La evolución de la percepción geométrica en Primaria

TEMA 24. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN
PRIMARIA. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL
ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN. INTERVENCIÓN EDUCATIVA

VERSIÓN EXTENDIDA

(FUENTES: ASIGNATURA 2º PRIMARIA, BIBLIOGRAFÍA Y DOCUMENTOS)

GUIÓN – ESQUEMA

I. INTRODUCCIÓN

II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA

II.1) El espacio y la percepción espacial

II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacio

II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcional

II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones
oficiales

II.5) El aprendizaje y la evolución del pensamiento geométrico: Piaget y niveles de Van
Hiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y errores

III. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO:
CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN

III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planas

III.2) Geometría del espacio. Elementos y formas en el espacio de tres dimensiones

III.3) Relaciones y transformaciones geométricas. Traslaciones, giros y simetrías

III.4) Representación y coordenadas

III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. Escalas

IV. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA

V. COMENTARIOS FINALES

VI. BIBLIOGRAFÍA

VII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS

Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009

VIII. REFERENCIAS WEB

I. INTRODUCCIÓN

La finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que
permita afianzar su desarrollo y su propio bienestar, adquirir habilidades culturales básicas relativas
a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las
habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la
afectividad (MEC, 2006); demandas socioculturales e individuales que se pretende satisfacer en la
escuela a través del área de Matemáticas y de sus relaciones con otras áreas y con las materias
transversales mediante un proceso educativo de carácter global, interdisciplinar e integrador. Así se
establece, entre otros documentos oficiales, en el artículo 17 de la LOE (MEC, 2006), en el que se
hace referencia a la formación matemática: "desarrollar las competencias matemáticas básicas e
iniciarse en la resolución de problemas . . . así como ser capaces de aplicar las matemáticas a las
situaciones de su vida cotidiana”. No en vano la formación matemática básica proporciona un
conjunto de instrumentos para el tratamiento sistemático de la incertidumbre genérica sobre
modelos (la información es el elemento central y la resolución de problemas el espacio de juego),
un repertorio de posibilidades intelectuales de actuación y desarrollo personal y un modo valioso
para analizar la realidad, comprenderla, valorarla y poder actuar sobre ella.

Entre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación básica, la
cultura geométrica, entendida como conjunto de competencias, capacidades y habilidades,
vocabulario adecuado, visión global de las aplicaciones actuales, conocimiento de las nociones
geométricas elementales y sensibilidad por la belleza, el rigor, etc., debe ocupar una buena parte de
la formación en Educación Primaria. El objetivo fundamental debe ser la consecución de un buen
nivel de alfabetización geométrica en el contexto más amplio del desarrollo de las competencias
básicas y matemáticas específicas, lo que sitúa este tema en un lugar destacado, ocupando, junto a
los números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la medida de magnitudes, la mayor parte del
currículo de matemáticas en Primaria.

En el presente tema abordaremos, en el primer apartado, la evolución de la percepción espacial
desde el punto de vista geométrico, atendiendo a la importancia de la geometría y el valor de la
formación geométrica, las orientaciones didácticas oficiales y el aprendizaje de las nociones
geométricas elementales tomando como referencia los niveles de Van Hiele de razonamiento
geométrico. A continuación, dedicaremos un apartado a los principales elementos, formas y
relaciones geométricas en el plano y en el espacio distinguiendo las transformaciones y las
representaciones así como las relaciones de proporcionalidad geométrica. En los apartados
siguientes haremos una revisión de los recursos didácticos para el tratamiento del tema en Primaria
para terminar con algunas observaciones sobre la intervención educativa en esta etapa.

II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA

El espacio, entorno o medio físico constituye una realidad exterior al sujeto (aunque también se
pueden considerar las realidades pensadas o virtuales aunque no tengan una existencia
independiente del sujeto que las piensa) que es necesario conocer y comprender para adaptarse a
sus características, actuar sobre él si fuera necesario y, en definitiva, para poder vivir en él. El
individuo debe aprender, entre otras cosas, a moverse en el espacio, situarse, orientarse y analizar
las formas, representarlas, pensar y trabajar sobre ellas en términos de modelos o ideas y extraer
consecuencias y actuaciones que le permitan desenvolverse en dicho medio. Es por ello que la

González Marí, J. L. 2

educación de la percepción del espacio es muy importante para el adecuado desarrollo motriz,
intelectual o afectivo del alumno, y tendrá una fuerte repercusión en los demás aprendizajes
escolares.
Pero hablar del espacio es hablar de numerosos aspectos que tienen que ver con el medio natural, el
medio social, la familia, el propio cuerpo y su movimiento, etc. y de distintos tipos de espacio (el
cercano o inmediato, el espacio lejano, el espacio pensado o imaginado, el espacio percibido, etc.).
Es necesario, por tanto, delimitar lo que entendemos por espacio y por percepción espacial desde
dicho punto de vista general y qué partes y aspectos de dicha complejidad corresponden a la
interpretación geométrica del espacio, es decir, al tratamiento del espacio desde el área de
matemáticas. Ambos campos son distintos, aunque se encuentran relacionados como veremos a
continuación. La relación es evidente si tenemos en cuenta que el conocimiento geométrico es
pensado y creado por la misma mente humana que crece, se adapta y se desarrolla en el medio
complejo y múltiple que estamos denominando espacio.

II.1) El espacio y la percepción espacial

El espacio

El concepto más amplio de espacio hace referencia al “medio” en el que vive el sujeto en el sentido más
amplio posible. Este “medio” es complejo y difuso y está formado por los conjuntos de elementos,
seres, objetos, propiedades, relaciones, experiencias y sensaciones, incluido el propio cuerpo, que
determinan el proceso constante de desarrollo y adaptación del ser humano al entorno vital.
En el concepto de espacio se mezclan aspectos objetivos y subjetivos. Hay una parte objetiva ajena al
individuo y más o menos consensuada (medio o entorno en el sentido más amplio, dimensiones, etc.) y
una parte subjetiva que tiene que ver con la apreciación e interpretación de todo lo que ocurre y se
percibe a través de los sentidos y de la participación en experiencias con el entorno, consigo mismo y
con los demás. Qué duda cabe de que el espacio subjetivo esta condicionado por las percepciones e
interpretaciones del espacio objetivo o “exterior al sujeto”, las cuales, a su vez, están determinadas por
las experiencias vitales que en él se producen.

Evolución de la percepción espacial

Se puede decir que la percepción espacial es la acción y el resultado del intercambio de información de
la mente y el cuerpo con el entorno. En dicho intercambio, el sujeto, desde su nacimiento y tomando
como referencia el propio cuerpo, llega al conocimiento del espacio de manera directa a través de los
sentidos mediante la exploración y manipulación de las objetos que en él se encuentran así como a
través de los movimientos y desplazamientos que realiza. Va distinguiendo los elementos, percibiendo y
reconociendo las relaciones y representando mentalmente toda la información en una organización
estructurada que va a ir evolucionando muy deprisa en los primeros años de vida.
Esta percepción espacial se va desarrollando y perfeccionando con el tiempo y con las experiencias
proporcionando una organización de la información y de los esquemas de acción cada vez más completa
y compleja, resultando fundamental para poder trabajar los elementos, formas y relaciones
geométricas y organizar el espacio.
Hasta los 6-7 años, la percepción espacial, favorecida por la visualización, el propio cuerpo y las
sensaciones cinestésicas y táctiles, se va perfeccionando en el niño en torno a la capacidad de orientarse
y situarse a sí mismo y a los objetos u otros seres vivos en el espacio y entre sí, lo que viene favorecido
por el desarrollo de la lateralidad. Al mismo tiempo, va distinguiendo entre distintos tipos de espacio
(físico, social, corporal, inmediato, lejano, etc.) y va tomando conciencia y configurando los esquemas
de acción y representación directa sobre el entorno. Paulatinamente, se desarrolla el conocimiento
indirecto del espacio a través del lenguaje y se produce una progresiva descentración y desarrollo de la
función simbólica, lo que favorece una más completa representación mental del espacio y una mejor
disposición para trabajar y comprender las nociones geométricas.
Esta breve descripción general se completa con más detalle en el apartado II.5 dedicado al aprendizaje y
su evolución según Piaget y Van Hiele.



II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacio

De todas las facetas y propiedades del espacio, la Geometría es la parte de la Matemática que
estudia las idealizaciones del espacio en términos de las propiedades y medidas de las figuras
geométricas. La Geometría no estudia el espacio real en sí, sino objetos ideales (también llamados
matemáticos o geométricos) (polígono, punto, arista, giro, etc.), sus propiedades, relaciones y
teorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de otros objetos ideales creados
previamente (en el espacio real no existen círculos, pentágonos, rectas, puntos o esferas, sino
objetos con forma de . . . o modelizados por . . .; la realidad física siempre es menos perfecta que la
realidad geométrica pensada o ideal).

La geometría elemental admite dos puntos de vista o enfoques complementarios y estrechamente
relacionados entre sí:

- VISUALIZACIÓN / MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA DEL ESPACIO: Métodos,
procesos y resultados relacionados con la observación y visualización de la realidad para su
modelización y representación mental o gráfica. Es la parte más elemental de la Geometría,
previa a la siguiente y en la que se trata de dar forma mental, física, esquemática o simbólico-
representativa a los aspectos geométricos de los objetos y situaciones reales del entorno.
Constituye la parte de la percepción espacial que sirve como puerta de entrada a la Geometría.
A través de los sentidos se memorizan aspectos o imágenes parciales de la realidad y se
construyen modelos físicos o representados de los esquemas visuales; en definitiva, se da forma
mental (imagen o esquema mental) o física (representación gráfica o modelo físico construido)
a lo que se conoce como “configuraciones figurales”, que son las que van a servir de base para
el trabajo propiamente geométrico del apartado siguiente.

- ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS FORMAS: Las configuraciones figurales percibidas a
través de la observación y la visualización y construidas y representadas a través de la
modelización y el grafismo, constituyen las estructuras geométricas de la forma y son los
objetos de estudio de la ciencia del espacio, parte de la Matemática, a la que denominamos
Geometría. El estudio geométrico o matemático del espacio se llama también análisis figural o
estudio de la forma y abarca los siguientes aspectos:

o Forma o “aspecto”1 ideal que tienen o pueden tener los objetos que estructuran el
espacio;
o Estructuras (elementos y organización: punto, lado, ángulo, vértice, segmento, línea
recta, curva, contorno, perímetro, etc.)
o Relaciones
 Estáticas
 (perpendicularidad, paralelismo, relación entre número de caras, vértices
y aristas en un poliedro, etc.)
 Lugares geométricos
 Localización/posición en el espacio (coordenadas, posiciones relativas)
 Composiciones con formas y figuras, cubrimientos de planos y espacios,
frisos, mosaicos y teselaciones
 Dinámicas (transformaciones geométricas)
 Transformaciones/Movimientos (traslaciones, giros, simetrías)
 homotecias y semejanzas

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No se consideran ni la materia ni la textura ni el color, ni siquiera el tamaño o la dimensión, etc. Se prescinde de la
mayor parte de las cualidades perceptibles del objeto


o Dimensiones (medidas de longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.)
o Clasificación de elementos, figuras y formas (polígonos según distintos criterios,
triángulos, ángulos, etc.)
o Terminología (lenguaje, definiciones, etc.)
o Representación y Construcción (plano, espacio de tres dimensiones, dibujo,
instrumentos (TIC, regla y compás, etc.))
o Razonamiento geométrico y resolución de problemas sobre conceptos, propiedades y
relaciones geométricas (Ejemplo: análisis y digitalización de imagen)

La unificación de las distintas Geometrías: la Geometría a través de las transformaciones

Hasta el siglo XVI no se conoce otra Geometría que la de Euclides, pero a partir de entonces
aparecen otras geometrías, tales como la proyectiva (perspectivas, pintura), la descriptiva
(arquitectura, planos), la analítica (integración del álgebra y la geometría (ecuaciones que
representan figuras y elementos geométricos)), la topología, las geometrías no euclideas
(Lobachevski, Riemman), etc. La complejidad estaba servida.

Fue Félix Klein quien tuvo la genial idea (Programa de Erlangen) de intentar definir un nuevo
concepto unificador de geometría, de manera que todos los adjetivos históricos resultaran casos
particulares. Para ello se fijó en que los conocimientos geométricos se pueden dividir en dos
grandes grupos: los que corresponden a lo que se conoce como “Geometría estática” (figuras,
formas, referencias, etc.) y los que se engloban bajo el término “Geometría dinámica”
(transformaciones, homotecias, etc.).
En dicho Programa, el autor describió la geometría como el estudio de aquellas propiedades de las
figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de transformaciones.
Por lo tanto, cualquier clasificación de los grupos de transformaciones se convierte inmediatamente
en una clasificación de las geometrías:
A) La geometría euclídea plana consiste en el estudio de las propiedades de las figuras del plano,
incluidas las áreas y longitudes, que permanecen invariantes bajo el grupo de transformaciones
generado por las traslaciones y rotaciones en el plano (transformaciones euclídeas o rígidas o
también llamadas transformaciones isométricas o isometrías, que conservan las distancias, los
ángulos y las áreas, los perímetros y las ideas y conceptos incluidos en la geometría clásica);
B) La geometría proyectiva estudia las propiedades que se conservan ante transformaciones
proyectivas, que modifican sólo los ángulos y las distancias (perspectivas, ampliaciones,
reducciones, fotografía, pintura, secciones de sólidos, etc.);
C) La topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen inalteradas ante
transformaciones topológicas, que son transformaciones que modifican casi todas las
propiedades salvo el interior, el exterior y la frontera, la continuidad, el orden, etc. (está todo
permitido menos romper y/o pegar) (Ej.: un rectángulo de plastilina se puede estirar tirando de
dos vértices opuestos y hacer que los lados se curven desigualmente. Un dibujo en la superficie
de un globo desinflado y el mismo dibujo en el globo hinchado. Entre las figuras originales y
las figuras resultantes en cada caso, ¿qué propiedades han cambiado y cuáles se mantienen?;
han cambiado las longitudes y las formas de los lados, el interior es una superficie más grande,
etc.; se mantiene el interior (lo que estaba dentro sigue estando dentro y lo que estaba fuera
sigue estando fuera), los bordes o fronteras, el orden, el número y la vecindad de los vértices,
etc. Estas se llaman propiedades topológicas del espacio y la parte de la Geometría que estudia
estas propiedades se llama Topología.

Las transformaciones topológicas son las más permisivas mientras que las euclídeas son las más
restringidas (también se les llama “rígidas”, puesto que aquí solo se puede trasladar o girar la
figura, con lo que se mantiene casi todo).
En definitiva, la geometría está determinada por un espacio delimitado por unos objetos ideales


(punto, recta, plano, figuras, etc) y unas transformaciones (traslaciones, giros, reflexión, simetrías,
etc.) que nos permiten clasificar las figuras (serán figuras equivalentes las que puedan pasar de una
a otra mediante una transformación del tipo considerado). Las propiedades o conceptos genuinos de
cada geometría serán los que se conserven (queden invariantes) por las transformaciones
correspondientes.

(Nota del autor: se han dibujado a la derecha varias posibles figuras resultantes de cada tipo de
transformación. Cualquiera de ellas serviría como ejemplo).
De un donut de plastilina o de arcilla se puede fabricar una taza (ver ilustración). Las figuras
tridimensionales de ambas piezas son topológicamente equivalentes. Cambia todo excepto las
propiedades topológicas (tener un agujero, una sola superficie, el interior, la frontera, etc.).
(le cogemos un pellizco al donut quitando masa de alrededor del boquete, disminuyendo el tamaño
de este pero manteniéndolo unido a la bola que nos va a servir hacer el hueco de la taza . . . Varia la
forma, el tamaño, etc. pero no varian las propiedades topológicas).

II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcional

La educación y el desarrollo del pensamiento geométrico elemental constituye una parte esencial
del aprendizaje matemático. De un lado por su valor funcional derivado de su aplicabilidad a
diversos campos y situaciones (es elemento fundamental para comprender e interpretar
adecuadamente la realidad; no se concibe la vida cotidiana sin las formas y nociones geométricas
(volumen del depósito de un vehículo, distancias a recorrer, arquitectura, superficies de viviendas,
forma y capacidad de un recipiente, etc.)). No en vano trata sobre ideas, modelos, teorías y
propiedades que tienen que ver con las formas, una parte de las magnitudes y medidas, el orden
“geométrico”, las transformaciones y las relaciones entre dichos aspectos, un campo amplísimo y
tan potente como para abarcar aplicaciones como las siguientes:
- astronomía y mecánica celeste
- cartografía, geodesia y triangulación


- problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones, etc.)
- ingeniería (diseño de piezas) y arquitectura
- formas en la creación artística
- robótica; movimientos
- óptica, fotografía y cine
- cálculo de medidas (áreas, volúmenes, ángulos, etc.)
- digitalización y manipulación de imágenes
-...
Por otra parte, es de destacar su valor altamente formativo (se ejercitan constantemente la
comparación, el orden, el manejo de la información, la perspectiva, la visualización, la apreciación
de la belleza en el arte, la arquitectura, la escultura, la pintura, etc.);
Desde el punto de vista curricular, la geometría es importante “... por constituir elementos básicos
necesarios para la construcción de otros conocimientos matemáticos...“ (Junta de Andalucía, 1992),
como es el caso de los conocimientos métricos, y por su contribución al desarrollo de las
competencias básicas y matemáticas específicas.
Pero, además, no es un tema matemático aislado; la Educación Artística, la Educación Física, el
Dibujo y el Diseño, el Conocimiento del Medio Social (edificios, envases, etc.; distancias y
recorridos de eventos, etc.) y del Medio Natural (espacios, formas de envases, capacidades de
recipientes, distancias, cartografía, planos, etc.), la Tecnología (aparatos para dibujar, software de
diseño gráfico) y las Matemáticas desde distintos bloques temáticos (álgebra, representación en
análisis de datos), se relacionan entre sí en este tema interdisciplinar y con numerosas relaciones
con temas transversales (Educación Vial, Educación ambiental, entre otros), campo privilegiado
para el desarrollo de competencias y capacidades básicas diversas.

II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficiales

Las orientaciones oficiales sobre nociones geométricas, formas y figuras y sus propiedades se
recogen en los siguientes documentos legislativos oficiales:
- LOE, MEC (2006)
- Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006)
- Orden de 10/08/2007 (Junta de Andalucía) desarrollo del currículo en Educación Primaria.

Principios y metas: El alto valor formativo y funcional y su destacada contribución al desarrollo de
las competencias básicas y matemáticas, confieren a estos conocimientos un destacado papel en la
consecución de la alfabetización matemática, entendida como la capacidad para utilizar y relacionar
los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento
matemático en situaciones reales o simuladas, interpretar y expresar con claridad y precisión
informaciones, datos y argumentaciones con contenido numérico, aritmético, geométrico y métrico
e identificar y resolver problemas, seleccionando las estrategias, técnicas e instrumentos adecuados.

