Este documento presenta 33 problemas de matemáticas con sus respectivas soluciones. Los problemas cubren temas como operaciones aritméticas, porcentajes, álgebra, fracciones y sistemas de ecuaciones. El documento parece ser un solucionario de guía de estudio para una unidad de aritmética.

1. MINISTERIO DE EDUCACION
CONSEJO NACIONAL DE UNIVERSIDADES
UNAN-MANAGUA
UNI
UNAN-LEON
Solucionario de Guía de Estudio de Matemática
Agosto, 2014

2. UNIDAD DE ARITMÉTICA
1. La expresión 311
+ 311
+ 311
equivale a:
Solución :
Al sumar los tres términos se obtiene
3 311
= 312
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el
número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es:
Solución :
Al sumar ambos números se obtiene
2a3 + 326 = 5b9
como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es
múltiplo de 9, entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual signi…ca que a = 2 y por tanto
a + b = 6:
3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué
porcentaje de la cantidad original me queda?
Solución :
Sea x = Cantidad Inicial , entonces
x + 0:1x = 1:1x
es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos
1:1x 0:1 (1:1x) = 0:99x
lo cual representa un 99% de la cantidad inicial.
4. Al simpli…car [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)] el resultado es:
Solución :
Al efectuar las operaciones indicadas se tiene
[(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)] = [5 + ( 7)] ( 30) [( 4) ( 3) (5)]
= ( 2) ( 30) 60
= 60 60
= 1
2

3. 5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?
Solución :
La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 24
53
; sumando 1 a cada exponente y multiplicando
dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20
6. Al simpli…car 4 (3)
2
6 3
p
4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9. El resultado es:
Solución :
Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritméticos, se tiene
4 (3)
2
6 3
p
4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 36 6 6 + 2 [35 15 3] 4 12 9
= 6 6 + 2 [35 5] 4 12 9
= 60 4 12 9
= 240 12 9
= 20 9
= 11
7. Simpli…que
1
2
5
3
3
4
3
4
3
5
6
17 1
Solución:
1
2
5
3
3
4
3
4
3
5
6
17 1 =
1
2
5
4
3
10
9
17 1
=
3
4
17
9
17 1
=
27
68
17 1
=
27
4
1
= 7
3
4
8. ¿Cuántos números válidos (números que no tienen al cero como primer dígito) de cinco cifras se pueden escribir
usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4?
Solución :
El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de
los 5 dígitos restantes, es decir,
4 5 5 5 5 = 4 54
3

4. 9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan?
Solución :
Una de la formas de resolver este problema es
69 ! 115%
x ! 100%
, de aqui x =
69 100%
115%
= 60
10. En una ciudad,
2
3
de los hombres están casados con los
3
5
de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros,
¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?
Solución :
Sea x = Cantidad de Hombres
y = Cantidad de Mujeres
2
3
x =
3
5
y ; de aqui, y =
10
9
x
x +
10
9
x 2
2
3
x
x +
10
9
x
=
7
19
11. El resultado de 125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3
1
2
es:
Solución:
125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3
1
2
= 53
2
3 + 24
1
2 + 73
1
3
1
2
= 52
+ 22
+ 7
1
2
= [36]
1
2
= 6
12. Obtenga el resultado de (0:027)
1
3 + 2560:75
3 1
+ (4:5)
0
Solución:
(0:027)
1
3 + 2560:75
3 1
+ (4:5)
0
= 3
10
3
1
3
+ 28
3
4 1
3 + 1
= 3
10
1
+ 26 1
3 + 1
= 10
3 + 64 1
3 + 1
= 68
13. ¿Cuál es el valor de a en (3a)
5
= 248832?
Solución:
(3a)
5
= 248832
35
a5
= 210
35
a5
=
210
35
35
a = 22
a = 4
4

5. 14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los
jugados?
Solución :
Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es
15
20
=
3
4
15. Si x es un número par y y es un número impar. ¿Cuál.de las siguientes a…rmaciones siempre es falsa?
Solución:
La falsa es y+y
2 = 2y
2 = y es par, porque aqui se produce una contradicción, y no puede ser par e impar a la
vez.
16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes
números puede representar la suma de estos dos números?
Solución :
Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de
5. Como su m.c.m. es 105, entonces
105
5
= 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es
3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50
17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella misma.
No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces
tenía?
Solución:
Como se quedó con 3 dulces, el número inicial de dulces termina en 3 o en 8, pero como es un múltiplo de 6,
es par, por lo que termina en 8. La única posibilidad es 78.
18. El resultado de
2
6
6
6
4
5 4
0
B
B
B
@
1
2
2
1
1
2
1
1
C
C
C
A
3
7
7
7
5
es
Solución :
Al desarrollar la fracción se tiene
5 4
0
B
B
B
@
1
2
2
1
1
2
1
1
C
C
C
A
= 5 4
3
2
= 1
5

6. 19. El resultado de
2
3
4
5
6
7
es:
Solución :
Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene
2
3
4
5
7
6
=
2
3
14
15
=
4
15
20. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su
casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa?
Solución :
El valor gastado en el pago de impuesto es
0:2x
luego lo que le queda es
x 0:2x = 0:8x
por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es
0:2 (0:8x) = 0:16x
lo cual corresponde a un 16%
21. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los
3
5
de los
7
2
del costo de un juguete que me ha costado C$40:00?
Solución :
Aplicando operaciones básicas aritméticas
3
5
7
2
40 = 84:0
luego se ha ganado 84 40 = 44:00 córdobas.
22. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectiva-
mente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue
de:
Solución :
La menor de la aportaciones equivale
0:15x = 9000
luego el monto total es
x = 60; 000
La mayor de las aportaciones equivale
0:4 (60000) = 24; 000
6

7. 23. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está
formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos
años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de
bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión?
Solución :
Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces
0:7x + 0:3 (95) = 81
x = 75
24. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes
de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de
paseo?
Solución :
Sea n la cantidad de amigas, entonces
30n < 240
40n > 240
y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es
n = 7:
25. En el parqueo de una cierta universidad, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total
de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay?
Solución :
Sean x la cantidad de carros y (20 x) la cantidad de motos respectivamente, entonces
4x + 2 (20 x) = 70
x = 15
por tanto, hay 15 carros y 5 motos.
26. Un estudiante de una cierta universidad proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada”
en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$
100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada”de este estudiante?
Solución :
Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces
x
x
4
x
2
x
5
= 100
x = 2000
7

8. 27. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen
del líquido que se forma?
Solución :
Hay que obtener el 9% de 1000, es decir
0:09 1000 = 90cc
por tanto, el volumen que se forma es de
1000cc 90cc = 910cc
28. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?
Solución :
La expresión 2n2
es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre será impar
29. El resultado de
2
6
6
6
4
5 4
0
B
B
B
@
1
2
2
1
1
2
1
1
C
C
C
A
3
7
7
7
5
es
Solución :
Al desarrollar la fracción se tiene
5 4
0
B
B
B
@
1
2
2
1
1
2
1
1
C
C
C
A
= 5 4
3
2
= 1
30. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números
naturales y que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39
Solución :
Como sabemos que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo
común divisor y obtenemos : b = gcd (39; 91) = 13 , d = gcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y
entonces L = a + b + c , H = d + c = f + g; y sustituyendo L = 9 + 13 + 8 = 30; H = 2 + 8 = 7 + 3 = 10;
por tanto el producto es 300:
31. Al desarrollar la expresión
qpp
625a8
2
el resultado es:
Solución: qpp
625a8
2
=
h
54
a8
1
8
i2
=
h
5
1
2 a
i2
= 5a2
8

9. 32. El resultado de
q
a 3
p
a
p
a es:
Solución: q
a 3
p
a
p
a =
q
a
3
pp
a a2
=
q
3
p
a3
p
a3
=
q
3
pp
a9
=
12
p
a9
=
4
p
a3
33. Una epidemia mató los
5
8
de las reses de un ganadero y luego él vendió los
2
3
de las que le quedaban. Si aún
tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?
Solución :
Formamos una ecuación lineal x
5
8
x
2
3
x
5
8
x = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las
reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son
5
8
(1728) = 1080; las que le quedan son 1728 1080 = 648
y las vende son
2
3
(648) = 432
34. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos
docenas de huevos?
Solución :
Este es un problema de proporcionalidad compuesta,
Gallinas Huevos Dias
1 2 3
4 24 x
De aqui
4
1
2
24
=
3
x
; x = 9
35. El 41
2
3
% es equivalente a:
Solución:
Usando una regla de tres simple:
100% ! 1
125
3
% ! x
Tenemos que equivale a
5
12
9

10. 36. Halla el número cuyo 3:6 porciento vale
3 + 4:2 0:1
1 0:3 2
1
3
0:3125
Solución :
Llamamos N al número buscado y A a la expresión dada. Entonces: A =
(3:6 N)
100
; de aqui N = A
100
3:6
;
haciendo las operaciones respectivas, se obtiene que
3 + 4:2 0:1
1 0:3 2
1
3
0:3125
100
36
= 4000
37. Al realizar la operación 4:62 10 2
2:2 10 4
se obtiene el número
Solución :
Al realizar la división indicada
4:62
2:2
102
= 210
38. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira
y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando
solo es:
Solución:
Al plantear una regla de tres compuesta
Hombres Dias Proyectado Dias Reales
2 24 20
1 x 30
De aqui
x =
2 24 30
1 20
= 72
39. Al simpli…car la expresión
21
+ 20
+ 2 1
2 2 + 2 3 + 2 4
se obtiene:
Solución:
Al reescribir la expresión dada
2 + 1 +
1
2
1
4
+
1
8
+
1
16
y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8
10

11. 40. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de
125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en
total?
Solución:
Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene
35:75 1000 = 35750
lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir
35750
125
= 286
pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287:
41. La operación está de…nida por a b = 2ab 3b en la que a y b son números enteros. ¿Cuál es el resultado
de [4 ( 1)] ( 3)?
Solución:
Realizando las operaciones por partes:
[4 ( 1)] = 2 (4) ( 1) 3 ( 1) = 8 + 3
[( 5) ( 3)] = 2 ( 5) ( 3) 3 ( 3) = 30 + 9 = 39
42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20?
Solución:
Calculemos los porcentajes dados
0:5 (50) = 25
0:2 (20) = 4
por tanto, la diferencia dada es 21
43. En la sustracción a b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del
minuendo?
Solución:
Sabemos que
a + b + c = 32
pero a b = c; entonces
a + b + a b = 32
a = 16
11

12. 44. El resultado de la operación
2
2
5
4
5
+
3
1
3
4
3
4
1
4
1
2
+
5
1
5
24
7
20
11
2
es:
Solución:
2
2
5
4
5
+
3
1
3
4
3
4
1
4
1
2
+
5
1
5
24
7
20
11
2
=
2 + 2
15
2 + 1
5
77
40
=
4
77
10
77
40
= 1
45. El valor numérico de la expresión
42
(3 2)
2
( 6 + 1)
2 es:
Solución:
Al desarrollar la expresión dada
42
(3 2)
2
( 6 + 1)
2 =
16 1
25
=
3
5
46. Si A comió
1
4
de un queque, B comió
1
3
de lo que quedó después que A comió; C comió
1
2
de lo que quedó
después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó?
Solución :
Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene
x
1
4
x
1
3
x
1
4
x
1
2
x
1
4
x
1
3
x
1
4
x
1
4
x
47. Con los
2
7
del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los
3
5
del dinero que
le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?
Solución :
Al aplicar los datos
x
2
7
x
3
5
x
2
7
x = 100
x = 350
12

13. lo gastado en hamburguesa es
3
5
x
2
7
x =
3
5
350
2
7
350 = 150
48. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3%
de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos
¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica.
Solución :
Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos
0:6x + 0:4 (x 0:6x) = 100
49. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de
llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina
cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro?
Solución :
Haciendo la diferencia
47506 47286 = 220
el promedio en kilometraje es
220
20
= 11
50. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua.
Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes
de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida?
Solución :
La relación en el frasco de 12 onzas es
4
8
y en el frasco de 8 onzas es
2
6
; entonces la relación total entre el ácido
y el agua es
6
14
=
3
7
51. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Solución :
La fórmula dada es F = P (1 + i)
t
entonces
22400 = 20000 (1 + i)
i = 0:12
lo cual representa 12%
13

14. 52. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M, se obtiene
5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M?
Solución :
De acuerdo a los datos del problema
N = cd + R = 36 + 1 = 37
N = 5M + 2
al sustituir los datos
37 2
5
= M
M = 7
53. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó,
en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra?
Solución :
El costo real de cada piedra es
8800
4000
= x + 5x
x
100
2:2 = x +
x2
20
x = 2
54. El valor de la expresión
1
2
2
+ ( 2)
2
( 2)
3 es:
Solución :
Al reescribir la expresión dada
1
2
2
+ ( 2)
2
( 2)
3 =
22
+ 4
8
= 1
55. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4
años a una tasa del 6 % anual.
Solución :
La fórmula a utilizar es
I = C i t = 25000 0:06 4 = 6; 000
14

15. 56. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3 1017
segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5 1011
segundos.
La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es:
Solución :
Sea d la diferencia de edad, entonces
d = 1:3 1017
1:5 1011
d = 1011
1:3 106
1:5
d = 1011
(1299998:5)
d = 1:2999985 1017
seg
57. La luz recorre aproximadamente 3 105
km por segundo. ¿Cuántos metros recorrerá en 365 días? El resultado
en notación cientí…ca es:
Solución:
En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre
3 105
103
m, en esos segundos la luz recorrerá:
31; 536; 000 3 108
m = 94; 608 1011
m
= 9:4608 1015
m
58. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 105
km=seg: La estrella más cercana a la tierra está a 4300
años luz de distancia. La distancia en km y escrita en notación cientí…ca es:
Solución:
En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre
3 105
103
m, en esos segundos la luz recorrerá 31; 536; 000 3 108
m = 94; 608 1011
m, entonces:
31; 536; 000 3 108
m = 94; 608 1011
m
= 9:4608 1012
m=seg
La estrella más cercana está a 4300 AL, entonces
4300 9:4608 1012
= 40681:44 1012
= 4:068144 104
1012
= 4:068144 1016
km
59. ¿Qué altura tendría una pila de 1; 000; 000 de hojas de cuaderno si se necesitan 10 hojas para tener 1mm?
Solución:
Utilizando una regla de tres simple:
15

16. 1; 000; 000 ! x
10 ! 1mm
Entonces, la altura x de la pila es 1; 000; 000 10 = 100; 000mm = 105
mm.
60. ¿Cuántos rieles de 15m se necesitan para enlazar a una fábrica con la estación que dista 765m?
Solución:
Se necesitan 765m 15m = 51 rieles.
61. ¿Cuántos al…leres de 3:5cm de largo pueden fabricarse con un alambre de latón de 152:07m, sabiendo que hay
una pérdida de 2mm de alambre por al…ler?
Solución:
En total hay 152:07m = 152:07 100 = 15; 207cm de alambre y se pierde 2mm = 2 10 = 0:2cm de alambre
por cada al…ler. Entonces, si x representa la cantidad de al…leres que pueden fabricarse:
15207 = (3:5 + 0:2) x
15207
3:7
= x
4110 = x
Se pueden fabricar 4,110 al…leres.
62. Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1; 520 pasos de 62 cm. ¿Cuántos km habrá recorrido
durante un año escolar de 210 días si va al colegio y vuelve a su casa?
Solución:
De su casa a la escuela (y viceversa) recorre 1; 520 0:62 = 942:40m, al día recorre
2 942:40m = 1884:8m = 1884:8 1000 = 1:8848km:
Durante el año habrá recorrido 210 1:8848 = 395:8km.
63. Se ha necesitado 54; 000 losetas para pavimentar los 2; 430 m2
que miden las aceras de una calle. ¿Cuál es en
mm2
la super…cie de una loseta?
Solución:
La super…cie de cada loseta es de 2; 430 m2
54; 000 = 0:045m2
. Como 1m2
= 1; 000; 000mm2
. Entonces:
0:045 1; 000; 000mm2
= 45; 000mm2
16

17. 64. Si el m2
de un terreno vale 2 dolar, ¿Cuántos dólares vale comprar un campo de 7 Ha?
Solución:
Como 7Ha = 7 10; 000m2
= 70; 000m2
, entonces comprar el campo cuesta 70; 000 $2 = $140; 000.
65. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2; 180; 000 km2
y una de las más pequeñas es Cabrera, con
2000 Ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia?
Solución:
Como 2; 180; 000 km2
= 2; 180; 000 100 = 218; 000; 000Ha. Entonces la isla Cabrera cabe 218; 000; 000Ha
2000 Ha = 109; 000 veces en Groelandia.
66. Una tinaja que contiene 0; 4 m3
de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos euros resulta el litro?
Solución:
Como 0; 4m3
= 0; 4 1000 = 400l, el precio del aceite por litro es 800 400 = 2 euros.
67. Un caramelo tiene un volumen de 1; 3 cm3
. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0; 4498 dm3
?
Solución:
Como 0; 4498 dm3
= 0; 4498 1000cm3
= 449; 8cm3
. En la caja caben 449; 8 1; 3 = 346 caramelos.
68. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos
puede contener la caja?
Solución:
El volumen de los trozos de jabón es (5cm)
3
= 125cm3
y el volumen de cada caja es (60cm)
3
= 216; 000cm3
.
Entonces cada caja puede contener 216; 000 125 = 1728 trozos de jabón.
69. ¿Cuántas botellas de 750 cm3
se necesitan para envasar 300 litros de refresco.
Solución:
Como 750 cm3
= 750 1000 = 0:75 litros, entonces se necesitan 300 0:75 = 400 botellas para envasar 300
litros de refresco.
70. La capacidad de un depósito de gasolina es 1500 litros. ¿Cuál es su volumen en cm3
?
Solución:
El volumen del depósito es de 1500 1000 = 150; 000cm3
.
17

18. 71. Un camión transporta 50 cajas con botellas llenas de agua. Cada caja contiene 20 botellas de litro y medio.
Una caja vacía pesa 1500 g, y una botella vacía, 50 g. ¿Cuál es el peso total de la carga?
Solución:
Cajas vacías: 50 1500g = 75; 000g
Botellas vacías: 50 20 50g = 50; 000g
Cajas llenas : 50 20 1:5l = 1500l = 1500 1000g = 1; 500; 000g
El peso total de la carga es de
75; 000g + 50; 000g + 1; 500; 000g = 1; 625; 000g = 1; 625; 000 1000 = 1; 625kg:
72. Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de 25 kilos de cemento tendré que
comprar?
Solución:
Como 2 toneladas = 2 1000 = 2; 000kg, se tienen que comprar 2; 000 25 = 80 sacos.
73. Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía
si cada vagón carga 1400 kg?
Solución:
Como 2800 toneladas = 2800 1000 = 2; 800; 000kg, hacen falta 2; 800; 000 1; 400 = 2000 vagones.
74. La temperatura del cuerpo humano es 37 C. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen?
Solución:
Para convertir grados celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula:
o
F = o
C
9
5
+ 32
En este caso:
o
F = 37
9
5
+ 32 = 66:6 + 32 = 98:6o
F
75. Para asar un pollo se necesita que el horno de la cocina alcance una temperatura de 374 F. ¿A qué temperatura
debo …jar el graduador para asar el pollo, si la graduación está en grados centígrados ( C)?
Solución:
Para convertir grados Celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula:
o
C = (o
F 32)
5
9
En este caso:
o
C = (374 32)
5
9
= 342
5
9
= 190o
C
18

19. UNIDAD DE ÁLGEBRA
1. Dado el polinomio lineal f(x) = x
1
2
; la suma f(x) + f(x +
1
4
) + f(x +
2
4
) + f(x +
3
4
) es igual a:
Solución:
Al evaluar el polinomio f (x) = x
1
2
; se obtiene que
f (x) = x
1
2
f x +
1
4
= x +
1
4
1
2
= x
1
4
f x +
2
4
= x +
2
4
1
2
= x
f x +
3
4
= x +
3
4
1
2
= x +
1
4
de donde
f (x) + f x +
1
4
+ f x +
2
4
+ f x +
3
4
= x
1
2
+ x
1
4
+ x + x +
1
4
= 4x
1
2
2. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3
+ y3
?
Solución:
Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene
(x + y)
3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
= 1
x3
+ 3xy (x + y) + y3
= 1
x3
+ 3 (1) (1) + y3
= 1
x3
+ y3
= 2
3. Si a = 1; b = 3; c = 5, entonces
a + b ja bj
jaj + jbj + jcj
es igual a:
Solución:
Haciendo las debidas sustituciones resulta
1 + 3 j 1 3j
j 1j + j3j + j5j
=
2 4
9
=
2
9
:
4. El valor numérico de la expresión
a2
a + b2
a3
b3
a2
b
(a2 + b2) (2a 3b2)
para a = 1 y b = 2 es:
Solución :
Al sustituir los valores respectivos se obtiene
(1)
2
1 + ( 2)
2
(1)
3
( 2)
3
(1)
2
( 2)
(1)
2
+ ( 2)
2
2 (1) 3 ( 2)
2
=
27
10
19

20. 5. Las raíces de la ecuación ax2
+ bx + c = 0 serán recíprocas si:
Solución :
Las raíces de la ecuación seran recíprocas si al multiplicarla el resultado es 1, de la fórmula general se puede
ver que
b +
p
b2 4ac
2a
!
b
p
b2 4ac
2a
!
= 1
b2
b2
4ac
4a2
= 1
de aquí, c = a
6. El resultado de (bn
5ym
) (5ym
+ bn
) es:
Solución :
El producto indicado es un producto notable y su resultado es
(bn
)
2
(5ym
)
2
= b2n
25y2m
7. La descomposición en factores de la expresión 3x2
2x 8 es:
Solución :
Al factorizar dicha expresión se tiene
3x2
2x 8 = (3x + 4) (x 2)
8. La descomposición en factores de la expresión x3
64y3
es
Solución :
Al factorizar se tiene
x3
64y3
= (x 4y) 4xy + x2
+ 16y2
9. La simpli…cación de
a2
4b2
ab + 2b2
3a2
5ab 2b2
3a2 + ab
es
Solución :
Al factorizar los diferentes términos de las fracciones, se tiene
a2
4b2
ab + 2b2
3a2
5ab 2b2
3a2 + ab
=
(a + 2b) (a 2b)
b (a + 2b)
(a 2b) (3a + b)
a (3a + b)
=
(a + 2b) (a 2b)
b (a + 2b)
a (3a + b)
(a 2b) (3a + b)
=
a
b
20

21. 10. Al simpli…car la expresión
1
a
1
p
a
1
p
a
+
1
a
se obtiene
Solución :
Al determinar el mínimo común de ambos denominadores
p
a a
a
p
a
a +
p
a
a
p
a
=
p
a a
p
a + a
al racionalizar el denominador, obtenemos
p
a a
p
a + a
p
a a
p
a a
=
(
p
a a)
2
a a2
=
a1=2
1 a1=2 2
a (1 a)
=
(1
p
a)
2
1 a
11. El resultado de la siguiente operación
1
x 1
+
12x2
4x
4x2 11x 3
3x2
+ 8x 3
x2 9
es
Solución :
Al desarrollar las operaciones indicadas y factorizando, se tiene
1
x 1
+
4x (3x 1)
(4x + 1) (x 3)
(x + 3) (3x 1)
(x 3) (x + 3)
1
x 1
+
4x (3x 1)
(4x + 1) (x 3)
(x 3) (x + 3)
(x + 3) (3x 1)
1
x 1
+
4x
4x + 1
4x2
+ 1
4x2 3x 1
4x2
+ 1
(4x + 1) (x 1)
12. Al desarrollar
x
y
y
x
2
se obtiene
Solución :
Desarrollando el cuadrado
x
y
y
x
2
=
x2
y2
xy
2
=
x4
2x2
y2
+ y4
x2y2
21

