N lados− °
N° diagonales =
8 ·7
8
1· 2
−
∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B
Resolución 7
( )
( )
( )+ ++ 
= = 
 + −   
p q ! p q !p q
p p! q!p! p q p !
Además:
+ + +     
= =     
+ −     
p q p q p q
q (p q) q p
∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B
Resolución 8
4 : biólogos → se escogen 2
3 : químicos → se escogen 2
5 : matemáticos → se escogen 3
N° maneras = 4 3 5
2 2 3C · C · C
N° maneras =
4 · 3 3 · 2 5· 4 · 3
· ·
1· 2 1· 2 1· 2· 3
     
     
     
Resolución 9
x
0
10
 
= 
 
..... (1)
Se sabe que:
m
0
n
 
= 
 
⇔ m < n ∧ m > 0
En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9
∴ Producto: 9! Rpta.: D
Resolución 10
n 1 n n n 1
Q
2 1 n 1 n 1
+ −       
= + + +       
− −       
Se sabe que:
m m
n m n
   
=   
−   
+ +   
=   
−   
n 1 m 1
n 1 2
y
n n
n 1 1
   
=   
−   
Luego:
( )n 1 nn 1 n
Q 2 2 n
2 1 1· 2
   ++   
= + = +     
      
∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B
n
+

- 7 -
Resolución 11
n n 1
99
n 1 n 2
−   
+ =   
+ −   
Se sabe que:
m
0
k
 
= 
 
⇔ m < k
n
0
n 1
 
= 
+ 
Luego:
n 1
0 99
n 2
− 
+ = 
− 
n 1
99
(n 1) (n 2)
− 
= 
− − − 
n 1
99
1
− 
= 
 
n – 1 = 99
∴ n = 100 Rpta.: D
Resolución 12
N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1
∴ N° maneras = 120 Rpta.: E
Resolución 13
3 : entradas → se toma 1
3 : de fondo → se toma 1
5 : postres → se toma 1
N° maneras = 3 3 5
1 1 1C · C · C
∴ N° maneras = 45 Rpta.: A
Resolución 1
A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5
= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5
B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +
7(1)(3a)6 + (3a)7
=1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7
C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 +
462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11
= 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9
+ 11b10 – b11
D)
6
1
x
x
 
− 
 
= x6 – 6(x)5·(x-1) + 15(x)4(x-1)2–20(x)3(x-1)3 + 15(x)2(x-1)4 – 6(x)(x-1)5 + (x-1)6
= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6
E)
4
2
2
1
z
z
 
+ 
 
= (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4
=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8
F)
63
4
3 x
4x
 
− 
 
 
= (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +
15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6
=
24 17 10 3 4 11 18729 1215 135 135 9 1
729x x x x x x x
2 16 16 256 512 4096
− − − −
− + − + − +
NIVEL I
BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)

- 8 -
Resolución 3
A) (2x – y)4
coef(t2) = coef(t1+1) = ( )134
2 1
1
 
− 
 
∴ coef(t2) = – 32
B) (3a + b)6
coef(t3) = ( ) ( )
 
= 
 
4 26
3 4 19440
2
C)
10
2 2
x y
y x
 
− 
 
 
coef(t9) = coef(t8+1)= ( ) ( )10 8 88
1 1 45
10
− 
− = 
 
D) (–a + 12)5
coef(t5) = coef(t4+1) = ( ) ( )5 4 4 45
1 12 5·12
4
− 
− =− 
 
E) (p2v2–1)14
coef(t8) = coef(t7+1) =
14
7
 
 
 
(1)14-7(–1)7 = –3432
F) (2x2y + xy3)8
coef(t5) =
 
 
 
8
4
(2)8-4 (1)4 = 1120
Resolución 2
A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 = 11 6 611
x y
6
− 
 
 
∴ t7 = 462x5y6
B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 = 21 4 421
a b
4
− 
 
 
∴ t5 = 5985 a17 b4
C)
10
1 1
a b
 
− 
 
; t10 = t9+1 =
10 9 9
10 1 1
9 a b
−
  −   
    
    
∴ t10 = – 10a-1 b-9
D)
7
2
2
2
x y
xy
 
−  
 
; t8 = t7+1 = ( )
7
7 7
2
2
7 2
x y
7 xy
−    −
       
∴ t8 = –128x-7y-14
E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 = ( ) ( )10 10 1010
2a b
10
− 
− 
 
∴ t11 = b10
F)
4
1
1
xyz
 
− 
 
; t2 = t1+1 = ( ) −   −
   
  
1
4 14 1
1
1 xyz
∴ t2 = –4x-1y-1z-1
10
8
Resolución 4
( )
5 5
2 2 11
3x 3x x
x
− 
− = − 
 
5
2 1
3x
x
 
− 
 
= (3x2)5 – 5(3x2)4(x-1) + 10(3x2)3(x-1)2 – 10(3x2)2(x-1)3 + 5(3x2)(x-1)4 – (x-1)5
5
2 1
3x
x
 
− 
 
= 243x10 – 405x7 + 270x4 – 90x + 15x-2 – x-5
A) coef(t4) = –90
B) t3
C) No existe el término independiente de x:
Resolución 5
( )
12
123 2 1 3
2
2
3xy 2x y 3xy
x y
− − 
− = −  
 
A) tk+1 = ( )
12 k
k
3
2
12 2
3xy
k x y
−
  
−     
tk+1 =
12
k
 
 
 
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
Nos piden:
(x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k = 7
Luego:
tk+1 = t7+1 = t8
B) tk+1 =
12
k
 
 
 
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
(y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k = 6
∴ tk+1 = t6+1 = t7

- 9 -
C) tk+1 =
12
k
 
 
 
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
(x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k = 8
∴ tk+1 = t8+1 = t9
D) tk+1 =
12
k
 
 
 
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k = 3
∴ tk+1 = t3+1 = t4
= ( ) ( ) ( )3 k k 15 6k3
3 1 q
k
− − 
− 
 
(q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k = 1
t1+1 = ( ) ( ) ( )3 1 1 15 6·13
3 1 q
1
− − 
− 
 
∴ t2 = –27q9
Resolución 6
A) (2p + q)11
tk+1 =
11
k
 
 
 
(2p)11-k(q)k
qk = q9 k = 9
tk+1 = t9+1 = t10 =
11
9
 
 
 
(2p)11-9(q)9
∴ t10 = 220 p2q9
B)
10
1
q
pq
 
−  
 
tk+1 =
k
10 k10 1
q
k pq
−   −
   
  
( ) ( ) ( )k k 10 2k10
1 p q
k
− − 
= − 
 
(q)10-2k = q9 10 – 2k = 9
=
1
k
2
Como k ∈
∴ No existe el término
C) (p2 – q3)7
tk+1 = ( ) ( )
7 k k
2 37
p q
k
− 
− 
 
( ) ( ) ( )k 14 2k 3k7
1 p q
k
− 
= − 
 
(q)3k = q9 3k = 9 k = 3
Luego:
t3+1 = ( ) ( ) ( )3 14 2·3 3·37
1 p q
3
− 
− 
 
∴ t4 = –35p8 q9
D)
3
5 1
3q
q
 
− 
 
tk+1 = ( )
−   −
   
  
k
3 k
53 1
3q
k q
Resolución 7
( )
10
2 x 3+
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 910
2 x 3 2x 2 x 3
1
 
+ = +  
 
( ) ( )
8 210
2 x 3
2
 
+  
 
∴ ( )
10 10 9 8
2 x 3 32x 160 6 x 2160x ...+ = + + +
Resolución 8
(1 + 3x2)6
tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( )
k6 k k 2k26 6
1 3x 3 x
k k
−   
=   
   
t0+1 = ( ) ( )0 2·06
3 x
0
 
 
 
t1 = 1
t6+1 = ( ) ( )6 2·66
3 x
6
 
 
 
t7 = 729x12
Luego:
t1 · t7 = 1· 729x12
∴ Producto de los coeficientes = 729
NIVEL II
Resolución 1
(x – 3y)5
t6 = t5+1 = ( ) ( )5 5 55
x 3y
5
− 
− 
 
∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D
Resolución 2
(2 – x)11
t8 = t7+1 = ( ) ( )11 7 711
2 x
7
− 
− 
 
t8 = –5280x7
∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D

- 10 -
Resolución 3
(2a + b)5
t2 = t1+1 = ( ) ( )− 
= 
 
5 1 1 45
2a b 80 a b
1
∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C
Resolución 8
n
2 x
x 2
 
+ 
 
tk+1 = ( ) ( )
n k K
n 2k 2k nn n2 x
2 x
k kx 2
−
− −      
=      
      
Para el término independiente:
(x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2k
Pero: k + 1 = 4 k = 3
Entonces: n = 2· 3 n = 6
Luego: tk+2 = t3+2 = t5
t5 = ( ) ( )6 8 8 6 26 15
2 x x
4 4
− − 
= 
 
∴ coef(t5) =
15
4
Rpta.: C
Resolución 9
13
3 2
5
x 1
2 x
 
 +
 
 
( )( ) ( )
−
−
−
+ =
k13 k
2 1
13
1 3 5k 1 kt 2 x x
tk+1 = ( ) ( )
−− 
 
 
26 13k
k 13
3 15
13
2 x
k
El término indenpendiente:
( )
26 13k
0
3 15x x
−
=
26 13k
0
3 15
− = k=10
tk+1 = t10+1 = t11
Nos piden el t10 k = 9
t10 = ( ) ( )
26 13·9
9 13
3 1513
2 x
9
− − 
 
 
∴ t10 =
13
15715
x
16
Rpta.: A
Resolución 4
7
y
3x
2
 
− 
 
La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos
∴ No hay término central Rpta.: E
Resolución 5
(2x – y)6
t4 = t3+1 = ( ) ( )6 3 36
2x y
3
− 
− 
 
∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D
Resolución 6
4
2
1
x
x
 
− 
 
tk+1 = ( ) ( ) ( )
k
4 k k 4 3k
2
4 41
x 1 x
k kx
− −   − 
= −    
    
Del dato:
x4-3k = x0 4 – 3k = 0
4
k
3
=
Como k∈
∴ No hay término independiente
Rpta.: E
Resolución 7
(2x – 1)5
tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − −   
− = −   
   
5 k k 5 k k 5 k5 5
2x 1 2 1 x
k k
t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )5 2 2 5 2 35
2 1 x 80x
2
− − 
− = 
 
t5 = t4 + 1 = ( ) ( ) ( )5 4 4 5 4 x5
2 1 x 10
4
− − 
− = 
 
Luego:
3
5
t
72
t
=
3
80x
72
10x
=
∴ = ±x 3 Rpta.: C
Resolución 10
120
1
x
x
 
+ 
 
tk+1 = ( )
k
120 k 120 2k120 1201
x x
k kx
− −    
=    
    
Como es de grado 100
120 – 2k = 100 k = 10
∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E

- 11 -
Resolución 11
9
2 0,5
0,4x
x
 
+ 
 
tk+1= ( )
k9 k
29 0,5
0,4x
k x
−   
   
  
( ) ( ) ( )9 2k k 9 18 3k9
2 5 x
k
− − − 
=  
 
Término independiente:
(x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k = 6
Luego: t6+1 = ( ) ( ) ( )9 2·6 6 9 18 3·69
2 5 x
6
− − − 
 
 
t7 = 0,084 Rpta.: C
Resolución 12
(1 + x)3n
tk+1 = ( ) ( )3n k k k3n 3n
1 x x
k k
−   
=   
   
tk+2 =
k 13n
x
k 1
+ 
 
+ 
t2k-3 =
2k 43n
x
2k 4
− 
 
− 
Como los coeficientes son iguales se tiene:
3n 3n
k 1 2k 4
   
=   
+ −   
(k + 1) + (2k – 4) = 3n
3k – 3 = 3n
∴ k = n+1 Rpta.: A
BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
Pág. 58
Resolución 5
( )−
1
51 2x
( ) ( )
1
44
5
1 1
5 4 1 2x5 1 45
4 4
t T
16x
−
 
 =+ − =
 
 
 
=  
 
4
1 1 1 1
1 2 3
5 5 5 5
·16x
1· 2· 3· 4
     
− − −     
     
 
 
