Ejercicios resueltos de probabilidad y estadística

Ejercicios resueltos de la Estadística de Edwin Galindo y de
la Politécnica de Madrid
Por: Mario Orlando Suárez Ibujés
Fecha: 25/10/2023
https://orcid.org/0000-0002-3962-5433
https://scholar.google.com/citations?user=FUoyU1cAAAAJ&hl=e
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/760
Estadística de Edwin Galindo
Pág. 64-65: Ejercicicios 28, 29 y 30
28. Sean Ω un espacio muestral y A, B y C eventos cualesquiera, exprese las siguientes afirmaciones como
uniones e intertersecciones de A, B y C de sus complementos
a) Ninguno de los eventos A, B, C ocurre
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)𝑐
= 𝐴𝑐
∩ 𝐵𝑐
∩ 𝐶𝑐
b) Por lo menos uno de los eventos A, B, C ocurre
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)

c) No ocurre más que un evento
(𝐴𝑐
∩ 𝐵𝑐) (𝐴𝑐
∩ 𝐶𝑐) (𝐵𝑐
∩ 𝐶𝑐)
𝑥 ∈ (𝐴𝑐
∩ 𝐵𝑐) ∪ (𝐴𝑐
∩ 𝐶𝑐) ∪ (𝐵𝑐
∩ 𝐶𝑐)
d) Ocurren exactamente dos eventos
(𝐴𝑐
∩ 𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵𝑐
∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶𝑐)
𝑥 ∈ (𝐴𝑐
∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐
∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶𝑐)

e) Ocurren no más de dos eventos
(𝐴𝑐) (𝐵𝑐) (𝐶𝑐)
𝑥 ∈ 𝐴𝑐
∪ 𝐵𝑐
∪ 𝐶𝑐
= 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)𝑐
29. Con el empleo de la definición de probabilidad, demuestre:
a) Pr(∅) = 0
𝑆𝑒𝑎: ∅ = Ω𝑐
Pr(∅) = 𝑃𝑟(Ω𝑐)
Sabemos que 𝑃𝑟(𝐴𝑖
𝑐
) + 𝑃𝑟(𝐴𝑖) = 1
Entonces Pr(Ω𝑐) + 𝑃𝑟(Ω) = 1
Dado que 𝑃𝑟(Ω) = 1
Pr(Ω𝑐) + 1 = 1
Pr(Ω𝑐) = 1 − 1
Pr(Ω𝑐) = 0
Entonces
Pr(∅) = 0
b) Pr(𝐴 ∪ 𝐵) = Pr(𝐴) + Pr(𝐵) − Pr (𝐴 ∩ 𝐵)
Sabemos que 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑐)
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) + 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴𝑐)
Dado que
𝑃(𝐴) = 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) + 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) = 𝑃(𝐴) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) = 𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴𝑐) + 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴𝑐) = 𝑃(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Sustituyendo en
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) + 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴𝑐)
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
c) Pr(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ Pr(𝐴) + Pr (𝐵)
Se sabe que
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Pr(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ Pr(𝐴) + Pr (𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Como
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
Pr(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ Pr(𝐴) + Pr(𝐵) − 0
Pr(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ Pr(𝐴) + Pr(𝐵)
d) Pr(𝐴) = Pr(𝐴 ∩ 𝐵) + Pr (𝐴 ∩ 𝐵𝑐
)
𝐴 = 𝐴 ∩ Ω
Como Ω = 𝐵𝑐
∪ 𝐵
𝐴 = 𝐴 ∩ (𝐵𝑐
∪ 𝐵)
Aplicando la propiedad distributiva
𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Aplicando la probabilidad
Pr (𝐴) = 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) ∪ 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Pr(𝐴) = Pr(𝐴 ∩ 𝐵) + Pr (𝐴 ∩ 𝐵𝑐
)
30. Se arrojan dos dados, sean A el evento <<la suma de las caras es impar>>, y B el evento <<sale por lo
menos un tres>>. Describa los eventos 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵𝑐
. Encuentre sus probabilidades si se supone que
los 36 eventos elementales tienen igual probabilidad.
Solución:
Ω =
{
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(3,6)
(4,6)
(6,5)
(6,6)}
A = {
(1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5)
(3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5)
(5,2) (5,4) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5)
}
𝐵 = {(1,3) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,3) (5,3) (6,3)}
𝐴 ∩ 𝐵 = {(2,3) (3,2) (3,4) (3,6) (4,3) (6,3)}
A ∪ B =
{
(1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5)
(3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5)
(5,2)
(1,3)
(5,4)
(3,1)
(5,6)
(3,2)
(6,1)
(3,5)
(6,3)
(5,3)
(6,5)
}

𝐴 ∩ 𝐵𝑐
= 𝐴 − 𝐵 = {
(1,2)
(4,5)
(1,4)
(5,2)
(1,6)
(5,4)
(2,1)
(5,5)
(2,5)
(6,1)
(4,1)
(6,5)
}
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑙𝑎𝑑(𝐴 ∩ 𝐵)
𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑙𝑎𝑑(Ω)
=
6
36
=
1
6
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑙𝑎𝑑(𝐴 ∪ 𝐵)
=
23
36
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) =
𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑙𝑎𝑑(𝐴 ∩ 𝐵𝑐)
=
12
36
=
1
3
Pág. 74: Ejercicicios 1, 2, 3
1. Sean A y B dos eventos con Pr(𝐴) ≠ 0 y Pr(𝐵) ≠ 0. Demuestre que
Pr(𝐴 ∩ 𝐵) = Pr(𝐵) 𝑃𝑟(𝐴|𝐵) = Pr(𝐴) Pr (𝐵|𝐴)
Como
𝑃𝑟(𝐴|𝐵) =
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Pr (𝐵)
→ 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴|𝐵)Pr (𝐵)
Como
𝑃𝑟(𝐵|𝐴) =
Pr (𝐴)
→ 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐵|𝐴)Pr (𝐴)
Por lo tanto
Pr(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴|𝐵) Pr(𝐵) = 𝑃𝑟(𝐵|𝐴)Pr (𝐴)
Entonces
Pr(𝐴 ∩ 𝐵) = Pr(𝐵) 𝑃𝑟(𝐴|𝐵) = Pr(𝐴) Pr (𝐵|𝐴)
2. Demuestre que si A y B son eventos independientes y si 𝐴 ⊆ 𝐵 entonces , Pr(𝐵) = 1 o Pr(𝐴) = 0
Pr(𝐴 ∩ 𝐵) = Pr (𝐴) ∙ Pr (𝐵)
Pr(𝐴|𝐵) =
Pr (𝐴 ∩ 𝐵)
Pr (𝐵)
Como Pr(𝐴 ∩ 𝐵) = Pr (𝐴)
Pr(𝐴|𝐵) =
Pr (𝐴)
Pr (𝐵)
Pr(𝐴 ∩ 𝐵) =
Pr (𝐴) ∙ Pr (𝐵)
Pr (𝐵)
= 𝑃𝑟(𝐴)
𝑃𝑟(𝐴) =
Pr (𝐴)
Pr (𝐵)
Pr(𝐵) = 1 ; Pr(𝐴) = 0

