Solucionario 5to secundaria

Quinto Año de Secundaria

Solucionario

quinto año de educación secundaria

-1-

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)

Factorial de un número
NIVEL I Resolución 7
1 (n + 3 )!
Resolución 1 · = 10
3 (n + 1)!
E = (n + 2)! – 2(n+1)!
(n + 3)! = 30(n + 1)!
E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]
(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!
∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D
(n + 3)(n + 2) = 30
Resolución 2
∴ n=3 Rpta.: B
7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 !
M= = =
6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! Resolución 8
42 − 2 (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880
M=
6−2
(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880
∴ M = 10 Rpta.: E
(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880
Resolución 3 (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880
1 1 1 1 (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72
E= = = =
4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5
x–1=5
4 4
E= = Rpta.: E ∴ x=6 Rpta.: B
3!· 4 · 5 5!
Resolución 9
Resolución 4
1 1 (n + 1) 1 (x − 1)! (x + 2 ) = 5
E= − = − x! 3
n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)!
n +1 1 n + 1− 1
3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!
E= − =
(n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 3x + 6 = 5x
E=
n ∴ x=3 Rpta.: B
∴ (n + 1)!
Rpta.: D

Resolución 10
Resolución 5
(n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] m!(n + 1)! m!(n + 1) n!
R= E= =
(n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! (m + 1)! n! (m + 1)m! n!

n!n n!· n · n n! n2 n+1
R= = = ∴ E= Rpta.: B
(n − 1)! n(n − 1)! n! m+1

∴ R = n2 Rpta.: B Resolución 11

Resolución 6 11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8!
R= =
(n + 2)! = 6 (n + 2)(n + 1)n! = 6 121· 8! 121· 8!
à
n! n! 11 10· 9 + 10· 9 + 9
·
R=
(n + 1)(n + 2) = 6 121
Resolviendo:
∴ R=9 Rpta.: B
∴ n=1 Rpta.: A

-2-


Resolución 12 Resolución 3
 (n + 1)!  (n + 3 )! (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)!
2 − =6 P= ( )
 n!  (n + 2)!
n! (n − 3)!
(n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)!
2· (n + 1)n! (n + 3)(n + 2)! = 6 P= ( )
− n! (n − 3)!
n! (n + 2)!
P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2
2n + 2 – n – 3 = 6
∴ P=n Rpta.: C
∴ n=7 Rpta.: C

Resolución 4
Resolución 13
( x − 5)! 2 ( x − 4 )!
(x + 6 )! − (x + 2)! = 44 =
( x − 3)! ( x − 2)!
( x + 4)! x!
( x − 5)! 2 ( x − 4 )!
( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 =
( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )!
(x + 4 )! x!
1 2
(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 = x–2 = 2x – 8
x−4 x−2
8x + 28 = 44
∴ x=6 Rpta.: D
∴ x=2 Rpta.: D
Resolución 5
Resolución 14
( x − 2)!+ (x − 1)! = 720
(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2 x
(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2 (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x
(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2 (x–2)!(1+x–1) = 720 x
[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n (x–2)! = 6! x–2= 6
[(n–1)!]2[n] = 36n ∴ x=8 Rpta.: B
(n–1)! = 6
(n–1)! = 3! Resolución 6
(n – 1) = 3 (n + 4)! − (n + 3)! = 25
∴ n=4 Rpta.: C (n + 2)! (n + 2)!

(n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25
NIVEL II (n + 2 ) (n + 2 )!
n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25
Resolución 1
n2 + 6n + 9 = 25
n!
R= − n2 ∴ n=2 Rpta.: C
(n − 2)!
n (n − 1)(n − 2)! Resolución 7
R= − n2 = n2 − n − n2
(n − 2)! 
A=
(n + 1)!+ n!   (2n + 3)! 
 
∴ R = –n Rpta.: D 
 (2n + 1)!+ (2n + 2)!   (n + 2)! 
 

Resolución 2 
A=
(n + 1)n!+ n!  (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!
·
(2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!
  (n + 2)(n + 1· n!
)
n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1)
M=  =  =
(n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! =
n!  n + 2 
  ·
( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)!
(2n + 1)!  2n + 3 
  ( n + 2 )(n + 1)n!
n· n· n! n· n· n (n − 1)!
M= =
(n − 1)! (n − 1)! 2 (n + 1)
=
n +1
∴ M = n3 Rpta.: C
∴ A=2 Rpta.: B

-3-

Resolución 8 (13· 12)2 (11!)2 13· 12· 11 10!
·
−
(n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! 2
(12 + 1) (11!) 2 10! (1+ 11)
(n + 6 )!+ (n + 5 )!
(13· 12)2 − 13· 12· 11
(n + 7)!(n + 5)! = 10! (13 )2 12
(n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)!
(12)2 – 13· 11
(n + 7 )! (n + 5)! = 10!
(n + 5)! [n + 6 + 1] ∴ 1 Rpta.: A
Resolución 12
(n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 6)! = 10! (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24
(n + 7 )
(119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24
n + 6 = 10
(119! 120)x!! =(5!!)24!
∴ n=4 Rpta.: E
(120!)x!! = (5!!)24!
Resolución 9 (5!!)x!! = (5!!)24!

R=
(a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! x!! = 24! x!! = 4!!
(a!!+ 1)! (a!!+ 1)! ∴ x=4 Rpta.: B

R=
(a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) Resolución 13
(a!!+ 1)!
5 5 5
∴ R = a!! Rpta.: B = =
5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1)
Resolución 10 5 1 4 4
= = = Rpta.: D
E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!! 3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5!
·
E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!
E = (n!!–1)! n!! – n!!! Resolución 14
E = n!!! – n!!! (n + 2)! = 5+
(n + 12)!
∴ E=0 Rpta.: C n! (11+ n)!
Resolución 11 (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)!
(13!)2 13! n! (n + 11)!
2
−
2 10!+ 11!
(12!) + 2 (12!11!) + (11!) (n+2)(n+1) = 5+n+12
(13!)2 − 13! n2 + 3n+2 = 5+n+ 12
(12!+ 11!)2 10!+ 11! n2 + 2n = 15
∴ n=3
(13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10!
(12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10! ∴ Suma valores = 3 Rpta.: C

ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)

NIVEL I
Resolución 2
Resolución 1

5 pantalones 3 blusas

N° maneras = 5 × 3
N° maneras = 6 × 4
∴ N° maneras = 15 Rpta.: C
∴ N° maneras = 24 Rpta.: D

-4-


m 5
...................← Personas
V2 = 20
5
--------------- ← asientos
m! m (m − 1) (m − 2 )! N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1
= 20 = 20
( m − 2 )! (m − 2)! ∴ N° maneras = 120 Rpta.: C
m(m–1) = 4 × 5

∴ m=5 Rpta.: C Resolución 10

Resolución 4
A B C D ← asientos
N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3
Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-
∴ N° maneras = 360 Rpta.: B
mos.
N° maneras = 4!
Resolución 5
∴ N° maneras = 24 Rpta.: B
3 : anillos:
4 : dedos
N° maneras = 4· 3· 2 Resolución 11

∴ N° maneras = 24 Rpta.: C N = a b c d > 6000
6523

Resolución 6 N° maneras = 1· 3· 2· 1

10 : amigas ∴ N° maneras = 6 Rpta.: D

6 : invitadas Resolución 12
10· 9· 8· 7
N° maneras = C10
6 = 8· 7· 6· 5
1 2· 3· 4
· C8 =
4
1 2· 3· 4
·
∴ N° maneras = 210 Rpta.: B ∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B

n N = abc
  = 15
 4 números: {1; 2; 3; 4; 5}
n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) N° maneras = 5· 4· 3
= 15 ∴ N° maneras = 60 Rpta.: D
1 2· 3· 4
·
n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3
Resolución 14
∴ n=6 Rpta.: B  n + 1  n 
 :  ... (1)
 n   n − 1
Resolución 8
Entonces:
x x
C5 + C6 = 28  n + 1  n + 1   n + 1
 = =  = n+1
C5 + C6 = C6 +1 = 28
x x x  n   n + 1− n   1 

( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28  n   n  n
1 2· 3· 4· 5· 6
·  = = =n
 n − 1  n − (n − 1)   1 
(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 En (1):

∴ x=7 Rpta.: C n+1
∴ Rpta.: D
n

-5-

x
C5 = 21  p + q (p + q)! = (p + q)!
 =
 p  p! (p + q) − p  !
  p! q!
x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 )
= 21
1 2·3· 4· 5
· Además:
x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3  p + q  p + q   p + q
 = = 
∴ x=7 Rpta.: E  q   (p + q) − q   p 

∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B
NIVEL II

4 : biólogos → se escogen 2

3 : químicos → se escogen 2

De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos 5 : matemáticos → se escogen 3
De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos
N° maneras = 9· 9 = 81 N° maneras = C4 · C3 · C5
2 2 3
Quitamos los 9 caminos de ida.
N° maneras = 81 – 9
 4·3  3·2  5·4·3 
∴ N° maneras = 72 Rpta.: B N° maneras =  1· 2  ·  1· 2  ·  1· 2 · 3 
     

Resolución 2 ∴ N° maneras = 180 Rpta.: C
N° maneras = 7· 6 · 5
∴ N° maneras = 210 Rpta.: D Resolución 9

x
Resolución 3   = 0 ..... (1)
 10 
Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que:
N = a bc d e  m
↓ ↓↓ ↓ ↓  =0 ⇔ m<n ∧ m>0
98765 n
N° formas = 9· 8·7· 6· 5 En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
∴ N° formas = 15120 Rpta.: C
Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9
Resolución 4 ∴ Producto: 9! Rpta.: D
L I B R O → 5 letras
N° palabras = 5!
Resolución 10
∴ N° palabras = 120 Rpta.: B
 n + 1  n   n   n + 1
−
Q= + + + 
Resolución 5  2   1  n − 1  n − 1
25· 24 Se sabe que:
C25 =
2
12
·
 m  m 
 = 
∴ N° partidos = 300 Rpta.: D  n   m − n

 n + 1  m + 1
n  n   n
Resolución 6  =  y  = 
 n − 1  2   n − 1  1 

N° diagonales = C8 − N° lados Luego:
2
 n + 1  n    (n + 1)n 
8 ·7 Q = 2   +   = 2  + n
N° diagonales = 1· 2 − 8   2   1   12
· 

∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B ∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B

-6-


 n  n −1 
 +  = 99
 n + 1  n − 2 
Se sabe que:
 m
 =0 ⇔ m < k N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1
k 
∴ N° maneras = 120 Rpta.: E
 n 
 =0
 n + 1 Resolución 13
Luego: 3 : entradas → se toma 1
n −1  n −1  3 : de fondo → se toma 1
0+  = 99   = 99
 n − 2  (n − 1) − (n − 2)  5 : postres → se toma 1
3 3 5
N° maneras = C1 · C1 · C1
 n − 1
  = 99 n – 1 = 99
 1  N° maneras = 3· 3· 5
∴ n = 100 Rpta.: D ∴ N° maneras = 45 Rpta.: A

BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)

NIVEL I

Resolución 1

A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5

= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5

B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +

7(1)(3a)6 + (3a)7

=1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7

C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 +

462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11

= 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9

+ 11b10 – b11

6
 1 6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6
D)  x − x  = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )
 
= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6
4
 2 1
E)  z + 2  = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4
 z 

=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8
6
 3 x3 
F)  4−  = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +
x 4 
 

15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6

−24 729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18
= 729x − x + x − x + x − x + x
2 16 16 256 512 4096

-7-

 11 A) (2x – y)4
A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 =   x11−6 y6
6  4 1
coef(t2) = coef(t1+1) =  1  2 (−1)
3
∴ t7 = 462x5y6  
∴ coef(t2) = – 32
 21
B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 =   a21− 4b4 B) (3a + b)6
4
∴ t5 = 5985 a17 b4  6 4 2
coef(t3) =   (3 ) (4 ) = 19440
10 10 −9 9
 2
 1 1  10   1   −1
C) a − b ; t10 = t9+1 =    b
   9  a     x 2 y2 
10

C)  − 
 y x 
∴ t10 = – 10a-1 b-9  
10  10−8
8
 2 2 
7
 7  2 7 − 7  −2 
7
coef(t9) = coef(t8+1)=  10  (1) ( −1)8 = 45
D) x y − 2 

 xy 

; t8 = t7+1 =  7  x y
 
( ) 2
 xy 
 
8
 

D) (–a + 12)5
∴ t8 = –128x-7y-14  5 5−4
coef(t5) = coef(t4+1) =  4( −1) (12)4 = −5·124
 10   
10−10
E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 =  10  (2a ) ( −b )10
  E) (p 2 v 2 –1)14
∴ t11 = b10
 14 
coef(t8) = coef(t7+1) =  7  (1)14-7(–1)7 = –3432
4 1  
 1   4  4 −1  −1 
F)  1−  ; t2 = t1+1 =   (1)  
 xyz  1   xyz  F) (2x2y + xy3)8
8
∴ t2 = –4x-1y-1z-1 coef(t5) =   (2)8-4 (1)4 = 1120
 4

Resolución 4
5
 2 1
( )
5
2 −1
 3x − x  = 3x − x
 
5
 2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5
 3x − x  = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )
 
5
 2 1 10 7 4 -2 -5
 3x − x  = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x
 
A) coef(t4) = –90
B) t3
C) No existe el término independiente de x:

Resolución 5
Nos piden:
 2
12 (x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k=7
3
 2 − 3xy 
x y



(
= 2x y −2 −1
− 3xy )
3 12
Luego:
tk+1 = t7+1 = t8
12−k
 12   2 
(−3xy3 )
k
A) tk+1 =  k   2   12 
  x y 
  B) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
 
 12  (y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k=6
tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
 
∴ tk+1 = t6+1 = t7

-8-


 12   3 3 −k
C) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 =  k  (3 ) (−1)k (q)15−6k
   
(x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k=8 (q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k=1
∴ tk+1 = t8+1 = t9  3  3 −1 1 15−6·1
t1+1 =   (3 ) ( −1) (q)
 12  1 
D) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
  ∴ t2 = –27q9
y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k=3
Resolución 7
∴ tk+1 = t3+1 = t4
( )
10
2x+ 3
Resolución 6
10 
(2p + q)11
( ) ( ) ( ) ( 3)
A) 10 10 9
2 x+ 3 = 2x +  2x
 11  1
tk+1 =  k  (2p)11-k(q)k
   10 
( ) ( 3)
8 2
+  2x
qk = q9 k=9 2
 11
( )
10
tk+1 = t9+1 = t10 =  9  (2p)11-9(q)9 ∴ 2 x+ 3 = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...
 
