Este documento presenta un índice de contenidos sobre álgebra 1 y 2. En álgebra 1 se cubren temas como valor absoluto, inecuaciones con valor absoluto, logaritmos, funciones exponenciales y logarítmicas, propiedades de cologaritmos y antilogaritmos, relaciones y funciones, límites, derivadas, integrales y fórmulas. Álgebra 2 incluye el tema de valor absoluto, definiendo conceptos como el valor absoluto de un número, interpretación geométrica, teoremas y ecuaciones con

1. Álgebra 1
INDICE
 Valor Absoluto ……………………….. 03
 Inecuaciones con Valor Absoluto……... 11
 Logaritmos ……………………………. 17
 Función Exponencial ……………........ 17
 Función Logarítmica ………………….. 29
 Propiedades Generales:
Cologaritmo y Antilogaritmo …………. 42
 Relaciones y Funciones……………….. 51
 Límites…………………………………. 57
 Derivadas ……………………………… 63
 Integrales………………………………. 69
 Fórmulas ………………………………. 75
 Miscelánea …………………………….. 80

2. Álgebra 2

3. TEMA: VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real “a” se denota por |a| y se define:



<−
≥
=
0aSia
0aSia
a
Ejm: |2| = 2 : 5)5(|5| =−−=−
• Si




<−
≥−
=



<−−−
≥−−
=−
3
1xsi,x31
3
1xSi,1x3
01x3si),1x3(
01x3si,1x3
|1x3|
Interpretación geométrica:
- Geométricamente el valor absoluto de la diferencia de dos números a y b denotado |a
– b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numérica:
|a – b|
| |
a b
Álgebra 3

4. Teorema:
- ∀ valor de a: |a| ≥ 0 Se cumple:
• Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0
• |a| = |-a|
• a ≤ |a|
• -a ≤ |a|
Supóngase: que a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 entonces:
2
baba =⇔=
• |a| |b| = |ab|
• 0b,
|b|
|a|
b
a
≠=
• |an
| = |a|n
, n entero
Desigualdad Triangular:
Dada por: |a + b| ≤ |a| + |b|
Demostración:
i) a ≤ |a| y b ≤ |b| ⇒ |a| + |b| ≥ a + b
ii) -a ≤ |a| y –b ≤ |b| ⇒ -(a + b) ≤ |a| + |b| ó
|a| + |b| ≥ -(a + b)
De donde: |a + b| < |a| + |b|
Ecuaciones con Valor Absoluto:
El siguiente teorema es utilizado en la solución de ecuaciones con valor absoluto:
Álgebra 4

5. Teorema:
Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la
ecuación |a| = b esta determinado por la condición b ≥ 0; la cual debe ser resuelta
previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y
a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U.
Ejm: |x| = 4
Como: b = 4 ≥ 0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuación:
|x| = 4 ⇔ x = 4 ó x = -4
Así:
El C.S. = Un {4 , -4}
= R n {4 , -4}
= {4 , -4}
Teorema: Dados a, b ∈ R
Si |a| = |b| ⇔ a = b ó a = -b
Ejm:
Resolver la ecuación:
|x2
– 4x| = |2x – 8|
→ a = b → x2
– 4x = 2x – 8
x2
– 6x + 8 = 0
(x – 4) (x – 2) = 0



−=
=
2x
4x
→ a = -b → x2
– 4x = -(2x – 8)
x2
– 2x -8 = 0
Álgebra 5

6. (x – 4) (x + 2) = 0



−=
=
2x
4x
C.S. = {4 , 2 , -2}
Álgebra 6

7. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Resolver: |x – 1| = -3x
Rpta.:
2. Resolver la ecuación:
|x + 1| + |x – 1| = 6.
Rpta.:
3. Resolver:
(x – 3)2 – 8 |x – 3| + 15 = 0
Rpta.:
4. Dados los conjuntos de números
reales:
S = {P ∈ R / 2P + < 6 – P }
T = {q ∈ R / |aq + b| < |a + b – aq|,
-2b < a < 0}
Entonces: S ∩ T es:
Rpta.:
5. Si:
A = {x ∈ R / |3x – 1| = 2x + 5}
B = {x ∈ R / |x + 2| + 6 = 3x}
Hallar la suma de los elementos de
A ∪ B:
Rpta.:
6. Resolver la siguiente ecuación:
|5x – 3| = 4x + 1
Rpta.:
7. Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones: “x”
|x – 3| + |y – 4| = 7
|x – 3| - y = 1
Rpta.:
Álgebra 7

8. 8. Resolver:
|x|2
- |x| - 42 = 0
Rpta.:
9. Resolver la ecuación siguiente:
|x2
+ x – 12| = 3 – x
Rpta.:
10. Las soluciones de la ecuación:
|x| + x3
= 0
Rpta.:
11. El conjunto solución de:
|2x – 5| = 4
Rpta.:
12. ¿Cuántos elementos tiene el
conjunto solución de la ecuación
|x2 – 2| = 2 – 3x?
Rpta.:
13. Indicar las soluciones (la cantidad)
de la ecuación.
x2
- |x| + 0,125 = 0
Rpta.:
14. Resolver:
||x2 – 1| - x | = x
Rpta.:
15. Resolver:
||x| - 1| = 2- x
Rpta.:
Álgebra 8

9. Álgebra 9

10. PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Indicar la mayor solución al
resolver:
1
2xx
6xx
2
2
=
−−
−+
a) -2 b) 2
c) 0 d) 3
e) -3
2. Resolver:
3x25x −=−
a) -2 b) 8/3
c) 3/8 d) -1/2
e) a y b
3. ¿Cuántos elementos tiene el C.S.
de:
|x^2 – 2| = 2 – 3x?
a) 4 b) 3
c) 3 d) 1
e) 0
4. Proporcionar el cardinal del
conjunto solución de la ecuación:
|x + 3| - |x – 1| = x + 1
a) 5 b) 4
c) 3 d) 1
e) 2
5. Calcular:
x
|20x3||20x5|
E
−−−
=
si: x ∈ < -3 , -2 >
a) -2 b) 1
c) 3 d) 2
e) 5
6. Indicar la suma de las soluciones:
4
1x
1x3
=
−
+
a) 41 / 7 b) 38 / 7
c) 13 / 7 d) 19 / 5
e) 32 / 5

11. 7. Si: x1 y x2 son las soluciones de:
||15 – 2x| - 4| = 8
Calcular |x1 – x2|
a) 8 b) 10
c) 11 d) 14
e) 12
8. Indicar el producto de las soluciones:
|x2
– 6| = |x|
a) 18 b) -18
c) 36 d) -24
e) -20
9. Indicar la suma de las soluciones de:
3 |x + 1| + |x – 8| = 19
a) 4/3 b) 9/4
c) 5/7 d) 1/2
e) 11/6
10. Resolver:
|x – 2| + |x – 3| = |2x - 5|
a) x ∈ 〈-∝ , 2] ∪ [3 , +∝〉
b) x ∈ 〈-∝ , -1] ∪ [3 , +∝〉
c) x ∈ R
d) x ∈ ∅
e) x ∈ 〈-∝ , 4]
11. ¿Cuántos valores de “x” verifican
la ecuación:
|x + 3| = |2x – 4| + 5?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) Ninguna
12. Resolver:
||x| - 1| 2 – x
a) {3/2} b) {-3/2}
c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}
e) {3/2 ; 1/4}
13. Resolver:
||x + 4| +4| -2 = 0
Indicar la suma de todos los
valores que asume “x”
a) -8 b) -6
c) 3 d) 0
e) No existe tal suma
14. Indicar una raíz al resolver:

12. 06|1x2|
2
7
2
1
x2
2
=++−+
a) 1 b) -2
c) 3/2 d) -5/2
e) Más de una es correcta
15. Las soluciones de la ecuación.
|18 – 3x – x2
| = 3 – x son
a) -5 y 3 b) -7 y -5
c) -6 y 2 d) -5; -7 y 3
e) -5 ; -6 y 3
16. La suma de las valores de y es:
y – 2 |x| = -3
|y| + x = 3
a) -2 b) 6
c) 7 d) 10
e) 13
17. Las soluciones de la ecuación:
x2
. 3x + 3
.+3|x–5|+ 6
= x2
. 3|x–5|+ 8
+ 3x+1
a) x = {-1/3 , 1/3}
b) -∝ < x < 5
c) 5 < x < ∝
d) x = {-1/3 , 1/3} ∪ -∝ < x ≤ 5
e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 ≤ x < ∝
18. Después de resolver la ecuación:
||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:
a) x = 5 b) x = 8
c) x = 0 d) es una indet..
e) es imposible
19. Resolver: (x1 + x2)
|x + 9| = 16
a) -12 b) -16
c) -4 d) 9
e) 15
20. Resolver:
|x2
– 4| = 5
a) {3 , -3} b) {-3}
c) {1 , -1} d) {3}
e) R

14. TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Sabemos:



<−
≥
=
0a,a
0a,a
|a|
• La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas:
• Sean x a ∈ R entonces:
o Si |x| ≤ a ⇔ [a ≥ 0 ∧ -a ≤ x ≤ a]
o Si |x| < a ⇔ [a > 0 ∧ -a < x < a]
o Si |x| ≥ a ⇔ [a ≥ 0 ∨ x ≤ -a]
o Si |x| > a ⇔ [a > 0 ∨ x ≤ -a]
Teorema:
Dados a,b ∈ R:
1. |a| ≤ |b| ⇔ (a + b) (a - b) ≤ 0
2. |a| < |b| ⇔ (a + b) (a – b) < 0
3. |a| ≥ |b| ⇔ (a + b) (a – b) ≥ 0
Ejm:
Resolver: |2x – 3| ≤ 1
|2x – 3| ≤ 1 ⇔ [1 ≥ 0 ∧ -1 ≤ 2x – 3 ≤ 2]
⇔ [1 ≥ 0 ∧ 1 ≤ x ≤ 2]
⇔ 1 ≤ x ≤ 2
∴ C.S. → [-1 , 2]
• Si |x| < a , donde a > 0
De donde viene:
a) Si x ≥ 0 entonces |x| = x → x < a
b) Si x < 0 entonces |x| = -x → -x < a ó -a < x
∴|x| < a → se cumple que: -a < x < a

15. se cumple lo mismo para |x| ≤ a , donde a ≥ 0

16. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Resolver la siguiente inecuación:
|3x – 5| < 7
Rpta.:
2. Resolver:
|4x – 3| > 5
Rpta.:
3. Resolver la siguiente inecuación:
|x2
– 6x + 8| ≤ 4 – x
Rpta.:
4. Resolver:
|x2
– 2x – 5| < |x2
+ 4x – 7|
Rpta.:
5. Resolver:
|9 – x2
| ≥ 7
Rpta.:
6. Resolver;
|x + 1| - |3x + 7| ≥ 0
Rpta.:
7. Determinar la solución de:
0
|8x7||1x2|
|8x||3x2|
≥
−−−
−−+
Rpta.:
8. Resolver:
|3x – 1| ≤ |x|
Rpta.:
9. Si:
A = {x ∈ R / 2- |2x + 3| ≤ 3}
B = {x ∈ R / 2- |x + 2| ≤ 0}
Hallar: (B – A)
Rpta.:

17. 10. Hallar el conjunto solución:
|x + 6| > |x + 9| + |x – 2|
Rpta.:
11. Hallar el C.S. de:
||x – 3| + 3| > -2
Rpta.:
12. Si:






−
≥
−
∈=
|2x|
1
1x12
5
/RxA
Hallar: AC
Rpta.:
13. Hallar el menor de los números
M tales que.
[ ]5,2xsi,M
6x
9x
∈≤
−
−
Rpta.:
14. Hallar el C.S.:
3x2 + < x
Rpta.:
15. Hallar el número de elementos
del siguiente conjunto:
{x ∈ Z / |2x – 3| < |x + 6|}
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si: 





∈ 6;
5
1
x
2
; determinar el
menor valor entero de M para
que se cumpla:
M
6x
3x
≤
+
+
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5

