El documento describe el marco conceptual y metodológico del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA) de la OCDE en relación con las competencias matemáticas. PISA evalúa la "alfabetización matemática" de los estudiantes, es decir, su capacidad para utilizar conceptos y procedimientos matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana. El enfoque de PISA se centra en los procesos de resolución de problemas y modelización más que en los contenidos curriculares.

1. Las competencias matemáticas en el informe PISA 2003: el caso de la geometría Luis Rico 24 de julio de 2006 II ESCUELA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA MIGUEL DE GUZMÁN “ En torno a la geometría de Miguel de Guzmán”.

2. El Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA) es un programa cooperativo, de car ácter cíclico, con un sistema internacional de control y gestión desarrollado por la OCDE . The OCDE P rogramme for I nternational S tudent A ssessment PISA 2003 Desde 1997 la OCDE se propone estudiar el rendimiento de los sistemas educativos mediante nuevos indicadores de desarrollo y de bienestar. El capital social en educaci ó n lo constituyen los conocimientos, destrezas, competencias y otros rasgos individuales de sus ciudadanos, que son relevantes para el bienestar personal, social y econ ó mico. La educaci ón muestra el desarrollo de una sociedad

3. La información procede de los resultados obtenidos en pruebas estandarizadas de papel y lápiz, que proporcionan los estudiantes de 15 años . Las pruebas son comunes, siguen procedimientos de aplicación comunes y se llevan a cabo por evaluadores externos. Se propone establecer en qué medida los jóvenes de 15 años al fin de la escolaridad obligatoria están preparados para satisfacer los desafíos de las sociedades de hoy . El programa PISA permite generar indicadores del capital y de los logros en educación y se lleva a cabo mediante una evaluación internacional .

4. La evaluación PISA permite obtener indicadores sobre alfabetización de los escolares en términos de los conocimientos y destrezas necesarios para la vida adulta. Las evaluaciones se llevan a cabo cada tres años. Ofrecen a los responsables de la política educativa de los países participantes información relevante . Dan seguimiento a los resultados de los estudiantes a lo largo del tiempo . Eval ú an las fortalezas y debilidades de sus propios sistemas. Establecen la relación con los resultados de otros países .

5. La evaluación se orienta a valorar el rendimiento acumulado de los sistemas educativos; pone su foco en la alfabetización o formación básica en los dominios cognitivos de lectura, matemáticas y ciencias. La finalidad de la evaluación PISA/OCDE consiste en establecer indicadores que expresen el desarrollo de una sociedad al considerar el modo en que los sistemas educativos preparan a los estudiantes de 15 años para desempeñar un papel como ciudadanos activos .

6. Algunos datos de PISA 2003: Han participado 273. 566 alumnos de 42 pa íses Entre 5.000 y 10.000 alumnos por p aís de, al menos, 150 centros diferentes En España participaron 10.791 estudiantes, de un total de 418.005 alumnos escolarizados de 15 años de edad. Castilla y Le ón, Cataluña y País Vasco incrementaron su muestra, con el fin de hacer un estudio diferenciado.

7. Pa íses participantes:

9. Definici ón de las areas de conocimiento:

10. Cuatro puntos fundamentales del marco para matem áticas 1. Dominio que se evalúa: Alfabetización Matemática de los estudiantes (no el currículum). 2. Componentes que establecen el dominio: Contenido, Contexto, Competencias. 3. Variables y Niveles de complejidad en los instrumentos. 4. Estudio emp írico : a nálisis y escalamiento de las competencias en seis niveles.

11. I Definición del Dominio El dominio sobre matem áticas que se estudia en el proyecto PISA 2003 se conoce como Alfabetización Matemática ( Mathematical Literacy), tambi én como Competencia Matem ática. Este dominio se refiere a la capacidades de los estudiantes para: analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones.

12. Para el estudio OCDE/PISA: Alfabetización o Competencia Matemática es la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades para su vida individual como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo . Hay una apuesta considerable por entender las matem áticas como un proceso que proporciona respuestas a problemas. La concepción de las matemáticas considera que éstas consisten en tareas de encontrar ( problemata ), no en tareas de probar ( teoremata )

13. En sus relaciones con el mundo real los ciudadanos se enfrentan regularmente a situaciones matem áticas cuando compran, viajan, cocinan, gestionan sus finanzas y juzgan cuestiones. En estas y muchas otras ocasiones usan el razonamiento cuantitativo o espacial y muestran su competencia matemática para clarificar, formular y resolver problemas. La competencia en matemáticas se considera parte principal de la preparación educativa, puesto que ideas y conceptos matem áticos son herramientas para actuar sobre la realidad. Por ello, la evaluación en matemáticas se centra sobre estas competencias como un componente esencial del programa PISA. La competencia matem ática se muestra siempre por su ejercicio en contexto.

