El documento presenta un taller de cálculo multivariable que incluye problemas sobre máximos y mínimos locales, puntos silla, método de Lagrange para extremos con restricciones, integrales iteradas, cálculo de volúmenes y centros de masa usando coordenadas polares y cilíndricas.
1. CALCULO MULTIVARIABLE
Mag. Lácides Baleta
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
Grupo 05
Ortiz Chinchilla Jesús David
Ortiz Chinchilla Jesús David
Ortiz Chinchilla Jesús David
2. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
TALLER DE CÁLCULO MULTIVARIABLE
DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
1. En las siguientes funciones de los ejercicios verifique la existencia de
máximos y de mínimos locales, así como de puntos silla. Calcule el
valor de cada función en estos puntos.
=>
=>
* + ;
[( ) ]
[( ) ]
[( ) ]
Para todos los enteros , concluimos que (* + ) son todos los
puntos sillas.
3. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
TALLER DE CÁLCULO MULTIVARIABLE
DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un mínimo local
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un punto silla
4. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
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GRUPO 05
=>
( ) => ( )
[ ] => ,
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un máximo local
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un punto silla
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DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
2. En los siguientes problemas, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para
encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
( )
=>
=> ( ) => =>
=> => ,
=> Máximo
=> Mínimo
=> Máximo
=> Mínimo
( )
No tiene máximos Ni mínimos
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GRUPO 05
( )
3
, ,
Máximo
( )
, ,
Máximo
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GRUPO 05
( )
( ) ( )
=>
=>
, √ , √
√ √ √ Máximo
, √ , √
√ √ √ Mínimo
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GRUPO 05
( )
( )
=> =>
=> =>
√
,
√
,
√
√ √
√
3,0824 Mínimo
√
,
√
,
√
√ √
√
Máximo
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GRUPO 05
3. Problemas de máximos y mínimos.
( )
( )
( )
( )
L=0
( )
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GRUPO 05
( ) ( )
( ) ̂ ̂ ̂
( ) ̂ ̂ ̂
√
√
√
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
11. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
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GRUPO 05
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
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GRUPO 05
4. Calcule las siguientes integrales iteradas.
∫ [ ( )]
∫ [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
∫ [ ]
∫ [ ]
[ ]
∫ [ √ ]|
∫ [ √ ]
*
( )
+|
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GRUPO 05
5. Trace la región acotada por las rectas y las curvas dadas; luego exprese el área de la
región como una integral doble iterada y evalúe la integral.
Z=0
Y=4
∫ ∫
∫ |
∫ ( )
|
A=32/3
Cilindro
Planos x=24
x=0
z=0
∫ ∫
∫ |
∫
A=4
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GRUPO 05
cilindro
Planos y=z
x=0
z=0
∫ ∫
√
∫ √
d)
√
∫ ∫
√
∫ √
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e) paraboloide
Dentro del cilindro
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
∫ ( ) | ∫ ( ) |
∫ ( ) ∫ ( )
f) encerrado por
z=0
∫ ∫
√
∫ √
√ |
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GRUPO 05
6. Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.
∫ ∫ *√ +
∫ [( ) ]|
∫ [( ) ( ) ]
∫ [ ]
∫ [ ]
√ ∫
√
∫ ∫ ( )
√
∫ ( ) |√
∫ ( ( ))
∫
V= 9π
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GRUPO 05
∫ ∫ (√ )
√
∫ ( ( ) |√
( √ )|
( √ )
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GRUPO 05
7. Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la
función de densidad dada
∫ ∫ ∫ | ∫
|
∫ ∫ ∫ | ∫
|
∫ ∫ ∫ | ∫
| ( ) ; ( ) ( ) ( )
20. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
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GRUPO 05
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( ) |
|
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( )
|
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( )
|
( ̅ ̅) ( ) ( )
21. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
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GRUPO 05
8. Evalúe la integral iterada.
∫ ∫ ∫
∫ ∫ |
∫ ∫ ∫ [ ] |
∫ [ ( )] |
22. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
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GRUPO 05
∬ (∫ ) Dx dy
=∫ ∫ |
∫ ∫ ( )√
√
=∫ ∫ (
√
) ∫ ( )|√
=∫ |√
∫ ( ( ) ( ) ⁄
)
= (3 - 3 – 2
⁄
⁄
) | = - - ⁄
|
=1- -
1
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GRUPO 05
Z=0 y Z =x+y
V= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ |
√√
dydx
=∫ ∫ ( ) ∫ ∫ )√√
dydx
=∫ ( + x ) |√
dx=∫ ( ⁄ ) - ( ) - ( ) dx
=∫ +
⁄
- - dx= + ⁄
- - |
=
Y=𝑥
X=𝑦
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DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
9. Use coordenadas cilíndricas.
Limites
Z - 0-4
P- 0-2
Q- 0 - 2𝜫
X= PcosØ
Y=PsenØ
Z=z
= +
V= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] | dpd Ø
V=∫ ∫ (16- ) dpdØ = ∫ [16 - ] | dØ
V= ∫ dØ = Ø | = 𝜫
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DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
Z= 4- -
X=PcosØ
Z= Ƶ
= +
V=∫ ∫ ∫ ( )
V=∫ ∫ ∫ (
⁄
cosØ+ senØ+Ƶp) dƵdpdØ
V=∫ ∫
⁄
cosØƵ + senØƵ + p | dp d Ø
V=∫ ∫
⁄
cosØ (4- )+ senØ (4- )+ (4- ) dpdØ
V=∫ ∫
⁄
cos Ø - cosØ + 4 sen Ø - senØ+ (16-8 + )
dØdØ
V=∫
⁄
cosØ - cosØ +4 senØ - senØ+ (16p- + ) | dØ
V=∫
⁄
cosØ - cos Ø + senØ- senØ+ (32+ + dØ