3. Se consideran los eventos A y B tales que Pr(𝐴) =
1
2
; Pr(𝐵) =
1
3
; Pr(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
4
. Calcule:
a) Pr (𝐴/𝐵)
𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴) = Pr (𝐵) ∙ Pr (𝐴/𝐵) → Pr (𝐴/𝐵) =
Pr (𝐵)
=
1
4
1
3
=
3
4
b) Pr (𝐵/𝐴)
Pr(A ∩ B) = Pr(A) ∙ Pr (𝐵/𝐴) → Pr (𝐵/𝐴) =
Pr (𝐴)
=
1
4
1
2
=
1
2
c) Pr (𝐴𝑐
/𝐵)
Pr (𝐴𝑐
/𝐵) =
𝑃𝑟(𝐴𝑐
∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑃𝑟(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
1
3
−
1
4
1
3
=
1
12
1
3
=
3
12
=
1
4
d) Pr (𝐵𝑐
/𝐴)
Pr (𝐵𝑐
/𝐴) =
𝑃𝑟(𝐵𝑐
∩ 𝐴)
𝑃𝑟(𝐴)
=
Pr(𝐴) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃𝑟(𝐴)
=
1
2
−
1
4
1
2
=
1
4
1
2
=
2
4
=
1
2
e) Pr (𝐴𝑐
/𝐵𝑐
)
Pr (𝐴𝑐
/𝐵𝑐
) =
𝑃𝑟(𝐴𝑐
∩ 𝐵𝑐)
Pr (𝐵𝑐)
=
1 − Pr (𝐴 ∪ 𝐵)
1 − Pr (𝐵)
=
1 − [Pr(𝐴) + Pr(𝐵) − Pr (𝐴 ∩ 𝐵)]
1 − Pr (𝐵)
=
1 − (
1
2
+
1
3
−
1
4
)
1 −
1
3
Pr (𝐴𝑐
/𝐵𝑐
) =
1 − (
6 + 4 − 3
12
)
3 − 1
3
=
1 −
7
12
2
3
=
5
12
2
3
=
5
8
f) Pr (𝐵𝑐
/𝐴𝑐
)
Pr (𝐵𝑐
/𝐴𝑐
) =
𝑃𝑟(𝐵𝑐
∩ 𝐴𝑐)
Pr (𝐴𝑐)
=
1 − Pr (𝐴 ∪ 𝐵)
1 − Pr (𝐴)
=
1 − [Pr(𝐴) + Pr(𝐵) − Pr (𝐴 ∩ 𝐵)]
1 − Pr (𝐴)
=
1 − (
1
2
+
1
3
−
1
4
)
1 −
1
2
Pr (𝐵𝑐
/𝐴𝑐
) =
1 − (
6 + 4 − 3
12
)
2 − 1
2
=
5
12
1
2
=
5
6

Estadística Politécnica de Madrid
Pág. 71: Ejercicios 1,2,3
Realizar las gráficas de las funciones de densidad en R
1. Dada la variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidad viene definida por
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑘𝑥, 𝑥 = 1,2, . . ,5
a) Calcular el valor de la constante k
Como lo valores de la variable aleatoria discreta son 1, 2, 3, 4, 5 con probabilidades x, 2x, 3x, 4x, 5x,
respectivamente. Como la suma de las probabilidades debe ser 1, se tiene
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 = 1
Entonces el valor de x es
15𝑥 = 1 → 𝑥 =
1
15
Entonces la función de densidad es
𝑓(𝑥) =
1
15
𝑥
Graficando la función de densidad f(x)
Código de R
# f(x)=(1/15)x
x= seq(1,5,0.01)
fx=(1/15)*x
x11()
par(mfrow=c(1,2))
plot(x,fx,type = "l", main = "Gráfica función de densidad f(x)=(1/15)x",

xlab = "valores de x",
ylab = "valores de f(x)",
col="blue")
b) Calcular 𝑃(𝑋 > 2)
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑘𝑥 → 𝑃(𝑋 = 𝑥) =
1
15
𝑥
𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2)
𝑃(𝑋 > 2) = 1 −
1
15
(1) −
1
15
(2) =
4
15
c) 𝐸(𝑋) y 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑥
𝑓(𝑥) =
1
15
𝑥
𝑥𝑓(𝑥) 𝑥2
𝑓(𝑥)
1 1
15
1
15
1
15
2 2
15
4
15
8
15
3 3
15
9
15
27
15
4 4
15
16
15
64
15
5 5
15
25
15
125
15
Total 1 11
3
15
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) =
11
3
𝑛
𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥2
𝑓(𝑥) = 15
𝑛
𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2
= 15 − (
11
3
)
2
=
14
9
= 1,5556
d) 𝐸(𝑌) Si 𝑌 = 2𝑋 + 5
𝐸(𝑌) = 2𝐸(𝑋) + 5 = 2 ∙
11
3
+ 5 =
22
3
+ 5 =
22 + 15
3
=
37
3
= 12,333
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 22
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4 ∙
14
9
=
56
9
= 6,222

