Este documento presenta 30 problemas de matemáticas con sus soluciones. Los problemas cubren temas como aritmética, álgebra, geometría y porcentajes. El documento fue creado por docentes del Departamento de Matemática de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua para ser utilizado como guía de admisión.

1. Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, Managua
Recinto Universitario "Rubén Darío"
Facultad de Educación e Idiomas
Departamento de Matemática
Solucionario Guía de Admisión
”Área de Matemática"
Autores
Colectivo de Docentes
Departamento de Matemática
UNAN-Managua
Managua, Enero 2018

2. Aritmética
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
a) 5 < 2 b) 2 > 1 c) 3 > 2 d) 6 < 6 e) 1 > 0
Solución:
El valor correcto es 5 < 2; ya que 5 se encuentra más alejado del cero que 2:
2. Al calcular [3(2 5) + 5(3 1)] [2(8 + 6) 5(4 1)] el resultado es
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 13
Solución:
Al realizar los cálculos intermedios, obtenemos que
3 ( 3) + 5 (2) = 1
2 (14) 5 (3) = 13
en consecuencia,
(1) (13) = 13
3. Al calcular 15 + (1
2
8
) (
1
3
2) el resultado es
a)
1
12
b)
1
12
c)
110
4
d)
55
4
e)
55
4
Solución:
Al realizar los cálculos, se tiene
15 +
3
4
5
3
=
55
4
4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 1?
a)
1
1
b)
2
6
c)
4
3
d)
8
14
e)
2
21
Solución:
Toda fracción impropia es mayor que 1; por tanto, la fracción correcta es
4
3
.
2

3. 5. Al calcular [0:25 (
7
3
1
4
)] (0:75
1
4
) el resultado es
a)
24
25
b)
25
24
c)
25
24
d)
13
24
e)
24
25
Solución:
Los calculos directos nos proporcionan
25
100
25
12
75
100
1
4
=
25
24
6. Por dar asesoría un maestro cobra C$140 la hora. ¿cuántas horas de asesoría debe dar el maestro
para ganarse C$11900?
a) 80 b) 81 c) 83 d) 85 e) 87
Solución:
El costo de la hora por la cantidad de horas, proporciona la ganancia total, es decir
140x = 11900
x = 85
7. Un empleado que trabaja siete días a la semana, gana C$350 diarios y gasta C$900 semanales.
¿Cuántos días tendrá que trabajar para comprar un auto de C$74400?
a) 336 b) 612 c) 412 d) 256 e) 375
Solución:
En una semana ganará 350 (7) = 2450; pero gasta 900 por semana, luego
(350 (7) 900) x = 74400
x = 48 semana
entonces la cantidad de días es
48 7 = 336 d{as
8. En una familia de tres miembros la madre gana $3205, el padre $550 menos que la madre, y el hijo
$200 menos que el padre. ¿Cuáles son los ingresos totales de la familia?
a) 8315 b) 8513 c) 8113 d) 8351 e) 8531
Solución:
El ingreso total de la familia es la suma de los ingresos parciales, es decir
3205 + (3205 550) + (3205 550 200) = 8315
3

4. 9. Tenía $90. Perdí los
3
5
y di prestados los
5
6
del resto. ¿Cuánto dinero me queda?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Solución:
Lo perdido equivale a
3
5
(90) = 54; luego le quedó 90 54 = 36; ahora prestó los
5
6
(34) = 30; entonces
le queda
36 30 = 6
10. Un hombre deja al morir $4500 para repartir entre sus tres hijos. El mayor debe recibir
2
9
de la
herencia, el segundo
1
5
de la parte del mayor y el tercero lo restante. ¿Cuánto recibirá cada uno?
(a) Mayor $2200, segundo $100, tercero $2200
(b) Mayor $1000, segundo $200, tercero $3300
(c) Mayor $2000, segundo $100, tercero $2400
(d) Mayor $2000, segundo $200, tercero $2300
(e) Mayor $1000, segundo $100, tercero $3400
Solución:
El mayor recibirá
2
9
(4500) = 1000; el segundo hijo recibirá
1
5
(1000) = 200; luego el tercer hijo
obtendrá
4500 1000 200 = 3300
11. De una …nca de 4200 hectáreas se venden los
2
3
de
1
7
y se alquilan los
3
4
de los
4
5
de la …nca. ¿Cuántas
hectáreas quedan?
a) 1260 b) 1280 c) 1270 d) 2260 e) 3150
Solución:
La tierra vendida es
2
3
1
7
4200 = 400: Lo alquilado corresponde a
3
4
4
5
4200 = 2520 hectáreas,
por tanto, el total de hectáreas que quedan es 4200 400 2520 = 1280
12. Un hombre gasta en alimentación de su familia los
2
5
de su sueldo mensual. Si un mes gasta por ese
concepto $82. ¿Cuál ha sido su sueldo ese mes?
a) 200 b) 210 c) 205 d) 215 e) 220
4

5. Solución:
Sea x el sueldo mensual, entonces
2
5
x = 82
x = 205
13. Un sexto de los alumnos de un curso reprobó un examen, y la mitad lo aprobó con una excelente
cali…cación. Entonces la fracción que representa al resto de alumnos que aprobaron el examen, aunque
no con excelente cali…cación, es:
a)
1
12
b)
1
8
c)
1
3
d)
1
4
e)
1
5
Solución:
Sea 1 la fracción total de estudiantes del curso, entonces
1
6
son los estudiantes que reprobaron dicho
examen, luego
1
2
aprobó con una excelente cali…cación, por tanto
1
1
6
1
2
=
1
3
14. Se adquiere un libro por $4:50, un par de revistas por $2 menos que el libro, un lapicero por la mitad
de lo que costaron el libro y las revistas juntos. ¿Cuánto le sobrará al comprador después de hacer
estos pagos, si tenía $15:83?
a) 1:81 b) 2:8 c) 5:33 d) 3:81 e) 4:33
Solución:
Se requiere sumar todos los pagos y luego hacer la diferencia con el total de dinero que tenía, es decir
4:5 + 2:5 + 3:5 = 10:5
luego le queda
15:83 10:5 = 5:33
15. A,B y C han realizado una carrera de 200m. A tardó un minuto y medio, B llegó 25 segundos más
tarde y C ha empleado medio minuto menos que B. El orden de llegada es
a) C; B; A b) A; B; C c) C; A; B d) B; C; A e) B; A; C
Solución:
El tiempo que demoró A; B y C son 90, 115 y 55 segundos respectivamente, luego el orden de llegada
es
CAB
5

6. 16. Al efectuar las operaciones
15 49
22 33
1=2
resulta
a)
7
p
5
6
b)
3
p
3
5
c)
p
2
3
d)
3
p
5
5
e)
5
p
2
6
Solución:
Aplicando la ley de los exponentes y simplicando obtendremos
15
1=2
49
1=2
2 33=2
!
=
p
15
p
49
2
p
27
=
p
3
p
5 7
2 3
p
3
=
7
p
5
6
17. Al efectuar
2
6
6
6
4
33 1
3
3
23
1
2
3
1
3
2
3
7
7
7
5
2
el resultado es
a) 81 b) 80 c) 90 d) 92 e) 91
Solución:
Expresando como una multiplicación de fracciones y aplicando ley de los exponentes obtendremos
2
6
6
6
4
33
23
1
1
2
3
1
3
3
1
3
2
3
7
7
7
5
2
=
2
6
4
33
23
1
1
8
1
3
3
7
5
2
=
27
8
8
1
3
2
= (9)2
= 81
18. Al efectuar las operaciones
0:5 0:3 3
22 0:4 10
1=2
resulta
a)
p
3
30
b)
27
59
p
2
c)
p
2
17
d)
3
8
p
5
e)
27
p
5
320
Solución:
6

