Este documento presenta una introducción a los límites y sus propiedades. Explica cómo calcular límites numérica y gráficamente, y define formalmente el concepto de límite. Además, describe las propiedades de los límites, incluidos los límites infinitos y la continuidad de funciones. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los diferentes tipos de límites y teoremas sobre límites.

1. LÍMITES Y SUS PROPIEDADES ESCUELA: Ciencias de la Computación NOMBRES Ing. Diana A. Torres G. BIMESTRE v I Bimestre OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 FECHA: 1

2. CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO

4. Con x = 1 no lo podemos hacer.

8. 8 x se aproxima a 0 por la derecha x se aproxima a 0 por la izquierda f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2

9. 9 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0 f no es definida en x = 0

10. 10 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe: Solución

12. 12 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento no acotado. Analizar la existencia del límite: Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:

13. 13 f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.

14. 14 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento oscilante. Analizar la existencia del límite: Por tanto el límite no existe

15. 15 Conclusiones: f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c. f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.

16. 16 DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

17. CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

18. 18 PROPIEDADES DE UN LÍMITE Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

19. 19 Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

20. 20 Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: Suma o Diferencia Producto:

21. 21 Cociente: Potencias:

22. 22 Ejemplo: Límite de un Polinomio

23. 23 Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

24. 24 Ejemplo: Límite de una Función racional Como el denominador no es 0 cuando x=1

27. 27 Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas Sea c un número real:

28. 28 Ejemplos

29. CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES

30. 30 Definición de Continuidad Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

31. 31 Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

32. 32 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

33. 33 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

34. 34 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

35. 35 Ejemplo límite Lateral Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

36. 36 Teorema 1.10 Existencia de un límite Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

37. 37 Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

38. 38 Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado Analizar la continuidad de Se concluye que f es continua en [-1,1] Continua por la derecha Continua por la izquierda

39. 39 Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c: Múltiplo escalar: bf Suma o Diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

40. LÍMITES INFINITOS

41. 41 Definición de Límites Infinitos Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

42. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 42

43. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 43

44. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 44

45. 45 Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que: Suma o Diferencia: Producto:

46. 46 Cociente:

47. 47 Ejemplo: Cálculo de Límites Calcular los siguientes límites

48. BIBLIOGRAFÍA CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS. CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES 48

49. 49