1) El documento presenta las aplicaciones de las derivadas en diferentes áreas como la física y la medicina. 2) Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y presenta reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y logarítmicas. 3) Aplica el concepto de derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones y encontrar sus máximos y mínimos relativos.
El documento explica conceptos clave sobre funciones crecientes, decrecientes, derivadas, valores críticos, máximos y mínimos de funciones. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente, y los valores máximos y mínimos, usando la derivada primera y segunda. También cubre puntos de inflexión y concavidad.
Este documento presenta aplicaciones de la derivada para analizar el
comportamiento de funciones, incluyendo determinar si son crecientes,
decrecientes o constantes en intervalos, hallar valores extremos, y analizar la
concavidad. Explica cómo usar la derivada primera y segunda para identificar
puntos críticos, máximos y mínimos relativos, y puntos de inflexión. Proporciona
ejemplos detallados para ilustrar cada concepto.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas en matemáticas. Explica la tasa de variación media en un intervalo y cómo se calcula. También define la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. Finalmente, discute la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente y las relaciones entre continuidad y derivabilidad.
Este documento introduce el concepto de derivada y recta tangente. Explica que la derivada de una función en un punto es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a 0. También define la recta tangente a una función como la recta que pasa por el punto de tangencia y tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Finalmente, presenta algunas propiedades importantes de las funciones derivables como la derivada de sumas, productos y cocientes.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
Este documento explica conceptos básicos sobre la derivada. La derivada mide la tasa de cambio de una función en un punto y representa la pendiente de la tangente en ese punto. Se calcula como el límite de la pendiente de la secante cuando los puntos se acercan. También presenta reglas para derivar funciones como sumas, productos y constantes por funciones. Finalmente, incluye fórmulas comunes para derivar funciones como polinomios y potencias.
Este documento presenta información sobre funciones cóncavas y convexas en un punto. Define formalmente estas funciones y proporciona ejemplos. También incluye teoremas para caracterizar funciones cóncavas y convexas, y condiciones suficientes para determinar si una función es cóncava o convexa en un punto dado. El documento analiza estas propiedades geométricamente y matemáticamente a través de desigualdades y el teorema del valor medio.
El documento explica conceptos clave sobre funciones crecientes, decrecientes, derivadas, valores críticos, máximos y mínimos de funciones. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente, y los valores máximos y mínimos, usando la derivada primera y segunda. También cubre puntos de inflexión y concavidad.
Este documento presenta aplicaciones de la derivada para analizar el
comportamiento de funciones, incluyendo determinar si son crecientes,
decrecientes o constantes en intervalos, hallar valores extremos, y analizar la
concavidad. Explica cómo usar la derivada primera y segunda para identificar
puntos críticos, máximos y mínimos relativos, y puntos de inflexión. Proporciona
ejemplos detallados para ilustrar cada concepto.
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Este documento introduce el concepto de derivada y recta tangente. Explica que la derivada de una función en un punto es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a 0. También define la recta tangente a una función como la recta que pasa por el punto de tangencia y tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Finalmente, presenta algunas propiedades importantes de las funciones derivables como la derivada de sumas, productos y cocientes.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
Este documento explica conceptos básicos sobre la derivada. La derivada mide la tasa de cambio de una función en un punto y representa la pendiente de la tangente en ese punto. Se calcula como el límite de la pendiente de la secante cuando los puntos se acercan. También presenta reglas para derivar funciones como sumas, productos y constantes por funciones. Finalmente, incluye fórmulas comunes para derivar funciones como polinomios y potencias.
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Este documento describe conceptos clave relacionados con los extremos de funciones, incluyendo definiciones de extremos, puntos críticos, concavidad y criterios para determinar máximos y mínimos usando la primera y segunda derivada. Explica cómo usar la derivada para determinar si una función es creciente o decreciente y localizar sus extremos relativos.
Este documento presenta varios conceptos clave relacionados con la derivada, incluyendo la tangente y la normal a una curva, curvas ortogonales, el teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, cálculo de aproximaciones usando la diferencial, y problemas de optimización. Explica conceptos como tangente, normal, curvas ortogonales, teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, diferenciales, y problemas de optimización.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
El documento describe el movimiento oblicuo y cómo se analiza usando funciones cuadráticas. Este movimiento resulta de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y otro vertical uniformemente variado. La trayectoria describe una parábola cuya ecuación es una función cuadrática que puede dividirse en componentes horizontales y verticales.