7. Expresando en fracción resulta
0
B
@
1
2
3
10
3
22
2
5
10
1
C
A
1=2
=
0
B
@
9
20
16
1
C
A
1=2
=
9
320
1=2
=
3
8
p
5
19. Al simpli…car la expresión
3
p
737
p
64 el resultado es
a) 15 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18
Solución:
Descomponiendo en factores
3
q
737
p
64 =
3
q
737
p
82 = 3
p
737 8 =
3
p
729 =
3
p
36 = 9
20. Al efectuar 4
r
256
625
3
r
8
27
el resultado es
a)
4
15
b)
2
15
c)
7
5
d)
2
15
e)
7
12
Solución:
Descomponiendo en factores
4
r
256
625
3
r
8
27
=
4
p
28
4
p
54
3
p
23
3
p
33
=
4
5
2
3
=
2
15
21. En una isla desierta, cuatro náufragos consumen diariamente 0; 8 litros de agua cada uno. Si la
reserva de agua que les queda es de 48 litros, ¿durante cuantos días podrán seguir bebiendo agua?
a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27
Solución:
El total de litros consumidos por los náufragos es
4 0:8 = 3:2 litros
luego la cantidad la obtenemos por
48
3:2
= 15 d{as
7

8. 22. Si sabes que el 10% del 30% de una cantidad es 525, ¿cuál es dicha cantidad?
a) 28700 b) 19500 c) 17500 d) 23500 e) 21725
Solución:
Se sabes que
(0:1) (0:3) x = 525
luego
x =
525
(0:1) (0:3)
= 17 500
23. Si los
6
4
de un número es 45% de los
15
9
de 4, ¿cuál es el número?
a)
18
3
b)
18
9
c)
18
2
d)
18
4
e)
18
5
Solución:
De los datos, obtenemos
6
4
x =
45
100
15
9
4
x = 2
24. Si Carlos midiera un 15% menos, su estatura sería de 1:45m. ¿Cuánto mide la altura de Carlos?
a) 1:6m b) 1:7m c) 1:75m d) 1:9m e) 1:55m
Solución:
La estatura de Carlos es
0:85x = 1:45
x = 1:7 m
25. En un curso hay el doble de mujeres que hombres, y los hombres son una decena. El 30% de los
alumnos del curso es
a) 30 b) 10 c) 9 d) 11 e) 22
Solución:
Sea 100 la cantidad de hombres, entonces la cantidad de mujeres es 200; luego el total de alumnos es
300
0:30 300 = 90
8

9. 26. El 70% del tanque de un avión corresponde a una capacidad de 140 litros. ¿Cuál es la cantidad de
combustible en litro, con que aterriza el avión, si lo hizo con el 5% del tanque lleno?
a) 55 b) 49 c) 10 d) 21 e) 70
Solución:
Los datos del problemas nos informa que
0:7x = 140
x = 200
luego
0:05 200 = 10 litros
27. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando ocho horas diarias, en realizar cierta obra. Si
hubiera trabajado una hora menos al día , el número de días en que habrían terminado la obra es:
a) 10 b) 11 c) 14 d) 13 e) 16
Solución:
Aplicando una regla de tres simple, se tiene
8 horas 14d{as
7 horas x
x =
8 14
7
= 16 d{as
28. Cuarenta y seis obreros de la constructora “MEYMITO” se demoran 6 días en construir una casa.
El número de días que demorarían 69 obreros es :
a) 9 b) 8 c) 4 d) 15 e) 5
Solución:
Aplicando una regla de tres simple, se tiene
46 obreros 6 d{as
69 obreros x
x =
46 6
69
= 4 d{as
9

10. 29. Elías y Misael arriendan la totalidad de una parcela. Elías ocupa los
5
11
de la parcela y paga anual
C$6000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual Misael?
a) 12000 b) 7200 c) 36000 d) 3272 e) 18000
Solución:
Aplicando una regla de tres simple, se tiene
5
11
parcela 6000
6
11
parcela x
x =
6
11
6000
5
11
= 7200
30. Una calle de 50m de largo y 8m de ancho se halla pavimentada con 20000 adoquines ¿Cuántos
adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle de doble largo y cuyo ancho es los
3
4
del ancho
anterior?
a) 10; 000 b) 15; 000 c) 25; 000 d) 35; 000 e) 30; 000
Solución:
La super…cie de la primer calle es 50 8 = 400 y se pavimenta con 20000 adoquines. La super…cie
de la otra calle es 100
3
4
(8) = 600: Formando una regla de tres simple, se tiene
400 area 20000 adoquines
600 area x
x =
600 20000
400
= 30000 adoquines
31. En un corral por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada conejo 2 gallinas. Si hay 12 patos, ¿Cuántas
gallinas hay?
a) 12 b) 40 c) 14 d) 16 e) 18
Solución:
Si hubieran 12 patos, habrían 8 conejos y por tanto, habrían 16 gallinas.
10

11. 32. Se sabe para una proporción geométrica que el producto de los extremos es 100. Si los términos
medios son positivos e iguales, ¿Cuál es la suma de los términos medios?
a) 5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 46
Solución:
La proporción geométrica la establecemos por
a
b
=
c
d
pero como b = c = n y ad = 100; se tiene
100 = bc
100 = n2
n = 10
luego la suma de los términos medios es 10 + 10 = 20
33. Los capitales de Marlene y Natalia están en la razón siete es a cuatro y suman C$55000 ¿Cuánto
capital tiene Natalia?
a) 20; 000 b) 10; 000 c) 25; 000 d) 5; 000 e) 1; 000
Solución:
Sea 55000 x el capital de Marlene, entonces el capital de Natalia es x; por tanto
55000 x
x
=
7
4
x = 20 000
34. ¿Qué hora del día será cuando el número de horas transcurridas y el número de horas que faltan por
transcurrir se encuentren en la razón de cinco es a tres?
a) 10 am b) 3 pm c) 8 pm d) 9:45 am e) 3:5 pm
Solución:
Sea x el número de horas transcurridas y 24 x el número de horas que faltan por transcurrir, luego
x
24 x
=
5
3
x = 15
la 15 hora, equivale a las 3 pm.
11

12. 35. Elsa tuvo a su hijo Enrique a los 25 años y hoy sus edades están en la razón ocho es a tres. ¿Qué
edad tiene hoy Enrique?
a) 10 b) 2 c) 9 d) 4 e) 15
Solución:
Sea x la edad de Enrique y 25 + x; la edad de Elsa, entonces
25 + x
x
=
8
3
x = 15
12

13. Algebra
1. Si a = 1; b = 3; c = 5, entonces
a + b ja bj
jaj + jbj + jcj
es igual a:
a)
1
9
b) 1 c)
1
9
d)
2
9
Solución :
Efectuando una sustitucion directa de los valores dados
( 1) + 3 j 1 3j
j 1j + j3j + j5j
=
2
9
2. El valor numérico de la expresión
a2 (a + b)
(a b)3 para a = 1 y b = 2 es:
a)
1
27
b)
1
27
c)
1
3
d)
15
17
Solución :
Al sustituir los valores respectivos se obtiene
(1)2
1 + ( 2)2
(1 ( 2))3 =
1
27
3. El resultado de x2 y2 x2 + y2 es
a) x4 + y4 b) x4 y4 c) 2x2 2y2 d) 2x2 + 2y2
Solución :
El producto de la diferencia por la suma es
x4
y4
4. La descomposición en factores de la expresión 3x2 2x 8 es:
a) (3x + 4) (x + 2) b) (3x + 4) (x 2) c) (3x 4) (x 2) d) (3x 4) (x + 2)
Solución :
Al factorizar dicha expresión se tiene
3x2
2x 8 = (3x + 4) (x 2)
13