22. 13. Al racionalizar el denominador de la fracción
x 2
3 +
p
2x + 5
se obtiene
Solución :
Al multiplicar por su conjugado
x 2
3 +
p
2x + 5
3
p
2x + 5
3
p
2x + 5
=
p
2x + 5 3
2
14. El conjunto solución de la ecuación
3x
x 5
= 1 +
15
x 5
es
Solución :
Al multiplicar por el mínimo común denominador
(x 5)
3x
x 5
= (x 5) 1 +
15
x 5
3x = x 5 + 15
2x = 10
x = 5
15. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x2
+ kx + k = 2 3x es:
Solución :
Una ecuación de segundo orden tiene una solución si el discriminante b2
4ac = 0; entonces, al reescribir dicha
ecuación en la forma x2
+ (k + 3) x + (k + 2) = 0 y al analizar su discriminante, se tiene
(k + 3)
2
4 (1) (k + 2) = 0
y al resolver dicha ecuación, se tiene que k = 1
16. Al resolver el sistema de ecuaciones
8
><
>:
2
3x + y
+
4
3x y
= 3
2
3x + y
4
3x y
= 1
, se obtiene que el valor de la variable y es:
Solución :
Al sumar ambas ecuaciones,
4
3x + y
= 4
3x + y = 1
y = 1 3x
sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos
2
3x + 1 3x
+
4
3x 1 + 3x
= 3
4
6x 1
= 1
x =
6
6
y al sustituir en y = 1 3x; obtenemos y =
3
2 22

23. 17. Al efectuar
x2
4
(x 2)
2 +
(x + 2)
2
x2 4
se obtiene :
Solución :
La expresión dada se puede reescribir por
(x + 2) (x 2)
(x 2)
2 +
(x + 2)
2
(x + 2) (x 2)
x + 2
x 2
+
x + 2
x 2
2 (x + 2)
x 2
18. Al resolver la ecuación
x + 1
x 1
+
2x 1
x + 1
= 4 se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las
raíces es :
Solución :
La expresión dada se puede reescribir por
(x + 1)
2
+ (2x 1) (x 1)
x2 1
= 4
3x2
x + 2 = 4x2
4
x2
+ x 6 = 0
al resolver dicha ecuación, se tiene que las soluciones reales son x1 = 3 ; x2 = 2; por tanto, la diferencia
entre las raíces es 5
19. Al resolver el sistema de ecuaciones
( p
2x +
p
3y
2
= 5 + 2
p
6xy
2x 3y = 1
, se obtiene que el valor de la variable
y es:
Solución :
Podemos ver que 2x = 1 + 3y al sustituir en la ecuación dada, se tiene que
p
1 + 3y +
p
3y
2
= 5 + 2
p
(1 + 3y) 3y
p
1 + 3y +
p
3y
2
= 5 + 2
p
3y (1 + 3y)
desarrollando el cuadrado
1 + 3y + 2
p
3y (1 + 3y) + 3y = 5 + 2
p
3y (1 + 3y)
4 + 6y = 0
y =
2
3
23

24. 20. El conjunto solución de la desigualdad x3
+ x2
2x > 0 es :
Solución :
Al factorizar dicha expresión se tiene
x (x + 2) (x 1) > 0
entonces los números críticos son
x = 0; x = 2; x = 1
entonces
Expresión x x + 2 x 1 Signo
x < 2
2 < x < 0 + +
0 < x < 1 + +
x > 1 + + + +
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo positivo, es decir
( 2; 0) [ (1; +1)
21. El valor de k de manera que la ecuación 2x2
+ kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a 3 es:
Solución :
Sabemos que la raices de la ecuación cuadrática tiene la forma
b
p
b2 4ac
2a
entonces, como una de las raices es 3; obtenemos
k
p
k2 4 (2) (4)
2 (2)
= 3
k =
22
3
22. El conjunto solución de la desigualdad jx +
2
3
j 2 es
Solución :
Aplicando propiedad de valor absoluto
2 x +
2
3
2
2
2
3
x 2
2
3
8
3
x
4
3
24

25. 23. El conjunto solución de la desigualdad 1
7 x
2
3 es
Solución :
Aplicando propiedad de valor absoluto
1
7 x
2
3
2 7 x 6
2 7 x 6 7
multiplicando por 1 y cambiando el sentido de la desigualdad
5 x 1
1 x 5
en forma de intervalo se tiene [ 1; 5]
24. El conjunto solución de la desigualdad j5 2xj < 7, está dado por el intervalo
Solución :
Aplicando propiedad de valor absoluto
7 < 5 2x < 7
7 5 < 2x < 7 5
12 < 2x < 2
multiplicando por
1
2
y cambiando el sentido de la desigualdad
6 > x > 1
1 < x < 6
la cual se puede escribir en notación de intervalo por ( 1; 6)
25. El conjunto solución de la desigualdad
(x + 10) (x 2)
x2 7x 8
0 es
Solución :
Factorizando la expresión del denominador, obtenemos
x2
7x 8 = (x + 1) (x 8)
entonces los puntos criticos son
x = 10 ; x = 1 ; x = 2 ; x = 8
25

26. entonces
Expresión x + 10 x 2 x + 1 x 8 Signo
x 10 +
10 x < 1 +
1 < x 2 + + +
2 x < 8 + + +
x > 8 + + + + +
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir
[ 10; 1) [ [2; 8)
26. El conjunto solución de la ecuación
p
2x + 3
p
x 2 = 2 es
Solución :
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
p
2x + 3
p
x 2
2
= 4
2
p
(2x + 3) (x 2) = 3 3x
nuevamente elevando al cuadrado
2
p
(2x + 3) (x 2)
2
= (3 3x)
2
8x2
4x 24 = 9x2
18x + 9
x2
14x + 33 = 0
al resolver dicha ecuación, se tiene que el conjunto solución es f3; 11g
27. Si j2x 1j > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es
Solución :
Por de…nición se obtiene
2x 1 > 3 o 2x 1 < 3
entonces
2x > 4 o 2x < 2
x > 2 o x < 1
por tanto, el conjunto solución es ( 1; 1) [ (2; 1) ; es decir x =2 [ 1; 2] ; lo cual es el valor x = 1
26

27. 28. Si x +
1
x
2
= 3 entonces x3
+
1
x3
es igual a:
Solución :
Multiplicando por x +
1
x
a la expresión x +
1
x
2
= 3 se obtiene que :
x +
1
x
x +
1
x
2
= 3 x +
1
x
x +
1
x
3
= x3
+ 3x2 1
x
+ 3x
1
x2
+
1
x3
= 3x +
3
x
x3
+
1
x3
= 0
29. El conjunto solución de 3x + jxj = 8 es
Solución :
Aplicando la de…nición de valor absoluto, para x 0
3x + x = 8
x = 2
para x < 0
3x x = 8
x = 4
podemos notar que para x = 2 se tiene una solución extraña y por tanto, la única solución es x = 4
30. Al factorizar la expresión 12x3
+ 36x2
27x uno de los factores es:
Solución :
Factorizando la expresión dada
12x3
+ 36x2
27x = 3x (2x 3)
2
31. El resultado simpli…cado de
3y
2
4
p
8x3y7
1
3x
4
p
8x2y3, es:
Solución :
Al efectuar las operaciones indicadas, se tiene
y
2x
4
p
82x5y10 =
y
2x
p
8x 4
p
xy2 4
p
y2 = y3 4
p
4xy2
27

28. 32. Si x; y; z, son números positivos que satisfacen x +
1
y
= 4 ; y +
1
z
= 1 ; z +
1
x
=
7
3
entonces el valor de xyz es:
Solución :
Reescribiendo las expresiones dadas
xy + 1 = 4y
xyz + z = 4yz
xyz = 4yz z
xz + 1 =
7
3
x
xyz + y =
7
3
xy
Igualando las expresiones y sabiendo que x = 4
1
y
; z =
7
3
1
x
entonces
4yz z = z 4
1
y
4
1
y
=
1
y
(4y 1) (z 1)
=
1
y
(4y 1)
0
B
B
@
7
3
1
4
1
y
1
1
C
C
A
=
1
3y
(13y 4)
pero
1
3y
(13y 4) = xyz
1
3y
(13y 4) = 4
1
y
y
0
B
B
@
7
3
1
4
1
y
1
C
C
A
y =
2
5
entonces
x = 4
1
y
=
3
2
z =
7
3
1
x
=
5
3
de aqui
xyz = 1
28

29. 33. Si n > 1, entonces 3
q
n 3
p
n 3
p
n es igual a:
Solución :
Aplicando la de…nición de radicales
3
r
n
3
q
n 3
p
n =
3
q
n
3
p
nn1=3 =
3
q
n
3
p
n4=3 =
3
p
nn4=9 =
3
p
n13=9 = n13=27
34. La expresión
n2p
a:a33
:a53
::::a(2n 1)3
es igual a:
Solución :
Al utilizar la igualdad 13
+ 33
+ ::: + (2n 1)
3
= n2
2n2
1 ; y observando que la cantidad subradical es
un producto de potencia de la misma base y que dicha suma coincide con la dada en la sugerencia, podemos
sustituir y obtener
n2p
an2(2n2 1) = a2n2
1
35. Si (x + y)
2
= 2 x2
+ y2
el valor de E =
3x3
y3
x2y
+
3x + y
5x
+
6y
2x + y
será:
Solución:
Al efectuar la suma tenemos que
3x3
y3
x2y
+
3x + y
5x
+
6y
2x + y
=
30x4
+ 21x3
y + 35x2
y2
9xy3
5y4
5 (2xy y2) y (2x + y)
=
30x4
+ 21x3
y + 35x2
y2
9xy3
5y4
20x2y2 5y4
Por otro lado, como (x + y)
2
= 2 x2
+ y2
, resulta que x2
= 2xy y2
, así al sustituir obtenemos
3x3
y3
x2y
+
3x + y
5x
+
6y
2x + y
=
30x4
+ 21x3
y + 35x2
y2
9xy3
5y4
20x2y2 5y4
=
30 2xy y2 2
+ 21 2xy y2
xy + 35 2xy y2
y2
9xy3
5y4
20 (2xy y2) y2 5y4
=
162x2
y2
80xy3
10y4
20 (2xy y2) y2 5y4
=
162 2xy y2
y2
80xy3
10y4
20 (2xy y2) y2 5y4
=
4y3
(43y 61x)
5y3 (5y 8x)
=
172y 244x
25y 40x
29

30. 36. Si el polinomio P (x) = x4
+ ax3
bx2
+ cx 1 es divisible por (x 1) (x + 1) (x 1) ; el valor de (a + b + c)
2
es:
Solución
El polinomio (x 1) (x + 1) (x 1) es igual a x3
x2
x+1. Al dividir P (x) entre x3
x2
x+1, el residuo es
(a b + 2) x2
+(a + c) x+( a 2) y el cociente x+(a + 1). Pero P (x) es divisible entre (x 1) (x + 1) (x 1)
así que el residuo debe ser cero, es decir, (a b + 2) x2
+(a + c) x+( a 2), y para que esto ocurra a b+2 = 0,
a + c = 0, a 2 = 0. De esto resulta que a = 2; c = 2 y b = 0. Por lo tanto,
(a + b + c)
2
= ( 2 + 0 + 2)
2
= 02
= 0
37. Sabiendo que x +
1
x
= 3;al determinar el valor de E = x3
+ x2
+
1
x3
+
1
x2
obtenemos:
Solución
Se tiene que
x +
1
x
2
= x2
+
1
x2
+ 2
por lo cual al sustituir x +
1
x
= 3, resulta que x2
+
1
x2
= 32
2 = 7: Similarmente, como
x +
1
x
3
= x3
+
1
x3
+ 3 x +
1
x
= x3
+
1
x3
+ 9
se obtiene que x3
+
1
x3
= 33
9 = 18. Por tanto, E = 7 + 18 = 25
38. Si el cociente notable
x30
ym
xn y2
tiene 10 términos, entonces el valor de (m + n) es:
Solución
En un cociente notable, para hallar el número de términos que va a tener la solución de la división, por ejemplo
de:
xp
yq
xr ys
se calcula como la división de los exponentes de la misma variable:
n =
p
r
=
q
s
Así pues en este caso
10 =
30
n
=
m
2
de lo cual se deduce que n = 3 y m = 20; luego m + n = 23
30

31. 39. Si 264
= aa
y
p
3
54
= (3b)
b
; al determinar el valor de 3a + b se obtiene:
Solución
Tenemos que aa
= 264
= 24 16
= (16)
16
, así que a = 16. Por otro lado, (3b)
b
=
p
3
54
= (3)
27
= 33 9
=
(3 9)
9
; lo cual indica que b = 9. Luego, 3a + b = 48 + 9 = 57
40. Si (2a + b)
c
=
1
5
; entonces el valor de b2
+ 4ab + 4a2 c
es:
Solución
Se tiene que
b2
+ 4ab + 4a2 c
=
h
(2a + b)
2
ic
= [(2a + b)
c
]
2
Como el inverso multiplicativo de (2a + b)
c
es 1
5 , signi…ca que (2a + b)
c
= 5, resultando que b2
+ 4ab + 4a2 c
=
[(2a + b)
c
]
2
= 52
= 25
41. Sabiendo que a + b + c = 0; ab + ac + bc = 7 y abc = 6 entonces el valor de
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
es:
Solución
Tenemos que
1
a
+
1
b
+
1
c
2
=
2
ab
+
2
ac
+
2
bc
+
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
bc + ac + ab
abc
2
=
2 (c + b + a)
abc
+
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
=
bc + ac + ab
abc
2
2 (c + b + a)
abc
Ahora haciendo las debidas sustituciones, resulta
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
=
7
6
2
2 (0)
6
=
49
36
42. Al simpli…car la expresión A =
x2
(x y) (x z)
y2
(y z) (y x)
+
z2
(z x) (z y)
el resultado es:
Solución
Efectuando las operaciones indicadas se obtiene
x2
(x y) (x z)
y2
(y z) (y x)
+
z2
(z x) (z y)
=
x2
(y z) y2
(z x) + z2
(x y)
(x y) (x z) (y z)
=
(x z) xy xz + yz + y2
(x y) (x z) (y z)
=
xy xz + yz + y2
(x y) (y z)
31

32. 43. El conjunto solución de la ecuación
x2
6x + 10
x2 + 8x + 17
=
x 3
x + 4
2
, es:
Solución
Desarrollando el cuadrado en el miembro derecho de la igualdad, tenemos
x2
6x + 10
x2 + 8x + 17
=
x2
6x + 9
x2 + 8x + 16
de lo cual se obtiene
x2
6x + 10 x2
+ 8x + 16 = x2
6x + 9 x2
+ 8x + 17
x4
+ 2x3
22x2
16x + 160 = x4
+ 2x3
22x2
30x + 153
16x + 160 = 30x + 153
16x + 30x = 153 160
14x = 7
x =
7
14
x =
1
2
44. Un barril contiene 120 litros de alcohol y 180 litros de agua;un segundo barril contiene 90 litros de alcohol y
30 litros de agua¿ Cuántos litros debe tomarse de cada uno de los barriles para formar una mezcla homogénea
que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol.
Solución
El primer barril contiene una mezcla 300 litros, en la cual el
(120) (100)
300
= 40 porciento es alcohol y el
(180) (100)
300
= 60 porciento es agua. En el segundo barril hay una mezcla de 90 litros de alcohol y 30 litros de
agua, es decir el
(90) (100)
120
= 75 porciento es alcohol y el
(30) (100)
120
= 25 porciento es agua. Esto signi…ca que
cualquier cantidad que se tome del primer barril contiene un 60% de agua y un 40% de alcohol, así mismo al
tomar cualquier cantidad del segundo barril contiene un 25% de agua y un 75% de alcohol.
Sea x la cantidad de litros que se tomará del primer barril y y la cantidad que será tomada del segundo barril.
Como la mezcla debe contener 70 litros de agua y 70 litros de alcohol, entonces planteamos el siguiente sistema
de ecuaciónes (
0:4x + 0:75y = 70 Ec (1)
0:6x + 0:25y = 70 Ec (2)
Luego, si multiplicamos la primera ecuación por 0:25 y la segunda por 0:75, obtenemos
(
0:1x 0:1875y = 17:5 Ec (3)
0:45x + 0:1875y = 52:5 Ec (4)
Ahora sumando miembro a miembro las ecuaciones 3 y 4 resulta
0:35x = 35:
32

33. Despejando x se llega x = 100. Sustituyendo en la ecuación 1 o en la ecuación 2 se obtiene que el valor de y es
40. Por lo tanto, para formar una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol hay
que tomar 100 litros del primer barril y 40 del segundo.
45. La hierba crece en todo el prado de la hacienda "el Meymo" con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas
se la comerían en 24 días y 30 en 60 días ¿ Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?
Solución
Sea p el prado y v la rapidez de crecimiento por día del pasto. Sabemos que
# vacas Cantidad de pasto consumida # de días
70 p + 24v 24
30 p + 60v 60
Luego tendríamos que
30
70
p + 24v
p + 60v
=
24
60
30
70
60
24
=
p + 60v
p + 24v
15
14
=
p + 60v
p + 24v
15 (p + 24v) = 14 (p + 60v)
15p + 360v = 14p + 840v
15p 14p = 840v 360v
p = 480v:
Ahora
# vacas Cantidad de pasto consumida # de días
70 p + 24v = 480v + 24v = 504v 24
x p + 96v = 480v + 96v = 576v 96
por lo cual
x
70
504v
576v
=
24
96
x
70
7
8
=
24
96
x =
24
96
8
7
70
x = 20
46. En un gallinero había cierto número de gallinas, se duplicó el número y se vendio 27 quedando menos de 54.
después se triplicó el número de gallinas que habia al principio y se vendió 78, quedando más de 39,¿Cuántas
gallinas habia al principio?
Solución
Sea x el número de gallinas que había al principio. La expresión: "se duplicó el número y se vendió 27 quedando
menos de 54" se representa en el lenguaje algebraico de la siguiente manera 2x 27 < 54, y el conjunto solución
33

34. de dicha desigualdad es ( 1; 40:5) : La otra expresión "Después se triplicó el número de gallinas que habia al
principio y se vendió 78, quedando más de 39" la representamos mediante la desigualdad 3x 78 > 39, cuyo
conjunto solución es (39; 1). Luego, como la intersección de los conjuntos soluciones de las dos desigualdades
es 40, resulta que inicialmente habían 40 gallinas.
47. Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre se posó sobre
un jazmin, habiendo dejado muy atrás a
8
9
de su enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en
torno a una ‡or de sacuanjoche, atraida por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la
trampa de dulce fragancia.¿cuántas abejas formaban el enjambre?
Solución
Sea x el número de abejas del enjambre. La información del problema nos proporciona la siguiente ecuación:
r
x
2
=
x
9
2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos
x
2
=
x2
81
4x
9
+ 4: Luego,
x2
81
17
18
x + 4 = 0:
Utilizando la fórmula general para resolver esta ecuación, se obtienen las soluciones 72 y
9
2
; pero como
9
2
no
es entero, nos quedamos 72, es decir que en el enjambre habían 72 abejas.
48. Si x4
y4
= z3
y x2
+ y2
= 8, entonces
z3
8
es igual a:
Solución :
Sustituyendo x4
y4
= z3
y x2
+ y2
= 8 en
z3
8
obtenemos
z3
8
=
x4
y4
x2 + y2
;
factorizando la diferencia de cuadrados
z3
8
=
x2
+ y2
x2
y2
x2 + y2
y simpli…cando
z3
8
= x2
y2
factorizando una vez más obtenemos
z3
8
= (x + y) (x y)
49. Al simpli…car
x 2=3
y 4=3
z 4
x 1=3y2=3z 7=3
3
resulta
Solución :
Al aplicar propiedades de exponentes
x 2=3
y 4=3
z 4
x 1=3y2=3z 7=3
3
=
x2
y4
z12
xy 2z7
= xy6
z5
34

35. 50. Si 2x3
+ x2
+ px + 2p2
es divisible entre x + 1, siendo p un número real, entonces el valor de p es:
Solución :
Como el polinomio dado es divisible por x + 1; entonces P ( 1) = 0
P (x) = 2 1 p + 2p2
2p2
p 3 = 0
(p + 1) p
3
2
= 0
luego el polinomio es divisible por (p + 1)
51. El conjunto solución de la desigualdad
3
2x + 3
<
1
x 2
es
Solución :
Al reescribir la desigualdad dada
3
2x + 3
1
x 2
< 0
x 9
2x2 x 6
< 0
x 9
(2x + 3) (x 2)
< 0
de aqui, podemos observar que los puntos criticos son x =
3
2
; x = 2 ; x = 9; entonces
Expresión x 9 2x + 3 x 2 Signo
x <
3
2
3
2
< x < 2 + +
2 < x < 9 + +
x > 9 + + + +
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir
1;
3
2
[ (2; 9)
52. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab
+ ba
= 57. Determinar la suma a + b
Solución :
Uno de los enteros, digamos a, debe ser par, mientras que el otro, b, debe ser impar. Como 43
= 64 > 57,
tenemos que a = 2; entonces b = 5. Entonces dicha suma debe ser 7
35

36. 53. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3
+ y3
?
Solución :
Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene
(x + y)
3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
= 1
x3
+ 3xy (x + y) + y3
= 1
x3
+ 3 (1) (1) + y3
= 1
x3
+ y3
= 2
54. El polinomio p(x) = x3
x2
+ x 1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:
Solución :
Decir que P (x) se anula en 1 signi…ca que
P (1) = 13
12
+ 1 1 = 0
entonces (x 1) es un divisor de este polinomio.
55. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos
números son:
Solución :
Sean x el número mayor, y el número menor, entonces
x + y = 666
x = 5y + 78
cuya solución es fx = 568; y = 98g
56. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por
la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el
efecto fotoeléctrico era:
Solución :
El coe…ciente intelectual (CI), se de…ne por
CI =
EM
EC
100
donde EM es la Edad Mental y EC es la Edad Cronologica, de aqui
170 =
EM
26
100
cuya solución es 44:2
36

37. 57. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años
tiene el hijo?
Solución :
Sea P la edad actual del padre y H la edad actual del hijo, entonces
3H = P
4 (H 5) = P 5
cuya solución es H = 15; P = 45
58. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que
ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno
le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?
Solución :
Llamemos x al número de amigo al principio e y al costo si hubieran estado todos, entonces
xy = 36
(x 3) (y + 1) = 36
cuya solución es x = 12; y = 3
59. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron
cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído
bien.
Preso: ¡Vamos!. ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?
Carcelero: ¿Cuántos años tienes?
Preso: Veinticinco.
Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?
Preso: Hoy es mi cumpleaños.
Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo
haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la
condena del preso?
Solución :
Sea x tiempo de condena del preso, entonces
2 25 + x = 54
x = 4
37

38. 60. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres
números?
Solución :
Este problema se puede resolver utilizando la segunda condición
x + (x + 1) + (x + 2) = 45
x = 14
como los números son consecutivos, entonces el mayor es x + 2 = 16
61. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1=3 de
los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1=2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos.
En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto.
¿Cuántos pasajeros había al principio?
Solución :
Llamamos x al número de pasajeros que había al comienzo del viaje. En la primera parada desciende
1
3
de los
pasajeros. Luego se quedan
2
3
x. Suben 8. Por tanto, después de la primera parada en el autobús hay
2
3
x + 8
pasajeros. En la segunda pasada descienden
1
2
de los pasajeros, luego se queda
2
3
x + 8
2
. Suben otros 2. Por
tanto, después de la segunda parada en el autobús hay
2
3
x + 8
2
+2: En ese momento el número de pasajeros
es la mitad de los que había al principio, es decir,
x
2
: Igualamos y obtenemos
2
3
x + 8
2
+ 2 =
x
2
cuya solución es x = 36
62. Hallar tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es
mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.
Solución :
Sean x; y; z los tres números buscados, además x < y < z; entonces
8
>><
>>:
y x = z y
xy = 85
yz = 115
cuya solución es z =
23
2
; y = 10; x =
17
2 38