∴ t10 = 220 p2q9
Resolución 8
10
 1
B) q−  (1 + 3x2)6
 pq 
6
(3x2 )  6 k
6 −k k 2k
 10   −1 
k tk+1 =  k  (1) =   (3 ) ( x )
tk+1 =   q10−k     k 
k  pq 
6 0 2·0
 10  k −k 10− 2k t0+1 =  0  (3 ) (x ) t1 = 1
=   (−1) (p ) (q)  
k 
(q)10-2k = q9 10 – 2k = 9  6 6 2·6
t6+1 =  6  (3) ( x ) t7 = 729x12
 
1
k=
2 Luego:
t1 · t7 = 1· 729x12
Como k ∈
∴ Producto de los coeficientes = 729
∴ No existe el término
C) (p2 – q3)7
NIVEL II
 7 2
( ) ( )
7 −k k
tk+1 =  k  p −q3
  Resolución 1

 7 k 14 −2k (x – 3y)5
=   ( −1) (p ) (q)3k
k 
 5 5− 5
(q)3k = q9 3k = 9 k=3 t6 = t5+1 =  5  (x ) (−3y )5
 
Luego:
∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D
 7 3 14− 2·3
t3+1 =  3  (−1) (p) (q)3·3
 
∴ t4 = –35p8 q9 Resolución 2

3 (2 – x)11
 5 1
D)  3q −   11 11− 7
 q
t8 = t7+1 =  7  (2) ( −x )7
 
k
 3
( )
3 −k  −1
tk+1 =   3q
5 t8 = –5280x7
 
k   q
∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D

-9-

n
(2a + b)5 2 x
 + 
 x 2
 5 5−1 1
t2 = t1+1 =   (2a ) (b ) = 80 a b
4 n−k K
 n  2  x  n  n− 2k
 1 tk+1 =      2  =  k  ( 2) ( x )2k −n
k x     
∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C Para el término independiente:
(x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2k
Resolución 4 Pero: k + 1 = 4 k=3
7 Entonces: n = 2· 3 n=6
 y
 3x −  Luego: tk+2 = t3+2 = t5
 2
La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos  6  6−8 8−6 15 2
t5 =   ( 2 ) (x ) = x
∴ No hay término central Rpta.: E  4 4

15
Resolución 5 ∴ coef(t5) = Rpta.: C
4
(2x – y)6
6 6− 3 Resolución 9
t4 = t3+1 =   (2x ) ( −y )3
 3
13
 3 x2 1 
∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D  +5 
 2 
x

Resolución 6

( ) (x )
13 − k k

tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3
4 2 1
−
 1 5
x − 2 
k

 x 
26 13k
k  13  k −13 −
 4  4 −k  −1   4  k 4 −3k tk+1 =   ( 2) ( x ) 3 15
tk+1 =   ( x )  2  =   ( −1) ( x )
k   x  k  k

Del dato: El término indenpendiente:
26 13k
4 − 0 26 13k
x4-3k = x0 4 – 3k = 0 k=
3 (x ) 3 15 =x − =0 k = 10
3 15
Como k ∈ tk+1 = t10+1 = t11
∴ No hay término independiente Nos piden el t10 k=9
26 13·9
Rpta.: E  13  9−13 −
t10 =   ( 2) (x ) 3 15
Resolución 7 9 
(2x – 1)5 13
715 15
 5 5 −k k  5 5 −k k 5 −k ∴ t10 = x Rpta.: A
tk+1 =   (2x ) ( −1) =   (2 ) ( −1) ( x ) 16
k  k 
Resolución 10
 5  5− 2 2 5− 2
t3 = t2+1 =   (2 ) ( −1) ( x ) = 80x 3 120
2  1
 x + 
 x
 5  5−4
t5 = t4 + 1 =   (2 ) ( −1)4 (x )5−4 = 10x  120  120−k  1   120  120−2k
k
 4
tk+1 =   (x )  x  =  k x
 k     
t3
= 72 80x 3
Luego: = 72
t5 10x Como es de grado 100
∴ Rpta.: C 120 – 2k = 100 k = 10
x = ±3
∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E

- 10 -




9 (1 + x)3n
2 0,5 
 0,4x + x 
   3n  3n−k k  3n  k
tk+1 =   (1) (x ) =   x
9 −k  0,5 k
k k
9
(
tk+1=   0,4x
k 
2
)  x 
   3n  k +1
tk+2 =  x
 9  9− 2k k − 9 18− 3k  k + 1
=   (2 ) (5 ) ( x )
k   3n  2k −4
t2k-3 =  x
Término independiente:  2k − 4 

(x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k=6 Como los coeficientes son iguales se tiene:

 9  9 −2·6 6 −9 18 −3·6  3n   3n 
Luego: t6+1 =   ( 2) ( 5) ( x )  =  (k + 1) + (2k – 4) = 3n
 6  k + 1  2k − 4 
3k – 3 = 3n
t7 = 0,084 Rpta.: C
∴ k = n+1 Rpta.: A

BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
Pág. 58

Resolución 5  1   1   1 
  2   2 − 1  2 − 2  
1
t4 =       32x =  1  ⋅ 32x
(1− 2x ) 5  1· 2· 3   16 
 
 
 1 1  
t5  1
= T4 +1 =  5  (1)5 −4 ( −2x )4 = 5  4
4
   4  16x ∴ t4 = 2x

  1  1  1  1  Resolución 7
  5  5 − 1 5 − 2  5 − 3  
       · 16x 4
 1 2· 3· 4
·   −3 
  E= 
   33 

 −21  4 E=
( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32)
= 16x 1 2· 3· 4· 5· ..... ·33
·
 625 

E=
(−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 )
−336 4 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33
· 12
·
∴ t5 = x
625
∴ E = –595


1  −15   −15   −15 
 1 2 E= + + 
 1 + x3   3   4   5 
4 
   −15 + 1  −15 
E= + 
 4   5 
1 3
 1 −3  1   1
 2   1 2  3  2  −14   −15 
  E= + 
t4 = t3+1 =    4 
3   x  =   32x
3   4   5 
     
E=
(−14 )(−15)(−16 )(−17 )
1 2· 3· 4
·

- 11 -

+
( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) Resolución 10
1 2· 3· 4· 5
· −2
 1 −3 −9 
∴ E = – 9248 2x − x 
 

Resolución 9 k
−2 −k  9
(
 −2 
)  −2  k + 2 6 − 3k
 −  (2 ) ( x ) 2
tk +1 =   2−1x −3
1 x 2  =  k
(x 2
−3 ) 2
 k
Término indenpendiente:
   

 1 1  1 3k
 2  2 −2
t3 = t2+1 =   x
2  ( )
  −3
2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 )
 
2 
6−
2
=0 k=4
   
 1  1  Entonces:
  − 1
( )
2 2  −9 3·4
t3 =   9x −3 = 3  −2  4 +2 6−
1· 2 8x t4+1 = t5 =   (2 ) (x ) 2
 4
−9 ( −2)( −3 )( −4 )( −5)
Si: x=3 t3 = (2)6
8· 33 t5 = 1 2· 3· 4
·

∴ t3 = (–24)-1 ∴ t5 = 320

CAPÍTULO 3
LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)

5
Resolución 1 log x 2 = 0,4
2
log a = x 5 2 2 2
log x = logx =
log 10a = log10 + loga = 1 + loga 5 5 5

∴ log10a = 1 + x Rpta.: E ∴ logx = 1 Rpta.: B

log p = x log p = q
1 p
log 3 p = logp log   = log p − log r
3 r
x p
∴ log 3 p = Rpta.: D ∴ log   = q − log r Rpta.: B
3 r

loga = m ; logb = n  1
logx + log   = logx + logx-2 = logx – 2logx
 x2 
a 1 a 1
log = log   = (loga − logb )
b 2 b 2  1
∴ logx + log   = –logx Rpta.: C
 x2 
a m−n
∴ log = Rpta.: B
b 2 Resolución 8
2
Resolución 4 2 2
log5 3 25 = log5 5 3 = log5 5 = · 1
3 3
log 103 = 3log10 = 3· 1
2
∴ log 103 = 3 Rpta.: D ∴ log5 3 25 = Rpta.: D
3

- 12 -


Resolución 9 7 4
log 102 + log2 2 − log 5
5
logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103
= logx–log1000 2log 10 + 7log 2 − 4log 5
2 5

 x  2+7–4
∴ logx–3 = log   Rpta.: E 5 Rpta.: B
 1000 


log2 a = x log0,01+ log 0,0081= log10-2 + log (0,3)4
0,3 0.3
x + 1 = log2 a + log2 2
= –2log10 + 4 log (0,3)
∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D (0,3)

=–2+4= 2 Rpta.: C
log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2) log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625
2 2 2
log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)
log
(0,25)(0,125) = log (0,03125)
Rpta.: D 2 0,0625 2 (0,0625 )

Resolución 12
log (0,5) = log 2−1 = −1log 2
log(x2–x) = logx(x–1) 2 2 2

∴ log(x2–x) = logx + log(x–1) =–1 Rpta.: E
Rpta.: A
Resolución 20
Resolución 13
 1  1  1 
log   − log   + log 
5  125 
11
3 2 11 12 2  16  3  81 
log 216 6 = log 63 = : log6 6
12 3 5
36 5 36
65 log 2−4 − log 3−4 + log 5−3
2 3 5
55
= Rpta.: C −4log 2 + 4log 3 − 3log 5
36 2 3 5

–4+4–3
Resolución 14
∴ –3 Rpta.: D
log 0,064 = x log (0,4)3 = x
0,4 0,4
Resolución 21
3log 0,4 = x
0,4 log3 = 0,47 , log5 = 0,70

∴ x=3 Rpta.: D log75 – log125 + log45 =
75 · 45
log = log27 = log33 = 3log3
Resolución 15 125
−2 = 3(0,47)
2 9
log x = −2 x=  x=
2 3 4 =1,41 Rpta.: B
3
Rpta.: E
Resolución 22
Resolución 16
log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70
2
log (a2 − 2ab + b2 ) = log (a − b) 35
(a −b) (a −b) log35 – log14 = log
14
= 2 log (a − b) = 2 Rpta.: E
(a −b)
5
= log = log5 − log2
2
Resolución 17
log 35 – log14 = 0,70 – 0,30
log 100 + log 128 − log 625
2 5 ∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B

- 13 -

log 2 log 2
1
+
1
log 36 log 36
= log (2) + log (3)
36 36
243
3
= 35 ( ) 3

2 3
log 2 5·log 2 log 25
3 3 3
= log (2· 3) = log 6 243 = (3) = (3) = 25
36 36
log 2
1 ∴ 243 3 Rpta.: E
= 32
1 2
= log (36) = log 36
36 2 36
Resolución 29
1
= Rpta.: C logx + log(x–3) = 1
2
logx (x–3) = log10
Resolución 24 x(x–3) = 10

log 3 = x ∴ x=5 Rpta.: C
2

log 64 = log 26 = 6log 2
24 24 24 Resolución 30
 1   1  log x log3
= 6  = 6  10 − 10 = 2x − 5
log 24 
 2 log (8· 3) 
 2
x – 3 = 2x – 5
 1   1  ∴ x=2 Rpta.: B
= 6  = 6 
log 8 + log 3 
 2  3log 2 + x 
2 2 NIVEL II

