Este documento presenta una introducción a las relaciones matemáticas. Define una relación como un subconjunto de R2 y explica que el dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de las parejas, mientras que la imagen es el conjunto de las segundas componentes. A través de varios ejemplos ilustra cómo definir relaciones mediante comprensión y cómo transformarlas aplicando funciones a sus variables.

1. MATEM´ATICAS B´ASICAS
Autor: Lorenzo Acosta Gempeler
Edici´on: Jeanneth Galeano Pe˜naloza
Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Sede Bogot´a
Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 1 / 1

2. Parte I
Relaciones
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 2 / 1

3. Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 3 / 1

4. Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2.
Si S es una relaci´on entonces el dominio de S es el conjunto de las
primeras componentes de las parejas en S,
Dom(S) = {x : (∃y)((x, y) ∈ S)}.
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5. Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2.
Si S es una relaci´on entonces el dominio de S es el conjunto de las
primeras componentes de las parejas en S,
Dom(S) = {x : (∃y)((x, y) ∈ S)}.
La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejas
en S,
Im(S) = {y : (∃x)((x, y) ∈ S)}.
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6. Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,
√
2), (−1, 0), (π, π)}

7. Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,
√
2), (−1, 0), (π, π)}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,
√
2)
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8. Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,
√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5, −1, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,
√
2)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 4 / 1

9. Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,
√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5, −1, π}
Im(A) = {2,
√
2, 0, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,
√
2)
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10. Ejemplo 2
B = {(x, y) ∈ R2
: y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}

11. Ejemplo 2
B = {(x, y) ∈ R2
: y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 5 / 1

12. Ejemplo 2
B = {(x, y) ∈ R2
: y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 5 / 1

13. Ejemplo 2
B = {(x, y) ∈ R2
: y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
Im(B) = [2, 6]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
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14. Ejemplo 3
C = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

15. Ejemplo 3
C = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 6 / 1

16. Ejemplo 3
C = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C) = [−1, 1]
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 6 / 1

17. Ejemplo 3
C = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C) = [−1, 1]
Im(C) = [−1, 1] x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 6 / 1

18. Relaciones
Cuando se define una relaci´on S por comprensi´on se obtiene
S = {(x, y) ∈ R2
: p(x, y)},
donde p(x, y) es un predicado en las variables x e y.
La relaci´on S queda completamente determinada por el predicado p(x, y).
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19. Relaciones
Cuando se define una relaci´on S por comprensi´on se obtiene
S = {(x, y) ∈ R2
: p(x, y)},
donde p(x, y) es un predicado en las variables x e y.
La relaci´on S queda completamente determinada por el predicado p(x, y).
Ejemplo: Si C = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
entonces p(x, y) es la conjunci´on
−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1.
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20. Ejemplo 4
C1 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y)}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 8 / 1

21. Ejemplo 4
C1 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 8 / 1

22. Ejemplo 4
C1 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 8 / 1

23. Ejemplo 4
C1 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 8 / 1

24. Ejemplo 5
C2 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x + 4, y)}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 9 / 1

25. Ejemplo 5
C2 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x + 4, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 9 / 1

26. Ejemplo 5
C2 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x + 4, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 9 / 1

27. Ejemplo 5
C2 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x + 4, y)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −5 ≤ x ≤ −3; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 9 / 1

28. Ejemplo 6
C3 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y − 1)}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 10 / 1

29. Ejemplo 6
C3 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y − 1)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 10 / 1

30. Ejemplo 6
C3 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y − 1)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y−1 ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 10 / 1

31. Ejemplo 6
C3 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y − 1)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y−1 ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 10 / 1

32. Ejemplo 7
C4 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y + 3)}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 11 / 1

33. Ejemplo 7
C4 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y + 3)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 11 / 1

34. Ejemplo 7
C4 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y + 3)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y+3 ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 11 / 1

35. Ejemplo 7
C4 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x, y + 3)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y+3 ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −4 ≤ y ≤ −2}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 11 / 1

36. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

37. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

38. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

39. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

40. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y − 4 ≤ 1}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

