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1. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
CÁLCULO DIFERENCIAL
3° Ciclo
ÁREA DE CIENCIAS

2. Logro de la Sesión
El estudiante resuelve operaciones con funciones
aplicando criterios lógicos de solución.

3. Introducción
El desarrollo de las funciones nos lleva a generar
una serie de reglas que permiten tomar
decisiones acerca de los dominios y codominios,
entre otros.

4. ]
2
,
0
[
x
,
x
)
x
(
g
y
]
1
,
0
[
x
,
x
)
x
(
f
:
Sean
2
2




Dos funciones 𝑓 y 𝑔 son iguales si y solo si sus reglas de correspondencia y sus
dominios son respectivamente iguales. Es decir:
g
f 
)
x
(
g
)
x
(
f 
)
g
(
Dom
)
f
(
Dom 
NO SON IGUALES, aunque tienen la misma regla de correspondencia, sus dominios no
coinciden.
IGUALDAD DE FUNCIONES

5. Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝒇 + 𝒈, “FUNCIÓN SUMA”
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
)(
g
f
( 


)
g
(
Dom
)
f
(
Dom
)
g
f
(
Dom 


Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝒇 − 𝒈, “FUNCIÓN DIFERENCIA”
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
)(
g
f
( 


)
g
(
Dom
)
f
(
Dom
)
g
f
(
Dom 


SUMA DE FUNCIONES
DIFERENCIA DE FUNCIONES

6. Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝑓. 𝑔, “FUNCIÓN PRODUCTO”
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
)(
g
f
( 


)
g
(
Dom
)
f
(
Dom
)
g
f
(
Dom 


Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝑓/𝑔, “FUNCIÓN COCIENTE”
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
g
f









PRODUCTO DE FUNCIONES
COCIENTE DE FUNCIONES
𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0

7. OBSERVACIÓN
1. El dominio de la suma, diferencia y producto
es la intersección del dominio de 𝑓 con el
dominio de 𝑔.
2. El dominio de la división es la intersección
del dominio de 𝑓 con el dominio de 𝑔 sin los
números para los cuales 𝑔(𝑥) = 0.

8. Si 𝑓 = {(1; 2), (5; 3), (4; 7), (9; 6), (8; 1)} y
𝑔 = {(9; 7), (5; 1), (8; 0), (1; 4)}. Calcular:𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔, 𝑓/𝑔.
Solución:
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , para ver si es posible determinar aquellas
operaciones.
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1; 5; 4; 9; 8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {9; 5; 8; 1}
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {1; 5; 9; 8}, luego:
i) SUMA “𝒇 + 𝒈”
𝑥 = 1  (𝑓 + 𝑔)(1) = 𝑓(1) + 𝑔(1) = 2 + 4 = 6  (𝟏; 𝟔)  𝒇 + 𝒈
Para
𝑥 = 5  (𝑓 + 𝑔)(5) = 𝑓(5) + 𝑔(5) = 3 + 1 = 4  (𝟓; 𝟒)  𝒇 + 𝒈
𝑥 = 9  (𝑓 + 𝑔)(9) = 𝑓(9) + 𝑔(9) = 6 + 7 = 13  (𝟗; 𝟏𝟑) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑥 = 8  (𝑓 + 𝑔)(8) = 𝑓(8) + 𝑔(8) = 1 + 0 = 1  (𝟖; 𝟏) ∈ 𝒇 + 𝒈
𝑓 + 𝑔 = {(1; 6), (5; 4), (9; 13), (8; 1)}
Ejercicio Explicativo

9. iv) COCIENTE “𝒇/𝒈”
𝑓/𝑔 = { (1; 2/4), (5; 3/1), (9; 6/7)}
𝑓/𝑔 = {(1; 1/2), (5; 3), (9; 6/7)}
Se tiene:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1; 5; 4; 9; 8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {9; 5; 8; 1} , pero 𝑔(8) = 0
 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = {1; 5; 4; 9; 8} ∩ {1; 5; 9 }, luego:
 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = {1; 5; 9 }.
Ahora:
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/𝑔(𝑥) = 0 .
De: 𝑓 = { (1; 2) , (5; 3) , (4; 7) , (9; 6) , (8; 1)} y
𝑔 = {(9; 7) , (5; 1) , (8; 0) , (1; 4) }.

10. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 y g 𝑥 = 3𝑥 + 1.
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
Solución:
El dominio de 𝑔 es ℝ.
El dominio de 𝑓 es:
El conjunto de valores de 𝑥, tal que la expresión en el
radicando produce un valor positivo o cero.
4 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥 ∈ −2,2

11. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 y g x = 3x + 1.
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 4 − 𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 𝑥 = −∞; ∞ ∩ −2; 2 = −2; 2
 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 4 − 𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 𝑥 = −∞; ∞ ∩ −2; 2 = −2; 2

12. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 y g x = 3x + 1.
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
 𝑓𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥2 3𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑔 𝑥 = −2,2

𝑓
𝑔
𝑥 =
4−𝑥2
3𝑥+1
dominio de
𝑓
𝑔
𝑥 excluye de [−2,2] los valores que hacen
el denominador igual a cero: 𝑥 ≠ −
1
3
.
𝐷𝑜𝑚
𝑓
𝑔
𝑥 = −2;
1
3
∪ −
1
3
; 2

13.  En los siguientes ejercicios se definen las funciones 𝑓
y 𝑔. Determine las funciones resultantes:
𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓. 𝑔 𝑥 ,
𝑓
𝑔
(𝑥)
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 4
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔 𝑥 = 3𝑥 − 6
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1
d) 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−1
𝑔 𝑥 =
1
𝑥
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 ; 𝑥 ∈ −2; 5
𝑔 𝑥 = 2 − 3𝑥2 ; 𝑥 ∈ [−5; 3