Este documento presenta conceptos básicos sobre números naturales, enteros y racionales. Explica que los naturales son los números de conteo y forman el conjunto N. Los enteros incluyen los naturales y sus opuestos, formando el conjunto Z. Se definen operaciones como suma, resta, multiplicación y división para enteros. Finalmente, introduce los racionales como números de la forma a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0, formando el conjunto Q. El documento contiene también ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.

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GRADO NOVENO
NUMEROS REALES
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos
de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se
simboliza con la letra N y se determina de la siguiente manera:
N = { 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5...}
Los números naturales se representan en la semirrecta numérica de la
siguiente forma
Es posible comparar dos números naturales utilizando los símbolos menor que
(<), mayor que (>) o igual a (=). Por ejemplo, 7 < 13, 25 > 15 ó 9 = 9.
En el conjunto de los números naturales se definen varias operaciones que se
pueden clasificar teniendo en cuenta la propiedad clausurativa. Así:
Operación Símbolo Ejemplo Clasificación
Adición + 2 ∈ N, 5∈ N y 2 + 5 = 7 ∈ N Clausurativa
Sustracción - 2 ∈ N, 5∈ N y 2 - 5 ∉ N No Clausurativa
Multiplicación . () * x 5 ∈ N, 8 ∈ N y 5 X 8 = 40 ∈ N Clausurativa
División ÷ 13 ∈ N, 4 ∈ N pero 13 ÷ 4 ∉ N No Clausurativa
Resolver las siguientes situaciones utilizando los números naturales
1. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles
de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y
súmalos.
2. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605.
¿Cuál es el dividendo?
3. Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75
250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
4. Con el dinero q ue tengo y 247 € más, podría pagar una deuda
de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
5. Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos
modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En
ambos modelos los colores disponibles s on: blanco, azul, rojo,
gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene
Pedro.
6. En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en
llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?
7. En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos
aviones aterrizan en un día?

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GRADO NOVENO
8. En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por
cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización?
¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por
cada 12 personas?
NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por el número 0, los
números naturales y los números negativos. Estos últimos, representan
situaciones de la vida diaria tales como temperaturas bajo cero, profundidades
con respecto al nivel del mar, entre otras.
El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y se determina
de la siguiente manera
Z = {…..,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…….}
Se representan en la recta numérica de la siguiente forma
Al comparar dos números enteros, es mayor el que se encuentra a la derecha
en la recta numérica. Por ejemplo, -2 > -6
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto de un número entero a, se representa
y se define como la distancia que hay desde 0 hasta dicho número. Por ejemplo, | - 5 |
= 5 pues entre 0 y -5 hay 5 unidades de distancia, gráficamente seria
OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
ENTEROS
Adición
Para sumar números enteros se presentan dos casos

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GRADO NOVENO
 La suma de dos números enteros de igual signo es un número entero
del mismo signo, que se halla sumando los valores absolutos de dichos
números.
 La suma de dos números enteros de distinto signo es un número entero
cuyo resultado se halla restando los valores absolutos de dichos
números. El signo de este valor es el mismo del sumando con mayor
valor absoluto.
Ejemplos
1.
2.
3. 8) = 17
Sustracción
La diferencia entre dos números enteros es la suma del primer número con el
opuesto del segundo.
Ejemplos
1.
2.
3.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
Para multiplicar o dividir debemos tener en cuente la ley de los signos.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
Resolver las siguientes situaciones utilizando los números enteros
1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y
calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes
números:

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GRADO NOVENO
2. El nivel de agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 dias.
A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el
nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?
3. Pitágoras nació en el año 493 A.C. y nació en el año 580 A.C.
4. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un
tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte
inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de
agua habrá en el depósito después de 15 minuto s de
funcionamiento?
5. La temperatura del aire baja según se asciende en la
atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura
al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué
altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
POLINOMIOS ARITMETICOS CON NUMEROS ENTEROS
Un polinomio aritmético es una expresión en la que se combinan diversas
operaciones. Para resolver polinomios aritméticos se deben tener en cuenta los
siguientes casos:
1. Polinomio sin signos de agrupación. Se resuelven primero las
multiplicaciones y divisiones indicadas en su orden respectivo. Luego,
se resuelven las sumas y las restas correspondientes
2. Polinomio con signos de agrupación. Los signos de agrupación mas
usados son: ( ) paréntesis, [ ] corchetes y { }. Se resuelven las
operaciones indicadas dentro de cada paréntesis, eliminando cada signo
de agrupación de adentro hacia afuera.
Ejemplos
1.
2.
3.
4. 8+{[(-4) - (2)] - 7}
5. –
6.
7.

