Este documento presenta tres oraciones clave sobre una función: 1) La función crece y decrece en diferentes intervalos, teniendo máximos en x = -4 y x = 3 y mínimos en x = -3 y x = 4. 2) La función es constante en el intervalo (-1,2). 3) La tabla muestra los valores de la función para diferentes valores de x en el dominio.
Este documento contiene varios problemas y ejercicios relacionados con movimientos y semejanzas en geometría. Incluye ejercicios de traslaciones, giros, simetrías, homotecias y semejanza de figuras. También presenta problemas cotidianos de escala y conversión de unidades para calcular áreas y volúmenes en la vida real basados en planos y maquetas.
Este documento presenta información sobre funciones lineales y cuadráticas. Incluye ejemplos de resolver ecuaciones lineales, gráficas de funciones lineales, y propiedades de funciones cuadráticas como su vértice y eje de simetría. También contiene actividades para identificar si conjuntos de puntos pertenecen a funciones dadas y calcular pendientes de funciones lineales.
El documento presenta información sobre cuerpos geométricos como polígonos, poliedros y pirámides. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios para calcular áreas. Se explican conceptos como vértices, lados, diagonales, caras y fórmulas como la de Euler para poliedros convexos. También contiene cálculos para determinar áreas de figuras como hexágonos, triángulos y pirámides.
1) El documento presenta ejercicios sobre cálculos trigonométricos en triángulos rectángulos y no rectángulos. Incluye cálculos de funciones trigonométricas para ángulos dados y la resolución de problemas geométricos usando relaciones trigonométricas.
2) También contiene ejercicios sobre valores aproximados de funciones trigonométricas para diferentes ángulos y la resolución de problemas como determinar alturas usando ángulos de elevación y depresión.
3) Finalmente, presenta una sele
Este documento presenta información sobre rectas y planos en el espacio, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Explica que un plano puede estar determinado por dos rectas que se intersectan, tres puntos no colineales, una recta y un punto fuera de ella o dos rectas paralelas. Luego define poliedros, prismas, ángulos diedros y presenta fórmulas para calcular áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. Final
1. El punto donde la recta tangente a la función f(x) = 1/(1+x^2) tiene la pendiente máxima es x=1/√3 y donde tiene la pendiente mínima es x=-1/√3.
2. Para que la suma de las áreas de los dos triángulos sombreados sea un mínimo, el punto D debe situarse a una distancia x=√2-1d de C.
3. Las dimensiones que maximizan el área del rectángulo son una base de 3/2 y una altura de 2, del círculo
El resumen analiza 15 problemas relacionados con la trigonometría circular. Los problemas incluyen calcular valores, determinar veracidad de proposiciones, hallar áreas de regiones y calcular expresiones trigonométricas. El documento proporciona información relevante para comprender conceptos básicos de trigonometría circular.
1) El documento presenta conceptos sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas, incluyendo sus raíces, discriminante, vértice y eje de simetría.
2) Se explican las características de las funciones cuadráticas y cómo los valores de sus coeficientes afectan la forma de la parábola asociada.
3) Se proveen ejemplos para ilustrar los diferentes conceptos teóricos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Este documento contiene varios problemas y ejercicios relacionados con movimientos y semejanzas en geometría. Incluye ejercicios de traslaciones, giros, simetrías, homotecias y semejanza de figuras. También presenta problemas cotidianos de escala y conversión de unidades para calcular áreas y volúmenes en la vida real basados en planos y maquetas.
Este documento presenta información sobre funciones lineales y cuadráticas. Incluye ejemplos de resolver ecuaciones lineales, gráficas de funciones lineales, y propiedades de funciones cuadráticas como su vértice y eje de simetría. También contiene actividades para identificar si conjuntos de puntos pertenecen a funciones dadas y calcular pendientes de funciones lineales.
El documento presenta información sobre cuerpos geométricos como polígonos, poliedros y pirámides. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios para calcular áreas. Se explican conceptos como vértices, lados, diagonales, caras y fórmulas como la de Euler para poliedros convexos. También contiene cálculos para determinar áreas de figuras como hexágonos, triángulos y pirámides.
1) El documento presenta ejercicios sobre cálculos trigonométricos en triángulos rectángulos y no rectángulos. Incluye cálculos de funciones trigonométricas para ángulos dados y la resolución de problemas geométricos usando relaciones trigonométricas.
2) También contiene ejercicios sobre valores aproximados de funciones trigonométricas para diferentes ángulos y la resolución de problemas como determinar alturas usando ángulos de elevación y depresión.
3) Finalmente, presenta una sele
Este documento presenta información sobre rectas y planos en el espacio, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Explica que un plano puede estar determinado por dos rectas que se intersectan, tres puntos no colineales, una recta y un punto fuera de ella o dos rectas paralelas. Luego define poliedros, prismas, ángulos diedros y presenta fórmulas para calcular áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. Final
1. El punto donde la recta tangente a la función f(x) = 1/(1+x^2) tiene la pendiente máxima es x=1/√3 y donde tiene la pendiente mínima es x=-1/√3.
2. Para que la suma de las áreas de los dos triángulos sombreados sea un mínimo, el punto D debe situarse a una distancia x=√2-1d de C.
3. Las dimensiones que maximizan el área del rectángulo son una base de 3/2 y una altura de 2, del círculo
El resumen analiza 15 problemas relacionados con la trigonometría circular. Los problemas incluyen calcular valores, determinar veracidad de proposiciones, hallar áreas de regiones y calcular expresiones trigonométricas. El documento proporciona información relevante para comprender conceptos básicos de trigonometría circular.
1) El documento presenta conceptos sobre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas, incluyendo sus raíces, discriminante, vértice y eje de simetría.