Este documento introduce los conceptos de derivada puntual y funcional. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función y que su signo indica si una función es creciente o decreciente. También cubre reglas para derivar funciones sumas, diferencias, productos y cocientes, así como funciones compuestas usando la regla de la cadena. Finalmente, discute cómo usar las derivadas para determinar máximos, mínimos y puntos críticos de una función.
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
1. La derivada de una función representa la tasa de cambio de esa función en un punto y puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
2. Para calcular la derivada de una función se aproxima la curva por una recta secante y se hace tender la distancia entre los puntos de la recta a cero.
3. Existen reglas para derivar funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y raíces así como funciones obtenidas a través de operaciones elementales.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, funciones derivadas, derivabilidad y continuidad. Explica la definición de derivada como un límite, su interpretación geométrica como pendiente de la tangente y su uso en física para medir velocidad y otros ritmos de cambio. También cubre reglas para derivar funciones, derivadas sucesivas, derivabilidad de funciones definidas a trozos y el vínculo entre derivabilidad y continuidad.
El documento explica la relación entre la derivada y la integral. La derivada surge del concepto de pendiente tangencial, mientras que la integral surge de la necesidad de calcular áreas. La integral de una función es su antiderivada, ya que al derivar la función integral se obtiene la función original.
El documento trata sobre el cálculo diferencial y cómo usar las derivadas para localizar valores máximos y mínimos de funciones. Explica que una función tiene un máximo o mínimo absoluto si su valor es mayor o menor que en todos los otros puntos de su dominio, mientras que un máximo o mínimo local se da cuando es mayor o menor que los valores cercanos. También introduce conceptos como números críticos, concavidad y puntos de inflexión.
Este documento define conceptos clave relacionados con la derivada de una función y sus aplicaciones. Explica cómo calcular la derivada, los puntos críticos de una función, y cómo determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado usando la derivada. También cubre conceptos como la tangente a una curva, la concavidad, y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Representa la variación de la función cuando hay una pequeña variación de la variable independiente. Se define como el límite de la razón entre la variación de la función y la variación de la variable independiente a medida que esta tiende a cero. Para que una función sea derivable en un punto, este límite debe existir.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida. Explica que la integral definida es el límite de una suma de Riemann y que representa el área bajo la curva de una función. También introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece la relación entre la derivación e integración, y el Teorema de Integrabilidad, que determina si una función es integrable.
El documento explica las derivadas, que representan la pendiente de la tangente a una curva en un punto y miden la tasa de cambio de una función. Tiene aplicaciones como calcular velocidad y aceleración, optimizar funciones para encontrar máximos y mínimos, y construir carreteras con curvas naturales. Incluye ejemplos de derivadas de funciones y su uso para resolver problemas de física y economía.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento introduce el concepto de derivadas, su historia, aplicaciones físicas y métodos para calcularlas. Explica conceptos como la tasa de variación media e instantánea, y cómo la derivada mide la pendiente de la tangente. También cubre reglas para derivar funciones elementales, la cadena, derivadas inversas, y cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos. Finalmente, discute la concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las integrales. Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y cómo estas se pueden usar para determinar el crecimiento y decrecimiento de funciones. También cubre temas como la interpretación geométrica de la derivada, las reglas de derivación, y cómo encontrar máximos y mínimos locales de funciones derivables. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y puede usarse para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos, y concavidad. También presenta reglas para calcular derivadas, como la regla de la cadena y la derivación logarítmica. Por último, explica cómo usar la derivada para identificar máximos y mínimos locales de funciones.
Este documento describe conceptos clave relacionados con los extremos de funciones, incluyendo definiciones de extremos, puntos críticos, concavidad y criterios para determinar máximos y mínimos usando la primera y segunda derivada. Explica cómo usar la derivada para determinar si una función es creciente o decreciente y localizar sus extremos relativos.