 
421
16x
625
− 
=  
 
∴ t5 =
4336
x
625
−
Resolución 7
3
E
33
− 
=  
 
( )( )( )( ) ( )3 3 1 3 2 3 3 ..... 3 32
E
1· 2· 3· 4· 5·.....·33
− − − − − − − − −
=
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )− − − − − − − −
= =
31
3 4 5 6 ·..... · 35 1 34 35
E
1· 2· 3· 4· 5 ·..... · 33 1· 2
∴ E = –595
Resolución 8
15 15 15
E
3 4 5
− − −     
= + +     
     
15 1 15
E
4 5
− + −   
= +   
   
14 15
E
4 5
− −   
= +   
   
( )( )( )( )− − − −
=
14 15 16 17
E
1· 2· 3· 4
Resolución 6
1
1 2
31
x
4
 
 +
 
 
t4 = t3+1 =
31
3 1
2
3
1 1
1
2 2x 32x4
3 3
−    
     
  =        
    
    
− −          = = ⋅    
 
 
4
1 1 1
1 2
12 2 2
t 32x 32x
1· 2· 3 16
∴ t4 = 2x

- 12 -
Resolución 10
2
931
x x
2
−
−− 
− 
 
( ) ( ) ( )
k
3k2 k 9 6k 21 3 2k 1 2
2 2
t 2 x2 x x kk
− − −+−− −
+
 −   − =    =     
Término indenpendiente:
3k
6 0
2
− = k = 4
Entonces:
t4+1 = t5 = ( ) ( )
−+− 
 
 
3·4
64 2 2
2
2 x
4
t5 =
( )( )( )( )
( )62 3 4 5
2
1· 2· 3· 4
− − − −
∴ t5 = 320
Resolución 9
( )
1
2 2x 3−
t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )
− −
   
   
− =      
   
1
2 322 2
1 1
2 2 x 9x 3
2 2
t3 = ( )3
3
1 1
1
92 2
9x
1· 2 8x
−
  
−   −   =
Si: x = 3 t3 = 3
9
8· 3
−
∴ t3 = (–24)-1
( )( )( )( )( )15 16 17 18 19
1· 2· 3· 4· 5
− − − − −
+
∴ E = – 9248
CAPÍTULO 3
LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)
NIVEL I
Resolución 1
log a = x
log 10a = log10 + loga = 1 + loga
∴ log10a = 1 + x Rpta.: E
Resolución 2
log p = x
3 1
log p logp
3
=
∴ 3 x
log p
3
= Rpta.: D
Resolución 3
loga = m ; logb = n
( )
a 1 a 1
log log loga logb
b 2 b 2
 
= = − 
 
∴
a m n
log
b 2
−
= Rpta.: B
Resolución 4
log 103 = 3log10 = 3· 1
∴ log 103 = 3 Rpta.: D
Resolución 5
5 2
log x 0,4=
2
5 2
log x
5
=
2 2
logx
5 5
=
∴ logx = 1 Rpta.: B
Resolución 6
log p = q
p
log logp logr
r
 
= − 
 
∴
p
log q logr
r
 
= − 
 
Rpta.: B
Resolución 7
logx + log
 
 
 2
1
x
= logx + logx-2 = logx – 2logx
∴ logx + log
 
 
 2
1
x
= –logx Rpta.: C
Resolución 8
= = =
2
3 3
5 5 5
2 2
log 25 log 5 log 5 ·1
3 3
∴
3
5
2
log 25
3
= Rpta.: D

- 13 -
Resolución 10
log2 a = x
x + 1 = log2 a + log2 2
∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D
Resolución 9
logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103
= logx–log1000
∴ logx–3 =
x
log
1000
 
 
 
Rpta.: E
Resolución 18
log0,01+
0,3
log 0,0081= log10-2 + 4
0.3
log (0,3)
= –2log10 + 4
(0,3)
log (0,3)
= – 2 + 4 = 2 Rpta.: C
Resolución 19
2 2 2
log 0,25 log 0,125 log 0,0625+ −
( )( ) ( )
( )2 2
0,25 0,125 0,03125
log log
0,0625 0,0625
=
1
2 2 2
log (0,5) log 2 1log 2−
= = −
= – 1 Rpta.: E
Resolución 20
2 3 5
1 1 1
log log log
16 81 125
     
− +     
     
4 4 3
2 3 5
log 2 log 3 log 5− − −
− +
2 3 5
4log 2 4log 3 3log 5− + −
– 4 + 4 – 3
∴ –3 Rpta.: D
Resolución 21
log3 = 0,47 , log5 = 0,70
log75 – log125 + log45 =
375· 45
log log27 log3 3log3
125
= = =
= 3(0,47)
=1,41 Rpta.: B
Resolución 11
log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)
log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)
Rpta.: D
Resolución 12
log(x2–x) = logx(x–1)
∴ log(x2–x) = logx + log(x–1)
Rpta.: A
Resolución 13
= =
5
11
3 2 3
612
36 36
56
11 12
log 216 6 log 6 : log 6
3 5
55
36
= Rpta.: C
Resolución 14
0,4
log 0,064 x= 3
0,4
log (0,4) x=
0,4
3log 0,4 x=
∴ x = 3 Rpta.: D
Resolución 15
2
3
log x 2= −
2
2
x
3
−
 
=  
 
9
x
4
=
Rpta.: E
Resolución 16
− −
− + = −
22 2
(a b) (a b)
log (a 2ab b ) log (a b)
(a b)
2 log (a b) 2
−
= − = Rpta.: E
Resolución 17
log 100 +
2 5
log 128 log 625−
log 102 +
7 4
2 5
log 2 log 5−
2log 10 +
2 5
7log 2 4log 5−
2 + 7 – 4
5 Rpta.: B
Resolución 22
log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70
log35 – log14 =
35
log
14
5
log log5 log2
2
= = −
log 35 – log14 = 0,70 – 0,30
∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B

- 14 -
Resolución 25
22
log (5x 3) log x 1− − =
−
=
2 2
(5x 3)
log log 2
x
5x 3
2
x
−
= 5x – 3 = 2x
∴ x = 1 Rpta.: B
Resolución 26
33
log (2x 21) log x 2+ − =
+ 
= 
 
2
3 3
2x 21
log log 3
x
22x 21
3
x
+
=
2x + 21 = 9x
∴ x = 3 Rpta.: A
Resolución 27
log a + logb = log(a + b)
log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b
∴
b
a
b 1
=
−
Rpta.: D
Resolución 23
36 36
2 3
1 1
log (2) log (3)
log 36 log 36
+ = +
3636
log (2· 3) log 6= =
1
2
36 36
1
log (36) log 36
2
= =
1
2
= Rpta.: C
Resolución 24
2
log 3 x=
6
24 24 24
log 64 log 2 6log 2= =
2 2
1 1
6 6
log 24 log (8· 3)
   
= =   
   
2 2 2
1 1
6 6
log 8 log 3 3log 2 x
   
= =   
+ +   
6
3 x
=
+
Rpta.: B
Resolución 28
( )
log 2log 2
33 5
243 3=
5log 2log 2 5·log 2
3 33 5
243 (3) (3) 2= = =
∴
log 2
3
243 32= Rpta.: E
Resolución 29
logx + log(x–3) = 1
logx (x–3) = log10
x(x–3) = 10
∴ x = 5 Rpta.: C
Resolución 30
logx log3
10 10 2x 5− = −
x – 3 = 2x – 5
∴ x = 2 Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1
2 2
1
log x
16
 
= 
 
( )=
x1
2 2
16
3x
4 2
2 2
−
=
3
4 x
2
− =
∴
8
x
3
= − Rpta.: A
Resolución 2
(I) 2
log 32 5= 32 = 25 ... (V)
(II) 2000
log 1 0= 1=(2000)0 .... (V)
(III)
2
1
log 4
16
 
= − 
 
41
2
16
−
= ... (V)
∴ VVV Rpta.: D
Resolución 3
12
log 27 a=
4
2 2
6
2 2 2 2
log 2 4log 2
log 16
log 2 log 3 log 2 log 3
= =
+ +
6
2
4
log 16
1 log 3
=
+
........................... (1)

- 15 -
Resolución 4
2 3 10234 5
log 3 ·log 4 · log 5·log 6.....log 1024
log3 log4
·
log2 log3
log5
·
log4
log6
·
log5
log1024
.....
log1023
10
log1024 log2
10
log2 log2
= = Rpta.: B
Resolución 5
log2 = a ∧ log3 = b
( )3 2 22 2
log 75 log75 log 5 · 3
3 3
= =
[ ]22 2
log5 log3 2log5 log3
3 3
 = + = +
 
2 10
2log log3
3 2
  
= +  
  
( )
2
2 log10 log2 log3
3
 = − + 
( )
2
2 1 a b
3
 = − + 
∴ [ ]3 2 2
log 75 b 2a 2
3
= − + Rpta.: D
Resolución 6
2 4 6
logx
7 5 11 7 11 5
= + −
+ + +
( )( )( )
0
7 5 11 7 11 5
=
+ + +
logx = 0 x = 100
∴ x = 1 Rpta.: B
Pero:
12
log 27 a= 2
2 2
3log 3
a
2log 2 log 3
=
+
2
2
3log 3
a
2 log 3
=
+ 2
2a
log 3
3 a
=
−
Reemplazando en (1)
6
4
log 16
2a
1
3 a
=
+
−
∴
6
12 4a
log 16
3 a
−
=
+
Rpta.: E
Resolución 10
5
log 2 a= ∧ 5
log 3 2b=
( )2
5 5 5
1 1
log 300 log 300 log 10 ·3
2 2
 = =   
[ ]2
55 5 5
1 1
log 10 log 3 2log 10 log 3
2 2
 = + = +
 
( )5 5 5
1
2 log 5 log 2 log 3
2
 = + + 
( )
1
2 1 a 2b
2
 = + + 
∴
5
log 300 a b 1= + + Rpta.: E
Resolución 7
log2 = x 2 = 10x
2 2 2
2,5
log 2,5 log (0,4) log
0,4
 
− =  
 
2
22 2
5 5
log 2log
22
 
= =  
 
[ ]2 22 2
10
2 log 2 log 10 2log 2
2
  
= = −  
  
x
10
1
2 log 10 2 2 2
x
  = − = −     
2 4x
x
−
= Rpta.: D
Resolución 8
( )
log y
5
5
log x y=
( )
log y
5
5
log log x logy  =
  
( )55
log y log log x logy  = 
( )=
5
log log x log5
5
log x 5=
x = 55 = 3125
∴ cifras 11∑ = Rpta.: C
Resolución 9
( )
1 2 22 122 2
5 4
1 13 3 33
log 4 log 4
log 2 log 2
E
log 243 log 81 log 3 log 3
−
−
+
+
= =
+ +
2 2
E
5 4
−
=
−
∴ E = 0 Rpta.: E
Resolución 11
log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1
log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10

- 16 -
( )( )2 x 3 x
log log10
2
− −
=
( )( )2 x 3 x
10
2
− −
=
Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2
∴ CS = {7; –2} Rpta.:
Resolución 12
2 2x
log x 8log 2 3− =
logx 8log2
3
log2 2logx
− =
2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2)2 = 0
2logx 2 log2
logx – 4log2
(1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2
(2) : logx – 4log2 = 0 logx = log24
x = 16
Luego: x 16=
∴ x 4= Rpta.: D
Resolución 13
1
log x 21 1 logx
2
− = −
1
2
log x 21 log10 logx− = −
10
log x 21 log
x
− =
10
x 21
x
− = x(x–21) = 100 = 4· 25
∴ x = 25 Rpta.: A
Resolución 14
x + log(1+2x) = xlog5 + log72
log10x + log(1+2x) = log5x + log72
log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]
10x(1+2x) = 5x· 72
2x x
5 (1+2x) = x
5 ·23· 32
2x(1+2x) = 23· 32 2x(1+2x)=23(1+23)
∴ x = 3 Rpta.: C
Resolución 15
2
2 2log x log x
2 x 1024+ =
( )2 2
log x
2
log x log x 10
2 x 2+ =
log x log x 102 2
x x 2+ =
log x 102
2· x 2=
log x
2 9
x 2= ( )
log x
2 9
2 2log x log 2  =  
2 2 2
log x · log x 9log 2= ( )2
2
log x 9=
2
log x 3= ±
3
3
2 x x 8
1
2 x x
8
−
 = ⇒ =


= ⇒ =

Suma =
1
8
8
+
∴ Suma =
65
8
Rpta.: D
Resolución 16
2
2 3x x
log a log a k+ =
x x
1 2
log a log a
2 3
+ = k
x
6k
log a
7
=
a
1 6k
log x 7
=
∴ a
7
log x
6k
= Rpta.: C
Resolución 17
2
3 x
logx log16 log
2
 