39. 63. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de
saludarse,
Daniel : ¿Cuántos hijos tienes?
Arturo : Tres hijos.
Daniel : ¿Qué edades tienen?
Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después de pensar durante
algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos.
Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Daniel mira el
número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! -
responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más.
Arturo : Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.
Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo?
Solución :
El problema se reduce a encontrar tres números naturales cuyos producto sea 36, sean x; y; z dichos números,
entonces
xyz = 36
entonces se forman las siguientes posibilidades, cada una con sus respectivas sumas
1 1 36 = 38
2 2 9 = 13
1 4 9 = 14
1 6 6 = 13
1 2 18 = 21
Observemos que el dato del número de la casa es la clave, ya que el número 13 se repite dos veces ( el cual
constituye el número de la casa ), por tanto, de las posibilidades 2 2 9 = 13 y 1 6 6 = 13; la correcta
es la primera, ya que para el segundo caso, no existe una única hija mayor.
64. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km=hora llegará a su destino a la 1p:m., y si avanza a 15 km=hora llegará
a su destino a las 11a:m. ¿a qué velocidad, en km=hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.?
Solución :
Sabemos que d = vt aplicando las condiciones del problema
d = 10t
d = 15 (t 2)
igualando
10t = 15t 30
t = 6
39

40. ahora
10t = v (t 1)
60 = 5v
v = 12
65. Un camino puede recorrerse en “t”horas con una cierta velocidad en km=hr. El mismo camino se puede hacer
en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.
Solución :
Sabemos que d = vt además la velocidad se aumenta en 1; disminuyendo el tiempo en 1; es decir
d = (v + 1) (t 1)
d = vt v + t 1
entonces
vt = vt v + t 1
v = t 1
por tanto
d = (t 1) t
d = t2
t
66. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se
le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta
última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez.
Solución :
La cantidad que se saca y se reemplaza es la misma, entonces la proporción de lo que se extrae es
x
100
; entonces
en la primera extracción, se tiene
Seleccion Alcohol Agua
Inicio 100 0
1 100 x x
2 (100 x)
x
100
(100 x) x
x
100
por tanto
(100 x)
x
100
(100 x) = 49
y vemos que al resolver para x se obtiene el valor de x = 30: Note que este problema tiene una raíz rara, extraña
o falsa y ocurre para x = 170
40

41. 67. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2:5 y la suma de estos dividida entre el tercero
da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números?
Solución :
Sean x; y; z los tres números, planteando el sistema de ecuaciones
8
>>><
>>>:
x + y + z = 21
x
y
= 2:5
x + y
z
= 2
8
>><
>>:
x + y + z = 21
x 2:5y = 0
x + y 2z = 0
al resolver dicho sistema, se tiene que
x = 10:0; y = 4:0; z = 7:0
entonces el número menor corresponde a y = 4
68. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de
la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre.
Solución :
Sean x; y las edades respectivas del padre e hijo respectivamente, entonces
(
x = 3y
x 6 = 5 (y 6)
al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene x = 36; y = 12; entonces la suma de las cifras de la edad del
padre es 9
69. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora
más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal?
Solución :
Sean x : tiempo de la tubería de menor caudal
y : tiempo de la tubería de mayor caudal
planteando el sistema de ecuaciones lineales en formato de minutos
8
<
:
1
x
+
1
y
=
1
72
x = y + 60
resolviendo para y; se tiene que y = 120 min, lo cual equivale a y = 2 horas
41

42. 70. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira
y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante
trabajando solo?
Solución :
Al plantear una regla de tres compuesta
Hombres Dias Proyectado Dias Reales
2 24 20
1 x 30
se obtiene
x =
2 24 30
1 20
= 72
71. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado
mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la
otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede
en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?
Solución :
Sean x número de hombres, y número de mujeres, sabemos que x = 2y 6, y (y 1) cantidad de regalos de
las mujeres, porque cada mujer da un regalo a otra mujer, también
x
2
(x 1) +
x
2
y porque la mitad de los
hombres da un regalo a otro hombre y la otra mitad a las mujeres, de aqui, obtenemos que
x = 2y 6
x
2
(x 1) +
x
2
y + y (y 1) = 318
cuya solución es y = 11; x = 16
72. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es
divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos
16.
Solución :
Llamemos N al número buscado. El número divisible será (10N + 5), el divisor será (N + 3) y el cociente será
(N + 3) 16 = (N 13). Entonces
(10N + 5) = (N + 3)(N 13)
N2
20N 44 = 0
cuya solución es N = 2; N = 22; por tanto, la solución positiva es el resultado.
42

43. 73. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que
el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144.
Solución :
El número deseado N, cumplirá N = 10d + u; u = d + 2; entonces
(10d + u)(d + u) = 144
(10d + d + 2) (d + d + 2) = 144
22d2
+ 26d 140 = 0
cuya solución es d = 2; de donde u = 4 y N = 24
74. Si n es un entero positivo, la igualdad m4
km2
n + n2 n
= m2
n
2n
se cumple si k toma el valor:
Solución :
Si k = 2, entonces La expresión
m4
km2
n + n2 n
= m4
2m2
n + n2 n
=
h
m2
n
2
in
también
m2
n
2n
=
h
m2
n
2
in
75. Un factor de 5t 12 + 2t2
es t + 4 y el otro es:
Solución :
Al factorizar el polinomio dado
5t 12 + 2t2
= (t + 4) (2t 3)
el otro factor es 2t 3
76. Si el producto de los monomios x2n
yn
y xm
y es igual a x 2
y3
, entonces los valores de m y n son respectivamente:
Solución :
Como x2n
yn
(xm
y) = x 2
y3
entonces
2n + m = 2
n + 1 = 3
de donde se obtiene de forma inmediata que n = 2; m = 6
43

44. 77. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación
ax2
+ bx + c = 0; (a 6= 0)
la expresión
1
x2
1
+
1
x2
2
expresada en función de las raíces, es igual a:
Solución :
La solución de una ecuación cuadrática tiene la forma
b
p
b2 4ac
2a
entonces se pretende calcular
1
x2
1
+
1
x2
2
=
x2
2 + x2
1
x2
1x2
2
=
b
p
b2 4ac
2a
!2
+
b +
p
b2 4ac
2a
!2
"
b +
p
b2 4ac
2a
!
b
p
b2 4ac
2a
!#2
=
b2
2ac
c2
78. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de (a2
+ b2
) es igual a:
Solución :
Simbolizando las raices respectivas y multiplicando cada uno de sus indices, obtenemos que
5
s
4
rqp
(a2 + b2) = 80
p
(a2 + b2) = a2
+ b2 1=80
79. El sistema (
kx + y = 1
x + ky = 2
tiene solución única si:
Solución :
Un sistema de ecuación tiene solución unica si y solo si el determinante del sistema es distinto de cero, para
este ejercicio tenemos
k 1
1 k
= k2
1 6= 0
de aqui que, k 6= 1; k 6= 1
44

45. 80. La suma de las cuatro raíces de las ecuaciones ax2
+ bx + c = 0 y ax2
bx + c = 0; con a 6= 0 y b2
4ac > 0
es igual a:
Solución :
Las raices de las ecuaciones ax2
+ bx + c = 0 y ax2
bx + c = 0 son respectivamente
b
2a
y
b
2a
las que al
sumarse se obtiene
b
2a
+
b
2a
= 0
45

46. UNIDAD DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1. En la …gura, el ]COB = 120o
y el ]COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del ]BOA es:
Solución:
Sea mBOA = x, luego mCOD = x
2 . Se tiene
x
2
+ 120o
+ x = 180o
3x
2
= 60o
x = 40o
2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es:
Solución:
Por uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una
única recta.
3. . En la …gura, !m1 ? !m4, !m2 ? !m3¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?
Solución:
Con la información dada las parejas de rectas perpendiculares están “libres”, luego pueden ser giradas y
46

47. seguirían satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede a…rmarse ni A, ni B, ni C, ni D.
1m
↔
2m
↔
3m
↔
4m
↔
4. R; S y T son tres puntos colineales como se muestran en la …gura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST,
entonces la longitud de RT es:
Solución:
Dado que los puntos son colineales, se tiene
RT = RS + ST
=
1
2
ST + ST
=
3
2
ST
=
3
2
(4x + 4)
= 6x + 6
5. A partir de la información indicada en la …gura, el valor de Y es:
Solución:
Sean A, B y C los puntos indicados en la …gura, y sean mBAC = , mACB = . Se tiene = 50o
, por ser
opuesto por el vértice con el ángulo que mide 50o
y = 180o
130o
= 50o
. El ángulo que mide yo
es un ángulo
exterior con respecto al 4ABC, luego su medida equivale a la suma de los ángulos internos no adyacentes, es
decir y = + = 50o
+ 50o
= 100o
47

48. 6. En la …gura, si AB k CD, el valor de X es:
Solución:
Dado que las rectas son paralelas, xo
= mFCE, por ser ángulos correspondientes. A su vez este ángulo por
ser externo al 4ECD, es la suma de las medidas de los ángulos CED y EDC.Se tiene mCED = 90o
y
mEDC = 180o
140o
= 40o
, luego x = 90o
+ 40o
= 130o
:
7. A partir de la información brindada en la …gura, el valor de Z resulta:
Solución:
Las marcas en el ángulo A, indican que AD es bisectriz de dicho ángulo, luego x = 40o
y mA = 80o
. Al
considerar el 4ABC, se tiene z = 180o
80o
70o
= 30o
.
8. En la …gura, AD ? AC; EB k DC,entonces el valor de Y es:
Solución:
Dado que EBkDC, se tiene x = 180o
130o
= 50o
por ser ángulos internos al mismo lado, entre paralelas y como
AD?AC el 4ADC es triangulo rectángulo y por tanto “y”es el complemento de “x”, luego y = 90o
50o
= 40o
.
48

49. 9. En la …gura el valor de X es
Solución:
Se tiene mABC = 180o
140o
= 40o
, x = 115o
40o
= 75o
ya que el ACD es externo al 4ABC.
10. En la …gura el valor de X es:
Solución:
Se tiene mEDB = 180o
150o
= 30o
, ABC = DBE por ser opuestos por el vértice y por el teorema de
semejanza AA, 4ABC 4DBE, luego mBAC = xo
= mEDB = 30o
.
11. A B C D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces
EF =?
Solución:
Sean AE = EB = x, CF = FD = y (E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente).Se tiene:
BC = AC AB = 10 2x (1)
y también
BC = BD CD = 12 2y (2)
49

50. Igualando (1) y (2): 10 2x = 12 2y: Al simpli…car se obtiene:
y x = 1 (3)
Por otro lado se tiene
EF = EB + BC + CF = x + (10 2x) + y = 10 x + y = 10 + (y x)
Al introducir (3) resulta
EF = 10 + 1 = 11
12. En la …gura o
+ o
= 255o
, entonces ¿mA =?
Solución:
En el 4ABC, tenemos que
mA = 180o
mABC mACB = 180o
(mABC mACB) (1)
Se tiene que mABC = 180o
y mACB = 180o
, luego mABC + mACB = 360o
( + ); Como
+ = 255, resulta mABC + mACB = 360o
255o
= 105o
;
Sustituyendo en (1) obtenemos mA = 180o
105o
= 75o
13. ¿Para qué valor de x, los segmentos ABy CD son paralelos?
Solución:
Como el ángulo a la izquierda de C es congruente con el ángulo a la derecha, también mide 25o
. Luego
mACD = 180o
2 (25o
) = 130o
.
Como el 4APC, es recto en P, mPAC = 90o
25o
= 65o
.
50

51. Para que AB y CD sean paralelos, el ángulo CAB debe ser el suplemento del ángulo ACD ya que serían
ángulos internos al mismo lado entre paralelas o sea mCAB = 180o
130o
= 50o
.
Se tiene entonces
x + 50 + 65 = 180
x = 180 50 65
x = 65
14. Si AB k CD, ¿cuál es el valor de X?
Solución:
Trazamos EF, paralela a las rectasAB y CD, luego mAEF = 180o
120o
= 60o
y mFEC = 180o
xo
.
Además se tiene mAEF + mFEC = mAEC = 90o
, luego 60o
+ (180o
xo
) = 90o
. Al despejar x, resulta
xo
= 150o
.
15. Si la medida de un] es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ]?
Solución:
Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su suplemento, luego + = 180o
) = 180o
.
El ejercicio indica que = 3 , luego
= 3(180o
)
= 540o
3
4 = 540o
= 135o
16. . Dos veces la medida de un ] es 30 menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida
de dicho ángulo?
Solución:
Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su complemento, luego
+ = 90o
= 90o
51

52. Al interpretar la información del ejercicio se tiene
2 = 5 30o
2 = 5 (90o
) 30o
2 = 450o
5 30o
7 = 420o
= 60o
17. En la …gura las rectas !m1 y !m2 son paralelas. Entonces el valor de x es:
Solución:
Sean A, B, C y D los puntos indicados en la …gura. Al trazar por B una paralela a !m1 y !m2 , se forman ángulos
alternos –internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ángulos indicados inicialmente, luego
x + 60 = 110
x = 110 60
x = 50
Otra Forma:
Al prolongar CB, sea D el punto donde corta a la recta !m1. Se tiene mADB = xo
, por ser alterno –interno
con el ángulo que se forma en C. El ángulo ABC es externo al 4ABD, luego 60 + x = 110 ) x = 50.
18. En la …gura las rectas !m1 y !m2 son paralelas. Entonces el valor de x es:
52

53. Solución:
Como las rectas son paralelas se tiene:
(3x + 10) + (x 6) = 84
4x + 4 = 84
4x = 80
x = 20
19. Si mP = 90o
; 1 = 2; 3 = 4, entonces mR es
Solución:
Sean y las medidas de los ángulos indicados en la …gura. Se tiene + = 90o
. Como SQR = 2 y
1 = 2, se tiene
2 mSQR = 180o
(1)
Similarmente se obtiene que
2 mQSR = 180o
(2)
Al sumar (1) y (2) resulta
2 mSQR + 2 mQSR = (180o
) + (180o
)
= 360o
( + )
Como + = 90o
,
2(mSQR + mQSR) = 360o
90o
2(mSQR + mQSR) = 270o
mSQR + mQSR = 135o
Luego mR = 180o
(mSQR + mQSR) = 180o
135o
= 45o
20. En una recta se toman los puntos A; B y C, de manera que B es punto medio de . Se toma otro punto O, tal
que B O C. Encuentre el valor numérico de:
AO OC
OB
Solución:
53

54. Se tiene AB = BC = x, por ser B punto medio de AC. Sea OB = y, luego OC = x y, AO = x + y. Al
sustituir estos valores en la expresión dada se tiene: AO OC = (x y) (x + y) = 2y, luego
AO OC
OB
=
2y
y
= 2
Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estaría resolviendo para
valores especí…cos. El planteamiento es general. Cuando se a…rma que B O C, está indicando que O es un
punto cualquiera que se encuentra entre B y C, y el valor numérico encontrado es valido para cualquier punto
O que esté entre B y C.
21. Un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado mide 1:8m, entonces si la sombra del
árbol en ese momento mide 11m, la altura del árbol es:
Solución:
Dado que los rayos del sol prácticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del árbol son perpendiculares
al piso, el árbol y su sombra y la línea que une sus extremos forman un triángulo semejante al formado por el
poste su sombra y la línea que une sus extremos, tenemos
h
11
=
2
1:8
h =
11:2
1:8
h = 12:22
22. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3m y su sombra mide 1:5m, entonces si el árbol mide
36m, su sombra mide.
Solución:
El problema es similar al anterior, en este caso se tiene
x
36
=
1:5
3
x =
36 1:5
3
x = 18
23. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es
Solución:
En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide
p
2x, siendo x la longitud de sus catetos, luego
p
2x = 10
x =
10
p
2
x = 5
p
2
54

55. Su perímetro será
P = 10 + 2 5
p
2
= 10 + 10
p
2
= 24:14
24. En el triángulo rectángulo de la …gura, los valores de x y y, respectivamente son
Solución:
Por el teorema de la altura se tiene
4x = 82
= 64
x = 16
y la hipotenusa mide 4 + x = 20. Por el teorema de los catetos se tiene
y2
= 4 20 = 80
y =
p
80
y = 4
p
5
y 8:94
25. Un método para encontrar la altura de un edi…cio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera
que la parte más alta del edi…cio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edi…cio si una persona cuyos
ojos están a 1:5m del piso observa la parte superior del edi…cio cuando el espejo está a 120 m del edi…cio y la
persona está a6m del espejo?
Solución:
Dado que las leyes de la óptica indican que en un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de
re‡exión, se forman dos triángulos rectángulos semejantes, luego
h
120
=
1:5
6
h = 30 m
26. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10m y los segmentos que determina sobre
la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es
55

56. Solución:
Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, con m < n, luego
m
n
=
7
14
n = 2m
Por el teorema de la altura
m n = 102
m 2m = 100
m2
= 50
m = 5
p
2
n = 10
p
2
La hipotenusa mide c = m + n = 15
p
2
Por el teorema de los catetos
a2
= m (m + n)
a2
= 5
p
2 15
p
2
a2
= 150
a =
p
150 = 5
p
6
a 12:25
27. El perímetro de un rectángulo es 85m y su diagonal mide M. Por lo tanto los lados del rectángulo miden:
Solución:
Sean a y b los lados del rectángulo. Se tiene
P = 2 (a + b) = 85
a + b = 42:5 (1)
Además
a2
+ b2
= 32:52
= 1056:25 (2)
Despejando b de (1), e introduciendo en (2)
a2
+ (42:5 a)
2
= 1056:25
2a2
85a + 750 = 0
a = 12:5 _ a = 30
56

57. Al sustituir en (1) se obtiene b = 30 _ b = 12:5
28. El perímetro de un triángulo mide50 y sus lados son proporcionales a 4; 6 y 8. Entonces su lado mayor mide.
Solución:
Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c = 50 y
a
4
=
b
6
=
c
8
Por las propiedades de las proporciones
a
4
=
b
6
=
c
8
=
a + b + c
4 + 6 + 8
=
50
18
c =
8 50
18
=
200
9
29. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2
p
106, otro 5
p
15. Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto
mide?
Solución:
Como 2
p
106 > 5
p
15, la hipotenusa de este triángulo es 2
p
106, luego el cateto menor es
a =
r
2
p
106
2
5
p
15
2
=
p
424 375 =
p
49 = 7
30. El área del triángulo de la …gura, redondeada al entero más cercano, mide:
Solución:
Aplicamos la fórmula de Herón: A =
p
s (s a) (s b) (s c), donde s es el semiperímetro. Se tiene s =
6 + 7 + 9
2
= 11, luego
A =
p
11 (11 6) (11 7) (11 9) =
p
11 5 4 2 =
p
440 20:97
31. ¿Cuál es el área del triángulo de la …gura?
Solución:
57

58. Dado que es un triángulo rectángulo su área es la mitad del producto de sus catetos. El cateto desconocido
mide
b =
p
102 62 =
p
100 36 =
p
64 = 8
Por tanto A = 1
2 (6) (8) = 24
32. Si un rectángulo de 3mde ancho y 10mde largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles,
entonces la longitud de cada cateto del triángulo es
Solución:
El área de un triángulo rectángulo isósceles está dada por A = 1
2 x2
, donde x es la longitud de sus catetos, luego
tenemos que el área del rectángulo es 30, por tanto
1
2
x2
= 30
x =
p
60
x = 2
p
15
33. El área de un trapecio isósceles de bases 22m y 10m y cuyos lados congruentes miden 10 es
Solución:
Por ser un trapecio isósceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en
tres segmentos de 6, 10 y 6 metros. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene
h =
p
102 62 =
p
64 = 8
Aplicando la fórmula para el área de un trapecio: A = (B+b) h
2 resulta
A =
(22 + 10) 8
2
= 128 m2
34. La siguiente …gura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta …gura es 63cm2
. Entonces el
perímetro de la …gura es:
58

59. Solución:
Observamos que el perímetro está formado por 16 veces el lado de cada cuadrado. Como hay siete cuadrados
congruentes, cada uno tiene un área de
x2
=
63
7
= 9
x = 3
Por tanto el perímetro de la …gura es P = 16 3 = 48cm.
35. Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales
representan partes congruentes).
Solución:
La …gura indica que B, D, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado ACEG, luego su área es el
doble del área del cuadrado BDFH, es decir [ACEG] = 2 162 = 324 luego AC =
p
324 = 18
36. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los ángulos
A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces AD =?
Solución:
Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a
AD,
mD = 180 mC = 180o
120o
= 60o
El 4CC0D es un triángulo 30 –60, luego h = CC0 = 10
p
3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser
un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10
p
3, luego AB0 = 10
p
3
p
3 = 30.
Tenemos entonces que la base mayor mide
AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50
59

60. 37. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm
y
p
40cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es.
Solución:
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM = 5 y CN =
p
40, BC = a, AB = c,
luego BM =
a
2
y NB =
c
2
.
Sea la hipotenusa AC = b: Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y 4BCN
AM2
= AB2
+ BM2
= c2
+
a2
4
= 25 (1)
CN2
= NB2
+ BC2
= a2
+
c2
4
= 40 (2)
Al sumar (1) y (2) resulta
5c2
4
+
5a2
4
= 65
a2
+ c2
=
4
5
(65) = 52 = b2
b =
p
52 = 2
p
13
38. En la …gura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10cm y G es el centro del cuadrado
ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es.
Solución:
Dado que los cuadrados son congruentes sus áreas son iguales y como el lado AB mide 10, cada uno tiene un
área de 100cm2
, pero ellos comparten el 4ABG de manera que para el área total del polígono a la suma de
las áreas de los cuadrados debemos restarle el área de este triángulo para que sea considerada solo una vez.
Dado que G es el centro del cuadrado ABCD, el área del triángulo es la cuarta parte del área del cuadrado o
sea 25cm2
. Luego el área buscada es
A = [ABCD] + [EFGH] [ABG] = 100 + 100 25 = 175cm2
60

61. 39. ABCD es un cuadrado, el 4ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a.
Solución:
Como el 4ABE es isósceles, AE = BE y por ser ABCD un cuadrado, E es el punto medio de DC y por
tanto EC = CF, ya que por ser CF = FB, F es punto medio de BC. Luego el 4ECF resulta ser triangulo
rectángulo isósceles y como consecuencia mCFE = 45o
. El ángulo buscado es el suplemento del CFE,
luego
mEFB = 180o
mCFE = 180o
45o
= 135o
40. En la …gura, ABCF es un paralelogramo. B; C y D son colineales. Si AB = 18; AD = 30 y FE = 12.
¿Cuánto mide AE?
Solución:
Se tiene que CF = AB = 18, ya que ABCF es un paralelogramo. CE = CF FE = 18 12 = 6.
Por otro lado BD y AF son paralelas, luego FAE = CDE, ya que son alternos internos entre paralelas y
FEA = CED, ya que son opuestos por el vértice. Como consecuencia se tiene 4FEA 4CED.
Sea AE = x, luego ED = AD AE = 30 x. Por la semejanza anterior,
CE
FE
=
ED
EA
6
12
=
30 x
x
6x = 360 12x
18x = 360
x = 20
41. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10m. La altura mide 12m. y el perímetro 76m.
Entonces su área es:
61