18. e) 1
2. Resolver:
|x3
– 1| ≤ x2
+ x + 1 es:
a) 1 ≤ x ≤ 2
b) 0 ≤ x ≤ 1
c) 0 ≤ x ≤ 2
d) -1 ≤ x ≤ 0
e) 0 < x < 2
3. La solución d la inecuación:
a) 2 – 4 2 ≤ x -2
b) 2 – 4 2 ≤ x < -2
c) 2 – 4 2 x < 2
d) 2 – 4 2 ≤ x ≤-2 ; -2 ≤ x < 2
e) -∝ < x ≤ 2
4. Hallar los valores de “x”
X2
+ 4 |x + 2| ≤ 20, es:
a) -∝ < x < 4
b) 4 < x < ∝
c) -3 < x < 4
d) Ninguna valor
e) Todo valor de x
5. La solución de la inecuación:
|x + 2 – x2
| ≤ |x2
– 3x + 4| es:
a) 1 ≤ x ≤ 3
b) -∝ < x ≤ 1
c) -∝ < x < 1 ; 1 < x ≤ 3
d) -∝ < x ≤ 3
e) 3 ≤ x < ∝
6. La solución de:
|x3
– 7x + 6| ≥ 19x – x3
– 18 es:
a) x ∈ 〈-∝ , -3〉 ∪ 〈-3 , 1]
b) x ∈ 〈 -3 , 1] ∪ [3 , ∝〉
c) x ∈ 〈-∝ , 1] ∪ 3 ≤ x < ∝
d) -∝ < x ≤ 1 ; 1 ≤ x ≤ ∝
e) x ∈ 〈-∝ , 0] ∪ [3 , ∝〉
7. El intervalo que satisface al
siguiente sistema de
inecuación:
|x2
– 4| < 5 … (1)
|x2
– 5x + 6| ≤ … (2)
a) 1 < x < 3
b) 1 ≤ x < 3
c) 1 ≤ x ≤ 3
d) -3 < x < 3
e) -3 < x ≤ 4

19. 8. Resolver:
|2x2
+ x – 5| > x2
+ 2x – 3
a) x ∈ 〈-∝ , 1〉
b) x ∈ 〈1 , 2〉
c) x ∈ 〈-∝ ; -3 + 10 ]
d) x ∈ 〈-∝ ,
6
1053 +−
]
e) x ∈ 〈-∝,
6
1053 +−
>∪ 〈2,∝〉
9. Resolver:
|x – 4| - |x – 2| ≤ |x – 1|
Indique la suma de los valores
naturales menores que 15
a) 102 b) 103
c) 104 d) 105
e) N.A.
10. La desigualdad:
-x2
+ 3 |x| + 28 < 0
Es equivalente a:
a) x > 7
b) -3 < x < 3
c) x > 3 ∨ x < -3
d) x < -7 ∨ x > 7
e) x < -3 ∨ x > 7
11. Para cuantos valores enteros se
verifica:
|5x – 10| + |14 – 7x| > |2x – x<2
|
a) 23 b) 24
c) 22 d) 21
e) 20

20. 12. Indique el valor que no verifica
la inecuación:
x
1
|x|1
x
>
−
a) 532 ++
b) 216 −
c)
2
17 −
d) 2062 +
e)
2
288 +
13. Resolver:
1
4x
|1x|
<
+
+
a) 〈-∝ , -4〉 ∪ 〈-5/2 , +∝〉
b) 〈-∝ , -4〉 ∪ 〈1 , 2〉
c) 〈-4 , ∝〉
d) 〈-5/2 , +∝〉
e) N.A.
14. 2
|1x|
|x|
<
−
a) [1 , ∝〉
b) 〈-∝ , 0〉
c) 〈-∝ , 1〉
d) 〈-∝ , 2/3〉
e) 〈-∝ ,
3
2
〉 ∪ 〈2 , ∝〉
15. Resolver:
0
5x
|2|1x|||1x|
2
2
≤
+
+−−−
a) 〈2 , 3〉
β) ∅
c) R
d) 〈0 , 2]
e) [-1 , 3]

21. TEMA: LOGARITMOS: FUNCIÓN EXPONENCIAL
Logaritmos:
Definición: Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el
exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado.
Así, el logaritmo del número “N” en base “b” (b > 0 y b ≠ 1) es el exponente “x” a que debe
elevarse la base “b” (bx
) para obtener “N”.
Notación:
N ú m e r o
L o g N
b
= x
B a s e
Se lee “Logaritmo del número N en base b es igual a “x”
Por definición: Si NbxNogl x
b
=↔=
Esta relación puede ser en función exponencial o función logarítmica:
1.
.aLogaritmicFuncionyxlogxNlog
bb
=→=
2. ontencialexpFuncionybNb xx
=→=
Ejemplos:
•
5x
by5xybSi =→==
•
ylog5xyxlogSi
bb
=→==
FUNCIÓN EXPONENCIAL:
Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir
números reales positivos y los exponentes a números racionales.
1) yxyx
aaa +
=⋅ 7)
xyyx
a)a( =
2)
yx
y
x
a
a
a −
= 8)
nnn baab ⋅=
3)
xxx
b.a)ab( = 9) 0b,
b
a
b
a
n
n
n ≠=
4) 0b,
b
a
b
a
x
xx
≠∀=





10) n/mn m
aa =

22. 5) 0a1a0
≠∀= 11) mnm n aa =
6) 0a,
a
1
a
x
x
≠∀=−
12)
mn nm n baba =
Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
{ } RD;1Ra,a)x(f f
x
=−∈∀= +
Observación:
¿Por qué se excluye a, a = 1?
También debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendríamos que
excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2
, (-
1) 3/8
, etc., no están definidas en el sistema de números reales.
Gráfica de Funciones Exponenciales.
a) Cuando la base a ∈ < 0,1>:
⇒ En el gráfico se observa:
• 2x1x
aa >
•
)x(f)x(f)xx(f 2121 ⋅=+
•
>∞=<∧= ,0RRD ff
b) Cuando la base a ∈ < 1, ∝>:
⇒ En el gráfico se observa:
• 2x1x
aa <
• )x(f)x(f)xx(f 2121 ⋅=+
• >∞=<∧= ,0RRD ff
c) Si a > 1:
)x( 1
f
)x( 2
f
1x 2x
x
)x( af =
( 0 , 1 )
y
x
x
)x( af =
1x 2x
)x( 2
f
)x( 1
f
( 0 , 1 )
y
x

23. x
)x( 3
1f 




=
- 3 - 2 - 1 1 2 3
1
2 7
9
3
y
x
Se observa:
• xx
aa;0,x −
<>−∞<∈∀
•
xx
aa;,0x −
<>∞<∈∀
• En x = 0 ; ax
= a-x
= 1
Grafica de la función exponencial natural, f(x) = ex
:
• Sus propiedades son las mismas que las
de la función f(x) = ax
Problemitas:
• Graficar:
x
x
3
1
)x(f)4()x(f 





=∧=
Caso I: f(x)=4x
a>1
Localizamos los puntos:
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Caso II:
Localizamos puntos:
x
)x( 4f =
6 4
1 6
4
1
- 3 - 2 - 1 1 2 3
y
x
643
162
41
10
4/11
16/12
64/13
)x(fx
1)x(f
0x:Para
1)x(f0
0x:Para
−
−
−
>
>•
<<
<•
x
3
x
2
x
)x( ef =
x = 0
x
y
x
a − x
a
( X = 0 )
y
x

24. 27/13
9/12
3/1
1
10
31
92
273
)x(fx
1)x(f0
0x:Para
1)x(f
0x:Para
−
−
−
<<
>•
>
<•
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
• Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:
)2(...........yx
)1(...........yx
ba
xy
=
=
Sin utilizar logaritmos:
Como:
)dividiendo(
yx
yx
ba
xy
÷




=
=
Quedaría: x y –a
= y x –b

25. )I...(..........
b
ax
y
y
x
a
b
axyb
axyxybxy
bx
x
ay
y
==
=
−/=−/⇒
−
=
−
∴
Sacando x:
)2(endoreemplazan;)I...(..........
b
ax
y =
b
a
b
ax
x 





=
ba
bb
ba
b
b
a
b
a
x
b
a
x
)exponentesrestarpasando(x
b
a
x
−−






=⇒





=
⋅





=
• Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) Si 0< a < b< 1 entonces ax
< bx
, ∀ x > 0
II) Si 1 < a < b entonces ax
< bx
, ∀ x < 0
III) Si 0 < a < 1 entonces Rx,
a
1
a
x
x
∈∀





<
Sol:
1) Mediante la exponencial decreciente:
Como: 0 < a < b < 1
⇒ 0x
< ax
< bx
<1x
, sólo si x es positivo, como veremos en la siguiente gráfica:
Falsa
espropociónLa
;0xba xx
<∀<⇒
2) Mediante la exponencial creciente:
x
a
x
a
x
b
x
b
y
x

26. Como: 1 < a < b
1 < ax
< bx
∀ todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:
;0xba xx
<∀>⇒
Como habíamos visto anteriormente:
xx
ba1 <<
∴ Cuando x < 0, caso contrario. ax
> bx
∴ La proposición es verdadera
3) Graficando ( ) :1a0,
a
1;a
xx
<<
FalsaesnproposicióLa
0x
Rx;
a
1
a
x
x
∴
>
∈∀





< +
• Como resolver una ecuación exponencial con logaritmos:
Ejemplo:
Hallar unos de los valores de “x” que satisfagan el sistema:
)2(.......1264
)1(.......406464
yx
y2x2
=
=+
+
En (1):
( )complicadomuy)I.........(Log)6464(Log
logaritmo)(sacando406464
40y2x2
y2x2
=+
=+
En (2):
64x+y
= 12 (sacando logaritmo)
log 64(x+y)
= log 12
⇒ (x + y) log 64 = log 12
x
a
x
a
x
b
x
b x
)x( mf =
x
y
x
a
x
)
a
1(
x
y

27. ⇒ (x + y) =
64log
12log
… (α)
Saber:
Log12 = 2 Log2 + Log3 ; Log6 = Log2 + Log3
Log64= 6 Log 2
Sabemos:
)II(..........86464
)12(240)6464(?
)64(2
)64)(64(2)6464(642642
yx
2yx
12
)yx(
yx
?
2yx
40
yx
=+∴
+=+=∴
−
−+=+
+

    
• Igualmente:
)III.......(4y64x64
2440)6464(
)64(26464)6464(
2yx
12
)yx(
40
y2x22yx
=−∴
−=−
−+=− +
  
[ ]
2Log6
3Log2Log
x
LogLog2log6x
6Log64Logx
sacando(664
12)64(2
..46464
....86464:)III(y)I(En
32
x
x
yx
yx
+
=
+=
=
=
=
=−
=+
• Otro caso:
• Una de las raíces de la ecuación: ( ) 683 2x
x
x
=










+
Sacando Logaritmos:

28. 3log2log6log2log38log:Pero;6Log8Log
2x
x
3xLog
6Log8Log3Log
6Log8)3(Log
2x
x
x
2x
x
x
+=∧==





+
+
↓↓
=+⇒
=










+
+
3L o g2L o g2L o g
2x
x3
3x L o g +=





+
+
1xparacumpleSi
1x2xx31
12x
x3
1x
=




=→+=→=
−
=
3Log1
2x
x3
3xLog6Log
2x
x3
3xLog
2Log
6Log
2x
x3
2Log
3xLog
6Log2Log
2x
x3
3xLog
2222 +=
+
+→=
+
+•
=
+
+
=





+
+•

29. [ ] [ ]
6log2X
6log212log2x
2log22x
3log
2
2x
2x
2
3Log
2x
)1x(
2
2x
x3
13Log)1x(
3
33
3
2
2
2
−=
−=+−=
−=+∴
−
=+⇒
+
−
=
+
−
−=
+
−=−⇒

30. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Resolver: ax
= b
Rpta:
2) Resolver:
xb
a = c
Rpta:
3) Resolver:
25xlog)15x52x(xlog
35 =+−
Rpta:
4) Resolver el siguiente sistema:
)II....(..........0)ylog3(3x
)I(..............y3
3
2
x
=−+
=
Rpta:
5) Resolver la siguiente ecuación:
3x+2
= 135.
Sabiendo que: log2 = 0.30103
log3 = 0.47712
Rpta:
6) Resolver la desigualdad:
2x 52x
– 5x+1
+ 2 < 0
Rpta:
7) Si se cumple que:
x35xx5x3
baba ⋅=⋅ +− la
equivalencia de: x log 





b
a
es:
Rpta:
8) El valor de la expresión:
3
10625.0log
3
1
10E
−
=
Rpta:
9) El valor de la expresión:
27log
147log57log2
5
52
E
+
=
+
Rpta:
10)El valor de la expresión:
)1x(log.......5log4log3log x654x −⋅⋅
es:
Rpta:
11)Sabiendo que el logaritmo de ,
5
93 en base15
27 , es igual a:
4 5 3
x291447 +++ , el valor
de: 18xlog
3 + es:

31. Rpta:
12)Si x = a3log
2 el valor de:
3alogxalog
x73E ⋅+= es:
Rpta:
13)El valor de “x” que satisface la
siguiente ecuación:
125x35x2 5logxlog aa =+
es:
Rpta:
14)Las raíces de la ecuación:
1xxlog2)25x102x(xlog
117 −+−
=
son:
Rpta:
15)Al resolver la ecuación: 5(4x
) +
4(10x
) = 25x
, el valor obtenido para
“x” es:
Rpta:
16)Al resolver la ecuación:
0274 x
12log9
3log
27
8 =−