Capacidades y competencias
“La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las
siguientes capacidades: . . 2) Reconocer situaciones en su medio habitual . . ; 3) Apreciar el papel
de las matemáticas en la vida cotidiana. . .; 7) Identificar formas geométricas del entorno natural y
cultural utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y
desarrollar nuevas posibilidades de acción.” (MEC, 2006).

El tratamiento didáctico de los conocimientos geométricos debe contribuir al desarrollo de las
competencias básicas (aprender a aprender, a través del razonamiento geométrico y la resolución de
problemas, competencia cultural y artística, a través del dibujo geométrico, el diseño, etc.,
competencia digital, autonomía e iniciativa personal, conocimiento del medio natural y social) y de
las competencias matemáticas específicas (pensar y razonar geométricamente, resolver y proponer


problemas geométricos, modelizar, representar, comunicar, argumentar mediante razonamientos
geométricos y utilizar tecnología auxiliar para el estudio de las figuras y sus propiedades).

Objetivos
Los objetivos específicos del área de Matemáticas para la etapa de Educación Primaria quedan
recogidos en el Real Decreto 1513/2006. Los objetivos que desarrollan aspectos relacionados con la
geometría y la orientación espacial son los siguientes:
5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como
procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en
cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.
7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus
elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

Los contenidos y criterios de evaluación de este núcleo de conocimientos, procedimientos y
destrezas se sitúan, de acuerdo con el Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006), en el bloque temático
nº 3 “Geometría” y de acuerdo con la Orden de 10 de agosto de 2007 de la Junta de Andalucía, en
el bloque disciplinar denominado “Las formas y figuras y sus propiedades” y en la relación de éste
con los tres bloques transversales: “Resolución de problemas”, “TIC” y “Dimensión histórica,
social y cultural de las matemáticas”. Por otra parte, dado que entre las magnitudes más importantes
se encuentran las magnitudes geométricas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.),
también existe una relación especial con el bloque I a través de la medida de magnitudes (ver
esquema).

Se establecen los siguientes contenidos y criterios de evaluación para el Bloque 3. Geometría (Real
Decreto 1513/2006 (MEC, 2006)) 2:

Primer ciclo: Contenidos:
 La situación en el espacio, distancias y giros (posiciones y movimientos, líneas abiertas y
cerradas, rectas y curvas; itinerarios);
 formas planas y espaciales (figuras y elementos, comparación y clasificación; composición
y descomposición de figuras planas);

2
En Anexos se incluye una relación detallada de los contenidos y criterios de evaluación recogidos en la normativa
legal de los que se hace un resumen a continuación.



 regularidades y simetrías (relaciones espaciales, resolución de problemas geométricos);
 interés, curiosidad y confianza en el trabajo con formas geométricas y sus propiedades.

Criterios de evaluación: describir la situación de un objeto del espacio próximo y de un
desplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delante-
detrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano (orientación y representación espacial); reconocer
en el entorno inmediato objetos y espacios con formas rectangulares, triangulares, circulares,
cúbicas y esféricas (reconocimiento de formas geométricas elementales).

Segundo ciclo: Contenidos:
 La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros (representación, planos y maquetas,
posiciones y movimientos; líneas rectas y curvas, intersección y rectas paralelas);
 formas planas y espaciales (polígonos, lados y vértices; circunferencia y círculo; cuerpos
geométricos: cubo, esfera, prisma, cono, etc.; aristas y caras; construcción de figuras planas
y cuerpos a partir de su desarrollo; comparación y clasificación de ángulos, figuras y
cuerpos geométricos);
 regularidades y simetrías (traslaciones y simetrías);
 interés, confianza y gusto por la presentación de construcciones geométricas; confianza en
las propias posibilidades).

Criterios de evaluación: reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del espacio
(polígonos, círculos, cubo, prismas, cilindros, esferas; propiedades y clasificaciones).

Tercer ciclo: Contenidos:
 la situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros (ángulos,
coordenadas cartesianas, movimientos; representación, escalas y gráficas; utilización
de instrumentos de dibujo y programas de informática para construcciones
geométricas);
 formas planas y espaciales (lados y ángulos de un triángulo; composición y
descomposición de figuras);
 regularidades y simetrías (figuras simétricas; semejanza: ampliaciones y
reducciones);
 interés por la precisión y la presentación clara y ordenada de trabajos geométricos y
perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos;

Criterios de evaluación: utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad,
simetría, perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana
(utilización efectiva en situaciones del entorno en las que hay que aplicar los conocimientos
adquiridos).

Núcleos de interés en Educación Primaria:

1).- Estudiar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y
desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas
• reconocer, dar nombre, construir, dibujar, comparar y clasificar figuras de dos y tres
dimensiones;
• describir los atributos y los elementos de figuras de dos y tres dimensiones;
• juntar y separar figuras de dos y tres dimensiones para formar otras figuras.
2).- Localizar y describir relaciones espaciales
• describir, dar nombre e interpretar posiciones relativas en el espacio y aplicar ideas sobre
posición relativa;
• encontrar y denominar "lugares" con relaciones simples como "cerca de".


3).- Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas
• reconocer y aplicar traslaciones, reflexiones y giros; reconocer y crear figuras que tengan
simetrías.
4).- Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica
• crear imágenes mentales de figuras geométricas usando la memoria y la visualización
espacial;
• reconocer y representar figuras desde diferentes perspectivas;
• relacionar ideas geométricas con ideas numéricas y de medida (patrones de puntos);
• reconocer formas y estructuras geométricas en el entorno.
5).- Resolver problemas geométricos elementales
6).- Utilización de las TIC y otros recursos y materiales didácticos para la construcción de figuras y
formas geométricas, estudio de sus propiedades y la resolución de problemas.
7).- En Andalucía, se debe relacionar el aprendizaje de la geometría con los núcleos temáticos
paisajes andaluces y el patrimonio de Andalucía del Área de Conocimiento del medio natural,
social y cultural

Por último, son evidentes las relaciones, que habrá que establecer convenientemente en el diseño
de las Unidades Didácticas correspondientes, entre la Geometría elemental y otros ámbitos, “la
geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, la
arquitectura o el diseño, así como la historia y la cultura . . (Junta de Andalucía).

II.5) El aprendizaje y la evolución de la percepción espacial y del pensamiento geométrico:
Piaget y niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y errores

El aprendizaje de los conceptos, relaciones y propiedades geométricas del espacio depende de la
evolución de la percepción espacial, de las características generales del desarrollo de las
capacidades y conocimientos del sujeto, del estado de la función simbólica y el dominio del
lenguaje. Entre las distintas teorías y estudios realizados sobre la evolución de las capacidades y
conocimientos geométricos vamos a exponer brevemente a continuación las dos que nos parecen
más importantes: las etapas en la construcción de las ideas geométricas del espacio de Jean Piaget
(1986) y la evolución del razonamiento geométrico de los esposos Van Hiele (1986).

Etapas en la construcción del espacio y de las propiedades geométricas del espacio según
Piaget

A grandes rasgos, la percepción del espacio y la construcción de las nociones, relaciones y propiedades
geométricas son aspectos solidarios y que evolucionan paralelamente en el individuo. El desarrollo del
pensamiento espacial y geométrico pasa por dos etapas acumulativas y de transición gradual y continua
entre ellas:
1. El espacio percibido o vivenciado e inicio al espacio representado, fruto de la experiencia
inmediata y de la vivencia motriz, con una perspectiva egocéntrica, y en el que se produce un
progresivo afianzamiento de las propiedades más generales o topológicas 3 (proximidad, separación,
vecindad; abierto, cerrado; continuidad; orden infralógico; etc.) y el comienzo de una percepción
espacial más objetiva y funcional y menos egocéntrica (de 0 a 5-6 años); la lateralidad será la
responsable por excelencia de la capacidad de orientación en el espacio.
2. El espacio pensado / representado / estructurado (a partir de los 6-7 años), cuyos inicios se
producen en la etapa de Educación Primaria, en la que se puede observar, gracias al dominio de la
función simbólica, un aumento del análisis de las propias percepciones y un perfeccionamiento en
el uso de las imágenes mentales. Todo ello va a propiciar un progresivo despegue de la realidad
hacia un pensamiento geométrico más evolucionado caracterizado por el dominio y la comprensión
en años sucesivos del resto de propiedades matemáticas del espacio (proyectivas y euclideas) 1
3
Ver apartado siguiente


(orientaciones, volúmenes, secciones de cuerpos, perspectivas, escalas, coordenadas y sistemas de
referencia, distancias, ángulos, paralelismo y perpendicularidad, longitud, superficie,
proporcionalidad geométrica, etc.). La estructuración espacial o capacidad de apreciar y situar
objetos en un espacio tridimensional junto a la capacidad para tomar puntos de referencia
externos a sí mismo, se basa en dichas relaciones proyectivas y euclidianas.
El desarrollo descrito anteriormente parece que continúa y se perfecciona a lo largo de toda la vida,
si bien con distintas intensidades y cualidades según la edad y las experiencias y disminuyendo con
el paso de los años.

El dominio de las propiedades geométricas por parte del sujeto se produce en el orden inverso al de
aparición de dichas propiedades en la historia de las matemáticas:

1. Propiedades topológicas
Son relaciones y propiedades cualitativas elementales:
Vecindad: proximidad de elementos u objetos que se dan en un mismo campo (cerca –lejos).
Separación: capacidad de disociar formas u objetos que no se pertenecen unos a otros (junto –
separado).
Orden o sucesión espacial: relacionar en el campo elementos vecinos (delante - detrás, derecha -
izquierda, arriba – abajo).
Envolvimiento: abarcar o contener a otros elementos (dentro – fuera).
Etc.