62. Solución:
Como B b = 10, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b
y 5 como se muestra en la …gura. Luego como la altura es 12, en los extremos del trapecio se forman triángulos
rectángulos de catetos 5 y 12. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa mide 13 lo cual
corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. Considerando que el perímetro mide 76 m. se
tiene:
2b + 2(13) + 2(5) = 76
b = 20
Al considerar que B b = 10, resulta B = 30. Aplicando la fórmula para el área de un trapecio, el área buscada
resulta
A =
(B + b) h
2
=
(20 + 30) 12
2
= 300 m2
42. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1cm y CE = 2cm, entonces el área del triángulo ADF en cm2
es
igual a
Solución:
Dado que ABCD es un cuadrado AD y CE son paralelas, resultando que 4ADF 4ECF por el teorema de
semejanza AA, ya que DAF = CEF por ser alternos internos entre paralelas y DFA = CFE por ser
opuestos por el vértice.
De la semejanza resulta que
AD
CE
=
DF
CF
1
2
=
DF
CF
CF = 2DF (1)
Como CD = CF + FD = 1, resulta DF = 1
3 . Por tanto el área buscada resulta
[ADF] =
1
2
AD DF =
1
2
1
1
3
=
1
6
62

63. 43. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC
y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es
Solución:
Por ser BD mediana, D es punto medio de AC, o sea AD = DC = 8. Ya que 4ABC es isósceles, BD además
de mediana también es altura, luego mADB = 90o
. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que
BD =
p
102 82 = 6
Como G es el baricentro, BG = 2 GD y como BD = BG + GD = 6, resulta GD = 2. Por tanto el 4ADG
resulta ser un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 8 y 2, por tanto su área es
[ADG] =
1
2
AD DG =
1
2
8 2 = 8
44. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los
puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a
AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es.
Solución:
Dado que QPkAC y RPkAB, AQPR es un paralelogramo y de ahí AQ = RP y AR = QP. Del paralelismo de
los segmentos señalados anteriormente también resulta que los 4QBP y 4RPC son semejantes con el 4ABC
y por tanto también son isósceles y de ahí QB = QP y RP = RC. Por tanto el perímetro del cuadrilátero
AQPR, resulta
P = AQ + QP + AR + RP
= (AQ + QB) + (AR + RC)
= AB + AC
= 17 + 17
= 34
63

64. 45. De acuerdo a la información que se proporciona en la …gura, el segmento de mayor longitud es.
Solución:
Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o
, en el 4ABD, resulta que el ángulo
ABD mide 180o
70o
60o
= 50o
y en el 4BDC, mBDC = 180o
55o
60o
= 65o
.
Una de las propiedades de los triángulos indica que el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa. Al
comparar las medidas de los ángulos del 4ABD, resulta que el mayor mide 70o
y su lado opuesto es BD, luego
BD es mayor que AB y AD. Pero al considerar el 4BDC, su ángulo mayor es 65o
y el lado que se le opone
es BC y por tanto BC > BD. Luego el lado mayor de la …gura resulta BC.
46. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1; 4CMN es equilátero. El área de 4CMN es igual a.
Solución:
El área de un triángulo equilátero está dada por
p
3
4 x2
, donde x es la longitud de su lado, luego debemos
encontrar primero cuanto mide cada lado del triángulo equilátero CMN.
Como ABCD es un cuadrado y CM = CN = x, se tiene que 4CDM = 4CBN y de ahí MD = NB y como
AD = AB, resulta AM = AN y por tanto el 4MAN es rectángulo isósceles, luego
MN = x
x =
p
2AN
AN =
x
p
2
Como AB = 1, resulta NB = 1 AN = 1 xp
2
=
p
2 xp
2
. El 4CBN es un triángulo rectángulo luego al aplicar
el teorema de Pitágoras resulta
CN2
= CB2
+ NB2
= 1 +
p
2 x
p
2
!2
= x2
64

65. Al desarrollar, simpli…car y resolver la ecuación resultante se obtiene x =
p
6
p
2. Por tanto el área buscada
es
[CMN] =
p
3
4
p
6
p
2
2
0:4641
47. La siguiente …gura muestra dos cuadrados de lado 1cm, donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este
cuadrado 45 sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es.
Solución:
Al girar 45o
, la recta diagonal AC se convierte en la recta AB la cual equivale a la recta diagonal AF, por
tanto A, B, F son colineales. Además se tiene mBFH = 45o
y por tanto FBH es un triángulo rectángulo
isósceles con FB = BH.
Luego [AGHB] = [AGF] [FBH]. Por ser AEFG un cuadrado de lado 1, su diagonal mide
p
2 y como
AB = 1, BF = BH =
p
2 1. Como [AGF] tiene como área la mitad de la área del cuadrado, que tiene lado
de longitud 1, resulta
[AGHB] =
1
2
1
2
p
2 1
2
=
1
2
1
2
2 2
p
2 + 1 =
p
2 1
48. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden
Solución:
Por ser triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo de 90o
y los otros dos ángulos congruentes, y dado que
la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o
, cada uno de ellos mide 45o
.
49. En la …gura ABCD es un cuadrilátero con AD kBC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .mBAC =
30 ; AC = 4
p
3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a.
65

66. Solución:
Como AB = BC, el 4ABC es isósceles con mABC = 120o
y mBCA = 30o
y su base AC = 4
p
3. Al trazar
una perpendicular desde B a AC, sea E el pie de la perpendicular.
Por ser isósceles, BE también es mediana es decir E es punto medio de AC, luego se forman dos triángulos 30
–60 con las hipotenusas AB = BC y catetos mayor AE = EC = AC
2 = 2
p
3: Luego como el cateto mayor en
un triángulo 30 –60, es veces el cateto menor, en este caso se tiene BE = 2.
Como ADkBC el BAD es el suplemento del ABC, resulta mBAD = 180o
120o
= 60o
y como mBAC =
30o
, se tiene mCAD = 30o
y de ahí también el 4ADC es un triángulo 30 –60 con cateto mayor AC = 4
p
3.
Como en todo triangulo 30 –60, el cateto mayor es
p
3 el cateto menor, se tiene CD = 4. Finalmente tenemos
[ABCD] = [ABC] + [ACD]
=
1
2
AC BE +
1
2
AC CD
=
1
2
4
p
3 2 +
1
2
4
p
3 4
= 12
p
3
50. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los
ángulos A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces el área del trapecio mide.
Solución:
Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a
AD, mD = 180 mC = 180o
120o
= 60o
.
El 4CC0D es un triángulo 30 –60, luego h = CC0 = 10
p
3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser
un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10
p
3, luego AB0 = 10
p
3
p
3 = 30.
Tenemos entonces que la base mayor mide
AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50
66

67. Luego el área del trapecio resulta
[ABCD] =
(50 + 10) 10
p
3
2
= 300
p
3
51. En la …gura, mBAC = ; mBPC = m y BQC = 90 : Entonces la medida de BHC es.
Solución:
Como mBPC = mBQC = 90 , también mAPH = mAQH = 90 . APHQ es un cuadrilátero convexo y
en todo cuadrilátero convexo la suma de sus ángulos internos es 360o
, luego mBHC + + 90o
+ 90o
= 360o
y de ahí mBHC = 180o
.
52. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm
y
p
20cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es.
Solución:
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM =
p
20 y CN = 5, BC = a, AB = c,
luego BM =
a
2
y NB =
c
2
.
Sea la hipotenusa AC = b. Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y BCN
AM2
= AB2
+ BM2
= c2
+
a2
4
= 20 (1)
CN2
= NB2
+ BC2
= a2
+
c2
4
= 25 (2)
Al sumar (1) y (2) resulta
5c2
4
+
5a2
4
= 45
a2
+ c2
=
4
5
(45) = 36 = b2
b = 6
67

68. 53. En la …gura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del
cuadrado mayor es
2
5
. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es.
Solución:
Sean “b”la longitud del lado del cuadrado menor y “a”la longitud del lado del cuadrado mayor, luego
b
a
=
2
5
.
Por la simetría de la …gura se deduce que el área sombreada, es decir el trapecio ABFE, representa la cuarta
parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego
[ABFE] =
1
4
([ABCD] [EFGH])
[ABCD] = a2
y [EFGH] = b2
y de ahí [ABFE] =
1
4
a2
b2
. La razón buscada será
[ABFE]
[ABCD]
=
1
4 a2
b2
a2
=
1
4
a2
b2
a2
=
1
4
1
b2
a2
Como
b
a
=
2
5
, resulta
[ABFE]
[ABCD]
=
1
4
1
4
25
=
21
100
54. En la …gura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y mBAC = 60 , entonces la longitud del segmento AD es
Solución:
Al unir B con C, obtenemos un triángulo equilátero, ya que AB = AC y mBAC = 60 . Se tiene que
4ABD = 4ACE, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ahí resulta mBAD = mCAD y por
tanto AD es bisectriz del BAC.
68

69. Al prolongar AD, sea E el punto donde corta a BC. Luego como el 4ABC es equilátero, AE además de
bisectriz es mediatriz y por tanto AE ? BC y BE = EC = 2. Resulta entonces que el 4BED es rectángulo,
con hipotenusa BD = 3 y un cateto, BE = 2. Por el Teorema de Pitágoras, DE =
p
32 22 =
p
5:
Por otro lado AE es una altura en un triángulo equilátero de lado 4 y por tanto AE = 2
p
3. Finalmente
obtenemos que AD = AE DE = 2
p
3
p
5:
55. En la …gura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15cm , AC = 24 cm y la altura es 12cm.
Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es.
Solución:
Como EDkAC, resulta que 4ABO 4DEO, con razón de semejanza AB
DE =
12
15
=
4
5
.
Sean a y b las alturas de los triángulos ABO y DEO respectivamente, indicadas en la …gura. Dado que los
elementos homólogos en triángulos semejantes están en la misma razón de semejanza, se tiene
a
b
=
4
5
.
Como a + b = 12 (la altura del trapecio), al considerar la razón anterior resulta a =
16
3
, b =
20
3
. Al analizar la
…gura vemos que [OBCD] = [ACDE] [ABE] [DEO]. Tenemos que el área del trapecio ACDE resulta
[ACDE] =
24 + 15
2
12 = 234
El 4ABE, tiene base 12 y altura 12, luego su área es
[ABE] =
1
2
12 12 = 72
Para el 4DEO, resulta
[DEO] =
1
2
15
20
3
= 50
) [OBCD] = 234 72 50 = 112
56. En la …gura, ABCD es un cuadrado de lado 6cm y CE = DE = 5cm, entonces la longitud de es.
69

70. Solución:
Sean F y G los puntos medios de CD y BA respectivamente. Luego CF = FD = BG = GA = 3 y FG = 6:
Como CE = DE, el 4CED es isósceles y por tanto E, F, G son colineales y EF ? CD y EG ? AB. El 4CFE
es rectángulo en F, luego por el Teorema de Pitágoras, EF =
p
52 32 = 4. EG = EF + FG = 4 + 6 = 10.
El 4FGA también es rectángulo con EG = 10 y GA = 4, luego EA =
p
102 + 32 =
p
109:
57. En la …gura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?
Solución:
Se tiene A = E , por dato, y ACB = ECD, por ser opuestos por el vértice, luego 4ABC 4EDC,
por el teorema de semejanza AA. Entonces:
CD
CE
=
BC
AC
x
10
=
66
132
x = 5
58. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC. Trazamos por P paralelas a los lados del
paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la …gura.
Sabiendo que el área de ABCD es 40cm2
, entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a.
Solución:
Dado que RMkADkBC y NQkABkDC, resulta que los cuadriláteros ANPR, PQBR, DMPN y MCQP son
paralelogramos y los segmentos NR, RQ, QM y MN son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que
una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes, con áreas igual a la mitad del área del
paralelogramo. Por tanto [RQMN] = [ABCD] = 20:
70

71. 59. En el triángulo rectángulo ABC¿cuál es la longitud del segmentoBC?
Solución:
Basta aplicar el teorema del cateto:
3x = 62
x = 12
60. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del ladoBC en E,
al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE?
Solución:
Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. Desde G tracemos una perpendicular a AD y sea H el pie de esta
perpendicular. Luego 4AGH 4AFD. Como AG = 3 y GF = 1, resulta AF = 4:
De la semejanza se tiene
AG
AF
=
AH
AD
3
4
=
AH
x
AH =
3
4
x
y HD = AD AH = x
3
4
x =
1
4
x:
Como G está sobre la diagonal, HG = HD = 1
4 x. De la misma semejanza se tiene
AG
AF
=
HG
DF
3
4
=
x
4
DF
DF =
1
3
x
71

72. Luego FC = DC DF = x 1
3 x = 2
3 x. Como ABCD es un cuadrado, ADkBC y por tanto ADkCE. De ahí
resulta que 4ADF 4ECF. De esta semejanza se tiene
FE
FA
=
FC
FD
FE
4
=
2
3 x
1
3 x
FE = 8
61. En la …gura de abajo si la medida de los arcos AD y BC son 140o
y 80 respectivamente, entonces el valor de
es.
Solución:
Tenemos que =
mdAC + mdCD
2
. Dado que
mdAB + mdBC + mdCD + mdAD = 360o
y
mdBC + mdAD = 80o
+ 140o
= 220o
Entonces mdAC + mdCD = 140o
, luego =
mdAC + mdCD
2
= 140o
2 = 70o
62. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 6, el área de la región
sombreada tiene un valor de.
Solución:
El área sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo. El 4ABC es rectángulo
en C, por estar inscrito en un semicírculo.
Luego por el Teorema de Pitágoras, AB =
p
82 + 62 = 10, entonces r = 5. Por tanto el área del semicírculo es
1
2
r2
=
1
2
52
=
25
2
El área del triángulo está dada por
1
2
AC BC =
1
2
8 6 = 24
El área buscada es
A =
25
2
24 15:27
72

73. 63. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 4:8, el área de la región
sombreada tiene un valor de
Solución:
Por el Teorema de Pitágoras, AD =
p
82 4:82 = 6:4. Como el 4ABC es rectángulo en C, se tiene por el
teorema del cateto . Y de nuevo por el Teorema de Pitágoras resulta BC = 6. Dado que estos valores coinciden
con los datos del ejercicio anterior, el área resulta la misma.
64. La circunferencia de la …gura tiene radio 2 y el arco XY Z tiene longitud . ¿Cuánto mide la cuerda XZ?
Solución:
Sea la medida del ángulo central XOZ. La longitud de un arco está dada por s = r , con el ángulo medido
en radianes. Tenemos s = y r = 2, luego = s
r = 2 , es decir 90o
.
Luego XOZ es un triángulo rectángulo isósceles con XZ como hipotenusa y por tanto XZ = 2
p
2
65. En la …gura el área del círculo mayor es 1 m2
. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y
también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60 . Entonces el área del círculo menor es
73

74. Solución:
Desde el vértice del ángulo inscrito, trazamos un diámetro. Sean O y O0 los centros de los círculos, mayor y
menor respectivamente. Sea B el otro extremo del diámetro trazado, C el punto donde uno de los lados (el
arriba) del ángulo corta a la circunferencia. Y sea D el punto de tangencia de este lado del ángulo con el círculo
menor.
Sean R y r los radios de los círculos, mayor y menor respectivamente.Tenemos que AO0 biseca al ángulo inscrito,
luego mO0AD = mBAC = 30o
.
Como AB es un diámetro del circulo mayor, mACB = 90o
resultando que mABC = 60o
, y el 4ABC es
30 –60.
Dado que AB = 2R, se obtiene que BC = R, ya que BC es el cateto menor y AB la hipotenusa del 4ABC.
Como AC es tangente al círculo menor en D, AD?DO0, es decir mADO0 = 90o
y de ahí mAO0D = 60o
.
Luego también el 4AO0D es un triángulo 30 –60 y su cateto menor O0D = r, mide la mitad de su hipotenusa,
AO0. Se tiene O0B = r, por ser radio del circulo menor y de ahí AO0 = AB O0B = 2R r. Luego
AO0 = 2 O0D
2R r = 2r
r =
2
3
R
Como el área del círculo mayor es R2
= 1 el área del círculo menor es
r2
=
2R
3
2
=
4
9
R2
=
4
9
66. En la …gura C es el centro de la circunferencia de radio r y TP es un segmento tangente en T, de longitud 2r,
entonces PC mide
Solución:
74

75. Como TP es tangente a la circunferencia en T, mPTC = 90o
. Luego aplicando el teorema de Pitágoras
resulta
PC =
q
(2r)
2
+ r2 =
p
5r2 = r
p
5
67. Los extremos de la …gura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
Como el área sombreada únicamente son los extremos y estos son semicírculos, al unirlos se forma un circulo
de diámetro 8, es decir de radio 4, luego
A = r2
= 42
= 16
68. En la …gura AC es un diámetro. Si mAB = 50 , entonces mBAC =?
Solución:
Dado que mdAB = 50 , se tiene mBCA = 1
2 mdAB = 25 , por ser ángulo inscrito que subtiende dicho arco;
mABC = 90o
, por estar inscrito en una semicircunferencia ( es diámetro). Luego la medida del ángulo
buscado es:
mBAC = 180 mBCA mABC
= 180o
25o
90o
= 65o
69. En la …gura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma
un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
75

76. Solución:
El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado formado y las áreas de los cuatro
sectores circulares que se forman. Dado que la distancia entre los centros de dos círculos tangentes exterior-
mente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 20 y
por tanto el área del cuadrado es 400.
Cada sector formado tiene un ángulo central de 90o
, luego entre los cuatro forman un circulo de radio 10, cuyas
áreas suman entonces r2
= 102
= 100 : Por tanto el área buscada es:
A = 400 100
70. En la …gura, la medida del arco AB es 30 , y la medida del BPA es 35 . Las medidas del arco CD y el
ángulo DAC (en grados) son respectivamente.
Solución:
Dado que BPA es un ángulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las
medidas de los arcos que intercepta. Es decir
mBPA =
mdCD mdAB
2
De esta expresión despejamos mdAB, resultando
mdCD = 2 mBPA + mdAB
= 2 35o
+ 30o
= 100o
Por otro lado se tiene que el DAC es un ángulo inscrito que subtiende el arco DC, luego
mDAC =
1
2
mdCD =
1
2
100o
= 50o
71. La expresión (p + q)p = (r + s)r, se cumple en la situación representada por
76

77. Solución:
Al recordar las relaciones métricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando
se tienen dos secantes que se cortan (también aparecen cuando hay semejanzas de triángulos) o una secante y
una tangente que se cortan. A partir de estas relaciones tenemos:
En la …gura a), la relación es r2
= s (s + p) :
En la …gura b), la relación es r(r + s) = p(p + q), la cual es la misma expresión dada. La respuesta es ésta.
Para estar más seguros vemos que resulta en las otras.
En la …gura c), la relación es r s = p q y en la …gura d), r2
= (p + q), que son diferentes a la dada.
Solo b) satisface y por tanto es la respuesta.
72. En la …gura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes.CD y DA son diámetros de las circunfer-
encias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ? BC . Si BD = 2; entonces el área
sombreada es igual a.
Solución:
El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo exterior menos las áreas de los
semicírculos interiores. Sean r1, r2, R los radios del semicírculo menor, del semicírculo mediano y del semicírculo
exterior respectivamente. Luego CD = 2r1, DA = 2r2 y CA = 2R. Como CA = CD + DA, se tiene
2R = 2r1 + 2r2
R = r1 + r2 (1)
Al unir B con A y con C, se forma un triángulo rectángulo, con CA como hipotenusa y BD como altura
relativa a la hipotenusa. Por el teorema de la altura,
BD2
= CD DA
22
= 2r1 2r2
r1 r2 = 1 (2)
Como el área de un semicírculo está dada por 1
2 r2
, el área buscada es
A =
1
2
R2
r2
1 r2
2
77

78. Al considerar (1)
A =
1
2
h
(r1 + r2)
2
r2
1 r2
2
i
=
1
2
r2
1 + 2r1r2 + r2
2 r2
1 r2
2
=
1
2
2r1r2
= r1r2
Al considerar (2)
A = r1r2 = 1
73. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la …gura. La medida del BAC es.
Solución:
El BAC es un ángulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco
que subtiende, en este caso el arco BC. Tenemos que
mdBC = 360o
mdAB mdAC = 360o
110o
130o
= 120o
Luego mBAC = 1
2 mdBC = 60o
74. En la …gura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ? BC; BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud
de la circunferencia pequeña es igual a
Solución:
Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequeña respectivamente. Como las circunferencias son
tangentes exteriormente, R + r = BC = 8. Dado que el 4ABC es rectángulo en B, tenemos R = AB =
p
102 82 = 6 y r = 2. Luego la longitud de la circunferencia pequeña resulta C = 2 r = 4 .
78

79. 75. La …gura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?
Solución:
Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros congruentes. En la …gura se indica que x
equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = 2h. Como el lado de cada triangulo mide 6
p
3, las alturas
miden h =
p
3
2 6
p
3 = 9
) x = 2h = 18
76. La …gura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto
medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
Si llamamos A1 al área del cuadrado mayor,A2 al área del cuadrado menor y A3 al área del círculo, el área
de la región sombreada resulta A = A1 A2 + A3: El lado del cuadrado mayor mide 0:4, luego su área es
A1 = 0:16. Como B es punto medio AB = 0:2. Los triángulos que se forman en cada esquina del cuadrado
mayor, son rectángulos isósceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del
cuadrado menor resulta 0:2
p
2 y su área es A2 = 0:2
p
2
2
= 0:08.
Como el circulo está inscrito en el cuadrado menor, su diámetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio es la
mitad o sea r = 0:1
p
2, su área A3 = r2
= 0:1
p
2
2
= 0:0628. Luego
A = 0:16 0:08 + 0:0628 = 0:1428
77. Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D.
79

80. Solución:
Dado que PB y PC son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son
congruentes, luego PC = PB = 19. Como AC = AP + PC,
AP = AC PC = 31 19 = 12
78. Seis triángulos equiláteros de 1cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la …gura. Se
circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
Tenemos que el área de la región sombreada es el área del circulo menos el área del hexágono. El radio del
circulo es la longitud del lado de los triángulos, es decir r = 1, luego su área es r2
= .
El área de cada triángulo equilátero es
p
3
4 x2
, donde x es el lado del triángulo, y como el lado mide 1, se reduce
a
p
3
4 . Como hay seis triángulos, el área del hexágono es 6
p
3
4 . Por tanto el área de la región sombreada es
A =
p
3
2
!
cm2
79. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la …gura. Se tiene mA = 50o
y
mC = 60o
. Se trazan tangentes por A; B y Cde manera que se forma el triángulo circunscrito A
0
; B
0
; C
0
.
Entonces la medida del ángulo A
0
es:
Solución:
80

81. Como BA0 y CA0 son tangentes a la circunferencia, los A0BC y A0CB son ángulos semiinscritos que
subtienden el arco BC y el ángulo A es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos
ángulos son congruentes, es decir
mA0BC = mA0CB = mA = 50o
Luego al considerar el 4A0BC, se tiene
mA0 = 180 mA0BC mA0CB
= 180o
50o
50o
= 80o
80. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio
p
3. El área del cuadrilátero AOBC es
Solución:
Se tiene OC?AB, ya que los triángulos OAB y ABC son isósceles. También 4OAC = 4OBC, ya que sus tres
lados son congruentes. Como además el 4ABC es equilátero, mACO = 30o
, luego el 4OAC es un triángulo
30 –60 y de ahí resulta que OC = 2
p
3 y AC = 3.
Tenemos entonces
[AOBC] = 2 [OAC] = 2
1
2
p
3 3 = 3
p
3
81. Si un ángulo central de 30 en una circunferencia intercepta un arco de 6m de longitud, entonces el radio de la
circunferencia mide.
Solución:
Se tiene s = r , donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y es el ángulo central
correspondiente, medido en radianes. Como = 30o
equivale a =6 radianes, tenemos
6 = r
6
r =
36
81