2) Se explican las características de las funciones cuadráticas y cómo los valores de sus coeficientes afectan la forma de la parábola asociada.
3) Se proveen ejemplos para ilustrar los diferentes conceptos teóricos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas.
1. El documento presenta las definiciones de las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) para un ángulo en un triángulo rectángulo.
2. Se proporcionan valores para las razones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60°.
3. Se explican algunas identidades trigonométricas fundamentales y se presentan ejemplos para ilustrar su uso.
Este documento contiene 51 ejercicios de geometría que abarcan conceptos como polígonos regulares e irregulares, triángulos, círculos, ángulos, perímetros, áreas y más. Los ejercicios deben resolverse calculando medidas, comprobando propiedades geométricas, y justificando resultados.
El documento contiene un cuestionario de matemáticas con 74 preguntas sobre diferentes temas como geometría, álgebra, sistemas de ecuaciones, fracciones y más. Las preguntas van desde calcular ángulos y lados de figuras geométricas, hasta resolver expresiones algebraicas, sumar fracciones y factorizar polinomios. El cuestionario evalúa conocimientos básicos y avanzados de matemáticas.
Este documento presenta una guía de trabajo práctico sobre trigonometría. Contiene ejercicios para calcular valores trigonométricos utilizando funciones trigonométricas, tablas de valores y relaciones entre ángulos y lados de triángulos. También incluye problemas para determinar medidas desconocidas como alturas, distancias y ángulos mediante el uso de funciones trigonométricas. El documento está organizado en secciones con diferentes tipos de ejercicios y problemas para practicar conceptos trigonométricos.
Este documento presenta información sobre perímetros y áreas de diferentes figuras geométricas planas como cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, triángulos y círculos. Define fórmulas para calcular el perímetro y área de cada figura. Luego, proporciona ejemplos resueltos de problemas que involucran el cálculo de perímetros y áreas usando dichas fórmulas. Finalmente, presenta algunos teoremas como el de Pitágoras y conceptos como figuras equivalentes.
1) El documento presenta una serie de problemas de trigonometría. Calcula dimensiones de figuras geométricas usando relaciones trigonométricas como seno, coseno y tangente. Resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta un taller sobre funciones trigonométricas para maestros de décimo a duodécimo grado. Incluye una pre-prueba con ejercicios sobre ángulos, funciones trigonométricas y identidades trigonométricas. También presenta objetivos del taller, una justificación y contenido sobre ángulos y sus medidas, trigonometría de triángulos rectángulos y valores de funciones trigonométricas para ángulos especiales. El documento provee material para que los maestros mejoren su comprensión de conceptos
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento describe las funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos rectángulos. Explica las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), cómo usar el teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos, y cómo resolver triángulos rectángulos dadas diferentes medidas. También cubre el uso de las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante y provee ejemplos numéricos.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con conversiones angulares entre grados sexagesimales y radianes, cálculo de funciones trigonométricas para ángulos dados, resolución de identidades trigonométricas, y resolución de triángulos rectángulos utilizando funciones trigonométricas. Los ejercicios cubren temas como conversiones entre sistemas de medida angular, cálculo de funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante, reducción de ángulos al primer cuadrante, y aplic
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con ángulos y funciones trigonométricas. Define términos como semirrecta, ángulo, grados sexagesimales y radianes. Luego plantea ejercicios para calcular medidas de ángulos, convertir entre grados y radianes, y determinar valores de funciones trigonométricas para diferentes ángulos.
Este documento contiene una guía de ejercicios sobre funciones lineales y ecuaciones de rectas. Incluye 13 secciones con más de 100 ejercicios sobre temas como pendiente, ecuación general de una recta, aplicación de funciones lineales al cálculo de costos, puntos de equilibrio, entre otros. El objetivo es que los estudiantes repasen y practiquen diferentes conceptos y procedimientos relacionados con funciones lineales a través de la resolución de numerosos ejercicios.
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales y rectas. Los ejercicios piden representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones, y resolver problemas que involucran rectas. Las soluciones proporcionan los pasos para representar gráficamente cada recta y determinar valores requeridos.
Este documento contiene 24 ejercicios sobre funciones lineales y rectas. Los ejercicios 1-10 piden representar gráficamente diferentes rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 11-15 calculan la pendiente de rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 16-20 encuentran la ecuación de rectas dadas ciertas condiciones. Finalmente, los ejercicios 21-24 aplican conceptos de funciones lineales a problemas reales.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con puntos, rectas y ecuaciones en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta y las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Luego, proporciona ejemplos para practicar estos conceptos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de trigonometría que involucran el cálculo de ángulos y lados de triángulos rectángulos y otros polígonos utilizando relaciones trigonométricas. Los ejercicios cubren temas como la manipulación de calculadoras, conversiones entre grados y radianes, resolución de triángulos rectángulos dados diferentes datos, cálculo de áreas y alturas, y más.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y cuadráticas. Se piden identificar cuáles funciones son lineales o cuadráticas, hallar pendientes, ordenadas en el origen y vértices de parábolas. También se piden representar gráficamente funciones dadas y resolver problemas que involucran funciones cuadráticas.
El documento presenta un examen de matemáticas para un festival académico que contiene 10 preguntas sobre ecuaciones, geometría, trigonometría y cálculo diferencial y integral. El examen evalúa conceptos como áreas, ecuaciones de primer grado, límites, derivadas y integrales.
1. El documento presenta las definiciones de las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) para un ángulo en un triángulo rectángulo.