− =  
 
 
logx3 – log24 = logx2 – log2
logx3 – logx2 = 4log2 – log2
3
3
2
x
log log2
x
 
= 
 
 
x = 23
∴ x = 8 Rpta.: E
Resolución 18
 
= = 
 
6
logx
6
10
x 0
x
[ ]
 
=  
 
6
logx
6
10
log x log
x
6
logx ·logx 6 log10 log x = −
 
(logx)2 = 6 – logx
(logx)2 + logx – 6 = 0
Resolviendo:
x1 = 102 ∧ x2 = 10-3
Luego: x1 · x2 = 102· 10-3
∴ x1 · x2 = 10-1 Rpta.: B

- 17 -
Resolución 19
( ) ( )− + − =
logn
n 10
log 2x 1 log x 1 n
log(2x–1)n + log(x–1)n = n
n log(2x–1) + nlog(x–1) = n
log(2x–1) + log(x–1) = log10
log(2x–1)(x–1) = log10
(2x–1)(x–1) = 10
∴ x = 3 Rpta.: B
Resolución 23
antilogx· antilogx x = 16
antilogxxx = 16
xx
x 16=
x 2x 2
x 2= x = 2
Resolución 20
x ab x ab ab+ − − =
x ab x ab logy+ + − =
(x + ab)–(x – ab) = ab logy
2ab = ab logy 2 = logy log102 = logy
∴ y = 100 Rpta.: E
Resolución 21
2 x
x
log x log 2 5
2 log 2 3
+
=
−
2
2
2
1
log x
5log x
1 32
log x
+
=
−
( ) ( )2
2 2
3 log x 3 10 log x 5+ = −
( )2
2 2
3 log x 10·log x 8 0− + =
Resolviendo: 1x 4= ∧ 3
2x 2 2=
Luego: x1· x2 = 3
4 ·2 2
∴ x1· x2 = 3
8 2 Rpta.: B
Resolución 22
log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,47
2x = 24 2x = 23· 3
log2x = log(23· 3)
xlog2 = 3log2 + log3
x(0,3) = 3(0,3) + 0,47
∴ x = 4,5 Rpta.: B
Luego: x3 = 23
∴ x3 = 8 Rpta.: E
Resolución 24
4 2 36
antilog x antilog · colog 3 log 3=
1
2
3
24 6 3
antilog x antilog · colog ·log 3=
24 6
antilog x antilog · colog 6=
( ) ( )2
2 24 66
antilog x antilog · log 6 antilog · log 6= − = −
( )24
antilog x antilog 2= −
4x = 2-2 22x = 2-2
∴ x = –1 Rpta.: D
Resolución 25
2 2
16 8log x log x 4+ = −
Sea: log2x = a
16 8a a 4+ = − 16 +8a=a2 – 8a + 16
a = 16 log2x = 16 logx = ± 4
logx = log104
∴ x = 104 Rpta.: B
Rsolución 26
( )( )( )Ln Ln Ln Lnx 0=
( )( )( )Ln Ln Ln Lnx Ln1=
( )( )Ln Ln Lnx 1= [ ] 1
Ln Lnx e=
Lnx = ee
∴ x=
ee
e Rpta.: D
Resolución 27
Lnx
13
Lnx 42 Lnx+ =
Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx
(Lnx)2 + 42 = 13· Lnx
(Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0
Resolviendo la ecuación de 2do grado:
Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6
Lnx1 = 7 x1 = e7
Lnx2 = 6 x2 = e6
x1· x2 = e7· e6
∴ x1· x2 = e13 Rpta.: E
(x)




- 18 -
Resolución 29
x2 – y2 = 11
logx – logy = 1
x
log log10
y
 
= 
 
x
10
y
= x = 10y
Resolución 28
3
5 5
R colog 0,04 antilog 2= +
2
55 5 5
1 100
colog 0,04 log log log 5 2
0,04 4
= = = =
2
5
antilog 2 5 25= =
Entonces:
3
R 2 25= +
∴ R = 3 Rpta.: C
Resolución 30
1+ 2logx – log(x+2) = 0
log10 + logx2 = log(x+2)
log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2
10x2 – x – 2 = 0
Resolviendo: 1
1
x
2
= ∧ 2
2
x
5
= − (no)
∴ C.S =
 
 
 
1
2
Rpta.: C
Entonces:
(10y)2 – y2 = 11
1
y
3
= ∧
10
x
3
=
Por lo tanto:
+ = +
10 1
x y
3 3
∴
11
x y
3
+ = Rpta.: D
CAPÍTULO 5
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)
Resolución 1
Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-
ces:
(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180°
30x – 30 = 180
x = 7 Rpta.: C
Resolución 2
Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativos
tenemos:
• Se observa que:
(–θ)+ x = 180°
x – θ = 180° .... (1)
• Además:
(–α) + 90° + β = 180°
–α + β = 90°
–2α + 2β = 180° .... (2)
• Igualando 1 y 2 :
x – θ = –2α + 2β
x = θ + 2β – 2α Rpta.: D
Resolución 3
En la figura se observa que:

- 19 -
• Entonces se cumple:
(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°
ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270
(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0
• Aplicando la definición de polinomios
identicamente nulo se tiene:
− = → =

− = → =
 − = → =
a m 0 a m
b n 0 b n
c p 0 c p
• Finalmente:
a b c
1 1 1
m n p
+ + = + +
a b c
3
m n p
+ + = Rpta.: E
Resolución 4
Analizando la figura se tiene que:
θ+(–α)+ β = 2 vueltas
θ – α + β = 2(360°)
θ – α + β = 720° Rpta.: A
Resolución 5
Analizando el gráfico observamos que:
θ + x = –720°
– α + x = –360°
θ –(–α) = –360°
θ = –360° – α Rpta.: C
Resolución 6
Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° se
obtiene:
3106 360
134 9
− ° °
° −
854 360
134 2
° °
°
5186 360
146 14
° °
°
Observando los residuos de estas divisiones se concluye
que:
α y β son coterminales Rpta.: A
Resolución 7
De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:
(11x + 50°) –(–560°) = 720°
11x + 610° = 720°
x = 10° Rpta.: B
Resolución 8
Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ.
• Luego de acuerdo al enunciado:
i) 0° < a < 90°
ii)
1 7 13
α β θ
= = 7
13
α = α

β = α
θ = α
• Además: θ – β = 360°n
13α – 7α = 360° n
α = 60° n
n = 0 → α = 0° ¡No!
n = 1 → α = 60° ¡Si !
n = 2 → α = 120° ¡No !
∴ θ = 13(60°)
θ = 780° Rpta.: A
Resolución 9
Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton-
ces:
19
3
α
=
β
→
19
3
α = β ... (1)
α – β = 360°n ... (2)
• Reemplazando (1) en (2):
19
360 n
3
β − β = °
16
360 n
3
β = ° → β = 67,5°n
• Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:
n = 1 → β = 67,5°
• Luego en (1) tenemos:
( )
19
67,5
3
α = ° → α = 427,5°
∴ α = 427 30'° Rpta.: A
Resolución 10
Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:
α – β = 360°n
(7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°n
10x2 = 360n
x = 6 n

- 20 -
Para que a tome su mínimo valor, x ∈ +
tambien debe
tomar su mínimo valor, entonces:
n = 1 → x = 6
Finalmente:
α = (7·62 + 1)°
α = 253° Rpta.: D
Resolución 11
Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces:
α + β = 600° ... (1)
α – β = 360°n ... (2)
• De 1 y 2 :
α = 300° + 180° n
pero: 400° < α < 600°
n = 0 → α = 300° ¡No!
n = 1 → α = 480° ¡Si!
n = 2 → α = 660° ¡No!
En 1: 480° + β = 600°
β = 120° Rpta.: C
Resolución 12
En la figura se cumple que:
x + α° + (–β)° = 180°
x = 180° – ( )
Suplem.(x)
α° −β°
∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B
Resolución 13 Del enunciado:
3θ + 2x = 18° ... (1)
• En la figura se observa que:
2θ − 3x = 90° ... (2)
• Resolviendo 1 y 2 :
Resolución 14
Siendo α y β ángulos coterminales tal que:
β – α = 360° n ... (1)
1
5
α
=
β
→ β = 5α ... (2)
• Reemplazando 2 en 1:
5α – α = 360°n
α = 90°n
pero: 100° < α < 200°
n = 2 → α = 180°
• En 2 :
β = 5(180°)
β = 900° Rpta.: E
Resolución 15
Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cada
ángulo entre 360°:
1370 360
290 3
° °
°
2450 360
290 6
° °
° °
3310 360
290 10
− ° °
° −
• Observamos que los residuos son iguales, luego:
α, β y θ son coterminales Rpta.: D
3θ + 2x = 18° (x3)
→ 9θ + 6x = 54°
2θ – 3x = 90° (x2)
→ 4θ – 6x = 180°
13θ = 234°
θ = 18°
• Reemplazando en 1:
3(18°) + 2x = 18°
x = –18°
• Finalmente:
E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176)
CAPÍTULO 6
NIVEL I
Resolución 1
• De 1:
36° < > Ag Ag = 36° ×
g
g10
40
9
=
°
A = 40
• De 2 :
B° <> 60g B° =
g
g
9
60
10
°
× = 54°
B = 54
• Nos piden:
M = 3(54) –4(40) = 162 – 160
M = 2 Rpta.: B
Resolución 2
Realizando las conversiones al sistema sexagesimales:
30g ⇔ 30g × g
9
27
10
°
= °
rad
9
π
< >
180
20
9
°
= °

- 21 -
• Reemplazando en la expresión pedida:
45 27 72
E
20 20
° + ° °
= =
° °
E = 3,6 Rpta.: C
Resolución 4 Tenemos que:
S C
n
9 10
= = →
S 9n
C 10n
=

=
• Reemplazando en la condición dada:
( ) ( )2 9n 9 10n 4
3 2
− +
=
6n – 3 = 5n + 2 → n = 5
• Nos piden “S” , entonces:
S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C
Resolución 5
• Sabemos que:
180R
S
200R
C

= π

 =
 π
200R 180R
3− =
π π
20R
3=
π
3
R
20
π
= rad Rpta.: E
Resolución 3 Recordemos que:
S C R
k
180 200
= = =
π
→
S 180k
C 200k
R k
=

=
 = π
Reemplazando en la expresión pedida:
( )( )
( )
2
2
2 200k 180k 2 200k 180k
P
400 k
π × + × −
=
π
( )( )2
2 2
580k 220k 580 220
P
400 k 400
π ×
= =
π
P = 319 Rpta.: A
Resolución 9
• Teniendo en cuenta que:
S = 180K ; C = 200K , R = πK
180K 200K
14
6 5
+ =
70K = 14 →
1
K
5
=
∴
1
R
5
 
= π 
 
R
5
π
= rad Rpta.: A
Resolución 10
• Calculando la suma tenemos:
( )360 360 1
64980
2
°
 +
α = = ° 
 
Resolución 6
• Se tiene que:
180
rad 3,75 3 45'
48 48
π °
< > = ° = °
∴ A°B’ = 3°45’ →
A 3
B 45
=

=
• Nos piden:
33A
3 3
B 45 27 3
5 5
= × = =
A
3
B 3
5
= Rpta.: C
Resolución 7 Sabemos que:
S C
9 10
= → 10S = 9C → 10S – 9C = 0
• Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:
[ ]
0
E 2R 1= + π =
E = 1 Rpta.: B
Resolución 8
• De la condición tenemos:
S = 2n + 2 (x3)
→ 3S = 6n + 6
C = 3n – 4 (x2)
→ 2C = 6n – 8
3S – 2C = 14 ... (I)
• En I se tiene que:
180R 200R
3 2 14
   
− =   π π   
540R 400R
14− =
π π
140R = 14 π
R
10
π
= rad Rpta.: D

- 22 -
• Expresamos “α” en radianes:
rad
64980 361 rad
180
π 
α = °× = π ° 
∴ α = 361 πrad Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1
• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te-
nemos:
13g90m<> 13,9g <> 13,9g × g
9
10
° 
 
 
13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’
A°B’C’’ = 12°30’36’’ →
A 12
B 30
C 36
=