Este documento presenta varios conceptos clave relacionados con la derivada, incluyendo la tangente y la normal a una curva, curvas ortogonales, el teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, cálculo de aproximaciones usando la diferencial, y problemas de optimización. Explica conceptos como tangente, normal, curvas ortogonales, teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, diferenciales, y problemas de optimización.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
El documento describe el movimiento oblicuo y cómo se analiza usando funciones cuadráticas. Este movimiento resulta de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y otro vertical uniformemente variado. La trayectoria describe una parábola cuya ecuación es una función cuadrática que puede dividirse en componentes horizontales y verticales.
Este documento introduce los conceptos de derivada puntual y funcional. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función y que su signo indica si una función es creciente o decreciente. También cubre reglas para derivar funciones sumas, diferencias, productos y cocientes, así como funciones compuestas usando la regla de la cadena. Finalmente, discute cómo usar las derivadas para determinar máximos, mínimos y puntos críticos de una función.
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
1. La derivada de una función representa la tasa de cambio de esa función en un punto y puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
2. Para calcular la derivada de una función se aproxima la curva por una recta secante y se hace tender la distancia entre los puntos de la recta a cero.
3. Existen reglas para derivar funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y raíces así como funciones obtenidas a través de operaciones elementales.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, funciones derivadas, derivabilidad y continuidad. Explica la definición de derivada como un límite, su interpretación geométrica como pendiente de la tangente y su uso en física para medir velocidad y otros ritmos de cambio. También cubre reglas para derivar funciones, derivadas sucesivas, derivabilidad de funciones definidas a trozos y el vínculo entre derivabilidad y continuidad.
El documento explica la relación entre la derivada y la integral. La derivada surge del concepto de pendiente tangencial, mientras que la integral surge de la necesidad de calcular áreas. La integral de una función es su antiderivada, ya que al derivar la función integral se obtiene la función original.
El documento trata sobre el cálculo diferencial y cómo usar las derivadas para localizar valores máximos y mínimos de funciones. Explica que una función tiene un máximo o mínimo absoluto si su valor es mayor o menor que en todos los otros puntos de su dominio, mientras que un máximo o mínimo local se da cuando es mayor o menor que los valores cercanos. También introduce conceptos como números críticos, concavidad y puntos de inflexión.
Este documento define conceptos clave relacionados con la derivada de una función y sus aplicaciones. Explica cómo calcular la derivada, los puntos críticos de una función, y cómo determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado usando la derivada. También cubre conceptos como la tangente a una curva, la concavidad, y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Representa la variación de la función cuando hay una pequeña variación de la variable independiente. Se define como el límite de la razón entre la variación de la función y la variación de la variable independiente a medida que esta tiende a cero. Para que una función sea derivable en un punto, este límite debe existir.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida. Explica que la integral definida es el límite de una suma de Riemann y que representa el área bajo la curva de una función. También introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece la relación entre la derivación e integración, y el Teorema de Integrabilidad, que determina si una función es integrable.
El documento explica las derivadas, que representan la pendiente de la tangente a una curva en un punto y miden la tasa de cambio de una función. Tiene aplicaciones como calcular velocidad y aceleración, optimizar funciones para encontrar máximos y mínimos, y construir carreteras con curvas naturales. Incluye ejemplos de derivadas de funciones y su uso para resolver problemas de física y economía.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento introduce el concepto de derivadas, su historia, aplicaciones físicas y métodos para calcularlas. Explica conceptos como la tasa de variación media e instantánea, y cómo la derivada mide la pendiente de la tangente. También cubre reglas para derivar funciones elementales, la cadena, derivadas inversas, y cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos. Finalmente, discute la concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las integrales. Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y cómo estas se pueden usar para determinar el crecimiento y decrecimiento de funciones. También cubre temas como la interpretación geométrica de la derivada, las reglas de derivación, y cómo encontrar máximos y mínimos locales de funciones derivables. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y puede usarse para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos, y concavidad. También presenta reglas para calcular derivadas, como la regla de la cadena y la derivación logarítmica. Por último, explica cómo usar la derivada para identificar máximos y mínimos locales de funciones.
1) La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y permite estudiar su crecimiento, máximos y mínimos.
2) Para encontrar extremos locales de una función derivable, se analiza cuando su derivada es cero y el signo de su segunda derivada.