2. Se proporcionan valores para las razones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60°.
3. Se explican algunas identidades trigonométricas fundamentales y se presentan ejemplos para ilustrar su uso.
Este documento contiene 51 ejercicios de geometría que abarcan conceptos como polígonos regulares e irregulares, triángulos, círculos, ángulos, perímetros, áreas y más. Los ejercicios deben resolverse calculando medidas, comprobando propiedades geométricas, y justificando resultados.
El documento contiene un cuestionario de matemáticas con 74 preguntas sobre diferentes temas como geometría, álgebra, sistemas de ecuaciones, fracciones y más. Las preguntas van desde calcular ángulos y lados de figuras geométricas, hasta resolver expresiones algebraicas, sumar fracciones y factorizar polinomios. El cuestionario evalúa conocimientos básicos y avanzados de matemáticas.
Este documento presenta una guía de trabajo práctico sobre trigonometría. Contiene ejercicios para calcular valores trigonométricos utilizando funciones trigonométricas, tablas de valores y relaciones entre ángulos y lados de triángulos. También incluye problemas para determinar medidas desconocidas como alturas, distancias y ángulos mediante el uso de funciones trigonométricas. El documento está organizado en secciones con diferentes tipos de ejercicios y problemas para practicar conceptos trigonométricos.
Este documento presenta información sobre perímetros y áreas de diferentes figuras geométricas planas como cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, triángulos y círculos. Define fórmulas para calcular el perímetro y área de cada figura. Luego, proporciona ejemplos resueltos de problemas que involucran el cálculo de perímetros y áreas usando dichas fórmulas. Finalmente, presenta algunos teoremas como el de Pitágoras y conceptos como figuras equivalentes.
1) El documento presenta una serie de problemas de trigonometría. Calcula dimensiones de figuras geométricas usando relaciones trigonométricas como seno, coseno y tangente. Resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta un taller sobre funciones trigonométricas para maestros de décimo a duodécimo grado. Incluye una pre-prueba con ejercicios sobre ángulos, funciones trigonométricas y identidades trigonométricas. También presenta objetivos del taller, una justificación y contenido sobre ángulos y sus medidas, trigonometría de triángulos rectángulos y valores de funciones trigonométricas para ángulos especiales. El documento provee material para que los maestros mejoren su comprensión de conceptos
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento describe las funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos rectángulos. Explica las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), cómo usar el teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos, y cómo resolver triángulos rectángulos dadas diferentes medidas. También cubre el uso de las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante y provee ejemplos numéricos.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con conversiones angulares entre grados sexagesimales y radianes, cálculo de funciones trigonométricas para ángulos dados, resolución de identidades trigonométricas, y resolución de triángulos rectángulos utilizando funciones trigonométricas. Los ejercicios cubren temas como conversiones entre sistemas de medida angular, cálculo de funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante, reducción de ángulos al primer cuadrante, y aplic
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con ángulos y funciones trigonométricas. Define términos como semirrecta, ángulo, grados sexagesimales y radianes. Luego plantea ejercicios para calcular medidas de ángulos, convertir entre grados y radianes, y determinar valores de funciones trigonométricas para diferentes ángulos.
Este documento contiene una guía de ejercicios sobre funciones lineales y ecuaciones de rectas. Incluye 13 secciones con más de 100 ejercicios sobre temas como pendiente, ecuación general de una recta, aplicación de funciones lineales al cálculo de costos, puntos de equilibrio, entre otros. El objetivo es que los estudiantes repasen y practiquen diferentes conceptos y procedimientos relacionados con funciones lineales a través de la resolución de numerosos ejercicios.
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales y rectas. Los ejercicios piden representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones, y resolver problemas que involucran rectas. Las soluciones proporcionan los pasos para representar gráficamente cada recta y determinar valores requeridos.
Este documento contiene 24 ejercicios sobre funciones lineales y rectas. Los ejercicios 1-10 piden representar gráficamente diferentes rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 11-15 calculan la pendiente de rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 16-20 encuentran la ecuación de rectas dadas ciertas condiciones. Finalmente, los ejercicios 21-24 aplican conceptos de funciones lineales a problemas reales.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con puntos, rectas y ecuaciones en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta y las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Luego, proporciona ejemplos para practicar estos conceptos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de trigonometría que involucran el cálculo de ángulos y lados de triángulos rectángulos y otros polígonos utilizando relaciones trigonométricas. Los ejercicios cubren temas como la manipulación de calculadoras, conversiones entre grados y radianes, resolución de triángulos rectángulos dados diferentes datos, cálculo de áreas y alturas, y más.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y cuadráticas. Se piden identificar cuáles funciones son lineales o cuadráticas, hallar pendientes, ordenadas en el origen y vértices de parábolas. También se piden representar gráficamente funciones dadas y resolver problemas que involucran funciones cuadráticas.
El documento presenta un examen de matemáticas para un festival académico que contiene 10 preguntas sobre ecuaciones, geometría, trigonometría y cálculo diferencial y integral. El examen evalúa conceptos como áreas, ecuaciones de primer grado, límites, derivadas y integrales.
El documento presenta 10 ejercicios de matemáticas que abarcan temas como funciones, derivadas, integrales, sistemas de ecuaciones, probabilidad y estadística. Los ejercicios incluyen estudiar el dominio, imagen y monotonía de funciones; calcular derivadas, integrales e límites; resolver un sistema de ecuaciones; determinar desviaciones típicas y probabilidades.
Este documento contiene 22 ejercicios de matemáticas que abarcan temas como: simplificación de expresiones algebraicas, operaciones con potencias y logaritmos, resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, cálculo de lados y ángulos en triángulos, operaciones con vectores, y trigonometría. Los ejercicios van desde problemas básicos hasta otros más complejos que requieren varios pasos para su resolución.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y cuadráticas. Primero, identifica cuáles funciones son lineales y cuadráticas. Luego, pide hallar pendientes, ordenadas en el origen, vértices y puntos de corte de funciones dadas. Finalmente, propone resolver problemas relacionados con áreas y perímetros maximizando funciones cuadráticas.