=
 =
• Reemplazando en lo pedido:
A C 12 36
1,6
B 30
+ +
= = Rpta.: C
Resolución 2
• Sabemos que: S = 180K
C = 200K
R = πK
• Reemplazando en la expresión a reducir:
( )
( )
2 2 2
2 2
40000K 32400k
U
76 K
− π
=
π
2 2
2 2
7600K
U 100
76 K
π
= =
π
Rpta.: D
Resolución 3
• En la condición tenemos:
C S 19
SC 72
+
=
200K 180K 19
180K·200K 72
+
=
2
380K 19
36000K 72
= →
1
K
25
=
∴
1
R
25 25
π 
= π = 
 
rad Rpta.: A
Resolución 4 Del enunciado:
Resolución 5
• Expresando la medida de los ángulos del cuadrilatero
en el sistema sexagesimal tenemos:
m( Â ) = (13x + 10)°
m ( ˆB ) = 25(x + 1)g · g
9 45
(x 1)
10 2
° 
= + ° 
 
m( ˆC ) = 90°
m( ˆD ) =
x 180
rad· 12x
15 rad
π °   
= °   π   
• Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos:
m( Â )+ m( ˆB )+ m( ˆC ) + m( ˆD ) = 360°
(13x + 10)° +
45
2
(x+1)° + 90° + 12x° = 360°
13x + 10+
45
2
x +
45
2
+12x = 270
95 475
x
2 2
= → x = 5 Rpta.: C
Resolución 6
• Trabajando en la condición:
180R 200R
4 3 10R 12
   
− + = + π   π π   
120R
10R 12+ = + π
π
120R + 10Rπ = (12+π)π
10R(12+π) = (12+π)π
∴ R
10
π
= rad Rpta.: E
Observación:
El problema también lo podemos resolver aplicando
el siguiente método:
4S – 3C + 10R = 12 + π
Igualamos los términos
que presentan la constantes “π”
10R = π → R
10
π
= rad
ˆˆ Â B C 180+ + = °
α – 12° + α + α + 12° = 180°
∴ α = 60°
• Se observa que el menor ángulo es A, entonces:
Â = 60° – 12° = 48° <> 48°×
rad
180
π 
 ° 
4Â rad
15
π
= Rpta.: D

- 23 -
∆APQ (ángulo exterior)
x = 20° + y
x – y = 20° ·
rad
180
π 
 ° 
x – y = rad
9
π
Rpta.: D
Resolución 10
• Elevando al cuadrado la condición tenemos:
[ ]
2
2R
2 3 5
R
 π
+ = 
π  
   π π
+ + =   
π π      
4R R 9
2 2 3 25
R R
Resolución 7
• De la propiedad de las proporciones notamos que:
2C S 5 9R
2C S 5 9R
+ π +
=
− π −
→
2C 5
S 9R
π
=
10 5
2
9 9R
π 
= 
 
→ R
4
π
= rad Rpta.: B
Resolución 8
• A partir de la condición hallamos el valor de “x”:
S C
9 10
= →
2
x 1 9x 2
9 10
− −
=
10x2 – 81x + 8 = 0
(10x – 1)(x – 8) = 0 →
1
x
10
x 8

=

 =
pero: x∈ → x = 8
• Reemplazando tenemos:
S = (8)2 – 1 = 63
R = 63
180
π 
 
 
→
7
R
20
π
= rad Rpta.: B
4R 9
12 25
R
π
+ + =
π
4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0
(R – π)(4R – 9π) = 0
i) R = π → S = 180°
ii)
9
R
4
π
= → = = °
9(180)
S 405
4
• Nos piden el mayor valor, entonces
S = 405° Rpta.: C
Resolución 9
• Analizando la figura tenemos:
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 1
• Resolviendo la ecuación dada tenemos:
4
18 S 3 S− =
4
S 3 S 18 0+ − =
( )( )4 4
S 6 S 3 0+ − =
i) 4
S 6= − ¡Absurdo!
ii) 4
S 3= → S = 81°
∴
9
R 81
180 20
π π 
= = 
 
rad Rpta.: A
Resolución 2
• Reemplazando los datos en la igualdad:
S C
9 10
= →
2 2
3x x 8 2x 5x 5
9 10
+ − + +
=
12x2 – 35X – 125 =0
(12X +25)(X – 5) = 0 →
25
x ¡No!
12
x 5
−
=

 =
• Reemplazando el valor de “x” se obtiene:
S = 3(5)2 + (5) –8 = 72
∴
2
R 72
180 5
π π 
= = 
 
rad Rpta.: C
Resolución 3
• A partir de los datos tenemos:

- 24 -
m( ˆA ) = m( ˆB) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g
5x 3 7x 25
9 10
− −
= → x = 15
• Luego:
m( ˆA ) = (5×15–3)° = 72°
m( ˆB ) = 72°
m( ˆC ) = 180° – 72° – 72° = 36°
∴ m( ˆC ) = 36° ×
rad
rad
180 5
π π
=
°
Rpta.: B
Resolución 4
• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ)
α = (a – r)° α + β + θ =
1
4
(180°)
β = a° (a–r)°+a°+(a+r)°=45°
θ = (a + r)° ∴ a = 15
• Además:
a + r = (a –r)2
15 + r = (15 – r)2
r2 – 31r + 210 = 0
(r – 21)(r – 10) = 0 →
r 21 ¡No!
r 10
=

=
∴ α = (15 – 10)° = 5°
α = 5°×
rad
rad
180 36
π π 
= ° 
Rpta.: A
Resolución 5
• En la figura se cumple que:
xm <> – yll →
g 0
x y
100 3600
   
< > −   
   
S C
9 10
= →
y x
3600 100
9 10
−
=






y x
162 5
−
= →
x 5
y 162
= − ... (I)
• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos:
333
75x 75 5 125
4y 4 162 216
 
= − = − 
 
∴ 3
75x 5
4y 6
= − Rpta.: E
Resolución 6
• Recordemos la siguiente propiedad algebraica:
ab = 1 →
I. b 0 a 0
II. a 1 b
= ∧ ≠

= ∧ ∈
• Analizando para el caso I :
C – S – 1 = 0
C – S = 1
200R 180R
1− =
π π
R
20
π
= →
S 9
C 10
=

=
Pero si reemplazamos en la condición del problema
se observa que:
× 
− − = 
 
0
2 9 10
1 1
9 10
00 = 1 ¡Absurdo!
• Analizando para el caso II :
2S C
1 1
9 10
− − =
20S – 9C = 180
180R 200R
20 9 180
   
− =   
π π   
R
10
π
= →
S 18
C 20
=

=
Comprobando en la condición del problema tenemos:
[ ]
(20 18 1)
1 1
− −
=
11 = 1 ¿Correcto!
∴ R
10
π
= rad Rpta.: C
Resolución 7
• De acuerdo al enunciado se cumple que:
aI<>bg →
0
a
60
 
 
 
<> bg
a
b60
9 10
= → a = 54b
• Reemplazando en la expresión pedida:
54b 5b
E 49 7
b
−
= = = Rpta.: D
Resolución 8
• Analizando la expresión dada tenemos:

- 25 -
α = 14 – (x2 – 4x)
α = 18 – (x2 – 4x + 4)
α = 18 – (x – 2)2
máximo mínimo = 0
α máx. = 18°
α máx = rad
10
π
Rpta.: C
máx( )+
Resolución 10
• Aplicando el método explicado en el problema 06
tenemos:
5 5 5
S C 5R
36 40
+ +
π
= 2S4 + 2C4 + 2R4
Términos que presentan la
constante “π”
∴
5
45R
2R=
π
→ 5R = 2π
2
R
5
π
= rad Rpta.: B
Resolución 9
• Del gráfico se cumple que:
a b
120 180
b a
 
° − + φ = ° 
 
a b
60
b a
 
+ φ = − ° 
 
φ =
− °
 
+ 
 
máx(-)
60
b
b
Nota:
a b
2
b a
+ ≥
a b
2
b a
+ ≤ −
60
30
2
− °
φ = = °
−
rad
6
π
φ = Rpta.: C
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DEL
SECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191)
CAPÍTULO 7
NIVEL I
L = α · r
→
20 rad
9
r 9m
π
α = ° < >

 =
L · 9
9
π
=
L = πm Rpta.: A
Resolución 2
L = α r →
L (3x 4)m
2rad
r (2x 1)m
= +

α =
 = +
3x + 4 = 2(2x + 1)
3x + 4 = 4x + 2
∴ x = 2 Rpta.: B
Resolución 3
• En el sector circular COD:
CD
L COD OC= ×
2 4r
4
π
π = × 45 rad
4
π
° < >
r = 2m
• En el sector circular AOB:
AB
L AOB OA= ×
L 2
4
π
= × OA = r = 2m
L m
2
π
= Rpta.: D
Resolución 1
• Del enunciado tenemos:
Resolución 4
• Analizando la figura:

- 26 -
2
1
·r
S
2
α
=
2
2
2
2 ·(2r)
S 4 r
2
α
= = α
• Nos piden:
2
1
2
2
·r
S 12
S 4 r 8
α
= =
α
Rpta.: E
Resolución 5
• En el gráfico se cumple que:
S AOB =
( )( )
2
m AOB · OA
2
2
·(2x)
2x3
2
π
π = → x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0 →
x 0¡No!
x 3
=

=
∴ x = 3 Rpta.: C
Resolución 6
i) ( )AB
L m AOB ·OA=
AB
L ·12 3 m
4
π
= = π
ii) CD
L m( COD)·OC=
CD
L ·16 4 m
4
π
= = π
• Luego: nos piden:
AB CD
L L
S ·BD
2
+ 
=  
 
3 4
S ·4 14
2
π + π 
= = π 
 
222
S 14 44m
7
 
= = 
 
Rpta.: D
i) ( )1L m CAD ·AC=
1L ·12 4 m
3
π
= = π
ii) ( )2L m AOB ·OA=
2L ·24 4 m
6
π
= = π
Nos piden:
L1 + L2 = 4π + 4π = 8πm Rpta.: E
Resolución 7
• Analizamos la figura:
S2 =
2
2(5) 9 16
m
2 2 2
− =
θ θ θ
• Nos piden:
2
1
16
S 16 42
9S 9 3
2
θ= = =
θ
Rpta.: A
Resolución 9
• Segun la figura se cumple:
i) AB
L · OA= θ
2 = θ · OA
ii) CD
L · OC= θ
4 = θ ·(OA + 2)
4 = θ ·OA + 2θ
4 = 2 + 2θ
∴ θ = 1 Rpta.: A
Resolución 10
• En el gráfico se verifica que:
S ABDC =
AB CD
L L
·AC
2
+ 
 
 
( ) ( )x 1 x 1
9 ·x
2
 − + +
=  
 
9 = x2 → x = {–3; 3}
∴ x = 3 Rpta.: D
Resolución 8
• Del gráfico se obtiene:
i) S1 =
2 2
2AB
L (3) 9
m
2 2 2
= =
θ θ θ
ii) S2 = S COD – S1 =
2
CD
L 9
2 2
−
θ θ

- 27 -
i) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1)
ii) Sector AOB: 2L = ·r
2
π 
− α 
 
... (2)
Dividendo m · a· m (1) : (2)
3L ·2r
2L
r
2
α
=
π 
− α 
 
→
3 2
2
2
α
=
π
− α
3
3 4
2
π
− α = α →
3
14
π
α = B
OBC: R2 = r2 +
2
5
R2 – r2 = 5
• Además:
S ABDC = S COD – S AOB
S ABCD =
2 22 2
·R ·r
5 5
2 2
π π
−
S ABCD = ( )2 2
R r (5)
5 5
π π
− =
S ABCD = πm2 Rpta.: A
Resolución 3
• En el sector circular AOB:
( )AB
L m AOB ·OA=
4 = θ · r ........... (1)
• En el sector circular EOF:
EF
L m( EOF)·OE=
14 = θ · (r + 5)
Resolución 5
• Analizando la gráfica:
ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m)
∴ m A m D 45= = °
Asom = A ABD – ASector BAC
Asomb. =
( )
2
· 2 2
2 2·2 2 4
2 2
π
−
Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C
• Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen-
cia:
m BOC 2m BAC= → m BOC 2= α°
• En el sector BOC:
rad
L 2 · ·R
180
π 
= α° ° 
Resolución 1
• Analizando la gráfica:
NIVEL II
Resolución 2
Resolución 4
• Trasladando los datos al gráfico tenemos:
14 = θr + 5θ
14 = 4 + 5θ
θ = 2rad
• Reemplazando en (1):
4 = 2· r → r = 2m
• En el sector circular COD:
CD
L m( COD)·OC=
CD
L = θ·(r + 3)
CD
L =2(2 + 3)
CD
L = 10m
• Nos piden:
L 10m
5
r 2m
= = Rpta.: B
2α