82. 82. En la …gura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la
circunferencia, entonces el área de la región sombreada es.
Solución:
En vista que el hexágono tiene lado 1 y la circunferencia tiene radio 1, el centro del hexágono es un punto de
la circunferencia. La región sombreada puede descomponerse en dos triángulos que tienen la misma base y la
misma altura que los triángulos que forman el hexágono. Luego el área buscada es
A = 2
p
3
4
12
=
p
3
2
0:866
83. Los arcosAB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la
…gura.Si BC = 2AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada
es:
Solución:
Sean r1 el radio del semicírculo mayor,r2 el radio del semicírculo mediano y r3 el radio del semicírculo menor.
Se tiene
r3 = AB
2 BC = 2AB AC = AB + BC
2r2 = 2AB 2r1 = 3AB
r2 = AB r1 = 3
2 AB
Luego las áreas de estos semicírculos son:
Semicírculo mayor: 1
2 r2
1 = 1
2
3
2 AB
2
= 9
8 AB2
Semicírculo mediano: 1
2 r2
2 = 1
2 AB2
Semicírculo menor: 1
2 r2
3 = 1
2
AB
2
2
= 1
8 AB2
82

83. El área sombreada está dada por: área del semicírculo mayor menos el área del semicírculo mediano más el
área del semicírculo menor o sea
Área sombreada = 9
8 AB2 1
2 AB2
+ 1
8 AB2
= 3
4 AB2
La razón buscada resulta
Área sombreada
Área no sombreada
=
3
4
AB2
3
2
AB2
=
1
2
84. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño
alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos
adyacentes y a la de radio 1?
Solución:
Sea R el radio de las monedas grandes. Como estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la
vez son tangentes a la moneda pequeña, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de
lado 2R.
Al trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequeña, la cual tiene diámetro 2, luego la
longitud de la diagonal resulta 2R + 2.
Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide
p
2x, se cumple en este caso que
2R + 2 =
p
2 (2R)
2
p
2 2 R = 2
R =
1
p
2 1
Al racionalizar el denominador obtenemos R =
p
2 + 1
85. En la siguiente …gura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC; B es punto medio
del arco AC y AF = 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
83

84. Solución:
El área de la región sombreada resulta de la diferencia entre el semicírculo AEB y el segmento circular deter-
minado por la cuerda AB en el semicírculo ABC.
Como F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC, resulta BF?AC, luego el 4ABF
es un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1 y por tanto AB =
p
2. AB es diámetro del semicírculo AEB,
luego su radio es
p
2
2 y el área de este semicírculo resulta
A1 =
1
2
p
2
2
!2
=
4
El área del segmento circular, está dada por la diferencia entre el área del sector circular que lo contiene y el
área del triángulo determinado por la cuerda y los radios extremos.
En este caso el sector circular correspondiente tiene ángulo central de 90o
y radio 1, por tanto su área es la
cuarta parte del área de un círculo de radio 1 o sea 1
4 y el triángulo correspondiente tiene base 1 y altura 1,
luego su área es 1
2 . El área del segmento circular resulta A2 =
1
4
1
2
Finalmente el área buscada es
A = A1 A2 =
4 4
1
2
=
1
2
86. Si el radio de un círculo aumenta en unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro?
Solución:
Sean L y L0 los perímetros del círculo original y el círculo con el radio aumentado, respectivamente. Luego
L = 2 r y L0 = 2 (r + ) = 2 r + 2 2
. El aumento es la diferencia
4 = L0 L = 2 r + 2 2
2 r = 2 2
87. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la …gura. Un círculo
de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?
Solución:
84

85. Cuando se tienen círculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y
cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. Además en
ambos casos los centros y el punto de tangencia están alineados.
Sean A, B, C y D los centros de los semicírculos y del círculo interior como se muestra en la …gura. Se tiene
AB = AD = 3 + r, CA = 6 r, BC = CD = 3. Como 4ABD es isósceles y C es punto medio de BD,
AC?BC, luego el 4ABC es rectángulo en C y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. Luego
(3 + r)
2
= (6 r)
2
+ 32
9 + 6r + r2
= 36 12r + r2
+ 9
18r = 36
r = 2
88. En la …gura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
Solución:
Al considerar el círculo central y dos círculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del área
buscada. Vemos también que esta fracción corresponde al área de un triángulo equilátero de lado 2 menos tres
sectores circulares de radio 1 y de 60o
cada uno, que juntos forman un semicírculo de radio 1.
85

86. Luego
A = 6
"p
3
4
22 1
2
12
#
= (6
p
3 3 )u2
89. En la …gura, mBCA = 90o
; BA = 5y AC = 3: ¿Cuál es el área del círculo con centro en O?
Solución:
Como el 4ABCes rectángulo en C, aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar BC
BC =
p
AB2 AC2 =
p
52 32 = 4
Como BC es diámetro del círculo, se tiene r = 2 y su área resulta A = r2
= 4
90. El lado mayor del rectángulo de la …gura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco
semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?
Solución:
Se observa que la curva está formada por 5 semicircunferencias, cuyos diámetros suman 20, luego cada diámetro
mide 20 5 = 4 y los respectivos radios la mitad o sea 2 unidades. Luego
L = 5
1
2
2 r = 5 r = 5 2 = 10
91. La …gura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes
entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide
Solución:
86

87. Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean A y C los centros de las circunferencias, pequeño y grande
respectivamente. Desde A y C trazamos perpendiculares a los segmentos perpendiculares iniciales, formando
el cuadrado rotulado en la …gura como ABCD.
Sean E, F, G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se
indica en la …gura.
Tenemos que AE = AG = DH = BF = 1, el radio de la circunferencia pequeña. Como CH = BG = CF = r,
tenemos que CD = CB = BA = DA = r 1, luego por esto y la perpendicularidad anterior ABCD es un
cuadrado.
Como las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios,
es decir AC = r + 1. Luego el 4ABC es un triángulo isósceles, rectángulo en B, con AB = BC = r 1 y
AC = r + 1. Luego AC =
p
2AB, es decir r + 1 =
p
2(r 1). Al despejar r, se obtiene r = 3 + 2
p
2
92. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la …gura. ¿Cuál es el área
de la región sombreada?
Solución:
Rotulemos los puntos extremos de la región sombreada, como se muestra en la …gura, vemos que se forma un
rectángulo. En los extremos de la región se tienen dos semicírculos, que juntos forman un circulo. Luego la
región sombreada es la diferencia entre las áreas del rectángulo y los dos círculos que se forman.
Dado que el radio de los círculos es 1, AD = 2 y AB = 4
Luego
A = 2 4 2 12
= 8 2
87

88. 93. La …gura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1; ¿cuánto mide el área
del triángulo ABC?
Solución:
Se observa que los triángulos ABC y ABO tienen la misma área, ya que tienen la misma base y la misma
altura. Por ser un hexágono regular el 4ABO es un triángulo equilátero de lado igual al radio del círculo.
Como el área del circulo es 1, se tiene
r2
= 1
r =
1
p
Luego el área del triángulo es
[ABC] =
p
3
4
1
p
2
=
p
3
4
94. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados?
Solución:
Como el número de diagonales en un polígono está dado por D = n(n 3)
2 , donde n es el número de lados del
polígono. Luego
n (n 3)
2
= n
n2
3n = 2n
n2
5n = 0
n (n 5) = 0
n = 0 _ n = 5
Se descarta n = 0, por carecer de sentido. Por tanto el polígono buscado es un pentágono.
95. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si mDEC = k (mBOA), entonces el valor
de k es:
88

89. Solución:
Trazamos el radio OD y vemos que el 4ODE es isósceles ya que OD = ED = r, luego DEC = DOC.
Como el DEC es un ángulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida está dada por
mDEC =
mdAB mdCD
2
(1)
Como los ángulos BOA y DOC, sus medidas están dadas por mBOA = mdAB y mDOC = mdCD =
mDEC. Se tiene
mDEC = k(mBOA) = k mdAB = dDC
Sustituyendo en (1):
k mdAB =
mdAB k mdAB
2
2k mdAB = mdAB k mdAB
3k = 1
k =
1
3
96. Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
Solución:
Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio 2r. Se tiene A1 = r2
y A2 = (2r)
2
=
4 r2
. El aumento está dado por
4A = A2 A1 = 4 r2
r2
= 3 r2
Porcentaje de aumento:
4A
A1
100% =
3 r2
r2
100% = 300%
97. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1; 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la
región cuadriculada y el área de la región oscura?
Solución:
El circulo pequeño tiene área , ya que su radio es 1
El círculo mediano tiene área 4 , ya que su radio es 2
89

90. El círculo grande tiene área 9 , ya que su radio es 3
Área de la región oscura = área del circulo grande –área del circulo mediano = 9 4 = 5
Área de la región cuadriculada = área del circulo mediano –área del circulo pequeño = 4 = 3
Área de la región cuadriculada
Área de la región oscura
=
3
5
=
3
5
98. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la
circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:
Solución:
Como mAEB = 90o
, AE es una altura del triángulo equilátero ABC. Como el radio es 1, AB = 2, luego
AE =
p
3
2
2 =
p
3: (En todo triángulo equilátero de lado x, la altura mide
p
3
2
x)
99. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la
longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:
Solución:
Sean CD = 10 y AB = 14, las cuerdas dadas. Como la distancia entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante
de ellas está a 3 unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posición de
las cuerdas con respecto a un diámetro paralelo a ellas. Comencemos asumiendo que están al mismo lado del
diámetro paralelo, como se muestra en la …gura
Al trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean
P, Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la …gura.
90

91. Se tiene PB = 7, RD = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = 2y. Supongamos que
la cuerda AB está a x unidades del centro. Se forman tres triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa
igual al radio de la circunferencia.
Al aplicar el teorema de Pitágoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones
r2
= x2
+ 12x + 36 + 25 r2
= x2
+ 6x + 9 + y2
r2
= x2
+ 49
r2
= x2
+ 12x + 61
Restando la tercera ecuación de la primera
12x = 12
x = 1
El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas están en lados opuestos del diámetro paralelo a las cuerdas.
Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación, obtenemos r2
= 50. Sustituyendo el valor de x y r2
en la
segunda ecuación obtenemos 50 = 1 6 + 9 + y2
) y =
p
46yEF = 2y = 2
p
46 =
p
184
100. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del
hexágono entre el área del triángulo se obtiene:
Solución:
Al observar el gra…co fácilmente se deduce que el área del hexágono es el doble del área del triángulo. Esto
puede veri…carse considerando que el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio r, está dada
por
p
3r y por tanto su área es
A1 =
p
3
4
p
3r
2
=
3
p
3
4
r2
También se tiene que el lado de un hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su área es
A2 =
6
p
3
4
r2
Luego
A2
A1
=
6
p
3
4
r2
3
p
3
4
r2
= 2
91

92. 101. En el prisma recto de la …gura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30cm. Si la altura del
prisma es 10cm. ¿Cuál es el área total de la super…cie del prisma?
Solución:
Como las bases son triángulos equiláteros de perímetro 30 cm, sus lados miden 10 cm y por tanto tienen una
área de
Ab =
p
3
4
102
= 25
p
3
Su área lateral es AL = P h = 30 10 = 300. El área total está dada por
AT = 2 Ab + AL = 2 25
p
3 + 300 = 50
p
3 + 300
102. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un
triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1. ¿Cuál es el área del triángulo formado?
Solución:
En la …gura se muestra un triángulo que satisface el enunciado. Vemos que sus lados son diagonales de las caras
y como las aristas de los cubos tienen longitud 1, estas diagonales miden
p
2. Como el área de un triángulo
equilátero de lado x está dada por
p
3
4 x2
, en este caso tenemos
A =
p
3
4
p
2
2
=
p
3
2
103. La …gura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta
Solución:
92

93. Al bosquejar los planos indicados vemos que comparten los puntos B y F, y dado que la intersección de dos
planos diferentes es una única recta, la intersección es la recta
!
BF.
104. De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la
parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente
Solución:
El volumen de la parte sobrante es la diferencia entre el volumen del cubo y el volumen del cilindro, luego
V = 53 3
2
2
(5) = 125
45
4
125 35:34 89:67 90
105. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la
diagonal del prisma mide 30cm, su volumen es
Solución:
Sean z la altura, y la longitud y x el ancho del prisma. Se tiene z = y
3 , x = y
2 . La diagonal está dada por
d =
p
x2 + y2 + z2 = 30
x2
+ y2
+ z2
= 900
Al expresar en términos de “y”esta ecuación, se obtiene
y2
4
+ y2
+
y2
9
= 900
1
4
+ 1 +
1
9
y2
= 900
49
36
y2
= 900
y =
180
793

94. El volumen está dado por
V = xyz
=
y
2
y
y
3
=
y3
6
=
1
6
180
7
2
2833:8 cm3
106. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50cm 37cm, el nivel del
agua subió 1cm. ¿Cuál es el volumen del trozo de metal?
Solución:
El volumen del trozo de metal es equivalente al volumen que incrementó el tanque, lo cual equivale al volumen
de un paralelepípedo de dimensiones 1 50 37, es decir 1850 cc:
107. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no
hayan dos diagonales que tengan un punto en común?
Solución:
Trazamos inicialmente sobre una de las caras una diagonal, digamos AD, ninguna otra puede involucrar estos
puntos para satisfacer la condición. Con los puntos restantes trazamos otra diagonal, digamos BE. Nos quedan
cuatro vértices en este caso los vértices C, F, G y H, con los cuales solo podemos trazar dos diagonales más.
En total cuatro diagonales. Cualquier otra variante conduce a la misma cantidad.
94

95. 108. En la …gura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b =
c
2
, ¿Cuál es el volumen en términos de
c?
Solución:
Como a = 2b y b = c
2 , entonces a = c. Por ser un paralelepípedo rectangular,
V = abc = c
c
2
c =
c3
2
109. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide
es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice?
Solución:
Sea A0 = 20, el área de la sección transversal y A = 45, el área de la base de la pirámide. Sea h la distancia
desde la sección transversal al vértice. Se tiene
A0
A
=
h
6
2
=
20
45
=
4
9
h
6
=
2
3
h = 4
110. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide
es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor?
Solución:
Los datos forman parte del ejercicio anterior, de manera que ya sabemos que la distancia desde la sección
transversal al vértice es h = 4. Luego, si V es el volumen de la pirámide mayor y V 0 el de la pirámide menor,
se tiene
V
V 0
=
6
4
3
=
3
2
3
=
27
8
95

96. 111. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10; el volumen de la
pirámide es
Solución:
Como la base de la pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12, su lado mide 4, luego
Ab =
p
3
4
42
= 4
p
3
y como h = 10, el volumen de la pirámide es
V =
1
3
Ab h =
1
3
4
p
3 10 =
40
p
3
3
112. La …gura muestra dos esferas tangentes que descansan sobre una mesa plana. Si los radios de las esferas son
8cm. y 16cm respectivamente, entonces la distancia en cm. entre los puntos de contacto de las esferas con la
mesa es:
Solución:
Al considerar los centros de las esferas y los puntos de tangencia con la mesa, se forma un trapecio, como el
que se muestra en la …gura, en el cual OO0 = 24 ya que las esferas son tangentes. OA = 16 y O0B = 8
Si trazamos una paralela a la mes desde O0, sea D el punto donde corta al radio OA. Tenemos que AB = PO0,
PA = O0B = 8, luego OP = OA PA = 8. Como OA?AB, también se tiene OP?PO0. Luego por el teorema
de Pitágoras se tiene
PO0 = AB =
p
242 82 = 16
p
2
113. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8cm y la altura mide 20cm, se traza una sección
paralela a la base a 14cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es
96

97. Solución:
Sea x la longitud de la arista de la sección, se tiene entonces
x
8
=
6
20
x =
48
20
x = 2:4
Como es un cuadrado, su área es A = x2
= (2:4)
2
= 5:76
114. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz
común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es.
Solución:
El volumen buscado es la diferencia entre los volúmenes de los cilindros. Como los diámetros son 12 y 6, los
radios son 6 y 3, luego,
V = R2
r2
h = 62
32
20 = 540
115. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es
Solución:
Como el diámetro es igual a la altura se tiene r = h
2 . Luego
V = r2
h
V =
h
2
2
h
1200 =
h3
4
h =
3
r
4800
h 11:5176
97

98. El área total está dada por AT = 2 AB + AL:
El área de la base es AB = r2
=
h
2
2
=
h2
4
El area lateral es AL = 2 rh = 2 h
2 h = h2
Luego AT = 2 AB + AL = 2
h2
4
+ h2
=
3
2
h2
Al sustituir el valor de h obtenemos AT =
3
2
h2
625:13
116. Un cono de revolución tiene 13cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo
a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5:2cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de
cono formado es
Solución:
Sea r el radio de la base menor del cono truncado. Sea y la altura del cono menor y H la altura del cono
truncado. Al considerar la altura del cono, los radios de las bases y la generatriz obtenemos los triángulos
rectángulos que se muestran en la …gura.
La altura del cono original es h =
p
g2 r2 =
p
132 52 = 12: Como los triángulos formados son semejantes
se tiene
y
12
=
r
5
=
5:2
13
y =
24
5
, r = 2
Como H + h = 12, se tiene H = 12
24
5
=
36
5
: El volumen buscado es
V =
3
H R2
+ r2
+ Rr =
3
36
5
(25 + 4 + 10) 294:05
117. Dado un cono circular recto con radio 3m y generatriz 5m, entonces su área lateral es
Solución:
El área lateral está dada por AL = rg = 3 5 = 15 .
98

99. 118. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6cm. de radio y 8cm de
altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4:5cm es
Solución:
Se tiene AL = g (R + r), donde g es la generatriz del tronco de cono. La generatriz del cono está dada por
g0 =
p
h2 + r2 =
p
82 + 62 = 10
Como los triángulos que se forman con la altura, la generatriz y los radios son semejantes, se tiene
r
6
=
3:5
8
r = 2:625
Por el teorema de Thales,
g
4:5
=
10
8
g = 5:625
Luego AL = g (R + r) = 5:625 (6 + 2:625) 152:42
119. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva
esfera es
Solución:
El volumen de la nueva esfera es la suma de los volúmenes de las esferas dadas. La esfera de radio 2 a tiene un
volumen
V1 =
4
3
r3
=
4
3
(2a)
3
=
32
3
a3
La esfera de radio 3 a tiene un volumen
V2 =
4
3
r3
=
4
3
(3a)
3
=
108
3
a3
El volumen de la nueva esfera es
V = V1 + V2 =
32
3
a3
+
108
3
a3
=
140
3
a3
140
3
a3
=
4
3
r3
r = a
3
p
35
99

100. 120. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del
cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es
Solución:
Volumen del cono Vc =
1
3
r2
h =
1
3
r2
2r =
2
3
r3
Volumen de la esfera VE =
4
3
r3
Luego
Vc
VE
=
2
3
r3
4
3
r3
=
1
2
121. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del
cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es
Solución:
Volumen del cono Vc =
1
3
r2
h =
1
3
r2
3r = r3
Volumen de la esfera VE =
4
3
r3
Luego
Vc
VE
=
r3
4
3
r3
=
3
4
122. La altura de un cono es 5cm. Un plano a 2cm del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono
más pequeño es 24cm3, el volumen del cono más grande es
Solución:
100

101. Se tiene que los volúmenes de cono semejantes son proporcionales al cubo de su razón de semejanza V1
V2
= h
H
3
:
Luego el volumen del cono más grande es V = 5
2
3
24 = 375
123. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la super…cie total del cubo es
40
m2
, entonces el área de la
super…cie de la esfera es
Solución:
Tenemos que la diagonal del cubo es el diámetro de la esfera. Si x es la longitud de la arista del cubo, su área
total es
6x2
=
40
x2
=
20
3
En un cubo la diagonal es d =
p
3x, luego el radio de la esfera es r =
p
3
2 x.
El área de la super…cie de la esfera es S = 4 r2
, al sustituir los valores encontrados resulta
S = 4 r2
= 4
3
4
x2
= 3
20
3
= 20
124. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26m2
. Si el volumen de dicha pirámide es 78m3
, entonces
su altura mide
Solución:
Tenemos que el volumen de una pirámide está dado por
V =
1
3
AB h
h =
3V
AB
Al sustituir los datos se obtiene h =
3V
AB
=
3:78
26
= 9
101

102. 125. Si el cono de la …gura tiene un volumen de ,C es el vértice, un diámetro y mACB = 120 ; entonces el diámetro
de la base, en centímetros, es.
Solución:
Al considerar el triángulo formado por el diámetro AB y el vértice, tenemos que mCAB = mCBA = 30o
.
Luego la altura del cono es h = rp
3
. El volumen es
V =
1
3
r2
h =
1
3
r2 r
p
3
=
r3
3
p
3
Se tiene entonces
r3
3
p
3
=
1000
p
3
9
r3
= 1000
r = 10
y por tanto el diámetro es d = 20.
126. El área de la super…cie total de un cubo es 12m2
. Entonces la longitud de su diagonal es
Solución:
El área de la super…cie total de un cubo de lado x, está dada por AT = 6x2
y su diagonal por d =
p
3x. Luego
6x2
= 12
x =
p
2
Y d =
p
3x =
p
3
p
2 =
p
6
127. Si la generatriz de un cono mide 25my el diámetro de su base es 8m; su volumen mide
Solución:
El volumen está dado por V = 1
3 r2
h y la altura es h =
p
g2 r2. Tenemos que g = 25 y d = 8 o sea r = 4,
luego h =
p
252 42 =
p
609, por tanto V = 1
3 42
p
609 413:48.
102

103. 128. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio
de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es
Solución:
Sean A, B y C los puntos marcados en la …gura. Tenemos que AB es diámetro del cilindro y BC diámetro de
la esfera, luego AB = 2 y BC = 4. La altura del cilindro es AC, el cual al aplicar el Teorema de Pitágoras
resulta
AC =
p
BC2 AB2 =
p
42 22 =
p
12 = 2
p
3
El área lateral de un cilindro está dada por AL = 2 rh. Como el diámetro del cilindro mide 2, su radio mide
1. Luego AL = 2 1 2
p
3 = 4
p
3 .
103

104. UNIDAD DE FUNCIONES
1. Los intersectos de la función lineal f(x) = 2x 6 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son los puntos:
Solución :
Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto
y = 6
x = 3
entonces los puntos de intersección son (0; 6) y (3; 0)
2. La preimagen de y = 3 bajo la función f(x) = 7 3x es :
Solución :
Sustituyendo el valor de y = 3 en la función, se obtiene
3 = 7 3x
x =
10
3
3. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8) es
Solución :
La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b entonces
3 = a + b
8 = 2a + b
al resolver el sistema de ecuación se obtiene a =
11
3
; b =
2
3
; por tanto, la función lineal es
f (x) =
11
3
x +
2
3
4. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal de tiempo medido en años S =
P (1 + rt). Si el capital es P = C$1000 y la tasa anual de interés es r = 4%, entonces la cantidad devengada S
pasado 15 años es :
Solución :
Sustituyendo en la expresión dada
S = P (1 + rt)
= 1000 [1 + 0:04 (15)]
= 1600
104