2. Propiedades proyectivas
Las nociones proyectivas se fundamentan sobre la noción de profundidad, constancia de forma y
tamaño del objeto y tienen relación con volúmenes, apreciación de perspectivas, secciones,
prolongación de superficies, orientación derecha e izquierda en el espejo y en relación a otros
sujetos, etc.. También se pueden incluir las nociones de: delante, detrás, al lado, a la derecha,
debajo, etc. Son propiedades que se distinguen especialmente en situaciones que tienen que ver con
el aspecto que presenta un objeto visto desde diferentes ángulos o de situar los objetos en relación a
otros con una perspectiva dada.
Su formación requiere de procesos complejos de representación mental (Ej.: Los niños pequeños
dibujan una cara de perfil pero con dos ojos de frente, lo que se interpreta en el sentido de que no
dominan aún las propiedades proyectivas). Se empiezan a formar a partir de los 4 y 5 años (el niño
distingue a esas edades entre un cuadrado y un círculo porque comienza a apreciar y conocer la
línea recta y a distinguirla de la línea curva) y se consolidan a partir de los 7 - 8 años de edad
(dibuja bien la perspectiva en situaciones sencillas).

3. Propiedades euclídeas: (6 años o más)
Las nociones euclidianas se basan en el hecho de situar los objetos en relación a un sistema de
referencia, lo que implica la necesidad de introducir medidas de longitud, superficie, ángulos,
volumen, etc.. (Ej.: el niño distingue el cuadrado del rombo porque es capaz de advertir la
existencia de los ángulos, compararlos y apreciar sus diferencias).

Niveles de Van Hiele.

 Nivel O: Visualización
(percepción espacial y pensamiento no geométrico (no matemático))
 Las figuras geométricas son reconocidas por su forma total, esto es, por su apariencia física (
es como una ventana, se parece a una rueda, etc… ), como un todo; no por sus partes o
propiedades, que no son percibidas ( reconocen triàngulos, cuadrados, rectàngulos, etc., pero
no identifican explìcitamente las propiedades de estas figuras ). Los objetos de pensamiento
en el nivel O son formas y se conciben según su apariencia. Se agrupan formas con el


mismo aspecto (cuadradas).
Si el profesor pregunta a los niños en qué se diferencian, por ejemplo, los rombos de los
rectángulos, sus respuestas harán énfasis en las diferencias de formas, tamaños, tal vez
color, etc. ( “ el rectángulo es más largo “, “ el rombo es más picudo “, ... ); en este nivel no
debemos esperar respuestas que se basen en el paralelismo, los àngulos rectos, etc.

 Nivel 1: Análisis.
(inicios del pensamiento geométrico: los alumnos son capaces de descubrir y generalizar
propiedades que aún no conocen a partir de la observaciòn y la manipulaciòn).
 Los objetos de pensamiento en el nivel 1 son clases de formas en lugar de formas
individuales. Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias ) de los
objetos y figuras. Los alumnos son capaces de pensar sobre lo que hace que un rectángulo
sea un rectángulo; se dan cuenta de que las figuras geomètricas están formadas por partes o
elementos y de que estàn dotadas de propiedades matemàticas ( geométricas)..
 Se perciben propiedades a través de la experimentación, la observación y la repetición, pero
dicha percepción es aislada, no se relacionan las propiedades y no se perciben relaciones
entre las propiedades y las figuras. Pueden describir las partes que integran una figura y
enunciar sus propiedades así como las figuras por sus propiedades, pero no relacionar unas
propiedades con otras (paralelismo de lados opuestos con igualdad de lados opuestos ) o
unas figuras con otras (un cuadrado es un rombo especial ).
 Experimentando con figuras y objetos pueden establecer nuevas propiedades. Sin embargo
no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.
 Los enunciados son informales y las definiciones no son comprendidas. Como muchas
definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar
definiciones.

La diferencia bàsica con el nivel anterior: los estudiantes han cambiado su forma de mirar
las figuras geométricas; ahora son conscientes de que pueden estar formadas por elementos
y de que son portadoras de ciertas propiedades.
No obstante, la capacidad de razonamiento es limitada, pues usaràn las propiedades de una
figura como si fuesen independientes entre sì (por ejemplo, no relacionaràn la existencia de
àngulos de 90º con la perpendicularidad o el paralelismo de los lados).

 Nivel 2: Deducción informal.
En este nivel comienza la capacidad de razonamiento formal (matemático) de los
estudiantes: ya son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de
descubrir esas implicaciones; en particular, pueden clasificar lógicamente las diferentes
familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. No obstante, sus
razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación. Pueden entender una
demostración explicada por el profesor o desarrollada en el libro de texto, pero no son
capaces de construirla por sí mismos.
Si la capacidad de razonamiento propia del nivel 1 no permitía a los estudiantes entender
que unas propiedades pueden deducirse de otras, al alcanzar el nivel 2 habrán adquirido esta
habilidad de conectar lógicamente diversas propiedades de la misma o de diferentes figuras.
En el caso del estudio de los cuadrilàteros, los estudiantes de este nivel ya podrán entender
que la igualdad de los àngulos opuestos implica el paralelismo de los lados, que la igualdad
de lados implica la perpendicularidad de diagonales, etc. . Sin embargo, la capacidad de los
estudiantes se limitarà a realizar pequeñas deducciones.

 Nivel 3: Deducción formal
 Los objetos del pensamiento son relaciones entre propiedades de los objetos geométricos.
(Un alumno en este nivel puede observar claramente que las diagonales de un rectángulo se


cortan en su punto medio).
 los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales; las
demostraciones ( de varios pasos ) ya tienen sentido para ellos y sienten su necesidad como
único medio para verificar la verdad de una afirmación.
 Los estudiantes aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas
(es decir, la existencias de demostraciones alternativas del mismo teorema ), la existencia de
definiciones equivalentes del mismo concepto, etc.

Pueden realizar correctamente actividades como la siguiente:
. . . escribe una definición de cuadrado que empiece:
a) un cuadrado es un cuadrilátero .....
b) un cuadrado es un paralelogramo .....
c) un cuadrado es un rectángulo .....
d) un cuadrado es un rombo .....

“la mediatriz de la base ( lado desigual ) de un triángulo isósceles siempre pasa por el tercer
vértice” ¿porqué?

los estudiantes de este nivel podràn hacer demostraciones formales de las propiedades que ya
habìan demostrado informalmente con anterioridad, asì como descubrir y demostrar nuevas
propiedades màs complejas, y también estaràn en condiciones de relacionar los cuadrilàteros
con otras partes de la geometrìa euclidea que han estudiado, de darse cuenta de que hay
algunos elementos comunes a todas ellas ( puntos, rectas, paralelismo, … ) y llegaràn a
reconocer que las diferentes partes de la geometrìa que conocen, tanto plana como espacial,
son en realidad partes de un ùnico sistema formal basado en los postulados de Euclides.

 Nivel 4: Rigor.
 En este nivel el discente puede trabajar sobre una variedad de sistemas axiomáticos, esto es
por ejemplo la geometría no-euclidea puede ser estudiada, y los diferentes sistemas pueden
ser comparados. La Geometría es vista en abstracto, sin necesidad de ejemplos concretos.
 Los objetos de pensamiento del nivel 4 son sistemas axiomáticos para la geometría. Este es
el nivel requerido en los cursos universitarios especializados.

Los alumnos de Educación Primaria se encuentran en su mayoría entre los niveles 0 y 1, si bien se
pueden encontrar alumnos en tercer ciclo que ya han superado ambos niveles y tienen un
pensamiento geométrico de las características del nivel 2.

DIFICULTADES Y ERRORES

La complejidad de los conocimientos geométricos, como se desprende de lo tratado anteriormente,
y las características del proceso educativo ordinario, manifiestamente mejorable y que no suele
tener en cuenta la mayor parte de lo mencionado, provoca numerosos errores que constituyen un
verdadero reto para los maestros y responsables educativos. Para tratar de disminuir al máximo, o
incluso eliminar, dichos errores, es conveniente cuidar especialmente el diseño y el desarrollo del
proceso didáctico teniendo en cuenta, entre otros, los aspectos mencionados y las consideraciones
que se incluyen en el apartado IV de este tema relativas a la intervención educativa.

III. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO:
CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN

El espacio, en su sentido más amplio, presenta multitud de aspectos analizables desde el punto de
vista de la Geometría elemental. En este apartado se hace una breve revisión de los principales


elementos, formas y relaciones geométricas, las cuales constituyen modelos de objetos y
situaciones del entorno que el ser humano utiliza para crear y organizar o estructurar el medio que
le rodea.

En los niveles de Educación Primaria se han de tener en cuenta los elementos, formas, estructuras y
relaciones que se incluyen en el apartado II.2, en las orientaciones curriculares oficiales analizadas
en el apartado II.4 y que se describen con más detalle en los sucesivos apartados que se desarrollan
a continuación.

III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planas

Comenzar el análisis por la geometría del plano es una mera cuestión de orden, pues donde
realmente adquiere todo su significado el plano y sus elementos es en el contexto del espacio de tres
dimensiones del que forma parte. No obstante, mantengamos el enfoque tradicional abordando en
primer lugar las nociones, relaciones y características del espacio bidimensional.

A) ELEMENTOS BÁSICOS
El punto, la recta y el plano son nociones geométricas básicas relacionadas entre sí y que se definen
unos a partir de otros.