14. El término “ alfabetización ” se ha elegido para subrayar que el conocimiento matemático y las destrezas, tal como están definidos en el currículo tradicional de matemáticas, no constituyen el foco principal de atención. Por supuesto, para que este uso sea posible y viable, son necesarios una buena cantidad de instrumentos matemáticos básicos y de destrezas; tales conocimientos y destrezas forman parte de esta definición de alfabetización. Por el contrario, el énfasis en el proyecto PISA se pone en el conocimiento matemático puesto en funcionamiento en una multitud de contextos diferentes, por medios reflexivos, variados y basados en la intuición personal .

15. Para ayudarnos a entender PISA vamos a considerar el marco curricular que sustenta el estudio. La pregunta ¿Por qué enseñamos matemáticas? hace referencia al objetivo del estudio, a su finalidad. El estudio PISA sostiene que el fin prioritario de la enseñanza de las matem át icas consiste en desarrollar la competencia matem át ica de los escolares, su alfabetizaci ón . El Marco Matem ático toma posición y da respuesta a los interrogantes básicos de cualquier plan de formación: ¿Por qué enseñar matemáticas? ¿Qué matemática enseñar? ¿Cómo enseñar matemáticas?

16. El objetivo general del estudio PISA 2003 consiste en determinar cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana y no sólo, ni principalmente, en conocer cuáles contenidos del currículo han aprendido. Alfabetización o competencia matemática se refiere a las capacidades de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. Un buen nivel en el desempeño de estas capacidades muestra que un estudiante está matemáticamente alfabetizado o letrado. Atreverse a pensar con ideas matemáticas es la descripción de un ciudadano matemáticamente ilustrado. El informe lo reitera en diversos momentos y de diversos modos:

17. PISA destaca las ideas y conceptos matem á ticos como herramientas, susceptibles de una pluralidad de significados, seg ún el contexto de uso y seg ún su modo de representaci ón Los conocimientos y destrezas evaluados no proceden del n úc leo com ún de los curr íc ulos nacionales, prioritariamente, sino de aquello que los expertos juzgan esencial para la vida adulta. PISA proporciona tambi én respuesta a la cuesti ón ¿Qu é matem át icas ense ñar ?

18. Modelo funcional La consideraci ón de las matemáticas como “modo de hacer” y la noción de alfabetización responden a un modelo funcional sobre aprendizaje de las matemáticas. Este modelo postula: unas tareas, unas herramientas conceptuales, un sujeto. Cuando el sujeto tratar de abordar las tareas mediante las herramientas disponibles, moviliza y pone de manifiesto su competencia en la ejecución de los procesos correspondientes

19. La cuesti ó n ¿C ó mo enseñar matem á ticas? se aborda atendiendo a que las tareas propuestas se fundamentan en los procesos de modelizaci ó n y resoluci ó n de problemas, presentados bajo el ep í grafe com ú n de matematizaci ó n. El marco matemático del estudio PISA se sostiene en la creencia de que aprender a matematizar debe ser un objetivo básico para todos los estudiantes . Esto se refiere a la actividad de los matemáticos, que se puede caracterizar como compuesta por tres fases distintas. Actividad matem ática: actividad de matematización: resolución de problemas

20. La primera fase implica traducir problemas desde el mundo real al Matem ático, proceso que se denomina Matematización Horizontal Hacer matem áticas horizontalmente incluye actividades como: Identificar las matemáticas que pueden ser relevantes en un contexto general. Plantear interrogantes. Enunciar problemas. Representar un problema de un modo diferente. Comprender la relación entre el lenguaje natural, el lenguaje simbólico y el formal. Encontrar regularidades, relaciones y patrones. Reconocer isomorfismos con problemas ya conocidos. Traducir el problema a un modelo matemático. Utilizar herramientas y recursos adecuados.

21. Una vez traducido el problema a una expresión matemática el proceso puede continuar. El estudiante puede plantearse cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemáticas . Esta segunda fase del proceso se denomina Matematización Vertical . La matematizaci ón vertical incluye: Usar diferentes representaciones. Usar el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones. Refinar y ajustar los modelos matemáticos; combinar e integrar modelos. Argumentar. Generalizar.

22. La última fase en la resolución de un problema implica reflexionar sobre el proceso completo de matematización y sus resultados. Los estudiantes deben interpretar los resultados con actitud crítica y validar el proceso completo. Algunos aspectos de este proceso de validación y reflexión son: Entender la extensión y límites de los conceptos matemáticos Reflexionar sobre los argumentos matemáticos y explicar y justificar los resultados. Comunicar el proceso y la solución. Criticar el modelo y sus límites .

23. La estructura curricular del estudio PISA se esquematiza as í: Evaluaci ó n: Tareas que destacan el car á cter funcional de las matem á ticas; con diversos niveles de complejidad Metodolog í a: resoluci ó n de problemas y procesos de modelizaci ó n Objetivos: desarrollo de Competencias, dominio de procesos cognitivos Contenidos: Conceptos y procedimientos matem á ticos en contexto (herramientas)

24. Competencias o dominio de procesos cognitivos de los estudiantes Los estudiantes, cuando resuelven problemas matemáticos ponen en juego diversos tipos de competencias, capacidades de análisis, razonamiento y comunicación, que activan procesos y conectan el mundo real, donde surgen los problemas, con las matemáticas para resolver la cuestión planteada. Estas competencias o procesos establecen distintos valores de la tercera dimensión del modelo funcional, aquella que afecta a los modos en que el sujeto se enfrenta a un problema. En un caso el foco de atención está en los propios procesos, mientras que en el otro parece destacarse al sujeto que los pone en práctica Objetivos

