Trabajo 2 ecuaciones_diferenciales

Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales - 100412_34
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
Presentado por: GRUPO: 100412_34
ALDEMAR AUSIQUE RAMIREZ CÒDIGO: 80132927
EDWIN DIDIER AGUDELO GORDILLO CÒDIGO: 80150095
DANIEL ANDRES CARDENAS COD: 80086442
FREDY OSWALDO CALVO COD 80.057.280
Presentado a:
JADIER ESTRADA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD-BOGOTÁ
D.C.
Octubre 2014

INTRODUCCION
Con el desarrollo de las siguiente actividad dejamos evidenciado el trabajo de l grupo propuesto para la solución
de los ejercicios propuestos en la guía y sus diferentes actividades para poder entender y tener la capacidad de
resolver los ejercicios y dar a entender el paso a paso de cada tema que contiene en específico la solución de
cada tema..
OBJETIVOS
 Activación del conocimiento y análisis de los elementos propuestos
 Investigación, construcción y apropiación de los elementos conceptuales
 Socialización de la solución a la situación planteada a partir de los conceptos construidos
 Evaluación: reflexión meta cognitiva de la solución planteada al problema propuesto

PRIMERA ACTIVIDAD
1. Indique cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas con
coeficientes constantes y cuales son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.
a) 푦′′ − 10푦′ + 25푦 = 0 (DANIEL ANDRES CARDENAS)
푚2 − 10푚 + 25 = 0
= (푚 − 5)2
푚1 = 푚2 = 5
푦 = 푐1 푒5푥 + 푐2 푒5푥
Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
b) 푦′′ − 푦′ − 6푦 = 0 (DANIEL ANDRES CARDENAS)
푚2 − 1푚 − 6 = 0
= (푚 + 2)(푚 − 3)
푚1 = 2 푚2 = −3
푦 = 푐1 푒2푥 + 푐2 푒−3푥
Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
c) 푦′′′ − 3푦′′ + 3푦′ − 푦 = −푥 + 16(FREDY OSWALDO CALVO)( ALDEMAR AUSIQUE)
d)
La ecuación es lineal no homogénea, para hallar su solución primero debemos hallar su solución
homogénea asociada y luego la solución particular.
Remplazamos
푟3 − 3푟2 + 3푟 − 1 = 0
푟3 − 1 − 3푟(푟 − 1) = 0
(푟 − 1)(푟2 + 푟 + 1) − 3푟(푟 − 1) = 0
(푟 − 1)(푟 − 1)(푟 − 1) = 0

푟1 = 1 푟2 = 1 푟3 = 1
푦ℎ = 푒푥 (퐶1 + 퐶2푥 + 퐶3푥 2)
푦푝 = 퐴0 + 퐴1푥
(퐴0 + 퐴1푥)′′′ − 3(퐴0 + 퐴1푥)′′ + 3(퐴0 + 퐴1푥)′ − (퐴0 + 퐴1푥) = −푥 + 16
(퐴0 + 퐴1푥)′′′ − 3(퐴0 + 퐴1푥)′′ + 3(퐴0 + 퐴1푥)′ − (퐴0 + 퐴1푥) = −푥 + 16
3퐴1 − 퐴0 − 퐴1푥 = −푥 + 16
3퐴1 − 퐴0 = 16
퐴1 = +1
퐴0 = −13
푦푝 = −13 + 푥
풚품 = 풆풙(푪ퟏ + 푪ퟐ 풙 + 푪ퟑ 풙ퟐ ) + (풙 − ퟏퟑ)
a) 푦" − 9푦 = 54(FREDY OSWALDO CALVO) (ALDEMAR AUSIQUE)
b)
푦′′ − 9푦 = 54 La ecuación diferencial lineal es no homogénea
La solución de una ecuación lineal no homogénea viene dada
푦 = 푦푐 + 푦푝 푑표푛푑푒 푦푐 : 푓푢푛푐푖ó푛 푐표푚푝푙푒푚푒푛푡푎푟푖푎
푦푝 : 푓푢푛푐푖ó푛 푝푎푟푡푖푐푢푙푎푟
Por lo tanto
′′ − 9푦푐 = 0
푦푐
푟2 − 9 = 0