PUNTO: elemento geométrico primario o primitivo, aunque no simple ni de fácil comprensión. No
es un objeto físico, no tiene dimensiones y se define como el lugar de intersección de dos rectas que
se cortan. Se puede decir que el punto es un objeto matemático o idea, pero que si se establece un
paralelismo con la realidad física, su “aspecto” no cambia ante ampliaciones o reducciones de
cualquier tamaño (un punto dibujado en el papel con la punta de un alfiler siempre tendrá la misma
apariencia, tamaño, forma, etc. al observarlo con cualquier lupa o microscopio o al ampliar la zona
todo lo que queramos).

RECTA: sucesión ilimitada e infinita de puntos de tal manera que todos los puntos se disponen
siempre en la dirección del camino más corto con los demás (la letra no cursiva constituye una
definición informal). Es la línea ilimitada que une dos puntos por el camino más corto. Por dos
puntos pasa una recta y sólo una, por tanto dos puntos determinan una recta y sólo una.

INTERSECCIÓN DE LÍNEAS RECTAS. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Intersección de líneas rectas


Dos líneas rectas en el plano pueden ser paralelas (no tienen ningún punto en común), coincidentes
(todos sus puntos son comunes) o se pueden cortar (tienen un punto en común). A su vez, las líneas
que se cortan pueden ser perpendiculares u oblícuas. Dos líneas rectas son perpendiculares cuando
forman un ángulo entre ellas de 90º.

SEGMENTO: zona o parte de la recta comprendida entre dos puntos.

SEMIRRECTA: recta limitada por un punto.
Un punto en una recta determina dos semirrectas.

PLANO: Superficie ilimitada que contiene a dos rectas que se cortan en un punto o que son
paralelas. Tres puntos no alineados también componen un plano.

ÁNGULO: Es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen en común el punto que
las define. Dicho punto se llama vértice del ángulo y las semirrectas se llaman lados. Dos rectas
que se cortan originan cuatro ángulos iguales dos a dos.

Clasificación de los ángulos por su amplitud:
 Ángulo llano: sus lados son prolongación uno del otro. Su amplitud es de 180º
 Ángulo recto: sus lados son perpendiculares. Su amplitud es de 90º
 Ángulo obtuso: su amplitud está entre 90º y 180º.
 Ángulo agudo: su amplitud es inferior a 90º

• Clasificación de los ángulos por sus posiciones relativas:
 Ángulos consecutivos: son los que tienen el vértice y un lado común.
 Ángulos adyacentes: son los que tienen un lado común y los lados no comunes son uno
prolongación del otro.
 Ángulos opuestos por el vértice: los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

• Clasificación por la suma de amplitudes:
 Complementarios: los que suman 90°.
 Suplementarios: los que suman 180°.

LUGAR GEOMÉTRICO: conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada (Ej. Una
circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia
(radio) de un punto llamado centro de la circunferencia).

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
los extremos del segmento. Es una recta perpendicular al segmento en su punto medio.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los
lados del ángulo. Es una recta que divide el ángulo en dos partes iguales (VER FIGURA).

B) FORMAS Y FIGURAS PLANAS


LÍNEA POLIGONAL:
Conjunto de segmentos unidos secuencialmente por sus extremos. Los segmentos que tienen un
punto en común se llaman consecutivos. Los que sólo tienen un punto en común con otro se llaman
extremos.
Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Una línea poligonal es abierta cuando tiene
extremos y es cerrada cuando no los tiene (ver figuras).

POLÍGONOS

Región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. A los segmentos de la línea se les llama
lados del polígono y a los puntos comunes de cada pareja de lados vértices. Los ángulos interiores
que forman cada pareja de lados son los ángulos del polígono. Por tanto el número de lados es igual
que el número de ángulos.
Al ser regiones del plano, los polígonos tienen superficie. El área de las figuras planas es una
medida de la superficie de dichas regiones.
Cada lado de un polígono tiene una medida de longitud determinada, que es la misma para todos los
lados si el polígono es regular. Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de
longitud de todos sus lados.
Según el número de lados y de ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, etc.
Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.

TRIÁNGULOS

Polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es 180°. Cada lado de un triángulo es mayor que la
diferencia de los otros dos y menor que su suma. Su área es: S = bxh / 2, donde b es la base y h la
altura.

Clasificación de triángulos

Según sus ángulos:
Rectángulos (un ángulo de 90º); Acutángulos (tres ángulos agudos); Obtusángulos (un
ángulo obtuso).

En los triángulos rectángulos los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el
opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa. En todo triángulo rectángulo se cumple que “el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” (a2 = b2 + c2)
(Teorema de Pitágoras).
b c
a
Según sus lados: equiláteros (tres lados iguales); isósceles (dos lados iguales); escaleno (los
tres lados desiguales).



Rectas y segmentos notables en un triángulo:

Mediatriz de cada lado: recta perpendicular al lado en su punto medio. Las mediatrices de
todo triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro (centro de la circunferencia
circunscrita).
Bisectriz de cada ángulo: son también rectas y dividen cada ángulo en dos regiones iguales.
Se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia inscrita).
Mediana: segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Las tres
medianas se cortan en un punto llamado baricentro.
Altura: segmento trazado perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto o a la
prolongación del lado opuesto. Las alturas de todo triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro.

Relaciones en el triángulo rectángulo: el teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

CUADRILÁTEROS

Son polígonos de cuatro lados. Todos tienen cuatro vértices y dos diagonales. La suma de los
ángulos interiores es 360º.
Pueden ser: CONVEXOS CÓNCAVOS

A su vez, los cuadriláteros convexos pueden ser:

OTROS POLÍGONOS



En función de su números de lados: pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, etc. La suma
de sus ángulos es tantas veces dos ángulos rectos como lados menos dos (Si tiene n lados. La suma
de sus ángulos = 180 (n - 2)).
Obsérvese que los triángulos y los cuadriláteros antes descritos cumplen esta expresión general.

Los polígonos regulares son los que tienen sus lados y sus ángulos iguales. Los más sencillos son:
triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular, dodecágono
regular, etc. Se llama apotema de un polígono regular al segmento que une el centro del polígono
con el punto medio de cada lado.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro. A esa distancia se le llama radio. Cualquier segmento que une dos puntos de la
circunferencia se llama cuerda. Las cuerdas de mayor longitud son las que pasan por el centro y se
llaman diámetros. Por tanto, un diámetro es dos veces el radio.
La longitud de la circunferencia es 2πr

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta puede ser exterior a una circunferencia si no la corta en ningún punto, tangente, si la corta
en un punto y secante si la corta en dos puntos

Posiciones relativas de dos circunferencias
Depende de las distancias de sus centros y de la suma y diferencia de sus radios. Pueden ser:
exteriores, interiores, secantes, tangentes interiores, tangentes exteriores y concéntricas.
La circunferencia que pasa todos los vértices de un polígono se llama circunscrita. La que es
tangente a todos sus lados se llama inscrita.

(circunferencia circunscrita al hexágono regular)

El círculo es la región del plano comprendida dentro de una circunferencia. La parte del círculo
comprendida entre dos radios y el arco se llama sector circular. La parte del círculo comprendida
entre una cuerda y el arco se llama segmento circular. Por tanto, cada cuerda, en el círculo,
determina dos segmentos circulares.
El área del circulo de radio r es: A = πr2

III.2) Geometría del espacio. Elementos y formas en el espacio tridimensional

Los elementos son los mismos que los que se han mencionado para la geometría del plano. Las
formas también participan de las formas del plano en el sentido de que dichas formas son parte de
figuras y formas que ahora son tridimensionales y que reciben el nombre de cuerpos geométricos o
“sólidos”, si bien este adjetivo no se refiere a la naturaleza física (ni a que sea “macizo” o “no
hueco”) sino a las características topológicas del cuerpo o figura (posee una superficie ideal cerrada
que separa la zona “interior” de la “exterior” sin ninguna consideración adicional sobre las
características de ambas zonas. Como siempre, los objetos de la realidad sólo podemos decir que
“son de tal o cual forma” o que “su forma se asemeja a la de un . . “; no existen cuerpos
geométricos en la realidad.



A) CUERPOS GEOMÉTRICOS.
Son los poliedros y los cuerpos redondos o cuerpos de revolución.

Regulares o platónicos
Semirregulares o arquimedianos
otros poliedros:
POLIEDROS estrellados
irregulares
prismas y antiprismas
pirámides y troncos de pirámide

cilindro
CUERPOS DE REVOLUCIÓN cono
esfera

POLIEDROS

Los poliedros son regiones ideales o de un espacio ideal delimitadas por caras planas poligonales.
Sus elementos son caras, aristas y vértices. El área de un poliedro es la suma de las áreas de todos
los polígonos que constituyen sus caras. El volumen de un cuerpo poliédrico es una medida del
espacio que ocupa dicho cuerpo.

FÓRMULA DE EULER
Los poliedros pueden ser convexos (se pueden apoyar en todas sus caras en el plano sin que queden
huecos entre la cara y el plano) y cóncavos (al menos hay una cara o un grupo de caras que no
apoyan totalmente en el plano (quedan huecos)).

Cóncavos convexos
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de
vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2

POLIEDROS REGULARES O SÓLIDOS PLATÓNICOS:
Son aquellos que sus caras son polígonos regulares. Sólo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro, cuatro caras, triángulos equiláteros. Octaedro, ocho caras, triángulos equiláteros.
Icosaedro, veinte caras, triángulos equiláteros. Hexaedro o cubo, seis caras, cuadrados.

Dodecaedro, doce caras, pentágonos regulares.