14. 5. La descomposición en factores de la expresión x3 64y3 es
a) (x 4y) b) 4xy + x2 + 16y2 c) (x + 4y) 4xy + x2 + 16y2 d) (x 4y) 4xy + x2 + 16y2
Solución :
Al factorizar la diferencia de cubo, se tiene
x3
64y3
= (x 4y) 4xy + x2
+ 16y2
6. La simpli…cación de
a2 4b2
ab + 2b2
3a2 5ab 2b2
3a2 + ab
es
a)
a
b (3a + b)
b)
b
a
c)
a
b
d) 1
Solución :
Al factorizar los diferentes términos de las fracciones, se tiene
a2 4b2
ab + 2b2
3a2 5ab 2b2
3a2 + ab
=
(a + 2b) (a 2b)
b (a + 2b)
(a 2b) (3a + b)
a (3a + b)
=
(a + 2b) (a 2b)
b (a + 2b)
a (3a + b)
(a 2b) (3a + b)
=
a
b
7. El resultado de la siguiente operación
1
x 1
+
12x2 4x
4x2 11x 3
3x2 + 8x 3
x2 9
es
a)
4x2 + 1
(4x + 1) (x 1)
b)
4x2 1
(4x + 1) (x 1)
c)
4x2 + 1
(4x 1) (x 1)
d)
4x2 + 1
(4x + 1) (x + 1)
Solución :
Al desarrollar las operaciones indicadas y factorizando, se tiene
1
x 1
+
4x (3x 1)
(4x + 1) (x 3)
(x + 3) (3x 1)
(x 3) (x + 3)
1
x 1
+
4x (3x 1)
(4x + 1) (x 3)
(x 3) (x + 3)
(x + 3) (3x 1)
1
x 1
+
4x
4x + 1
4x2 + 1
4x2 3x 1
4x2 + 1
(4x + 1) (x 1)
14

15. 8. Al desarrollar
x
y
y
x
2
se obtiene
a)
x4 + 2x2y2 + y4
x2y2
b)
x4 2x2y2 y4
x2y2
c)
x4 2x2y2 + y4
x2y2
d)
x4 x2y2 + y4
x2y2
Solución :
Desarrollando el cuadrado
x
y
y
x
2
=
x2 y2
xy
2
=
x4 2x2y2 + y4
x2y2
9. Al racionalizar el denominador de la fracción
1
p
3 2
se obtiene
a)
p
2x + 5 3
4
b)
p
3 2 c)
p
2x 5 3
2
d)
p
2x + 5 + 3
2
Solución :
Multiplicando por el conjugado del denominador
1
p
3 2
=
1
p
3 2
p
3 + 2
p
3 + 2
=
p
3 + 2
10. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x2 + kx + k = 2 3x es:
a) 5 b) 1 c) 0 d) 1
Solución :
Una ecuación de segundo orden tiene una solución si el discriminante b2 4ac = 0; entonces, al
reescribir dicha ecuación en la forma x2 + (k + 3) x + (k + 2) = 0 y al analizar su discriminante, se
tiene
(k + 3)2
4 (1) (k + 2) = 0
y al resolver dicha ecuación, se tiene que k = 1
11. Al resolver la ecuación
x + 1
x 1
+
2x 1
x + 1
= 4 se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor
de las raíces es :
a) 5 b) 5 c) 1 d) 1
Solución :
15

16. La expresión dada se puede reescribir por
(x + 1)2
+ (2x 1) (x 1)
x2 1
= 4
3x2
x + 2 = 4x2
4
x2
+ x 6 = 0
al resolver dicha ecuación, se tiene que las soluciones reales son x1 = 3 ; x2 = 2; por tanto, la
diferencia entre las raíces es 5:
12. El conjunto solución de la desigualdad x2 6x + 8 > 0, es
a) ( 2; 1) [ (1; +1) b) [ 2; 0) [ [1; +1) c) ( 1; 2) [ (4; 1) d) [ 2; 0) [ (1; +1)
Solución :
La expresión dada se puede reescribir por
(x 2) (x 4) > 0
entonces los números críticos son
x = 2; x = 4
entonces
Expresión x 2 x 4 Signo
x < 2 +
2 < x < 4 +
x > 4 + + +
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo positivo, es decir
( 1; 2) [ (4; +1)
13. El conjunto solución de la desigualdad x +
2
3
2, es
a)
8
3
x
4
3
b)
8
3
< x
4
3
c)
8
3
< x <
4
3
d)
8
3
x <
4
3
Solución :
Al aplicar propiedades de la desigualdades, obtenemos
2 x +
2
3
2
8
3
x
4
3
16

17. 14. El conjunto solución de la desigualdad 1
7 x
2
3 es:
a) [1; 5] b) [ 1; 5] c) [ 1; 0] d) [1; 2]
Solución :
La expresion dada se puede escribir por
2 7 x 6
2 7 + x 6
5 x 1
en forma equivalente
1 x 5
o bien, en forma de intervalo [ 1; 5] :
15. El conjunto solución de la desigualdad j5 2xj < 7 está dado por el intervalo
a) ( 1; 0) b) (1; 6) c) ( 1; 6) d) ( 1; 2)
Solución :
Aplicando propiedad de valor absoluto
7 < 5 2x < 7
7 5 < 2x < 7 5
12 < 2x < 2
multiplicando por
1
2
y cambiando el sentido de la desigualdad
6 > x > 1
1 < x < 6
la cual se puede escribir en notación de intervalo por ( 1; 6)
17

18. 16. Si j2x 1j > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es:
a) 3 b) 3 c) 1 d) 1
Solución :
La expresion dada se puede escribir por
2x 1 > 3 o 2x 1 < 3
x > 4 o x < 1
luego el numero que no pertenece a dicho intervalo es 3
17. Al factorizar la expresión 12x3 + 36x2 27x uno de los factores es:
a) 2 b) (2x 3)2
c) 5x2 d) (2x + 3)2
Solución :
Factorizando la expresión dada
12x3
+ 36x2
27x = 3x (2x 3)2
18. Al simpli…car
x 2=3y 4=3z 4
x 1=3y2=3z 7=3
! 3
resulta
a) xy6z4 b) xy3z5 c) xy6z5 d) x2y6z5
Solución :
Al aplicar propiedades de exponentes
x 2=3y 4=3z 4
x 1=3y2=3z 7=3
! 3
=
x2y4z12
xy 2z7
= xy6
z5
19. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y3?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Solución:
18

19. Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se
obtiene
(x + y)3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
= 1
x3
+ 3xy (x + y) + y3
= 1
x3
+ 3 (1) (1) + y3
= 1
x3
+ y3
= 2
20. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven.
¿Cuántos años tiene?
a) 10 b) 5 c) 25 d) 15
Solución :
Sea P la edad actual del padre y H la edad actual del hijo, entonces
3H = P
4 (H 5) = P 5
cuya solución es H = 15; P = 45
21. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos
tres números?
a) 27 b) 16 c) 15 d) 14
Solución :
Este problema se puede resolver utilizando la segunda condición
x + (x + 1) + (x + 2) = 45
x = 14
como los números son consecutivos, entonces el mayor es x + 2 = 16
19

