Presentacion Fase II - Proyecto final MAED (Operaciones con Matrices)

OPERACIONES CON
MATRICES
MATEMATICA PARA LA
ADMINISTRACION
Licda. Mónica Díaz
Ing. Alex Estrada
Lic. Edward Cordero

AGENDA
• Lectura de la Competencia
• Retroalimentación de la tarea
de la unidad anterior
• Breve introducción del tema
• Explicación de la presentación
• Ejemplificación y Ejercitación
Individual
• Trabajo cooperativo –hoja de
trabajo grupal -
• Explicación Guía de Estudios de
la unidad –autoaprendizaje-
Competencias a desarrollar
Aplica el álgebra matricial para la
solución de problemas de la vida real
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero

Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto
rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas
horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la
forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2,
..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento
a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dimensión de la matriz nm
2ª columna
3ª fila








÷
÷
÷
÷
÷
a11 a12 a13 ......a1n
a21 a22 a23 ......a2n
a31 a32 a33 ......a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ......amn
=(aij)

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo
siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz










2 1 1
1 1 1
1 1 0

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =




2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A =






2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:






2 5 –3
1 –4 1 





x
y
z
= 





1
– 2





2z4y-x
1z3y5x2El sistema
EXPRESION MATRICIAL


Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por
tanto es de orden 1 x n.
 naaaa 1131211 
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.
















1
31
21
11
ma
a
a
a

Tipos de matrices:

Tipos de matrices:
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que
de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada
es de orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la
matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.
La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la
segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de
orden n x m.
Tipos de matrices:
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si
aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es
decir, si aij = –aji " i, j.

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0
La matriz
La matriz
es una matriz nula de orden 3
es una matriz nula de orden 2 x 4
Tipos de matrices:

Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

Tipos de matrices:
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal
principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal
principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.
matriz triangular inferior
matriz triangular superior

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman
los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij +
bij). Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma
dimensión. La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos
matrices que ocupan la misma posición.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Suma y diferencia de matrices
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
A + B = (aij) + (bij) =







a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+







b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=







a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )

4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de
A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Propiedades de la suma de matrices
1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa
2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa
Matriz Nula3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

EJEMPLO 1
El elemento marcado en
amarillo muestra que se
suman los elementos
correspondientes y se
coloca en esa misma
posición en la matriz
suma.

Ejemplo 2
Este paso es
cómputo mental,
no es necesario
escribirlo al
sumar matrices.

Contestaciones a la Práctica de Suma de Matrices
No se puede sumar. No
tienen igual Orden.
Primera es 1 x 2 y la
segunda es 3 x 1.

Producto de una matriz
por un número
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los
elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real
k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por
matrices
k . A = k . (aij) = k·







a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=







ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)

.
Propiedades del producto de una
matriz por un escalar
1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª
2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª
Propiedad asociativa mixta3ª. k [h A] = (k h) A
Elemento unidad4ª. 1 · A = A · 1 = A

Multiplicación de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de
filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P
será de orden m x p.
no se pueden multiplicar
Ejemplo:

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1
. b1j + ai2
. b2j + ... + ain
. bnj
El producto de la matriz
A = (aij) =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
por la matriz
B = (bij) =
















np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......

EJEMPLO
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
A · B = 







2 1 –1
3 –2 0
.







1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6
1.- PRODUCTO O MULTIPLICACION DE A X B
2.- QUE DIMENSIONES TIENE LA MATRIZ PRODUCTO

¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n
. (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas
de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Propiedades del producto de
matrices
A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que
A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se
representa por A–1 .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:
A·(B + C) = A·B + A·C
El producto de matrices en general no es conmutativo.

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