2. Dada la variable aleatoria X, cuaya función de densidad es
𝑓(𝑥) = {
𝑘(1 − 𝑥2), 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
0, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
a) Obtener k
Para que sea una función de densidad debe cumplir
𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑦 ∫ 𝑓(𝑥) = 1
∞
−∞
Por lo tanto
∫ 𝑘(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 1 → 𝑘 (𝑥 −
𝑥3
3
)]
0
1
= 𝑘 (1 −
1
3
) = 1 → 𝑘 (
2
3
) = 1 → 𝑘 =
1
2
3
→ 𝑘 =
3
2
1
0
b) Dibujar la función de densidad
𝑓(𝑥) =
3
2
(1 − 𝑥2), 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
Código R
x= seq(0,1,0.01)
fx=(3/2)*(1-x^2)
x11()
par(mfrow=c(1,2))
plot(x,fx,type = "l", main = "Gráfica función de densidad f(x)=3/2(1-x^2)",
xlab = "valores de x",
ylab = "valores de f(x)",
col="blue")

c) Calcular la probabilidad 𝑃(𝑋 < 0,3)
𝑃(𝑋 < 0,3) = ∫
3
2
(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 =
3
2
(𝑥 −
𝑥3
3
)]
0
0,3
=
3
2
(0,3 −
0,027
3
) =
3
2
(0,291) = 0,4365
0,3
0
d) Obtener la media y la varianza de X
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙
3
2
(1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
∫(𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
(
𝑥2
2
−
𝑥4
4
)]
0
1
=
3
2
(
1
2
−
1
4
) =
3
2
(
1
4
) =
3
8
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2
𝐸(𝑋)2
= ∫ 𝑥2
∙
3
2
(1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
∫(𝑥2
− 𝑥4)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
(
𝑥3
3
−
𝑥5
5
)]
0
1
=
3
2
(
1
3
−
1
5
) =
3
2
(
2
15
) =
1
5
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2
=
1
5
− (
3
8
)
2
=
1
5
−
9
64
=
64 − 45
320
=
19
320
= 0,0594
e) Obtener la media y la varianza de la variable 𝑌 = 3𝑋 − 1
𝐸(𝑌) = 3𝐸(𝑋) − 1 = 3 ∙
3
8
− 1 =
9
8
− 1 =
9 − 8
8
=
1
8
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 32
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 9 ∙
19
320
=
171
320
= 0,5344
f) Obtener la media y la varianza de la variable 𝑍 = 3𝑋2
𝐸(𝑍) = 3E(𝑋2) = 3 ∙
1
5
=
3
5
𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 𝐸(𝑍2) − 𝐸(𝑍)2
= 𝐸((3𝑋2)2) − (
3
5
)
2
= 𝐸(9𝑋4) −
9
25
= 9𝐸(𝑋4) −
9
25
𝐸(𝑋4) = ∫ 𝑥4
∙
3
2
(1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
∫(𝑥4
− 𝑥6)𝑑𝑥
1
0
=
3
2
(
𝑥5
5
−
𝑥7
7
)]
0
1
=
3
2
(
1
5
−
1
7
) =
3
2
(
2
35
) =
3
35
𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 9𝐸(𝑋4) −
9
25
= 9 ∙
3
35
−
9
25
=
27
35
−
9
25
=
135 − 63
175
=
72
175
= 0,4114
3. Un modelo que habitualmente se utiliza para comprobar la correcta calificación de las armas es
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [−
𝑥2
2𝜎2
] , 𝑥 ≥ 0, 𝜎 ≥ 0
Donde la variable aleatoria X es la distancia del punto de impacto del proyectil al centro del blanco al que iba
dirigido y 𝜎 es el parámetro que mide la precisión. Si para una distancia determinada de disparo la precisión
del arma es 𝜎 = 10 𝑐𝑚

Código R
sigma=10
x= seq(0,30,0.01)
fx=(x/(sigma^2))*exp(-(x^2)/(2*sigma^2))
x11()
plot(x,fx,type='l',main="Gráfica función de densidad f(x)=(x/(sigma^2))*exp(-(x^2)/(2*sigma^2))",
xlab='Valores de x',
ylab='Valores de f(x)',
col='blue')
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un impacto esté a una distancia menor o igual a 5cm del centro?
𝑃(𝑋 ≤ 5) = ∫
𝑥
𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [−
𝑥2
2𝜎2
] 𝑑𝑥
5
0
Cambiando la variable
𝑢 =
𝑥2
2𝜎2
, 𝑑𝑢 = 2
𝑥
2𝜎2
=
𝑥
𝜎2
Los nuevos límites de integración son
0 𝑦 𝑢 =
𝑥2
2𝜎2
=
52
2 ∙ 102
=
1
8
Entonces
𝑃(𝑋 ≤ 5) = ∫
𝑥
𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [−
𝑥2
2𝜎2
]
5
0
= ∫ 𝑒−𝑢
𝑑𝑢
1
8
0
Cambio de variable
𝑣 = −𝑢 →
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= −1 → 𝑑𝑣 = −𝑑𝑢 → −𝑑𝑣 = 𝑑𝑢

𝑃(𝑋 ≤ 5) = ∫ 𝑒−𝑢
𝑑𝑢 = ∫ 𝑒𝑣(−𝑑𝑣) =
1
8
0
− ∫ 𝑒𝑣(𝑑𝑣) =
1
8
0
− 𝑒𝑣]0
1
8
1
8
0
Cambiando 𝑣 = −𝑢
𝑃(𝑋 ≤ 5) = ∫ 𝑒−𝑢
𝑑𝑢 = ∫ 𝑒𝑣(−𝑑𝑣) =
1
8
0
− ∫ 𝑒𝑣(𝑑𝑣) =
1
8
0
− 𝑒𝑣]0
1
8
1
8
0
= −𝑒−𝑢]0
1
8
= −𝑒−
1
8 − (−𝑒−0)
𝑃(𝑋 ≤ 5) = −𝑒−
1
8 + 𝑒−0
= −
1
𝑒
1
8
+
1
𝑒0
= −0,8825 +
1
1
= 0,1175
b) Calcular la función de distribución
𝐹(𝑋) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫
𝑡
𝜎2
𝑒
−
𝑡2
2𝜎2
𝑑𝑡
𝑥
0
𝑢 = −
𝑡2
2𝜎2
→
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −2
𝑡
2𝜎2
→
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −
𝑡
𝜎2
→ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
−
𝑡
𝜎2
→ 𝑑𝑡 = −
𝜎2
𝑑𝑢
𝑡
Reemplazando
𝐹(𝑋) = ∫
𝑡
𝜎2
𝑒
−
𝑡2
2𝜎2
𝑑𝑡
𝑥
0
= ∫
𝑡
𝜎2
𝑒𝑢
(−
𝜎2
𝑑𝑢
𝑡
) = ∫
𝑡
𝜎2
𝑒𝑢
(−
𝜎2
𝑑𝑢
𝑡
) =
𝑥
0
𝑥
0
− ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 = −𝑒𝑢]0
𝑥
𝑥
0
Reemplazando 𝑢 = −
𝑡2
2𝜎2
𝐹(𝑋) = −𝑒
−
𝑡2
2𝜎2
]
0
𝑥
= −𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
− (−𝑒0) = −𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
+ 𝑒0
= −𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
+ 1 = 1 − 𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 10 proyectiles, ninguno haya impactado a una distancia menor de
5 cm del centro del blanco?
𝑃(𝐴𝑖) = 𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑒
−
𝑥2
2𝜎2
= 𝑒
−
52
2(10)2
= 𝑒−
25
200 = 𝑒−
1
8
La probabilidad de que los 10 disparos estén más allá de 5cm es
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … 𝐴10 = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2) … 𝑃(𝐴10) = (𝑒−
1
8)
10
= 𝑒−
10
8 = 0,2865
d) ¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar 10 proyectiles, todos hayan impactado a una distancia menor a 5
cm del centro del blanco?
𝑃(𝑋 ≤ 5) = 1 − 𝑒−
1
8
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … 𝐴10 = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2) … 𝑃(𝐴10) = (1 − 𝑒−
1
8)
10
= (0,1175030974)10
= 5,0176 𝑥 10−10
5,0176 𝑥 10−10
= 0,00000000050176