풓 = ±ퟑ
Luego: 푦푐 = 퐴 푒 3푥 + 퐵푒−3푥
Para determinar la función particular, se procede así:
푦푝 = 54
− 9
푦푝 = −6
Se deduce la solución
푦 = 퐴푒3푥 + 퐵푒−3푥 − 6
c) 푦" + 25푦 = 6푠푒푛푥(ALDEMAR AUSIQUE)
Ecuación Característica
푚2 + 25 = 0
푚 =
0 ± √0 − (4 ∗ 1 ∗ 25)
2 ∗ 1
푚 =
0 ± √−100
2
푚 =
0 ± 10푖
2
푚1 = 5푖, 푚2 = −5푖
푦ℎ = 푐1 sin 5푥 + 푐2 cos 5푥
Particular
푦푝 = 퐴 sin 푥 + 퐵 cos 푥
푦푝′
= −퐵 sin 푥 + 퐴 cos 푥
′′ = −퐴 sin 푥 − 퐵 cos 푥
푦푝
−퐴 sin 푥 − 퐵 cos 푥 + 25(퐴 sin 푥 + 퐵 cos 푥) = 6 sin 푥
−퐴 sin 푥 + 25퐴 sin 푥 − 퐵 cos 푥 + 25퐵 cos 푥 = 6 sin 푥
24퐴 sin 푥 = 6 sin 푥

24퐵 cos 푥 = 0
퐴 =
1
4
푦푝 =
sin 푥
4
Solución General
푦 = 푐1 sin 5푥 + 푐2 cos 5푥 +
sin 푥
4
Es una ecuación diferencial lineal no homogénea.
2. Demostrar que 푥 3 y |푥 3| son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación
diferencial: (DANIEL CARDENAS)
푥 2푦´´ − 4푥
푑푦
푑푥
+ 6푦 = 0 푒푛 푒푙 푖푛푡푒푟푣푎푙표 − ∞ <
Solución:
Realizamos el proceso de derivación
푥2푦´´ − 4푥 푦´ + 6푦 = 0
Luego entonces 푦 = 푥3
푦´ = 3푥2
푦´´ = 6푥
Reemplazamos:
푥2(6푥) − 4푥(3푥2) + 6(푥3) = 0
6푥3 − 12푥3 + 6푥3 = 0
0=0
Entonces si x= 0, la derivada de |x|3 no existe.
Ahora comprobamos que |푥|3 푒푠 푢푛푎 푠표푙푖푐푖ó푛 푑푒 푥2푦′′ − 4푥
푑푦
푑푥
+ 6푦 = 0

푥 푠푖 푥 > 0
0 푠푖 푥 = 0
−푥 푠푖 푥 < 0
|푥| = {
퐷푎푑표 푥2푦′′ − 4푥
푑푦
푑푥
+ 6푦 = 0 (1)
푎) 푝푎푟푎
|푥|3 = 푥3 푠푖 푥 > 0
푦푎 푠푒 ℎ푖푧표 푙푎 푐표푚푝푟표푏푎푐푖ó푛
푏) 푝푎푟푎 |푥|3 = 0 푠푖 푥 = 0
푠푒 푡푖푒푛푒
0푦′′ − 4(0) 푑푦
푑푥
+ 6푦 = 0
6푦 = 0
푠푒 푐푢푚푝푙푒 푝푎푟푎 푦 = 0
푐) 푝푎푟푎
|푥|3 = −푥 3 푠푖 푥 < 0
푠푒푎 푦 = −푥3
푦′ = −3푥2
푦′′ = −6푥
푙푢푒푔표 푟푒푒푚푝푙푎푧푎푛푑표 푒푛 (1)
푥2(−6푥) − 4푥(−3푥2) + 6(−푥3) = 0
−6푥3 + 12푥3 − 6푥3 = 0
푠푒 푐푢푚푝푙푒 푡푎푚푏푖é푛 푝표푟 푐표푛푠푖푔푢푖푒푛푡푒:

푥3푦|푥|3 푠표푛 푠표푙푢푐푖표푛푒푠 푙푖푛푒푎푙푚푒푛푡푒 푖푛푑푒푝푒푛푑푖푒푛푡푒
3. Resuelva la ecuación diferencial 푦′′ + 푦 = 푠푒푐푥 por el método de variación de parámetros:
(ALDEMAR AUSIQUE)
푦′′ + 푦 = 0
푟2 + 1 = 0
푟2 = −1
푟1 = 푖 푟2 = −푖
푦ℎ = 퐶1푠푖푛푥 + 퐶2푐표푠푥
푊 = (
푠푖푛푥 푐표푠푥
푐표푠푥 −푠푖푛푥
) = −푠푖푛2 푥 − 푐표푠2푥 = −1
푢1′ =
0 푐표푠푥
푠푒푐푥 −푠푖푛푥
|
|
푊
=
−푠푒푐푥푐표푠푥
−1
= 1
푢2′ =
|
푠푖푛푥 0
푐표푠푥 푠푒푐푥
|
푊
=
푠푒푐푥푠푖푛푥
−1
= −푡푎푛푥
Por esto se tiene que:
푢1 = ∫ 1 푑푥 = 푥
푢2 = ∫ −푡푎푛 푥푑푥 = −푙푛|푠푒푐푥|
푦ℎ = 푥푠푖푛푥 − 푙푛|푠푒푐푥|푐표푠푥
푦푔 = 퐶1푠푖푛푥 + 퐶2푐표푠푥 + 푥푠푖푛푥 − 푙푛|푠푒푐푥|푐표푠푥