41. Ejemplo 8
C5 = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x, y) ∈ R2
: p(x − 3, y − 4)}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; −1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 12 / 1

42. Propiedades
1. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y) y
T = {(x, y) ∈ R2
: p(x − a, y)}
entonces la gr´afica de T se obtiene de la de S mediante una traslaci´on
horizontal de |a| unidades (hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda si
a < 0).
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43. Propiedades
2. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y) y
U = {(x, y) ∈ R2
: p(x, y − b)}
entonces la gr´afica de U se obtiene de la de S mediante una traslaci´on
vertical de |b| unidades (hacia arriba si b > 0 y hacia abajo si b < 0).
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 13 / 1

44. Relaciones
Realicemos otras variaciones a p(x, y) en el ejemplo
C = {(x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 14 / 1

45. Ejemplo 9
D1 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, y
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 15 / 1

46. Ejemplo 9
D1 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 15 / 1

47. Ejemplo 9
D1 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤
x
2
≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 15 / 1

48. Ejemplo 9
D1 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤
x
2
≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1
{(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 15 / 1

49. Ejemplo 10
D2 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (x, 2y)
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 16 / 1

50. Ejemplo 10
D2 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (x, 2y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 16 / 1

51. Ejemplo 10
D2 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (x, 2y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ 2y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 16 / 1

52. Ejemplo 10
D2 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (x, 2y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ 2y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −
1
2
≤ y ≤
1
2
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 16 / 1

53. Ejemplo 11
D3 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (3x, y)
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 17 / 1

54. Ejemplo 11
D3 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (3x, y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 17 / 1

55. Ejemplo 11
D3 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (3x, y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ 3x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 17 / 1

56. Ejemplo 11
D3 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p (3x, y)
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
{(x, y) : −1 ≤ 3x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −
1
3
≤ x ≤
1
3
; −1 ≤ y ≤ 1
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 17 / 1

57. Ejemplo 12
D4 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤
y
3
≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p x,
y
3
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 18 / 1

58. Ejemplo 12
D4 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤
y
3
≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p x,
y
3
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 18 / 1

59. Ejemplo 12
D4 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤
y
3
≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p x,
y
3
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤
y
3
≤ 1
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 18 / 1

60. Ejemplo 12
D4 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤
y
3
≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p x,
y
3
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤
y
3
≤ 1
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −3 ≤ y ≤ 3}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 18 / 1

61. Ejemplo 13
D5 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, 3y
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 19 / 1

62. Ejemplo 13
D5 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, 3y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 19 / 1

63. Ejemplo 13
D5 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, 3y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤
x
2
≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1 x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 19 / 1

64. Ejemplo 13
D5 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, 3y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤
x
2
≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1
{(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 19 / 1

65. Ejemplo 13
D5 = (x, y) ∈ R2
: −1 ≤
x
2
≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2
: p
x
2
, 3y
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −1 ≤
x
2
≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1
{(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1}
(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2; −
1
3
≤ y ≤
1
3
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 19 / 1

66. Propiedades
1. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y),
a es un n´umero mayor que 1 y
T = (x, y) ∈ R2
: p
x
a
, y
entonces la gr´afica de T se obtiene de la de S
mediante una expansi´on horizontal por un factor de a unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 20 / 1

67. Propiedades
2. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y),
a es un n´umero entre 0 y 1 y
T = (x, y) ∈ R2
: p
x
a
, y
entonces la gr´afica de T se obtiene de la de S
mediante una compresi´on horizontal por un factor de a unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 20 / 1

68. Propiedades
3. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y),
b es un n´umero mayor que 1 y
U = (x, y) ∈ R2
: p x,
y
b
entonces la gr´afica de U se obtiene de la de S
mediante una expansi´on vertical por un factor de b unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 20 / 1

69. Propiedades
4. Si S es la relaci´on definida por el predicado p(x, y),
b es un n´umero entre 0 y 1 y
U = (x, y) ∈ R2
: p x,
y
b
entonces la gr´afica de U se obtiene de la de S
mediante una compresi´on vertical por un factor de b unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 20 / 1