Pág. 130: Ejercicicios 11, 12 y 13
11. Una variable aleatoria X tiene distribución binomial Bin (4, 0.2). Calcule:
𝐵𝑖𝑛(4,0.2) = 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)
𝑛 = 4
𝑝 = 0,2
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,2 = 0,8
a) Pr (𝑋 = 2)
Pr(𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑛
𝑘
𝑝𝑘
𝑞𝑛−𝑘
Pr(𝑋 = 2) = 𝐶4
2
∙ 0,22
∙ 0,84−2
= 0,1536
b) Pr (𝑋 ≥ 2)
Pr(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1)
Pr(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝐶4
0
∙ 0,20
∙ 0,84−0
− 𝐶4
1
∙ 0,21
∙ 0,84−1
= 1 − 0,4096 − 0,4096 = 0,1808
c) Pr (𝑋 ≤ 2)
Pr(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)
Pr(𝑋 ≤ 2) = 𝐶4
0
∙ 0,20
∙ 0,84−0
+ 𝐶4
1
∙ 0,21
∙ 0,84−1
+ 𝐶4
2
∙ 0,22
∙ 0,84−2
= 0,4096 + 0,4096 + 0,1536
Pr(𝑋 ≤ 2) = 0,9728
d) 𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝
𝐸(𝑋) = 4 ∙ 0,2 = 0,8
e) 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 = 4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,64
12. Una máquina llena las cajas de palillos de fósforo. En una proporción del 10% la máquina no llena las
cajas por completo. Se toman al azar 25 cajas de fósforos, calcule la probabilidad de que no haya más de dos
cajas incompletas.
𝑘
𝑝𝑘
𝑞𝑛−𝑘
Pr(𝑋 ≤ 2) = Pr(𝑋 = 0) + Pr(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)
Pr(𝑋 ≤ 2) = 𝐶25
0
∙ 0,10
∙ 0,925−0
+ 𝐶25
1
∙ 0,11
∙ 0,925−1
+ 𝐶25
2
∙ 0,12
∙ 0,925−2
Pr(𝑋 ≤ 2) = 𝐶25
0
∙ 0,10
∙ 0,925−0
+ 𝐶25
1
∙ 0,11
∙ 0,925−1
+ 𝐶25
2
∙ 0,12
∙ 0,925−2
Pr(𝑋 ≤ 2) = 0,07179 + 0,19942 + 0,26589 = 0,5371

13. Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Si se
eligen seis personas al azar, se desea saber:
a) La probabilidad de que las seis personas sean desfavorables
𝑘
𝑝𝑘
𝑞𝑛−𝑘
Pr(𝑋 = 6) = 𝐶6
6
∙ 0,86
∙ 0,26−6
= 0,26214
a) La probabilidad de que las cuatro de las seis personas sean favorables
Pr(𝑋 = 4) = 𝐶6
4
∙ 0,24
∙ 0,86−4
= 0,01536
Pág. 133: Ejercicicios 35, 36 y 37
35. Sea Y una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de media 𝜆 = 2, Calcule:
Para 𝑋~𝒫(𝜆)
Pr(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆
𝜆𝑘
𝑘!
, 𝑘 = 0,1,2, ….
Con el tiempo t
Pr(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑘
𝑘!
, 𝑘 = 0,1,2, ….
a) Pr (𝑌 = 4)
Pr(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆
𝜆𝑘
𝑘!
Pr(𝑌 = 4) =
𝑒−2
∙ 24
4!
= 0,09022
b) Pr(𝑌 ≤ 4)
Pr(𝑌 ≤ 4) = 𝑃(𝑌 = 0) + 𝑃(𝑌 = 1) + 𝑃(𝑌 = 2) + 𝑃(𝑌 = 3) + 𝑃(𝑌 = 4)
Pr(𝑌 ≤ 4) =
𝑒−2
∙ 20
0!
+
𝑒−2
∙ 21
1!
+
𝑒−2
∙ 22
2!
+
𝑒−2
∙ 23
3!
+
𝑒−2
∙ 24
4!
Pr(𝑌 ≤ 4) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 = 0,9473
c) Pr(𝑌 > 4)
Pr(𝑌 > 4) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 − 09473 = 0,0527
d) Pr (𝑌 ≥ 4|𝑌 ≥ 2)
𝑌 ≥ 4 = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 3) = 1 − 𝑃(𝑌 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2) − 𝑃(𝑋 = 3)
𝑌 ≥ 4 = 1 − 0,1353 − 0,2707 − 0,2707 − 0,1804 = 1 − 0,8571 = 0,1429
𝑌 ≥ 2 = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 1) = 1 − 𝑃(𝑌 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1)
𝑌 ≥ 2 = 1 − 0,1353 − 0,2707 = 1 − 0,4060 = 0,5940
Pr(𝑌 ≥ 4|𝑌 ≥ 2) =
0,1429
0,5940
= 0,2405