+
Rpta:
17) El número de soluciones reales
que presenta la ecuación:
6)5x(x
252)5x(
log
2)x2(2log2x2
2log
=++ +−−
es:
Rpta:

32. 18) Al resolver la ecuación:
64x
2
x )7x(log
=+ , se puede
afirmar que:
Rpta:
19) El mayor valor de “x” que satisface
la siguiente ecuación:
64
x
x 4xlogxlog 2
2
2
2 =−−
Rpta:
20) El producto de las raíces de la
ecuación: , es:
,x2781 3xlog
= es:
Rpta:

33. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) La ecuación : ( ) xx
xx = , tiene por
solución a:
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1 y 2 e) 1 y 4
2) El valor de “x” que satisface al sistema:
)2(.......bx
)1.......(ba
yy
yx
=
=
a)
( ) 1blog
blog
a a
a
blog −
b)
( ) 1alog
alog
b b
b
alog −
c)
( ) 1blog
blog
a a
a
blog +
d)
( ) 1alog
alog
b b
b
blog +
e)
( ) blog
1blog
a a
a
blog
−
3) Uno de los valores de “x” que
satisfacen al sistema:
)2(........2x
)1(.........1xlogy
105.0log2y
=
=+
a) -1 b) 2 c) 10
d) 100 e) 1000
4) El valor de “y” que satisface al siguiente
sistema:
( )
( )II........0)ylog3(3x
I.........y2
2
2
x
=−+
=
a) 2 b) 3 c) 8
d) 64 e) 256
5) La suma; ( x + y) se obtiene al resolver
el sistema:
( ) ),2(.........2xyLog
)1(.........172823
3
yx
=−
=⋅
es:
a) 3 b) 4 c) 6
d) 9 e) 10
6) Después de resolver el sistema de
ecuaciones:
( ) ( )
)2(........ab
)1(........byax
ylogxlog
blogalog
=
=
Se observa que el valor de “x” es:
a) a b) 1/a c) b
d) 1/b e) a2
7) El mayor valor de “y” que satisface el
sistema:
)2(........2y2y
)1(........ylog1x
1x2x2
4
2
+
+⋅=
+=
a) 1 b) 2 c) 4
d) 22 e) 24

34. 8) Al resolver el sistema:
)2(.........8yx
)1(.........ylog5
11log
11log
2
x
xy
x
=+
−=
el valor (x + y) que se obtiene es:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
9) Si: 4x
- 4x – 1
= 24, el valor de (2x)x
es:
a) 5 b) 55 c) 25
d) 125 e) 525
10) Los valores que satisfacen a la
ecuación: 8042 x1x
=++ , son:
a) 2log
1y3 b) sólo 3
c) 2log
1sólo d)
2log
1y3 −−
e) sólo -3
11) Hallar x, si: 10x
+ 10 –x
= 3
a) 







 ± 2/53log
b) 10
c) )2/5log(
d) 10log2/)53(log −



 ±
e) 2
)53log( +
12) Si x es un número entero positivo que
verifica la relación:
8 5/)2x(4 4/)3x(
)64,0()8,0( −−
>
respecto a la desigualdad podemos
afirmar que:
a) Hay infinitas soluciones
b) El mayor valor de x es 11
c) Solamente la satisfacen los enteros
impares menores que 25.
d) La suma de todas sus soluciones
es 21.
e) El menor valor de x es 15
13)Los valores de “x” que satisfacen la
ecuación: x
1x2
xx =− tienen
como producto:
a) 0 b) 1 c) 4
d) 1 e) 12
14) Se tiene la función:
1a
1a
)x(f
x
x
+
−
= ;
a > 1, x ∈ [1,∞>. Hallar el rango de f.
a) >


∞
−
+
,
1a
1a
b)
>
+
−
<
1a
1a
,0
c) >
+
−
+
−
−<
1a
1a
,
1a
)1a(
d)
>∞< ,0
e) >


∞
+
−
,
1a
1a
15) Hallar la suma de los cuadrados de
todos los elementos que cumplen con

35. ( )








=−∧=−= 7237723/y,xE 2
2y
2
x
2yx
a) 25 b) 18 c) 36
d) 32 e) 16

36. TEMA: FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax,
tal que f: R →
R+
es una función inyectiva.
Y su función inversa es: (Función Logaritmo)
Sea: a > 0, a ≠ 1, siendo “a” la base, denotada por:
0x,xlog)x(fY a >∀==
 ay
= x
• Don f = R+
= < 0, ∞ > Ran f = R = <-∞, ∞ >
Ahora veremos las siguientes gráficas:
• Caso I: Si 0<a<1 ∧ 0<b<1
• Observamos:
• 0<b <a<1
• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx
• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx
• Si x = 1 → logax = logbx = 0
• Caso II: Si a >1 , b>1
• Observamos:
• 1<a <1 a ∧ b son positivos.
• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx
• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx
• Caso III: a>1
• Observamos:
• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax < log1/ax
• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < log1/ax
• Existe simetría respecto al eje x.
y
x
xlo gy a=
xlo gy b=
( 1 , 0 )
xlo gy b=
xlo gy a=
y
x
( 1 , 0 )
xlo gy
a
1=
x
y xlo gy a=

37. Propiedades Generales de los logaritmos
• Sea b: base de f(x) = logbx; b>0 ∧ b ≠ 1.
- Si b > 1 ⇒ logb∞ =+∞ ∧ logb0 = -∞
- Si 0 < b < 1 ⇒ logb∞ = -∞ ∧ logb0 = +∞
bb1blog 1
b =⇒=•
BlogAlogBAlog bbb +=⋅•
1b01log 0
b =⇒=•
BlogAlog)B/A(log bbb −=•
Nb Nlogb =• Alog
n
1
Alog b
n
b =•
aln
bln
blogNlnNlog ae =∧=•
Nota: Sea : log251 = 2 – 39967
Donde: característica = 2
y la Mantisa = 0.39967 (parte decimal)
Ejemplos:
1) Encontrar el valor de “x” a partir de:
10
aa
2
a
2
xx alog)xloga(log)xloga(log =++
Considere: a > 0 ∧ a ≠ 1
Solución:
Sabemos: logbb = 1 ∧ logbbn
= n logbb = n (1) = n
Según el enunciado:
10)xlog2()2a(log ax =++
Además: 1alogblog ba =⋅
Llamaremos:
m
1
alogmxlog xa =∧=

38. Poniendo en (I): 10)m2(
m
1
2 =+





+
Resolviendo:
2m2/1m
m10)m2()1m2(
=∧=⇒
=++
Como m = logax




=↔=→=
==↔=→=
2
a
2/1
a
ax2xlog2m
aax2/1xlog2/1m
2
axax =∧=∴
2) Reducir: ?
5log1
5log1
7log1
7log1
7
7
5
5 =
−
+
+
−
+
Sabemos: 1alogblog ba =⋅ por lo tanto según el problema.
5log
1
7log15log7log
7
575 =→=⋅ , reemplazando en el enunciado.
0
5log1
5log1
5log1
15log
?
5log1
5log1
15log
15log
5log1
5log1
5log
1
1
5log
1
1
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
=
−
+
+





−
+
−∴
=
−
+
+
−
+
=
−
+
+
−
+
⇒
3) Resolver: log 14x + + log 7x + - log 1,2 = 1
Sabemos:
b/alogblogalog
balogblogalog
=−
⋅=+ , además
En el problema: 



 +



 +=+++ 7x14xlog7xlog14xlog

39. Como:
10log1
)I(......2,1log17xlog14xlog
=
+=+++
En (I) tenemos:
12log)7x()14xlog(
)2,1()10log()7x()14xlog(
=++
=++
( )cumplaquepara014x07x
12)7x()14x(
≥+∧≥+→
=++⇒
Resolviendo:
46x21x14498x21x 22
=+⇒=++
)cumplesi(2x
)cumpleno(23x
2x
23x
046x21x2
−=
−=



−
+
=−+∴
Rpta: x = 2
4) Resolver la ecuación:
10xlogxlogxloglog 933/13 =+++
Sabemos: NlogNlog b
n
bn =
Primeramente, hacer que todos tengan una misma base.
• )I(...x/1logxlogxlogxlog 3
1
3
1
1)3/1(3/1 === −−
−
• )II(...xlogxlogxlogxlog 2
3
2
3
2
33 2 ===
• )III(......xlogxlogxlogxlog 3399 ===
• (de I, II, III); reemplazando en el problema:

40. 5) Calcular: 6log2log2log3logE 2332 ⋅⋅+=
Sabemos: 1a0a
clogblogcblog
cblogclogblog
aaa
aaa
≠∧>



+=⋅
⋅=+
En el problema:   
)I(
3232 6log6log2log3logE ⋅−+=
I = ojo3x26;)6(log)6(log6log6log 3232 ←=⇒⋅
• .igualmente;3log2log)3x2(log6log 2222 +==
•
1blog:sabemosademás;3log2log)3x2(log6log b3333 =+==
Reemplazamos:
Por lo tanto:
2E
2)11(E
−=
−=+−=
813x
3x3logxlog
3loglog
3log1010xlogxlogx/1logxlog
4
102/510
3
2/5
3
10
3
xx)x/1()x(
3
10
33
2
333
2
==
===
=
=⇒=++=
[ ]
1alogblog
)2log3log1(E
2log3log3log2log12log3logE
)2log1()3log1(2log3logE
ba
:Sabemos
32
322332
3232
=⋅
⋅+−=
+++−+=
++−+=
  
.

41. 6) Si:
12
a27log =
. Calcular: log616
Recordar: blognblog a
n
a =
)I(.......3log33log27log 12
3
1212 ==∴
Por lo tanto: .16log:pidennos;3log3a 612=
Luego: 2log4ó16logpidennos4log24log16log 666
2
66 →==
Pero como: 2log4x16logllamaremos;3log3a 6612 ===
3log4log12log
12log2
3
12log
3
a
12log
1
3log 333
333
12 +=



+
==→=

42. )I(.........1
x
4
3log
x
3
13log
13log
3
x
13log
4
xademás;
3log2
3log3
1
3log
2
3
a
:doreemplazan.;
3log
1
2log:además;
12log2
3
a
3log2log6log
13log
4
6log
4
x
6log
1
2log
22
2
22
2
2
2
3
3
222
222
6
−=→=+
+
=⇒
+
=
+
=
+
=
=
+
=∴
+=



+
==→=
Reemplazando en “a”:
)xsacando(
x4
x312
a
x
x4
x
x312
1
x
4
3
x
12
1
x
4
2
1
x
4
3
a
:tantoloPor
+
−
=⇒
+
−
=
+
−
=






−+






−
=
gradoprimer
deecuaciónlautilizando
a3
a412
x
a412x)3a(
x312axa4







+
−
=
−=+
−=+∴

43. Por lo tanto: 27logasiendo;
a3
a412
16log 126 =
+
−
=
PASO DE UN SISTEMA DE LOGARITMO A OTRO
El problema consiste en calcular el logaritmo de un número “N” en una base “b” (b > 1 ∧ b
≠ 1), si se conoce el logaritmo de “N” en base “a”; (a>1 ∧ a ≠ 0). Dato: Nloga ; se pide:
Nlogb .
Tomando logaritmo en base “a” ambos miembros de la igualdad:
⇒ Nb Nlogb = (sabemos).
Se obtiene:
Nlo gblo g a
Nlo g
a
b =
}
Nlog
blog
1
blog
Nlog
Nlog
:totanloPorNlogblogNlog
a
aa
a
b
aab
⋅==
=⋅
El factor:
blog
1
a
se llama Módulo de paso de un sistema de logaritmos de base “a” a
otro de base “b”.
Ejemplo: Del ejercicio (6) del anterior:
a27log12 =• ; nos piden
} .basedecambiando16log6 •

44. 4
blog1
blog
21
blog1
1
21
4
blog21
alog21
;
blog1
blog
2blog2
a
a
a
b
a
ab
a
a
b
a
−=








−
+








+
−
⇔=
+
−








−
=⇒ 
m
a2
a3
ama23a
1m2
3
m2logSea
)2logtienenambos(?
2log1
2log4
6log
16log
16log
)I(.......a
12log2
3
12log
27log
27log
3
3
3
3
3
3
6
33
3
12
=
−
→+=→=
+
⇒=
=
+
==
=
+
==
Reemplazando:
a3
a412
a3
)a3(4
a2
a3
1
a2
a3
4
16log6
+
−
=
+
−
=





 −
+





 −
=
(Esta forma será más simple que al utilizar el método anterior)
• Indicar la relación de a y b. Si:
4
blog21
alog21
b
a
ab
−=
+
−
Solución:
Cambiando de base:
• Para:
)simplemás(
blog1
1
2alog2
blogalog
1
ablog
alog
2)alog2(
a
ab
aaa
a
ab












+
=⇒








+
=







=
• Para el otro caso:








⋅
=












=
blogalog
blog
2
b
a
log
blog
2blog2
aa
a
a
a
b
a
reemplazamos en el problema.