70. Relaciones
Estudiemos ahora el efecto de estos cambios sobre una relaci´on particular:
S = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1}
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 21 / 1

71. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

72. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

73. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1 x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

74. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

75. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2
1
4
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

76. Ejemplo 14
S1 = (x, y) ∈ R2
: x2
+ (2y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on vertical a la mitad
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2
1
4
= 1
La gr´afica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 22 / 1

77. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

78. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

79. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1 x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

80. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

81. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
1
4
+ y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

82. Ejemplo 15
S2 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
1
4
+ y2
= 1
La gr´afica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 23 / 1

83. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

84. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

85. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

86. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ 9y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

87. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ 9y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
1
4
+
y2
1
9
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

88. Ejemplo 16
S3 = (x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
compresi´on horizontal a la mitad y
una compresi´on vertical a la tercera
parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
: (2x)2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ 9y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
1
4
+
y2
1
9
= 1
La gr´afica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 24 / 1

89. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

90. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

91. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1 x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

92. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+ 9y2
= 1
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

93. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+ 9y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
1
9
= 1
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

94. Ejemplo 17
S4 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
compresi´on vertical a la tercera parte
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+ (3y)2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+ 9y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
1
9
= 1
La gr´afica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 25 / 1

95. Ejemplo 18
S5 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
expansi´on vertical al triple
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 26 / 1

96. Ejemplo 18
S5 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
expansi´on vertical al triple
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 26 / 1

97. Ejemplo 18
S5 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
expansi´on vertical al triple
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 26 / 1

98. Ejemplo 18
S5 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
expansi´on vertical al triple
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
9
= 1
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 26 / 1

99. Ejemplo 18
S5 = (x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
se obtiene de S mediante una
expansi´on horizontal al doble y una
expansi´on vertical al triple
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
9
= 1
La gr´afica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 26 / 1

100. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

101. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

102. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

103. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
9
= 1 x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

104. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
9
= 1
(x, y) ∈ R2
:
(x − 2)2
4
+
(y − 3)2
9
= 1
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

105. S6 = (x, y) ∈ R2
: (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1
se obtiene de S5 mediante una traslaci´on
horizontal de dos unidades hacia la derecha y una
traslaci´on vertical de tres unidades hacia arriba
(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x
2
2
+
y
3
2
= 1
(x, y) ∈ R2
:
x2
4
+
y2
9
= 1
(x, y) ∈ R2
:
(x − 2)2
4
+
(y − 3)2
9
= 1
La gr´afica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 27 / 1

106. Relaciones
Si se da la ecuaci´on
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1, a = b,
´esta representa una elipse con centro en (h, k), eje horizontal de longitud
2a y eje vertical de longitud 2b. Este tipo de ecuaci´on se llama ecuaci´on
can´onica de la elipse.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 28 / 1

107. Relaciones
Si a > b entonces la elipse tiene eje mayor horizontal y eje menor vertical.
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 29 / 1

108. Relaciones
Si a < b entonces la elipse tiene eje mayor vertical y eje menor horizontal.
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 30 / 1

109. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

110. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

111. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

112. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
4(x2
− 2x ) + 9(y2
+ 6y ) = −49
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

113. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
4(x2
− 2x + 1) + 9(y2
+ 6y ) = −49 + 4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

114. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
4(x2
− 2x + 1) + 9(y2
+ 6y + 9) = −49 + 4 + 81
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

115. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
4(x2
− 2x + 1) + 9(y2
+ 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2
+ 9(y + 3)2
= 36
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

116. Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuaci´on can´onica de la elipse
4x2
+ 9y2
− 8x + 54y + 49 = 0
Soluci´on.
4x2
− 8x + 9y2
+ 54y = −49
4(x2
− 2x) + 9(y2
+ 6y) = −49
4(x2
− 2x + 1) + 9(y2
+ 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2
+ 9(y + 3)2
= 36
(x − 1)2
9
+
(y + 3)2
4
= 1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 31 / 1

117. Relaciones
(x − 1)2
9
+
(y + 3)2
4
= 1
x
y
-2 1 4
-1
-3
-5
(1, −3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Relaciones y elipses 32 / 1