105. 5. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3, la función h(x), donde x es cualquier número real está
de…nida por :
Solución :
La función lineal tiene la forma h (x) = ax + b entonces
5 = 2 + b
3 = 6a + b
al resolver dicho sistema, se obtiene a =
1
4
; b =
9
2
; por tanto, la función es
h (x) =
1
4
x +
9
2
6. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la
edad t (en años). Si la estatura de cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los
7, entonces al expresar y como función de t, se obtiene:
Solución :
La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b; al sustituir los valores respectivos
48 = 6a + b
50:5 = 7a + b
al resolver dicho sistema, se obtiene que a = 2:5; b = 33; entonces la función lineal tiene la forma
f (x) = 2:5t + 33
7. Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los
ejes X; Y .
Solución :
Al sustituir los valores en la función lineal, se tiene
1 = b
0 = a + b
entonces la función es de la forma
f (x) = ax + b
= x + 1
105

106. Al aplicar las condiciones del problema y gra…car
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
se observa que forma un triángulo isósceles, cuya área es 0:5u
8. Al evaluar la función cuadrática f(x) =
2
3
x2
+
1
2
en x =
3
4
se obtiene que su imagen vale :
Solución :
Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene
f
3
4
=
2
3
3
4
2
+
1
2
=
1
8
9. Los intersectos de la función cuadrática g(x) = x2
6x 5 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son
los puntos :
Solución :
Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto
g (0) = 5
x2
6x 5 = 0
Al resolver esta ecuación cuadrática x2
6x 5 = 0 se obtiene x = 1 ; x = 5; por tanto, los puntos de
intersección con el eje Y es (0; 5) y con el eje X, ( 5; 0) y ( 1; 0)
Gra…camente se puede observar que
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
x
y
106

107. 10. El domino y el rango de la función cuadrática f(x) = 2x2
+ 6 son, respectivamente :
Solución :
Dom (f) = R
Rang (f) = ( 1; 6]
11. Dada la función f (x) = ax2
+ bx + c, el valor de f
b
2a
es :
Solución :
Al sustituir el valor de x =
b
2a
en la expresión funcional
f
b
2a
= a
b
2a
2
+ b
b
2a
+ c
= c
b2
4a
12. Dadas las parábolas x2
3x+1 ; x2
+2x+7: La distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas
es:
Solución :
Los puntos máximos y mínimos de estas parábolas se encuentran en sus vértices, por tanto, para la primera
parábola su vértice es el punto mínimo
3
2
;
5
4
y para la segunda, el máximo es (1; 8) ; aplicando la fórmula
de la distancia se tiene
d (M; m) = 9:2635
13. Las funciones lineales de…nidas por f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1; forman un triángulo
isósceles con el eje X. El área de dicho triángulo es:
Solución :
Al aplicar las condiciones dadas, se tiene para la primera función
0 = a + b
1 = b
de aqui f1 (x) = x + 1: Para la segunda función
0 = a + b
1 = b
se obtiene f2 (x) = x + 1: Grá…camente
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
107

108. por tanto, su área es
A =
1
2
(b h)
= 1 u2
14. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos ( 2; 53), (0; 5) y (2; 29) es :
Solución :
Primeramente determinaremos la expresión funcional de la función cuadrática, aplicando las condiciones
53 = 4a 2b + c
5 = c
29 = 4a + 2b + c
al resolver dicho sistema, se tiene a = 9; b = 6; c = 5; entonces la forma funcional es
f (x) = 9x2
6x + 5
Ahora, el vértice está dado por
b
2a
; c
b2
4a
; al sustituir los valores respectivos, se tiene
V =
6
18
; 5
( 6)
2
36
!
V =
1
3
; 4
El rango está de…nido por [4; +1)
15. Al expresar la función cuadrática f(x) = 3x2
+ 24x + 50 en la forma f(x) = a(x h)2
+ k, resulta :
Solución :
Expresemos la función dada en la forma
f (x) = 3x2
+ 24x + 50
= 3 x2
+ 8x + 50
= 3 x2
+ 8x + 16 + 50 48
= 3 (x + 4)
2
+ 2
16. Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5; f ( 2) = 5; y f (0) = 1: Determine dicha función :
Solución :
Sustituyendo las condiciones iniciales dadas en la forma funcional f (x) = ax2
+ bx + c
5 = 4a + 2b + c
5 = 4a 2b + c
1 = c
108

109. Al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene que a = 1; b = 0; c = 1; entonces
f (x) = x2
+ 1
17. Dadas las parábolas f (x) = x2
1 ; f (x) = x2
+ 1: Determine los valores de x que pertenecen a la región
limitada por la intersección de dichas grá…cas.
Solución :
Los puntos de intersección de ambas parábolas, se obtiene igualando dichas ecuaciones
x2
1 = x2
+ 1
al resolver dicha ecuación x2
1 = x2
+ 1, se obtiene que x = 1; x = 1; entonces la región limitada está
dada por el intervalo
f 1 x 1g
18. Al evaluar la función valor absoluto f(x) = jx 3j en x = 7 se obtiene que su imagen vale :
Solución :
Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene
f ( 7) = j 7 3j
= 10
19. Las preimágenes de y = 2 bajo la función f(x) = j3x 11j 5 son:
Solución :
Sustituyendo el valor de y = 2 en la función, se obtiene
2 = j3x 11j 5
7 = j3x 11j
al resolver dicha ecuación, se tienen que las preimágenes son x =
4
3
; x = 6
20. El domino y el rango de la función valor absoluto f(x) = jxj jx + 3j son respectivamente :
Solución :
Dom (f) = R
Rang (f) = [ 3; 3]
109

110. 21. El vértice y el rango de la función valor absoluto f(x) = jx + 1j + 3 es :
Solución :
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
Para deteminar el vértice se hace iguala el argumento de la función valor absoluto a cero, es decir
x + 1 = 0
x = 1
por tanto
y = 3
de donde el vértice es el punto ( 1; 3) : Ademas, como el signo de la función valor es negativo, la gra…ca se abre
hacia abajo y el rango es
( 1; 3]
22. Si expresamos la función f(x) = jjxj 2j sin el símbolo de valor absoluto, entonces resulta:
Solución :
La expresión jxj 2 es equivalente a
jxj 2 =
(
x 2 si x 0
x 2 si x < 0
ahora al aplicar módulo sobre cada una de las ramas dadas, se tiene
jx 2j =
(
x 2 si x 2 0
2 x si x 2 < 0
jx 2j =
(
x 2 si x 2
2 x si x < 2
de forma similar
j x 2j =
(
x 2 si x 2 0
x + 2 si x 2 < 0
j x 2j =
(
x 2 si x 2
x + 2 si x > 2
efectuando el análisis correspondiente
110

111. f (x) =
8
>>>><
>>>>:
x 2 si x 2
x + 2 si 2 < x 0
2 x si 0 < x 2
x 2 si x > 2
23. Al expresar la función f(x) = jxj + jx 5j sin el símbolo de valor absoluto, resulta:
Solución :
Para x 0 ^ x 5
f (x) = x + x 5 = 2x 5
Para x 0 ^ x 5
f (x) = x x + 5
= 5
Para x 0 ^ x 5
f (x) = x x + 5
= 2x + 5
en consecuencia
f (x) =
2x + 5 si x < 0
5 si 0 x < 5
2x 5 si x 5
24. El valor de x en la expresión exponencial 7x
+ 7x 1
= 8x
es igual a:
Solución :
7x
+ 7x 1
= 8x
7x
+ 7x
7 1
= 8x
7x
1 + 7 1
= 8x
8
7
=
8
7
x
por igualdad de bases, se tiene que x = 1
25. Sea el sistema de ecuaciones (
ax
+ ay
= 4
ax
ay
= 2
Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x + y es igual a:
Solución :
111

112. Al sustituir el valor de a = 3 en dicho sistema, se obtiene
(
3x
+ 3y
= 4
3x
3y
= 2
Al sumar dichas ecuaciones
3x
+ 3x
= 6
2 3x
= 6
3x
= 3
entonces por igualdad de bases, se tiene x = 1
26. En la ecuación exponencial 2x+2
+ 2x+3
+ 2x+4
+ 2x+5
+ 2x+6
= 31, la solución es:
Solución :
Escribamos en otra forma la expresión dada
22
2x
+ 23
2x
+ 24
2x
+ 25
2x
+ 26
2x
= 31
2x
(4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 31
124 2x
= 31
2x
=
31
124
2x
= 2 2
entonces x = 2
27. Si en la expresión 2x
= P, entonces 4 1
es igual a:
Solución :
Igualando y elevando al cuadrado
22x
= P2
22 x
= P2
para x = 1; tenemos
4 1
= P 2
28. Si f(x) =
ex
+ e x
2
entonces f(ln 2) es:
Solución :
Al evaluar la función en ln 2 se tiene
f(ln 2) =
eln 2
+ e ln 2
2
=
5
4
112

113. 29. El valor de x en la ecuación: a(3x+1)(2x 2)
= a2x2
+5
a4x2
+4
Solución :
Al igualar ambos exponentes ( por igualdad de bases )
(3x + 1) (2x 2) = 2x2
+ 5 + 4x2
+ 4
6x2
4x 2 = 2x2
+ 5 + 4x2
+ 4
4x 11 = 0
x =
11
4
30. Si 33
25
= 4 6m
, entonces m2
es:
Solución :
Al hacer la equivalencia entre los exponentes
33
25
= 22
3m
2m
33
25
= 22+m
3m
de aqui
m = 3 =) m2
= 9
31. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1
+ 2x+3
= 320 es:
Solución :
Reescribamos la ecuación dada en la forma
22(x+1)
+ 2x+3
= 320
4 22x
+ 8 2x
320 = 0
22x
+ 2 2x
80 = 0
haciendo un cambio de variable u = 2x
entonces
u2
+ 2u 80 = 0
(u + 10) (u 8) = 0
u = 10 ; u = 8
entonces el valor de u = 10 se desprecia ( el logaritmo de un número negativo no existe ) y por tanto
8 = 2x
x = 3
113

114. 32. La solución de la ecuación 5x
+ 5x+2
+ 5x+4
= 651 es:
Solución :
5x
+ 5x+2
+ 5x+4
= 651
5x
+ 25 5x
+ 625 5x
= 651
5x
(1 + 25 + 625) = 651
5x
= 1
5x
= 50
x = 0
33. La solución de 84x 8
9 = 8 es:
Solución :
84x 8
= 1
84x 8
= 80
4x 8 = 0
x = 2
34. Una expresión equivalente a
1
2
(3 loga x 5 loga y 30 loga z) es igual a:
Solución :
1
2
(3 loga x 5 loga y 30 loga z) =
1
2
loga
x3
y5
z30
= loga
s
x3
y5z30
35. El log (a + b)
2
log (a + b) es igual a:
Solución :
log (a + b)
2
log (a + b) = 2 log (a + b) log (a + b)
= log (a + b)
36. Siendo log m = 1
3 (log x + log y log z) entonces m es igual a
Solución :
Por propiedades e igualdad de logaritmos
log m =
1
3
(log x + log y log z)
log m =
1
3
log
xy
z
log m = log
xy
z
1
3
m = 3
r
xy
z
114

115. 37. El resultado de realizar logb x logb y2
+ logb xy2
es igual a:
Solución :
Por propiedades de logaritmos
logb x logb y2
+ logb xy2
= logb
x2
y2
y2
= logb x2
38. Al resolver log (9x 5) = log (x 1) + 1 el valor de x es :
Solución :
Por propiedades de logaritmos
log (9x 5) log (x 1) = 1
log
9x 5
x 1
= 1
9x 5
x 1
= 10
al resolver dicha ecuación, se tiene
x = 5
39. El valor de 13log13(8+5)
es :
Solución :
Por propiedad de logaritmo
aloga x
= x
entonces
13log13(8+5)
= 13
40. El valor de e1+ln 5
es :
Solución :
Por propiedad de logaritmo
eloge x
= x
entonces
e1+ln 5
= e eln 5
= 5e
115

116. 41. Al simpli…car la expresión
log5 16
log5 4
se obtiene :
Solución :
log5 16
log5 4
=
log5 24
log5 22
=
4 log5 2
2 log5 2
= 2
42. La ecuación log 3 x2
= log 2 + log x tiene por solución :
Solución :
Aplicando propiedades de logaritmos e igualando
log 3 x2
= log (2x)
3 x2
= 2x
x2
+ 2x 3 = 0
cuya solución es x = 1
43. En la expresión (log x)
2
= 35 2 log x, la respuesta es:
Solución :
Realizando un cambio de variable u = log x se tiene
u2
= 35 2u
u2
+ 2u 35 = 0
al resolver dicha ecuación, se obtiene que u = 5; pero
u = log x
x = 10u
x = 105
44. Si se aplica logaritmo a la ecuación 2x+1
5x
= 9, el resultado es:
Solución :
2x+1
5x
= 9
2 2x
5x
= 9
10x
=
9
2
x = log
9
2
116

117. 45. Al despejar t " en L = Mat=N
P, obtenemos :
Solución :
Al aplicar propiedades de logaritmos
L + P = Mat=N
L + P
M
= at=N
loga
L + P
M
=
t
N
loga a
t = N loga
L + P
M
46. El conjunto solución de la ecuación 3(3x
) + 9(3 x
) = 28 es :
Solución :
La expresión dada es equivalente
3(3x
) + 9(3 x
) = 28
3(3x
) +
9
3x
= 28
3 32x
28 (3x
) + 9 = 0
Haciendo un cambio de variable u = 3x
se obtiene
3u2
28u + 9 = 0
cuya solución es u =
1
3
; u = 9; entonces
1
3
= 3x
=) x = 1
9 = 3x
=) x = 2
47. Al simpli…car la expresión
(ex
+ e x
)(ex
+ e x
) (ex
e x
)(ex
e x
)
(ex + e x)2
se obtiene :
Solución :
Al multiplicar y simpli…car la expresión
(ex
+ e x
)(ex
+ e x
) (ex
e x
)(ex
e x
)
(ex + e x)2
=
e 2x
+ e2x
+ 2 e 2x
e2x
+ 2
(ex + e x)2
=
4
(ex + e x)2
48. Al resolver la ecuación log(x3
) = (log x)3
se obtiene que el conjunto solución es :
Solución :
117

118. Haciendo el cambio de variable u = log x; se tiene
3u = u3
u3
3u = 0
u u2
3 = 0
Las soluciones son u = 0; u =
p
3 ; entonces
0 = log x ;
p
3 = log x
x = 1 ; x = 10
p
3
49. Que valor de x veri…ca que
log(x2
9)
log(x + 3)
= 1
Solución :
Reescribamos la ecuación dada por
log(x2
9) log (x + 3) = 0
log
x2
9
x + 3
= 0
1 =
x2
9
x + 3
cuya solución es x = 4
50. Exprese
7
4
radianes, en grados.
Solución :
Si x representa la cantidad buscada, entonces
x
7
4
=
180
Luego
x =
(180)(7 =4)
=
(180)(7)
4
= (45)(7) = 315
51. Exprese 18
o
en radianes
Solución :
Si x representa la cantidad buscada, entonces
x
18
=
180
luego,
x =
18
180
=
10
118

119. 52. Exprese en radianes 2340
o
Solución :
Si x representa la cantidad buscada, entonces
x
2340
=
180
luego,
x =
2340
180
= 13
53. Si tan x no está de…nido, cuáles de los siguientes valores tampoco está de…nido:
Solución :
Puesto que
tan x =
sin x
cos x
el valor de tan x no está de…nido si
cos x = 0
en tal caso tampoco está de…nido
1
cos x
= sec x
luego también se inde…ne
cos x sec x
54. Calcular los valores de x en [0; 2 ] tales que 2 cos x = tan x + sec x
Solución :
Puesto que tan x =
sin x
cos x
y sec x =
1
cos x
tenemos que
2 cos x =
sin x
cos x
+
1
cos x
=
sin x + 1
cos x
de donde 2 cos2
x = sin x + 1. Luego
2 cos2
x sin x 1 = 0
sustituyendo cos2
x = 1 sin2
x obtenemos que
2(1 sin2
x) sin x 1 = 0
o
2 2 sin2
x sin x 1 = 0
es decir
2 sin2
x sin x + 1 = 0
119

120. o equivalentemente
2 sin2
x + sin x 1 = 0:
Haciendo la sustitución u := sin x obtenemos la ecuación
2u2
+ u 1 = 0:
Factorizando la parte izquierda se llega a la ecuación equivalente
(2u + 2)(2u 1) = 0
cuyas soluciones son
u = 1; u =
1
2
Puesto que u = sin x, se debe tener sin x = 1 ó sin x =
1
2
:Pero si sin x = 1, entonces cos x = 0 y en ese
caso ni tan x ni sec x están de…nidas. Por tanto, la única posibilidad es que sin x = 1
2 y en ese caso los valores
posibles de x en el intervalo [0; 2 ] son 6 y 5 =6.
55. La expresión sin
2
+ es equivalente a
Solución :
Puesto que
sin(u + v) = sin u cos v + sin v cos u;
sustituyendo u por
2
y v por obtenemos que
sin
2
+ = sin
2
cos + sin cos
2
:
Pero sin
2
= 1 y cos
2
= 0; por tanto
sin
2
+ = 1 cos + sin 0 = cos :
56. La expresión cos(
2
) es equivalente a
Solución :
Puesto que
cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v;
entonces sustituyendo u por 2 y v por se obtiene
cos
2
= cos
2
cos + sin sin
2
= 0 cos + (sin ) 1
= sin
120

121. 57. El valor de la expresión sin
2
+ x
2
+ cos
2
x
2
es :
Solución :
Puesto que
sin
2
+ x = cos x y cos
2
= sin x
tendremos que
sin
2
+ x
2
+ cos
2
2
= cos2
x + sin2
x = 1
58. ¿Qué valor toma cos2
(T) si se sabe que sin(x + T) = sin x para todo ángulo x:
Solución :
Dado que
sin(x + T) = sin x
para todo ángulo x, tenemos en particular que
sin(T) = sin(0 + T) = sin 0 = 0
Luego
1 = cos2
T + sin2
T
1 = cos2
T
59. La expresión (sin b) cos(a b) + (cos b) sin(a b) es equivalente a
Solución :
Sabemos que
cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a b) = sin a cos b sin b cos a
sustituyendo estas expresiones, se tiene
sin b [cos a cos b + sin a sin b] + cos b [sin a cos b sin b cos a]
sin b cos a cos b + sin a sin2
b + sin a cos2
b sin b cos a cos b
sin a sin2
b + cos2
b
sin a
60. Resolver sin x + cos x =
p
2
Solución :
121

122. Elevando al cuadrado tenemos que
sin2
x + 2 sin x cos x + cos2
x = 2
de donde
2 sin x cos x = 1
es decir
sin x cos x =
1
2
pongamos u = sin x y v = cos x; entonces u + v =
p
2 y uv =
1
2
; v =
p
2 u asi que
u(
p
2 u) =
1
2
u
p
2 u2 1
2
= 0
2u2
2
p
2u + 1 = 0
cuya solución es
u =
(:2
p
2)
2(2)
=
p
2
2
además u = sin x; entonces
sin(
4
) =
p
2
2
de modo que
x =
4
+ 2k (k 2 Z)
61. Resolver la ecuación sin2
x 3 cos2
x = 0
Solución :
La ecuación dada se puede reescribir por medio de
sin2
x 3 1 sin2
x = 0
4 sin2
x = 3
sin x =
p
3
2
de donde la solución dada es
2
3
+ 2 k j k 2 Z [
n
3
+ 2 k j k 2 Z
o
62. Resolver el sistema 8
<
:
sin x + cos y = 1
x + y =
2
Solución :
Si x + y =
2
, entonces y =
2
x y cos y = cos(
2
x) = sin x;
122

123. luego,
sin x + cos y = sin x + sin x = 2 sin x
entonces
2 sin x = 1
sin x =
1
2
la solución de esta ecuación es
1
6
+ 2 k j k 2 Z [
5
6
+ 2 k j k 2 Z :
Pero si x = 1
6 + 2 k o x = 5
6 + 2 k, entonces
y =
2
x =
2 6
2k o y =
2
5
6
k (k 2 Z)
de donde
y =
3
+ 2m o y =
3
+ 2m (m 2 Z)
Por tanto la solución es
x =
1
6
+ 2 k y =
3
+ 2m y x =
5
6
+ 2 k; y =
3
+ 2m
63. El valor de 1 + cot2
x coincide con el de
Solución :
Sabemos que
sin2
x + cos2
x = 1; 8 x 2 R
sin2
x
sin2
x
+
cos2
x
sin2
x
=
1
sin2
x
1 + cot2
x = csc2
x
64. El valor exacto de cos 15
o
es
Solución :
Escribiendo la expresión por
cos (15 ) = cos (60 45 ) = cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45
=
1
2
p
2
2
+
p
3
2
p
2
2
=
p
2
2
1
2
+
p
3
2
!
=
p
2
2
1 +
p
3
2
!
=
p
2 +
p
2
p
3
4
123

124. 65. La expresión tan + cot es equivalente a
Solución :
tan x + cot x =
sin x
cos x
+
cos x
sin x
=
sin2
x + cos2
x
cos x sin x
=
1
cos x sin x
=
1
cos x
1
sin x
= sec x csc x
66. Hallar cos(2x) si sin x = 0:2
Solución :
cos(2x) = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x
= cos2
x sin2
x
= (1 sin2
x) sin2
x
= 1 2 sin2
x
= 1 2(0:2)2
= 0:92
67. Si ; y son los ángulos de un triángulo y se cumple que sen2
+ sen2
+ sen2
= 2, entonces el triángulo
es :
Solución :
Se veri…ca que + + = ; supongamos que algunos de los ángulos, digamos >
2
; entonces la suma de
los otros dos ángulos es menor que
2
; es decir
+ < 90
sea w el complemento de , entonces
+ w = 90
de aqui
+ < + w
< w
esto implica que
sin < sin w
sin2
< sin2
w
pero
w = 90
124

125. entonces
sin w = sin (90 )
= sin 90 cos sin cos 90
= cos
y
sin2
+ sin2
< sin2
+ sin2
w = sin2
+ cos2
a = 1
consecuentemente
sin2
= 2 sin2
sin2
= 1
lo cual es imposible, por tanto, ninguno de los ángulos puede ser mayor que 90 :
68. En un triángulo ABC, AB = 15; AC = 13 y BC = 14. Hallar el coseno del C
Solución :
Utilizando la ley del coseno
AB2
= AC2
+ BC2
2 (AC) (BC) cos (]C)
se tiene
152
= 132
+ 142
2 (13) (14) cos (]C)
cos (]C) =
169 + 144 225
2 (13) (14)
=
22
91
69. Un satélite de comunicación pasa, en cierto instante, sobre la línea imaginaria que une dos estaciones repetidoras
A y B que están localizadas a 120 km de distancia una de la otra. En ese momento se mide simultáneamente
el ángulo de elevación de la estación A que es de 75 y el de la estación B que es de 60 . La distancia de la
estación A al satélite en ese instante es igual a
Solución :
Utilizando la ley del seno y sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es ; se tiene
]A + ]B + ]C =
75 + 60 + ]C =
]C = 45
además
c
sin C
=
b
sin B
120
sin 45
=
b
sin 60
entonces
b = 146:97 km
125