El documento presenta un examen de admisión a la universidad con 33 preguntas de matemáticas. Las preguntas abarcan temas como números, álgebra, funciones, geometría y probabilidad. El examen evalúa las habilidades matemáticas básicas y el razonamiento lógico necesarios para ingresar a carreras de ingeniería.
El documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas dados datos de ángulos, resolver triángulos y figuras geométricas usando razones trigonométricas, y hallar alturas y lados dados información angular. Los problemas cubren temas como cuadrantes trigonométricos, funciones trigonométricas, relaciones métricas y angulares en figuras planas, y aplicaciones a problemas de la vida real.
1. Los documentos presentan problemas matemáticos relacionados a edades, promedios y álgebra.
2. Se piden calcular edades de personas, promedios de notas y números, y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
3. Las respuestas a los problemas se presentan en formato de opciones múltiples.
El documento presenta cuatro problemas de programación lineal. El primer problema maximiza la función objetivo F(x,y)=25x+20y sujeto a cuatro restricciones. El segundo problema maximiza y minimiza dos funciones objetivo sujeto a tres restricciones. El tercer problema maximiza la función objetivo z=x+y+1 sujeto a dos restricciones. El cuarto problema encuentra el valor mínimo de la función objetivo F(x,y)=2x+3y dentro de una región definida por cinco restricciones.
1) El documento presenta 35 problemas de álgebra que involucran factores, ecuaciones, funciones, gráficas y logaritmos. 2) Los problemas deben ser resueltos seleccionando la alternativa correcta entre A, B, C y D. 3) El documento proporciona información para resolver problemas matemáticos de nivel secundario.
1) El documento contiene 45 preguntas de selección única sobre temas de álgebra, funciones, geometría y logaritmos. 2) Las preguntas requieren identificar factores, ecuaciones de rectas, dominios y ámbitos de funciones, puntos de intersección, soluciones de ecuaciones y expresiones, y calcular áreas de figuras geométricas. 3) El propósito del documento es evaluar conocimientos sobre diversos temas matemáticos.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones polinómicas y racionales. Se estudian y representan gráficamente diferentes funciones cuadráticas y cúbicas, encontrando sus vértices, dominios y cortes con los ejes. También se resuelven problemas como determinar las dimensiones de un cercado rectangular de máxima área o la distancia alcanzada en un lanzamiento de jabalina.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
El documento presenta información sobre números divisibles, áreas de figuras geométricas, ecuaciones y sumas de polinomios. Incluye ejemplos y preguntas sobre estos temas para practicar conceptos matemáticos fundamentales.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal. El Problema 1 explica cómo representar inecuaciones como rectas y determinar a qué semiplano pertenecen. Los Problemas 2 y 3 ilustran cómo representar regiones definidas por múltiples inecuaciones y encontrar puntos máximos y mínimos de funciones dentro de esas regiones. El Problema 4 encuentra el punto mínimo de una función dentro de una región dada.
Este documento presenta soluciones a problemas de álgebra. Resuelve encontrar el valor numérico de expresiones algebraicas para diferentes valores de las variables. También agrupa términos semejantes y halla su suma.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones cuadráticas. Incluye representar gráficamente diferentes funciones cuadráticas, calcular los puntos de corte con el eje x, determinar los valores de los parámetros a, b y c para funciones cuadráticas dadas sus condiciones, hallar la ecuación de una parábola dada su vértice y un punto, y graficar funciones cuadráticas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra básica, incluyendo factorización de expresiones, desarrollo de cuadrados perfectos, resolución de ecuaciones de primer grado y cálculo de áreas, volúmenes y porcentajes de error. Los ejercicios cubren temas como sacar factor común, desarrollar cuadrados, descomponer trinomios, resolver ecuaciones y aplicar la multiplicación de polinomios.
Este documento contiene un examen de matemáticas de 4o de la Educación Secundaria Obligatoria con 12 preguntas. Las preguntas incluyen cálculos trigonométricos, resolución de triángulos, ecuaciones de rectas, límites y funciones. El examen evalúa conceptos y habilidades matemáticas fundamentales.
Este documento contiene un repaso de matemáticas para la 2a evaluación de 3o de ESO. Incluye problemas sobre polinomios, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, funciones lineales y cuadráticas, y representación gráfica. Se piden justificaciones, cálculos, descomposiciones en factores, hallazgo de raíces, pendientes, intersecciones con los ejes, y representación de funciones.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
2. Funciones
370
11
RESUELVE EL RETO
A 9 le corresponde 3, porque tiene 3 divisores: 1, 3 y 9.
10 días, porque cada día avanza un metro.
Si es lineal, la única opción es que sea la función constante y 3, así que su recorrido es 3. Si no es lineal y no corta
al eje X, lo que sabemos es que su recorrido son los enteros positivos.
24 horas
ACTIVIDADES
a) Sí, a cada valor de x, el número de jabones comprados, le corresponde un único precio a pagar.
b) Sí, para cada par de números finales del DNI solo hay un posible resultado al sumarlos.
c) No, para dos rectángulos del mismo ancho, el perímetro puede ser diferente, es decir, le corresponde más de un
valor, dependerá también del valor de la altura.
d) Sí, a cada valor de x, número de monedas de 2 €, le corresponde una única posibilidad del precio que
representan.
3. Funciones
371
11
a) 1, 2, 3, 4 y 5
b) 7, 9, 11, 13 y 15
c) 1, 2, 2, 3 y 2.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Es función la relación entre la talla de zapato y la longitud del pie.