45. Sea: )fácilmás(xbloga =
( )
{ }
33
1
3
1
a3
1
3/13
a
2
2
babablogxSi
baba3blog3xSi
3/1x3x1x3x3
2
1x
1x
2
1x
1x
4
)1x(
1x
4
x1
1x
1x
1x
4
x1
x2
1
x1
2
1
−
−
−−
−−
=→=→=→=
=→=→−=→−=
−=∧−=−=∧=−
−=
+
−
∧=
+
−
→
=
+
−
⇔−=
−
+
+
−
→−=
−
+
+
−
⇒
→ Cumple dos relaciones entre a/b, según el problema.

46. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Calcular el logaritmo de
3
20032003 en base:
3
20032003 es:
Rpta:
2) Luego de resolver el sistema:




=+
=+
)2(......2LogyLogx
)1(.....425yx 22
Calcular: xlog y2 ; considere x
>y
Rpta:
3) Resolver:
)x(coslog1)senx(log)x2cos(log 222 +=−
Hallar: Tan (2x).
Rpta:
4) Calcular:
3 252log2
bllaM −=
Si 2)4ba(2log 24
)ba( 2 =−++
Rpta:
5) Resolver:
5,7xlogxlogxlogxlog 2
24162 =+++
Rpta:
6) Indicar el valor de:
56log
32log23log
94 





es:
Rpta:

47. 7) Resolver
2003)1xlog()1x2log(
2003log102003
=−+−
Rpta:
8) Si consideramos a>1; el valor de “x”
que verifica el siguiente sistema:







=



 +
=



 −
)2(.......x)32(alog
)1(.......)32(alog
5
a
2
15
2
2
a
Rpta:
9) Reducir:
( )7log2log214log
7log2log
55
2
5
2
3
2
3
−
+
Rpta:
10) Mostrar el equivalente de:
n
nnn
nnn
Nln......3ln2ln
Nlog.......3log2log








+++
+++
Rpta:
11)El valor de “x” que verifica la
ecuación: Si:
Ennnlog
x
n
log4
n
=÷
sabiendo que:
3 nn
n
4
logE =
1b0bbn
2log
2bloglog
2
≠∧>∧=








12) Sabiendo que:



=
=
)2(........10ab
)1(.......2log3log ba
Calcular “b”
Rpta:
13) ¿Cuántas cifras tiene el resultado de
efectuar: ?25 8040 =⋅
Rpta:
14) ¿Cuántas soluciones presenta el
sistema?




=
=−
)2........(42
)1......(8)y/x(log)xy(log
ylogxlog
22
Rpta:
15) Calcular el área de la región que
describen en el plano Gausseano
los números complejos Z. que

48. verifican la desigualdad.
2
/z/2
1/z//z/
log
2
3 ≤








+
+−
Rpta:
16) Hallar “x” de:
axlogxlogx2loglog aaaaaa =⋅+
considere: a> 0 ∧ a ≠ 1
Rpta:
17)Hallar el valor de “n”:





 −
=






++





+++
2
20n2
log
n
1
1log...
3
1
1loglog
2
22
)
2
11(
2
Rpta:
18)Simplifique:
)yx(Ln)xz(Ln)yz(Ln
zyx
eee
)zyx()eee(
+−−
++
++++
sabiendo que:
15ln5lny;3lnx ∧==
Rpta:
19) Resolver:
2)5x2(Log )3,0( −<+
Rpta:
20) ¿Cuántos números enteros no
positivos verifican la inecuación:
Lne
14
xx224
log
2
16
2x25
>







 −−







 −
Rpta:

49. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Calcular el valor de:






+





=
3
8
log
2
9
logN 273
a) 2/5 b) 3/4
c) 4/3 d) 5/3
e) 2/3
2) Evaluar:
( )( )
( )( )clogclog
1calogbclog
R
ba
ba −
=
para:
2c12b
12a
=−=
+=
a) 1 b) -1
c) 1/2 d) -1/2
e) 2
3) Calcular:
495log
97log83log
7
27log57log2
2log5
52










++
a) 512 b) 1024
c) 2048 d) 4096
e) 2
4) Reducir:
( )k
5
K25log...85log45log
5
2log
2log
E =
a) 1k − b) k c) 1k +
d) 2
k
e) 2
1k +
5) Si:
4
ylog21
ylog21
y
x
xy
=
+
−
halle:
)xy(log
y
x
log
y
xxy





+





a) 5/2 b) -5/2
c) -2/5 d) 2/5
e) Más de una es correcta.
6) Hallar “x”
2x2xxx
x )x()x(log
−
=
a) 5 b) 6
c) 3 d) 1
e) -1/2
7) Sabiendo que el logaritmo de 5
93
en base de 15
27 es:
4 5 3
x291447 +++
Hallar x:
a) 729 b) 8
c) 27 d) 1
e) 64
8) Resolver:
( ) 01256log1)xlog 3
x2 =++
a) x = 1/3 b) x = 1/8
c) x ∈ {1/3, 1/8} d) x = 1/9
e) 1/2
9) A partir del grafico de las curvas
logarítmicas:

50. )6xlo g (x( 1 +−
( a ; b )
( p ; q )
( t ; u )
( r ; s )
y
x
( x ; lo g ( x + 2 ) )
Calcular; a + b + p + q + r + s + t + u
a) 4+ log20
b) 3 + log12
c) 6 + log24
d) 8 +l og30
e) 6 + log 24
10) Resolver el sistema:






=
−
+
=−+
2log3
yx
)yx(
log
13log1)yxlog( 22
a) {(9,7)} b) {(9,2)}
c) ∅ d) {(3,4)}
e) {(7,9)}
11) Resolver en Z:
10log
2
16
x25
)e(ln
14
xx224
log 2 >







 −−







 −
a) 1 b) 2
c) 3 d) 8
e) 5/2
12) Resolver: 1
1x
3x
log 2
>





−
+
a) >+< 223,1
b) >+< 245,1
c) >< 22,1
d) >+< 232,1
e) >−< 223,1
13)Hallar el rango de la función:
[ ]6,4x
),x64xlog()x(f
∈∀
−+−=
a) 





2log;
2
1
log b)






2log;
4
1
log
c) [ ]2log;2log d)






2log;2log
8
1
e) 





2;2log
5
1
14)Graficar:
{ }1,0Rx
|1x|
)1x(
|x|
n
2e)x(f |x|x
−∈






−
−
−
−
= −
4
1
2
a )
1 2
4
1
b )
4
2
1
c ) 4
2
- 1
d )

51. 4
2
- 1
e )
15) Señalar verdadero (V) o falso (F)
según corresponda:
I)






≥





 25
1
log5log
16
14
II) 3log7log 85
III) 1x00)1a(logsi},0{Ra 2
x <<⇔<+−∈∀IV)
1x0xlogxlogSi 3/12/1 <<↔>
a) VFVV b) VFFF
c) VFVF d) FVFV
e) FVVF
16) Resolver:
10log
1
10log
1
10log
1
)4x()2x()12x( +−+
=+
a) 10 b) 16
c) 20 d) 22
e) 24
17) Sabiendo que los logaritmos: logyx;
logzy; logxz; logxz, en ese orden,
forman una progresión geométrica y
además cumple las siguientes
igualdades: 2x4
= y4
+ z4
; xyz = 125.
El valor de ( x + y + z), es igual a:
a) 5 b) 10
c) 15 d) 20
e) 25
18) El valor de “x” que satisface a la
siguiente igualdad.
( ) 


 −−+−+= balogbalog
3
1
)ba(log
2
1
xlog 82
22
42
a)
ba
baba 3
22
+
−+
b)
4 2
33 22
)ba(
baba
+
++
c)
9
3 24 22
ba
)ba(ba
−
++
d)
3 2
94 22
)ba(
baba
+
−+
e)
2
322
)ba(
baba
+
−+
19) El valor de “x” que satisface al
siguiente sistema:
)3(........5ylogxlogzlog
)2(........5xlogzlogylog
)1(........5zlogylogxlog
64644
27273
882
=++
=++
=++
a) 2 b) 3
c)
3
22
d)
9
38
e)
3
34
20) La solución de la ecuación:
0
4
x
log
6x7x2 2 >





+− es:
a) 1<x<2; 3<x<4
b) ∞<<<< x4;
5
1
x1

52. c)
∞<<<<<< x4;4x3;
2
3
x1
d)
∞<<<<<< x5;4x3;2x1
e)
∞<<<<<< x4;
2
7
x2;
2
3
x0

53. TEMA: PROPIEDADES GENERALES
COLOGARITMO: Se llama cologaritmo de un número de una base dada al logaritmo de
la inversa del número en la misma base. Es equivalente al logaritmo del número en la
misma base precedido del signo menos y también al logaritmo del número en una base
igual a la inversa de la base del cologaritmo.
Por definición:
)1(....
N
1
logNlogco bb =
de (1) desarrollando el logaritmo de un cociente, se obtiene:
)2(.......Nlog0Nlogco
Nlog1logNlogco
bb
bbb
−=
−=
En (1), elevando a la base y al número al exponente -1, se obtiene:
)3..(..........NlogNlogCo
N
1
logNlogco
b
1b
1
1bb
=






=
−
−
de (1), (2) y (3) tenemos:
NlogNlog
N
1
logNlogco b
b
1bb −===
Ejem:
•
15log15log
15
1
log15logco 3
3
133 −===
•
)5x3(log)5x3(log
5x3
1
log)5x3(logco x
x
1xx −−=−=
−
=−
ANTILOGARITMO
Definición: Se llama antilogaritmo en una base dada de logaritmo de un número en la
misma base al número el cual pertenece dicho logaritmo.
Sea el número 0: N = bx

54. Por definición de logaritmos, resulta: )1(......xNlogb =
Por definición de antilogaritmos, se tiene:
NNlogloganti bb =
La igualdad anterior nos indica que: cuando a un número se aplican dos funciones
contrarias (una directa y otra inversa) logaritmo y antilogaritmo de igual intensidad (la
misma base), sus efectos se neutralizan.
De otro lado, tomando antilogaritmo en base b ambos miembros de (1), se obtiene:
xlogantib
bNpero,xlogantiN
xlogantiNlogloganti
bx
x
b
bbb
=
==
=
o también :
x
b bxloganti =
De la última igualdad resulta que el antilogaritmo en una base dada aplicando al resultado de
haber tomado la función logaritmo es igual a la base del antilogaritmo elevado a este resultado.
Ejemplos:
1. 55logloganti 33 =
2. 3logloganti 24 , la base del antilogaritmo y del logaritmo deben será la mismas
para que sus efectos se neutralicen, elevando al cuadrado la base y el número de
logaritmo, se obtiene: 99logloganti3logloganti 44
2
224 ==
3. 2552logloganti 2
25 == 5.
9
1
3)2(antilog 2
3 ==− −
4. 8
1
33loganti
2
12/1 ==





 6.
8
1
2)3(loganti 3
3 ==− −
Propiedades que Relacionan los logaritmos y antilogaritmos con el cologaritmo:
1) Rx,1a,0a;xxantiloglog aa ∈≠>∀=
2) 0x,1a,0a;xxlogloganti aa >≠>∀=
3) Rx,1a,0a;xxlogantilogco aa ∈≠>∀−=
4) 0x,1a,0a;
x
1xcologantilog aa >≠>∀=

55. Problemas Resueltos:
1) Hallar el valor de x si: antilogx
4 2
antilog
antilog23 = 81
Solución:
818logcontiloganti
x4loganti
28loganti
812logantiloganti:obtieneSe
bxloganti:iguladadlaAplicando
)igualmente(
42x
4
x
8
4
423
42x
x
b
=
=•




=•




=
=

)positivarealsoluciónlaes,dondede(3x
81x
)fórmulasegunigualmente(814loganti
81)2(loganti
4
x
84
x
=
=
=
=⇒
2) Resolver: antilogx antilogxx = 16
Solución: Por definición de antilogaritmo resulta:
16x
16xloganti
xx
x
x
=
=
Dada la formula adecuada al segundo miembro, obtenemos:
22xx4xx
2x2x =⇒=
De donde se observa: x = 2
3) Hallar el valor de:






−





++= 11
2
1
)13(loglogantiloglogantilogcox 42395
Solución: Reduciendo los valores de la parte interna hacia fuera, resulta:

56. 36log36log3log12log3log
2
1
12log
2
1
12log
11
2
1
12loglogantilogcox
11
2
1
12loglogantiloglogantilogcox
12log12log12log43log4log3log13log
9333333
395
22395
2444444
==+=+=+






−





+=






−





+



=
===⋅=+=+
Por lo Tanto:
[ ]








−= 1136loglogantilogcox
36
995   
{ } { }
ylogylogCo
:Sabemos35logco1136logcox
xx
55
=