36. El promedio de llamadas que recibe una central telefónica en un minuto es de 1,5. Halle la probabilidad
de que en cuatro minutos se reciban:
Pr(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑘
𝑘!
, 𝑘 = 0,1,2, ….
a) 3 llamadas
Pr(𝑋 = 3) =
𝑒−1,5∙4𝑡(1,5 ∙ 4)3
3!
= 0,089235
b) menos de 3 llamadas
Pr(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)
Pr(𝑋 < 3) =
𝑒−1,5∙4𝑡(1,5 ∙ 4)0
0!
+
𝑒−1,5∙4𝑡(1,5 ∙ 4)1
1!
+
𝑒−1,5∙4𝑡(1,5 ∙ 4)2
2!
Pr(𝑋 < 3) = 0,002479 + 0,014873 + 0,044618 = 0,061969
c) no menos de cuatro y no más siete
Pr(4 ≤ 𝑋 ≤ 7) = 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7)
Pr(4 ≤ 𝑋 ≤ 7) = 0,133853 + 0,160623 + 0,160623 + 0,137677 = 0,592776
37. Suponga que el número de pacientes que ingresan a la sala de emergencia de un hospital en la noche del
viernes tiene una distribución de Poisson con media igual a 4. Evalué las probabilidades de que:
a) durante una noche haya exactamente 2 pacientes en la sala de emergencia
Pr(𝑋 = 𝑘) =
𝑒−𝜆
𝜆𝑘
𝑘!
Pr(𝑋 = 2) =
𝑒−4
42
2!
= 0,146525
b) durante la noche hayan más de 3 personas
Pr(𝑋 > 3) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2) − 𝑃(𝑋 = 3)
Pr(𝑋 > 3) = 1 − 0,018316 − 0,073263 − 0,146525 − 0,195367 = 1 − 0,433470 = 0,566530
1. Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme sobre [−3,1]. Calcule
a) Pr (𝑋 = 0)
Para estimar la función de densidad se sabe que 𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [−3,1]
Se tienen los límites 𝑎 = −3, 𝑏 = 1, por lo que
𝑓(𝑥) =
1
𝑏 − 𝑎
=
1
1 − (−3)
=
1
1 + 3
=
1
4
, 𝑒𝑛 [−3,1]

La función de densidad queda así
𝑓(𝑥) = {
1
4
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−3,1]
0, 𝑥 ∉ [−3,1]
Pr(𝑋 = 0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
1
4
𝑑𝑥 =
0
0
0
0
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]0
0
=
1
4
(0 − 0) =
1
4
(0) = 0
0
0
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 0) =
0 − 0
1 − (−3)
=
0
1 + 3
=
0
4
= 0
b) Pr (𝑋 < 0)
Pr(𝑋 < 0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= ∫
1
4
𝑑𝑥 =
0
−3
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]−3
0
=
1
4
(0 − (−3)) =
1
4
(3) =
3
4
= 0,75
0
−3
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ 0) =
0 − (−3)
1 − (−3)
=
3
1 + 3
=
3
4
= 0,75
c) Pr (|𝑋| < 1)
Aplicando la propiedad
|𝑥| < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
Pr(|𝑋| < 1) = Pr(−1 < 𝑌 < 1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= ∫
1
4
𝑑𝑥 =
1
−1
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]−1
1
1
−1
=
1
4
(1 − (−1))
Pr(|𝑋| < 1) =
1
4
(2) =
2
4
=
1
2
= 0,5
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 1) =
1 − (−1)
1 − (−3)
=
2
1 + 3
=
2
4
=
1
2
= 0,5
d) Pr (|𝑋| > 0,5)
Se aplica
|𝑥| > 𝑏 ⇔ 𝑥 > 𝑏 ∨ 𝑥 < −𝑏
Pr(|𝑋| > 0,5) = Pr (𝑋 > 0,5) ∨ Pr (𝑋 < −0,5)
Pr(𝑋 > 0,5) = ∫
1
4
𝑑𝑥 =
1
0,5
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]0,5
1
1
0,5
=
1
4
(1 − 0,5) =
1
4
(0,5) =
1
8
= 0,125

Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(0,5 ≤ 𝑋 ≤ 1) =
1 − (0,5)
1 − (−3)
=
0,5
1 + 3
=
0,5
4
= 0,125
Pr(𝑋 < −0,5) = ∫
1
4
𝑑𝑥 =
−0,5
−3
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]−3
−0,5
−0,5
−3
=
1
4
(−0,5 − (−3)) =
1
4
(2,5) =
5
8
= 0,625
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ −0,5) =
−0,5 − (−3)
1 − (−3)
=
2,5
1 + 3
=
2,5
4
= 0,625
Pr(|𝑋| > 0,5) = Pr(𝑋 > 0,5) ∨ Pr(𝑋 < −0,5) = 0,125 + 0,625 =
3
4
= 0,75
e) Halle un valor de t tal que 𝑃(𝑋 > 𝑡) =
1
3
1
3
= Pr(𝑋 > 𝑡) = ∫
1
4
𝑑𝑥 =
∞
𝑡
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
(𝑥)]𝑡
1
1
𝑡
=
1
4
(1 − 𝑡) =
1
4
−
𝑡
4
=
1 − 𝑡
4
1
3
=
1 − 𝑡
4
→ 4 ∙ 1 = 3(1 − 𝑡) → 4 = 3 − 3𝑡 → 3𝑡 = 3 − 4 → 3𝑡 = −1 → 𝑡 = −
1
3
2. Realice el ejercicio anterior considerando que 𝑋~𝒰[−3,2]
a) Pr (𝑋 = 0)
Para estimar la función de densidad se sabe que 𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [−3,2]
Se tienen los límites 𝑎 = −3, 𝑏 = 2, por lo que
𝑓(𝑥) =
1
𝑏 − 𝑎
=
1
2 − (−3)
=
1
2 + 3
=
1
5
, 𝑒𝑛 [−3,2]
La función de densidad queda así
𝑓(𝑥) = {
1
5
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−3,2]
0, 𝑥 ∉ [−3,2]
Pr(𝑋 = 0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
1
5
𝑑𝑥 =
0
0
0
0
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]0
0
=
1
5
(0 − 0) =
1
5
(0) = 0
0
0
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 0) =
0 − 0
2 − (−3)
=
0
2 + 3
=
0
5
= 0