20. 22. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden
1=3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1=2 de los pasajeros que quedan
y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que
llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio?
a) 18 b) 36 c) 30 d) 42
Solución :
Llamamos x al número de pasajeros que había al comienzo del viaje. En la primera parada desciende
1
3
de los pasajeros. Luego se quedan
2
3
x. Suben 8. Por tanto, después de la primera parada en
el autobús hay
2
3
x + 8 pasajeros. En la segunda pasada descienden
1
2
de los pasajeros, luego se
queda
2
3
x + 8
2
. Suben otros 2. Por tanto, después de la segunda parada en el autobús hay
2
3
x + 8
2
+ 2: En ese momento el número de pasajeros es la mitad de los que había al principio, es
decir,
x
2
: Igualamos y obtenemos
2
3
x + 8
2
+ 2 =
x
2
cuya solución es x = 36
23. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el
quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre.
a) 8 b) 6 c) 10 d) 9
Solución :
Sean x; y las edades respectivas del padre e hijo respectivamente, entonces
8
<
:
x = 3y
x 6 = 5 (y 6)
al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene x = 36; y = 12; entonces la suma de las cifras de la
edad del padre es 9
20

21. 24. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres
se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo
a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el
doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos,
¿cuántos empleados tiene la empresa?
a) 37 b) 16 c) 11 d) 27
Solución :
Sean x número de hombres, y número de mujeres, sabemos que x = 2y 6, y (y 1) cantidad
de regalos de las mujeres, porque cada mujer da un regalo a otra mujer, también
x
2
(x 1) +
x
2
y
porque la mitad de los hombres da un regalo a otro hombre y la otra mitad a las mujeres, de aqui,
obtenemos que
x = 2y 6
x
2
(x 1) +
x
2
y + y (y 1) = 318
cuya solución es y = 11; x = 16; luego el total de empleados es 37:
25. Un factor de 5t 12 + 2t2 es t + 4 y el otro es:
a) t+4 b) 2t 3 c) 3 2t d) 2t+3
Solución :
Al factorizar el polinomio dado
5t 12 + 2t2
= (t + 4) (2t 3)
el otro factor es 2t 3
21

22. GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1. Se tienen cuatro rectas en el plano: !m ; !n ; !p ; !q . Si !m es paralela a !n , que a su vez, lo es de
!p , mientras que !q es perpendicular a !n , ¿cuál de las siguientes respuestas es verdadera?
a) !q también debe ser perpendicular a !m y !p
b) !p y !q son paralelas
c) Podemos encontrar una recta !s que sea paralela a !n y no perpendicular a !q
d) Ninguna de las respuestas anteriores.
Solución:
Cualquier recta perpendicular a la recta !n será perpendicular a sus paralelas, por tanto, la respuesta
correcta es el inciso (a) :
2. Dos ángulos adyacentes forman un ángulo de 135 . Si uno es 15 mayor que tres veces el otro, las
medidas de estos ángulos son:
a) 35 ; 100 b) 30 ; 105 c) 75 ; 60 d) 80 ; 55
Solución:
Sean x; y los ángulos adyacente, se veri…ca x + y = 135 ; luego y = 3x + 15 ; entonces
x + 3x + 15 = 135
x = 30
y
y = 105
3. Dos ángulos son complementarios. Tres veces la medida de uno de ellos es 30 más que el doble de
la del otro. Las medidas de los ángulos de dichos ángulos son:
a) 45 ; 45 b) 60 ; 30 c) 73 ; 17 d) 42 ; 48
Solución:
22

23. Sean x; y los ángulos complementarios, se veri…ca
x + y = 90
luego
3x = 2y + 30
entonces
3x + 3y = 270
2y + 30 + 3y = 270
5y = 240
y = 48
por tanto
x = 42
4. El área del triángulo de la …gura
dada es:
a)
p
12 b)
5
p
39
2
c)
p
12
2
d) 1
Solución:
El triángulo es rectángulo, luego el valor del cateto c (altura del triángulo); por teorema de Pitagora,
es
c2
= 82
52
c =
p
39
además, el área del triángulo es
A =
1
2
(a c) =
1
2
5
p
39 =
5
p
39
2
23

24. 5. Los lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4, 5 y tiene un área de 24
m2. Las medidas de sus lados son:
a) 13; 12; 10 b) 10; 6; 8 c) 8; 6; 12 d) 6; 10; 14
Solución:
Consideremos el triángulo rectángulo con lados proporcionales a los dados
por la fórmula del área de un triángulo, tenemos
24 =
1
2
(3x) (4x)
48 = 12x2
x = 2
Luego, los lados son
6; 8 y 10
6. Para el 4ABC; DE k BC; AD = DB; AE = EC: Hallar en centímetros BC.
a) 30 cm b) 25 cm c) 34 cm d) 28 cm
Solución:
24

25. Por semejanza de triángulo, se tiene
AE
EC
=
2x 1
3x + 6
AE
2AE
=
2x 1
3x + 6
x = 8
luego BC = 3x + 6 = 30
7. En la …gura, FG k EH y EG k DH: Los valores de x y y son:
a) x = 10; y = 30 b) x = 20; y = 12 c) x = 10; y = 20 d) x = 30; y = 10
Solución:
Por semejanza de triángulo, se tiene
15
45
=
x
40 + x
x = 20
de forma similar
y
30
=
1
3
y = 10
8. En la …gura,
!
AB k
!
DC k
!
EF . El valor de x es:
a) x = 3:5 b) x = 1:5 c) x = 3 d) x = 4:5
Solución:
25

26. Por teorema de Thales, obtenemos
4
7
=
2x + 1
5x 5
x = 4:5
9. El área del polígono es
a) 70 cm2 b) 92 cm2 c) 90 cm2 d) 45 cm2
Solución:
El área total es la suma de las áreas de las partes, es decir, las sumas de todas las áreas de los
rectángulos
At = A1 + A2 + A3
= (15 2:5) + (2 7:5) + (15 2:5)
= 90 cm2
10. En un rectángulo ABCD; AB = 20 y BC = 15. La distancia del vértice A a la diagonal BD es:
a) 12 b) 15 c) 17 d) 21
Solución:
La distancia de la diagonal BD; por teorema de Pitágora, es
p
202 + 152 = 25; luego por teorema del
26

27. Cateto, se veri…ca
202
= 25m
m = 16
152
= 25n
n = 9
aplicando el teorema de la altura AF = H
H2
= mn
AF = 12
11. Javier tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 64 m y la diferencia entre las medidas del ancho
y el largo es 6 m. Las dimensiones del terreno son:
a) 19m; 13m b) 25m; 7m c) 20m; 12m d) 14m; 36m
Solución:
Sean x; y los lados del rectángulo, el perímetro es 2x + 2y = 64; además x y = 6: Al formar el
sistema de ecuación lineal,
2x + 2y = 64
x y = 6
obtenemos la solución x = 19; y = 13
12. Sea ABCD un rectángulo con área igual a 36u2. Los puntos E; F; G son los puntos medios de los
lados donde se localizan. El área del 4EFG es:
a) 7u2 b) 9u2 c) 8u2 d) 10u2
Solución:
Si el área de todo el rectángulo ABCD es 36u2; la mitad del rectángulo representado por BCGE es
18u2; luego la mitad de este rectángulo es 9u2; pero los triangulos 4EBF = 4EFM y 4FCG =
4FMG, entonces cada uno de ellos tienen áreas igual a 4:5u2: Por tanto, el area del 4EFG = 9u2:
27