- 28 -
• Del enunciado:
S AOB 1
S COD 4
= →S COD = 4·S AOB
Reemplazando:
2 2
2 1L L
4·
2 2
=
θ θ
→ 2 2
2 1L 4L=
L2 = 2L1 →
2
1
L
2
L
= Rpta.: C
Resolución 6
• Sea: m AOB rad= θ ; entonces:
L R
90
απ
=
90L
R =
πα
Rpta.: B
Resolución 7
• Sea: m AOB rad= θ ; luego:
AB
L ·1 m= θ = θ
CD
L · 3 3 m= θ = θ
EF
L · 6 6 m= θ = θ
• Además:
2
1
3
S ·2 4 m
2
θ + θ 
= = θ 
 
2
2
3 6 27
S ·3 m
2 2
θ + θ 
= = θ 
 
• Nos piden:
1 33
3
2
S 4 8 2
27S 27 3
2
θ
= = =
θ Rpta.:A
L
R
θ = →
8 10
r r 2
θ = =
+
∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m
• Luego:
Asomb. = 2AB
L ·r 8· 8
32m
2 2
= = Rpta.:E
Resolución 8
• En la figura:
Resolución 9
• Sea : = θ = θm CoD rad rad; luego :
( )
( )θ +
=
2
1
a 1
S ..... 1
2
( )
( )
2
2 1
2a
S S ..... 2
2
θ
= −
Dato: S1 = S2
( )2
1 1
2a
S S
2
θ
= −
2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)
2 θ ( )+
2
a 1
2
= θ ⋅ 2
2a
a2 + 2a + 1 = 2a2
0 = a2 – 2a – 1
( )2 4 4 1
a
2
± − −
=
2 8
a
2
±
=
2 2 2
a
2
±
=
⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)
a = 1 + 1,41
∴ a = 2,41 Rpta. E
Resolución 10
• De acuerdo al gráfico:
i) S1 =
2
x
2
α
ii) S2 = S DOE – S BOC

- 29 -
S2 =
2 2
y x
2 2
α α
−
• De la condición:
S1 = S2
2 2 2
x y x
2 2 2
α α α
= −
x2 = y2 – x2 → 2x2 = y2
2
2
x 1
y 2
= →
x 2
y 2
=
∴
x
0,71
y
= Rpta.: C
• Además:
Asomb. = A AOB – A OBC
Asomb. =
( ) ( )
22
2 32 3
32
2 2
ππ
−
Asomb. = 3π – 2π = πm2 Rpta.:D
Asomb. =
( )2 2
R r
180
2
απ
−
Asomb. =
2
·a
360
απ
• Aplicando la fórmula anterior tenemos:
Asomb. =
2 21· 2· 8
·1 ·2
360 360 360 360
π π π π
+ = +
Asomb. =
2
m
40
π
Rpta.: D
i) El ∆AOC es equilátero:
OA = OC = AC = 12m
m AOC m OAC m ACO 60= = = °
Además:
AC = AD → AD = 12m
ii) En el sector circular AOC:
AC
L ·12 4 m
3
π
= = π
iii) En el sector circular CAD:
CD
L ·12 m
12
π
= = π
• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton-
ces:
2p = AD + AC
L + CD
L = 12 + 4π + π
2p = 5π + 12 Rpta.: D
∆BOC: equilátero
m OBC 60= °
Resolución 1
• Analizamos la gráfica:
NIVEL PRE-UNIVERSITARIO
Resolución 2
• Revisando la figura tenemos:
Resolución 4
• Analizamos el siguiente caso general:
Resolución 3
S ABDC = 5
CD
2 L
·2 5
2
+ 
= 
 
CD
L 3m=
• Además:
S ABDC = S COD – S AOB
2 2
CD AB
L L
5
2 2
= −
θ θ
10θ = 32 – 22 → 10θ = 5
θ = 0,5 Rpta.: E
Resolución 5
• Del gráfico se obtiene que:
i) 1BC
L 2L=
ii) S1 =
2
1L
2θ
iii) S2 = S DOE – S BOC
S2 =
( )
( )
( )
22
12
2LL
2 2 2 2
−
θ θ

- 30 -
Resolución 7
• Según el enunciado tenemos:
2p = 8
a + b + 2x = 8
a + b = 8 – 2x
• Además:
a b
A x
2
+ 
=  
 
→
8 2x
A x
2
− 
=  
 
A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2)2
Máx Mín = 0
∴ Amáx = 4m2 Rpta.:D
i) R + r = 4 ; R·r = 2
(R + r)2 = (4)2
R2 + 2Rr + r2 = 16
R2 + 2(2) + r2 = 16
R2 + r2 = 12
ii) S ABC =
4 2·4 2
16
2
=
iii) S1 =
2
R
2
; S3 =
2
r
4
π
S2 =
2
R
4
π
; S4 =
2
r
2
• De gráfico se observa que:
Asomb. = S ABC –(S1 + S2 + S3 + S4)
Asomb. = 16 –
2 2 2 2
R R r r
2 4 4 2
 π π
+ + + 
 
Asomb. = 16 –
2 2
R r
1 1
2 2 2 2
 π π   
+ + +    
    
Asomb. =16 –
2 2
R r
1
2 2
 π + 
+   
  
Asomb. = 16 –
12
1
2 2
π  
+  
  
Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A
S2 =
2 2
2 1L L
4
−
θ θ
• De la condición se tiene:
S1 = S2 →
2 2 2
1 2 1L L L
2 4
= −
θ θ θ
2 2
1 23L L
2 4
= → 2 2
1 26L L=
1 26 L L= →
1
2
L 6
L 6
= Rpta.: D
Resolución 6
• En la figura se observa que:
( )m AOB rad
2
π 
= − θ 
 
De la condición se tiene que:
S1 = 2S2 →
( ) ( )
2
2· 2 2
· 12
2
2 2
π 
− θ   θ   =
  
4
2
π 
− θ = θ 
 
→ 2π – 4θ = θ
∴
2
5
π
θ = Rpta.:D
Resolución 8
2p = 2
L + 2r = 2
2 L
r
2
−
=
Resolución 9
• De acuerdo a los datos:

- 31 -
Resolución 10
• Además:
L r
S
2
×
= →
2 L
L
2
S
2
 −
×  
 =
2
2 L L
S
4
−
= →
2
1 2
L
2 2
S
4
 
− −  
 =
Por condición: S → máximo
Entonces:
2
2
L
2
 
−  
 
→ mínimo
∴
2
L 0
2
− = →
2
L
2
= Rpta.: E
i) 1
ab
S
2
=
ii)
( ) 2
2
a a b ab a
S
2 2 2
+
= − =
• Nos piden:
2
2
1
a
S a2
abS b
2
= =
• Además:
AB
L · a= α →
b
a
α =
( )
CD
a
L a b
a b
= α + → α =
+
b a
a a b
=
+
→ ab + b2 = a2
a2 – ab – b2 = 0
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
b b 4 1 b
a
2 1
− − ± − − −
=
b 5 b
a
2
±
= →
1 5
a b
2
 ±
=   
 
a 1 5
b 2
±
= →
2
1
1 5
a 2
b 1 5 S
¡No! 0
2 S
 +


= 
− >

∴
2
1
S 5 1
S 2
+
= Rpta.:B
NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)
Nivel I
Resolución 1
• Del enunciado se tiene:
Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm
Radio de la rueda = 20 cm
Número de vueltas = n
• Por teoría se sabe que:
=
π⋅
longitud del tramo AB
n
2 radio
1800 cm
n
2 20 cm
π
=
π ⋅ n = 45 Rpta. C
Resolución 2
• Del enunciado obtenemos
el siguiente gráfico con sus
respectivos valores.
• Debemos calcular el número de vueltas que da la mo-
neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.
( )α +
=
π
R r
n
2 r
; donde:
α = π

=
 =
2 rad
R 4r
r r
Luego:
( )π +
=
π
2 rad 4r r
n
2 rad r
n = 5 Rpta. D
Resolución 3
Del enunciado se tiene:
Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego:
* Número de vueltas de B =
π ⋅
L
2 radio
r

- 32 -
( )
=
π
L
8
2 3r
L = 48π r
* Número de vueltas de A =
π ⋅
L
2 radio
( )
π
=
π
48 r
2 2r
= 12
Luego:
 
 
 
ángulo que barre
la rueda menor
= 12(360°) = 4 320° Rpta. A
Resolución 4
Del gráfico se obtiene:
• n1 · r1 = n3 · r3
n1 · 10 cm = 3 · 40 cm n1 = 12
• n1 = n2 , además
=
π
2
2
L
n
2 r
( )
=
π
L
12
2 35 cm
L = 2 640 cm
• La longitud que asciende el bloque es L
∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C
Resolución 5
Además:
• 1
1
L
n
2 R
=
π
• 2
2
L
n
2 r
=
π
( )
1L
1
2 9 cm
=
π ( )
2L
3
2 4 cm
=
π
L1 = 18π cm L2 = 24π cm
Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24π cm
x = 144 cm Rpta. E
Resolución 6
Calculamos el número de vueltas en el tramo AB
( ) ( )
( )AB
R r 9 cm 1cm
n
2 r 9 1cm
α − π −
= =
π π
nAB = 4
Resolución 7
En la figura se observa que en cada vértice del triángulo
equilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio de
circunferencia. Entonces la longitud total recorrida por la
rueda será:
( )
( )T
2 1cm
L 44 cm 3 44 2 cm
3
 π
= + = + π  
 
Ahora calculamos el número de vueltas
TL
n
2 r
=
π
( )44 2 cm
n
2 cm
+ π
=
π
n = 8 Rpta. E
Resolución 8
De la figura se obtiene lo siguiente:
• Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación:
n2r · 2r = nr · r
n2r · 2r = 50 · r n2r = 25
• El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r son
iguales, entonces: n2r = n3r = 25
• Además la rueda de radio 3r es la mayor
∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π
Rpta. E
Resolución 9
• Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm,
entonces:
( )
AhL
n
2 7 cm 14 cm
= =
π π
Calculamos el número de vueltas en el tramo BC
( ) ( )
( )BC
7 cm 1cmR r 2n
2 r 2 1cm
π
+α +
= =
π π
nBC = 2
Además; el número de vueltas durante el tramo AC es igual
a la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.
∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6
Rpta. A
donde N es el número de vueltas
de la rueda de 8 cm de radio
Ah
2 N 8
14
⋅ = ⋅
π
Ah
N
56
=
π
. . . (1)
• La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismo
número de vueltas (n)
• Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:
n · 2 = N · 8 ,

- 33 -
• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetros
son iguales, entonces:
( )
Bh
N
2 3 cm
=
π
Bh
N
6
=
π
. . . (2)
• Igualando (1) y (2) se obtiene:
=
π π
A Bh h
56 6
A
B
h 28
h 3
= Rpta. A
Resolución 10










Datos de la 1a rueda:
radio = a
n° de vueltas de = n
long. de recorrido = bπ
Datos de la 2a rueda:
n° de vueltas = N
radio = b
long. de recorrido = aπ
Pero
a
b
es equivalente a
1
2n
 
= = 
 
1 1 1
N
2 2n 4n
∴ La segunda rueda debe dar
1
4n
vueltas
Rpta. D
π
= =
π
=
b b
n
2 a 2 a
a 1
2nb
a a
N
2 b 2 b
π
= =
π
Resolución 11
Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r de
radio (L2r)
L2r = 2π(2r) L2r = 4πr
Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.
L
n
2 r
=
π ⋅
, pero L = L2r = 4πr
4 r
n
2 r
π
=
π = 2
∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B
Nivel II
Resolución 12
Graficando tenemos:
Ahora calculamos el número de vueltas
( )R r
n
2 R
α +
=
π
( )
( )
π
=
π
37
5r
90n
2 4r
37
n
144
= Rpta. B
Resolución 13
Graficando tenemos:
• 540° equivalente a una vuelta y media,
3
n
2
=
• Calculamos la longitud recorrida
L = 2π r n L = 3π
2
d 9 4 cm= π + Rpta. E
Resolución 14
Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio del
tubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da el
cilindro.
( )R r
n
2 r
α −
=
π
( )2 5r r
n
2 r
π −
=
π
n = 4 Rpta. B
Resolución 15
Se sabe que:
b
L
n
2 radio
=
π
L
1
2 b
=
π ⋅ L = 2π b
Además en la pista circular se tiene:
donde: 1
2
L a
5
π
= ⋅a a
72° < > 2
5
p
L1