6
= Rpta.: B Resolución 1
3+x
3x
 1 1
( )
x −4 2
log  =x = 2 2 2 =2
Resolución 25 2 2  16  16

3
log (5x − 3) − log x = 1 −4 = x
2 2 2

(5x − 3) 8
log = log 2 ∴ x=− Rpta.: A
2 x 2 3

5x − 3 Resolución 2
=2 5x – 3 = 2x
x
∴ x=1 Rpta.: B (I) log 32 = 5 32 = 25 ... (V)
2

Resolución 26 (II) log 1= 0 1=(2000)0 .... (V)
2000

log (2x + 21) − log x = 2  1 1
3 3 (III) log   = −4 = 2−4 ... (V)
2  16  16
 2x + 21 2 2x + 21 2
log   = log3 3 =3 ∴ VVV Rpta.: D
3 x  x

2x + 21 = 9x Resolución 3
∴ x=3 Rpta.: A log 27 = a
12
Resolución 27
log2 24 4log2 2
log a + logb = log(a + b) log 16 = =
6 log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3
log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b
4 ........................... (1)
b log 16 =
∴ a= Rpta.: D 6 1 + log2 3
b −1

- 14 -


3log2 3
Pero: log 27 = a =a 52  5
12 2log2 2 + log2 3 = log = 2log  
2 22 2 2

3log2 3 2a
=a log2 3 =   10  
2 + log2 3 3−a = 2 log  2   = 2[log 10 − 2log 2]
2
 2  2  2

Reemplazando en (1) 1 
= 2 log 10 − 2 = 2  − 2 
 
4  10x   x 
log 16 =
6 2a 2 − 4x
1+ =
3−a Rpta.: D
x
12 − 4a
∴ log 16 = Rpta.: E Resolución 8
6 3+a
log y
Resolución 4 (log5 x ) 5 =y
log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024 log y
log (log x )
2 3 4 5 1023 5 
= logy

 5 

log3 log4 log5
log1024 log6
· · · ..... log y log (log x ) = logy
log2 log3 log4 log5 log1023 5  5 

log (log x ) = log5 log x = 5
log1024 log210 5 5
= = 10 Rpta.: B
log2 log2 x= 55 = 3125
∴ ∑ cifras = 11 Rpta.: C
Resolución 5
log2 = a ∧ log3 = b Resolución 9
log 4 + log 1 4
3
log 752 =
2
3
2
log75 = log 52 · 3
3
( ) E=
2
2 =
log2 22 + log −1 22
2

=
2 2
log52 + log3 = [2log5 + log3]
log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34
3 3
3 3
( )
3  3

2  10   2−2
= E=
 2log   + log3 5−4
3  2 
2 ∴ E=0 Rpta.: E
=  2 (log10 − log2) + log3
3 
Resolución 10
2
=  2 (1− a ) + b
3 
log 2 = a ∧ log 3 = 2b
5 5
2
∴ log 3 752 =
3
[b − 2a + 2] Rpta.: D log
5
1
2 5
1
300 = log 300 = log 102·3 
2 5
 
 ( )
1 1
Resolución 6 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3]
2
2 5 5  2 5 5
2 4 6
logx = + − 1
7+ 5 11 + 7 11 + 5 =  2 (log 5 + log 2 ) + log 3 
2 5 5 5 
0
=
( 7+ 5 )( 11 + 7 )( 11 + 5 ) =
1
2
 2 (1 + a ) + 2b 

logx = 0 x = 100
∴ x=1 Rpta.: B ∴ log 300 = a + b + 1 Rpta.: E
5

Resolución 7
Resolución 11
log2 = x 2 = 10x
log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1
 2,5 
log 2,5 − log (0,4) = log  log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10
2 2 2  0,4 


- 15 -

(2 − x )(3 − x ) = log10 log x
2
log x
2 10
2· x
log x
2
=2
10
log x +x =2
2
( )
log x
(2 − x )(3 − x ) = 10
log x
2 log2  x 2  = log2 29
 
x = 29  
2
Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2
log x · log x = 9log 2
2 2 2
(log2 x )2 = 9
∴ CS = {7; –2} Rpta.: 23 = x ⇒ x = 8

log x = ±3  −3 1
Resolución 12 2 2 = x ⇒ x =
 8
log x − 8log 2=3 1
2 x2 Suma = 8 +
8
logx 8log2 65
− =3 ∴ Suma = Rpta.: D
log2 2logx 8
2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2)2 =0
2logx 2 log2 Resolución 16
logx – 4log2 log a + log a2 = k
(1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2 x2 x3

(2) : logx – 4log2 = 0 logx = log24 1 2
log a + log a = k log a =
6k
2 x 3 x x 7
x = 16
1 6k
Luego: x = 16 =
log x 7
a
∴ x =4 Rpta.: D
7
∴ log x = Rpta.: C
Resolución 13 a 6k

1
log x − 21 = 1− logx Resolución 17
2
 x2 
1
logx 3 − log16 = log  
2  2 
log x − 21 = log10 − logx  
logx3 – log24 = logx2 – log2
10
log x − 21 = log logx3 – logx2 = 4log2 – log2
x
10  x3 
x − 21 = x(x–21) = 100 = 4· 25 log  2  = log23 x = 23
x x 
 

∴ x = 25 Rpta.: A ∴ x=8 Rpta.: E

Resolución 14
Resolución 18
x + log(1+2x) = xlog5 + log72 6 6
 10   10 
log10x + log(1+2x) = log5x + log72 xlog x =  6  = 0 log[x ]
log x
= log  6 
 x  x
log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]
10x(1+2x) = 5x· 72
logx · logx = 6 log10 − log 6 x 
x x
 
2x 5 (1+2x) =5 ·23· 32
(logx)2 = 6 – logx
2x(1+2x) = 23· 32 2x(1+2x)=23(1+23)
(logx)2 + logx – 6 = 0
∴ x=3 Rpta.: C
Resolviendo:
Resolución 15
x1 = 102 ∧ x2 = 10-3
log2 x log2 x
2 2
+x = 1024
Luego: x1 · x2 = 102· 10-3
log x
(2 )
2
log2 x
+ xlog2 x = 210 ∴ x1 · x2 = 10-1 Rpta.: B

- 16 -


Resolución 19 Luego: x3 = 23

n 10
logn ∴ x3 = 8 Rpta.: E
log (2x − 1) + log ( x − 1) =n
log(2x–1)n + log(x–1)n = n Resolución 24
n log(2x–1) + nlog(x–1) = n antilog x = antilog · colog 3 log 3
4 2 6 3
log(2x–1) + log(x–1) = log10
antilog x = antilog · colog · log 1 33
log(2x–1)(x–1) = log10 4 2 6 32
(2x–1)(x–1) = 10
antilog x = antilog · colog 6
4 2
∴ x=3 Rpta.: B 6

Resolución 20
antilog x = antilog · − log
4 2
( 6
)
6 = antilog · − log 62
2 ( 6
)
x + ab − x − ab = ab antilog x = antilog ( −2)
 4 2
(x) 4x = 2-2 22x = 2-2
x + ab + x − ab = logy 
(x + ab)–(x – ab) = ab logy ∴ x = –1 Rpta.: D
2ab = ab logy 2 = logy log102 = logy
Resolución 25
∴ y = 100 Rpta.: E
16 + 8log2 x = log2 x − 4
Resolución 21
Sea: log2x = a
log2 x + logx 2 5
= 16 + 8a = a − 4 16 +8a = a2 – 8a + 16
2 − logx 2 3
a = 16 log2x = 16 logx = ± 4
1 logx = log104
log2 x +
log2 x 5
= ∴ x = 104 Rpta.: B
1 3
2−
log2 x Rsolución 26

2 (
Ln Ln (Ln (Lnx )) = 0 )
3 (log x ) + 3 = 10 (log x ) − 5
2 2
2
(
Ln Ln (Ln (Lnx )) = Ln1 )
3 (log x ) − 10· log x + 8 = 0
2 2
Ln(Ln(Lnx )) = 1 Ln[Lnx ] = e1
Resolviendo: x1 = 4 ∧ x 2 = 23 2
Lnx = ee
Luego: x1· x2 = 4 ·23 2 e
∴ x= ee Rpta.: D
∴ x1· x2 = 83 2 Rpta.: B
Resolución 27
Resolución 22 Lnx
Lnx + 42 = Lnx13
log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,47
2x = 24 2x = 23· 3 Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx
log2x = log(23· 3) (Lnx)2 + 42 = 13· Lnx
xlog2 = 3log2 + log3 (Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0
x(0,3) = 3(0,3) + 0,47
Resolviendo la ecuación de 2do grado:
∴ x = 4,5 Rpta.: B
Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6
Resolución 23
Lnx1 = 7 x1 = e7
antilogx· antilogx x = 16
Lnx2 = 6 x2 = e6
x
antilogxxx = 16 x x = 16
x1· x2 = e7· e6
xx 22 ∴ x1· x2 = e13 Rpta.: E
x =2 x=2

- 17 -

Resolución 28 Entonces:
1 10
(10y)2 – y2 = 11 y= ∧ x=
R = 3 colog 0,04 + antilog 2 3 3
5 5

1 100 Por lo tanto:
colog 0,04 = log = log = log 52 = 2 10 1
5 5 0,04 5 4 5
x+y = +
3 3
antilog 2 = 52 = 25
5 11
∴ x+y= Rpta.: D
3
Entonces:
Resolución 30
R = 3 2 + 25
1+ 2logx – log(x+2) = 0
∴ R=3 Rpta.: C
log10 + logx2 = log(x+2)
Resolución 29 log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2
x2 – y2 = 11 10x2 – x – 2 = 0
x 1 2
logx – logy = 1 log   = log10 Resolviendo: x1 = ∧ x 2 = − (no)
 y 2 5

x  1
= 10 x = 10y ∴ C.S =   Rpta.: C
y 2 

CAPÍTULO 5
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)

Resolución 1
• Se observa que:
Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-
ces: (–θ)+ x = 180°
x – θ = 180° .... (1)

• Además:
(–α) + 90° + β = 180°
–α + β = 90°
–2α + 2β = 180° .... (2)

• Igualando 1 y 2 :
(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180°
x – θ = –2α + 2β
30x – 30 = 180
x=7 Rpta.: C x = θ + 2β – 2α Rpta.: D

Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativos
tenemos: En la figura se observa que:

- 18 -


• Entonces se cumple: Resolución 7
(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°
De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:
ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270
(11x + 50°) –(–560°) = 720°
(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0
11x + 610° = 720°
• Aplicando la definición de polinomios x = 10° Rpta.: B
identicamente nulo se tiene:
a − m = 0 → a = m Resolución 8
 Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ.
b − n = 0 → b = n
c − p = 0 → c = p
 • Luego de acuerdo al enunciado:
• Finalmente: i) 0° < a < 90°
a b c α = α
+ + = 1+ 1+ 1 
m n p α β θ β = 7α
ii) = =
1 7 13 θ = 13α
a b c 
+ + =3 Rpta.: E
m n p • Además: θ – β = 360°n
13α – 7α = 360° n
Resolución 4
α = 60° n
Analizando la figura se tiene que: n = 0 → α = 0° ¡No!
n = 1 → α = 60° ¡Si !
n = 2 → α = 120° ¡No !
∴ θ = 13(60°)
θ = 780° Rpta.: A

θ+(–α)+ β = 2 vueltas Resolución 9
θ – α + β = 2(360°) Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton-
θ – α + β = 720° Rpta.: A ces:
α 19 19
= → α = β ... (1)
β 3 3
Resolución 5
α – β = 360°n ... (2)
Analizando el gráfico observamos que:
• Reemplazando (1) en (2):
19
β − β = 360°n
3
16
β = 360°n → β = 67,5°n
3

θ + x = –720° • Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:
– α + x = –360° n=1 → β = 67,5°
θ –(–α) = –360° • Luego en (1) tenemos:
θ = –360° – α Rpta.: C 19
α= (67,5° ) → α = 427,5°
3
Resolución 6 ∴ α = 427°30' Rpta.: A
Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° se
obtiene: Resolución 10
−3106° 360° 854° 360° 5186° 360° Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:
134° − 9 134° 2 146° 14 α – β = 360°n
Observando los residuos de estas divisiones se concluye (7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°n
que:
10x2 = 360n
α y β son coterminales Rpta.: A
x= 6 n

- 19 -

Para que a tome su mínimo valor, x ∈ +
tambien debe 3θ + 2x = 18° (x3)
 → 9θ + 6x = 54°
tomar su mínimo valor, entonces: 2θ – 3x = 90° (x2) 4θ – 6x = 180°
 →
n=1 → x=6
Finalmente: 13θ = 234°
α = (7·62 + 1)° θ = 18°
• Reemplazando en 1:
α = 253° Rpta.: D
3(18°) + 2x = 18°
Resolución 11 x = –18°
• Finalmente:
Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces:
E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B
α + β = 600° ... (1)
α – β = 360°n ... (2)
Resolución 14
• De 1 y 2 :
α = 300° + 180° n Siendo α y β ángulos coterminales tal que:
pero: 400° < α < 600° β – α = 360° n ... (1)
n = 0 → α = 300° ¡No! α 1
= → β = 5α ... (2)
n = 1 → α = 480° ¡Si! β 5
n = 2 → α = 660° ¡No! • Reemplazando 2 en 1:
En 1: 480° + β = 600° 5α – α = 360°n
β = 120° Rpta.: C α = 90°n
pero: 100° < α < 200°
Resolución 12 n = 2 → α = 180°
En la figura se cumple que: • En 2 :
x + α° + (–β)° = 180° β = 5(180°)
x = 180° – (α° − β° ) β = 900° Rpta.: E
Suplem.(x)

∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B Resolución 15
Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cada
Resolución 13 Del enunciado: ángulo entre 360°:
3θ + 2x = 18° ... (1) 1370° 360° 2450° 360° −3310° 360°
• En la figura se observa que: 290° 3 290° 6° 290° − 10
2θ − 3x = 90° ... (2)
• Observamos que los residuos son iguales, luego:
• Resolviendo 1 y 2 :
α, β y θ son coterminales Rpta.: D

CAPÍTULO 6
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176)

NIVEL I • Nos piden:
M = 3(54) –4(40) = 162 – 160
Resolución 1
M=2 Rpta.: B
• De 1:
10g
36° < > Ag Ag = 36° × = 40g Resolución 2
9°
Realizando las conversiones al sistema sexagesimales:
A = 40
9°
• De 2 : 30g ⇔ 30g × = 27°
10g
9°
B° <> 60g B° = 60 ×
g
= 54° π 180°
10g rad < > = 20°
9 9
B = 54

- 20 -


• Reemplazando en la expresión pedida: • Nos piden:
45° + 27° 72° 3 3
E= = A B= 3 × 45 = 3 27 = 3
20° 20° 5 5
E = 3,6 Rpta.: C
3
A B=3 Rpta.: C
5
Resolución 3 Recordemos que:
S = 180k Resolución 7 Sabemos que:
S C R
= = =k → C = 200k

180 200 π S C
R = πk
 = → 10S = 9C → 10S – 9C = 0
9 10
Reemplazando en la expresión pedida:
• Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:
π2 (2 × 200k + 180k )(2 × 200k − 180k )
E = [2R + π] = 1
0
P=
400 ( πk )
2

E=1 Rpta.: B
π2 (580k )(220k ) 580 × 220
P= =
400π k
2 2
400 Resolución 8
P = 319 Rpta.: A • De la condición tenemos:
S = 2n + 2 (x 3)
 → 3S = 6n + 6
Resolución 4 Tenemos que:
C = 3n – 4 (x 2)
 → 2C = 6n – 8
S C S = 9n
= =n →  3S – 2C = 14 ... (I)
9 10 C = 10n
• En I se tiene que:
• Reemplazando en la condición dada:
 180R   200R 
2 (9n) − 9 (10n) + 4 3  − 2  π  = 14
=  π   
3 2
540R 400R
6n – 3 = 5n + 2 → n=5 − = 14
π π
• Nos piden “S” , entonces:
140R = 14 π
S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C
π
Resolución 5 R= rad Rpta.: D
10
 180R
S = π
 Resolución 9
• Sabemos que: 
C = 200R
 • Teniendo en cuenta que:
 π
S = 180K ; C = 200K , R = πK
• Reemplazando en la condición dada: • Reemplazando en la condición dada:
200R 180R 180K 200K
− =3 + = 14
π π 6 5
20R 1
=3 70K = 14 → K =
π 5

3π  1
R= rad Rpta.: E ∴ R = π 
5  
20
π
R= rad Rpta.: A
Resolución 6 5

• Se tiene que:
Resolución 10
π 180°
rad < > = 3,75° = 3°45' • Calculando la suma tenemos:
48 48
°
A = 3  360 (360 + 1) 
α=  = 64980°
∴ A°B’ = 3°45’ →   2 
B = 45

- 21 -

• Expresamos “α” en radianes: • Se observa que el menor ángulo es A, entonces:
 πrad   πrad 
α = 64980° ×   = 361 πrad
 180°  A = 60° – 12° = 48° <> 48°×  180° 
ˆ
 
∴ α = 361 πrad Rpta.: C
ˆ 4π rad
A= Rpta.: D
15
NIVEL II
Resolución 5
Resolución 1
• Expresando la medida de los ángulos del cuadrilatero
• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te-
en el sistema sexagesimal tenemos:
nemos:
ˆ
m( A ) = (13x + 10)°
 9° 
13g90m<> 13,9g <> 13,9g ×  g   9°  45
 10 
m ( B ) = 25(x + 1)g ·  g  = (x + 1)°
ˆ
 10  2
13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’
ˆ
m( C ) = 90°
A = 12

A°B’C’’ = 12°30’36’’ → B = 30  xπ   180° 
C = 36 ˆ
m( D ) =   rad·  = 12x°
  15   πrad 

• Reemplazando en lo pedido: • Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos:
A + C 12 + 36 ˆ ˆ ˆ ˆ
m( A )+ m( B )+ m( C ) + m( D ) = 360°
= = 1,6 Rpta.: C
B 30
45
(13x + 10)° + (x+1)° + 90° + 12x° = 360°
2
Resolución 2
45 45
• Sabemos que: S = 180K 13x + 10+ x+ +12x = 270
2 2
C = 200K
R = πK 95 475
x= → x=5 Rpta.: C
• Reemplazando en la expresión a reducir: 2 2

U=
(40000K 2
− 32400k 2 π2 ) Resolución 6
76 π K ( 2 2
) • Trabajando en la condición:

7600K2 π2 180R   200R 
U= = 100 Rpta.: D 4  − 3  π  + 10R = 12 + π
76π2K2  π   
120R
+ 10R = 12 + π
Resolución 3 π
• En la condición tenemos: 120R + 10Rπ = (12+π)π
C + S 19
= 10R(12+π) = (12+π)π
SC 72
200K + 180K 19 π
= ∴ R= rad Rpta.: E
180K·200K 72 10
380K 19 1
= → K= Observación:
36000K2 72 25
El problema también lo podemos resolver aplicando
1 π
∴ R = π = rad Rpta.: A el siguiente método:
 25  25

Resolución 4 Del enunciado: 4S – 3C + 10R = 12 + π

ˆ ˆ ˆ
A + B + C = 180° Igualamos los términos
que presentan la constantes “π”
α – 12° + α + α + 12° = 180°
π
∴ α = 60° 10R = π → R= rad
10

- 22 -


Resolución 7 4R 9π
+ 12 + = 25
• De la propiedad de las proporciones notamos que: π R
2C + S 5π + 9R 2C 5π 4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0
= → =
2C − S 5π − 9R S 9R
(R – π)(4R – 9π) = 0
10  5π π
2  = → R = rad Rpta.: B i) R=π → S = 180°
 9  9R 4
9π 9(180)
Resolución 8 ii) R= → S= = 405°
4 4
• A partir de la condición hallamos el valor de “x”:
• Nos piden el mayor valor, entonces
S C x 2 − 1 9x − 2
= → = S = 405° Rpta.: C
9 10 9 10
10x2 – 81x + 8 = 0 NIVEL PREUNIVERSITARIO
 1
x = Resolución 1
(10x – 1)(x – 8) = 0 →  10
x = 8 • Resolviendo la ecuación dada tenemos:


pero: x ∈ → x=8 18 − S = 3 4 S
• Reemplazando tenemos: S + 3 4 S − 18 = 0
S = (8)2 – 1 = 63
( 4
S +6 )( 4
)
S −3 =0
 π  7π
R = 63   → R= rad Rpta.: B i) 4
S = −6 ¡Absurdo!
 180  20
ii) 4
S = 3 → S = 81°
Resolución 9
 π  9π
• Analizando la figura tenemos: ∴ R = 81 = rad Rpta.: A
 180  20

Resolución 2
• Reemplazando los datos en la igualdad:
S C 3x 2 + x − 8 2x 2 + 5x + 5
= → =
9 10 9 10

12x2 – 35X – 125 =0
 −25
x= ¡No!
∆APQ (ángulo exterior) (12X +25)(X – 5) = 0 →  12
 x=5

x = 20° + y
• Reemplazando el valor de “x” se obtiene:
 πrad 
x – y = 20° ·   S = 3(5)2 + (5) –8 = 72
 180° 

π  π  2π
rad ∴ R = 72   = 5 rad Rpta.: C
x–y= Rpta.: D 180 
9


• Elevando al cuadrado la condición tenemos: • A partir de los datos tenemos:
2
 R π
 = [5]
2
2 +3
 π
 R


4R  R   π  9π
+ 2 2  3 + = 25
π  π  R R
  

- 23 -

ˆ ˆ
m( A ) = m( B ) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g Resolución 6

5x − 3 7x − 25 • Recordemos la siguiente propiedad algebraica:
= → x = 15
9 10 I. b = 0 ∧ a ≠ 0
ab = 1 → 
• Luego: II. a = 1 ∧ b ∈
ˆ
m( A ) = (5×15–3)° = 72° • Analizando para el caso I :
ˆ
m( B ) = 72° C–S–1=0
ˆ
m( C ) = 180° – 72° – 72° = 36° C–S=1
πrad π 200R 180R
ˆ
∴ m( C ) = 36° × = rad − =1
180° 5 π π

Rpta.: B π  S=9
R= → 
20  C = 10
Resolución 4
• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ) Pero si reemplazamos en la condición del problema
se observa que:
1
α = (a – r)°  α + β + θ = 4 (180°)  2 × 9 10 
0

  9 − 10 − 1 = 1
  
β = a°  (a – r)° +a° + (a + r)° = 45°
0 0 = 1 ¡Absurdo!

θ = (a + r)°  ∴ a = 15
 • Analizando para el caso II :
• Además:
2S C
a + r = (a –r)2 − − 1= 1
9 10
15 + r = (15 – r)2 20S – 9C = 180
r2 – 31r + 210 = 0
 180R   200R 
20   − 9  = 180
 r = 21 ¡No!  π   π 
(r – 21)(r – 10) = 0 → 
 r = 10 π
R= S = 18
→ 
∴ α = (15 – 10)° = 5° 10 C = 20

 πrad  π Comprobando en la condición del problema tenemos:
α = 5°×   = 36 rad Rpta.: A
 180° 
[1]
(20 −18 −1)
=1

Resolución 5 11 = 1 ¿Correcto!

• En la figura se cumple que: π
∴ R= rad Rpta.: C
g 0 10
 x   y 
xm <> – yll →   < > −  3600 
 100   
Resolución 7

−
y x • De acuerdo al enunciado se cumple que:
S C
= → 3600 = 100 0
9 10 9 10  a 
aI<>bg →   <> bg
 60 
−y x x 5 a
= → =− ... (I)
162 5 y 162 60 = b → a = 54b
9 10
• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos: • Reemplazando en la expresión pedida:
75x 75  5  3 125
=3 − = − 54b − 5b
4  162 
3
4y   216 E= = 49 = 7 Rpta.: D
b

75x 5
∴ 3 =− Rpta.: E Resolución 8
4y 6
• Analizando la expresión dada tenemos:

- 24 -


α = 14 – (x2 – 4x)
−60°
α = 18 – (x2 – 4x + 4) φ= = 30°
−2
α = 18 – (x – 2)2
π
máximo mínimo = 0 φ = rad Rpta.: C
6
α máx. = 18°
π
α máx = rad Rpta.: C Resolución 10
10
• Aplicando el método explicado en el problema 06
Resolución 9
tenemos:
• Del gráfico se cumple que:
S5 C5 5R5
a b
+ + = 2S4 + 2C4 + 2R4
120° −  +  φ = 180° 36 40 π
b a 
Términos que presentan la
a b  constante “π”
 b + a  φ = −60°
  Nota:
5R5
a b ∴ = 2R4 → 5R = 2π
−60° + ≥2 π
φ= b a
 b
b + 
máx( + )
a b 2π
  + ≤ −2 R= rad Rpta.: B
b a 5
máx(-)

CAPÍTULO 7
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DEL
SECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191)

• En el sector circular COD:
Resolución 1 LCD = COD × OC
• Del enunciado tenemos: π π
2π = × 4r 45° < > rad
L=α·r 4 4

 π r = 2m
α = 20° < > rad
→  9
• En el sector circular AOB:
r = 9m

L AB = AOB × OA
π
L = ·9 π
9 L= ×2 OA = r = 2m
4
L = πm Rpta.: A
π
L= m Rpta.: D
Resolución 2 2
• En la figura se cumple que:
Resolución 4
L = (3x + 4)m • Analizando la figura:

α = 2rad
L=αr → 
r = (2x + 1)m

3x + 4 = 2(2x + 1)
3x + 4 = 4x + 2
∴ x=2 Rpta.: B

- 25 -

α·r 2 i) L1 = m ( CAD )·AC
S1 =
2
π
L1 = ·12 = 4πm
2α·(2r)2 3
S2 = = 4αr 2
2 ii) L2 = m( AOB)·OA
• Nos piden:
π
α·r 2 L2 = ·24 = 4πm
6
S1 1
= 2 = Rpta.: E Nos piden:
S2 4αr 2 8
L1 + L2 = 4π + 4π = 8πm Rpta.: E
Resolución 5
• En el gráfico se cumple que: Resolución 8
• Del gráfico se obtiene:
m( AOB)·(OA )
2

S AOB =
2 L2AB (3)2 9 2
i) S1 = = = m
2θ 2θ 2θ
π
·(2x)2
2x → x2 – 3x = 0 L2CD 9
3π = ii) S2 = S COD – S1 = −
2 2θ 2θ
x = 0 ¡No!
x(x – 3) = 0 →  (5)2 9 16 2
x = 3 S2 = − = m
2θ 2θ 2θ
∴ x=3 Rpta.: C
• Nos piden:
Resolución 6 16
• En la figura se cumple que: S2 2θ = 16 = 4
=
S1 9 9 3 Rpta.: A
i) L AB = m( AOB)·OA 2θ

π Resolución 9
L AB = ·12 = 3πm
4
• Segun la figura se cumple:
ii) LCD = m( COD)·OC i) L AB = θ · OA
2 = θ · OA
π
LCD = ·16 = 4πm
4 ii) LCD = θ · OC
• Luego: nos piden:
4 = θ ·(OA + 2)
 L + LCD 
S =  AB ·BD 4 = θ ·OA + 2θ
 2 
4 = 2 + 2θ
 3 π + 4π  ∴ θ=1 Rpta.: A
S= ·4 = 14π
 2 
Resolución 10
 22 
S = 14   = 44m2 Rpta.: D
 7  • En el gráfico se verifica que:

Resolución 7  L AB + LCD 
S ABDC =  ·AC
• Analizamos la figura:  2 

 ( x − 1) + ( x + 1) 
9= ·x
 2 

9 = x2 → x = {–3; 3}
∴ x=3 Rpta.: D

- 26 -


NIVEL II 14 = θr + 5θ

Resolución 1 14 = 4 + 5θ
θ = 2rad
• Analizando la gráfica:
• Reemplazando en (1):
4 = 2· r → r = 2m
• En el sector circular COD:
LCD = m( COD)·OC

LCD = θ·(r + 3)

i) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1) LCD =2(2 + 3)
π 
ii) Sector AOB: 2L =  − α ·r ... (2) LCD = 10m
2 

Dividendo m · a· m (1) : (2) L 10m
• Nos piden: = = 5 Rpta.: B
r 2m
3L α·2r 3 2α
= → =
2L  π  2 π −α
 − α r 2
Resolución 4
2 
• Trasladando los datos al gráfico tenemos:
3π 3π
− 3α = 4α → α= B
2 14

Resolución 2
• Analizando la figura:

ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m)
∴ m A = m D = 45°

Asom = A ABD – ASector BAC
π
( )
2
·2 2
2 Asomb. = 2 2·2 2 − 4
OBC: R2 = r2 + 5 2 2
R2 – r2 =5 Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C
• Además:
S ABDC = S COD – S AOB
Resolución 5
2π 2 2π 2
·R ·r
S ABCD = 5 − 5 • Analizando la gráfica:
2 2

π 2 2 π
S ABCD =
5
(
R − r = (5)
5
)
S ABCD = πm2 Rpta.: A 2α

Resolución 3
• En el sector circular AOB:
L AB = m( AOB)·OA • Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen-
cia:
4 = θ · r ........... (1) m BOC = 2m BAC → m BOC = 2α°
• En el sector circular EOF:
• En el sector BOC:
LEF = m( EOF)·OE
 πrad 
L = 2α°· ·R
14 = θ · (r + 5)  180° 

- 27 -

απ Resolución 8
L= R
90 • En la figura:
90L
R= Rpta.: B
πα

Resolución 6

• Sea: m AOB = θrad ; entonces:

L 8 10
θ= → θ= =
R r r+2

∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m
• Luego:
L AB · r 8·8
Asomb. = = = 32m2 Rpta.:E
2 2
• Del enunciado:
Resolución 9
S AOB 1
= →S COD = 4·S AOB
S COD 4 • Sea : m CoD = θ rad = θ rad; luego :

θ(a +1) 2
Reemplazando:
S1 = ..... (1)
L22 L2 2
= 4· 1 → L22 = 4L2
2θ 2θ 1

θ (2a )
2

L2 S2 = − S1 ..... ( 2 )
L2 = 2L1 → =2 Rpta.: C 2
L1
Dato: S1 = S2

θ (2a )
2

S1 = − S1
Resolución 7 2
2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)
• Sea: m AOB = θrad ; luego:
2 θ (a + 1)
2

= θ ⋅ 2a 2
2
a2 + 2a + 1 = 2a2
0 = a2 – 2a – 1

2 ± 4 − 4 ( −1)
a=
2

2± 8
L AB = θ ·1 = θm a=
2
LCD = θ · 3 = 3θm 2±2 2
a=
LEF = θ · 6 = 6θm 2
⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)
• Además:
a = 1 + 1,41
 θ + 3θ 
S1 =  ·2 = 4θm
2
∴ a = 2,41 Rpta. E
 2 

 3θ + 6θ  27 2
Resolución 10
S2 =  ·3 = 2 θm
 2 
• De acuerdo al gráfico:
• Nos piden:
αx 2
S1 4θ 8 2 i) S1 =
3 = =3 = 2
S2 3 27 θ 27 3 Rpta.:A
2 ii) S2 = S DOE – S BOC

- 28 -


αy 2 αx 2 • Además:
S2 = −
2 2 Asomb. = A AOB – A OBC
• De la condición:
π
( ) π
( )
2 2

S1 = S2 2 3 2 3
Asomb. = 2 −3
αx 2 αy 2 αx 2 2 2
= −
2 2 2
2 = y2 – x2 →
Asomb. = 3π – 2π = πm2 Rpta.:D
x 2x2 = y2
x2 1 x 2 Resolución 3
= → =
y2 2 y 2 • En la figura se cumple que:
x S ABDC = 5
∴ = 0,71 Rpta.: C
y
 2 + LCD 
 ·2 = 5
 2 
NIVEL PRE-UNIVERSITARIO
LCD = 3m
Resolución 1
• Analizamos la gráfica: • Además:
S ABDC = S COD – S AOB
2 2
L L
5= CD
− AB
2θ 2θ

10θ = 32 – 22 → 10θ = 5
θ = 0,5 Rpta.: E

i) El ∆AOC es equilátero: Resolución 4
OA = OC = AC = 12m • Analizamos el siguiente caso general:
m AOC = m OAC = m ACO = 60°
απ
Además:
Asomb. = 180
(R
2
− r2 )
AC = AD → AD = 12m 2

ii) En el sector circular AOC:
απ 2
π Asomb. = ·a
L AC = ·12 = 4πm 360
3
iii) En el sector circular CAD:
• Aplicando la fórmula anterior tenemos:
π
LCD = ·12 = πm
12 1 π 2 2·π 2
· π 8π
Asomb. = ·1 + ·2 = +
360 360 360 360
• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton-
ces:
π 2
Asomb. = m Rpta.: D
2p = AD + LAC + LCD = 12 + 4π + π 40
2p = 5π + 12 Rpta.: D
Resolución 5
Resolución 2
• Del gráfico se obtiene que:
• Revisando la figura tenemos: LBC = 2L1
i)

L2
1
ii) S1 =
2θ
∆BOC: equilátero
iii) S2 = S DOE – S BOC
m OBC = 60°
(2L1 )
2
L2
S2 = 2 2θ − 2 2θ
2

( ) ( )

- 29 -

L2 L2 Resolución 8
S2 = 2
− 1
4θ θ • Analizando la figura:
• De la condición se tiene:
L2 L22 L2
S1 = S2 →
1
= − 1
2θ 4θ θ

3L2 L22
1
= → 6L2 = L22
2 4 1

L1 6
6 L1 = L2 → L = 6 Rpta.: D
2

i) R + r = 4 ; R·r = 2
Resolución 6 (R + r)2 = (4)2
• En la figura se observa que: R2 + 2Rr + r2 = 16

π  R2 + 2(2) + r2 = 16
m( AOB) =  − θ  rad
2  R2 + r2 = 12

De la condición se tiene que: 4 2·4 2
ii) S ABC = = 16
2
π 
( )
2
 2 − θ · 2 2  θ·(1)2  R2 πr 2
S1 = 2S2 →   = 2  iii) S1 = ; S3 =
2 4
2  2 
 
πR2 r2
S2 = ; S4 =
π  4 2
4  − θ  = θ → 2π – 4θ = θ
2  • De gráfico se observa que:

Asomb. = S ABC –(S1 + S2 + S3 + S4)
2π
∴ θ= Rpta.:D
5  R2 πR2 πr 2 r2 
Asomb. = 16 –  2 + 4 + 4 + 2 
 

Resolución 7  R2  π  r2  π 
Asomb. = 16 –  2  1+ 2  + 2  2 + 1 
• Según el enunciado tenemos:     

 π   R2 + r 2 
Asomb. =16 –  1+ 2   
  2 
2p = 8
a + b + 2x = 8  π  12 
Asomb. = 16 –  1+  
 2  2 
a + b = 8 – 2x
Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A
• Además:

Resolución 9
a + b   8 − 2x 
A= x → A= x
 2    2  • De acuerdo a los datos:

A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2)2 2p = 2

Máx Mín = 0 L + 2r = 2

∴ Amáx = 4m2 Rpta.:D 2 −L
r=
2

- 30 -


• Además: • Además:
 2 −L 
L×
 2   b
L×r
S= → S=   L AB = α · a → α =
2 2 a
2
1  2 a
2 L−L 2 − L −  L CD = α (a + b ) → α =
S= → S= 2  2 
 a+b
4
4
Por condición: S → máximo b a
= → ab + b2 = a2
2
a a+b
 2
Entonces:  L −
  → mínimo
 2 
 a2 – ab – b2 = 0

2 2 − ( −b ) ± ( −b) − 4 (1) (−b2 )
2
∴ L− =0 → L= Rpta.: E
2 2 a=
2 (1)

Resolución 10  1± 5 
b± 5b
• Analizando la figura tenemos: a= → a =  2 b
 
2  
ab
i) S1 =
2
1 + 5
a (a + b ) ab a2 
ii) S2 = − = a 1± 5 a  2
2 2 2 = → =
b 2 b 1 − 5 S2
¡No! >0
• Nos piden:  2
 S1
a2
S2 a
= 2 = S2 5 +1
S1 ab b ∴ = Rpta.:B
S1 2
2

NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)

Nivel I • Debemos calcular el número de vueltas que da la mo-
neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.
Resolución 1 α = 2π rad
α (R + r ) 
n= ; donde: R = 4r
• Del enunciado se tiene: 2 πr r = r
Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm Luego: 
Radio de la rueda = 20 cm
2π rad (4r + r )
Número de vueltas = n n= n = 5 Rpta. D
• Por teoría se sabe que: 2π rad r
longitud del tramo AB Resolución 3
n=
2π ⋅ radio
Del enunciado se tiene:
1800 π cm
n= n = 45 Rpta. C
2π ⋅ 20 cm

Resolución 2

• Del enunciado obtenemos r
el siguiente gráfico con sus Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego:
respectivos valores.
L
* Número de vueltas de B =
2π ⋅ radio

- 31 -

L Calculamos el número de vueltas en el tramo BC
8= L = 48π r
2π ( 3r )
π
L α (R + r ) (7 cm + 1 cm )
* Número de vueltas de A =
2π ⋅ radio nBC = = 2 nBC = 2
2π r 2π (1 cm )
48π r Además; el número de vueltas durante el tramo AC es igual
= = 12
2π (2r ) a la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.
Luego:
∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6
 ángulo que barre  Rpta. A
  = 12(360°) = 4 320° Rpta. A
 la rueda menor 
Resolución 7
Resolución 4
En la figura se observa que en cada vértice del triángulo
Del gráfico se obtiene: equilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio de
circunferencia. Entonces la longitud total recorrida por la
• n1 · r1 = n3 · r3
rueda será:
n1 · 10 cm = 3 · 40 cm n1 = 12
 2π (1 cm ) 
 = (44 + 2π ) cm
• n1 = n2 , además L T = 44 cm + 3 
 3 
L  
n2 =
2π r2 Ahora calculamos el número de vueltas
L
12 = L = 2 640 cm LT (44 + 2π ) cm
2π (35 cm ) n= n= n=8 Rpta. E
2π r 2π cm
• La longitud que asciende el bloque es L
Resolución 8
∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C
De la figura se obtiene lo siguiente:
Resolución 5 • Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación:
n2r · 2r = nr · r
n2r · 2r = 50 · r n2r = 25
• El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r son
iguales, entonces: n2r = n3r = 25
• Además la rueda de radio 3r es la mayor
Además: ∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π
L1 L Rpta. E
• n1 = • n2 = 2
2π R 2π r
L1 Resolución 9
L2
1= 3=
2 π (9 cm ) 2 π ( 4 cm ) • Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm,
entonces:
L1 = 18π cm L2 = 24π cm
L hA
n= =
Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24π cm 2π (7 cm ) 14π cm
x = 144 cm Rpta. E • La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismo
número de vueltas (n)
Resolución 6 • Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:
Calculamos el número de vueltas en el tramo AB n·2=N·8 , donde N es el número de vueltas
de la rueda de 8 cm de radio
α (R − r ) π (9 cm − 1 cm )
nAB = =
2π r 9 π (1 cm )
hA hA
nAB = 4 ⋅ 2 = N⋅ 8 N= . . . (1)
14π 56π