28. 13. Una cabra se amarra en la esquina de una bodega mediante una cuerda de 12 metros de longitud
(ver …gura). El exterior de la bodega posee abundante pasto y la cabra permanece por un tiempo
su…ciente, de modo que le permita comer todo el pasto que está a su alcance. El área de la super…cie
de pasto que se comió es:
a) 118 b) 100 c) 142 d) 120
Solución:
El área de un sector circular está de…nido por
A =
r2n
360
Para el primer sector tenemos
A1 =
(12)2
270
360
= 108
Para el segundo sector tenemos
A1 =
(6)2
90
360
= 9
Para el tercer sector tenemos
A1 =
(2)2
270
360
= 3
Luego, el área total es
A = A1 + A2 + A3 = (108 + 9 + 3) = 120
14. Un jardín de forma circular necesita ser dividido en dos zonas: una para el césped y otra para plantar
‡ores. La zona de las ‡ores debe ser un tercio del jardín, y para protegerlas, se necesita cerrar esta
área con una malla que tiene un costo de $2:5 por metro. Si el radio del círculo mide 20m, el costo
de cerrar el terreno destinado a las ‡ores en dólares es:
a) 114:21 b) 204:72 c) 321:81 d) 189:31
Solución:
El área a cercar será
1
3
(2 r) más dos radio, es decir
1
3
(40 ) + 40
28

29. luego, el costo total es
1
3
(40 ) + 40 2:5 = 2:047197551 102
15. El lado mayor del rectángulo de la …gura mide 20 m. La curva trazada en su interior está formada
por cinco semicircunferencias. La longitud de la curva es:
a) 12 b) 10 c) 7 d) 21
Solución:
La curva de la …gura esta formada por 5 semicircunferencia de diámetro 4, luego, el radio de cada
una de la circunferencia es 2, por tanto, la longitud de la curva es
L = (2:5) 2 r = 2:5 (2) (2) = 10
16. Sea el triángulo rectángulo isósceles ABC. Si AC es un diámetro de la circunferencia y su longitud
es
p
60, entonces el área del triángulo ABC es:
a) 11u2 b) 17u2 c) 15u2 d) 31u2
Solución:
El área del triángulo es
A =
1
2
(b h)
el diámetro es
p
60; luego el radio es
1
2
p
60 el cual también es la altura, luego
A =
1
2
p
60
p
60
2
!
= 15u2
29

30. 17. En la …gura, dAB = 130 ; dDB = 115 ; dAC = 65 . Los valores de s; ; y m]P son:
a) s = 50 ; = 65 ; = 90 ; m]P = 40
b) s = 65 ; = 60 ; = 70 ; m]P = 45
c) s = 50 ; = 90 ; = 65 ; m]P = 40
d) s = 45 ; = 65 ; = 35 ; m]P = 110
Solución:
La suma de los arcos dAB + dBD + dAC + dCD = 360 ; pero
130 + 115 + 65 + s = 360
s = 50
por otro lado, el angulo exterior P; es
m]P =
dAB dCD
2
=
130 50
2
= 40
tambien, el ángulo interior es
=
dAB + dCD
2
=
130 + 50
2
= 90
y …nalmente, el angulo inscrito es
=
dAB
2
=
130
2
= 65
18. El polígono de la …gura tiene todos sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son
perpendiculares y los ocho vértices están sobre la circunferencia. El área de la región sombreada es
aproximadamente:
a) 202:75u2 b) 180u2 c) 182:65u2 d) 292:33u2
30

31. Solución:
De acuerdo a la …gura, se tiene 5 cuadrados de lados 8, entonces su área es
Acua = 5 (8)2
= 320
el radio de la circunferencia, por teorema de Pitágora, se expresa por
r =
p
122 + 42
=
p
160
luego, el área de la circunferencia es
Acir = r2
=
p
160
2
= 160
Por tanto, el área de la región sombreada es
A = Acir Acua = 160 320 = 1:826 548 246 102
19. El arista de un cubo cuya área total es 300 cm2 es
a) 5
p
2 b) 2
p
2 c) 5
p
3 d)
p
3
Solución:
El área total del cubo es
A = 6l2
luego
300 = 6l2
l =
p
50
l = 5
p
2
20. El área total de un prisma cuya base es un triángulo equilátero para el cual su lado mide 8 cm y la
arista lateral es 12 cm es:
a) 22
p
3 b) 288 + 32
p
3 c) 8 + 32
p
3 d) 200 + 32
p
3
31

32. Solución:
El prisma triangular regular es aquel que tiene como bases dos triángulos equiláteros. Sus caras
laterales son rectángulos iguales. Su área está dada por
A = l
p
3
2
l + 3h
!
= 8
p
3
2
(8) + 3 (12)
!
= 32
p
3 + 288
21. El área lateral y total de una pirámide regular de base un triángulo equilátero sabiendo que el lado
de la base mide 10 m y la altura de la pirámide 20 m es aproximadamente:
a) 346:3u2 b) 346:3u2 c) 346:3u2 d) 346:3u2
Solución:
El apotema de un triángulo equilátero es
ap =
p
3
6
l
=
p
3
6
(10) = 2:88
El apotema de la pirámide es
apiramide =
p
202 + 2:882
= 20:20
el área lateral está dado por
Al =
pbase apiramide
2
=
3 (10) 20:20
2
= 303m2
el área de la base es
A =
p
3
4
l2
=
p
3
4
(10)2
= 43:30m2
luego, el área total es
AT = AL + AB = 303 + 43:30 = 346:3m2
en consecuencia, el área lateral y total de la pirámide son 303m2 y 346:3m2 respectivamente.
22. El área total de un cilindro es 366 m2 y su altura es el triple del radio de su base. El volumen del
cilindro es aproximadamente:
a) 522:82u2 b) 422:82u2 c) 122:82u2 d) 322:82u2
32

33. Solución:
El área total de un cilindro está dada por y como h = 3r; entonces
A = 2 r (h + r)
366 = 2 r (3r + r)
366 = 8 r2
366
8
= r2
r2
= 14:56
luego, el volumen es
V = r2
h
= (14:56) (3 (3:81))
= 5:228 263 627 102
23. En un cono recto cuya altura mide 6 unidades, la mediatriz de una de sus generatrices intercepta a
la altura tal que el segmento de mediatriz determinado mide 2 unidades . El área lateral del cono es:
a) 4 b) 18 c) 2 d) 24
Solución:
Por triángulo semejante, se tiene
g
2
2
=
6
r
rg = 24
El área lateral del cono es
A = rg = 24
24. El volumen de la porción cónica de un helado si la altura es de 7 cm y el radio de la base 4 cm es:
a) 117:28cm3 b) 12:8cm3 c) 211:28cm3 d) 29:2cm3
Solución:
El volumen del cono está dado por
V =
1
3
r2
h =
1
3
(4)2
(7) = 1:172 861 257 102
33

34. 25. La Luna es el único satélite natural de la Tierra y su radio es de 1 734,4 km. Asumiendo de que este
es un cuerpo esférico, el valor de la super…cie lunar y el volumen respectivo es aproximadamente:
a) 37 801 532:71 km2; 21 854 326 116 km3
b) 21 854 326 116 km2; 37 801 532:71 km3
c) 7 812 632:71 km2; 724 326 116 km3
d) 41 801 112:71 km2; 2 924 126 227 km3
Solución:
El área y volumen de una esfera está dado por
A = 4 r2
= 4 (1734:4)2
= 3:780 032 946 107
V =
4
3
r3
=
4
3
(1734:4)3
= 2:185 374 178 1010
34