=−=
2x25log2x
5log25logx
5
2
55
−=→−==
−=−=
4) Resolver: log3(5x-1) + Colog(3x-5) = 2
Solución:
Aplicando la igualdad: )5x3(log)5x3(logco 33 −−=−
2)5x3(log)1x5(log 3
3
3
=−−−
Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente, se tiene:
2
5x3
1x5
log3 =





−
−
Por definición de lo logaritmo, resulta:

57. 2xx2244
)5x3(91x5
3
5x3
1x5 2
=→=
−=−
=
−
−
5) Resolver la siguiente ecuación:
[ ] 03logcoX 2
x4log
)x4(log4log
=+
Por la fórmula del cambio de base, se tiene:
( ) ( )xloglog
xlog
xloglog
4x
4
44
=
Luego:
[ ] )logaritmoslosdelfundamenta(identidad4
)x4(logxlog
xlogXA ==
Nota: Otra forma de simplificar A es haciendo:
4
4 4xyxlog =→=
b) Reemplazando en la ecuación:
03logxlog03logcoxlog 2424 =−⇒=+
9x
9log3logxlog 424
=⇒
==⇒

58. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Resolver:
x32logco2loganti 23 =+
Rpta:
2) Si: 10 3x =
Calcular






++=
x
6
log
x2log
x
3
log
x 643logcoM
Rpta:
3) Simplifique:
[ ]
[ ] [ ]blogalogblogcoclogalog)c(log
)clogb(logblogcoclogalog)alogco(
−+
−−+
.
b>0 ∧ b ≠ 1; c>0 ∧ c ≠ 1
Rpta:
4) Evaluar:
)c(log)c(log
1)calogco)(bclogco(
R
ba
ba −
=
Para:
2c;12b;12a =−=+=
Rpta:
5) Resolver:
xlog2)4x3(log 5
x
5
log
x =+
Indicar: )x(logloganti 5x
Rpta:
6) Resolver el sistema:
3logantilog
yx
)yx(
log
13logco1)yxlog(co
2
22
=
−
+
•
=++•
Rpta:
7) Hallar el producto de las raíces de la
siguiente ecuación:
125)2x(logloganti 5x =−
es:
Rpta:
8) Los valores de “x” que satisfacen a la
ecuación:
:son,x353logAnti 2
)x5( −=−
Rpta:
9) Si cumple que:
x35xx5x3
baba +−
= la
equivalencia de:
[ ]alogcoblogx + , es:
Rpta:
10) De las relaciones:
Antilogax = x
y ……… (1)
logb
y
x = y ……….. (2)
Donde: a> b>1
Determine:
3 a
b
3 b
a ylogxlogK ⋅=

59. Rpta:
11) Hallar la suma de valores de “y”,
luego resolver:
)2(.......ylogco42logAnti5
)1(......y2
4x
x
+=
=
Rpta:
12) El valor de la expresión:
2logloganti
14logantilo)5log2(loganti
E
75
7572 ++
=
es:
Rpta:
13) El valor de la expresión:
[ ])1x(xlog....56log45log34logxloganti −⋅⋅
es:
Rpta:
14) Si x = 2 log3a el valor de :
3logloganti7xloglogantiE axa3 +=
es:
Rpta:
15) La raíz de la ecuación:
2)Aloganti(logAlog xA
A
x =+
es:
Rpta:
16) El producto de las raíces de la
ecuación:
x273loglogAnti x81 = es:
Rpta:
17) El valor de “x” que satisface el
sistema:
antilogxy = yx
…… (1)
ax
= antilogby …… (2)
Rpta:
18) Después de simplificar:
57log
47log
4ylog
3ylog
x
2
5
3log
xlog
logAnti




























resulta:
Rpta:
19) El valor de “x” que satisface la
siguiente igualdad:
2Ylogcoxlog 3y −=⋅ es
Rpta:
20) El producto de lar raíces de la
siguiente ecuación:
esn,Antiloglogmantiloglog x55x =

60. Rpta:

61. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Calcular:
3 55 2loganti04,0logcoS +=
a) 2 b) 4
c) 3 d) 5
e) 1
2) Si:
3loglogiAnt4loglogiAntR 2893 +=
Hallar: )24R(logco 5 −
a) 0 b) 2
c) -2 d) -1
e) 1
3) Calcular:
[ ]))05,0logco(loganti(logcologanti 24864
a) 8 b) 1/8
c) 16 d) 1/16
e) 4
4) Calcular: A. B es:
2loganti2loganti2logantiB
2logco2logco2logcoA
1684
1684
++=
++=
a) -12 b) -364
c) 322 d) 18
e) 24
5) Si:
b
alog
(ab) = 2 calcular:
)b()a((logloganti(logcoE 3
abb.a 


 ÷=
a) -1/2 b) -1/324
c) -11 d) -1/112
e) -1/24
6) Sabiendo que:
1CalogCblog =+ Además:
ab = c
Calcular:
3
353535
clogcoblogcoalogco
clogblogalog
B
⋅⋅
−+
=
a) 1 b) 0
c) -1 d) -2
e) 2
7) Sabiendo que:
1b;0b,
6
1
xloglogcologanti bbb ≠>=
Calcular:
)bxlogantiblogco(blogM ⋅=
a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
e) 10
8) Hallar: ( )10
3J Siendo:
( )[ ]








π++
=
π
x
log
x3log
x
5
log
x
2.05.02
95log
625loglogantilog
)x(J
a) 1/2 b) 1/6

62. c) 1/3 d) 1/5
e) 2
9) El valor simplificado de:
3logantilog
logantiloglogantilogco
25.0
44
2
381
es: R.
Nos piden: Hallar los valores de x, si
la ecuación:
R69Rx2logAnti x =++•
a) {3, 9} b) {3, -9}
c) {3, -6} d) {6, 9}
e) {3,6}
10)Sea:
  
.veces"n"
4 4 4 4
32 3.......loglogcoE =
es y
  
.veces"n2"
3 3 3
23 2........logcologR =
Hallar: )RE(loganti 16 +
a) 1 b) 4
c) 2 d) 16
e) 0
11)Las raíces de la ecuación:
:son)1xlog2(loganti
)25x10x(logloganti
x11
2
x7
−
=+−
a) 2 y 3 b) 4 y 6
c) 3 y 4 d) 6 y 8
e) 4 y 5
12)Después de simplificar:
( )










π+ 6/taglog3logco 9
32/1log
1
2
resulta:
a) 2 b) 3
c) 8 d) 6
e) 8
13) Calcular: el lnxx-2
Sabiendo que:
x
e
)x(loglogco(loganti eee +=−
a) e - 1 b) e - 2
c) e d) e + 1
e) e + 2
14) Sean A y B; números enteros.
[ ]
( )( logco3log12loglogLogB
64loglogAntilogA
6663
100Ln
16e
−+=
=
Hallar: B2AR 3
−=
a) 5 b) 4
c) 3 d) 2
e) 6
15) Al resolver:
[ ] 027xlog )xloglogantilog( x =+ el
valor que se obtiene para “x” es:
a) -3 b) 1, 000
c) 0,01 d) 0,1
e) 0,001

63. PROBLEMAS
1) El producto de las raíces de la siguiente
ecuación: xlogn5logm 5x =
a) 0 b) 1 c) n
m
d) m
n e)
m n
5
2) Hallar la menor raíz:
( )
2
3
2x
x3log
3
1
X9 





=








a) 9-1
b) 3-1
c) 27/3 d) 3/3
e)
5
3
3) Dada la ecuación:
045112x
=−−− acerca
de su conjunto solución, podemos
afirmar:
a) Es vacío b) Es unitario
c) Es binario d) Es ternario
e) Es cuaternario
4) Calcular:
49log9loglog
2log
2log5log2 5
7
8
7
77
3
5
52







 ++
a) 512 b) 1024 c) 2048
d) 4096 e) 32
5) Resolver:
01256log1)x(log 3
x2 =++
a) x = 1/3 b) x = 1/8
c) x ∈ {1/3, 1/8} d) x = 1/9
e) 1/2
6) Tres números enteros positivos a, b y c
con a < b < c; están en progresión
geométrica.
clogyblog;alog 222 ;
están en progresión aritmética, así:
cba(6)c)(logb(log)a(log7 222 ++=
hallar el valor de “a”
a) 0,5 b) 16 c) 8
d) 2 e) 4
7) Si:
zloganti,yloganti,xloganti 2793
están en progresión geométrica,
calcular: x – z. Si y – z = 2
a) 2 b) 4 c) 8
d) 3 e) 9
8) Resuelva el sistema:





=
=⋅
=++
xlogzlog
6xlogxlog
8zlogxlogxlog
24
42
442
a) x = 8, y = 16, z = 64
b) x = 2, y = 4, z = 4
c) x = -8, y = 16, z = -64
d) x = 2, y = 8, z = 4
e) N. A.
9) La solución de la ecuación:
1
)x3(log
)x4(log2
)x3(log
1
2
4/1
6
=
+
−
+
+
, es:
a) x = -2 b) x = 3
c) x = 2 d) x = 3
x = -2
e) x = 3
x =+2

64. 10) La solución de la desigualdad:
6xlog
xlog
27log27log
3
3
6
3
9
x
3
x
−
<+
es:
a) 1< x < 3 b) 0 < x < 3
c) 3< x < 9 d) 1<x<3; 9 < x < ∞
e) 0 < x < 3; 9 < x < ∞
TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES EN R:
Relación Binaria: Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina Relación R de
“A” en “B” a todo subconjunto del producto cartesiano de “A” por “B” ( R ⊂ A x B), es decir:
R = {(a;b)/a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ a R b}
Observaciones:
• Si “R” es una relación de “A” en “B” entonces al conjunto “A” se le llama conjunto
de partida, y el conjunto “B” se le llama conjunto de llegada.
• El Dom(R), está dado por el conjunto cuyos elementos son todas las primeras
componentes de los pares ordenados de la relación.
• El Ran(R), está dado por las segundas componentes.
Clases de Relaciones:
1. Relación Reflexiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación
reflexiva, si a ∈ A el par ordenado (a:a) ∈ R.
2. Relación Simétrica: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación
simétrica, si (a;b) ∈ R implica (b;a) ∈ R.
3. Relación Transitiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que, “R” es una
Relación Transitiva, si tenemos: (a;b) ∈ R, (b;c) ∈ R implica (a:c) ∈ R.
4. Relación de Equivalencia: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una
relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Funciones:
Dados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F ⊂ A x B se define: F es una
función de “A” en “B” si y sólo si para cada X ∈ A, existe a lo más un elemento y ∈ B
tal que el par (x ; y) ∈ F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener
la misma primera componente.
Si: F es una función tal que (x;y) ∈ F ∧ (x;z) ∈ F ⇒ y = z .
Dominio y Rango:
Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así:

65. Dominio: DenominadoPRE-IMAGEN,conjuntosde losprimeroselementosdeunparordenado.
Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la
correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.
En conclusión: Dom(f) ⊂ A ∧ Ran(f) ⊂ B .
CLASES DE FUNCIONES:
F. Inyectiva o Univalente: Cuando cada elemento del Rango le corresponde un único
elemento del dominio.
F. Sobreyectiva: Cuando el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada
B, es decir:
Ran(f) = F(A) = B .
Función Biyectiva: Cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Función Par: F(-x) = F(x); x ∧ -x ∈ Dom(f)
Función Impar: F(-x) = -F(x); x ∧ - x ∈ Dom(f)
Función Periódica: T 0 (T = periodo). Tal que:
I. x ∈ Dom(f)  (x + T) ∈ Domf.
II. F(x+T) = F(x) ; x ∈ Domf.
FUNCIONES MONOTONAS :
F. Creciente : X1 < X2  F(x1) < F(x2)
F. Decreciente : X1 < X2  F(x1) > F(x2)
FUNCIONES ESPECIALES:
F. Identidad : F(x) = x
F. Constante : F(x) = K; K ∈ R
F. Lineal : F(x) = y = mx + b
F. Valor Absoluto: F(x) = y = | x |




<−•
=•
>•
0x:x
0x:0
0x:x

66. F. Signo : F(x) = y = Sgn (x)




>•
=•
<−•
0x:1
0x:0
0x:1
F. Máximo Entero: F(x) = y = [ x ]
* y < x < y + 1: y ∈ Z.
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
- Suma : Dom (f + G) = Dom(F) g Dom(g)
- Resta : Dom (f - G) = Dom(f) g Dom(G)
- Producto : Dom (f.G) = Dom(f) g Dom(g)
- División : Dom (f/G) = Dom(F) g Dom(g), G(x) 0

67. PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Hallar verdadero (V) o falso (F)
según convenga:
- Toda función es una relación.
- Toda relación es una función.
- Toda recta es una función.
- Toda parábola es una función.
02. Sabiendo que:
F(2x) + 2F(x) + 1 = 2(1+Cosx)
(Senx+Cosx).
Donde F(x) es una función que
depende de x.
Evaluar:
F(2x)/F(x) para x = 30.
Rpta.:
03. Calcular “P” si:
P = F(2) + F(4) . F(-3) +(F-1).
Si:
F(x) =