- 32 -


• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetros Ahora calculamos el número de vueltas
son iguales, entonces:
α (R + r )
hB h n=
N= N = B . . . (2) 2π R
2π (3 cm ) 6π
37π
• Igualando (1) y (2) se obtiene: (5r ) 37
n = 90 n= Rpta. B
hA h hA 28 2 π (4r ) 144
= B = Rpta. A
56π 6π hB 3
Resolución 13
Resolución 10
Graficando tenemos:
Datos de la 1a rueda:
bπ b
radio = a  n= =
 2π a 2 a
n° de vueltas de = n 
 a 1
long. de recorrido = bπ  =
b 2n
Datos de la 2a rueda:
n° de vueltas = N  3
 aπ a • 540° equivalente a una vuelta y media, n =
radio = 2
b  N= =
 2π b 2 b
long. de recorrido = aπ  • Calculamos la longitud recorrida
L = 2π r n L = 3π
a 1 1 1  1
Pero es equivalente a N= =
2  2n  4n
b 2n  
1 d = 9π2 + 4 cm Rpta. E
∴ La segunda rueda debe dar vueltas
4n
Rpta. D Resolución 14

Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio del
Nivel II
tubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da el
cilindro.
Resolución 11
α (R − r )
Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r de n=
2π r
radio (L2r)
L2r = 2π(2r) L2r = 4πr 2π ( 5r − r )
n= n=4 Rpta. B
Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.
2π r
L
n= , pero L = L2r = 4πr Resolución 15
2π ⋅ r
4π r Se sabe que:
n=
2π r = 2 nb =
L
2π radio
∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B
L
1= L = 2π b
2π ⋅ b
Resolución 12
Además en la pista circular se tiene:
Graficando tenemos: L1

72° < > 2p
5 2π
a a donde: L1 = ⋅a
5

- 33 -

2π Resolución 18
Pero: L = L1 2πb = a
5
Graficando tenemos:
a
=5 Rpta. E
b

Resolución 16 M
Tenemos:
1a rueda: 2a rueda: 3a rueda:
radio = a radio = b radio = x
n° de vueltas = n n° de vueltas = N n° de vueltas = n – N
longitud = longitud = longitud = • Calculamos la distancia recorrida
distancia = θ · 1 = θ
n= N= n−N =
2π a 2π b 2π x • En el PMO se tiene:

Luego: PM = sen(θ – 90°) PM = –cosθ
MO = cos(θ – 90°) MO = senθ
− = • Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces
2π a 2π b 2π x
x = θ – cos(θ – 90°) x = θ – secθ
1 1 1 ab y = 1 + cos(θ – 90°) y = 1 – secθ
− = x= Rpta. C
a b x b−a
∴ Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ)
Rpta. C
Resolución 19

Del enunciado se tiene:
Resolución 17

• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta

• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor

L L
n= n=
2 π (50 cm ) 100π cm

• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor

N=
L
N=
L Donde r = ( )
2 −1 R
2π (70 cm ) 140π cm
Además:
• Del enunciado se tiene:
R+r=R+ ( )
2 −1 R = 2R
L L Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:
− = 20
100π cm 140 π cm
 3π 
 α (R + r )   2 ⋅ 2R 
L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm n = 2  = 2 
 2π r 


(
 2π 2 − 1 R 


)
L = 7 000π cm
3 2
 22 
n= n se aproxima a 5 Rpta. D
L= 70  7  m L = 220 m Rpta. D 2 2 −2
 

- 34 -


Resolución 20 Además para que el material llegue al piso 12, el material
debe recorrer 11y, luego
Sean:
840π cm = 11y
x = número de pisos del edificio.
240 cm = y
y = distancia entre cada piso.
Luego: x · y = 48 m
Luego: x · y = 48 m
x · 2,4 m = 48 m
Calculamos la distancia que sube el material
x = 20
L
n= ∴ El edificio tiene 20 pisos Rpta. C
2π radio

L
21 =
2π (20 cm ) L = 840π cm

CAPÍTULO 8

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227)

NIVEL I

Resolución 1
• Nos piden:
• Aplicando el teorema de Pitágoras:
12 5 7
(a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2 M= − → M= Rpta.: C
13 13 13

a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16

4a = 16 → a = 4 Resolución 3

• En la figura: • En la figura se cumple que:

3 5 i) AB2 = 132 – 52
E= +
4 4 AB = 12
E=2 Rpta.: A
ii) AM = MB = 6

Resolución 2 • Nos piden:
• Del dato se tiene: 5
E= 6
5 → C. A 5 → E = 2 Rpta.: A
Cotg A =
12 → C . O 12

- 35 -

Resolución 4 • Nos piden:
x 40° x
• En la figura se tiene: = → =4 Rpta.: D
y 10° y
i) AC2 = 152 + 82
AC = 17 Resolución 9
ii) NC2 = 62 + 82 • A partir del gráfico se tiene:
NC = 10
AB
i) ABC: ctgα = → AB = a· ctgα
• Nos piden: a

17 8 191 x x
− ii) AHB: cos α = → cos α =
csc β − tgβ 8 .15 191 AB a·ctgα
P= = 8 15 = =
ctgβ − sec α 15 10 5 75 ∴ x = acosα ctgα Rpta.: D
−
8 8 8
Resolución 10
P = 2,5 Rpta.: D

Resolución 5 AB
i) ABC: ctgθ = → AB = a·ctgθ
a
BD
i) CD2 = 252 – 152 ii) DBC: tgθ = → BD = a·tgθ
a
CD = 20
iii) x = AB – BD = actgθ – atgθ
ii) BC2 = 252 – 242
BC = 7 ∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E
• Nos piden:
7 20 NIVEL II
+
Q=
3 25 25 = 3 27 = 3
5 125 5
Resolución 1
Q = 0,6 Rpta.: E • Del dato tenemos:
4
Resolución 6 senA · SenB =
9
• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementarios a b 4
se cumple que: · =
c c 9
(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90° 4 2
a·b = c
7x = 70° → x = 10° Rpta.: C 9
• Nos piden:
b a b2 + a 2
Resolución 7 E= + → E=
a b ab
• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que:
2x + 17° = x + 34° c2
E= 9 3
4 2 → E= =
x = 17° Rpta.: D c 4 2
9

Resolución 8 ∴ E = 1,5 Rpta.: D
• De 1 : x + y + 40° = 90°
x + y = 50° ... 3 Resolución 2

• De 2 : x – y = 30° .... 4 • En la figura:

x + y = 50°  x = 40°


x – y = 30°  y = 10°


- 36 -


2 Resolución 6
(2a)2 + 22 = 13
• En el numerador aplicamos las propiedades de las
4a2 = 9
R.T. de ángulos complementarios:
3
a= cos65° + ctg55° + csc66°
2 K=
cos65° + ctg55° + csc66°

2 4 x=1 Rpta.: D
• Nos piden: tgα = → tgα = Rpta.: D
3 3
2 Resolución 7
Resolución 3 • De acuerdo a los datos:
• Revisando la figura: 12a
→ cos θ =
13a

→ AB2 = (13a)2 – (12a)2
AB = 5a

• Además: 2p = 90
CM: mediana
5a + 12a + 13a = 90 → a = 3
AM = BM = CM • Nos piden: AC = 13a = 13(3)
AC = 39 Rpta.: C
∴ ∆BMC : Isósceles

Resolución 8
1
• En el ACB : ctgθ = Rpta.: C • Del dato se cumple que:
2
cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1
Resolución 4 sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1
• De acuerdo a los datos tenemos: → 90° – 2x + θ = x + 3θ
3x + 2θ = 90°
AC2 = (3a)2 – (a)2 ∴ sen 3x = cos 2θ
sen 3x – cos 2θ = 0
AC = 2 2 a
• Reemplazando en lo pedido:

sen3x − cos 2θ 0
P= =
• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces: tg(x + θ) tg(x + θ)

P=0 Rpta.: A
2 2a
tgθ = → tgθ = 2 2
a
Resolución 9
Rpta.: B
Resolución 5

• Aplicando las propiedades respectivas tenemos:

W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°

W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°

1 BC
i) ABC: ctgα = → BC = a· ctgα
1 a

W= 1 Rpta.: B BM
ii) ABM: tgθ = → BM = a · tgθ
a

- 37 -

• Además: BC = BM + MC 3
sec θ 3
a · ctgα = a · tgθ + a 22 = 22 → sec θ = 2
2
ctgα = tgθ + 1
ctgα – tgθ = 1 4
Secθ =
3
M=1 Rpta.: C

• Nos piden:
Resolución 10 2
 7  4 
• Revisando la figura: E = 9  − 7  =7−4

 3 
  7

E=3 Rpta.: C

Resolución 3
• De acuerdo a los datos tenemos:

AB
i) BAF: ctgθ = → AB = ctgθ
1

ii) AB = CD → CD = ctgθ
5 CD 5
3 i) cos θ = → =
iii) CDF: tg2θ = → tg2θ · ctgθ = 3 13 52 13
ctgθ
∴ CD = 20
∴ W=3 Rpta.: D
ii) AC2 = 522 – 202
AC = 48
NIVEL PREUNIVERSITARIO
• En el BCD:
Resolución 1 θ 48
tg = → tg θ = 2 ... 1
• De los datos se tiene: 2 52 + 20 2 3
θ 20
c tg = ... 2
3− 2 48 − x
a a
=
→ b b
• Igualamos 1 y 2 :
c
2 20
= → 48 – x = 30
a c  3a − c  3 48 − x
= ·
b b a 
 
x = 18 Rpta.: E
a2 = 3ac – c2
a2 + c2 = 3ac Resolución 4
• Nos piden: • De acuerdo a los datos:
a c a 2 + c2 i) c2 = a2 + b2 ... 1
U= + → U=
c a ac
c2 13
3ac ii) =
U= → U=3 Rpta.: B ab 6
ac
13
c2 = ab ... 2
Resolución 2 6

• De la condición tenemos: • Igualamos 1 y 2 :
2 2 1 13
sec θ
a2 + b 2 =
1
sec θ
= →2 2
⋅ 2 sec θ = 2 2 ab
22 2sec θ 6

- 38 -


6a2 – 13ab + 6b2 = 0 OD
(2a – 3b)(3a – 2b) = 0 ODC: cos θ = → OD = cos3θ
cos2 θ

a 3 • Nos piden:
 2a – 3b = 0 → =
 b 2 S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...

 a 2 S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ]
 3a – 2b = 0 → b = 3
S
• Sea A el menor ángulo, entonces S = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1
a 1
a<b → <1 S= Rpta.: B
b 1− cos θ

a
Además: tgA = Resolución 7
b
• En el gráfico se tiene:
2
∴ tgA = Rpta.: C BD
3 CBD : tgθ = → BD = tgθ
1

Resolución 5 1 1
ABC: tgθ = → tgθ =
• Del gráfico tenemos: 4 + BD 4 + tgθ
tg2θ + 4tgθ = 1
tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4
(tgθ + 2)2 = 5

E= 5 Rpta.: C

Resolución 8
3 3a BH = 3a
tgθ = = → 
7 7a • Analizando la figura:
CH = 7a

• En el BHC:

( )
2
(3a)2 + (7a)2 = 10 58
58a2 = 100 · 58
a = 10

• En el AHB:
AH = 86 – 7(10) = 16
BH = 3(10) = 30 3
2
AB = 162 + 302 = 34 En el EPF : ctgα =
7
2
• Nos piden:
16 34 50 3
M= + = ctgα = Rpta.: E
30 30 30 7

5 Resolución 9
M= Rpta.: E
3
• Analizamos la figura:

Resolución 6
De la figura se tiene:
OB
OBA: cos θ = → OB = cosθ
1
OC
OCB: cos θ = → OC = cos2θ
cos θ

- 39 -

i) OB = OC → R = r 2 + r → R – r = r 2 Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que:

BN r 2 BH
ii) O1NB: ctgθ = = i) OHB: senα = → BH = 12senα
O1N r 12
OH
cos α = → OH = 12 cosα
ctgθ = 2 Rpta.: A 12

