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Suma de expresiones algebraicas
- 2. Suma de Expresiones Algebraicas d La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: 02 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
- 3. d 03 Suma de monomios La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio 7a + 5ab + 7a = 14a + 5ab 5ab + 2bc + 3ab = 7ab + 2bc 2a + 4a – 4a = 2a EXPRESIONES ALGEBRAICAS Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x + 4x = (2+4)x = 6x
- 4. d Pasos 1)Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c 2)Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c 3)Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en el resultado: Suma de polinomios Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 – 3a + 5b 04 EXPRESIONES ALGEBRAICAS [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c 2) (–2b2 – 4c – 3a3) + (–5a – 3b – c2) = –5a – 3a3 – 3b – 2b2 – 4c – c2
- 5. La resta es una operación matemática en la cual se elimina una parte a una cantidad, lo que se representa con dos números o cifras separados por el signo menos (-), también es conocida como diferencia. A los efectos de la aritmética la resta implica siempre una disminución, en el caso del álgebra puede significar disminución o aumento lo cual dependerá de los signos de los números a restar entre sí. La resta algebraica constituye la operación inversa a la suma algebraica y sus propiedades son también inversas. Propiedad asociativa. A diferencia de la suma, en la resta si existe diferencia en el resultado final si cambia el orden de los números que se restan, no es lo mismo restar 34 - 12 - 8 que 12 - 8 – 34. Propiedad conmutativa. Si se cambia el orden de los números esto afectara el signo del resultado final de la operación. d Cuando los factores son iguales (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. el orden de los factores se debe de tener en cuenta: (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. (–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (4x) – (3y) = 4x – 3y (a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b (3m) – (–6n) = 3m + 6n Cuando en la resta hay dos o más términos comunes (2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)] – [(–6b2) – (– 4b2)] = [–5a]–[ –12a2]–[ –2b2] = –5a + 12a2 +2b2 06 Resta de Expresiones Algebraicas EXPRESIONES ALGEBRAICAS
- 6. Calcular el valor numérico de una expresión algebraica es obtener la cifra que resultaría después de realizar todas las operaciones indicadas en la expresión cuando damos un valor a la variable o variables. Cuando queremos realizar el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica debemos realizar las operaciones en un orden específico pues de no ser así, incluso con el uso de una calculadora, podríamos obtener resultados erróneos. d Para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. 07 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Valor Numérico de una Expresiones Algebraicas 1) L(r) = 2.π.r r = 5 cm. L(5)= 2 · π · 5 = 10πcm 2)S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 3) V(a) = a3 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
- 7. Multiplicacion de Expresiones algebraicas Multiplicación de un polinomio por otro polinomio En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los monomios del otro polinomio d Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente. 08 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 3x^3 y^2 por 7x^4 (3)(7)x^3+4 y^2 21x^7 y^2 Multiplicación de un monomio por un polinomio Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios que forman al polinomio 3 * (2x^3-3x^2+4x-2) (3 * 2x^3) + (3 * -3x^2) + (3 * 4x) + (3 * -2) 6x^3-9x^2+12x-6 EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO (2x^2-3) * (2x^3-3x^2+4x) (2x^2*2x^3) + (2x^2*-3x^2) + (2x^2*4x) + (-3*2x^3) + (-3*-3x^2) + (-3*4x) 4x^5-6x^4+8x^3-6x^3+9x^2-12x
- 8. d 10 División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador. División de Expresiones Algebraicas Ejemplo En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una fracción. 32x^2+20x-12x^3 entre 4x Se coloca el monomio como denominador de el polinomio 32x^2+20x-12x^3 / 4x Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio (32x2 / 4x) + (20x / 4x) - (12x3 / 4x) 9x^3y^2 / 3x^2w 9x^3y^2 / 3x^2w = 3xy^2 / w División de un polinomio entre un monomio Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios 8x+5-3x^2
- 9. d 14 División entre polinomios Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de una misma letra, en caso de que el polinomio no este completo se dejan los espacios correspondientes. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
- 10. d Solucion Son aquellos productos en los que se cumplen todas las reglas que se mantienen fijas, en ellos el resultado se puede deducir de manera simple. Esto quiere decir que, muchas veces, no es necesario realizar alguna operación de multiplicación para comprobar si el producto es correcto o no. Para cada producto existe una fórmula de factorización. 15 PRODUCTOS NOTABLES Utilidad de los productos notables Al igual que las demás operaciones matemáticas, en este caso de los productos notables, podemos decir que su utilidad radica en que nos facilitan algunos procesos matemáticos. Se puede llegar a resultados de manera más rápida solamente tomando en cuenta sus criterios. Tipos de productos notables Binomio cuadrado: Conocido también como un cuadrado de un binomio y se ha convertido en el producto notable que es más usado. Binomio al cubo: Estos también pertenecen a los productos notables y se trata de una expresión que se usa comúnmente en el álgebra para referirse a un par de términos en los que se pueden aplicar sumas o restas. Binomios conjugados: Al referirnos a este tipo específico e binomios, estamos hablando de un producto notable el cual se encuentra formado por un par de binomios. PLAY PLAY PLAY
- 11. d FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES 17 Se establecen los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a factorizar. Particularmente se trabaja con el trinomio que puede ser identificado con el desarrollo del producto (x + a )(x + b ) con a y b números enteros (3)(2) = 6 , por lo que factores de son 3 y . (5)(2) =10 , por lo que factores de son 5 y 2 . (5)(3)(2) = 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 .