3) La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto de la curva gráfica de la función.
El documento trata sobre el tema de la derivada de funciones de una variable real. Se define la derivada, se explican conceptos como derivadas laterales, derivadas infinitas y puntos angulosos. También se presentan teoremas como el de Rolle, Lagrange y L'Hospital y fórmulas para derivar funciones elementales, compuestas e implícitas. Finalmente, se explican conceptos como la ecuación de la tangente, extremos relativos, concavidad y polinomios de Taylor.
Este documento introduce el concepto de derivada en cálculo. Explica que la derivada permite resolver problemas relacionados con la tangente, la velocidad y los máximos y mínimos. Define formalmente la derivada como el límite de la pendiente de la secante a medida que el punto se acerca al punto de tangencia. Luego presenta ejemplos de cálculo de derivadas y analiza las propiedades de derivabilidad.
Este documento explica los conceptos básicos de derivadas matemáticas, incluyendo su definición, tasas de variación media e instantánea, y cómo calcular derivadas de funciones comunes utilizando reglas como la cadena y tablas resumen. Proporciona ejemplos detallados de cómo derivar funciones como potencias, raíces, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función con respecto a cambios en su variable independiente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Las derivadas tienen muchas aplicaciones importantes en física, química, economía y otras áreas.
1) La derivada tiene múltiples aplicaciones como estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de funciones, concavidad y convexidad. 2) Algunas aplicaciones importantes son determinar velocidad y aceleración, puntos críticos, derivación implícita y cálculo de máximos y mínimos. 3) Las derivadas son útiles en muchas áreas como física, ingeniería, negocios y economía.
El documento explica conceptos básicos sobre derivadas en matemáticas, incluyendo tasa de variación, tasa de variación media, derivada de una función, derivadas laterales, funciones crecientes y decrecientes, y extremos relativos. También cubre cálculo de derivadas de funciones elementales y aplicaciones de derivadas para resolver problemas de optimización y monotonía.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y concavidad. Explica cómo calcular la derivada de una función, así como su aplicación para determinar la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. También cubre derivadas implícitas, de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y extremos relativos.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento trata sobre funciones reales de variable real. Define conceptos como dominio, recorrido, acotación, monotonía, simetría y períodicidad de funciones. También explica operaciones con funciones como suma, producto, composición e inversa. Por último, analiza funciones polinómicas como lineales, cuadráticas y racionales así como funciones exponenciales, logarítmicas y circulares.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones, incluyendo: 1) La definición de función y su dominio de definición; 2) Cómo calcular valores de funciones y construir tablas de valores; 3) El sentido de variación y signo de funciones; 4) La representación gráfica de funciones afines. Explica cómo analizar funciones mediante el estudio de sus expresiones algebraicas, tablas de valores y gráficas.
Este documento presenta los objetivos y temas de la unidad 4 de Matemáticas II. Los temas incluyen aplicaciones de la derivada como funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos de funciones, derivadas de orden superior y criterios de la primera y segunda derivada. El objetivo es que los estudiantes obtengan conocimiento y aplicación de la derivada para distinguir entre derivadas en puntos y funciones derivadas.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como derivadas, velocidad, aceleración, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, extremos de funciones, concavidad, problemas de optimización, y formas indeterminadas. Explica cómo usar la derivada primera para encontrar puntos críticos y la derivada segunda para determinar si son máximos o mínimos. También cubre cómo estudiar la monotonía de funciones usando el signo de la derivada y aplicar esto para identificar extremos absolutos y relativos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
Este documento define conceptos básicos de derivadas como la derivada de una función en un punto, la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea. Explica cómo calcular derivadas usando la definición formal y la tabla de derivadas comunes. También cubre derivadas de funciones compuestas y aplica conceptos como la regla de la cadena.
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Aplicaciones de las derivadas slideshare
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Aplicaciones de las Derivadas
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2. Aplicación de las Derivadas
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII
hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las
integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los
introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien
entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la
aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las
aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta
en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la
diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa
media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el
intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la
función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =
3. 2.Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h
tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se
designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto
es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la
variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a ,
también puede expresarse así:
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f
’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite
para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la
función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 y –1.
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.
Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.
Ejemplo 2. es continua en 0, pero no es derivable en 0.
4. Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo
[t0, t] es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman
la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el
límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es
la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad
en el instante t =5.
Solución
v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la
pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos
de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta
secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta
tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a) .
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa
por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a,
f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y
=-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta
tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente
aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de
abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la
recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean
paralelas en x = 1.
5. 4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de
derivadas
La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se
llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales
1) f(x) =k ⇒ f´(x) =0
2) f(x) = xn ⇒ f´(x) = nxn-1
3) f(x) = ⇒ f´(x) =
4) f(x) = ln x ⇒ f´(x) =
5) f(x) = ex ⇒ = ex
6) f(x) = sen x ⇒ f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x ⇒ f´(x) = -sen x
Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se
verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6. Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d)
Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=
6. Observación: la gráfica de esta función es:
b) y =
c) g(x)=
Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.
Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a
la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,
y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.
Regla de la cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°
g es derivable en a y se verifica:
(f°
g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la
función de función)
Derivación logarítmica
Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si ⇒ y’ , y de aquí se
llega al método de la derivación logarítmica.
Método:
Sea
1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad
ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)
2º Se deriva
3º Se despeja y’
7. [ ] [ ]
que puede escribirse :
Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1]” no suele aplicarse es preferible aplicar el método en cada
ejercicio.
Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:
, y derivando los dos miembros de la igualdad
⇒ y’=xx(ln x +1)
Derivada de la función inversa
Es otra aplicación de la regla de la cadena.
Como f°
f -1= I, se tiene (f°
f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando
(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),
Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x ⇒ x = tg y, y derivando x ’ = 1 +tg2y, de donde:
Ejercicio 9. Calcula la derivada de
Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)
Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x)= ; b) ;
c) y = ; d) h(x) =cos3(x2-2);
e) y =e arc tg x; f) j(x) =arc sen(x + 3x2)
g) y = ; h) k(x) =(x2+1)cos x;
j) y = ln ; k) y = ;
8. 5.Crecimiento y decrecimiento de una función
Figura 1
La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero
resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1).
Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0 en ese intervalo entonces f crece en I.
El recíproco no se cumple en general.
Ejemplo 5. La función y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0.
Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un
intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)
6. Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables
Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.
Figura 2
Condición necesaria de extremo
Proposición.
Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.
Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición
anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de
extremo.
La condición no es suficiente.
Ejemplo 6. La función y =x3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin
embargo f ’(0)=0.
9. Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese
punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver
figura 2.
f ’ <0 =0 >0
Si |a hay mínimo relativo en (a, f(a))
f mínimo
f ’ > =0 <
Si |a hay máximo relativo en (a, f(a))
f máximo
Ejercicio 9.Dada la función se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos relativos.
Condición suficiente de extremo
Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0:
a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.
b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a.
Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones
derivables.
Se presentarán en tablas estos resultados:
9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de
funciones
El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los
siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:
I) Estudio de f (resumen)
1º Dominio de f.
2º Puntos de corte con los ejes.
3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).
4º Simetrías.
- Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.
- Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.
5º Asíntotas
- Verticales
Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota
vertical.
- Horizontales
Si , y =b es una asíntota horizontal.
10. - Oblicuas
Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua.
II) Estudio de f’ (resumen)
1º Crecimiento y decrecimiento.
Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.
2º Máximos y mínimos relativos
Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.
III) Estudio de f’’(resumen)
1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa ∪, f ’’<0 cóncava ∩
2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de
inflexión.
Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función
I) Estudio de f
1º D =R
2º Puntos de corte, el (0, 0)
3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0
4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen.
5º Asuntotas.
No hay verticales por que el dominio es todo R
Horizontales y =0
No hay oblicua.
II) Estudio de f ’
, f ’(x)=0 ⇒ -x2+1=0, de donde x = 1
Ejercicio Aplicando Derivadas a la Medicina: Aorta-Arteria Flujo sanguíneo
V=P/4nL. [R2-r2] V=PR2/4nL-Pr2/4nL
Derivamos=dv/dr=-2rp/4nLdv/dr=rp/ 2nLdr/dv=-2nL/rpdr/dr=2(0,087cm2/s) (6,86cm)/ (0,2cm)
(205344cm2)=0,00002906439seg.