35. FUNCIONES REALES Y TRIGONOMETRÍA
1. Determinar dominio, rango y grá…ca de las siguientes funciones.
(a) f(x) = 3x 2
(b) g(x) = 4
(c) h (x) = x2 + 6x 2
(d) g(x) = jx 2j
Solución:
(a) :
Como la función dada es lineal, el dominio de f es R y su rango es también R: Su grá…ca es
-4 -2 2 4
-10
10
x
y
(b) :
Esta es una función constante. Su dominio es R y su rango es f4g : La representación grá…ca de esta
función es
-4 -2 0 2 4
4
5
x
y
(c) :
Esta es una parábola con vértice ( 3; 11) : El dominio de esta función es R y su rango es [ 11; 1)
-15 -10 -5 5 10 15
-10
10
x
y
35

36. (d) :
Esta es una función valor absoluto con vértice (2; 0); dominio R y rango [0; +1) : La grá…ca es
-4 -2 0 2 4
2
4
6
x
y
2. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartón, cuyas dimensiones
son 20x30 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área x2, y doblando los lados
hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como función de x.
Solución:
El volumen está dado por
V = (30 2x) (20 2x) x
= 4x3
100x2
+ 600x
3. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al número de traba-
jadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana C$5; 400 diario. El pago diario en función del
número de trabajadores x está dado por la expresión:
Solución:
La función buscada es de la forma
f (x) =
5400
12
x = 450x
4. Transformar de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso.
(a) 43 = 643
(b) log3
1
243 = 5
Solución
Para transformar una expresión dada en forma exponencial a logarítmica y viceversa, se hace uso de
la expresión
ax
= y () loga y = x:
36

37. (a) :
log4 643 = 3
(b) :
3 5
=
1
243
5. Reescriba las siguientes expresiones como combinación de logaritmos en x; y; z:
(a) loga
p
xz2
y4
(b) loga
q
x
p
yz3
Solución
Para la resolución de este ejercicio, haremos uso principalmente de las tres propiedades fundamentales
de los logaritmos y de algunos recursos del álgebra. Recordemos pues, que si tienen sentido las
expresiones loga A y loga B; se cumple
loga A + loga B = loga (AB) (i)
loga A loga B = loga
A
B
(ii)
loga (An
) = n loga A con n 2 R: (iii)
(a) :
Sea loga
p
xz2
y4
; entonces
loga
p
xz2
y4
= loga
p
xz2 loga y4 por (ii)
= loga
p
x + loga z2 loga y4 por (i)
= loga x
1
2 + loga z2 loga y4 por n
p
a = a
1
n
=
1
2
loga x + 2 loga z 4 loga y: por (iii)
por tanto,
loga
p
xz2
y4
=
1
2
loga x + 2 loga z 4 loga y:
de esta manera se ha logrado expresar loga
p
xz2
y4
en función de los logaritmos loga x; loga y; loga z
como lo requería el ejercicio.
(b) :
37

38. Sea ahora loga
q
x
p
yz3; entonces
loga
q
x
p
yz3 = loga
q
x (yz3)
1
2 por n
p
a = a
1
n
= loga
q
xy
1
2 z
3
2 por (ab)m
= ambm y (an)m
= anm
= loga xy
1
2 z
3
2
1
2
por n
p
a = a
1
n
= loga x
1
2 y
1
4 z
3
4 por (ab)m
= ambm y (an)m
= anm
= loga x
1
2 + loga y
1
4 + loga z
3
4 por (i)
=
1
2
loga x +
1
4
loga y +
3
4
loga z por (iii)
en conclusión,
loga
q
x
p
yz3 =
1
2
loga x +
1
4
loga y +
3
4
loga z:
6. Reescriba los siguientes logaritmos como uno solo en función de x; y; z.
(a) 2 loga x +
1
3
loga (x 2) 5 loga (2x + 3)
(b) loga x3y2 2 loga x 3
p
y + 3 loga
x
y
Solución
(a) :
Sea 2 loga x +
1
3
loga (x 2) 5 loga (2x + 3) ; entonces aplicando (iii) a cada término de la expresión
obtenemos
loga x2
+ loga (x 2)
1
3 loga (2x + 3)5
;
reescribiendo la expresión con exponente fraccionario a radicales resulta que la expresión anterior es
igual
loga x2
+ loga
3
p
x 2 loga (2x + 3)5
:
aplicando (i) a la expresión anterior resulta
loga x2 3
p
x 2 loga (2x + 3)5
;
aplicando a esta nueva expresión la propiedad (ii) se obtiene
loga
x2 3
p
x 2
(2x + 3)5 :
La expresión anterior puede también, reescribirse de la siguiente forma
loga
x2 3
p
x 2
(2x + 3)5 = loga
3
p
x6 (x 2)
(2x + 3)5 = loga
3
s
x7 2x
(2x + 3)15 :
38

39. concluimos que
2 loga x +
1
3
loga (x 2) 5 loga (2x + 3) = loga
3
s
x7 2x
(2x + 3)15 :
(b) :
Sea loga x3y2 2 loga x 3
p
y + 3 loga
x
y
; entonces podemos transformar esta expresión de la siguiente
manera
loga x3y2 2 loga x 3
p
y + 3 loga
x
y
=
= loga x3y2 loga x 3
p
y
2
+ loga
x
y
3
por (iii)
= loga x3y2 loga x2 3
p
y2 + loga
x3
y3
por a
c
m
= am
cm
(ab)m
= ambm
= loga x3y2 loga x2 3
p
y2
x3
y3
por (i)
= loga x3y2 loga
"
x2y
2
3 x3
y3
#
efectuando producto
= loga x3y2 loga
x5
y
7
3
!
simpli…cando
= loga
0
B
B
B
@
x3y2
x5
y
7
3
1
C
C
C
A
por (ii)
= loga
3
p
y13
x2
: por
x3y2
x5
y
7
3
= x3y2 y
7
3
x5
es decir,
loga x3
y2
2 loga x 3
p
y + 3 loga
x
y
= loga
3
p
y13
x2
:
7. Trace la grá…ca de las funciones reales
(a) f (x) = 4x
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
39

40. (b) g (x) = 3 x
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
(c) y = log4 x
-2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
8. Resolver las siguientes ecuaciones
(a) 105x 2 = 348
(b) log(x 9) + log 100x = 3
Solución :
(a) :
5x 2 = log 348
x =
(log 348) + 2
5
x = 0:9083
(b) :
log(x 9) + log 102 + log x = 3
log(x(x 9)) = 1
x(x 9) = 101
x2 9x 10 = 0
(x 10)(x + 1) = 0
x = 10 _ x = 1
40

41. 9. Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso.
(a) 630
(b)
11
6
(c) 720
(d)
7
2
Solución :
(a)
630
180
=
7
2
(b)
11
6
180
= 330
(c)
720
180
= 4
(d)
7
2
180
= 630
10. Si es un ángulo agudo, hallar las seis funciones trigonométricas
(a) csc = 4
(b) tan =
5
12
Solución :
(a) :
Sabemos que
1 + cot2
= csc2
cot2
= (4)2
1
cot =
p
15
ahora
41

42. tan =
1
p
15
sin =
1
4
cos =
sin
tan
=
1
4
1
p
15
=
p
15
4
sec =
4
p
15
(b) :
Sabemos que
1 + tan2
= sec2
1 +
5
12
2
= sec2
sec =
13
12
ahora
cos =
12
13
sin = tan cos =
5
12
12
13
=
5
13
cot =
12
5
csc =
13
5
11. Sea P (x; y) el lado terminal de ; calcular las seis funciones trigonométricas de
(a) P( 6; 2)
(b) P( 4; 3)
(c) P(5; 2)
(d) P( 1;
3
8
)
Solución :
(a) Calculando la hipotenusa
h = 2
p
10
42