- 34 -
Resolución 16
Tenemos:
1a rueda: 2a rueda: 3a rueda:
radio = a
n° de vueltas = n
longitud =
Luego:
2 a 2 b 2 x
− =
π π π
1 1 1
a b x
− =
ab
x
b a
=
−
Rpta. C
radio = b
n° de vueltas = N
longitud =
radio = x
n° de vueltas = n – N
longitud =
n
2 a
=
π
N
2 b
=
π
n N
2 x
− =
π
Resolución 17
• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta
• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor
( )
L
n
2 50 cm
=
π
L
n
100 cm
=
π
• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor
( )
L
N
2 70 cm
=
π
L
N
140 cm
=
π
• Del enunciado se tiene:
L L
20
100 cm 140 cm
− =
π π
L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm
L = 7 000π cm
L = 70
2 2
7
 
 
 
m L = 220 m Rpta. D
Graficando tenemos:
Resolución 18
• Calculamos la distancia recorrida
distancia = θ · 1 = θ
• En el PMO se tiene:
PM = sen(θ – 90°) PM = –cosθ
MO = cos(θ – 90°) MO = senθ
• Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces
x = θ – cos(θ – 90°) x = θ – secθ
y = 1 + cos(θ – 90°) y = 1 – secθ
∴ Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ)
Rpta. C
Del enunciado se tiene:
Resolución 19
Además:
R + r = R + ( )2 1− R = 2 R
Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:
( )
( )
3
2 RR r 2n 2 2
2 r 2 2 1 R
π 
⋅   α +
= =   
π π −   
  
3 2
n
2 2 2
=
−
n se aproxima a 5 Rpta. D
Pero: L = L1 2πb =
2
5
π
a
a
5
b
= Rpta. E
Donde r = ( )2 1 R−
M

- 35 -
Resolución 2
• Del dato se tiene:
Cotg A =
5 C. A
C. O12
→
→
3 5
E
4 4
= +
E = 2 Rpta.: A
CAPÍTULO 8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227)
NIVEL I
• Nos piden:
12 5
M
13 13
= − →
7
M
13
= Rpta.: C
Resolución 20
Sean:
x = número de pisos del edificio.
y = distancia entre cada piso.
Luego: x · y = 48 m
Calculamos la distancia que sube el material
L
n
2 radio
=
π
( )
L
21
2 20 cm
=
π L = 840π cm
Además para que el material llegue al piso 12, el material
debe recorrer 11y, luego
840π cm = 11y
240 cm = y
Luego: x · y = 48 m
x · 2,4 m = 48 m
x = 20
∴ El edificio tiene 20 pisos Rpta. C
Resolución 1
• Aplicando el teorema de Pitágoras:
(a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2
a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16
4a = 16 → a = 4
• En la figura:
Resolución 3
• Nos piden:
5
6E
5
12
=
→ E = 2 Rpta.: A
i) AB2 = 132 – 52
AB = 12
ii) AM = MB = 6

- 36 -
Resolución 4
• En la figura se tiene:
i) AC2 = 152 + 82
AC = 17
ii) NC2 = 62 + 82
NC = 10
• Nos piden:
19117 8
csc tg 88 15P
15 10ctg sec
8 8
−
β − β
= = =
β − α −
.15
5
8
191
75
=
P = 2,5 Rpta.: D
Resolución 5
i) CD2 = 252 – 152
CD = 20
ii) BC2 = 252 – 242
BC = 7
• Nos piden:
3
3
7 20
27 325 25Q
5 125 5
+
= = =
Q = 0,6 Rpta.: E
Resolución 6
• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementarios
se cumple que:
(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90°
7x = 70° → x = 10° Rpta.: C





Resolución 7
• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que:
2x + 17° = x + 34°
x = 17° Rpta.: D
• Nos piden:
x 40
y 10
°
=
°
→
x
4
y
= Rpta.: D
Resolución 9
• A partir del gráfico se tiene:
i) ABC:
AB
ctg
a
α = → AB = a· ctgα
ii) AHB:
x
cos
AB
α = →
x
cos
a·ctg
α =
α
∴ x = acosα ctgα Rpta.: D
Resolución 10
i) ABC:
AB
ctg
a
θ = → AB = a·ctgθ
ii) DBC:
BD
tg
a
θ = → BD = a·tgθ
iii) x = AB – BD = actgθ – atgθ
∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E
Resolución 8
• De 1 : x + y + 40° = 90°
x + y = 50° ... 3
• De 2 : x – y = 30° .... 4
x + y = 50° x = 40°
x – y = 30° y = 10°
NIVEL II
Resolución 1
• Del dato tenemos:
senA · SenB =
4
9
a b 4
·
c c 9
=
24
a · b c
9
=
• Nos piden:
b a
E
a b
= + →
2 2
b a
E
ab
+
=
2
2
c
E
4
c
9
=
→
9 3
E
4 2
= =
∴ E = 1,5 Rpta.: D
Resolución 2
• En la figura:

- 37 -
(2a)2 + 22 =
2
13
4a2 = 9
3
a
2
=
• Nos piden:
2
tg
3
2
α = →
4
tg
3
α = Rpta.: D
Resolución 3
• Revisando la figura:
Resolución 6
• En el numerador aplicamos las propiedades de las
R.T. de ángulos complementarios:
cos65 ctg55 csc66
K
cos65 ctg55 csc66
° + ° + °
=
° + ° + °
x = 1 Rpta.: D
CM: mediana
AM = BM = CM
∴ ∆BMC : Isósceles
• En el ACB :
1
ctg
2
θ = Rpta.: C
AC2 = (3a)2 – (a)2
AC = 2 2 a
• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces:
2 2 a
tg
a
θ = → tg 2 2θ =
Rpta.: B
• Además: 2p = 90
5a + 12a + 13a = 90 → a = 3
• Nos piden: AC = 13a = 13(3)
AC = 39 Rpta.: C
Resolución 4
• De acuerdo a los datos tenemos:
Resolución 5
• Aplicando las propiedades respectivas tenemos:
W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°
W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°
1
1
W = 1 Rpta.: B
Resolución 7
→
12a
cos
13a
θ =
→ AB2 = (13a)2 – (12a)2
AB = 5a
Resolución 8
• Del dato se cumple que:
cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1
sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1
→ 90° – 2x + θ = x + 3θ
3x + 2θ = 90°
∴ sen 3x = cos 2θ
sen 3x – cos 2θ = 0
− θ
= =
+ θ + θ
sen3x cos2 0
P
tg(x ) tg(x )
P = 0 Rpta.: A
Resolución 9
i) ABC:
BC
ctg
a
α = → BC = a· ctgα
ii) ABM:
BM
tg
a
θ = → BM = a · tgθ

- 38 -
i) BAF:
AB
ctg
1
θ = → AB = ctgθ
ii) AB = CD → CD = ctgθ
iii) CDF:
3
tg2
ctg
θ =
θ
→ tg2θ · ctgθ = 3
∴ W = 3 Rpta.: D
Resolución 10
• Revisando la figura:
• Además: BC = BM + MC
a · ctgα = a · tgθ + a
ctgα = tgθ + 1
ctgα – tgθ = 1
M = 1 Rpta.: C
Resolución 2
• De la condición tenemos:
121 sec
sec sec 22
2
sec
2
2 2 22 2
θ
θ θ
θ
= → ⋅ =
Resolución 1
• De los datos se tiene:
→
c
3
a a
bb
c
−
=
a c 3a c
·
b b a
− 
=  
 
a2 = 3ac – c2
a2 + c2 = 3ac
• Nos piden:
a c
U
c a
= + →
2 2
a c
U
ac
+
=
3ac
U
ac
= → U = 3 Rpta.: B
θ
=
3
sec
22
2 2 →
3
sec 2
2
θ =
4
Sec
3
θ =
• Nos piden:
2
7 4
E 9 7 7 4
3 7
   
= − = −   
   
E = 3 Rpta.: C
Resolución 3
• De acuerdo a los datos tenemos:
i)
5
cos
13
θ = →
CD 5
52 13
=
∴ CD = 20
ii) AC2 = 522 – 202
AC = 48
• En el BCD:
48
tg
2 52 20
θ
=
+
→ 2
tg
2 3
θ
= ... 1
20
tg
2 48 x
θ
=
−
... 2
• Igualamos 1 y 2 :
2 20
3 48 x
=
−
→ 48 – x = 30
x = 18 Rpta.: E
Resolución 4
i) c2 = a2 + b2 ... 1
ii)
2
c 13
ab 6
=
2 13
c ab
6
= ... 2
a2 + b2 =
13
ab
6

- 39 -
3 3a
tg
7 7a
θ = = →
BH 3a
CH 7a
=

=
• En el BHC:
(3a)2 + (7a)2 = ( )
2
10 58
58a2 = 100 · 58
a = 10
• En el AHB:
AH = 86 – 7(10) = 16
BH = 3(10) = 30
AB = 2 2
16 30 34+ =
• Nos piden:
16 34 50
M
30 30 30
= + =
5
M
3
= Rpta.: E





6a2 – 13ab + 6b2 = 0
(2a – 3b)(3a – 2b) = 0
2a – 3b = 0 →
a 3
b 2
=
3a – 2b = 0 →
a 2
b 3
=
• Sea A el menor ángulo, entonces
a < b →
a
1
b
<
Además: tgA =
a
b
∴ tgA =
2
3
Rpta.: C
Resolución 5
• Del gráfico tenemos:
Resolución 6
De la figura se tiene:
OBA:
OB
cos
1
θ = → OB = cosθ
OCB:
OC
cos
cos
θ =
θ
→ OC = cos2θ
En el EPF :
3
2
ctg
7
2
α =
3
ctg
7
α = Rpta.: E
ODC: 2
OD
cos
cos
θ =
θ
→ OD = cos3θ
• Nos piden:
S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...
S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ]
S
S = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1
1
S
1 cos
=
− θ
Rpta.: B
Resolución 7
• En el gráfico se tiene:
CBD :
BD
tg
1
θ = → BD = tgθ
ABC: θ =
+
1
tg
4 BD
→ θ =
+ θ
1
tg
4 tg
tg2θ + 4tgθ = 1
tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4
(tgθ + 2)2 = 5
E 5= Rpta.: C
Resolución 8
Resolución 9

- 40 -
i) OB = OC → R = r 2 r+ → R – r = r 2
ii) O1NB:
1
BN r 2
ctg
ON r
θ = =
ctg 2θ = Rpta.: A
Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que:
i) OHB:
BH
sen
12
α = → BH = 12senα
OH
cos
12
α = → OH = 12 cosα
ii) BHC:
HC
ctg
BH
β = →
HC
ctg
12sen
β =
α
HC = 12senα · ctgβ
Además: OH + HC = OC, reemplazando:
12cosα + 12senα ctgβ = 13
Dividendo entre “senα”
12cos 12sen ·ctg 13
sen sen sen
α α β
+ =
α α α
12ctgα + 12ctgβ = 13cscα
13csc 12ctg
12
ctg
α − β
=
α
∴ P = 12 Rpta.: C
En el OAC : OC2 = 122 + 52
OC = 13
Resolución 10
• Trabajando la figura:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)
NIVEL I
Resolución 1
• Reemplazando los valores notables:
( )
21
A 4 1 3
2
 
= + = 
 
B 2 2·2 2= =
∴ A + B = 5 Rpta.: C
Resolución 2
De la condición:
.[ ] [ ]
1
ctg
2tg 2
α
α = → tgα = 2
5 5
E 2
1 2
   
=    
      
E = 5 Rpta.: E
Resolución 3
• Del dato se cumple que:
(5x + 8°) + (2x – 2°) = 90°
7x = 84° → x = 12°
MBC :
3k
ctg
2k
α = →
3
ctg
2
α = Rpta.: C
Resolución 4
M = tg15° + tg60°
( ) ( )M 2 3 3= − +
M = 2 Rpta.: B
Resolución 5
• A partir del gráfico tenemos:
CDA:sen45°=
CD
b
→
2
CD
2
= b... 1
CDB:sen37°=
CD
a
→
3
CD
5
= a... 2
2 3
b a
2 5
= →
b 3 2
·
a 5 2
=