Tetraedro hexaedro o cubo

Dodecaedro (12 caras) icosaedro (20 caras)

POLIEDROS ARQUIMEDIANOS O SEMIRREGULARES
Son los que sus caras son polígonos regulares pero tienen al menos dos caras desiguales. Se
obtienen cortando adecuadamente los poliedros regulares mediante planos para que los cortes sean
polígonos regulares (ver figuras (dos tipos de caras: triángulos equiláteros y cuadrados o
hexágonos)). Sólo hay 13 poliedros arquimedianos.

POLIEDROS ESTRELLADOS
Son poliedros cóncavos. La figura representa el conocido como erizo de Kepler, formado por 60
caras triangulares iguales, 90 aristas y 32 vértices.

DESARROLLO DE POLIEDROS
Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza
en la que los polígonos estén unidos por un lado y que pueda ser extendida completamente en el
plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

PRISMAS Y ANTIPRISMAS
Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos
(caras laterales) como lados tienen las bases.

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en
caso contrario. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular.

Prisma rectangular (caras laterales rectángulos) antiprisma hexagonal (caras laterales triángulos)

PIRÁMIDE Y TRONCO DE PIRÁMIDE
Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamado
pirámide. Los elementos notables de la pirámide son los que se indican en la figura. Si se corta una
pirámide por un plano que no corte a la base, obtenemos un tronco de pirámide (figura)

CUERPOS REDONDOS O DE REVOLUCIÓN

Se llaman cuerpos redondos a los que están limitados, en todo o en parte, por una superficie curva.
Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.
Entre los cuerpos de revolución más importantes están el cilindro, el cono y la esfera.

CILINDRO
Cilindro recto: es el cuerpo que se obtiene al girar una vuelta completa (360º) un rectángulo sobre
uno de sus lados.
Cilindro oblicuo: Si se corta un cilindro recto por planos paralelos no perpendiculares al eje, se
obtiene un cilindro inclinado. La base de un cilindro inclinado no es un círculo, sino una elipse.
El área lateral del cilindro, será igual al área del rectángulo o sea: S = 2πrg.
El área total será igual al área lateral más el área de las dos bases.
Área lateral = 2πrg (siendo g la generatriz)
Área de cada base = Área de un círculo = πr2
Área total del cilindro recto: 2πrg + 2πr2 = 2πr(g + r)
Área total = 2πr(g + r)
El volumen del cilindro será V = área de la base por la altura, ya que el cilindro es, en realidad, un
prisma con un número ilimitado de caras. Teniendo en cuenta que la base del cilindro es un círculo
de área r 2 , el volumen del cilindro será: V   r 2 h



Base Radio de la base

Generatriz
Altura
Superficie cilíndrica

Radio de la base

Base

CONO
El cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus
catetos.
Vértice

Generatriz
Sección del cono

Superficie cónica Altura

Radio de la base
Base

ESFERA
La esfera es un sólido de revolución que se puede generar haciendo girar un círculo, siendo el eje
un diámetro o haciendo girar un semicírculo, siendo el eje el diámetro de éste.
Todos los puntos de la esfera están a una distancia de un punto (centro), menor o igual que una
distancia r (radio).

En la superficie de la esfera se pueden considerar diferentes superficies que dan lugar a los
correspondientes sólidos.
Zona esférica. Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos paralelos. El sólido
correspondiente es el segmento de dos bases, que es la zona esférica limitada por dos círculos.
Casquete esférico. Se obtiene cuando se corta la esfera con un plano. El sólido
correspondiente es el segmento de una base. La base es el círculo que cierrra el casquete.
Huso esférico. Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos que pasan por el mismo
diámetro de la esfera. El sólido correspondiente está delimitado por el huso y los semicírculos que
comparten diámetro y cada uno de los "lados" del huso, se denomina cuña esférica.
El sector esférico es el sólido delimitado por un casquete esférico y un cono que tiene como
vértice el centro de la esfera y base la del casquete..

III.3) Transformaciones geométricas isométricas: Traslaciones, giros y simetrías

Denominamos transformación geométrica a todo movimiento o relación dinámica (en el sentido de
cambio de posición o apariencia en el espacio) entre elementos y formas geométricas. De entre
todas las posibles transformaciones geométricas, las transformaciones rígidas o isométricas son las
más importantes en Educación Primaria. Como hemos visto anteriormente, las propiedades de las
figuras que no cambian ante este tipo de transformaciones se llaman propiedades euclídeas.

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS


Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin
variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes y
geométricamente se denominan figuras congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o lo mismo) y metria (medir), una
definición cercana es “igual medida”. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y giro o
rotación. Las tres se pueden dar en el plano o en el espacio. Veremos sólo las transformaciones en
el plano.

Traslación.
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición determinado por un vector.

Se llama traslación de vector v a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un
punto m´ del mismo plano tal que el vector (m´m) es igual a v.

Simetría.
Es la correspondencia exacta en la disposición regular y posición de las partes o puntos de un
cuerpo o figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano.
Se denominan, respectivamente: simetría central, axial y especular o bilateral.

Simetría central
Transformación en la que a cada punto (llamado original) se le asocia otro punto llamado imagen,
que debe cumplir las siguientes condiciones:
a) El original y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
b) El original, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

(figura izquierda): Simetría central del punto A. (figura derecha): Simetría central del triángulo
ABC, respecto del punto O.
Según estas defmiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura que con una rotación o
un giro de 180 grados.

Simetría axial
Transformación respecto de un eje de simetría. A cada punto de la figura se asocia a otro punto
llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
a) Las distancias de un punto y su imagen al eje de simetría, son iguales.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.
En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos.

Giro
Transformación geométrica que implica un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo,
elemento o figura. En un giro, un punto cualquiera de la figura permanece siempre a una distancia


constante de un punto fijo denominado centro de rotación. Todo giro se caracteriza por un ángulo
de giro y un sentido de rotación (en el plano, uno de los dos sentidos posibles)

III.4) Representación geométrica y coordenadas

Para representar puntos en el plano se establece un sistema de referencias formado por dos ejes
perpendiculares que se llaman ejes cartesianos y que se cortan en un punto llamado origen de
coordenadas. Cada punto del plano viene determinado por sus coordenadas, que no es otra cosa que
un par ordenado de números (x, y), donde x representa un valor numérico del “eje de abcisas” o eje
horizontal (distancia desde la proyección del punto sobre el eje de abcisas hasta el origen) e y
representa un valor numérico del “eje de ordenadas” o eje vertical (distancia desde la proyección
del punto sobre el eje de ordenadas hasta el origen).
El sistema de coordenadas cartesianas permite representar, localizar y describir elementos, formas y
relaciones geométricas mediante coordenadas. En los primeros niveles se realizan actividades de
localización y distancias sobre cuadrículas (inicio al sistema de coordenadas cartesianas) y en los
niveles intermedios se pueden utilizar a modo de reglas para averiguar áreas.

III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. Escalas

En el último nivel de Educación Primaria se inicia la semejanza como un nuevo tipo de
transformación geométrica que se basa en la ampliación o reducción proporcionada de las figuras,
es decir, en el aumento o disminución del tamaño global sin que se modifiquen los ángulos, la
forma, etc. Esta iniciación culmina con el teorema de Tales y tiene numerosas aplicaciones: mapas
y planos a escala, cálculo de distancias inaccesibles, dibujos a escala, etc..



IV. INTERVENCIÓN EDUCATIVA

En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización matemática, entendida como
la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus
relaciones, las permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la
comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito (MEC, 2006). Es evidente que la
geometría presenta una estrecha relación con los aspectos mencionados anteriormente.
La planificación y el desarrollo didácticos en el aula de matemáticas de Primaria se deben basar en
los siguientes:

principios y orientaciones generales:

Según el Real Decreto 1513/2006, la intervención educativa tiene que fundamentarse en unos
principios psicopedagógicos que pueden enmarcarse en la concepción constructivista del
aprendizaje escolar, en la formación disciplinar y en el desarrollo de las competencias básicas y
matemáticas, para lo que se han de tener en cuenta, entre otros aspectos:
- Partir del nivel de desarrollo del alumnado, de sus conocimientos previos, intereses,
curiosidades, ideas previas, estilos de aprendizaje, etc..
- Organizar cuidadosa y coherentemente, mediante una planificación previa flexible, los
contenidos y las actividades en un proceso educativo en espiral, bien planificado en lo
fundamental, con variedad de experiencias y actividades en situaciones diversas, motivador; con
contenidos significativamente relacionados y que tenga en cuenta lo que los alumnos ya saben;
- Adoptar un enfoque disciplinar en lo instrumental y globalizado e interdisciplinar en lo formativo
y funcional, procurando que siempre exista relación entre el trabajo instrumental y la faceta
funcional del conocimiento matemático y que adopte la modelización matemática, la
transversalidad y la resolución de problemas como ejes centrales del proceso;
- los procesos de resolución de problemas (verdaderos problemas y no ejercicios camuflados de
problemas) deben constituir uno de los ejes principales de la actividad escolar en matemáticas,
puesto que se utilizan muchas capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar y razonar,
establecer un plan de trabajo que se va revisando y modificando si es necesario, comprobar la
solución, comunicar los resultados, etc..
- Un clima adecuado para aprender, una metodología diversificada y la devolución de la
responsabilidad como principios orientadores del trabajo en el aula;
- Utilizar distintas metodologías de trabajo en el aula (trabajo individual para el desarrollo de
determinados aprendizajes (expresión escrita, lectura, ejercicios de cálculo, etc.) y en grupos de
distinto tamaño, equilibrados y diversos en cuanto a las características de sus componentes);
- Propiciar en todo momento y siempre que se pueda el aprendizaje significativo y el gusto por el
trabajo bien hecho creando en el aula un ambiente agradable e intelectualmente estimulante
mediante experiencias adecuadas a las características e intereses de los alumnos, que constituyan
retos y buenas ocasiones para la implicación personal y la generación de actitudes de indagación y
descubrimiento (Goñi (2006));
- Es importante el enfoque experiencial en el aula de matemáticas, para lo que se debe prestar
atención al trabajo sobre situaciones reales, material didáctico y recursos y actividades lúdicas;
- La utilización reiterada de recursos del entorno y materiales didácticos manipulativos favorecen
el aprendizaje y son medios interesantes para la atención a la diversidad, pues acercan los
conceptos abstractos a la intuición a través de la manipulación y permiten romper la uniformidad
de los procedimientos con variantes más adecuadas para algunos alumnos.
- Utilizar distintos códigos y modos de expresión fomentando en todo momento la comunicación y
la expresión verbal y matemática;