b) Pr (𝑋 < 0)
Pr(𝑋 < 0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= ∫
1
5
𝑑𝑥 =
0
−3
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]−3
0
=
1
5
(0 − (−3)) =
1
5
(3) =
3
5
= 0,6
0
−3
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ 0) =
0 − (−3)
2 − (−3)
=
3
2 + 3
=
3
5
= 0,6
c) Pr (|𝑋| < 1)
|𝑥| < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
Pr(|𝑋| < 1) = Pr(−1 < 𝑋 < 1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= ∫
1
5
𝑑𝑥 =
1
−1
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]−1
1
1
−1
=
1
5
(1 − (−1))
Pr(|𝑋| < 1) =
1
5
(2) =
2
5
= 0,4
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 1) =
1 − (−1)
2 − (−3)
=
2
2 + 3
=
2
5
= 0,4
d) Pr (|𝑋| > 0,5)
Se aplica
|𝑥| > 𝑏 ⇔ 𝑥 > 𝑏 ∨ 𝑥 < −𝑏
Pr(|𝑋| > 0,5) = Pr (𝑋 > 0,5) ∨ Pr (𝑋 < −0,5)
Pr(𝑍 > 0,5) = ∫
1
5
𝑑𝑥 =
2
0,5
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]0,5
2
2
0,5
=
1
5
(2 − 0,5) =
1
5
(1,5) =
3
10
= 0,3
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎
𝑃(0,5 ≤ 𝑋 ≤ 2) =
2 − (0,5)
2 − (−3)
=
1,5
2 + 3
=
1,5
5
= 0,3
Pr(𝑋 < −0,5) = ∫
1
5
𝑑𝑥 =
−0,5
−3
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]−3
−0,5
−0,5
−3
=
1
5
(−0,5 − (−3)) =
1
5
(2,5) =
1
2
= 0,5
Otra forma:
𝑃(𝑋1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋2) =
𝑋2 − 𝑋1
𝑏 − 𝑎

𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ −0,5) =
−0,5 − (−3)
2 − (−3)
=
2,5
2 + 3
=
2,5
5
=
1
2
= 0,5
Pr(|𝑋| > 0,5) = Pr(𝑋 > 0,5) ∨ Pr(𝑋 < −0,5) = 0,3 + 0,5 = 0,8
e) Halle un valor de t tal que 𝑃(𝑋 > 𝑡) =
1
3
1
3
= Pr(𝑋 > 𝑡) = ∫
1
5
𝑑𝑥 =
∞
𝑡
1
5
∫ 𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥)]𝑡
2
2
𝑡
=
1
5
(2 − 𝑡) =
2
5
−
𝑡
5
=
2 − 𝑡
5
1
3
=
2 − 𝑡
5
→ 5 ∙ 1 = 3(2 − 𝑡) → 5 = 6 − 3𝑡 → 3𝑡 = 6 − 5 → 3𝑡 = 1 → 𝑡 =
1
3
3. Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya
detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto
Considerando que 𝑋~𝒰[0,60]
𝑃(𝑋 ≤ 25) = 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 25)
𝑃(𝑋 ≤ 25) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= ∫
1
60 − 0
𝑑𝑥 =
25
0
1
60
∫ 𝑑𝑥 =
1
60
(𝑥)]0
25
25
0
=
1
60
(25 − 0) =
25
60
=
5
12
Pág. 146-147: Ejercicicios 11, 12, 1 3
11. Escriba las funciones de densidad y distribución y los valores de la esperanza y la varianza para las
variables aleatorias que siguen una ley exponencial:
a) ℰ(6)
Una variable aleatoria continua X sigue una ley de distribución exponencial de parámetro 𝜆 si
su función de densidad es
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝜆𝑒−𝜆𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
La función de distribución es
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 − 𝜆𝑒−𝜆𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Su notación es
𝑋~ℰ(𝜆)
Función de densidad para 𝑋~ℰ(6)
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
6𝑒−6𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Función de distribución para 𝑋~ℰ(6)
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 − 6𝑒−6𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Esperanza

𝐸(𝑋) =
1
𝜆
=
1
6
Varianza
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝜆2
=
1
62
=
1
36
b) ℰ(3)
Función de densidad
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
3𝑒−3𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Función de distribución
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 − 3𝑒−3𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Esperanza
𝐸(𝑋) =
1
𝜆
=
1
3
Varianza
1
𝜆2
=
1
32
=
1
9
c) ℰ(0.5) = ℰ (
1
2
)
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1
2
𝑒−
1
2
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 −
1
2
𝑒−
1
2
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Esperanza
𝐸(𝑋) =
1
𝜆
=
1
1
2
= 2
Varianza
1
𝜆2
=
1
(
1
2
)
2 =
1
1
4
= 4
d) ℰ(0.25) = ℰ(
1
4
)

𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1
4
𝑒−
1
4
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 −
1
4
𝑒−
1
4
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Esperanza
𝐸(𝑋) =
1
𝜆
=
1
1
4
= 4
Varianza
1
𝜆2
=
1
(
1
4
)
2 =
1
1
16
= 16
12. Se prueban dos elementos que trabajan independietemente. El tiempo de trabajo del primer elemento tiene
distribución ℰ(0.02) y el segundo elemento ℰ(0.05). Halle la probabilidad de que en el tiempo de duración
de 𝑡 = 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠:
𝑃𝑟1(𝑋 ≤ 6) = 1 − 𝑒−0.02(6)
= 0,1131
𝑃𝑟2(𝑋 ≤ 6) = 1 − 𝑒−0.05(6)
= 0,2592
a) ambos elementos fallen
0,1131 ∙ 0,2592 = 0,0293 = 0,03
b) ambos elementos no fallen
(1 − 0,1131)(1 − 0,2592) = 0,657 = 0,66
c) solo falle un elemento
1 − 0,03 − 0,66 = 0,31
d) falle por lo menos un elemento
1 − 0,66 = 0,34
13. La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas de larga distancia desde Quito es una variable
aleatoria con densidad
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0
𝑐𝑒−
𝑡
3, 𝑠𝑖 𝑡 > 0
Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada dure:
Se sabe que
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
Entonces