No es función la relación entre la temperatura que hace y la posibilidad de lluvia.
a) El doble de un número menos uno.
b) El opuesto de un número más tres.
a) y 3x
b) y x2
c) y 2x 5
f(x) 2x 3
f(8) 2 · 8 3 13 f(4) 2 · (4) 3 11 f(10) 2 · 10 3 17
Sea x la medida expresada en metros, la función que la expresa en centímetros es f(x) 100x.
4. Funciones
372
11
a)
b)
c)
El precio final dependerá del número de entradas que se compre y no se puede comprar un número de entradas
negativo.
Expresión algebraica: f(x) 15,75x
x 0 1 2 3 4
f(x) 15,75x 0 15,75 31,5 47,25 63
x 2 1 0 1 2
f(x) 3x 2 8 5 2 1 4
x 2 1 0 1 2
f(x) x2
2 6 3 2 3 6
x 2 1 0 1 2
f(x) x 3 5 4 3 2 1
1
1
X
Y
a)
b)
c)
1
10
X
Y
5. Funciones
373
11
a) Expresión algebraica: f(x) 10x
x 0 1 2 3 4
f(x) 10x 0 10 20 30 40
b) Expresión algebraica: f(x) 1000x
x 0 1 2 3 4
f(x) 1000x 0 1000 2000 3000 4000
Pan: 10x
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 10x 10 20 30 40 50 60
Carne: 3x
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 3x 3 6 9 12 15 18
Leche: 16x
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 16x 16 32 48 64 80 96
Fruta: 6x
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 6x 6 12 18 24 30 36
a) En función del tiempo, de los minutos que esté abierto, la cantidad de agua arrojada es y 4x.
1
2
X
Y
1
5
X
Y
1
250
X
Y
1
10
X
Y
Pan
Leche
Fruta
a)
Carne
b)
6. Funciones
374
11
b) En función de los minutos que esté abierto, la cantidad de agua que falta para llenar el depósito es
y 200 4x.
a) f(x) 2x 2 · 3x b) f(x) 2 · (x 4) 2 · (x 1) 4x 10
f(x) 3x 6 Dom f ℝ Im f ℝ
10
20
X
Y
1
1
X
Y
1
9
X
Y
10
11
1
1
X
Y
7. Funciones
375
11
a) f(x) b) Dom f ℝ {3}, Im f ℝ {0} c) f(2)
a) Dom f ℝ, Im f [7, ) b) Dom f ℝ {0}, Im f ℝ {0}
a) Dom f ℝ Im f ℝ c) Dom f ℝ Im f 2
b) Dom f ℝ Im f [0, ) d) Dom f [0, ) Im f [0, )
Si cada cuadrícula equivale a una unidad:
Para la primera nota: Dom f [5, 5], Im f [4, 4]
Para la segunda nota: Dom f [5, 4], Im f [2, 5]
a) Dom f [2, 6), Im f [1, 3]
b) Dom f (2, 5), Im f [3, 0]
8. Funciones
376
11
Dom f [0, 24], Im f [8, 28]
Hay discontinuidades en x 1 y en x 3.
La gráfica corta al eje X en x 1 y en x 2. La gráfica corta al eje Y en x 0.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Si pasa por (1, 1) cumple que: 1 a · 1 b y si pasa por (2, 1) cumple que 1 a · 2 b. Tenemos un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas, si lo resolvemos obtenemos que a 2 y b 3.
La función es f(x) 2x 3, los puntos de corte con los ejes son (0, 3) y (3/2, 0).
2
2
X
Y
9. Funciones
377
11
a) Puntos de corte con el eje X: 4x 1 0 → x 1/4. El punto es (1/4, 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → 4 · 0 1 1. El punto es (0, 1).
b) Puntos de corte con el eje X: 2x2
4 0. →x2
2 → No existen puntos de corte con este eje.
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → 2 · 02
4 4. El punto es (0, 4).
c) Puntos de corte con el eje X: → x y x . Los puntos son ( , 0) y ( , 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → . El punto es (0, 5/2).
d) Puntos de corte con el eje X: → x 2/3. El punto es (2/3, 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → . El punto es (0, 2/5).
e) Puntos de corte con el eje X: (x 1)2
0 → x 1. El punto es (1, 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → (0 1)2
1. El punto es (0, 1).
f) Puntos de corte con el eje X: 3(x 1) 0 → x 1. El punto es (1, 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → 3(0 1) 3. El punto es (0, 3).
a) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 3 0 3. El punto de corte es (0, 3).
b) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 2 2. El punto de corte es (0, 2).
c) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 02
0 2 2. El punto de corte es (0, 2).
d) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 1 . El punto de corte es (0, 2/5).
e) Punto de corte con el eje Y: x 0 → (0 2)2
4. El punto de corte es (0, 4).
f) Punto de corte con el eje Y: x 0 → . El punto de corte es (0, 8/3).
g) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 4 · 0 4 4. El punto de corte es (0, 4).
h) Punto de corte con el eje Y: x 0 → . El punto de corte es (0, 9/10).
10. Funciones
378
11
a) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 0,25. El punto de corte es (0, 0,25).
b) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 3 · 02
0. El punto de corte es (0, 0).
c) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 4 · (2 0) 8. El punto de corte es (0, 8).
d) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 0,5. El punto de corte es (0, 0,5).
Para a) la correspondencia debería ser III). Comprobamos que los otros puntos de corte son los puntos de corte
con el eje X: 0 → x 1 y x 1. Sí se cumple, la correspondencia con a) es III).
Para b) la correspondencia es I). Los puntos de corte con X son los que cumplen 3x2
0, esto es cuando x 0, de
modo que de nuevo tenemos el punto (0, 0).