126. 70. Desde un globo que está volando sobre una torre a 1500 m de altura, se distingue un pueblo a un ángulo de
depresión de 70o
. ¿A qué distancia de la torre se halla el pueblo?
Solución :
Denotemos por A el punto donde se encuentra el pueblo, B donde se halla el globo y C el pie de la torre,
entonces el triángulo ABC tiene ángulos interiores ]A; ]B; ]C que miden 70 ; 20 ; 90 : Ademas BC = 1500
y la distancia entre el pueblo y la torre es AC; entonces
tan 70 =
BC
x
x =
BC
tan 70
x =
1500
tan 70
x = 545:96m
71. Calcule la altura de un árbol que está situado sobre un terren llano, sabiendo que desde un punto del suelo
se observa su copa bajo un ángulo de elevación de 45a
y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un
ángulo de 60o
Solución :
Sea h la altura del árbol y x la distancia al punto A donde se tiene un ángulo de elevación de 45 ; luego a 15
metros mas cerca del pie del árbol, la distancia es x 15 y su ángulo de elevación es 60 ; entonces
tan 45 =
h
x
tan 60 =
h
x 15
igualando ambas expresiones en función de h; se tiene
x tan 45 = (x 15) tan 60
x =
p
3x 15
p
3
x =
15
p
3
p
3 1
x = 35:49
72. Se da una circunferencia de radio 10 m. Calcule el coseno del ángulo que forman las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de 15 m de longitud.
Solución :
Una tangente a la circunferencia con el radio trazado al punto de tangencia forma un ángulo de 90 ; si E es el
punto de intersección de las tangentes y C y D son los puntos de tangencia de las cuerdas con la circunferencia,
entonces los ángulos ]CDE y ]DCE miden
2
; donde es el ángulo que forman los radios OC y OD
con la cuerda CD: Entonces el ángulo ]CED mide
2
2
= 2
126

127. siendo su coseno igual a
cos (2 ) = 2 cos2
1
Para calcular el valor del ángulo ; consideremos el triángulo OCD, por ley de los cosenos
102
= 102
+ 152
2 (10) (15) cos
cos =
102
+ 152
102
2 (10) (15)
=
3
4
luego el valor buscado es
cos (2 ) = 2 cos2
1
= 2
3
4
2
1
=
1
8
73. Sabiendo que sin x =
2
3
y que
2
< x < , encuentre el valor de tan x
Solución :
Sabemos que
sin2
x + cos2
x = 1
cos2
x = 1 sin2
x
cos2
x = 1
2
3
2
cos2
x =
p
5
3
pero
2
< x < ; entonces el coseno debe ser negativo
tan x =
sin x
cos x
=
2
3p
5
3
=
2
p
5
=
2
p
5
5
74. La expresión
1
2
[sin( + ) sin( )] es equivalente a
Solución :
127

128. Utilizando las identidades trigonométricas
sin ( + ) = sin cos + sin cos
sin ( ) = sin cos sin cos
de aqui
sin ( + ) sin ( ) = 2 sin cos
1
2
[sin ( + ) sin ( )] = sin cos
75. La función f de…nida por f(x) =
1
2
(cos 4x cos 2x) coincide con la función g dada por
Solución :
Utilizando la igualdad trigonométrica
sin x sin y =
1
2
cos (x y)
1
2
cos (x + y)
sin 3x sin x =
1
2
(cos 4x cos 2x)
76. Si f(x) = 10x4
6x3
5x2
+ 3x 2, entonces la función g(x) =
1
2
[f (x) + f ( x)] está dada por
Solución:
Se tiene que
f( x) = 10( x)4
6( x)3
5( x)2
+ 3( x) 2 = 10x4
+ 6x3
5x2
3x 2;
de manera que
f(x) + f( x) = (10x4
6x3
5x2
+ 3x 2) + (10x4
+ 6x3
5x2
3x 2)
= 20x4
10x2
4;
por lo cual
g(x) =
1
2
[f(x) + f( x)]
= 10x4
5x2
2:
77. Si sin es negativo y tan es positivo, entonces se encuentra en el
Solución:
Recordemos que sin es negativo en el tercer y cuarto cuadrante y tan es positivo en el primer y tercer
cuadrante, de lo cual se deduce que se encuentra en el tercer cuadrante.
128

129. 78. Si f (x) = 3
p
x + 8 entonces f 1
(x) está dada por
Solución:
Si f(x) = y = 3
p
x + 8; tenemos que
3
p
x = y 8
x = (y 8)3
) f 1
(x) = (x 8)3
79. El conjunto solución de la ecuación
1 sec2
x
sin2 = 2, en el intervalo [0 ; 360 ] es
Solución:
Para resolver la ecuación
1 sec2
sin
= 2 en el intervalo [0 ; 360 ] debemos considerar primeramente que
sin 6= 0; es decir, 6= 0 ; 180 : Así, haciendo uso de las identidades pitagóricas, la ecuación dada es euivalente
a
1 sec2
sin
= 2
tan2
sin
= 2
sin2
cos2
sin
= 2
sin
cos2
= 2 ! sin = 2 cos2
! 2(1 sin2
) = sin
! 2 sin2
+ sin 2 = 0
! sin =
1
p
17
4
= sin 1 1
p
17
4
!
= 51
80. Si f(x) = 2x + 1 para 0 x 3, ¿cuál de los siguientes conjuntos es el rango de f ?
Solución:
Para determinar el rango de f tomaremos los valores extremos para x; es decir, x = 0 y x = 3; de manera
que
f(0) = 2(0) + 1 = 1 y f(3) = 2(3) + 1 = 7;
por lo cual el rango de f es fy : 1 y 7g
81. Si f(x) = 2x y f (g(x)) = x, entonces g(x) está dada por:
Solución:
129

130. Dado que f(x) = 2x y f(g(x)) = x; se tiene que
f(g(x)) = x
) 2g(x) = x
) g(x) =
x
2
82. El conjunto solución de 3 tan t + 3 cot t = 4
p
3 en el intervalo [0; 2 ] es
Solución:
Utilizamos la identidad
1
tan
= cot para tan 6= 0; es decir, 6=
2
;
3
2
: La ecuación dada es equivalente
a
3 tan +
3
tan
= 4
p
3
3 tan2
+ 3
tan
= 4
p
3
3 tan2
+ 3 = 4
p
3 tan
3 tan2
4
p
3 tan + 3 = 0
tan =
p
3;
p
3
3
! =
3
;
6
;
4
3
;
7
6
83. Si f(x) = x x y g(x) =
p
x + 2, para x 2 R, el dominio de (f + g) está dado por
Solución:
La función f + g está de…nida como
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x +
p
x + 2
y el dominio de está es Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g) = R [ 2; 1) = [ 2; 1)
84. El intercepto de la grá…ca de la función f(x) = log8(x + 2) con el eje Y es el punto
Solución:
Dado que queremos el punto de intercepto del eje Y con la función dada, hacemos x = 0 en f(x) = log8(x+2);
de modo que
y = log8(0 + 2) = log8 2 = log23 2
, 2 = 23y
, 1 = 3y , y =
1
3
:
Por lo cual el punto de intersección del eje Y con f(x) = log8(x + 2) es el punto 0;
1
3
130

131. 85. Al reducir eln x
ln(2ex
) ln
1
2
se obtiene
Solución:
Haciendo uso de las propiedades eln x
= x; ln ex
= x y ln(uv) = ln u + ln v se tiene
eln x
ln(2ex
) ln(
1
2
) = x ln 2 ln ex
ln 2 1
= x ln 2 x ( ln 2)
= ln 2 + ln 2 = 0:
86. El valor de x que satisface la ecuación log1
2
x = 4 es
Solución:
Por de…nición de logaritmo tenemos que
log1
2
x = 4
, x =
1
2
4
=
1
16
87. La expresión sec cos es equivalente a
Solución:
Haciendo uso de la identidad sec =
1
cos
se tiene
sec cos =
1
cos
cos
=
1 cos2
cos
=
sin2
cos
88. Sean f(x) = 3x + 5, g(x) = jx 2j, al calcular (f g)( 1) resulta
Solución :
Por de…nición de función compuesta se tiene
(f g)(x) = f(g(x)) = f(jx 2j)
= 3 jx 2j + 5:
De manera que
(f g)( 1) = 3 j 1 2j + 5
= 3(3) + 5 = 14
131

132. 89. Determine el valor de k si el par ordenado A(2
p
5; 4) pertenece a la función cuya ecuación está dada por
y =
p
k x2
Solución:
En vista de que A(2
p
5; 4) está en la grá…ca de y =
p
k x2, las coordenadas de dicho punto satisfacen la
ecuación anterior, de modo que
4 =
q
k (2
p
5)2
p
k 20 = 4
k 20 = 42
= 16
k = 16 + 20 = 36
90. De la ecuación (sin A + cos A)2
= 1:5 se concluye que la expresión sin A cos A equivale a
Solución:
Haciendo uso de la identidad sin2
+ cos2
= 1 resulta que
(sin A + cos A)2
= 1:5
sin2
A + 2 sin A cos A + cos2
A = 1:5
1 + 2 sin A cos A = 1:5
sin A cos A =
0:5
2
=
1
4
= 0:25
91. El dominio de la funciónf(x) = log4(3x 6) es
Solución:
El dominio de la función dada lo determinamos resolviendo la desigualdad 3x 6 > 0 ya que el argumento de
una función logarítmica debe ser positivo. Así,
3x 6 > 0
x >
6
3
= 2
x 2 (2; 1)
Luego,
Dom(f) = (2; 1)
92. Si f(x) = 1 x2
y g(x) = 2x + 5, entonces el valor de g (f(2)) es:
Solución:
Por de…nición de función compuesta se tiene
(g f)(x) = g(f(x)) = g(1 x2
)
= 2(1 x2
) + 5
= 2x2
+ 7
132

133. De manera que
(g f)(2) = 2(2)2
+ 7
= 8 + 7 = 1
93. La función inversa de f (x) = 2
p
x 5, corresponde a:
Solución:
Si f(x) = y = 2
p
x 5; tenemos que
2
p
x = y + 5
x =
y + 5
2
2
) f 1
(x) =
x + 5
2
2
94. Si f(x) = 2x + 1 y f (g(x)) = x, entonces g(x) está dada por:
Solución:
Dado que f(x) = 2x + 1 y f(g(x)) = x; se tiene que
f(g(x)) = x
) 2g(x) + 1 = x
) g(x) =
x 1
2
95. . Si f (x) =
p
x2 + 1 entonces f ( 2) es igual a
Solución:
Al efectuar la evaluación requerida tenemos que
f( 2) =
p
( 2)2 + 1
=
p
4 + 1 =
p
5
96. . El valor de x que satisface la ecuación log x = 1 + log
p
x es
Solución:
Al resolver la ecuación dada tenemos que
log x = 1 + log
p
x
log x log x
1
2 = 1
log
x
x
1
2
= 1
log x
1
2 = 1
1
2
log x = 1
log x = 2
, x = 102
= 100
133

134. 97. .Si f (x) = xx+1
(x + 2)
x+3
, entonces el resultado de f( 1) + f( 3) es
Solución:
Al efectuar las correspondientes evaluaciones se tiene
f( 1) = ( 1) 1+1
( 1 + 2) 1+3
= 1(1)2
= 1;
f( 3) = ( 3) 3+1
( 3 + 2) 3+3
= ( 3) 2
( 1)0
=
1
( 3)2
=
1
9
:
De modo que
f( 1) + f( 3) = 1 +
1
9
=
10
9
98. En los puntos donde está de…nida la expresión
1 + tan x
sin x
es idéntica a
Solución:
Haciendo uso de las identidades tan x =
sin x
cos x
; sec x =
1
cos x
y csc x =
1
sin x
se tiene
1 + tan x
sin x
=
1
sin x
+
tan x
sin x
= csc x +
sin x
cos x
sin x
= csc x +
1
cos x
= csc x + sec x
99. Si f(x) es una función lineal y la pendiente de y = f(x) es
1
2
; ¿cuál es la pendiente de f 1
(x)?
Solución:
Al ser y = f(x) una función lineal, esta se de…ne como y = mx + b siendo en este caso m =
1
2
: Luego,
y =
1
2
x + b
1
2
x = y b
x = 2y 2b
) f 1
(x) = 2x 2b:
Por tanto, la pendiente de f 1
(x) es igual a 2
134

135. 100. Si f (x) = 2x3
y g(x) = 3x , ¿cuál es el valor de g[f( 2)] f[g( 2)]?
Solución:
Para encontrar el valor en cuestión determinaremos f(g(x)) y g(f(x)):
f(g(x)) = f(3x) = 2(3x)3
= 54x3
g(f(x)) = g(2x3
) = 3(2x3
) = 6x3
Al efectuar las evaluaciones necesarias se tiene
g(f( 2)) = 6( 2)3
= 48
f(g( 2)) = 54( 2)3
= 432
Por tanto,
g [f( 2)] f [g( 2)] = 48 + 432 = 384
135

136. UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. El triángulo de vértices A( 5; 1), B(2; 3) y C(3; 2) es:
Solución:
Basta con encontrar la distancia entre los vértices del triángulo y luego comparar los resultados. Recordemos
que la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son A(x1; y1) y
B(x2; y2) está dada por la fórmula
d (A; B) =
q
(x1 x2)
2
+ (y1 y2)
2
Luego
d (A; B) =
q
( 5 2)
2
+ ( 1 3)
2
=
q
( 7)
2
+ ( 4)
2
=
p
49 + 16 =
p
65 = 8:0623
d (B; C) =
q
(2 3)
2
+ (3 ( 2))
2
=
q
( 1)
2
+ (5)
2
=
p
1 + 25 =
p
26 = 5:099
d (A; C) =
q
( 5 3)
2
+ ( 1 ( 2))
2
=
q
( 8)
2
+ (1)
2
=
p
64 + 1 =
p
65 = 8:0623
de donde claramente se ve que d (A; B) = d (A; C) y así podemos decir que dicho triángulo es isósceles.
2. El perímetro P y el área A del cuadrilátero cuyos vértices son A ( 3; 1), B (0; 3), C (4; 3) y D (4; 1) son:
Solución :
Sean los puntos A ( 3; 1), B (0; 3), C (4; 0), D (4; 1) ; entonces su perimetro es
P = d (A; B) + d (B; C) + d (C; D) + d (A; D)
de aqui
P =
q
(0 + 3)
2
+ (3 + 1)
2
+
q
(4 0)
2
+ (3 3)
2
+
q
(4 0)
2
+ ( 1 3)
2
+
q
(4 + 3)
2
+ ( 1 + 1)
2
=
p
25 +
p
16 +
p
16 +
p
49
= 20u
Para el área se tiene un trapecio recto de bases b1 = BC; b2 = AD y h = CD; entonces
b1 =
p
16 = 4; b2 =
p
49 = 7; h =
p
16 = 4
de donde, su área es
A =
(b1 + b2) h
2
=
(4 + 7) 4
2
= 22u2
136

137. 3. Los vértices de un triángulo son A (3; 8), B (2; 1), C (6; 1). La longitud de la mediana trazada al lado BC
es:
Solución :
Sea E el punto medio de BC; entonces
x =
6 + 2
2
= 4; y =
1 1
2
= 1 ! E (x; y) = E (4; 1)
La mediana es la recta que pasa por A y E y su longitud es AE; entonces
AE =
q
(4 3)
2
+ ( 1 8)
2
=
p
1 + 81 =
p
82
4. Los vértices de un cuadrado son ( 1; 3), (3; 1), ( 1; 1) y (3; 3). La longitud de sus diagonales es:
Solución:
Nótese que los puntos con coordenadas A( 1; 3) y B(3; 1) son vértices no consecutivos del cuadrilátero, al
igual que C( 1; 1), D(3; 3). Por lo cual, el problema se resume a
encontrar la distancia entre cualesquiera de las parejas de vértices no consecutivos, no importando con cual
trabajar ya que las diagonales de un cuadrado son congruentes.
Luego
d (A; B) =
q
( 1 3)
2
+ (3 ( 1))
2
=
q
( 4)
2
+ (4)
2
=
q
2 (4)
2
= 4
p
2
En consecuencia la longitud de las diagonales del cuadrado es 4
p
2.
5. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5; 1) y ( 1; 3). El área del cuadrado es:
Solución:
Encontremos la longitud de la diagonal que se forma a partir de dichos puntos, es decir, la distancia entre los
vértices opuestos A(5; 1) y B( 1; 3). Así
d (A; B) =
q
(5 ( 1))
2
+ (1 3)
2
=
q
(6)
2
+ ( 2)
2
=
p
36 + 4 =
p
40 = 2
p
10:
Recordemos que una de las fórmulas que podemos emplear para calcular el área de un cuadrado es A =
D2
2
.
En nuestro caso tenemos
A =
2
p
10
2
2
=
4(10)
2
= 2(10) = 20:
Por lo tanto, el área de dicho cuadrado es 20 unidades cuadradas.
6. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto A(3; 2). Si la abcisa del otro extremo
es 6, su ordenada es:
Solución :
137

138. Segun datos del problema, se tiene que
A (3; 2) ; B (6; y) ; D (A; B) = 5
entonces
5 =
q
(6 3)
2
+ (y + 2)
2
25 = 9 + y2
+ 4y + 4
y2
+ 4y 12 = 0
al resolver dicha ecuación, se obtienen que las soluciones son
y = 6; y = 2
7. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos A( 2; 3) y B(6; 3). Los puntos de trisección del segmento
son:
Solución :
Para P se tiene
r =
AP
PB
=
1
3
AB
2
3
AB
=
1
2
entonces
X =
xA + rxB
1 + r
=
2 +
1
2
(6)
1 +
1
2
=
2
3
Y =
yA + ryB
1 + r
=
3 +
1
2
( 3)
1 +
1
2
= 1
de aqui,
P
2
3
; 1
para Q se tiene
r =
AQ
QB
=
2
3
AB
1
3
AB
= 2
entonces
X =
xA + rxB
1 + r
=
2 + 2 (6)
1 + 2
=
10
3
Y =
yA + ryB
1 + r
=
3 + 2 ( 3)
1 + 2
= 1
de aqui
Q
10
3
; 1
138

139. 8. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su punto medio es (4; 3). El otro extremo es:
Solución :
Utilizando la fórmula del punto medio x =
x1 + x2
2
; y =
y1 + y2
2
se tiene
4 =
7 + x
2
=) x = 1
3 =
8 + y
2
=) y = 2
por tanto, B = (1; 2) es el extremo buscado.
9. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). Si la abcisa de otro punto de la recta es 4, su ordenada es:
Solución :
Utilizando la fórmula de la pendiente m =
y2 y1
x2 x1
se tiene
3 =
y 2
4 3
y = 5
10. Dados los puntos A(3; 2) y B(5; 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga
CA
CB
=
3
2
.
Solución:
El problema pide encontrar las coordenadas del punto C. Utilizando la ecuación de la abscisa y ordenada de
un punto que divide a un segmento en una razón dada x =
x1 + rx2
1 + r
y
y =
y1 + ry2
1 + r
y sustituyendo los valores correspondientes tenemos
x =
3 +
3
2
(5)
1 +
3
2
=
3 +
15
2
5
2
=
21
2
5
2
=
21
5
y =
2 +
3
2
(4)
1 +
3
2
=
2 + 6
5
2
=
8
5
2
=
16
5
En consecuencia las coordenadas del punto C son
21
5
;
16
5
11. Dado el segmento de extremos P1(3; 2) y P2( 4; 1), encuentre las coordenadas del punto P que lo divide en
la razón 2.
Solución:
Consideremos los puntos P1(3; 2) y P2( 4; 1) extremos del segmento que es dividido por un punto P en una
razón r = 2. Al sustituir los valores correspondientes en las fórmulas x =
x1 + rx2
1 + r
y y =
y1 + ry2
1 + r
resulta
que las coordenadas de P son
139

140. x =
3 + ( 2) ( 4)
1 + ( 2)
=
3 + 8
1
= 11
y =
2 + ( 2) (1)
1 + ( 2)
=
2 2
1
= 4
Por lo tanto, P tiene por ( 11; 4).
12. Las medianas de un triángulo el baricentro B(x; y) es tal que las distancias de este punto al vértice M(2; 4) y
al punto medio N(1; 1) del lado opuesto están en la relación
MB
MN
= 2. Las coordenadas de B son:
Solución :
Recordemos la mediana es el segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro.
Utilizando las fórmulas x =
x1 + rx2
1 + r
y y =
y1 + ry2
1 + r
y considerando al vértice M(2; 4) y al punto medio
N(1; 1) del lado opuesto como extremos de la mediana MN resulta que las coordenadas del baricentro B son
x =
2 + (2) (1)
1 + 2
=
2 + 2
3
=
4
3
y =
4 + (2) ( 1)
1 + 2
=
4 2
3
=
2
3
Es decir, B
4
3
;
2
3
.
13. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A( 1; 4) y B( 5; 8) en la razón
1
3
son:
Solución:
Usando las fórmulas x =
x1 + rx2
1 + r
y y =
y1 + ry2
1 + r
y sustituyendo los valores correspondientes tenemos
x =
1 +
1
3
( 5)
1 +
1
3
=
1 +
5
3
2
3
=
2
3
2
3
= 1
y =
4 +
1
3
( 8)
1 +
1
3
=
4 +
8
3
2
3
=
20
3
2
3
=
20
2
= 10
Es decir, las coordenadas del punto son (1; 10).
14. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A(3; 2) y B( 1; 1) en la razon
1
2
son:
Solución:
140

141. Similarmente al ejercicio anterior, al hacer uso de las fórmulas x =
x1 + rx2
1 + r
y y =
y1 + ry2
1 + r
y sustituir valores
resulta
x =
3 +
1
2
( 1)
1 +
1
2
=
3
1
2
3
2
=
5
2
3
2
=
5
3
y =
2 +
1
2
( 1)
1 +
1
2
=
2
1
2
3
2
=
3
2
3
2
= 1
Es decir, las coordenadas del punto son
5
3
; 1 .
15. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5; 4); B( 3; 8).
Solución:
Las coordenadas del punto medio de un segmento están dadas por las fórmulas x =
x1 + x2
2
y y =
y1 + y2
2
.
De este modo al sustituir valores tenemos
x =
5 + ( 3)
2
=
5 3
2
=
2
2
= 1
y =
4 + 8
2
=
12
2
= 6
En consecuencia, las coordenadas del punto medio son (1; 6).
16. El punto medio de un segmento es (2; 2). Si uno de sus extremos es ( 2; 3), el otro es:
Solución:
Consideremos el punto con coordenadas (2; 2) como el punto medio del segmento con extremos ( 2; 3) y (a; b) :
El problema pide encontrar los valores de las coordenadas del extremo desconocido. Usando las fórmulas de
las coordenadas del punto medio tenemos
2 =
2 + a
2
) 4 = 2 + a ) a = 4 + 2 = 6
2 =
3 + b
2
) 4 = 3 + b ) b = 4 3 = 1
Por lo tanto, las coordenadas del otro extremo son (6; 1).
17. Encuentre dos puntos equidistantes de (2; 1), los tres sobre la misma línea, si la abscisa de uno de ellos es x = 6
y la ordenada del otro es y = 1
Solución:
Como los puntos son colineales y equidistantes del punto con coordenadas (2; 1) esto quiere decir que dicho
punto es el punto medio del segmento cuyos extremos son (6; y1) y (x2; 1) dado que sabemos la abscisa de uno
141