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 →
∞
−∞
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 → 0 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 → ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 →
∞
0
∞
0
∞
0
0
−∞
∫ 𝑐𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 = 1 →
∞
0
𝑐 ∫ 𝑒−
1
3
𝑡
𝑑𝑡 = 1
∞
0
𝑢 = −
1
3
𝑡 →
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −
1
3
→ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
−
1
3
→ 𝑑𝑡 = −3𝑑𝑢
1
3
𝑡 ; 𝑑𝑡 = −3𝑑𝑢
𝑐 ∫ 𝑒−
1
3
𝑡
𝑑𝑡 = 1 → 𝑐 ∫ 𝑒𝑢(−3𝑑𝑢) = 1
∞
0
∞
0
→ −3𝑐 ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 = 1
∞
0
→ −3𝑐(𝑒𝑢)]0
∞
= 1
1
3
𝑡
−3𝑐(𝑒𝑢)]0
∞
= 1 → −3𝑐 (𝑒−
1
3
𝑡
)]
0
∞
= 1 → (𝑒−
1
3
𝑡
)]
0
∞
=
1
−3𝑐
→ 𝑒−
1
3
∙∞
− 𝑒−
1
3
∙0
=
1
−3𝑐
𝑒−
∞
3 − 𝑒−
0
3
∙
=
1
−3𝑐
→ 𝑒− ∞
− 𝑒− 0∙
=
1
−3𝑐
→
1
𝑒 ∞
−
1
𝑒 0∙
=
1
−3𝑐
→
1
∞
−
1
1
=
1
−3𝑐
→ 0 −
1
1
=
1
−3𝑐
−
1
1
=
1
−3𝑐
→ −1 =
1
−3𝑐
→ 3𝑐 = 1 → 𝑐 =
1
3
Entonces se tiende
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0
𝑐𝑒−
𝑡
3, 𝑠𝑖 𝑡 > 0
→ 𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0
1
3
𝑒−
𝑡
3, 𝑠𝑖 𝑡 > 0
a) menos de 3 minutos
𝑃(𝑡 ≤ 3) = 𝑃(0 ≤ 𝑡 ≤ 3) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
3
0
= ∫
1
3
𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
3
0
3
0
Cambio de variable
𝑢 = −
𝑡
3
→ 𝑢 = −
1
3
𝑡 →
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −
1
3
→ 3𝑑𝑢 = −𝑑𝑡 → −3𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
Reemplazando
𝑃(𝑡 ≤ 3) =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
3
0
=
1
3
∫ 𝑒𝑢(−3𝑑𝑢) =
−3
3
∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
3
0
3
0
− 1 ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
3
0
− 1(𝑒𝑢)]0
3
= −1 (𝑒−
𝑡
3)]
0
3
𝑃(𝑡 ≤ 3) = −1 (𝑒−
3
3 − 𝑒−
0
3) = −1(𝑒−1
− 𝑒−0) = −𝑒−1
+ 𝑒−0
= 𝑒−0
−𝑒−1
=
1
𝑒0
−
1
𝑒1
=
1
1
−
1
𝑒
= 0,6321
Otra forma
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆∙𝑡
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − 𝑒−
𝑡
3 = 1 − 𝑒−
3
3 = 1 − 𝑒−1
= 1 −
1
𝑒
= 0,6321
b) más de 6 minutos
𝑃(𝑡 > 6) = 𝑃(6 ≤ 𝑡 ≤ ∞) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
6
= ∫
1
3
𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
∞
6
∞
6

Cambio de variable
𝑢 = −
𝑡
3
→ 𝑢 = −
1
3
𝑡 →
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −
1
3
→ 3𝑑𝑢 = −𝑑𝑡 → −3𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
Reemplazando
𝑃(𝑡 > 6) =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
∞
6
=
1
3
∫ 𝑒𝑢(−3𝑑𝑢) =
−3
3
∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
∞
6
∞
6
− 1 ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
∞
6
− 1(𝑒𝑢)]6
∞
= −1 (𝑒−
𝑡
3)]
6
∞
𝑃(𝑡 > 6) = −1 (𝑒−
∞
3 − 𝑒−
6
3) = −1(𝑒−∞
− 𝑒−2) = −𝑒−∞
+ 𝑒−2
= 𝑒−2
−𝑒−∞
=
1
𝑒2
−
1
𝑒∞
=
1
𝑒2
−
1
∞
𝑃(𝑡 > 6) =
1
𝑒2
− 0 =
1
𝑒2
= 0,1353
Otra forma
𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒−𝜆∙𝑡
𝑃(𝑡 > 6) = 𝑒−
𝑡
3 = 𝑒−
6
3 = 𝑒−2
=
1
𝑒2
= 0,1353
c) entre 3 y 6 minutos
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
6
3
= ∫
1
3
𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
6
3
6
3
Cambio de variable
𝑢 = −
𝑡
3
→ 𝑢 = −
1
3
𝑡 →
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −
1
3
→ 3𝑑𝑢 = −𝑑𝑡 → −3𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
Reemplazando
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) =
1
3
∫ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡
6
3
=
1
3
∫ 𝑒𝑢(−3𝑑𝑢) =
−3
3
∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
6
3
6
3
− 1 ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 =
6
3
− 1(𝑒𝑢)]3
6
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) = −1 (𝑒−
𝑡
3)]
3
6
− 1 (𝑒−
6
3 − 𝑒−
3
3) = −1(𝑒−2
− 𝑒−1) = −𝑒−2
+ 𝑒−1
= 𝑒−1
−𝑒−2
=
1
𝑒1
−
1
𝑒2
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) =
1
𝑒
−
1
𝑒2
=
𝑒 − 1
𝑒2
= 0,2325
Otra forma
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆∙𝑡
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) = 𝐹(6) − 𝐹(3)
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) = 1 − 𝑒−
𝑡
3 − (1 − 𝑒−
𝑡
3) = 1 − 𝑒−
6
3 − (1 − 𝑒−
3
3)
𝑃(3 ≤ 𝑡 ≤ 6) = 1 − 𝑒−2
− 1 + 𝑒−1
= 𝑒−1
−𝑒−2
=
1
𝑒1
−
1
𝑒2
=
1
𝑒
−
1
𝑒2
=
𝑒 − 1
𝑒2
= 0,2325
d) Calcule la esperanza de la variable aleatoria e interprete su significado
𝐸(𝑇) = ∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 +
0
−∞
∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 + ∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
∞
0
∞
0
∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
𝐸(𝑇) = ∫ 𝑡 ∙
1
3
𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑡 ∙ 𝑒−
𝑡
3𝑑𝑡 =
1
3
∞
0
∞
0
[−3𝑒−
𝑡
3(𝑡 + 3)]]
0
∞
= [−𝑒−
𝑡
3(𝑡 + 3)]]
0
∞