Para c) la correspondencia debería ser II). Comprobamos que los otros puntos de corte son los puntos de corte
con el eje X: 4 · (2 x) 0 → x 2. Sí se cumple, la correspondencia con c) es II).
Para d) no hay correspondencia. Lo mismo que los puntos de IV) no se corresponden con ninguna de las
funciones indicadas.
a) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 2 · 0 3 3. El punto de corte es (0, 3).
b) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 0 4 4. El punto de corte es (0, 4).
c) Punto de corte con el eje Y: x 0 →3 · (0 1) 3. El punto de corte es (0, 3).
d) Punto de corte con el eje Y: x 0 → 3 3. El punto de corte es (0, 3).
e) Punto de corte con el eje Y: x 0. El punto de corte es (0, 3).
Tienen el mismo punto de corte con el eje Y las funciones a), c), d) y e).
11. Funciones
379
11
Sí, es posible, por ejemplo la función y x y la función y x2
.
La función crece en (, 4) (3, 1) (2, 3) (4, ).
La función decrece en (4, 3) (3, 4).
La función es constante en (1, 2).
Tiene máximo para x 4 y x 3. Y tiene mínimo en x 3 y x 4.
Respuesta abierta, por ejemplo:
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2
La función decrece en (, 3) y crece en (3, ).
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
12. Funciones
380
11
a) La cantidad de litros por metro cuadrado aumenta de 8 a 12 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde. Disminuye
de 12 de la mañana a 2 de la tarde y de 6 de la tarde a 12 de la noche.
b) Llovió más a las 6 de la tarde.
c) A las 8 de la mañana, que no llovía.
a) Aumenta su temperatura en las 3 primeras horas de la medición, luego entre la 4.a
y la 5.a
hora, también entre
la 6.a
y la 8.a
hora y finalmente la última hora de la medición (entre la 9.a
y la 10.a
).
Disminuye entre la 3.a
y la 4.a
hora, entre la 5.a
y la 6.a
hora y entre la 8.a
y la 9.a
hora.
b) Alcanza la máxima temperatura, de 40 o
C, en la 3.a
y la 5.a
hora de la medición.
c) La temperatura mínima se registra 9 horas después de la primera medición.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Simetría par: f(x) (x)3
(1)3
· x3
x3
x3
f(x). No existe simetría par.
Simetría impar: f(x) (x)3
(1)3
· x3
x3
f(x). Tiene simetría impar.
1
1
X
Y
13. Funciones
381
11
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Sí, por ejemplo:
a) Es continua en todo su dominio.
b) Corta al eje Y en el momento en que Pablo empieza a correr, a una velocidad un poco inferior a 9 km/h.
c) Crece el primer cuarto de hora, luego decrece otro cuarto de hora. Entonces vuelve a incrementar su velocidad
otros 15 minutos, para luego ir decreciendo esta durante media hora (en ese momento lleva corriendo una
hora y cuarto). Vuelve a incrementarla durante un cuarto de hora y decelera el cuarto de hora siguiente. Tras
esta bajada de velocidad la vuelve a aumentar durante 30 minutos (lleva corriendo 2 horas y cuarto), para
bajarla de nuevo los últimos 30 minutos que está corriendo.
d) La velocidad máxima la alcanza tras correr 2 horas y cuarto y la mínima tras llevar corriendo 1 hora
y 45 minutos. A lo largo del camino tiene velocidades máximas relativas en x 0,25, x 0,75 e x 1,5. Y
velocidades mínimas relativas en x 0,5 y x 1,25.
e) Pablo supera los 12 km/h tras aproximadamente 2,1 minutos corriendo; esto es, 126 minutos corriendo.
1
1
X
Y
1
1
X
Y
14. Funciones
382
11
a) El Sol sale a las 8 de la mañana y se pone a las 8 de la tarde.
b) Sí, pues no hay ningún salto en el trazo de la función.
c) Crece entre las 8 de la mañana y las 2 de la tarde y decrece entre las 2 de la tarde y las 8 de la noche.
d) El máximo de la función es a las 2 de la tarde, cuando el Sol alcanza una altura de 60 m sobre el horizonte. Es
decir, el punto del máximo es (14, 60).
e) Hay 12 horas de sol al día.
ACTIVIDADES FINALES
a) Es función. Para cualquier número que consideremos, no hay más posibilidad al calcular su mitad que un solo
resultado.
b) Es función. Para cualquier número que consideremos, no hay más posibilidad al calcular su valor absoluto que
un solo resultado.
c) No es función. Si no nos especifican el signo de la raíz cuadrada, para un número tenemos dos posibles valores,
por ejemplo, a 1 le correspondería 1 y 1.
d) Es función. Para cualquier número que consideremos, no hay más posibilidad al calcular su raíz cúbica que un
solo resultado.
a) Sí es función. Dado un círculo con un radio determinado, solo existe una posibilidad para el valor de su área.
b) No es función.
c) No es función.
15. Funciones
383
11
Son funciones b) y d). Las gráficas a) y c) tienen valores de x a los que les corresponde más de un valor de y.