142. de ellos es 6 y la ordenada del otro es 1. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio x =
x1 + x2
2
y y =
y1 + y2
2
tenemos
2 =
6 + x2
2
) 4 = 6 + x2 ) x2 = 4 6 = 2
1 =
y1 + ( 1)
2
) 2 = y1 + ( 1) ) y1 = 2 + 1 = 3
Por tanto, los puntos que equidistan de (2; 1) son (6; 3) y ( 2; 1)
18. Una recta l1 pasa por los puntos A(3; 2) y B( 4; 6) y otra recta l2 pasa por los puntos C( 7; 1) y el punto
D(x; 6). Sabiendo que l1 es perpendicular a l2, el valor de x es:
Solución :
Aplicando la fórmula de la pendiente para ambas rectas
m1 =
6 2
4 3
=
8
7
=
8
7
m2 =
6 1
x 7
=
7
x + 7
Como l1 ? l2 entonces m1m2 = 1; de aqui
8
7
7
x + 7
= 1
x = 1
19. Dados los vértices de un triángulo A(2; 0), B(1; 3) y C(2; 5), el otro extremo de la mediana correspondiente
a B es:
Solución:
Basta encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2; 0) y C(2; 5). Haciendo uso de las
fórmulas para las coordenadas del punto medio tenemos
x =
2 + 2
2
=
4
2
= 2
y =
0 + ( 5)
2
=
5
2
Es decir, el otro extremo de la mediana correspondiente al vértice B es 2;
5
2
20. La mediatriz del segmento determinado por los puntos A( 2; 3) y B(4; 1) pasa por el punto
Solución:
Recordemos que mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Entonces
el ejercicio se reduce a encontrar el punto medio del segmento determinado por A( 2; 3) y B(4; 1): Usando las
fórmulas para encontrar las coordenadas del punto medio tenemos
x =
2 + 4
2
=
2
2
= 1
142

143. y =
3 + 1
2
=
4
2
= 2
Por lo tanto, la mediatriz de dicho segmento pasa por el punto (1; 2).
21. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4; 1) y (5; 2).
Solución:
La ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos es
m =
y2 y1
x2 y2
Usando esta ecuación y sustituyendo los valoresde las coordenadas de los puntos tenemos
m =
2 ( 1)
5 ( 4)
=
2 + 1
5 + 4
=
3
9
=
1
3
Es decir, la pendiente de la recta es
1
3
22. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 3) y (4; 4)
Solución:
Usando la ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y sustituyendo los valores correspon-
dientes tenemos
m =
4 3
4 ( 3)
=
7
4 + 3
=
7
7
= 1
Es decir, la pendiente de la recta es 1.
23. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 5; 2) y ( 5; 4)
Solución:
Por la forma de las coordenadas de los dos puntos puede notarse que dicha recta es paralela al eje y y por lo
tanto no existe la pendiente. Además se puede comprobar al usar la ecuación de la pendiente.
24. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x; 3) y ( 2; 6) es 3, entonces el valor de x es:
Solución:
Al sustituir valores en la ecuación de la pendiente de una recta tenemos
3 =
6 ( 3)
2 x
=
6 + 3
2 x
=
9
2 x
de lo cual se sigue
3 ( 2 x) = 9
luego por distributividad resulta
6 3x = 9
143

144. es decir,
3x = 9 + 6 = 15
obteniendo así que
x =
15
3
= 5
Por tanto, el valor de x es 5.
25. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 4) y (1; y) es cero, entonces el valor de la ordenada es:
Solución:
Como la pendiente de la recta es cero, entonces estamos hablando de una recta horizontal y por tanto y = 4.
Valor que se puede obtener también sustituyendo los datos dados en la ecuación de la pendiente.
26. Una recta de pendiente 2 pasa por el punto A( 1; 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.
Solución:
Usando la ecuación punto pendiente y y0 = m(x x0) y sustituyendo valores
y 4 = 2(x ( 1))
y 4 = 2x 2
2x + y = 2
x +
y
2
= 1
27. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas
2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0.
Solución:
Encontremos el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0 lo cual es equivalente a
resolver el sistema (
2x + y 8 = 0
3x 2y + 9 = 0
cuya solución es x = 1, y y = 6. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (1; 6). Luego, usando la
ecuación punto pendiente
y 6 = 4(x 1)
y 6 = 4x + 4
4x + y 10 = 0
28. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son P1( 3; 2) y P2(1; 6).
Solución:
144

145. Encontrando la pendiente de la recta que contiene al segmento resulta
m1 =
6 2
1 ( 3)
= 1
La mediatriz del segmento tendrá por pendiente
m2 = ( 1) (1) = 1
Determinemos las coordenadas del punto medio
x =
3 + 1
2
= 1
y =
2 + 6
2
= 4
Por lo cual la recta que pasa por el punto ( 1; 4) con pendiente m = 1, tiene por ecuación
y 4 = 1(x ( 1))
= x 1
x + y 3 = 0
29. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4). Hallar
su ecuación
Solución:
Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Determinemos la pendiente de la recta que pasa por
los puntos C( 2; 2) y D(3; 4) como sigue
m =
4 2
3 ( 2)
=
6
5
Usando la ecuación punto pendiente resulta
y 8 =
6
5
(x 7)
5y 40 = 6x + 42
6x + 5y 82 = 0
30. Hallar el valor de k para que la recta k2
x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x 2y 11 = 0.
Solución:
Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares debe veri…carse que el producto de sus pendientes
sea 1. La pendiente de la recta 3x 2y 11 = 0 es
m =
3
2
=
3
2
lo cual implica que la pendiente de la otra es
m0
=
2
3145

146. es decir,
k2
k + 1
=
2
3
3k2
= 2k + 2
3k2
2k 2 = 0
cuyas raices son
k =
1
p
7
2
31. Sean las rectas paralelas 3x 4y + 8 = 0 y 6x 8y + 9 = 0. La distancia entre ellas es:
Solución :
La distancia entre las dos rectas paralelas está dada por
d =
jc1 c2j
p
a2 + b2
Para aplicar la fórmula, los coe…cientes de ambas ecuaciones deben ser iguales, por lo cual multiplicando por 2
en 3x 4y + 8 = 0 se tiene la ecuación equivalente.
d =
j9 16j
p
36 + 64
=
j 1j
p
100
=
7
10
32. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 2; 1) ; (3; 4) y (5; 2).
Solución:
Recordemos que el ángulo entre dos rectas está dado por la fórmula
tan =
m2 m1
1 + m1m2
donde m1 y m2 representan las pendientes de las rectas involucradas respectivamente.
Encontremos la pendiente de las rectas que pasa por los puntos:
( 2; 1) y (3; 4)
m1 =
4 1
3 ( 2)
=
3
5
(3; 4) y (5; 2)
m2 =
2 4
5 3
= 3
( 2; 1) y (5; 2)
m3 =
2 1
5 ( 2)
=
3
7
son respectivamente la pendiente de las rectas l1, l2 y l3.
146

147. De esta manera el ángulo entre l1 y l2 es
tan =
3 3
5
1 + 3
5 ( 3)
=
9
2
= tan 1 9
2
= 77 280
1600
Por otro lado el ángulo entre l1 y l3 es
tan =
3
5
3
7
1 + 3
7
3
5
=
18
13
= tan 1 18
13
= 54 90
4400
Del mismo modo el ángulo entre l2 y l3 es
tan =
3
7 ( 3)
1 + 3
7 ( 3)
=
9
8
= tan 1 9
8
= 48 210
5900
33. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos ( 2; 1) y (9; 7) y la
recta …nal pasa por los puntos (3; 9) y A cuya abscisa es 2. Hallar la ordenada de A.
Solución:
Al despejar m2 de la fórmula
tan 45 =
m2 m1
1 + m1m2
se tiene
m2 =
tan 45 + m1
1 (tan 45 ) m1
pero según los datos del problema
m1 =
7 1
9 ( 2)
=
6
11
y
m2 =
y 9
2 3
=
y 9
5
=
9 y
5
de donde,
y = 9 5m2
y = 9 5
tan 45 + m1
1 (tan 45 ) m1
= 9 5
1 + 6
11
1 6
11
= 9 17
= 8
Usando el hecho que tan 45 = 1:
147

148. 34. Una recta l1 pasa por los puntos (3; 2) y ( 4; 6) y la otra recta pasa por el punto ( 7; 1) y el punto A
cuya ordenada es 6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2.
Solución:
Recordemos que como l1 es perpendicular a l2 entonces el producto de sus pendientes es 1. Encontremos las
pendientes de l1 y l2 como sigue
m1 =
6 2
4 3
=
8
7
por lo cual
m2 =
7
8
De modo que
7
8
=
7
x + 7
7 (x + 7) = 56
7x = 7
x = 1
35. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos
(1; 2) y (3; 8).
Solución:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (3; 8) es
m1 =
8 ( 2)
3 1
= 5
pero dicha pendiente es la misma para ambas rectas ya que son paralelas, es decir, m2 = 5. Así el ángulo de
inclinación buscado ; 0 < < 90 .
Ahora bien
tan = 5
= tan 1
(5)
= 78 410
2400
36. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son A (2; 5), B (8; 1) y C ( 2; 1).
Solución:
Consideremos
l1 la recta que pasa por ( 2; 1) y (8; 1)
l2 la recta que pasa por ( 2; 1) y (2; 5)
l3 la recta que pasa por (8; 1) y (2; 5)
148

149. por lo tanto sus pendientes son respectivamente
m1 =
1 1
8 ( 2)
=
1
5
m2 =
5 1
2 ( 2)
= 1
m1 =
5 ( 1)
2 8
= 1
Luego
tan A =
1 1
5
1 + 1 1
5
=
3
2
A = tan 1 3
2
A = 56 180
3500
tan C =
1
5 ( 1)
1 + 1
5 ( 1)
=
2
3
A = tan 1 2
3
A = 33 410
2400
37. La ecuación de una circunferencia es x2
+ y2
= 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el
punto ( 2; 4). La ecuación de la cuerda es:
Solución :
El radio pasa por el puntoP ( 2; 4) y (0:0) : La ecuación del radio es y = mx + b, la pendiente está dada por
m =
y2 y1
x2 x1
=
4 0
2 0
= 2
aplicando la fórmula punto pendiente, obtenemos la ecuación del radio
y y0 = m (x x0)
y = 2x
La ecuación de la cuerda es perpendicular a la ecuación del radio por lo que su pendiente es m =
1
2
Además la ecuación de la cuerda pasa por el punto medio P ( 2; 4) ; es
y y0 = m (x x0)
y 4 =
1
2
(x + 2)
x 2y + 10 = 0
38. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32cm.
¿Cuál es la distancia del vértice al foco?
149

150. Solución :
Los ejes coordenados se eligen de modo que la parábola tenga su vértice en el origen y su eje a lo largo del eje
Y y se abre hacia arriba. La ecuación es x2
= 4py
Como el punto (16; 12) está en la parabola, sus coordenadas satisfacen la ecuación dada.
(16)
2
= 4p (12)
p =
16
3
donde p es la distancia en centrimetro del centro al foco.
39. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal 12 y pasa por el punto (8; 14) es:
Solución:
El eje mayor tiene por ecuación
2a = 12 a = 6
La grá…ca pasa por el punto (8; 14) y la ecuación de una hiperbola está dada por
x2
a2
y2
b2
= 1; sustituyendo el
punto dado, se tiene
64
36
196
b2
= 1
de donde
b2
= 252
La ecuación buscada es
x2
36
y2
252
= 1
40. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focos con un punto cualquiera de ella. Las
ecuaciones de las rectas que contienen los radios focales correspondientes al punto (2; 3) de la elipse 3x2
+4y = 48
son:
Solución :
La ecuación de la elipse es 3x2
+ 4y2
= 48 la cual puede ser escrita por
x2
16
+
y2
12
= 1
de donde
a2
= 16; b2
= 12
c2
= a2
b2
= 16 12 = 4
c = 2
Encontramos la pendiente de la recta que pasa por ( 2; 0) y (2; 3)
m1 =
3 0
2 + 2
=
3
4150

151. Con la ecuación punto pendiente encontramos la ecuación
3x 4y + 6 = 0
La ecuación de la recta que pasa por (2; 3) y ( 2; 0) por ser una paralela al eje y tiene por ecuación x = 2 ó
x 2 = 0.
41. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas
x + 3y 6 = 0 y x 2y 1 = 0 es:
Solución :
La ecuación de la circunferencia de centro (h; k) está dada por
(x h)
2
+ (y k)
2
= r2
necesitamos resolver el sistema de ecuación de las rectas dadas para encontrar el centro de la misma, es decir
x + 3y 6 = 0
x 2y 1 = 0
cuya solución es el punto (3; 1) : Como la circunferencia pasa por el punto (0; 0) entonces podemos obtener el
radio por
(x 3)
2
+ (y 1)
2
= r2
( 3)
2
+ ( 1)
2
= r2
10 = r2
la ecuación es (x 3)
2
+ (y 1)
2
= 10; lo cual puede escribirse por
x2
6x + y2
2y = 0
42. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del eje transverso 8; excentricidad
4
3
y con focos
sobre el eje X es:
Solución :
La longitud del eje transverso está dada por
2a = 8
a = 4
la excentricidad
e =
c
a
=
4
3
c =
16
3
151

152. la ecuación buscada tiene la forma
x2
a2
y2
b2
= 1
pero c2
= a2
+ b2
entonces
b2
= c2
a2
b2
=
16
3
2
(4)
2
b2
=
112
9
de aqui, la ecuación buscada es
x2
16
y2
112
9
= 1
7x2
9y2
= 112
43. El …lamento de una lámpara de ‡ash está a
3
8
de pulgadas del vértice del re‡ector parabólico y se encuentra
en su foco. La ecuación del re‡ector, suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es:
Solución :
La ecuación solicitada tiene la forma
y2
= 4px
y2
= 4
3
8
x
3x 2y2
= 0
44. Una parábola cuyo foco es F(0; 6) y la ecuación de la directriz es y = 6, tiene por ecuación:
Solución :
Los datos del problema permiten deducir que la ecuación de la parabola corresponde a la ecuación
x2
= 4py
entonces p = 6 y sustituyendo en la ecuación
x2
= 24y
45. Si la excentricidad de una cónica es e =
5
2
, entonces se trata de una:
Solución :
La cónica corresponde a una hipérbola, ya que e > 1
152

153. 46. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por ( 3; 4) es
Solución:
Dado que ( 3; 4) es un punto de la circunferencia entonces satisface la relación
x2
+ y2
= r2
( 3)
2
+ 42
= r2
25 = r2
Por lo tanto, la ecuación pedida es
x2
+ y2
= 25
47. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia x2
+ y2
= 1 es
Solución:
Para encontrar que puntos pertenecen a la circunferencia unitaria basta sustituir las coordenadas de estos en
la ecuación x2
+ y2
= 1. Veamos
p
2
2
+ ( 1)
2
= 2 + 1 = 3 6= 1
p
3
2
!2
+
1
2
2
=
3
4
+
1
4
= 1
(1)
2
+ (1)
2
= 1 + 1 = 2 6= 1
( 1)
2
+ ( 1)
2
= 1 + 1 = 2 6= 1
(2)
2
+ (1)
2
= 4 + 1 = 5 6= 1
Por lo tanto el único punto perteneciente a la circunferencia es
p
3
2
;
1
2
!
48. Si los extremos de un diámetro es una circunferencia con centro en el origen son
p
5; 2 y
p
5; 2 , la
ecuación de dicha circunferencia es
Solución:
Determinemos la longitud del diámetro entre los puntos
p
5; 2 y
p
5; 2 como sigue
r
p
5
p
5
2
+ ( 2 2)
2
=
r
2
p
5
2
+ ( 4)
2
=
p
36
= 6
pero D = 2r, es decir,
r = 3
Por lo cual, la ecuación buscada es
x2
+ y2
= 9
153

154. 49. Si (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2
+ y2
= 16 , la ecuación de dicha cuerda es
Solución:
Como (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2
+ y2
= 16, entonces el radio pasa por los
puntos (2; 2) y (0; 0). Pero la ecuación del radio es de la forma y = mx, relación que cumplen los puntos
anteriores, es decir,
2m = 2
m = 1
La cuerda es perpendicular al radio, ya que si una cuerda pasa por el centro de una circunferencia y biseca a
otra cuerda, que no sea el diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda, de modo que tiene por pendiente
m0
= 1
Usando la ecuación punto - pendiente tenemos que la ecuación de dicha cuerda es
y 2 = 1 (x 2)
y 2 = x + 2
x + y 4 = 0
50. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas
3x + 3y = 15 y 2x + 2y = 22 es
Solución:
Encontremos el punto de intersección de dichas rectas, lo que es equivalente a resolver
(
3x + 3y = 15
2x + 2y = 22
cuyas solución es el par (2; 3). Ahora bien
22
+ 32
= r2
4 + 9 = r2
13 = r2
Por lo tanto, la ecuación es
x2
+ y2
= 13
51. La ecuación de una elipse con focos en
p
5; 0 y longitud del eje mayor igual a 6 es:
Solución :
154

155. Como la longitud del eje mayor es 6 entonces
2a = 6
a = 3
ademas c =
p
5 lo cual indica que la ecuación tiene sus focos en el eje X y por tanto la ecuación tiene la
forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1
El valor de b2
lo podemos obtener de la ecuación
c2
= a2
b2
de donde
b2
= 4
por tanto, la ecuación es
x2
9
+
y2
4
= 1
la cual puede ser escrita por
4x2
+ 9y2
= 36
52. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F(2; 0) y su directriz es la recta de ecuación x = 2
es:
Solución :
La ecuación de una parábola con foco (2; 0) es de la forma
y2
= 4px
entonces
y2
= 4 (2) x
y2
= 8x
53. Hallar el centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(0; 6), B(4; 2) y C(9; 3)
Solución :
La ecuación de la circunferencia es (x h)
2
+(y k)
2
= r2
; al sustituir cada punto en dicha ecuación, se forma
las ecuaciones
( h)
2
+ (6 k)
2
= r2
(4 h)
2
+ ( 2 k)
2
= r2
(9 h)
2
+ (3 k)
2
= r2
155

156. al desarrollar
h2
+ 36 12k + k2
= r2
16 8h + h2
+ 4 + 4k2
= r2
81 18h + h2
+ 9 6k + k2
= r2
al igualar las ecuaciones (1; 2) y (2; 3) se tiene
2k h = 2
k + h = 7
cuya solución es h = 4; k = 3; que al sustituir en la ecuación (1) se tiene que r = 5; por lo tanto la ecuación es
(x 4)
2
+ (y 3)
2
= 25
54. Dada la parábola que tiene por ecuación x2
= 6y, encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz:
Solución :
La coordenada del foco y la directriz es:
4p = 6
p =
3
2
Las coordenadas del foco es 0;
3
2
y la ecuación de la directriz viene dada por
y = p
y =
3
2
55. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola x =
1
4
y2
es
Solución:
La parábola x =
1
4
y2
puede ser vista también de la forma y2
= 4x y tiene eje focal sobre el eje de las x,
de donde
4p = 4
p = 1
Por lo tanto, las coordenadas del foco son ( 1; 0) y la ecuación de la recta directriz es x = 1.
56. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco
p
2; 0 es
Solución:
Dado que el foco tiene por coordenadas
p
2; 0 , entonces p =
p
2 y la ecuación solicitada es y2
=
4
p
2 x = 4
p
2x
156

157. 57. El foco y la directriz de la parábola 2y x2
= 0 son:
Solución:
La parabóla que tiene por ecuación 2y x2
= 0 es una parábola cuyo eje focal esta sobre el eje y. Vista de
otra forma la ecuación anterior es x2
= 2y, de donde 4p = 2, es decir, p =
1
2
. Por lo tanto, las coordenadas
del foco son 0;
1
2
la directriz es la recta y =
1
2
58.. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 0) y directriz x = 4 es
Solución:
Como el foco de la parábola es (4; 0) y directriz x = 4, entonces p = 4. Por lo tanto, la ecuación buscada
es y2
= 4 (4) x = 16x.
59.. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el origen y que pasa por ( 2; 2) es
Solución:
Como la parábola tiene eje de simetría al eje y y pasa por el punto ( 2; 2), entonces estamos tratando con
una parábola vertical y por ende dichos puntos cumplen la relación
x2
= 4py
en particular tenemos
( 2)
2
= 4p ( 2)
4 = 8p
p =
1
2
En consecuencia, la ecuación de la parábola es x2
= 2y
60. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el
eje y es
Solución:
Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dado por 2a y la distancia focal por 2c, con los datos
del problema obtenemos
2a = 16
a = 8
2c = 8
c = 4
157

158. Pero a2
= b2
+ c2
, es decir,
b2
= 82
42
= 64 16
= 48
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es
x2
48
+
y2
64
= 1
61.. Si la excentricidad es
4
5
y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es
Solución:
Como la distancia focal es 16, entonces
2c = 16
c = 8
pero al sustituir los valores de e y c en
e =
c
a
tenemos
4
5
=
8
a
4a = 40
a = 10
Ahora encontremos
b2
= 100 64
= 36
Finalmente, la ecuación de la elipse es
x2
100
+
y2
36
= 1
62. La excentricidad de la elipse 2x2
+ 4y2
= 8 es
Solución:
La ecuación de la elipse 2x2
+ 4y2
= 8 en su forma canónica es
x2
4
+
y2
2
= 1
De manera que
c =
p
4 2
=
p
2
Por lo tanto, la excentricidad es
e =
p
2
2
158

159. 63. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor 20 y eje menor 10 es
Solución:
Similarmente al ejercicio 60 tenemos
2a = 20
a = 10
2b = 10
b = 5
Por lo cual, la ecuación de la elipse es
x2
100
+
y2
25
= 1
Veamos
( 5)
2
100
+
5
p
3
2
!2
25
=
25
100
+
75
4
25
=
1
4
+
3
4
= 1
(5)
2
100
+
5
p
3
2
!2
25
=
25
100
+
75
4
25
=
1
4
+
3
4
= 1
(5)
2
100
+
2
p
3
2
!2
25
=
25
100
+
3
25
=
1
4
+
3
25
=
37
100
6= 1
(5)
2
100
+
5
p
3
2
2
25
=
25
100
+
75
4
25
=
1
4
+
3
4
= 1
De lo cual se ve que tres de los puntos dados satisfacen la ecuación, es decir, son puntos de la circunferencia.
159

160. 64. La ecuación de la elipse que pasa por 3; 2
p
3 , con vértice correspondiente al eje menor (0; 4) es
Solución:
Como uno de los vértice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y estamos tratando con una
elipse vertical. Así el punto 3; 2
p
3 debe cumplir la relación
x2
b2
+
y2
a2
= 1
es decir,
32
b2
+
2
p
3
2
42
= 1
b2
= 36
Por lo tanto, la ecuación es
x2
36
+
y2
16
= 1
65. Los focos de la hipérbola 4x2
9y2
= 36 son
Solución:
La hipérbola 4x2
9y2
= 36 puede ser vista como
x2
9
y2
4
= 1
de donde a2
= 9 y b2
= 4, y por lo tanto
c2
= 9 + 4
c =
p
13
En consecuencia, las coordenadas de los focos son
p
13; 0 .
66. Las asíntotas de la hipérbola 25y2
16x2
= 400, son
Solución:
Como la hipérbola tiene por ecuación 25y2
16x2
= 400, entonces a2
= 16 y b2
= 25, es decir, a = 4 y
b = 5. Lo cual implica que las directrices son las rectas
y =
4
5
x
67. La ecuación de la hipérbola con asíntotas y =
3
2
x, es
Solución:
Como las asíntotas son las rectas y =
3
2
x entonces a = 2 y b = 3. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola
es
x2
4
y2
9
= 1
160

161. 68. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son ( 1; 0) y sus focos ( 2; 0). Entonces su ecuación es
Solución:
Según los datos del problema a = 1 y c = 2, por lo cual
b2
= 4 1
= 3
La ecuación de la hipérbola es
x2
1
y2
3
= 1
69. La excentricidad de la hipérbola y2
4x2
= 4 es
Solución:
De la ecuación de la hipérbola se tiene que a2
= 4 y b2
= 1, así que
c2
= 5
c =
p
5
Por lo tanto, la excentricidad es
e =
p
5
2
70. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es y2
= 36x son respectivamente:
Solución :
La parábola está sobre el eje X; también
4p = 36
p = 9
el foco está dado por (9; 0) y la ecuación de la directriz por x = 9
161