𝐸(𝑇) = −𝑡𝑒−
𝑡
3 −3𝑒−
𝑡
3]
0
∞
= −𝑡𝑒−
∞
3 − 3𝑒−
∞
3 − (−𝑡𝑒−
0
3 − 3𝑒−
0
3) = −𝑡𝑒− ∞
− 3𝑒− ∞
− (−𝑡𝑒− 0
− 3𝑒− 0)
𝐸(𝑇) = −𝑡
1
𝑒∞
− 3
1
𝑒∞
− (−𝑡
1
𝑒0
− 3
1
𝑒0
) = −𝑡
1
∞
− 3
1
∞
− (−𝑡
1
1
− 3
1
1
) == −𝑡 ∙ 0 − 3 ∙ 0 − (−𝑡 − 3)
𝐸(𝑇) = −0 − 0 + 𝑡 + 3
𝐸(𝑇) = −0 − 0 + 0 + 3
𝐸(𝑇) = 3
Otra forma
1 − 𝑒−𝜆∙𝑡
= 1 − 𝑒−
𝑡
3
𝑒−𝜆∙𝑡
= 𝑒−
𝑡
3
−𝜆 ∙ 𝑡 = −
𝑡
3
→ 𝜆 ∙ 𝑡 =
𝑡
3
→ 3𝜆 ∙ 𝑡 = 𝑡 → 3𝜆 = 1 → 𝜆 =
1
3
Esperanza
𝐸(𝑋) =
1
𝜆
𝐸(𝑇) =
1
𝜆
=
1
1
3
= 3
La esperanza es la media o valor más probable de ocurrir
e) Si el costo del minuto de las llamadas telefónicas es de 40 centavos, ¿cuánto esperaría un usuario pagar por
una llamada?
𝐸(𝑇) = 3𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 3𝑚𝑖𝑛 ∙
40 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 120 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠
21) Se tiene una variable aleatoria Y con media 5 y varianza 16
a) Determine su función de densidad
La función de densidad es:
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋 𝜎
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
Donde:
𝜎 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟
𝜎2
= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
𝜋 = 3,141592654 … . . 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑒 = 2,7182818 … … 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎
x = valor en el eje horizontal
𝑓(𝑥) = altura de la curva para cualquier valor de x

𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
Datos:
𝜇 = 5; 𝜎2
= 16; 𝜎 = √16 = 4
Reemplazando valores en la función de densidad se obtiene
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋 𝜎
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
⟹ 𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋 4
𝑒−
(𝑥−5)2
2∙16 ⟹ 𝑓(𝑥) =
1
4√2𝜋
𝑒−
(𝑥−5)2
32
b) Halle las probabilidades: Pr(𝑌 < 6) , Pr(𝑌 > 4) 𝑦 Pr (|𝑌| < 3)
Se aplica la función de distribución de la ley normal estándar
𝐹(𝑥) = Φ (
𝑥 − 𝜇
𝜎
)
Pr(𝑌 < 6) = 𝐹(6) = Φ (
6 − 5
4
) = Φ (
1
4
) = Φ(0,25)
Pr(𝑌 < 6) =0,5987
Pr(𝑌 > 4) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 4) = 1 − 𝐹(4) = 1 − Φ (
4 − 5
4
) = 1 − Φ (−
1
4
) = 1 − Φ(−0,25)
Pr(𝑌 > 4) = 1 − 0,4013 = 0,5987

Pr (|𝑌| < 3)
|𝑥| < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
Pr(|𝑌| < 3) = Pr(−3 < 𝑌 < 3) = 𝐹(3) − 𝐹(−3) = Φ (
3 − 5
4
) − Φ (
−3 − 5
4
)
Pr(|𝑌| < 3) = Φ(−0,5) − Φ(−2) = 0,3085 − 0,0228 = 0,2858
22) Una variable aleatoria Z está distribuida normalmente, 𝑍~𝒩(1,16). Calcule
a) Pr(𝑍 < 0)
Como 𝒩(1,16) es igual a 𝒩(𝜇, 𝜎2
) se tiene que
𝜇 = 1; 𝜎 = 4
Se aplica la función de distribución de la ley normal estándar
𝐹(𝑥) = Φ (
𝑥 − 𝜇
𝜎
)
Pr(𝑍 < 0) = 𝐹(0) = Φ (
0 − 1
4
) = Φ (−
1
4
) = Φ(−0,25)
Pr(𝑍 < 0) =0,4013

b) Pr(𝑍 ≥ 3)
Pr(𝑍 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3) = 1 − 𝐹(3) = 1 − Φ (
3 − 1
4
) = 1 − Φ (
1
2
) = 1 − Φ(0,5)
Pr(𝑌 > 4) = 1 − 0,6915 = 0,3085
c) Pr(|𝑍| < 3)
|𝑥| < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
Pr(|𝑍| < 3) = Pr(−3 < 𝑍 < 3) = 𝐹(3) − 𝐹(−3) = Φ (
3 − 1
4
) − Φ (
−3 − 1
4
)
Pr(|𝑍| < 3) = Φ(0,5) − Φ(−1) = 0,6915 − 0,1587 = 0.5328

d) Pr(|𝑍| > 2)
Se aplica
|𝑥| > 𝑏 ⇔ 𝑥 > 𝑏 ∨ 𝑥 < −𝑏
Pr(|𝑍| > 2) = Pr (𝑍 > 2) ∨ Pr (𝑍 < −2)
Pr(𝑍 > 2) = 1 − 𝑃(𝑍 < 2) = 1 − 𝐹(2) = 1 − Φ (
2 − 1
4
) = 1 − Φ (
1
4
) = 1 − Φ(0,25)
Pr(𝑍 > 2) = 1 − 0,5987 = 0,4013
Pr(𝑍 < −2) = 𝐹(−2) = Φ (
−2 − 1
4
) = Φ (−
3
4
) = Φ(−0,75)
Pr(𝑍 < −2) =0,2266
Pr(|𝑍| > 2) = Pr(𝑍 > 2) ∨ Pr(𝑍 < −2) = 0,4013 + 0,2266 = 0,6279
23) Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los fumadores, de 5 dólares diarios por término medio, y la
desviación estándar es de 0,8 dólares. Suponiendo que el gasto sigue una distribución normal, ¿qué proporción
de los fumadores gastan entre 4 y 6,2 dólares diarios?
Pr(4 ≤ 𝑍 ≤ 6.2) = 𝐹(6.2) − 𝐹(4) = Φ (
6.2 − 5
0.8
) − Φ (
4 − 5
0.8
)
Pr(4 ≤ 𝑍 ≤ 6.2) = Φ(1,5) − Φ(−1.25) = 0,9332 − 0,1056 = 0.8275 = 82,75%

Ejercicios resueltos de probabilidad y estadística

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Ejercicios resueltos de probabilidad y estadística

Similar a Ejercicios resueltos de probabilidad y estadística (20)

Más de Mario Suárez

Más de Mario Suárez (20)

Último

Último (20)

Ejercicios resueltos de probabilidad y estadística