Hacia la mitad del día la longitud de la sombra es menor, porque el sol está en lo alto e incide de modo más
perpendicular en los objetos.
a) Sí, para cada hora del día, solo hay un posible valor de medición de la sombra.
b) No, varía en función del sol (hora de salida, posición,…).
a) y 2 b) y c) y
a) A l2
b) c) V r3
2
20
Hora del día
Longitud (cm)
16. Funciones
384
11
a) y 4 · 3 3 9 b) 1 4x 3 → x 1/2 c) y 4 · (2) 3 11 d) 5 4x 3 → x 2
a) f(1) 3, f(2) 0, f(3) 5 c) f(1) 9, f(2) 0, f(3) 3
b) f(1) 1, f(2) 1, f(3) 5/3 d) f(1) 1, f(2) 16, f(3) 25
a) d)
b) e)
c) f)
x 2 1 0 1 2
f(x) 5 4 3 2 1
1
1
X
Y
1
1
X
Y
x 2 1 0 1 2
f(x) 3/2 1 1/2 0 1/2
1
1
X
Y
x 2 1 0 1 2
f(x) 3 7/2 4 9/2 5
1
1
X
Y
x 2 1 0 1 2
f(x) 11 6 1 4 9
x 2 1 0 1 2
f(x) 8 7 6 5 4
1
1
X
Y
x 2 1 0 1 2
f(x) 7/2 11/4 2 5/4 1/2
1
1
X
Y
17. Funciones
385
11
a)
b)
x 4 2 1 0,75 0,75 1 2 4
f(x) 0,25 0,5 1 1,5 1,5 2 0,5 0,25
A b · h → 48 b · h → h 48/b
b 1 2 3 4 8
h 48 24 16 12 6
a) Verdadero. f(2) 2 · 22
1 2 · 4 1 9
b) Verdadero. f(1) 2 · 12
1 3 2 · (1)2
f(1)
c) Verdadero. 2x2
1 0 → x2
1/2. No hay ningún número real que cumpla esta condición.
d) Falso. Por ejemplo, f(1) 3
x 4 2 0 2 4
f(x) 3 2 1 0 1
x 3 2 0 2 3
f(x) 3 1 0 1 3
18. Funciones
386
11
a) Dom f ℝ Im f ℝ d) Dom f ℝ Im f ℝ
b) Dom f ℝ Im f ℝ e) Dom f ℝ Im f ℝ
c) Dom f ℝ Im f [2, ) f) Dom f ℝ Im f [0, )
a) Dom f [2, )
b) Dom f ℝ {2}
c) Dom f ℝ {0}
a) Dom f ℝ {2}. No es continua, no está definida en x 2
b) Dom f (3, 3). Es continua.
a) Puntos de corte con el eje X: 3x 2 0 → x 2/3. El punto de corte es (2/3, 0).
Punto de corte con el eje Y: x 0 → 3 · 0 2 2. El punto de corte es (0, 2).
b) Puntos de corte con el eje X: para cualquier valor de x, el valor de y es 2, no hay puntos de corte con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: para cualquier valor de x, el valor de y es 2. El punto de corte es (0, 2).
c) Puntos de corte con el eje X: 4x 1 0 → x 1/4. El punto de corte es (1/4, 0).
Punto de corte con el eje Y: x 0 → 4 · 0 1 1. El punto de corte es (0, 1).
d) Puntos de corte con el eje X: x2
2 0 → x y x . Los puntos de corte son ( , 0) y ( , 0).
Punto de corte con el eje Y: x 0 → 02
2 2. El punto de corte es (0, 2).
e) Puntos de corte con el eje X: para cualquier valor de x, el valor de y es 5, no hay puntos de corte con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: para cualquier valor de x, el valor de y es 5. El punto de corte es (0, 5).
f) Puntos de corte con el eje X: (x 1)2
0 → x 1. El punto de corte es (1, 0).
Punto de corte con el eje Y: x 0 → (0 1)2
1. El punto de corte es (0, 1).
19. Funciones
387
11
a)
No es continua, tiene una discontinuidad en x 0.
b)
Es continua.
c)
No es continua, tiene una discontinuidad en x 0.
d)
Es continua.
x 2 1 0,5 0,5 1 2
f(x) 2 3 5 3 1 0
1
1
X
Y
x 1 3/4 0 5/4 3 8
f(x) 0 1/2 1 3/2 2 3
1
1
X
Y
x 3 2 1 1 2 3
f(x) 1/2 3/4 3/2 3/2 3/4 1/2
1
1
X
Y
x 0 1/3 1 4/3 3 16/3
f(x) 0 1 1,7 2 3 4
1
1
X
Y
20. Funciones
388
11
e)
No es continua, tiene una discontinuidad en x 0.
f)
Es continua.
Hay un crecimiento del precio de la patata de 2006 a 2007, de 2007 a 2009 baja y de 2009 a 2010 sube de nuevo.
a) Dom f [4, 4] Im f [2, 2] b) Dom f [4, 4] Im f [3, 3]
Crece en (4, 3) (1, 3). Decrece en (3, 1). Crece en (4, 2) (0, 2). Decrece en (2, 0) (2, 4).
Máximo en x 3. Mínimo en x 4, x 1. Máximos en x 2, x 2. Mínimo en x 4, x 0, x 4.
x 3 2 1 1 2 3
f(x) 7/3 3 5 3 1 1/3
1
1
X
Y
x 6 5/2 0 3/2 2
f(x) 4 3 2 1 0
1
1
X
Y
2006
0,1
Año
Precio
2008 2010
22. Funciones
390
11
a) b)
a) f(x) (x)2
(x) x2
x
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → No tiene simetría impar.
b) f(x) x/2
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → Tiene simetría impar.
c) f(x) (x 2)2
(1)2
(x 2)2
(x 2)2
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → No tiene simetría impar.
d) f(x) (x)2
2(x)3
x2
2x3
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → No tiene simetría impar.
e) f(x) (x)3
(1)3
x3
x3
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → Tiene simetría impar.
f) f(x) 3/(x) 3/x
f(x) f(x) → No tiene simetría par. f(x) f(x) → Tiene simetría impar.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Respuesta abierta. Por ejemplo:
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
23. Funciones
391
11
Hacemos una tabla de valores y luego su representación gráfica y a partir de ella analizamos las características.
a)
Es continua creciente.
b)
Es continua creciente.
c)
Es continua. Es decreciente en (, 1) y creciente en (1, ).