4. Resolver la ecuación diferencial 푦′′′ − 5푦′′ + 6푦′ = 2푠푖푛푥 + 8 por el método de coeficientes
indeterminados (ALDEMAR AUSIQUE)
푦′′′ − 5푦′′ + 6푦′ = 0
푟3 − 5푟2 + 6푟 = 0
푟(푟2 − 5푟 + 6) = 0
푟(푟 − 3)(푟 − 2) = 0
푟1 = 0 푟2 = 3 푟3 = 2
Tenemos tres raíces reales, es decir que la solución de la parte homogénea es:
푦ℎ = 퐶1푒2푥 + 퐶2푒3푥 + 퐶3
푦푝 = 퐴푠푖푛푥 + 퐵푐표푠푥
(퐴푠푖푛푥 + 퐵푐표푠푥)′′′ − 5(퐴푠푖푛푥 + 퐵푐표푠푥)′′ + 6(퐴푠푖푛푥 + 퐵푐표푠푥)′ = 2푠푖푛푥
−퐴푐표푠푥 + 퐵푠푖푛푥 − 5(−퐴푠푖푛푥 − 퐵푐표푠푥) + 6(퐴푐표푠푥 − 퐵푠푖푛푥) = 2푠푖푛푥
푠푖푛푥 (퐵 − 6퐵 + 5퐴) + 푐표푠푥 (−퐴 + 5퐵 + 6퐴) = 2푠푖푛푥
−5퐵 + 5퐴 = 2 ⇒ 5퐴 + 5퐴 = 10퐴 = 2 ⇒ 퐴 =
1
5
5퐵 + 5퐴 = 0 ⇒ 퐵 = −퐴 =
−1
5
푦푝 =
1
5
푠푖푛푥 −
1
5
푐표푠푥
푦푝 = 퐴0

푦ℎ = 퐶1푒2푥 + 퐶2푒3푥 + 퐶3 +
1
5
푠푖푛푥 −
1
5
푐표푠푥 +
4푥
3
5. Encontrar un operador diferencial que anule a:(ALDEMAR AUSIQUE)
풂. 풙풆풙
퐷 = (푥푒푥 )
퐷 = (푒푥 )
(퐷 − 푎) = (푒푥 − 1)
(퐷 − 0) = (푒0 − 1)
(퐷 − 0) = 0
퐸푙 표푝푒푟푎푑표푟 푒푠 (퐷 − 0)
풃. ퟏ − ퟓ풙ퟐ + ퟖ풙ퟑ
퐷 = (1 − 5푥 2 + 8푥 3)
퐷1 = (−10푥 + 24푥 2)
퐷2 = (−10 + 48푥)
퐷3 = (48)
퐷4 = 0
퐸푙 표푝푒푟푎푑표푟 푒푠 퐷4
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial(ALDEMAR AUSIQUE)
풙ퟐ 풚" + 풙풚′ + 풚 = ퟎ
푥 푚−1 + 푥 푚 = 0
푚2 푥 푚 + 푥 푚 = 0
푥 푚(푚2 + 1) = 0
Como x es diferente de 0
푚2 + 1 = 0
푚 = ±푖
푥 푚 = 푒푚 ln 푥
푦 = 푐1(cos(ln 푥) + 푖 sin(ln 푥)) + 푐2(cos(ln 푥) − 푖 sin(ln 푥))
푦 = (푐1 + 푐2) cos(ln 푥) + (푐1 − 푐2)푖 sin(ln 푥)
푦 = 푐1 cos(ln 푥) + 푐2 sin(ln 푥)

CONCLUSIONES
3´´-2xy`+8y=0;y(0)=3,y´(0)=0
Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:
3′ − 2푥푦′ + 8푦 = 0; 푦(0) = 3, (0) = 0
Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia
del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura encontrar la menor velocidad
inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de
escape.

REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS
Lecturas UNAD
Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemáticas
Universidad Jaume I. Castellón de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I. ISBN: 978-
84-693-9777-0 Recuperado de:
http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentosmatematicos-de-la- ingenieria/
Cuartas, R., (2011). Módulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. [Videos]. Disponible
en http://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES
Cuartas, R., (2011). Módulo 5: aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior.
[Videos].
Disponible en http://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES
Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Texto completo en
http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/Franquet, J. (2013).
Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Texto completo en
http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1367/Zill, D. Cullen, M. (2009).

Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Séptima Edición, México,

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