Tareas y situaciones didácticas
(se centran en la competencia matemática y sus componentes y favorecen la adquisición de las


competencias básicas según el contenido y la metodología involucradas)

A) Situaciones reales (aplicación directa de las matemáticas a la realidad)
Realidad Cívico - Social Realidad Físico - Natural Otras
tienen que ver con las competencias básicas correspondientes, la motivación y la comprensión
B) Tareas Lúdicas (Juegos y pasatiempos)
C) Tareas Manipulativas (Recursos y Material didáctico)
tienen que ver con la motivación y las competencias básicas (comunicación lingüística,
comportamientos sociales, etc.)
tienen que ver con la motivación y la comprensión
D) Problemas de enunciado verbal
tienen que ver con la aplicación matemática, aprender a aprender, aurtonomía e iniciativa
personal)
E) Explicaciones. Ejemplos. Lecturas
F) Tareas instrumentales (Ejercicios, algoritmos, terminología)
tienen que ver con las técnicas y prerrequisitos
G) Tareas transversales e interdisciplinares (espacio de funcionalidad: proyectos, debates, etc.)

A las consideraciones anteriores, válidas con algunos matices para todos los temas, bloques y
unidades de matemáticas, hemos de añadir los siguientes principios, reflexiones y orientaciones
específicas para el caso de las nociones geométricas:

orientaciones metodológicas para el desarrollo de los contenidos de geometría desarrolladas en el
anexo I de la Orden de 10 de agosto de 2007.
Debemos utilizar distintos códigos y modos de expresión, tanto los no convencionales como los
propiamente matemáticos. El proceso de formalización creciente de los conceptos matemáticos
exige el conocimiento y uso de códigos de representación progresivamente más abstractos.
La observación y manipulación de formas y relaciones en el plano y en el espacio, presentes en la
vida cotidiana Juegos, hogar, colegio, etc.) y en nuestro patrimonio cultural, artístico y natural
servirán para desarrollar las capacidades geométricas, siguiendo el modelo de Van Hiele para el
reconocimiento de formas, propiedades y relaciones geométricas, invirtiendo el proceso que parte
de las definiciones y fórmulas para determinar otras características o elementos. Educar a través del
entorno facilitará la observación y búsqueda de elementos susceptibles de estudio geométrico, de
los que se establecerán clasificaciones, determinarán características, deducirán analogías y
diferencias con otros objetos y figuras.
La geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, la
arquitectura o el diseño, de manera que el alumna do sea capaz de comenzar a reconocer su
presencia y valorar su importancia en nuestra historia y en nuestra cultura. Concretamente, la
presencia de mosaicos y frisos en distintos monumentos permitirá descubrir e investigar la
geometría de las transformaciones para explorar las características de las reflexiones (geometría
desde el primer ciclo), giros y traslaciones (geometría a partir del segundo ciclo).
El reconocimiento, representación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos se debe abordar
a través de la observación y de la manipulación física o virtual. El estudio de formas algo más
complejas debe abordarse a través del proceso de descomposición en figuras elementales,
fomentando el sentido estético y el gusto por el orden.
El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas debe iniciarse por medio de
descomposiciones, desarrollos, etc. y solo al final del proceso es conveniente obtener las fórmulas
correspondientes. El proceso de obtención de la medida es lo que dará significado a esas fórmulas.

A) La enseñanza de la Geometría debe contemplar de alguna manera el estudio matemático del
espacio como conjunto de conceptos y métodos para visualizar conceptos, procesos y relaciones
matemáticas



B) Se echa en falta una atención especial en el currículo de matemáticas de Educación Primaria a
las siguientes cuestiones:
- Relación de la geometría con las materias y temas transversales;
- Actividades sobre relaciones entre la superficie y el volumen como conceptos y a las
relaciones entre las medidas de superficie y volumen.
- Actividades de conocimiento y uso de instrumentos de dibujo;
- Reflexiones sobre las graduaciones de los instrumentos de medida y su funcionamiento;
- Problemas reales (o relacionado con temas de actualidad) de geometría. Modelización
matemática sobre formas y figuras geométricas para diferentes usos;
-

Hay razones de tipo formativo para dedicar una atención especial a los aspectos mencionados
(aprender a gestionar la información; las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita el
razonamiento, etc.) y de tipo funcional (aprender a medir con instrumentos reales o a elegir el
instrumento adecuado en cada caso influye sobre las habilidades de estimación y aproximación con
cantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o argumentar, entre otras, y
facilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianas).

B) Es fundamental la Utilización de recursos, instrumentos y materiales manipulativos

Para el estudio de la Geometría es conveniente conjugar la experimentación a través de la
manipulación con las posibilidades que ofrece el uso de la tecnología. Es recomendable el uso de
materiales manipulables, como geoplanos y mecanos, puzzles, libros de espejos, materiales para
formar poliedros, ete., así como la incorporación de programas de geometría dinámica para
construir, investigar y deducir propiedades geométricas. En este sentido, se potenciará el uso del
taller y/o laboratorio de matemáticas.
Siguiendo a y a otros autores, los principales medios que se deben utilizar para el desarrollo
didáctico del tema son los siguientes:

1) Materiales manipulativos
No estructurado: papel (opaco, transparente y cuadriculado), cartulinas, cintas, barras,
alambres; Tijeras; Clavos, tuercas, canicas; agua, arena, recipientes de distintas formas y tamaños;
Troceado de folios;
Didáctico estructurado: Tangrams; Policubos; Regletas encajables y de colores; Sólidos
para ensamblar; bloques multibases; geoplanos; Dominós sobre el sistema métrico y unidades;
Material para fracciones: Áreas incompletas y sombreado de áreas (la parte rayada representa una
fracción del área total de la figura considerada como la unidad); dominós de fracciones; listones que
representan las principales medidas de longitud submúltiplos del metro; Puntos y tramas
isométricas;.

Tangrams
Puzzle o rompecabezas geométrico. Toma esta denominación de un juego chino muy antiguo
formado por siete piezas llamadas “tans”: 5 triángulos de diferentes tamaños, un cuadrado y un
paralelogramo. Con todas estas figuras geométricas se puede formar un cuadrado. Existen muchos
tipos de tangrams útiles en Educación Matemática: pitagórico, triangular, etc.
Los tangrams favorecen la creatividad por las múltiples posibilidades que ofrecen las
combinaciones de las piezas; pueden utilizarse, en la medida de las posibilidades del niño de
Infantil, para:
o Reconocimiento de formas geométricas.
o Libre composición y descomposición de figuras geométricas.
o Realizar giros y desplazamientos de figuras geométricas manipulativamente.


o Desarrollar la percepción mediante la copia de figuras y reconocimiento de formas
geométricas simples en una figura compleja.
o composición de formas figurativas e incluso escenas.

Polígonos y poliedros: Los polígonos son figuras cerradas y planas de distintos materiales para
jugar con ellas, combinarlas, construir nuevos polígonos mediante la combinación de dos o más
figuras, etc., (Mecano con varillas articuladas; Polígonos y círculos en piezas). Los poliedros se
presentan en forma de juegos de figuras cerradas en tres dimensiones, limitadas por caras planas y
aristas o juegos para la construcción de modelos que simulan poliedros.
Interés didáctico: Formas básicas. Polígonos. Tipos de polígonos. Lados, vértices. Perímetro y área.

Mosaicos, frisos y teselaciones: composiciones planas utilizando figuras geométricas y ciertas
regularidades; las teselaciones son cubrimientos totales del plano sin superposiciones mediante
figuras geométricas. También se conoce como “pavimentado” del plano.
Interés didáctico: Generación de mosaicos (cualquier triángulo, cuadrilátero...). Polígonos con
capacidad de teselar y generar mosaicos. Propiedades. Polígonos que no teselan el plano. Polígonos
generados por piezas de mosaico. Tipos de frisos y mosaicos. Iniciación al concepto de ángulo;
comparación de ángulos.