43. entonces
sin =
1
p
10
; cos =
3
p
10
tan =
1
3
; cot = 3
sec =
p
10
3
; csc =
p
10
(b) Calculando la hipotenusa
h = 5
entonces
sin =
3
5
; cos =
4
5
tan =
3
4
; cot =
4
3
sec =
5
4
; csc =
5
3
(c) Calculando la hipotenusa
h =
p
29
entonces
sin =
2
p
29
; cos =
5
p
29
tan =
2
5
; cot =
5
2
sec =
p
29
5
; csc =
p
29
2
(d) Calculando la hipotenusa
h =
p
73
8
entonces
sin =
3
p
73
; cos =
8
p
73
tan =
3
8
; cot =
8
3
sec =
p
73
8
; csc =
p
73
3
12. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo [0; 2 ]
(a) sin x 2 sin x = 0
Solución :
43

44. Efectuando la operación indicada
sin x = 0
sin x = 0
entonces x = 0 ; ; 2 :
La solución general tiene la forma f k j k 2 Zg
(b) 2 tan2 x sec2 x = 0
Solución :
2 tan2
x 1 + tan2
x = 0
tan2
x 1 = 0
tan x = 1
entonces x =
4
;
3
4
; 5
4
; 7
4
:
La solución general tiene la forma
3
4
1
2
k j k 2 Z
13. Resuelvan el triángulo obtusangulo ABC si:
(a) a = 15 cm; b = 18 cm y = 33 300
(b) a = 40 cm; b = 50 cm y c = 60
Solución :
Resolver el triángulo signi…ca hallar los valores de los tres ángulos y los tres lados. Consideremos que
el angulo dado es el formado por ambos lados, aplicando ley de los cosenos, obtenemos
c2
= a2
+ b2
2ab cos 33 300
c = 152
+ 182
2 (15) (18) cos 33 300
c = 9:9348
aplicando ley de los senos, obtenemos
a
sin A
=
c
sin C
15
sin A
=
9:9348
sin (33 300)
sin A =
15 sin (33 300)
9:9348
sin A = 0:8333
A = 56:43
44

45. Aplicando nuevamente la ley de los senos, obtenemos
a
sin A
=
b
sin B
15
0:8333
=
18
sin B
sin =
18 (0:8333)
15
sin = 0:9999
= 89:18
b. Aplicando la ley de los cosenos, obtenemos
cos C =
a2 + b2 c2
2bc
=
402 + 502 602
2 (40) (50)
= 0:125
luego
C = cos 1
(0:125) = 82:81
Aplicando ley de los senos, obtenemos
a
sin A
=
c
sin C
40
sin A
=
60
sin (82:81)
sin A =
40 sin (82:81)
60
sin A = 0:6025
A = 37:04
luego el angulo B; es
B = 180 37:04 82:81
= 60:15
14. La altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabiendo que desde un punto del suelo
se observa su copa bajo un ángulo de elevación de 45 y, desde un punto 15 metros más cerca del
árbol, a un ángulo de 60 es:
Solución :
45

46. (a) De los datos del problema, se tiene que
tan 60 =
h
x 15
h = tan 60 (x 15)
tambien
tan 45 =
h
x
h = tan 45 (x)
Igualando ambas ecuaciones
tan 60 (x 15) = tan 45 (x)
p
3 (x 15) = x
x = 35:49
46

47. GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. El triángulo de vértices A( 5; 1), B(2; 3) y C(3; 2) es :
Solución:
Basta con encontrar la distancia entre los vértices del triángulo y luego comparar los resultados.
Recordemos que la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son A(x1; y1) y B(x2; y2) está dada
por la fórmula
d (A; B) =
q
(x1 x2)2
+ (y1 y2)2
Luego
d (A; B) =
q
( 5 2)2
+ ( 1 3)2
=
q
( 7)2
+ ( 4)2
=
p
49 + 16 =
p
65 = 8:0623
d (B; C) =
q
(2 3)2
+ (3 ( 2))2
=
q
( 1)2
+ (5)2
=
p
1 + 25 =
p
26 = 5:099
d (A; C) =
q
( 5 3)2
+ ( 1 ( 2))2
=
q
( 8)2
+ (1)2
=
p
64 + 1 =
p
65 = 8:0623
de donde claramente se ve que d (A; B) = d (A; C) y así podemos decir que dicho triángulo es isósceles.
2. Los vértices de un cuadrado son ( 1; 3), (3; 1), ( 1; 1) y (3; 3). La longitud de sus diagonales es:
Solución:
Nótese que los puntos con coordenadas A( 1; 3) y B(3; 1) son vértices no consecutivos del cuadrilátero,
al igual que C( 1; 1), D(3; 3). Por lo cual, el problema se resume a encontrar la distancia entre
cualesquiera de las parejas de vértices no consecutivos, no importando con cual trabajar ya que las
diagonales de un cuadrado son congruentes.
Luego
d (A; B) =
q
( 1 3)2
+ (3 ( 1))2
=
q
( 4)2
+ (4)2
=
q
2 (4)2
= 4
p
2
En consecuencia la longitud de las diagonales del cuadrado es 4
p
2
2. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3; 2). Si la abscisa del otro extremo
es 6, su ordenada es :
Solución:
47

48. Emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos d (A; B) =
q
(x1 x2)2
+ (y1 y2)2
. Susti-
tuyendo los valores correspondientes a las abscisas y ordenadas de los extremos del segmento de
longitud 5, denotando y la ordenada en búsqueda obtenemos
5 =
q
(3 6)2
+ ( 2 y)2
=
q
( 3)2
+ ( 2 y)2
=
q
9 + ( 2 y)2
al elevar al cuadrado ambos lados de la expresión anterior resulta
25 = 9 + ( 2 y)2
desarrollando el cuadrado de la diferencia del segundo sumando del lado derecho y simplicando
tenemos
25 = 13 + 4y + y2
lo que implica que
y2
+ 4y 12 = 0
factorizando se sigue
(y + 6) (y 2) = 0
de donde
y = 6 _ y = 2:
Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema, pero y = 6 no aparece como opción a
seleccionar en las respuestas y por lo tanto y = 2 es el valor de la ordenada.
3. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5; 4); B( 3; 8)
Solución:
Las coordenadas del punto medio de un segmento están dadas por las fórmulas x =
x1 + x2
2
y
y =
y1 + y2
2
. De este modo al sustituir valores tenemos
x =
5 + ( 3)
2
=
5 3
2
=
2
2
= 1
y =
4 + 8
2
=
12
2
= 6
En consecuencia, las coordenadas del punto medio son (1; 6)
48

49. 4. Encuentre los extremos del segmento cuyo punto medio es (2; 1), si la abscisa de uno de ellos es 6 y
la ordenada del otro es 1.
Solución :
Sean (x; 1) y (6; y) las coordenadas de los puntos extremos, por de…nicion de punto medio se tiene
x + 6
2
= 2
x = 2
de forma similar
y 1
2
= 1
y = 3
por tanto, las coordenadas de los puntos extremos son ( 2; 1) y (6; 3) :
5. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de intersección de las
rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0.
Solución:
Encontremos el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0 lo cual es
equivalente a resolver el sistema 8
<
:
2x + y 8 = 0
3x 2y + 9 = 0
cuya solución es x = 1, y y = 6. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (1; 6). Luego,
usando la ecuación punto pendiente
y 6 = 4(x 1)
y 6 = 4x + 4
4x + y 10 = 0:
6. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y
D(3; 4). Hallar su ecuación.
Solución:
49

50. Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Determinemos la pendiente de la recta que
pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4) como sigue
m =
4 2
3 ( 2)
=
6
5
Usando la ecuación punto pendiente resulta
y 8 =
6
5
(x 7)
5y 40 = 6x + 42
6x + 5y 82 = 0
7. Una recta l1 pasa por los puntos (3; 2) y ( 4; 6) y la otra recta pasa por el punto ( 7; 1) y el
punto A cuya ordenada es 6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2.
Solución:
Recordemos que como l1 es perpendicular a l2 entonces el producto de sus pendientes es 1. Encon-
tremos las pendientes de l1 y l2 como sigue
m1 =
6 2
4 3
=
8
7
por lo cual
m2 =
7
8
De modo que
7
8
=
7
x + 7
7 (x + 7) = 56
7x = 7
x = 1
8. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por ( 3; 4) es :
Solución :
Dado que ( 3; 4) es un punto de la circunferencia entonces satisface la relación
x2
+ y2
= r2
( 3)2
+ 42
= r2
25 = r2
Por lo tanto, la ecuación pedida es
x2
+ y2
= 25
50

51. 9. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia x2 + y2 = 1 es
Solución :
Para encontrar que puntos pertenecen a la circunferencia unitaria basta sustituir las coordenadas de
estos en la ecuación x2 + y2 = 1. Veamos
p
2
2
+ ( 1)2
= 2 + 1 = 3 6= 1
p
3
2
!2
+
1
2
2
=
3
4
+
1
4
= 1
(1)2
+ (1)2
= 1 + 1 = 2 6= 1
( 1)2
+ ( 1)2
= 1 + 1 = 2 6= 1
(2)2
+ (1)2
= 4 + 1 = 5 6= 1
Por lo tanto el único punto perteneciente a la circunferencia es
p
3
2
;
1
2
!
10. La ecuación de una circunferencia es x2+y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia
es el punto ( 2; 4). La ecuación de la cuerda es:
Solución :
Sea l la recta que contiene a la cuerda, sea n la recta que pasa por el punto medio de la cuerda y el
origen, entonces, la pendiente de dicha recta n es
m1 =
4 0
2 0
= 2
como la recta n es perpendicular a la recta l; entonces su pendiente es
m2 =
1
m1
=
1
2
por tanto, la ecuacion de la recta l es
y y0 = m (x x0)
y 4 =
1
2
(x + 2)
2y 8 = x + 2
x 2y + 10 = 0
51

52. 11. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de
las rectas 3x + 3y = 15 y 2x + 2y = 22 es :
Solución :
Encontremos el punto de intersección de dichas rectas, lo que es equivalente a resolver
8
<
:
3x + 3y = 15
2x + 2y = 22
cuyas solución es el par (2; 3). Ahora bien
22
+ 32
= r2
4 + 9 = r2
13 = r2
Por lo tanto, la ecuación es
x2
+ y2
= 13
12. Una parábola cuyo foco es F(0; 6) y la ecuación de la directriz es y = 6, tiene por ecuación:
Solución :
La coordenada del foco es (0; p) ; entonces el eje de la parabola es el eje Y; por tanto, su ecuacion es
x2
= 4py
x2
= 24y
13. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco
p
2; 0 es :
Solución :
Dado que el foco tiene por coordenadas
p
2; 0 , entonces p =
p
2 y la ecuación solicitada es
y2 = 4
p
2 x = 4
p
2x
14. El foco y la directriz de la parábola 2y x2 = 0 son :
Solución :
La parabóla que tiene por ecuación 2y x2 = 0 es una parábola cuyo eje focal esta sobre el eje y.
Vista de otra forma la ecuación anterior es x2 = 2y, de donde 4p = 2, es decir, p =
1
2
. Por lo
tanto, las coordenadas del foco son 0;
1
2
la directriz es la recta y =
1
2
52

53. 15. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 0) y directriz x = 4 es :
Solución :
Como el foco de la parábola es (4; 0) y directriz x = 4, entonces p = 4. Por lo tanto, la ecuación
buscada es y2 = 4 (4) x = 16x
16. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje Y , vértice en el origen y que pasa por
( 2; 2) es :
Solución :
Como la parábola tiene eje de simetría al eje y y pasa por el punto ( 2; 2), entonces estamos
tratando con una parábola vertical y por ende dichos puntos cumplen la relación
x2
= 4py
en particular tenemos
( 2)2
= 4p ( 2)
4 = 8p
p =
1
2
En consecuencia, la ecuación de la parábola es x2 = 2y
17. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la ecuación de la elipse con eje
focal en el eje y es :
Solución :
Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dado por 2a y la distancia focal por 2c,
con los datos del problema obtenemos
2a = 16
a = 8
2c = 8
c = 4
53

54. Pero a2 = b2 + c2, es decir,
b2
= 82
42
= 64 16
= 48
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es
x2
48
+
y2
64
= 1
18. Si la excentricidad es
4
5
y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es :
Solución :
Como la distancia focal es 16, entonces
2c = 16
c = 8
pero al sustituir los valores de e y c en
e =
c
a
tenemos
4
5
=
8
a
4a = 40
a = 10
Ahora encontremos
b2
= 100 64
= 36
Finalmente, la ecuación de la elipse es
x2
100
+
y2
36
= 1
19. La excentricidad de la elipse 2x2 + 4y2 = 8 es :
Solución :
54

55. La ecuación de la elipse 2x2 + 4y2 = 8 en su forma canónica es
x2
4
+
y2
2
= 1
De manera que
c =
p
4 2
=
p
2
Por lo tanto, la excentricidad es
e =
p
2
2
20. La ecuación de la elipse que pasa por 3; 2
p
3 , con vértice correspondiente al eje menor (0; 4) es :
Solución :
Como uno de los vértice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y estamos tratando
con una elipse vertical. Así el punto 3; 2
p
3 debe cumplir la relación
x2
b2
+
y2
a2
= 1
es decir,
32
b2
+
2
p
3
2
42
= 1
b2
= 36
Por lo tanto, la ecuación es
x2
36
+
y2
16
= 1
21. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son ( 1; 0) y sus focos ( 2; 0). Entonces su
ecuación es :
Solución :
Según los datos del problema a = 1 y c = 2, por lo cual
b2
= 4 1
= 3
La ecuación de la hipérbola es
x2
1
y2
3
= 1
55

56. 22. Los focos de la hipérbola 4x2 9y2 = 36 son :
Solución :
La hipérbola 4x2 9y2 = 36 puede ser vista como
x2
9
y2
4
= 1
de donde a2 = 9 y b2 = 4, y por lo tanto
c2
= 9 + 4
c =
p
13
En consecuencia, las coordenadas de los focos son
p
13; 0
23. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, longitud del eje transverso 12 y pasa por el punto
(8; 14) es:
Solución :
La longitud del eje transverso es
2a = 12
a = 6
la ecuación está dada por
x2
a2
y2
b2
= 1
sustituyendo los valores dados, obtenemos
82
62
142
b2
= 1
b = 6
p
7
la ecuacion buscada es
x2
36
y2
252
= 1
24. Las asíntotas de la hipérbola 25y2 16x2 = 400, son :
Solución :
Como la hipérbola tiene por ecuación 25y2 16x2 = 400, entonces a2 = 16 y b2 = 25, es decir,
a = 4 y b = 5. Lo cual implica que las directrices son las rectas
y =
4
5
x
56