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TALLER
Resolver las siguientes operaciones
1. 54 + 39 6. -72 – 18
2. -17 + (-8) 7. 11 – 43
3. 23 + (-16) 8. [7 - (6 - 2)] - (3 - 11)
4. (-34) + 25 9. 3 + (-2) - [6 - (1 + 5) + 4]
5. 61 - (-19) 10. -[9 - (-8)] + 18 - (5 - 7)
Escribir los paréntesis de manera que las igualdades sean ciertas.
11. 61 + 23- 15 + 17 = 86
12. 45 + 64- 23 - 31 = 55
13. 16 4• 2 + 1 = 3
Contestar
14. La suma de tres enteros es igual a -5 dos de los sumandos son números
opuestos. ¿Cuál es el otro sumando?
15. El cociente entre dos números enteros es 2, si el dividendo es el doble
del divisor y el divisor es – 42, ¿cuál es el dividendo?
16. El producto de dos números enteros es -540, si un factor es 12, ¿cuál es
el otro?
17. La diferencia entre dos números es – 374, si el sustraendo es 115, ¿cuál
es el minuendo?
Escribir cada número como el producto de tres o más factores
18. – 56
19. 144
20. – 625
21. 108
22. Camila y Cristian están jugando a adivinar el número que cumple ciertas condiciones.
Ella le dice: “es un número entero menor que 13 y mayor que – 1, impar y su suma
digital es 2". ¿Qué número es?
23. Cristian le dice: “la edad de mi primo es un número par y el triple de su
edad es menor que 40 y mayor que 30. ¿Qué edad tiene el primo de
Cristian?
24. En una ciudad la temperatura a las nueve de la mañana era de 15 0c. A
medio día había subido 60c, a las cinco de la tarde marcaba 3 °C más, a
las nueve de la noche había bajado 7 °C y a las doce de la noche aún
había bajado otros 4 °C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a
medianoche?

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GRADO NOVENO
NUMEROS RACIONALES
El conjunto de los números racionales está formado por los números de la
forma donde a y b son números enteros y b 0.
El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se
determina de la siguiente manera ∈ , a se llama
numerador y b se llama denominador.
El signo de cada número racional viene dado según sea el signo del
numerador o del denominador, teniendo en cuenta las siguientes
propiedades:
 Si el signo del numerador o el denominador de un número racional
es negativo, dicho número es negativo; es decir,
 Si los signos del numerador y del denominador de un número
racional son negativos, dicho número es positivo; es decir,
Por ejemplo es un racional negativo y es un racional
positivo.
Los números racionales se representan en la recta numérica de la siguiente
forma:
a.
b.
c.
Al comparar dos números racionales se puede presentar solo una de las
siguientes relaciones:
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se
transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador.

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GRADO NOVENO
Luego, se determina la relación que existe entre sus numeradores. Es
mayor el que tiene mayor numerador.
Ejemplos: determinar la relación de orden de los siguientes racionales
1. , asi
es decir
2.
3.
OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES
SUMA Y RESTA
Para sumar o restar números racionales se presentan dos casos
1. Si los denominadores son iguales, el resultado tendrá el mismo
denominador y numerador será la suma o la resta de los
numeradores. Por ejemplo
a.
b.
2. Si los denominadores son diferentes, primero se convierten en
racionales con igual denominador, luego se suman o se restan los
numeradores, por ejemplo
a.
b.
MULTIPLICACION Y DIVISION
Para multiplicar racionales, se multiplican los numeradores entre si y los
denominadores entre si. Por ejemplo
a.
b.
Para dividir racionales, se multiplica el dividendo por el reciproco del divisor.
Por ejemplo
a.
b.

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POLINOMIOS CON NUMEROS RACIONALES
Para resolver polinomios con números racionales se deben tener en
cuenta las mismas propiedades trabajadas en los números enteros:
• Si el polinomio no incluye signos de agrupación, se resuelven las mul -
tiplicaciones y divisiones indicadas en su respectivo orden. Luego, se
efectúan las sumas y las restas correspondientes.
• Si el polinomio incluye signos de agrupación, estos se deben eliminar de
adentro hacia afuera, efectuando las operaciones indicadas dentro de
ellos.
Ejemplos: resolver los siguientes polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

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GRADO NOVENO
TALLER
1. ¿Por qué se crearon los números naturales?
2. ¿Cómo están conformados los números reales?
3. ¿Cuál es la característica de los números irracionales?
4. Los números enteros se representan con la letra ____________
5. Nombra los conjuntos numéricos a los cuales pertenece cada uno de los
siguientes números a. 7 b. c. 0.36 d. e. 1.325
6. Clasifica los siguientes números como Q o I
a. . b. 0.15555…… c. 5.101001000….. d. 0.58 e. π
7. Escribir números que cumplan con cada condición
a. Entero mayor que -5 y menor o igual que -1
b. Entero no negativo menor que 6 y múltiplo de 2
c. Entero y racional
d. Irracional menor que 2
8. Representa sobre la recta real los siguientes números
a. 5 b. un tercio c. d.
9. Completa la tabla con pertenece o no pertenece
Numero N Z Q I R
302
0.101001…
-0.888888…
10. Determina si la proposición es verdadera o falsa, justifica tu respuesta
a. Algunos números enteros son racionales
b. Todo numero irracional es real
c. Todo numero natural es entero

10. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS
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GRADO NOVENO
d. No todos los números racionales son enteros
e. Todo decimal finito es racional
f. Algunos números irracionales son decimales finitos