El documento describe funciones cuadráticas y parábolas. Explica que una función cuadrática puede escribirse como f(x) = ax2 + bx + c, y que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Detalla cómo encontrar los cortes con los ejes, el vértice y cómo dibujar la gráfica de una parábola dada su ecuación. Resuelve ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN
1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula
el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del
estanque como muestra el siguiente dibujo: . La anchura del camino ha de
ser constante en todo el contorno.
Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
¿Para qué valor de x es A = 100?
Actividad resuelta
3. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y
que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función
del número de bajadas del precio.
Observa la tabla:
euros descuento 0 1 2 x
Precio 30 30-1 30-2 30-x
Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x
Ingresos 30.500
(30-1)·(500+100.1) (30-2)·(500+100.2)
(30-
x)·(500+100.x)
Los ingresos obtenidos son
siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

2. Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la comof(x) = a x2 + b x + c,
donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9
Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
Completando la gráfica obtengo:

3. Actividades resueltas
4. Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la
figura:
a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas
cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de
ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las
coordenadas de B.
c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de
la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).
d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
, que nos proporciona las soluciones
aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el
segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la
parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por
tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento ,
es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda
coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

4. Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y
su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I.
Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones
aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos
que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la
parábola
y = x2 - x + 1.
a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A
pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).
b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x =
0 y x = 1. Luego B = (1,1).
c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es
decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las
coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).
d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,
y = 22-2+1=3. C = (2,3).
Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá
hallar el vértice de forma inmediata.
Obtención general del vértice

5. Sea la parábola y = ax2 + bx + c
Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .
Igualando:
a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la
solución x = -b/a.
La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y
- b/a, es decir, p = - b/2a
Ejemplo
Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).
Actividad
6. Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
Cortes con los ejes
Observa las parábolas:
a. y = - x2 + 2x + 3

6. Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos
la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será
(0,3).
b. y = x2 - 4x + 4
Puntos de corte con el eje X:
Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona
un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
Punto de corte con el eje Y: (0,4).
c. y = x2 - 2x + 3

7. Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo
tanto, no tiene cortes con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: (0,3)
Actividades
7. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)
8. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
9. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el
eje Y sea (0,4).
10. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
Representación gráfica de una parábola
Actividades resueltas
11. Dibuja la gráfica de y = x2 - 2x - 8

8. Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9.
Por tanto, el vértice es V(1,-9).
Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1
por la izquierda y por la derecha.
Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8.
Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).
12. Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.
Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.
Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).
Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:

9. 13. Dibuja la gráfica de
Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
La 1ª coordenada del vértice es
La segunda coordenada será: .
El vértice es, pues, V(2,-1)
Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:
Resumiendo:
Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces:
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente
a de x2 .
Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.
Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.

10. Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .
Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0 y pueden ser
dos, uno o ninguno.
La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.