−<+
≤≤−−
>−
2x;3x2
3x2;1x
3x;1x3
2
Rpta.:
04. Hallar el mínimo:
F(x) = 1xx2
++
Rpta.:
05. Es función:
F = [(8;2),(2;a),(a2
-1;b)(2;2a-3), (3:5)]
Hallar; “a + b”
06. Si: F(x+1) = F(x) + x; y F(2) = 5.
Calcular:
)0(F
)4(F
Rpta.:
07. Hallar el rango de:
F(x) = 2+(-1)[x]
Rpta.:
8. Dada la función:
F(x) =
1x
1
2
−
Entonces ¿se puede afirmar que es
creciente en 1,−∞− ?.
Rpta.:
09. Si: F(x) =
6x5x
4x
2
2
++
−
A = Dominio de F(x)
B = Rango de F(x).
Hallar “A - B”
Rpta.:
10. Encontrarelvalormínimodelafunción:
F(x) = [ ∞∈
+
+
;0x;
x1
x1 2
Rpta.:

68. 11. Hallar el dominio de:
F(x) = 2
x1
1
−
Rpta.:
12. Cuántas proposiciones delassiguientes:
• fx ∈ R; 0 < x – [x] < 1
• F = {x;y) ∈ R2
/|y| = |x| -1} es una
función.
• F(x) = x9 − ; x ∈
[ 9;0 es una función
inyectiva.
• F(x) = x 4x2
− . Es una
función impar.
Son verdaderos:
Rpta.:
13. Para la función:
F(x) =
2,1x;
)1x(
1
1x
3x
2
∈
−
+
−
−
Se puede afirmar:
I) Es inyectiva.
II) Es creciente
III) Posee inversa.
Rpta.:
14. Hallar el rango de:
F(x) =
|x|
x
x
|x|
+
Rpta.:
15. La función ´f, con dominio: Domf =
{0,1,2,3,5} está definida mediante:
f(a) = resto de dividir el polinomio [x3
+ (a+1)x2
+x] entre (x+a).
Calcular: f(1)+f(2)
Rpta.:
16. Hallar la suma de los elementos del
rango de la siguiente función:
F(x) = Sgn (x2
-1) + Sgn ( )1x +
Rpta.:
17. Determinar si la función:
F(x) = |Senx| + |Cosx|. Es periódica; si
lo es hallar su periodo.
Rpta.:
18. Graficar aproximadamente: F(x) = -
(3x2
- |x|)
Rpta.:
19. La función polinomial: y = F(x) de
grado mínimo tiene una gráfica
aproximada.
x
y
- 2
- 1 3
- 1
)x(fy =
Si: (-4;b) ∈ F. Encuentre el valor
de “b”.
Rpta.:
20. Si la función F es periódica de
periodo “T”, la función definida por:
Y = F(ax+b): a b. Es también
periódica con periodo:
Rpta.:

69. PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Si el rango de:
F(x) =
1x
x
2
2
+
, es [ b;a .
Luego el valor e “a+b” es:
a) 2 b) 1
c) 0 d) -1
e) -2
02. Calcular la suma de los elementos
en el rango de la siguiente función:
f(n) =
( )


ceros1n
9n0...00,0
−
para: n = 1,2,3,4,5,6.
a) 0,023456 b) 10,034567
c) 0,223456 d) 0,223467
e) 0,234567
03. La ecuación:
(x2
/a2
) – (y2
/b2
) = 1
Donde a y b son constantes tales
que. a > 1; b > 1. ¿Es y una función
de x?
a) Si
b) Solo si x > a ó x < -a
c) Sólo si x > a
d) Sólo si x < a
e) No
04. Sea la función:
f(x) =
[






∈
=
∪∈
∈
3,2x,3
2x,2
5,42,1x,1
1,0x,0
entonces “f” es:
a) No creciente en ]2,0
b) No creciente en 5,2
c) No decreciente en 5,2
d) Constante en 3,1
e) No decreciente en
2/5;2/3
05. Si Dom f y Ran f representan el
dominio y el rango de la función
real:
f(x) = 6xx2
−− , determinar
Dom f g Ranf.
a) ∞,0 b) [ ∞+;3
c) [ ∞+;1 d) [ ∞;0
e) ∞+;0
06. Si [x] designa el máximo entero de
x; además (x1, x2) es el conjunto
solución de: x2
– 2x
≡ 1
Calcular: [x1] + [x2]
a) 4 b) 3
c) 2 d) 1
e) 0
07. ¿Cuál de los siguientes gráficos
puede ser la gráfica de una función
polinomial:
P(x) = x3
+ ax + 0, a 0
x
y
x
y
a ) b )

70. x
y
x
y
y
c ) d )
e )
08. Resolver [x] + [2x] + [3x] = 14;
donde la notación [ ] indica el
máximo entero.
a) 3;2 b)
3
7;2
c) [ 3;
3
8 d) [ 3;
2
5
e) [ 3
8;
2
5
09. Dado f: R  R/f(x) = x3
– 29x + 1,
encontrar: f ( )32 − .
a) 48 b) 52
c) 43 d) 50
e) 49
10. Sea la función real definida por g(x) = x2
– 2x – 1, si: x ∈ [ 5;2− . Hallar
Rang.
a) [ 7;1− b) [ 14;2−
c) [ 7;1− d) [ 14;7
e) [ 7;2−
11. Si: f: R  [ 49,0 , definida por f(x) =
x2
. Hallar “Dom f”
a) 7,0 b) [ ]7,7−
c) 7,7− d) 7,7−
e) [ 7;0

71. 12. En la función real:
h(x) = - 4x2
− , determinar su
dominio y rango, proporcionando
luego Dom h – Ran h.
a) [ ∞+;2 b)
]2; −∞−
c) 2;2− d) [ ]2;2−
e) [ ]0;2−
13. ¿Cuáles de las siguientes funciones
son aplicaciones?
I) R  R/y = x/(x-1)
II) g: 1;0  R/y = 1/
( )x1x −
III)h: R  [ 6;2 / y = 2x+3
IV) e: R  R/y = .x3
a) f y h b) g y e
c) h y e d) f y e
e) f, h y e.
14. Determinar el área máxima de un
rectángulo que tiene un lado en
el eje “x” y los dos vértices del
lado opuesto sobre la parábola:
f(x) = 12 – x2
a) 45 b) 54
c) 32 d) 48
e) 36
15. Determinar el rango de la función f
definida por:
f(x) =



<+−
≥−
1x,1x)x(xf
1x,)x(fx2
a) ∞∞− , b) [ ∞− ,1
c) [ ∞− ;2 d) [ ∞;1
e) ∞;0

72. TEMA: LIMITES
Limite: significa valor más próximo.
Notación: )x(flim
ax→
Limite de f(x) cuando; “x” tiende a “a”
OBS: tiende < > se acerca.
< > se aproxima.
P o r la I z q u ie r d a P o r la D e r e c h a
a
)x(flim)x(flim
axax +−
→→
≅
Ejemplo:
2x
4x
lim
2
2x −
−
→
4
2x
4x
lim
4limlim
1,4)x(flim1,2x
9.3)x(flim9,1x
2
2x
2x2x
1,2x
9,1x
=
−
−
∴
=≅





=→=
=→=
→
→→
→
→
+−
Ejemplo: ?
x
1
lim
0x
=
→

73. ∃/=∴
∞=
=
→
→
→
x
1
lim
x
1
lim
?
x
1
lim
0x
0x
0x
Operaciones:
1) Lim (K) = R; “K ∈ R”
2) Lim (F(x) ± G(x)) = lim (F(x)) ± lim G(f)
3) Lim K (F(x) = K lim f(x)
4) [ ] )x(G))(limx(F(lim)x(G)x(Flim =⋅
5) 0)x(Glim
)x(Glim
)x(Flim
)x(G
)x(F
lim ≠→=
6) [ ] )x(Glim)x(G
))x(F(lim)x(Flim =
7) ))x(G(limF))x(G(Flim =
Formas Determinadas:
1) )0K(
x
K
lim
0x
>∞=
→
2) )0K(0
x
K
lim
x
>=
∞→

74. 3) )0K(
1K,0
1K,
Klim x
x
>



<
>∞
=
∞→
Formas Indeterminadas:
1)
0
0
2) ∞
∞
3) ∞ - ∞; 0 . ∞
4) 1∞
, 1-∞
5) 00
; 0∞
; ∞0

75. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Calcular:
12x11x2
3x7x6
lim
2
2
2
3x ++
−+
→
Rpta:
2) Calcular:
1216x7x
4x3x
lim
23
23
2x −+−
+−
→
Rpta:
3) Calcular:
7x41
6x3
lim
2x −−
−
→
Rpta:
4) Calcular:
x51
x53
lim
4x −−
+−
→
Rpta:
5) Si: 3x2)x(f 2
−= y
a1x)x(g ++= . Hallar los
valores de “a” si:
5))x(g(flim
0x
=
→
Rpta:
6) Indicar verdadero (v) o falso (F)
según corresponda:
.existeno
x
x
lim)(
0x→
27
3x
3x
lim)(
3
3x
=
+
+
→
2/1
3x4x
2x3x
lim)(
2
2
1x
=
+−
+−
→
Rpta:
7) Calcular: )x(flim
1x→
Si:




>+−
≤+
=
1xsi;51x
1x:si,x2x3
)x(f
2
Rpta:
8) Encontrar el valor de A:
2
33 2
)8x(
4x4x
.
8x
lim
A
−
+−
→
=
Rpta:
9) Hallar:
2x
5xx19
limL
23 3
2x −
+−+
=
→
Rpta:
10)Si: y8
2x2
)2x(f
lim
2x
=
−−
+
−→
3.
4x
)2x(g
lim
22x
=
−
+
−→
Hallar:
)h(g
)h(f
lim
0h→
Rpta:
11) Calcular: 





−
−
−→ x2
1
x8
12
lim
32x

76. Rpta:
12) Calcular: bb
aa
px px
px
lim
−
−
→
Rpta:
13) Calcular:
)x(Q
)x(P
lim
3x→
; si
3x4x13x4)x(Q
3x2x5x2)x(P
23
23
−+−=
−−−=
Rpta:
14) Calcular:
22
22
ax aaxx2
ax
lim
−−
−
→
Rpta:
15) Calcular:
1x
1x
lim
4
3
1x −
−
→
Rpta:
16) Calcular: 0a;
ax
ax
lim
nn
ax
>
−
−
→
Rpta:
17) Si sabemos que:
2
3 23
1x
321x
x1
xx12x
limB
x1
3
1x
2
limA
−
+−+−
=






−
+
−
=
→
→
Determinar:
BA
BA
−
+
Rpta:
18) Calcular:
m/1
0y
)m1(lim −
→
siendo: m = Y/2
Rpta:
19) Si:
32x 3x292
3x21
limM
−−−
−−
=
→
3
222
x n
n....321
limN
++++
=
∞→
Me piden Calcular: M . N
Rpta:
20) Calcular:
a2x)2a(x
ax)1a(x
lim
2
2
nx −−−
−−−
→
.
Rpta:

77. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Calcular:
ax
abxb
lim
22
ax −
−−−
→
a)
ab2
1
2
−
b)
ab
1
2
−
c) ab2 2
− d)
ab2
1
2
+
e)
ab2
1
2
−
−
2) Calcular:
( ) ( )22
2
1x xaax1
x1
lim
+−+
−
→
a > 0 y
a ≠1.
a) 1a
1
2
+ b) 2
a1
1
−
c) 2
a
1
d) 2
a1+
e) 2
a1−
3) Calcular: 33
77
ax ax
ax
lim
−
−
→
a)
4
a
4
7
b)
4
a
5
7
c)
4
a
7
3
d)
4
a
3
7
e)
3
a
7
3
4) Calcular:
1x
1x
lim
n
m
1x −
−
→
a)
1n
nm
+
+
b)
1n
nm
−
−
c)
n
m
d)
nm
mn
+
e)
mn
nm +
5) Calcular:
2x3x
1x33x5
lim
3
1x +−
+−+
→
a) 15 b) 3/15
c) 2 d) 2/15
e) 1/2
6) Calcular:





 −−+
∞→
3 333 23
n
annannlim
a) 2
a3 b) a
3
2
c) a2 d) a3
e)
2
a3−
7) Hallar a y b, constantes para que:
0bax
1x
1x
lim
2
x
=








−−
+
+
∞→
dar
como respuesta: (ab + a+b)
a) 1 b) 2
c) -1 d) 3
e) 4

78. 8) Calcular:
8y
4yy2
lim
33
x −
−++
∞→
a) 5/13 b) 13/8
c) 13/24 d) 5/48
e) 13/48
9) Calcular:







≥
−
−+
<
−
+−−
=
→
3x;
3x
21x
3x;
3x
6x5x2x
)x(f
si);x(flim
23
ax
a) 1/4 b) 1/3
c) 6 d) 5
e) ∃/
a) 2 b) -2
c) 1 d) -1
e) 0
10)Se tiene:
23 3
2
0x
bx
x1x1
x
limB
y
1x7
3x3
limA
−−+
=
−−
−+
=
→
→
a) 1 b) 2
c) -7/2 d) 7/2
e) 0
11)Hallar:
[ ][ ]
[ ][ ] xx
xx
lim
22
1x −
−
→
a) 1 b) 2
c) -7/2 d) 7/2
e) ∃/

79. 12) Calcular:
xx
1x1x
x ba
ba
lim
+
+ ++
∞→
a) b b) a
c) ∞ d) -∞
e) N.A
13) Calcular:
1x
x 1x
7x
lim
+
∞→






+
+
a) e4
b) e5
c) e6
d) e3
e) e2
14) Calcular el limite:
3x2
1xx2
)x(g
:si,)x(glim
2
x 2
3
−
−−
=
⋅
→
a) 2 b) 1
c) -7/2 d) 7/2
e) ∃/
15) Calcular:








−−
−−
→






+
− 3x2x
10x3x
3x
2
2
2x
1x2
lim
a) e2
b) e4
c) e6
d) e8
e) N.A

80. TEMA: DERIVADAS
dx
)x(fd
)x(f
* Se define:
Sea: f (x) = y; como una regla de correspondencia.
 f´(x)  Se llama derivada de esta función.
Ejemplo:
Sea: f(x) = 3x2
+ 6x ; f(x)= 4x + 2
∴ f(x) = 6x + 6. f(x) = 4
En General:
Sea: f(x) = axm
+ bxn
+ cxp
Hallando su derivada:
1P1n1m
xpcxnbxma)x(f −−−
++=′
Se observa; que:
1mm
m xx −
B a ja
S e r e s t a n
S u d e r iv a d a
• El exponente se resta 1.
• El otro baja como coeficiente multiplicando.
Casos: (de derivada)
• X2
+ 4x ⇒ 2x + 4 ⇒ 2  (2da
Derivada)
• 4 ⇒ 0
• xn
⇒ nxn-1
• x-3
⇒ -3 x-4
• x-2
⇒ -2x-3
Forma trigonométrica:
• Senx ⇒ Cosx
• Cos(x) ⇒ -Sen (x)
• Tan (x) ⇒ Sec2
(x)

81. • Cot (x) ⇒ -Csc2
(x)
• Sec (x) ⇒ Tan xSecx
• Csc (x) ⇒ -Cotx Cosx
• Sen (mx) ⇒ mCos (mx)
• Cos (mx) ⇒ -mSen (mx)
Aplicaciones de la derivada: (de una función)
Sea una función con regla de correspondencia: Y = f(x), luego la ecuación f´(x) = 0.
Tiene por Raíces: x1,x2,x3, …., xn: los cuales forman los puntos (x1, f(x1); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)),
… (xn, f(xn)).
Llamados extremos relativos:
Ahora si:
:0)x(f
:0)x(f
2
1
>′′
<′′
2
d a
d e r iv a d a
M á x im o R e la t iv o
M ín im o R e la tiv o
Así mismo; la ecuación: f´ (x) = 0
Tiene por raíces: (α1; α2; α3; α4;…..)
Los cuales forman los puntos de inflexión o de cambio de con cavidad.
Ejemplo: 1xxx)x(f 23
+−−=
1x2x3)x(f 2
−−=
La ecuación: 1x
3/1x
0)1x)(1x3(
01x2x3 2
=
−=
=−+
=−−
∴ Los extremos relativos son: )0;1(;
27
32
;3
1





−
Luego: f´´ (x) = 6x – 2
f´´ (-1/3) = -4 (máximo Relativo)
f´´(1) = 4 (mínimo Relativo)

82. Se tiene: f´´ (1/3) <0
F´´(1) > 0

83. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Si: x91)x(F +=
Calcular: F’(7)
Rpta:
2) Si 2
xx
x
1
)x(F ++=
Calcular: F (-3)
Rpta:
3) Si:
ax
a
ax)x(F +=
Calcular: F’(1)
Rpta:
4) Dado la función:
x11511
1
)x(F
+
=
Si: F’ (a) =
128
1
− . Calcular “a”.
Rpta:
5) Calcular “n”
Si 4/5)n(F =′
Siendo: 9x)x(F 2
−=
Rpta:
6) Calcular: a2
+b2
, si la función:
baxx2)x(F 23
++= presenta
un extremo relativo en (1; 2)
Rpta:
7) Calcular ab si la función:
baxx4)x(F 2
++= presenta un
electo mínimo relativo en el punto (-1, 4)
Rpta:
8) Calcular F(-1) en la función F(x), que
verifica:
10)1(F;3x4)x(F =+=′
Rpta:
9) Dada la función F(x) que verifica:
4)o(F
.10)1(F;4x6)x(F
=
=′+=′′
Calcular: F(-1)
Rpta:
10) Si la suma de dos números es 18,
encontrara los números tales que la
suma de sus cuadrados sea mínimo.
Indicar como respuesta la diferencia
de dichos números.
Rpta:

84. 11) Si la suma de la base y la altura de
un triángulo es igual a 38 m. ¿Qué
dimensión debe tener dicho triángulo
para que su área sea máxima?
Rpta:
12) Hallar el área máxima de un
rectángulo que tiene su base inferior
en el eje “x” y dos de sus vértices en
la curva: Y = 6 – 2x2
Rpta:
13) Un punto, móvil P describe la curva:
)0x(;
x
4
Y >=
Determinar la distancia mínima de P
al origen.
Rpta:
14) Encuentre el punto sobre la grafica
de: 1xy 2
+= mas cercano al
punto (3; 1)
Rpta:
15)Un punto esta en movimiento según
la ley:
3
T
T2)T(x
3
+=
Donde “x” se mide en metros y “T”
en segundos. Hallar su velocidad
después de 6seg. Del comienzo del
movimiento.
Rpta:
16) Encontrar las dimensiones del
cilindro recto circular de volumen
máximo que puede inscribirse en un
cono circular recto de altura “H” y
radio “R”. Dar como respuesta su
altura.
Rpta:
17) Hallar el área del mayor rectángulo
con lados paralelos a los ejes de
coordenadas, que pueden inscribirse
en la región limitada por las
parábolas. 3y= 12 – x2
; 6y = x2
- 12
Rpta:
18) Encontrar las coordenadas del punto
o puntos de la curva; Y2
= 2x + 3;
que están mas cerca al origen.
Rpta:
19) Si la función: f(x) = x3
+ ax2
+ bx +c,
tiene un máximo relativo en x = -1 y
un mínimo relativo en x = 3. Calcular
“ab”
Rpta:
20) Un paralelogramo y un triángulo
tiene un vértice común y los otros
vértices del paralelogramo están
sobre los lados del triángulo dado.
Calcular el área máxima del
paralelogramo que se puede inscribir
de esta forma. Base del triángulo =
10; Altura del triángulo = 6.
Rpta:

86. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Dada la función: 3x)x(f 2
+=
Calcular: )6(f)3(f ′⋅′
a) 3 b) 3
3 c) 2
6
d) 33 e) 32
2) Sea la función:
1bxax)x(f 2
++= ; si f(0) = 3 ∧
f(1) = 1
Además: ( ) )2/1(f2/1f ′′=′
Calcular el valor de:
bc
ca
R
−
+
=
a) 0 b) 1/3 c) 4
d) ¼ e) 1/2
3) Se tiene la derivada de una función:
2x3)x(f 2
+=′ calcular: f(-1); si
f(0)=1
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
4) Si:
2x
2
)x(Gx5x)x(f
+
=∧−=
; calcular:
)2(G
)1(f
′
′
a) -15 b) -2.5 c) 3
d) 25 e) -56
5) Dada la función:
x4
bax
)x(f
−
+
= , si
su derivada es: 2/3
)x4(
x2
)x(f
−
=′
calcular: “ab”
a) 128 b) -64 c) 64
d) -128 e) 32
6) Calcular; a + b, si la función:
1bxaxx)x(F 23
+++= Presenta
punto de inflexión en el punto (-2, 11)
a) 8 b) 4 c) 5
d) 13 e) 9
7) Siendo:
ax
x
)x(f
+
¿para que el
valor de “a” se cumple:
?0a;)a(f 2
a
1 ≠=′
a) 1 b) 3 c) 2
d) 5 e) 4
8) ¿Cuál es el producto mínimo de dos
números cuya diferencia es 4?
a) 5 b) 12 c) 0
d) -3 e) -4
9) Sea las funciones:
Tanx)x(g
Senx)x(f
=
∧=
Donde: x pertenece en primer cuadrante.
Además se tiene que:
2))x(g))(x(f( =′′
Hallar:






′
+′
)x(g
1
)x(f)x(Q:si;)x(Q 2
a) 1 b) 2x c) x +1

87. d) 0 e) 2
10) Sisetieneelsiguientetriángulorectángulo:
5
4
3
Nos piden hallar:
( )
αSenαCos
)αCos(αSen
F )α(
−
′+′
=
con respecto al
a) 5 b) 7 c) 4
d) 3 e) 6
11) Indicar el área máxima de un rectángulo
de lados (3 – 2x) y (x + 1).
a)
2
u4/25 b) 25/2c)
25/8
d) 5/2 e) 35/4
12) Si el propietario de un teatro cobra S/. 10,
00 por cada boleta de admisión, la
asistencia promedio será de 100
personas. Si por S/. 1, 00 de incremento
en el precio del boleto, la asistencia
promedio desciende en dos personas ¿A
cuánto debe vender cada entrada para
obtener una ganancia máxima?
a) S/. 10 b) S/. 15 c) S/. 20
d) S/. 30 e) S/. 21
13) Una pieza larga y rectangular de lámina
de 30 cm. De ancho la convirtiese en un
canal para agua doblando hacia arriba
dos de sus lados hasta formar ángulos
rectos con la base. ¿Cuál debe ser el
ancho de las partes dobladas, si se desea
que tenga la mayor capacidad posible?

88. a) 5cm. b) 10 cm. c) 8,25 cm.
d) 6 cm. e) 7,5 cm.
14) Las graficas adjuntos corresponden a las
funciones:
3x3)x(G
2
1
x2x2)x(f 2
+=∧++=
Determinar la máxima longitud vertical “d”.
Si:
d
a) 25/8 b) 15/2 c) 21/8
d) 17/4 e) 1
15) Un torpedero esta anclado a 9Km del
punto más próximo a la orilla. Se
necesita enviar un mensajero al
campamento situado en la orilla. La
distancia entre el campamento y el
punto mas próximo referido es de 15
Km.: teniendo en cuenta que el
mensajero recorre a pie 5 Km. /h
y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar
en que pinto de la orilla debe
desembarcar para llegar al
campamento lo mas pronto posible.
a) A 3 Km. Del campamento
b) A 5 Km. Del campamento
c) A 2 Km. Del campamento
d) A 8 Km. Del campamento
e) A 4 Km. Del campamento

89. TEMA: INTEGRALES
Se define una integral como: C)x(gdx)x(f∫ +=
Siendo:
.tetanConsC
)x(f)x(g
=
=′
Ejemplo:
Cxx
3
x
Cx
2
x
2
3
x
Cdxxdx2dx)xdx)1x2x(
2
3
23
22
+++=
++








+=
+++=++• ∫ ∫∫∫ 
• Debemos tener en cuenta:
∫ ∫ ∫+=+• dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
∫ ∫ ∫−=−• dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
))x(g)x(f()x(Q:exponenteelDonde
C)x(Qdx))x(g)x(f(
+>
+=⋅• ∫
∫ −=• )a(g)b(gdx)x(fb
a
tetancos
unaes
0imparesnSi
dxx2paresnSidxx 0
n
n
∞




=•
=•⇒• ∫∫
∞
∞
↓
∞−
• Se tiene algunas integrantes:

90. Recuerda:
Nunca Olvidarse de la
Consonante
Σ ∫ =Codx
Σ ∫ += CXdx1
Σ
∫ += C
2
x
xdx
2
Σ )generalcaso(C
1n
x
dxx
1n
n
∫ +
+
=
+
Σ C
1n
x
dxx
1n
n
+
+−
=∫
+−
−
Σ ∫ +=−
C)x(Lndxx 1
Σ ∫ += CKxKdx
Σ ∫ ∫ ∫ ++⇒++=+ −−
CLn
4
x
Cdxxdxxdx)xx(
4
1313
• Aplicado a funciones trigonométricas:
- ∫ +−= CCosxSendx
- ∫ += CSenxCosdx
- ∫ +−= C)xln(cosTanxdx
- ∫ += C)senx(LnCotxdx
- CrcSenxa
x1
dx
2
+=
−
∫
- ∫ ++=
+
C)1x(Ln
1x
dx

91. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Se tiene la siguiente integral:
∫ ++=+ 5x4x2dx)bax( 2
Hallar: a x b
Rpta:
2) Si: ∫ =+ )x(gdx)1x(
además g(2) = 6 Hallar la
constante de la integración:
Rpta:
3) Hallar la suma de las integrales: Si:
∫ ∫++
3
0
2
0
2
dxxdx)2x(
Rpta:
4) Si:
∫ +++=++ 10x7x4x6dx)pnxmx( 232
Hallar: m- (n + p)
Rpta:
5) Sea la función: 4x6)x(f +=
Al hallar su integral, sus
coeficientes suman 14. Hallar la
constante.
Rpta:
6) Hallar: G(2)
5)x(Gdx)2x3xx( 5
+=+++∫
Rpta:
7) Sabemos que:
C)x(Ln
x
dx
+=∫ entonces:
∫ +=
+
C)x(G
9x
dx3
Hallar: G(e – 9)
Rpta:
8) Hallar: ∫
2
2
3
dxx
Rpta:
9) Si: bax)x(F += y su integral
de dicha función es. 4x2
+ 3x +1.
Hallar: ∫ + dx)abx( 2
Rpta:
10) Calcular: ∫ x
Rpta:
11) Resolver:
dx)x5x(dxx
1
0
3
2
2
∫ ∫ ++
Rpta:

92. 12) Resolver:
∫∫ +
−
2
0
21
1
5
dxx2dxx
Rpta:
13) Hallar: ∫ + dx)4Senx(
Rpta:
14) Resolver:
∫∫ +−+
1
0
3
2
dx)1x(dx)2x3(
Rpta:
15) Sea las integrales:
∫
∫
+=
+=
dx)5x6(B
dx)9x7(A
Hallar ⇒ BA ⋅
Rpta:
16) Resolver:
∫∫ − 4
π
6
π
2
π
4
π
xdxcosdx)senx(
Rpta:
17) Sea las siguientes integrales:
∫∫
∫∫
−
==
==
1
0 2
e
0
0
2
0
2
x1
dx
D;
x
dx
B
SenxdxB;dxxA 4
π
Nos piden hallar: “M” SI:
D
)BC(A
M
−
=
.
Rpta:
18) Resolver: ∫ + ;dx)dcx( si
se sabe que:
∫ +=
4
0
2
)3x(c y
∫= 4
π
0
xdxcosd
Rpta:
19) Se sabe que:
C)xln(
x
dx
+=∫ entonces:
C)x(G
Bx
Adx
+=
+∫ siendo:
∫=
2
0
xdxA y
( )∫ −=
3
0
2
dx1xB
Rpta:
20) Resolver:
∫ ∫
∫∫
−
+
+−+
=
2
0
1
1
52
1
0
3
2
dxxdxx2
dx)1x(dx)2x3(
E
Rpta:

94. PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Sea la siguiente integral:
∫ ++=+ 10x9x4dx)nmx( 2
Hallar: nm −
a) 2 b) 1 c) 3
d) ½ e) 1/4
2) Hallar:
10
)3(G)2(G +
Si:
∫ +=+ 10)x(Gdx)5x3( 2
a) 5 b) 7 c) 6
d) 9 e) 2
3) Si la siguiente integral se encuentra en
10 y 15. Además: C = ∫ +
2
0
1xdx2
Sea la integral:
∫ =+ )x(gdx)1x(2
Hallar el valor entero de “x”
a) 1/2 b) -2 c) 1
d) 2 e) 3
4) Si: ∫ =+ )x(gdx)x3x5( 24
Además: G (2) = 48; nos pide Calcular
la constante de integración.
a) 8 b) 5 c) 9
d) 7 e) 6
5) Resolver: ∫ ∫+3
π
6
π
1
0
xdxCosxdx
a) 2
31− b) 1 c) 2
d) 2
3− e) 2
3
6) Sea la siguiente función:
nmx)x(F += y su integral de
dicha función es: 6x2
+ 4x + 7
dx5x
n
m 2
∫ 





+





a) Cx5x3
++ b)
Cx5x2 3
++
c) Cx6
3
x3
++ d) Cx5
3
x3
++
e) Cx5
4
x3
++
7) Sea las siguientes integrales:
∫
∫
+=+
+=+
2
2
1
C)x(Hdx)x4x3(
C)x(gdx)1x2(
Hallar: )3(g)2(H − Además:
C1 = C2
a) 3 b) 2 c) 4
d) 3/2 e) 3/4
8) Resolver:
7E
dx
3
2
x2
dx)2x5(
2
3
0
2
0
−=






−
+
∫
∫
a) 4 y -4 b) 2 c) 4/3
d) 3 y -3 e) 2 y -2
9) Calcular: ( )∫∫ + dxxdxx
3
a)
2/15/2
xx
2
5
+ b) 2/1
x

95. c)
5/2
x
3
2
d)
3/2
x
3
5
x
3
2 2/5
+
e)
2/32/5
x
3
2
x
5
2
+
10) Sea las siguientes integrales:
∫
∫
+=
+=
dx)8x12(B
dx)7x9(A
Hallar ∫ − dx)AB(
Siendo las constantes de integración:
cero
a) Cx2x 23
++ b) C
2
x
2
x 23
++
c) C
2
x
x
2
3
+− d) C
2
x
2
x 23
++
e) Cx2x 23
++ Cx2x 23
++
11) Resolver:
2
dxxdx)senx(
4
4
32
π
4
π ∫∫ −
+
a) 1/4 b) 2 c) ½
d) 1 e) 2/3
12) Hallar el valor de M.
∫
∫∫ −−
+
=
2
0
1
1
23
3
5
xdx
dxxdxx
M
a) 1/2 b) 2 c) 1
d) 1/6 e) 1/3
13) Resolver: ∫ + dx)dmx( , si se
sabe que:
∫−
=
1
1
2
dxxm y
∫−
+=
8
8
53
dx)xx(d
a) C
3
x3
+ b) C
3
x2
+
c) C
2
x3
+ d) C
2
x2
+
e) Cx4
3
x2
++
14) Sabemos que:
∫ += C)x(Ln
x
dx
y
∫ += Cx
3
2
x 3
2dx
Nos piden hallar: “M” si:
5
dxx
x
dx
M
1
0
e
1∫ ∫+
=
a) 1/3 b) 2/3
c) 2 d) 3/2
e) 1
15) Resolver:

96. ∫
−
=
1
0 2
x1
dx
M y
∫=
2
0
xdxN
nos piden hallar: “M x N”
a) 2
π b) 4
π c) π2
d) π e) 2/3π

97. FÓRMULAS
• Logaritmos:
NbxNlog x
b =↔= .
• Función Exponencial:
RDonf:}1{Raa)x(f x
=−∈∀= +
• Si:
>∞=<∧=
⋅=+
>∈<↔>
,0RanfRDomf
)x(f)x(f)xx(f
1,0aaa
2121
2x1x
• Si:
>∞=<∧=
⋅=+
>∞∈<↔<
,0RanfRDomf
)x(f)x(f)xx(f
,1aaa
2121
2x1x
• Si:
1aa;0xEn
aa;,0x
aa;0,x1a
xx
xx
xx
===
>>∞<∈∀
<>−∞∈<∀↔>
−
−
−
• Además: ...7.2e3e2 =<<
Hay que saber reglas de exponentes.
• Función Logarítmica:

98. 0x,xlog)x(fY a >∀==
Sea: a: base de 1b0b;xlog)x(f a ≠∧>⋅=
- Si −∞=∧+∞=∞→> 0loglog1b aa
- Si +∞=∧−∞=∞→< 0loglog1b aa
- 1blogb =
- 01logb =
- NNlogb b =
-
Lna
Lnb
blogLnNNlog ae =∧=
- BlogAlogBAlog bbb +=⋅
- BlogAlog)B/A(log bbb −=
- Alog
n
1
Alog b
n
b =
Si: m.......bc,aNlog =
mantisam...bc.0
ticacaracterísa
=
=
PROPIEDADES GENERALES
Cologaritmo y Antilogaritmo.
Cologaritmo:
• NlogNlog
N
1
logNlogCo
b
1bb −===
N
1
lo gNlo gc o bb =
S e ; in v ie r te

99. Antilogaritmo:
Sea: Nlogx b=
⇒ NNlogloganti bb =
⇒
x
b bxloganti =
Propiedades:
1) xxlogantilog aa =
2) xxlogloganti aa =
3) xxloglogco aa −=
4) x/1xlogcologanti aa =
Relaciones – Funciones:
Relación:
}aRbBbAa/)b;a{(R ∧∈∧∈=
• Reflexiva: R)a;a( ∈
• Simétrica: R)a,b(R)b;a( ∈→∈
• Transitiva: R)c;a(R)c;b(R)b;a( ∈⇒∈→∈
Funciones:
F es función tal que (x; y) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
⇒ Dom (f) ⊂ A ∧ Ran(f) ⊂ B
↓ ↓
partida llegada
Álgebra de Funciones:
• Suma: Dom gf DomDom)gf( =+
• Resta: Dom gf DomDom)gf( =−
• Producto: Dom gf DomDom)gf( =⋅
• Division: Dom 0)x(G;Domdom)g/f( gf ≠= 

100. Limites:
⇒ )x(flim
ax→
)x(flimE:)x(flim)x(flim
axaxax →+→−→
⇔=
Operaciones:
1) R"K";K)Klim( ∈=
2) )x(Glim)x(flim)x(G)x(Flim( ±=±
3) )x(flimK))x(Kf(lim =
4) [ ] ))x(G(lim))x(f(lim)x(G)x(Flim =⋅
5) 0)x(Glim
)x(Glim
)x(Flim
)x(G
)x(F
lim ≠→=
6) [ ] ))x(G(lim)x(G
))x(F(lim)x(Flim =
7) ))x(G(limF))x(G(Flim =
8)
límiteexistenox/1lim
0x
⇒
→
Derivadas:
⇒
dx
)x(df
)x(f =
• Y= f(x) → f´(x) = 0
• f’’ (x1) < 0 : Máximo Relativo
• f’’ (x2) > 0 : Mínimo Relativo
Siendo: f’’ ( ) → la 2da
Derivada
• Cosxdx)Senx(d →=
• Senxdx)Cosx(d −→=
• xdxsec)x(tand 2
→=
• xdxCsc)Cotx(d 2
−→=
• xSecxdxtan)x(secd →=
• CotxCscdx)x(cscd −→=
• dx)mxcos(m)Senmx(d →=
• dx)mx(msen)Cosmx(d −→=
• dxnx)X(d 1nn −
→=
• dxx2)x(d 32 −−
→=

101. • dx)4x2()x4x(d 2
+→+
Integrales:
∫ += C)x(gdx))x(f(
↓
constante
)x(f)x(g =′
• ∫ =Cdx0 ∫ += C)Senx(LnCotxdx
• ∫ += Cxdx1
∫ +=
−
CarcSenx
x1
dx
2
•
∫ += C
2
x
xdx
2
∫ ++=
+
C)1x(Ln
1x
dx
• ∫ +−= CCosxsenxdx ∫ +=−
CLnxdxx 1
• ∫ += CSenxCosxdx
∫ +
+−
=
+−
−
C
1n
x
dxx
1n
n
• ∫ +−= C)Cosx(LnTanxdx

102. MISCELÁNEAS
1) Efectuar: 27 6
)27(−
−
2) Efectuar:
6n4n2n
6n4n2n
222
222
P
−−−
+++
++
++
=
3) Reducir:
b3a
b2a
baba
36
1824+
−
−+
⋅
4) Hallar “x” en:
6 6 6323x
.....3232323x2 ⋅=
5) Resolver:
2x22x32
216
+−
=
6) Resolver:
2x
+2x – 1
+2x – 2
+2x – 3
+2x – 4
=248
7) Calcular M, sabiendo que: a +
b + c = 2p
Si:
bc2
acb
1M2
222
−+
+=
8) Sabiendo que: 7
9
x
x
a 9
9
=+ ,
hallar la expresión:
4
9
4
9 9
x
x
a
+
9) Si: x – y = 8. Hallar:
(x – 3y)2
– 4y(2y – x) + 8
10) Si:
yx
4
y
1
x
1
+
=+ , calcular:
y3x
y2
x2
y2x
xy
yx
M
22
+
+
+
+
+
=
11) Determinar el valor de:
(2b)2x
– (2b)–2x
, si se sabe que:
(2b)8x
+ (2b)–8x
= 7 y 0 < b <
2
1
12) Si:
196)2x)(1x)(6x)(5x(H ++−+−=
Hallar: 25,16HR +=