HC HC
Resolución 10 ii) BHC: ctgβ = → ctgβ =
BH 12senα
• Trabajando la figura:
HC = 12senα · ctgβ
Además: OH + HC = OC, reemplazando:
12cosα + 12senα ctgβ = 13
Dividendo entre “senα”
12cos α 12senα·ctgβ 13
+ =
senα senα senα
12ctgα + 12ctgβ = 13cscα
13csc α − 12ctgβ
12 =
ctgα
En el OAC : OC2 = 122 + 52
∴ P = 12 Rpta.: C
OC = 13

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)

NIVEL I (
M= 2− 3 + ) ( 3)
M=2 Rpta.: B
Resolución 1
• Reemplazando los valores notables: Resolución 4
 1 • Analizando la figura tenemos:
A = 4   + (1) = 3
2

2

B = 2 2·2 = 2

∴ A+B=5 Rpta.: C

Resolución 2
De la condición:
1
. [tgα ]ctgα = [2]2 → tgα = 2 3k 3
MBC : ctgα = → ctgα = Rpta.: C
2k 2
 5 5
E = 2  
 1  2 
   Resolución 5
E=5 Rpta.: E • A partir del gráfico tenemos:
CD 2
Resolución 3 CDA: sen 45° = → CD = b ... 1
b 2
• Del dato se cumple que:
CD 3
(5x + 8°) + (2x – 2°) = 90° CDB: sen 37° = → CD = a ... 2
a 5
7x = 84° → x = 12°
• Igualamos 1 y 2 :
2 3 b 3 2
M = tg15° + tg60° b= a → = ·
2 5 a 5 2

- 40 -


b 3 2 Resolución 10
= Rpta.: C
a 5 • Del gráfico se tiene:
AC  5
Resolución 6 i) ABC: sec37° = → AC = 12   = 15
12 4
• Sean BP = BQ = x ; luego:
AD
38 + x 24 38 + x ii) ACD: sec45° =
ABC: tg74° = → = AC
4+x 7 4+x

96 + 24x = 266 + 7x → x = 10
→ AD = 15 ( 2 ) = 15 2

AE
PQ iii) ADE : sec30° =
PBQ: sec 45° = → PQ = 10 2 AD
x
2 3
Rpta.: E → AE = 15 2  3 
 
 
Resolución 7
• Recordemos que: tg75° = 2 + 3 AE = 10 6 Rpta.: A

ctg75° = 2– 3
P=2+ 3 + 2– 3 → P=4 NIVEL II

Rpta.: B Resolución 1
Resolución 8 • Analizamos el gráfico:

BH  1
AHB: cos60° = → BH = 8   = 4
8 2
PH 3
PHC: sen37° = → PH = 10   = 6 HC 4
10  5 AHC: cos37° = → HC = 10   = 8
10  5
PA
PHA: csc30° = → PA = 6(2) = 12 ∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8
6
∴ PA = 12 Rpta.: A BC = 12 Rpta.: A

• Analizando la figura: • De los datos tenemos:
B
i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1
3α = 90° – 2β
3α + 2β = 90° ... 1
ii) cos2α · sec(3β – 5°) = 1
2α = 3β – 5°
2α – 3β = –5 ... 2
i) ∆ABC: equilátero
3α + 2β = 90°  9α + 6β = 270°
(× 3)
→

ii) Trazamos PH AC 2α – 3β = –5  4α – 6β = –10°
(× 2)
→

• PHC: Notable (30° y 60°) 13α = 260°
PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1 α = 20°
En 1 : 3(20°) + 2β = 90°
3
• AHP: tgθ = Rpta.: D β = 15°
5

- 41 -

• Reemplazamos en lo pedido: iii) 4a + 3a = 28 → a = 4
1 ∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A
N = sen230° + tg245° = +1
4

N = 1,25 Rpta.: E Resolución 6
• Analizamos la gráfica
Resolución 3
• Reemplazando los valores notables tenemos:
 1
x  +1
 2 5 x+2 5
= =
 1 4 →
x  −1 x−2 4
2

4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: D

Resolución 4 PH
i) BHP: senθ = → PH = x·senθ
• Analizando la figura: x
BH
cos θ = → BH = x·cosθ
x

ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ

iii) Luego: AH + BH = AB
xsenθ + xcosθ = a
a
x= Rpta.. B
senθ + cos θ
i) Trazamos: OT AC
Resolución 7
ii) El OTA es notable (45° y 45°)
Entonces OT = 1 → OA = 2
iii) AB = OA + OB
AB = 2 +1
iv) BC = AB
BC = 2 +1 Rpta.: B
3K
Resolución 5
4K
• PBQ notable (37° y 53°):

PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K

• En el DAQ:
a 3 a
tg37° = → =
a + 4K 4 a + 4K

3a + 12K= 4a → a = 12K

Sea: CD = 5a, entonces: • En el ABP:
i) CED notable(37°; 53°)
3K 3K 1
CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a tgα = = =
a 12K 4
ii) DEB Notable (45°; 45°)
tgα = 0,25 Rpta.: E
DE = 3a; EB = 3a

- 42 -


Resolución 8 • En el AQP:
• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°),
3 +1 3+ 3
entonces asignamos valores convenientes a sus la- ctgθ = → ctgθ =
dos: 3 3

Rpta.: D

NIVEL PREUNIVERSITARIO

Resolución 1

• Trazamos MP AC , entonces:
HP = PC = 8
6
• En el APM: ctgθ = Rpta.: A
17

Resolución 9
• En la figura elegimos convenientemente AM = MC =
5 2 i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces

HT BT (propiedad)

ii) Trazamos TP AH , entonces:
TPH es notable (37°; 53°) sea:

PH = 3 ; PT = 4; TH = 5
• Además se cumple:
4 2
BRM: senα = BH  5  25
BM BTH: sec37° = → BH = 5   =
5 4 4
BM 25  3  75
BQM: csc β = HC
5 BHC: tg37° = → HC =   =
25 4  4  16
• Reemplazando en lo pedido: 4

4 2 BM 75
P = 5· · 3+ 123
BM 5 TPC: ctgα = 16 → ctgα = Rpta.: A
4 64
P=4 2 Rpta.: D
Resolución 2
Resolución 10
• En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-
• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16
60°) , entonces tenemos: ; AE = 12; DE = 20

- 43 -

• En el DCF: Resolución 5
• Se observa que: sen62° = cos28°
32
tgθ = → tgθ = 32 Rpta.: D
1 2
Además: cos45° = , luego:
2

Resolución 3 tg (3x − 20° )·cos28°
=1
2
• Analizando la figura: 2 · cos28° · · ctg (5x + 30°)
2

tg (3x − 20° )
Simplificando: ctg (5x + 30° ) = 1

tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°)
(3x – 20°) + (5x + 30°) = 90°
8x + 10° = 90° → x = 10°
AB  4  12 E = sen40° – cos50°
i) ABC: sen53° = → AB = 3a   = a
3a  5 5
E = cos50° – cos50°
HD 3 E=0 Rpta.: D
ii) AHD: sen37° = → HD = a
a 5
Resolución 6
AH 4
cos37° = → AH = a
a 5 • En la figura se tiene:

12 4 8
iii) HB = AB – AH → HB = a− a= a
5 5 5

3
HD a
iv) BHD: tgα = → tgα = 5
HB 8
a
5
a
3 i) ACB: ctgα =
tgα = Rpta.: C b
8
BQ a
ii) PQB: ctgα = → BQ = · x
Resolución 4 x b

• Analizamos la figura: a
iii) BQ + QC = BC → x+x=a
b

a+b ab
x =a → x=
 b  a+b

2ab
∴ PC = Rpta.: B
a+b

Resolución 7
i) BQP Notable (37°; 53°)
BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5a

ii) PQC Notable(45°; 45°)
PQ = QC = 3a AB = 15 + 20
iii) BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7 AB = 35
a=1 Rpta.: A
∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5
Rpta.: B

- 44 -


Resolución 8 • En el MHP:
• Analizando la figura: PH = a 3 – a = a ( 3 −1 )
MH = a

∴ ctgθ =
PH a
=
( 3 −1 )
MH a

ctgθ = 3 − 1 Rpta.: A

i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve- Resolución 10
nientemente los lados:
• En la figura se observa:
AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2

ii) En el ABC (45°; 45°):
AC = 4 2 → AB = BC = 4

iii) En el CED(45°; 45°)
CD = 3 2 → CE = ED = 3

iv) En el BED:
4+3 7
ctgθ = → ctgθ = i) ABC : AM = MC = BM = 2a
3 3
ii) ∆ ABM: Equilátero
Rpta.: C
iii) MPC: Notable(30° y 60°)
Resolución 9
MC = 2a → MP = a ; PC = a 3
• En el gráfico se tiene:
• En el NPC:
• OP = OA = OB
( )
2
i) NC2 = (2a ) + a 3
2
→ NC = 7a
OP = 2a
• NP2 = (2a)2 – (a2) NP 2a
ii) cos α = → cos α =
NC 7a
NP = a 3 ∴ 7 cos α = 2 Rpta.: B

ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)

Nivel I

Resolución 1
Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)
De los datos mencionados:
por paralelas BD = AE = H

Ahora: BCD: ( Resolución)
CD = Htgθ
finalmente: x = H – Htgθ
∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D

H

- 45 -

Resolución 2 ABC AB = 6Hcotgα . . . (1)
ABD AB = 7Htgα . . . (2)
Igualamos: (1) y (2)
7Htgα = 6Hcotα
 1  6
7tgα = 6   tgα =
 tgα  7

7
∴ cotgα = Rpta. D
6
de la figura: AE = H – 3
3 Resolución 5
PEA(30° y 60°): PE = (H – 3) 3
En 12h < > 180°
1h < > 15°
H− 3
(30° y 60°)REA: tg30° = de 4 a 6 pm
(
8+ H− 3 ) 3
3
θ = 30°

3 H− 3
= H=5 3 m Rpta. B
3
(
8+ H− 3 ) 3
3

Resolución 3
Graficando:
HOJ (Notable de 30° y 60°)

ADC: DC = Hcotg37° Lsombra = 3 ( 3) ∴ Lsombra = 3 m Rpta. C
BDA: BD = Hcotg45°
Resolución 6

Piden cotgα = ?

luego: DC = BD + 80 BCD: (Not de 45° y 45°)
Reemplazando: CD = 10
Hcotg37° = Hcotg45° + 80
4
H  = H(1) + 80
3
4 H 5 0 2 + 10
H – H = 80 = 80 ACD: cotgα =
3 3
10
∴ H = 240 m Rpta. D
∴ cotgα = 5 2 +1 Rpta. E
Resolución 4
D Resolución 7
90°-a
a
a C

7H
6H

a
A 6Hcotga B

- 46 -


de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos: x
ABC: tgθ = x = Htgθ ...(1)
Ahora en AHC: H
H
ABD = tgθ = tgθ(x + H) = H ...(2)
x +H
Reemplazando (1) en (2)
tgθ(Htgθ + H) = H
tgθ2 + tgθ – 1 = 0
Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:
Triángulos rectángulos notables de 30° y 60°
−1 + 1 + 4
 1 17 tgθ =
x= 17 cos60°   ∴ x= m Rpta. C 2
2 4
5 −1
∴ tgθ = Rpta. E
2
Resolución 8
Del enunciado: Nivel II

Resolución 1

ABD: AB = H
H 3
ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 =
3
H 3– 9 3= H

∴ H=
9
2
( 3 +1 ) Rpta. E
BFD: BF = 1,5cotg27°
BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°

3 4
Resolución 9 CF = (1,95)   CF = 3,9 m
2 3
Longitud del poste = CF + FD
BDC: DC = dcotgθ ∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C
BDE: ED = dtgθ
piden: EC = ED + DC Resolución 2

12
Dato: cotgθ =
5
entonces:
∴ EC = d(tgθ + cotgθ) Rpta. C

Resolución 10
B
q
90 - q

q
de 45° y 45°
H
50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ
 12   5 
50 + 260   + 3K = 4K + 260  13 
q  13   
x H 50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1)
A C D

- 47 -

piden: H = 4K + 260senθ
h
Reemplazando: De (1) R=
csc θ − 1
 5  reemplazando en (2)
H = 4(190) + 260   ∴ H = 860 m Rpta. B
 13 
hsec θ
x= Rpta. C
Resolución 3 csc θ − 1

H-h Resolución 6
a b
De las condiciones tenemos:
h
(H-h)cotgb
h B
)c otga
(H-h
A

de la figura se nota que: α = β
Ahora del dato: tgα + tgβ = n
tgα
n
tgα =
2 * AHB (Not. de 45° ): AH = 24
π
piden longitud de AB = (H – h)cotα * BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° )
2
x = AH + HC
π 2 H−h
∴ (H – h) = π  Rpta. A ∴ x = 56 m Rpta. A
2 n  n 


Del enunciado: a ( 2 - 1)tgq
a
a
atgq a 2tgq
cotα = 3
cotβ = 4
q q a
45°
a 2

t
En el triángulo pintado tenemos:
Hallamos AD
a ( )
2 − 1 tgθ AD = AB – DB; aplicando resolución
tgα =
a
∴ tgα = ( )
2 − 1 tgθ Rpta. C
AD = 24cotβ – 24cotα
reemplazando
Resolución 5
AD = 24 (4) – 24(3)
Del enunciado del problema graficamos: AD = 24 m