- 41 -
PHC: sen37° =
PH
10
→ PH = 10
3
6
5
 
= 
 
PHA: csc30° =
PA
6
→ PA = 6(2) = 12
∴ PA = 12 Rpta.: A
Resolución 9
i) ∆ABC: equilátero
ii) Trazamos PH AC
• PHC: Notable (30° y 60°)
PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1
• AHP:
3
tg
5
θ = Rpta.: D
B
b 3 2
a 5
= Rpta.: C
Resolución 6
• Sean BP = BQ = x ; luego:
ABC: tg74° =
38 x
4 x
+
+
→
24 38 x
7 4 x
+
=
+
96 + 24x = 266 + 7x → x = 10
PBQ: sec 45° =
PQ
x
→ PQ = 10 2
Rpta.: E
Resolución 7
• Recordemos que: tg75° = 2 + 3
ctg75° = 2– 3
P = 2 + 3 + 2– 3 → P = 4
Rpta.: B
Resolución 8
Resolución 10
• Del gráfico se tiene:
i) ABC: sec37° =
AC
12
→ AC = 12
5
15
4
 
= 
 
ii) ACD: sec45° =
AD
AC
→ AD = 15( )2 15 2=
iii) ADE : sec30° =
AE
AD
→ AE =
2 3
15 2
3
 
  
 
AE = 10 6 Rpta.: A
AHB: cos60° =
BH
8
→ BH = 8
1
4
2
 
= 
 
AHC: cos37° =
HC
10
→ HC = 10
4
8
5
 
= 
 
∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8
BC = 12 Rpta.: A
Resolución 2
• De los datos tenemos:
i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1
3α = 90° – 2β
3α + 2β = 90° ... 1
ii)cos2α · sec(3β – 5°) = 1
2α = 3β – 5°
2α – 3β = –5 ... 2
3α + 2β = 90° ( 3)×
→ 9α + 6β = 270°
2α – 3β = –5 ( 2)×
→ 4α – 6β = –10°
13α = 260°
α = 20°
En 1 : 3(20°) + 2β = 90°
β = 15°
Resolución 1
• Analizamos el gráfico:
NIVEL II

- 42 -
Resolución 3
• Reemplazando los valores notables tenemos:
1
x 1
52
1 4
x 1
2
 
+ 
  =
 
− 
 
→
x 2 5
x 2 4
+
=
−
4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: D
Sea: CD = 5a, entonces:
i) CED notable(37°; 53°)
CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a
ii) DEB Notable (45°; 45°)
DE = 3a; EB = 3a
i) Trazamos: OT AC
ii)El OTA es notable (45° y 45°)
Entonces OT = 1 → OA = 2
iii) AB = OA + OB
AB = 2 + 1
iv) BC = AB
BC = 2 + 1 Rpta.: B
• Reemplazamos en lo pedido:
N = sen230° + tg245° =
1
1
4
+
N = 1,25 Rpta.: E
Resolución 4
Resolución 5
iii) 4a + 3a = 28 → a = 4
∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A
• PBQ notable (37° y 53°):
PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K
• En el DAQ:
° = → =
+ +
a 3 a
tg37
a 4K 4 a 4K
3a + 12K= 4a → a = 12K
• En el ABP:
α = = =
3K 3K 1
tg
a 12K 4
tgα = 0,25 Rpta.: E
i) BHP:
PH
sen
x
θ = → PH = x·senθ
BH
cos
x
θ = → BH = x·cosθ
ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ
iii) Luego: AH + BH = AB
xsenθ + xcosθ = a
a
x
sen cos
=
θ + θ
Rpta.. B
Resolución 6
• Analizamos la gráfica
4K
3K
Resolución 7

- 43 -
• Trazamos MP AC , entonces:
HP = PC = 8
• En el APM:
6
ctg
17
θ = Rpta.: A
Resolución 9
• En la figura elegimos convenientemente AM = MC =
5 2
BRM: α =
4 2
sen
BM
BQM:
BM
csc
5
β =
4 2 BM
P 5· ·
BM 5
=
P 4 2= Rpta.: D
Resolución 8
• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°),
entonces asignamos valores convenientes a sus la-
dos:
• En el AQP:
3 1
ctg
3
+
θ = →
3 3
ctg
3
+
θ =
Rpta.: D
i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces
HT BT (propiedad)
ii) Trazamos TP AH , entonces:
TPH es notable (37°; 53°) sea:
PH = 3 ; PT = 4; TH = 5
• Además se cumple:
BTH: sec37° =
BH
5
→ BH = 5
5 25
4 4
 
= 
 
BHC: tg37° =
HC
25
4
→
25 3 75
HC
4 4 16
 
= = 
 
TPC: ctgα =
75
3
16
4
+
→
123
ctg
64
α = Rpta.: A
Resolución 10
• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y
60°) , entonces tenemos:
Resolución 1
Resolución 2
• En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-
ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16
; AE = 12; DE = 20

- 44 -
• En el DCF:
32
tg
1
θ = → tgθ = 32 Rpta.: D
i) ABC: sen53° =
AB
3a
→ AB = 3a
4 12
a
5 5
 
= 
 
ii) AHD: sen37° =
HD
a
→
3
HD a
5
=
AH
cos37
a
° = →
4
AH a
5
=
iii) HB = AB – AH →
12 4 8
HB a a a
5 5 5
= − =
iv) BHD:
HD
tg
HB
α = →
3
a
5tg
8
a
5
α =
3
tg
8
α = Rpta.: C
Resolución 5
• Se observa que: sen62° = cos28°
Además: cos45° =
2
2
, luego:
( )
( )
tg 3x 20 ·cos28
1
2
2 · cos28 · · ctg 5x 30
2
− ° °
=
° + °
Simplificando:
( )
( )
tg 3x 20
1
ctg 5x 30
− °
=
+ °
tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°)
(3x – 20°) + (5x + 30°) = 90°
8x + 10° = 90° → x = 10°
E = sen40° – cos50°
E = cos50° – cos50°
E = 0 Rpta.: D
i) BQP Notable (37°; 53°)
BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5a
ii) PQC Notable(45°; 45°)
PQ = QC = 3a
iii) BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7
a = 1
∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5
Rpta.: B
i) ACB:
a
ctg
b
α =
ii) PQB:
BQ
ctg
x
α = →
a
BQ · x
b
=
iii) BQ + QC = BC →
a
x x a
b
+ =
a b
x a
b
+ 
= 
 
→
ab
x
a b
=
+
∴
2ab
PC
a b
=
+
Rpta.: B
Resolución 3
Resolución 4
Resolución 6
Resolución 7
AB = 15 + 20
AB = 35
Rpta.: A

- 45 -
Resolución 9
• En el gráfico se tiene:
Resolución 8
i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve-
nientemente los lados:
AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2
ii)En el ABC (45°; 45°):
AC = 4 2 → AB = BC = 4
iii) En el CED(45°; 45°)
CD = 3 2 → CE = ED = 3
iv) En el BED:
4 3
ctg
3
+
θ = →
7
ctg
3
θ =
Rpta.: C
• OP = OA = OB
OP = 2a
• NP2 = (2a)2 – (a2)
NP = a 3
• En el MHP:
PH = a 3 – a = a( )3 1−
MH = a
∴
( )a 3 1PH
ctg
MH a
−
θ = =
ctg 3 1θ = − Rpta.: A
i) ABC : AM = MC = BM = 2a
ii) ∆ ABM: Equilátero
iii) MPC: Notable(30° y 60°)
MC = 2a → MP = a ; PC = a 3
• En el NPC:
i) NC2 = ( ) ( )
22
2a a 3+ → NC 7a=
ii)
NP
cos
NC
α = →
2a
cos
7a
α =
∴ 7 cos 2α = Rpta.: B
Resolución 10
• En la figura se observa:
ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)
Resolución 1
De los datos mencionados:
Nivel I
Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)
por paralelas BD = AE = H
Ahora: BCD: ( Resolución)
CD = Htgθ
finalmente: x = H – Htgθ
∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D
H

- 46 -
Resolución 2
de la figura: AE = H – 3
PEA(30° y 60°): PE = (H – 3 )
3
3
(30° y 60°)REA: tg30° =
( )
−
+ −
H 3
3
8 H 3
3
( )
−
=
+ −
3 H 3
3 3
8 H 3
3
H = 5 3 m Rpta. B
Resolución 3
Graficando:
ADC: DC = Hcotg37°
BDA: BD = Hcotg45°
luego: DC = BD + 80
Reemplazando:
Hcotg37° = Hcotg45° + 80
H
 
 
 
4
3
= H(1) + 80
4
3
H – H = 80
H
3
= 80
∴ H = 240 m Rpta. D
Resolución 4
ABC AB = 6Hcotgα . . . (1)
ABD AB = 7Htgα . . . (2)
Igualamos: (1) y (2)
7Htgα = 6Hcotα
7tgα = 6
 
 
α 
1
tg
tgα =
6
7
∴ cotgα =
7
6
Rpta. D
Resolución 5
En 12h < > 180°
1h < > 15°
de 4 a 6 pm
θ = 30°
HOJ (Notable de 30° y 60°)
Lsombra = ( )3 3 ∴ Lsombra = 3 m Rpta. C
Resolución 6
Piden cotgα = ?
BCD: (Not de 45° y 45°)
CD = 10
ACD: cotgα =
5 0 +2 10
10
∴ cotgα = 5 2 +1 Rpta. E
Resolución 7
a
C
D
90°-a
a
a
B6HcotgaA
6H
7H

- 47 -
de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos:
Ahora en AHC:
Resolución 8
Del enunciado:
Triángulos rectángulos notables de 30° y 60°
x = 17 cos60°
 
 
 
1
2
∴ x =
17
4
m Rpta. C
ABD: AB = H
ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 =
H 3
3
H 3 – 9 3 = H
∴ H = ( )9
3 1
2
+ Rpta. E
Resolución 9
BDC: DC = dcotgθ
BDE: ED = dtgθ
piden: EC = ED + DC
∴ EC = d(tgθ + cotgθ) Rpta. C
Resolución 10
ABC: tgθ =
x
H
x = Htgθ ...(1)
ABD = tgθ =
H
x H+
tgθ(x + H) = H ...(2)
Reemplazando (1) en (2)
tgθ(Htgθ + H) = H
tgθ2 + tgθ – 1 = 0
Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:
1 1 4
tg
2
− + +
θ =
∴
5 1
tg
2
−
θ = Rpta. E
Resolución 1
Nivel II
BFD: BF = 1,5cotg27°
BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°
CF =
3
2
(1,95)
 
 
 
4
3
CF = 3,9 m
Longitud del poste = CF + FD
∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C
Resolución 2
Dato: cotgθ =
12
5
entonces:
de 45° y 45°
50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ
50 + 260
 
 
 
12
13
+ 3K = 4K + 260
 
 
 
5
13
50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1)
B
H
A
q
C
q
q
90 - q
D
x H

- 48 -
Resolución 3
de la figura se nota que: α = β
Resolución 4
Resolución 5
Del enunciado del problema graficamos:
Se nota
OPQ: cscθ =
+R h
R
h = R(cscθ – 1) . . . (1)
OPT: secθ =
x
R
x = Rsecθ . . . (2)
En el triángulo pintado tenemos:
tgα =
a ( )− θ2 1 tg
a
∴ tgα = ( )−2 1 tgθ Rpta. C
De (1) R =
θ −
h
csc 1
reemplazando en (2)
θ
=
θ −
hsec
x
csc 1
Rpta. C
Resolución 6
De las condiciones tenemos:
* AHB (Not. de 45° ): AH = 24
* BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° )
x = AH + HC
∴ x = 56 m Rpta. A
Resolución 7
Hallamos AD
AD = AB – DB; aplicando resolución
AD = 24cotβ – 24cotα
reemplazando
AD = 24 (4) – 24(3)
AD = 24 m
pero AD
e = V · t
24 = V x 0,8 V = 30 m/s
piden en Km/h: =
3 0
V
m
s
1Km
x
1 0 0 0 m
3 6 0
x
0 s
1h
∴ V =
Km
108
h
Rpta. A
cotα = 3
cotβ = 4
Del enunciado:
t
piden: H = 4K + 260senθ
Reemplazando:
H = 4(190) + 260
 
 
 
5
13
∴ H = 860 m Rpta. B
Ahora del dato: α + β =
α
tg tg n
tg
tgα =
n
2
piden longitud de AB =
π
2
(H – h)cotα
∴
π
2
(H – h)
2
n
=
− 
π 
 
H h
n
Rpta. A
B
A
h
a b
H-h
h
(H-h)cotgb
(H-h)cotga
45°
a
a
a
atgq
q
a 2
a 2tgq
( )a 2 1 tg- q
q