Tiene un mínimo en x 1
a) Sí, por ejemplo, la función y x.
b) No, porque si es periódica de período T, entonces f(x) f(x T). Si es siempre creciente, tenemos que
f(x) < f(x 0,001), pero entonces f(x T) < f (x 0,001) y como x T > x 0,001, indica que ha decrecido.
c) Si es simétrica respecto del eje X no es función, porque habría más de un posible valor de y, para un único valor
de x.
x 2 1 0 1 2
f(x) 13 8 3 2 7
x 2 1 0 1 2
f(x) 1/2 1 3/2 2 5/2
x 2 1 0 1 2
f(x) 3 4 3 0 5
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
24. Funciones
392
11
La gráfica a la que se refiere el enunciado es la c).
a) 50 pasajeros.
b) Al inicio y al final del trayecto, ya que hay 0 pasajeros. Durante el trayecto es tras 25 minutos de circulación.
c) 40 minutos.
1
600
Semana
Ganancia
25. Funciones
393
11
a) De 10 a 20 (es decir, de 10 de la mañana a 8 de la tarde).
b) A las 12:30.
c) 200 visitantes.
d) El número de visitantes crece de 10 a 11, de 11:30 a 12:30, de 16:00 a 16:30, de 17:30 a 18:00 y de 18:30
a 19:00. Y decrece de 12:30 a 13:00, de 13:30 a 14:00, de 16:30 a 17:00 y de 19:30 a 20:00.
e) Ha habido más de 100 personas de 11:30 a 13:00 y de 18:30 a 19:30.
f) Sí, de 14:00 a 16:00 y de 17:00 a 17:30.
DEBES SABER HACER
a) Sí, pues para cada posible valor de x solo existe un posible valor de y.
b) y 2x 2, donde x es impar y menor que 50.
c)
x 1 3 5 7 9 11 21 31 41 49
y 4 8 12 16 20 24 44 64 84 100
1
2
X
Y
1
1
X
Y
4 1 0 1 4 14 7 2 3 8
26. Funciones
394
11
y 10x 480
a) Puntos de corte con el eje X: x2
6 0 → x y x . Los puntos de corte son ( , 0) y ( , 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → 02
6 6. El punto de corte es (0, 6).
b) Puntos de corte con el eje X: 0 → x 4/5. El punto de corte es (4/5, 0).
Puntos de corte con el eje Y: x 0 → 2. El punto de corte es (0, 2).
a) Dom f [0, 10] Im f [0, 7]
b) Sí, es continua.
c) Crece en (0, 1) (2, 4) (5, 6) (8, 10). Decrece en (1, 2) (4, 5) (6, 8).
d) Excluyendo los extremos, hay máximo en x 1, x 4 y x 6 y hay mínimos en x 2, x 5 y x 8.
La gráfica a) es de una función periódica, de período 2,5.
1
200
X
Y
27. Funciones
395
11
Respuesta abierta. Por ejemplo:
COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana
a) b) c)
1
1
X
Y
10
10 000
Altura
(pies)
Duración
(min)
10
10 000
Duración
(min)
Altura
(pies)
10
10 000
Altura
(pies)
Duración
(min)
28. Funciones
396
11
FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Es la gráfica b). Las otras independientemente de si los valores se adecuan o no, no son posibles, ya que x no
puede tomar valores negativos, pues es una distancia.
Minutero Horaria
60 min → 360o
12 · 60 min → 360o
1 min → x 1 min → y
x 6o
. La aguja del minutero recorre 6o
cada minuto. y 0,5o
. La aguja horaria recorre 0,5o
cada minuto.
Vemos el ángulo que se forma cada 15 minutos.
A las 0:00, ángulo de 0o
A las 0:15, minutero: 6 · 15 90o
y horaria 0,5 · 15 7,5o
, ángulo 90 7,5 82,5o
A las 0:30, minutero: 6 · 30 180o
y horaria 0,5 · 30 15o
, ángulo 180 15 165o
A las 0:45, minutero: 6 · 45 270o
y horaria 0,5 · 45 22,5o
, ángulo 270 22,5 247,5o
A las 1:00, minutero: 0o
y horaria 0,5 · (1 · 60) 30o
, ángulo 30o
A las 1:15, minutero: 6 · 15 90o
y horaria 0,5 · (1 · 60 15) 37,5o
, ángulo 90 37,5 52,5o
A las 1:30, minutero: 6 · 30 180o
y horaria 0,5 · (1 · 60 30) 45o
, ángulo 180 45 135o
A las 1:45, minutero: 6 · 45 270o
y horaria 0,5 · (1 · 60 45) 52,5o
, ángulo 270 52,5 217,5o
A las 2:00, minutero: 0o
y horaria 0,5 · (2 · 60) 60o
, ángulo 60o
Con el eje X infinitos, pero con el eje Y solo uno, ya que de tener más querría decir que a x 0 le corresponde
más de un valor, con lo cual, no sería función.
10
50
Minutos
Ángulo
29. Funciones
397
11
No, puesto que si es simétrica respecto del eje X a cada valor de x le corresponde más de un valor en y, y por
tanto no es función.
El frasco amarillo se corresponde con 2 o 4. El frasco rojo no se corresponde con ninguna.
El frasco azul se corresponde con 1. El frasco verde se corresponde con 3.
PRUEBAS PISA
El período dura 5 segundos.
En 5 segundos emite destellos 2 segundos. En 1 minuto hay
60 : 5 12 grupos de 5 segundos, emitirá destellos 12 · 2 24
segundos. 0 2 4 6 8 10
Tiempo (s)
Luz
Oscuridad