Se nota pero e AD = V · t

R+h 24 = V x 0,8 V = 30 m/s
OPQ: cscθ =
R
30 m 1Km 3 60 0 s
h = R(cscθ – 1) . . . (1) piden en Km/h: V= x x
s 1000 m 1h
x
OPT: secθ = Km
R ∴ V = 108 Rpta. A
h
x = Rsecθ . . . (2)

- 48 -


Resolución 8 (Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10

(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3
Finalmente:

AOB: Teorema de Pitágoras

( )
2
x2 = 102 + 10 3

∴ x = 20 m Rpta. B
ABC(Not de 45°): AB = BC = 28
Resolución 10
pero RC = AB (por paralelas)
De la figura: AB = AC
Ahora PRC:
PR = 21 m
luego: x = PR + RA x = 21 + 28
∴ x = 49 m Rpta. B

Resolución 9 C

N
10
10 3
( ∆ ABC: isósceles)
10 O
W
30° B
E Además: ∆ ACD: isósceles
45° AC = CD = d
x
Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C
A
S

ÁNGULOS HORIZONTALES
(Pág. 258)


Del enunciado: Del enunciado:

PQR: Teorema de Pitágoras
Del gráfico: ∆ PQR: equilátero
d2 = 962 + 282
PQ = PR = QR = 150 km
∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A ∴ d = 100 m Rpta. B

- 49 -

Resolución 3 De la figura:

∆NHP: isósceles NH = HP = d
Luego: NP = 2dcos20° = 74cos20°
d = 37 km
PMJ: Ahora:
Teorema de Pitágoras: 1 60 min
185 km
d = 37 km = V · t = ·t t= h=
x2 = 1002 + 2402 h 5 5
∴ x = 260 m Rpta. C ∴ t = 12 min Rpta. C

Resolución 4 Resolución 6 tgα = 3 7

8
3 7
a
1
De la figura

ADB: (Not. de 30° y 60°)
AHB: Teorema de Pitágoras:
BD = H 3
2 2
ADE: (Not. de 45° y 45°)  d   3d 7 
602 =  d+  +  d = 40
DE = H  
8  8  
Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE
Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B
(H 3 )
2
+ (H) + = 24
2 2

4H2 = 242 H = 12 m Rpta. D Resolución 7
Juana
N N
Resolución 5 (punto de
)
llegada
30 km 10 km S 40 km E
P O M
40 km
50 d
km 37° 40 km
S
°

58° Q
38

10 km
12°
°

O
20

d R Punto de E
Partida
(Roberto)
°
58

20° S S
N 12°
RSM: Teorema de Pitágoras:

d2 = 402 + 402 ∴ d = 40 2 km Rpta. B

- 50 -


Resolución 8

∆RBB’: Isósceles
BB’ = RB = 200 m

RFB: (Notable de 30° y 60°)
d = 100 m Rpta. A

CAPÍTULO 9

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
(Pág. 275; 276; 277; 278)

• En la figura se observa:
Resolución 1 i) Para“α”

• En la figura se tiene: x = –4
y=3
x = –2
y=1 r= ( −4)2 + (3)2 = 5
ii) Para “β”
r= ( −2)2 + (1)2 = 5
x = –7
y = –24
• Nos piden:
1 −2
M=5 · → M = –2 r= ( −7 )2 + ( −24 )2 = 25
5 5
Rpta.: D • Nos piden:

Resolución 2  3  25   −4  25 
E = 8    + 7   − 
 5  −24   5  7 
x = –3 E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D
y = –1
Resolución 4
2 2
r= ( −3) + ( −1) = 10 • Del gráfico se tiene:

(-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0
• Nos piden: y = 12
10
csc θ = → csc θ = − 10
−1 y −12
tgα =
Rpta.: A ∴ tgα = → 5 Rpta.: B
x

- 51 -

• Según los datos tenemos: • Analizando los términos de la expresión dada tene-
mos:
160° ∈ Q2 → sen160° : (+)
230° ∈ Q3 → cos230° : (–)
350° ∈ Q4 → tg350° : (–)

x = −2 80° ∈ Q1 → ctg80° : (+)


r = 13 200° ∈ Q3 → sec200° : (–)

( )
2
y = − 13
2
− (−2) = −3 300° ∈ Q4 → csc300° : (–)



• Nos piden: • Reemplazando tenemos:

2
B=
( + )(− )(− ) = (+ )
 −3   13  → B = (+)
N = 4  + 9
 −3 

= 6 + 13 ( + )(− )(− ) (+ )
 −2   
Rpta.: A
N = 19 Rpta.: C
Resolución 9
Resolución 6 • De acuerdo al dato:

• Del dato tenemos: Cosθ = (–)
θ ∈ Q3 →
9 3 tgθ = (+)
cos α = ± → cos α = ; α ∈ Q4
25 5

E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C

Resolución 10
x = 3 • Recordemos que:


r = 5
 2 2
 y = − 5 − 3 = −4


• Nos piden:

3 5 2
A= − = → A = 0,5 Rpta.: E
−4 −4 4 ∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4
Rpta.: E
Resolución 7
NIVEL II
• De acuerdo a los datos:
Resolución 1
senα : (+)
α ∈ Q2 → 
cos α : (−) • Del dato tenemos:

 tgβ : (+)
β ∈ Q3 → 
ctgβ : (+)


E=
(+ ) + (+ ) = (+ )
(− )·(+ ) (− ) → E = (–) Rpta.: B

- 52 -


Resolución 4

x = 60 • De la condición:

 y = −11
 2
 1+ tgθ + 1  = [2]2 →
r = (60 )2 + ( −11)2 = 61 
 

1+ tgθ + 1 = 4

2
• Nos piden:  tgθ + 1 = [3]2 → tgθ + 1 = 9
 
−11 61 5
K= + → K= Rpta.: E tgθ = 8 ; θ ∈ Q3
60 60 6
• Finalmente:
Resolución 2

• Del dato tenemos:
− 2
tgθ = 2 = ; θ ∈ Q3
−1


x = −1

 y = −8

r = ( −1)2 + ( −8 )2 = 65


x = −1

 65
sec θ = − 65
y = − 2
sec θ = → Rpta.: D
−1


 (
r = ( −1)2 + − 2 2 = 3 ) Resolución 5
• Nos piden: • Factorizando la expresión dada:
M = 2secθ · cscθ + 3 3 senθ (5senα + 4)(5senα – 3) = 0
 3  3  − 2  4
M = 2  +3 3
  5senα + 4 = 0 → senα = − 5
 −1   − 2   
    3  
5senα − 3 = 0 → senα = 3
M= 3 2 −3 2 → 
 5
M=0 Rpta.: C
3
Pero: α ∈ Q2 → senα =
Resolución 3 5

• A partir del gráfico se tiene:
i) Para “α”:
x=7
y = 24
r = 72 + 242 = 25

ii) Para “β”:
x = –12
y = –5 • Nos piden:
2 2
r= ( −12) + ( −5) = 13 3  4  3
M= −−  + − 
• Nos piden: 5  5  4

 25  13
R = 2  + → R=1
 24  −12 13
M= → M = 0,65 Rpta.: B
Rpta.: A 20

- 53 -

Resolución 6

• A partir del dato tenemos: − 2 6
senα = =−
3 3
1 tgθ = 2
[tgθ] ctgθ
= [2]
2 → 
 1 6
ctgθ = 2 senβ = −
 3

6
senθ = −
3
• Nos piden:

6  6  6
G= − + 2 −  + 3 −  → G = −2 6
3  3 
   3 
 
Rpta.: B
Resolución 10
• Nos piden:
 −2  −1 
P = 10    → P=4 Rpta.: B
 5  5 

Resolución 7

• De los datos tenemos:

senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4

secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4
• Nos piden:
∴ α∈Q4 2
 −1 −3  4
E= −  →α E =
• Nos piden:  10 10  10

E=
(+ ) − (− ) = (+ ) E = 0,4 Rpta.: D
( − )·( − ) ( + ) → E = (+) Rpta.: A

Resolución 8 NIVEL PREUNIVERSITARIO

• De acuerdo al dato: Resolución 1
secθ = (–) • De los datos tenemos:
θ ∈Q3
tgθ = (+) tgθ < 0 → tgθ : (–) 
• Reemplazando en lo pedido
 θ∈Q4
secθ = 4 → secθ : (+) 
(–) – (+) = (–) Rpta.: C

Resolución 9

• Del dato tenemos:
R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)
• Además: • Nos piden:
tgα = 2 → α∈Q1 , Q3  − 15   1 
A = 16 
sec β = − 3 → β∈Q2 , Q3  4  4 
 
 

∴ α ; β y θ ∈ Q3 A = − 15 Rpta.: D

- 54 -


Resolución 2 5 2 5 2
• Nos piden: csc α = =
a + 4 −3 + 4
• De la condición:
ctgα+1
ctgα+1 3 csc α = 5 2 Rpta.: E
 1 = [2 ] → [2 ]
3 2
= [2 ]
2 2 
 
Resolución 5
ctgα + 1
=3 → ctgα = 5 ; α∈Q3
2 • Analizando la expresión tenemos:

1 − cos α ≥ 0 → senφ < 0

∴ φ ∈ Q3 y Q4 Rpta.: B

Resolución 6

• De acuerdo a los datos:

x=a+1
• Nos piden:
26 y=a–1
csc α =
−1

csc α = − 26 Rpta.: B r= (a + 1)2 + (a − 1)2 = 2a2 + 2

• Por condición r es minímo:
Resolución 3
• Del dato tenemos: r= ( )
2 a2 + 1 → rmin = 2
mín
secθ : (–) 
x = 1
 θ∈Q3 ∴ a = 0 →  y = −1
tgθ : (+)  
• Además: • Nos piden:
–1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0
 2  2 
E=
1 < 2+cosθ < 2 0 < –senθ < 1  1  −1  →
  E = –2 Rpta.: C
  
+
2< 2–senθ < 3
Resolución 7
+
• Luego:
• Analizamos la figura para calcular las coordenadas
R=
( + )·( − ) = ( − )
→ R = (–) Rpta.: B de los puntos M y N:
(+ ) (+ )
Resolución 4

• En la figura se cumple:

( )
2
(2a –1)2+ (a + 4)2 = 5 2
5a2 + 4a + 17 = 50
5a2 + 4a – 33 = 0
(5a – 11)(a + 3) = 0
 11
5a − 11 = 0 → a =
→  5
a + 3 = 0 → a = −3  3   −5 

• Nos piden: k =  · 
1  −3   −1 
Pero: 2a – 1< 0 → a <
2
∴ a = –3 k = –5 Rpta.: B

- 55 -

Resolución 8
5 1
• Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0 tgθ = –
1
2
( 9± 5 ) -2 cos β =
5
7 ± 49 − 4 b
tg2θ =
2 tgθ = –
1
2
3± 5( ) 1
14 ± 2 45
tg2θ = • Nos piden: cosθ · cosβ
4
1 1 1 − 10
14 ± 2 9 ⋅ 5 cos θ ⋅ cos β = − ⋅ =− = Rpta.: C
tgθ = 8 5 40 20
4

• Nos piden: Resolución 10

E=
1
2
(
3± 5 −
2
3± 5
) Q(-14;4)

• Solución 1 2 53
4
3+ 5 2 5+3 5
E1 = − =
2 3+ 5 3+ 5 -14 (6;0)

 5 + 3 5  3 − 5  • P y Q puntos simétricos:
E1 = 
 3 + 5  3 − 5  =
  5 • Nos piden:
  
φ 1 1 53 − 7
• Solución 2 ctg = = =
2 tg φ 2 2
3− 5 2 5−3 5 2 53 − 7
E2 = − =−
2 3− 5 3− 5
φ 4 2
tg = = Rpta.: C
 5 − 3 5  3 + 5  2 2 53 − 14 53 − 7
E2 = − 
 3 − 5  3 + 5 
 
=− − 5 ( )
  

E2 = 5 Rpta.: C Resolución 11

y’
Resolución 9 P(-8;15) B(6;7)
7
• Sen2θ + Senθ = 0 4
4
a=

17
Senθ + Senθ = 0
I) senθ > 0 ⇒ senθ + senθ = θ 15 A(2;3) 60°
3 C
senθ = 0 (NO) 4
II) senθ < 0 ⇒ senθ + senθ = 0 q
θ toma cualquier valor 120° 4
• Hacemos tgθ = 7 -8 o 2 6 x’
θ∈ IIIC
1
8 • ∆ABC equilátero: a = 4
cos θ = − 7
8 P(–2a;4a – 1) = (–8;15)
• Luego:
1 • Nos piden:
7 − tgθ + tgθ − 7 = tgβ + 2 E = senθ · cosθ
7− 7 + 7 − 7 = tgβ + 2 15 −8 −120
tgβ = –2 E= ⋅ = Rpta.: C
17 17 289

- 56 -

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