- 49 -
Resolución 8
ABC(Not de 45°): AB = BC = 28
pero RC = AB (por paralelas)
Ahora PRC:
PR = 21 m
luego: x = PR + RA x = 21 + 28
∴ x = 49 m Rpta. B
Resolución 9
(Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10
(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3
Finalmente:
AOB: Teorema de Pitágoras
x2 = 102 + ( )
2
10 3
∴ x = 20 m Rpta. B
Resolución 10
De la figura: AB = AC
ÁNGULOS HORIZONTALES
(Pág. 258)
Resolución 1
Del enunciado:
Del gráfico: ∆ PQR: equilátero
PQ = PR = QR = 150 km
∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A
Resolución 2
Del enunciado:
PQR: Teorema de Pitágoras
d2 = 962 + 282
∴ d = 100 m Rpta. B
( ∆ ABC: isósceles)
Además: ∆ ACD: isósceles
AC = CD = d
Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C
10
W E
C
10
O
A
x
45°
30°
10 3
N
S
B

- 50 -
Resolución 3
PMJ:
Teorema de Pitágoras:
x2 = 1002 + 2402
∴ x = 260 m Rpta. C
Resolución 4
ADB: (Not. de 30° y 60°)
BD = H 3
ADE: (Not. de 45° y 45°)
DE = H
Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE
( ) ( )+ + =
2 2 2
H 3 H 24
4H2 = 242 H = 12 m Rpta. D
∆NHP: isósceles NH = HP = d
Luego: NP = 2dcos20° = 74cos20°
d = 37 km
Ahora:
d = 37 km = V · t =
185 km
h
·t t =
1
5
h =
60 min
5
∴ t = 12 min Rpta. C
Resolución 5
AHB: Teorema de Pitágoras:
602 =
  
+ +        
22
d 3d 7
d
8 8
d = 40
Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B
Resolución 6
RSM: Teorema de Pitágoras:
d2 = 402 + 402 ∴ d = 40 2 km Rpta. B
Resolución 7
De la figura:
De la figura
tgα = 3 7
20°
58°
12°
20°
Q
38°
P
58°
12°
d
N
1
8
a
3 7
30 km
50
km
R
M
d
E
S
O
N
10 km 40 km
40 km
40 km
S
E
N
O
S 37°
Juana
punto de
llegada
Punto de
Partida
(Roberto)
S
10 km
( )

- 51 -
∆RBB’: Isósceles
BB’ = RB = 200 m
RFB: (Notable de 30° y 60°)
d = 100 m Rpta. A
Resolución 8
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
(Pág. 275; 276; 277; 278)
CAPÍTULO 9
Resolución 1
x = –2
y = 1
( ) ( )= − + =
2 2
r 2 1 5
NIVEL I
Resolución 2
x = –3
y = –1
( ) ( )= − + − =
2 2
r 3 1 10
• Nos piden:
1 2
M 5 ·
5 5
−
= → M = –2
Rpta.: D
• Nos piden:
θ =
−
10
csc
1
→ θ = −csc 10
Rpta.: A
Resolución 3
• En la figura se observa:
i) Para“α”
x = –4
y = 3
( ) ( )= − + =
2 2
r 4 3 5
ii) Para “β”
x = –7
y = –24
( ) ( )= − + − =
2 2
r 7 24 25
• Nos piden:
3 25 4 25
E 8 7
5 24 5 7
−     
= +     
− −     
E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D
Resolución 4
• Del gráfico se tiene:
(-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0
y = 12
∴ α =
y
tg
x
→
−
α =
12
tg
5 Rpta.: B

- 52 -
Resolución 10
• Recordemos que:
∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4
Rpta.: E
Resolución 1
NIVEL II
( ) ( )
2 2
x 2
r 13
y 13 2 3

 = −

=

 = − − − = −

Resolución 5
• Según los datos tenemos:
• Nos piden:
2
3 13
N 4 9 6 13
2 3
 − 
= + = +    − −   
N = 19 Rpta.: C
Resolución 6
±α =
9
cos
25
→ α =
3
cos
5
; 4Qα ∈
160° ∈ Q2 → sen160° : (+)
230° ∈ Q3 → cos230° : (–)
350° ∈ Q4 → tg350° : (–)
80° ∈ Q1 → ctg80° : (+)
200° ∈ Q3 → sec200° : (–)
300° ∈ Q4 → csc300° : (–)
• Reemplazando tenemos:
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )
+ − − +
= =
+ − − +
B → B = (+)
Rpta.: A
Resolución 9
• De acuerdo al dato:
θ ∈ Q3 →
Resolución 7
α +
α∈ → 
α −
2
sen :( )
Q
cos :( )
β +
β∈ → 
β +
3
tg : ( )
Q
ctg :( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
E
·
+ + + +
= =
− + − → E = (–) Rpta.: B
 =

=

= − − = −
2 2
x 3
r 5
y 5 3 4
Resolución 8
• Analizando los términos de la expresión dada tene-
mos:
Cosθ = (–)
tgθ = (+)
E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C
• Nos piden:
= − =
− −
3 5 2
A
4 4 4
→ A = 0,5 Rpta.: E

- 53 -
( ) ( )

 = −

= −

 = − + − =

22
x 1
y 2
r 1 2 3
• Nos piden:
M = 2secθ · cscθ + θ3 3 sen
    −
= +        − −    
3 3 2
M 2 3 3
1 2 3
( ) ( )

= −

= −

 = − + − =
2 2
x 1
y 8
r 1 8 65
θ =
−
65
sec
1
→ θ = −sec 65 Rpta.: D
Resolución 2
3
2
tg 2 ; Q
1
−
θ = = θ∈
−
Resolución 3
• A partir del gráfico se tiene:
i) Para “α”:
x = 7
y = 24
= + =2 2
r 7 24 25
ii) Para “β”:
x = –12
y = –5
( ) ( )= − + − =
2 2
r 12 5 13
• Nos piden:
 
= + 
− 
25 13
R 2
24 12
→ R = 1
Rpta.: A
= −M 3 2 3 2 → M = 0 Rpta.: C
Resolución 4
[ ] + θ + =
  
2
2
1 tg 1 2 → + θ + =1 tg 1 4
[ ] θ + =
 
2 2
tg 1 3 → tgθ + 1 = 9
tgθ = 8 ; θ ∈ Q3
• Finalmente:
Resolución 5
• Factorizando la expresión dada:
(5senα + 4)(5senα – 3) = 0

α + = → α = −

 α − = → α =

4
5sen 4 0 sen
5
3
5sen 3 0 sen
5
( ) ( )

=

= −

 = + − =
2 2
x 60
y 11
r 60 11 61
• Nos piden:
−
= +
11 61
K
60 60
→
5
K
6
= Rpta.: E
Pero: α ∈ Q2 → α =
3
sen
5
• Nos piden:
   
= − − + −   
   
3 4 3
M
5 5 4
=
13
M
20
→ M = 0,65 Rpta.: B

- 54 -
• Nos piden:
 −  
=      
15 1
A 16
4 4
A 15= − Rpta.: D
Resolución 1
tgθ < 0 → tgθ : (–)
θ∈Q4
secθ = 4 → secθ : (+)



• Nos piden:
Resolución 10
Resolución 8
• De acuerdo al dato:
θ ∈Q3
• Nos piden:
− −  
=   
  
2 1
P 10
5 5
→ P = 4 Rpta.: B
Resolución 6
• A partir del dato tenemos:
[ ] [ ]θ
θ =
1
2ctg
tg 2 →
θ =


θ =

tg 2
1
ctg
2
Resolución 7
senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4
secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4
∴ α∈Q4
• Nos piden:
( ) ( )
( )( )
( )
( )
+ − − +
= =
− − +
E
· → E = (+) Rpta.: A
Resolución 9
R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)
• Además:
α =tg 2 → α∈Q1 , Q3
β = −sec 3 → β∈Q2 , Q3
∴ α ; β y θ ∈ Q3
secθ = (–)
tgθ = (+)
• Reemplazando en lo pedido
(–) – (+) = (–) Rpta.: C
−
α = = −
2 6
sen
33
β = −
6
sen
3
θ = −
6
sen
3
• Nos piden:
   
= − + − + −   
      
6 6 6
G 2 3
3 3 3
→ = −G 2 6
Rpta.: B
− − 
= − 
 
2
1 3
E
10 10
→α =
4
E
10
E = 0,4 Rpta.: D

- 55 -
α +
=
ctg 1
3
2
→ ctgα = 5 ; α∈Q3
• Nos piden:
α =
−
26
csc
1
α = −csc 26 Rpta.: B
+
+
Resolución 2
[ ] [ ] [ ]
ctg 1
ctg 1 31 3 2
2
2 2 2
2
α+
α+
  = → =
  
Resolución 3
secθ : (–)
θ∈Q3
tgθ : (+)
• Además:
–1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0
1 < 2+cosθ < 2 0 < –senθ < 1
2< 2–senθ < 3
• Luego:
Resolución 4
• En la figura se cumple:
(2a –1)2+ (a + 4)2 = ( )
2
5 2
5a2 + 4a + 17 = 50
5a2 + 4a – 33 = 0
(5a – 11)(a + 3) = 0



Resolución 7
• Analizamos la figura para calcular las coordenadas
de los puntos M y N:
Resolución 5
• Analizando la expresión tenemos:
− α ≥1 cos 0 → senφ < 0
∴ φ ∈ Q3 y Q4 Rpta.: B
Resolución 6
x = a + 1
y = a – 1
( ) ( )= + + − = +
2 2 2
r a 1 a 1 2a 2
• Por condición r es minímo:
r = ( )+2
2 a 1 → rmin = 2
∴ a = 0 →
=

= −
x 1
y 1
• Nos piden:
  
=     −  
2 2
E
1 1 → E = –2 Rpta.: C
mín
• Nos piden:
5 2 5 2
csc
a 4 3 4
α = =
+ − +
α =csc 5 2 Rpta.: E
( )( )
( )
( )
( )
+ − −
= =
+ +
·
R → R = (–) Rpta.: B
→

− = → =

 + = → = −
11
5a 11 0 a
5
a 3 0 a 3
Pero: 2a – 1< 0 → <
1
a
2
∴ a = –3
• Nos piden:
−   
=    
− −   
3 5
k ·
3 1
k = –5 Rpta.: B

- 56 -
Resolución 8
• Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0
2 7 49 4
tg
2
± −
θ =
2 14 2 45
tg
4
±
θ =
14 2 9 5
tg
4
± ⋅
θ =
tgθ = – ( )1
9 5
2
±
tgθ = – ( )1
3 5
2
±
• Nos piden:
( )1 2
E 3 5
2 3 5
= ± −
±
• Solución 1
1
3 5 2 5 3 5
E
2 3 5 3 5
+ +
= − =
+ +
1
5 3 5 3 5
E
3 5 3 5
  + −
=     + −  
= 5
• Solución 2
2
3 5 2 5 3 5
E
2 3 5 3 5
− −
= − = −
− −
( )
  − +
= − = − −    − +  
2
5 3 5 3 5
E 5
3 5 3 5
2E 5= Rpta.: C
Resolución 9
• 2
Sen θ + Senθ = 0
Sen Sen 0θ + θ =
I) senθ > 0 ⇒ senθ + senθ = θ
senθ = 0 (NO)
II) senθ < 0 ⇒ senθ + senθ = 0
θ toma cualquier valor
• Hacemos tg 7θ =
θ∈ IIIC
1
cos
8
θ = −
• Luego:
7 tg tg 7 tg 2− θ + θ − = β +
7 7 7 7 tg 2− + − = β +
tgβ = –2
1
5
b
-2
1
cos
5
β =
• Nos piden: cosθ · cosβ
1 1 1 10
cos cos
208 5 40
−
θ⋅ β = − ⋅ = − = Rpta.: C
Resolución 10
• P y Q puntos simétricos:
• Nos piden:
1 1 53 7
ctg
22 2tg
2 53 7
φ −
= = =
φ
−
4 2
tg
2 2 53 14 53 7
φ
= =
− −
Rpta.: C
Resolución 11
• ∆ABC equilátero: a = 4
P(–2a;4a – 1) = (–8;15)
• Nos piden:
E = senθ · cosθ
E =
15 8
17 17
−
⋅ =
120
289
−
Rpta.: C
-14 (6;0)
4
Q(-14;4)
2 53
1
7
8
q
3
120°
17
4
2o 6
4
C
-8
60°
4
A(2;3)
a=4
B(6;7)
7
x’
P(-8;15)
15
y’

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