Geoplanos: Tableros planos rígidos en los que se dispone una trama de clavos o pivotes que
sobresalen y que se encuentran dispuestos a una distancia fija entre ellos y/o formando una
distribución regular. Los más usuales son el geoplano cuadrado y el geoplano circular. También se
utilizan, aunque en menor medida, los geoplanos triangular y rectangular.
Interés didáctico: Los siguientes aspectos se tratarán a nivel de iniciación.
- Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros y simetrías axiales.
- Propiedades de figuras geométricas.
- Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas.
- PoIígonos: Construcción, lados, vértices. Descomposiciones de polígonos.
- Tipos de polígonos.
- Geometría del geoplano.
- Circunferencia, círculo. Polígonos inscritos.
Geoplanos cuadrados y tramas cuadradas
- Segmentos. Posiciones relativas de segmentos. Comparación, suma y diferencia de
segmentos.
- Perpendicularidad y paralelismo.
- Ángulos. Comparación, ordenación y medida de ángulos.
- Perimetro. Área. Equivalencia de perímetros. Equivalencia de áreas.
- Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros respecto a un punto y
simetrías axiales. Congruencia de polígonos. Simetrías y semejanzas.
- Propiedades de figuras geométricas. Comprobaciones del teorema de Pitágoras.
- Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas.
- PoIígonos: Construcción, clasificación y estudio. lados, vértices, ángulos. Clasificación
según el número de lados, igualdad de lados, igualdad de ángulos, tipo de ángulos, paralelismos de
lados, número de diagonales, longitud de lados, longitud de las diagonales. Descomposiciones de
polígonos. etc.
- Tipos de polígonos. Concavidad y convexidad. Polígonos regulares e irregulares. Polígonos
estrellados. Polígonos semejantes. Suma de los ángulos interiores. Relación entre perímetros de
polígonos semejantes. Relación entre áreas de polígonos semejantes. (Para este apartado es preciso
usar geoplanos de 25 pivotes o más.).
- Geometría del geoplano: una geometría con un número finito de puntos, de longitudes, de


ángulos y de polígonos. Profundizar en las limitaciones de la estructura del geoplano: imposibilidad
de obtener triángulos equiláteros, ángulos de una cierta amplitud, un máximo número de lados para
un polígono. Algoritmo para el cálculo del área en función del número de clavos que abarca el
polígono.
- Circunferencia, círculo, radios, diámetros, cuerdas, tangentes, secantes. Ángulos en una
circunferencia: centrales, inscritos, semiinscritos. Polígonos inscritos, circunscritos y estrellados.
- Cálculo de áreas, volúmenes y perímetros de forma directa. Cálculo de medidas utilizando
unidades diferentes a las habituales. Relación entre perímetro y área de polígonos semejantes.
- Facciones y Números irracionales.
Geoplanos circulares
- Circunferencia y círculo.
- Radio, diámetro, cuerda tangente, secante, sector circular, corona circular.
- Elementos de la circunferencia y el círculo.
- Ángulos en la circunferencia: centrales inscritos, semiinscritos.
- Construcción y clasificación de polígonos tomando el círculo como referencia. Polígonos
inscritos y circunscritos
- Polígonos estrellados.

Espejos y libro de espejos
Los recursos más utilizados son: el espejo o MIRA (metacrilato) y el libro de espejos, formado por
dos espejos iguales unidos por uno de sus lados para que se puede abrir y cerrar a voluntad.
Utilidad didáctica: Ángulos, creación de polígonos regulares, circunferencia y circulo, paralelismo
y perpendicularidad, división de segmentos y ángulos, simetrías, relaciones entre ángulos, ejes de
simetría y números de lados. Resolución de problemas geométricos y métricos elementales.

3) Recursos didácticos
El ordenador, el video, el microscopio; la fotografía (estimación de volúmenes, distancias, etc.);

VI. COMENTARIOS FINALES

La presente área se debe enmarcar en un enfoque pluridisciplinar y globalizado e integrador con
todas las áreas del currículo. El área de matemáticas siempre ha sido y seguirá siendo, una de las
áreas con más solidez en el sistema educativo, dada su importancia para resolver problemas de la
vida diaria, representar la realidad, formar en autonomía y espíritu crítico a los ciudadanos, facilitar
la comprensión y la manipulación de la realidad, etc. Pero su principal característica es que utiliza
un lenguaje común a todos los seres humanos en el que las magnitudes, la medida de magnitudes,
las unidades y los instrumentos de medida constituyen parte del patrimonio compartido de toda la
humanidad.
Además, las matemáticas proporcionan una manera común de comprender y organizar la realidad a
través de la modelización matemática y la resolución de problemas, los significados del lenguaje
matemático o el modo de hacer conjeturas y razonamientos, lo que capacitará a los alumnos/as para
analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos y comunicarlos, entender situaciones
nuevas y acomodarse a contextos cambiantes.
Pero el reto en el área de Matemáticas en Educación Primaria consistirá más que en “facilitar el
aprendizaje / enseñar” al alumnado las magnitudes y las medidas, el uso de los instrumentos de
medida adecuados o el sistema métrico decimal, en enseñarles a pensar matemáticamente: abstraer
y aplicar ideas matemáticas en un amplio abanico de situaciones, desarrollar las competencias
básicas y matemáticas específicas e iniciarse en la resolución de problemas como fundamento para
una formación personal, laboral y social de calidad y como garantía para el desarrollo de la
autonomía e iniciativa personal y la continuación independiente del proceso permanente de


aprendizaje en el futuro. Se trata, evidentemente, de un proceso lento cuyos resultados se irán
viendo de forma progresiva a lo largo de toda la Educación Primaria.

VII. BIBLIOGRAFÍA

Alsina, C. y otros (1986).- Invitación a la geometría. Madrid: Síntesis
Alsina, C. y otros (1991).- Materiales para construir la geometría. Madrid: Síntesis
Cascallán, M T. (2002) "Iniciación a las matemáticas. Materiales y recursos didácticos. Madrid.
Aula XXI. Santillana.
Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.
Coriat, M (2001). Materiales didácticos y recursos. En E. Castro "Didáctica de la
Chamorro, C. (coord..) (2003).- El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida. Cap. 8 en:
Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Prentice-Hall.
Dickson y Brown. (1991). El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: Labor.
Goñi, J. M. (2006) "Matemáticas e interculturalidad". Barcelona: Graó.
Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis.
Holloway, G.E.T. (1986).- Concepción de la geometría en el niño según Piaget. Madrid: Paidós
Ibérica.
Juegos y pasatiempos de la Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la Editorial Síntesis.
Van Hiele, P. (1986).- Structure and insight: a theory of mathematics education. Academic Press.

VIII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS

JUNTA DE ANDALUCÍA:
Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía
Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación. Junta de Andalucía.

MEC:
MEC (2006 a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de 2006, de Educación.
MEC (2006, b) Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas
mínimas de la Educación Primaria.
Ley Orgánica de Educación 2/2006 de 3 de mayo (LOE). MEC
Decretos 230 y 231 de 2007, de 31 de julio, sobre ordenación y enseñanzas correspondientes a la
Educación Primaria y Secundaria Obligatoria.

IX. REFERENCIAS WEB

- ares.cnice.mec.es/matematicasep/index.html (proyecto cifras. Recurso didáctico que incorpora
actividades específicas estructuradas por ciclos y bloques de cotenidos.
- escolar.comlmenumate.htm (página con recursos sobre cómo abordar contenidos en el área de
matemáticas como fracciones, números decimales, números enteros ... )
- juntadeandalucia.es/averroes/recursos/area-matematica.php3 (Página de Averroes, Red telemática
Educativa de Andalucía. Recursos para el área de matemáticas.- matematicas.net/ (Página para la
exposición de recursos matemáticos sirviendo de punto de unión entre profesores)
- Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces)
- Jgodino/edumat-maestros/welcome (Godino, J. (2004); matemáticas y su didáctica para maestros:
fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, sistemas numéricos,
proporcionalidad, geometría, magnitudes, etc.
- Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos enlaces).



Anexos

Contenidos del bloque “Las formas y figuras y sus propiedades” (Geometría) (R. D. 1513/2006)
Ciclo primero Ciclo segundo Ciclo tercero
La situación en el espacio, distancias La situación en el espacio, La situación en el plano y en el
y giros - Descripción de posiciones y distancias, ángulos y giros espacio, distancias, ángulos y
movimientos. en relación a uno - Representación elemental giros.
mismo y a otros puntos de referencia. de espacios conocidos: - Ángulos en distintas posiciones.
- Uso de vocabulario geometrico para planos y maquetas. - Sistema de coordenadas
describir itinerarios: líneas abiertas y Descripción de posiciones y cartesianas,
cerradas; rectas y curvas. movimientos en un contexto Descripción de posiciones y
- Interpretación y descripción verbal topográfico. movimientos por medio de
de croquis de itinerarios y elaboración - Las líneas como recorrido: coordenadas, distancias, ángulos,
de los mismos. rectas y curvas, intersección giros
de rectas y rectas paralelas. - La representación elemental
del espacio, escalas y gráficas
sencillas.
- Utilización de instrumentos
de dibujo y
programas informáticos para la
construcción y exploración de
formas geometricas.

Formas planas y espaciales
Formas planas y espaciales Formas planas y - Relaciones entre lados y entre
- Las figuras y sus elementos. espaciales
ángulos de un triángulo.
Identificación de figuras planas en - Identificación de figuras
- Formación de figuras planas y
objetos y espacios cotid ianos. planas y espaciales en la cuerpos geometricos a partir de
- Identificación de los cuerpos vida cotid iana.
otras por composición y
geometricos en objetos familiares. - Clasificación de
descomposición.
Descripción de su forma, utilizando el polígonos. Lados y vertices.
- Interes por la precisión en la
vocabulario geolnetrico básico. - La circunferencia y el descripción y representación de
- Comparación y clasificación de círculo.
formas geometricas.
figuras y cuerpos geometricos con - Los cuerpos geometricos:
criterios elementales. - Formación de cu bos, esferas, prismas,
figuras planas y cuerpos geometricos pirámides y cilindros.
a partir de otras por composición y
Aristas y caras.
descomposición.
- Descripción de la forma
de objetos utilizando el
vocabulario geometrico
básico.
- Construcción de figuras
geometricas planas a partir
de datos y de cuerpos
geometricos a partir de un
desarrollo. Exploración de


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