25. Las competencias que establece un plan de formación se constituyen en elementos determinantes para establecer su calidad y permiten llevar a cabo su evaluación. La calidad de un programa de formación viene dada por la relevancia de las competencias que se propone, mientras que su eficacia responde al modo en que se logran a medio y largo plazo. El proyecto PISA enfatiza que la educación debe centrarse en la adquisición por los alumnos de 15 años de unas competencias generales determinadas, al término del periodo de la educación obligatoria, competencias que tienen por finalidad formar ciudadanos alfabetizados matem át icamente.

26. Las competencias elegidas por el proyecto PISA son: Pensar y razonar Argumentar Comunicar Modelizar Plantear y resolver problemas Representar Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones Usar herramientas y recursos

27. Las competencias o procesos dan concreción a la competencia global o alfabetización matemática inicialmente descrita. Las personas trabajan las matemáticas en contextos en los que es necesario mostrar su riqueza cognitiva, no sólo información y dominio mecánico de herramientas. Cuando los sujetos act ú a n en cada fase de la matematización, muestran sus capacidades y habilidades cognitivas. Los usos de capacidades y habilidades muestran que un sujeto es competente en matem áticas, son expresión de su competencia matemática.

28. Los objetivos de aprendizaje expresan de manera concreta las habilidades que se necesitan para un determinado tema y en un determinado momento. Los objetivos contribuyen a la consecuci ón de una o varias competencias; son expresión de las prioridades formativas en un determinado momento. Las competencias marcan metas a largo plazo, que responden a ciclos formativos m á s amplios y comprensivos. La evaluación del sistema educativo se centra así en el estudiante, en su aprendizaje y en su significado funcional, que se expresa mediante capacidades mostradas sobre unas competencias generales

29. COMPETENCIAS Ejemplo de Objetivo X LS R RP M C AJ PR X Capacidad para elaborar argumentos que justifiquen la construcción de una figura geom étrica . X Al desarrollo de qué competencias contribuye esa capacidad

30. Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to: 1. Analyze characteristics and properties of two- and three- dimensional geometric shapes and develop mathematical arguments about geometric relationships. Geometry Standard NCTM PreK- 2 Expectations: In prekindergarten through grade 2 all students should : ･ recognize, name, build, draw, compare, and sort two- and three-dimensional shapes; ･ describe attributes and parts of two- and three-dimensional shapes; ･ investigate and predict the results of putting together and taking apart two- and three-dimensional shapes.

31. Grades 3–5 Expectations: In grades 3–5 all students should: • identify, compare, and analyze attributes of two- and three- dimensional shapes and develop vocabulary to describe the attributes; • classify two- and three-dimensional shapes according to their properties and develop definitions of classes of shapes such as triangles and pyramids; • investigate, describe, and reason about the results of subdividing, combining, and transforming shapes; • explore congruence and similarity; • make and test conjectures about geometric properties and relationships and develop logical arguments to justify conclusions .

32. Grades 6–8 Expectations: In grades 6–8 all students should: • precisely describe, classify, and understand relationships among types of two- and three-dimensional objects using their defining properties; • understand relationships among the angles, side lengths, perimeters, areas, and volumes of similar objects; • create and critique inductive and deductive arguments concerning geometric ideas and relationships, such as congruence, similarity, and the Pythagorean relationship.

33. Grades 9 - 1 2 Expectations: In grades 9 - 1 2 all students should : ･ analyze properties and determine attributes of two- and three-dimensional objects; ･ explore relationships (including congruence and similarity) among classes of two- and three-dimensional geometric objects, make and test conjectures about them, and solve problems involving them; ･ establish the validity of geometric conjectures using deduction, prove theorems, and critique arguments made by others; ･ use trigonometric relationships to determine lengths and angle measures.

34. 2. Specify locations and describe spatial relationships using coordinate geometry and other representational systems 3. Apply transformations and use symmetry to analyze mathematical situations 4. Use visualization, spatial reasoning, and geometric modeling to solve problems

35. Contenidos Matemáticos y Matemáticas Escolares Las ideas, estructuras y conceptos matemáticos se han inventado como herramientas para organizar los fenómenos de los mundos natural, social y mental . Las escuelas organizan el currículo de matemáticas mediante contenidos temáticos: aritmética, geometría, álgebra, etc, y sus tópicos que reflejan ramas bien establecidas del pensamiento matemático y facilitan el desarrollo estructurado de un programa . No obstante, los fenómenos del mundo real que llevan a un tratamiento matemático no están organizados lógicamente.

36. La estrategia asumida consiste en definir el rango del contenido que puede evaluarse haciendo uso de una aproximación fenomenológica para describir las ideas, estructuras y conceptos matemáticos. Esto significa describir el contenido en relación con los fenómenos y los tipos de problemas de los que surgieron, es decir, organizar los contenidos atendiendo a grandes áreas temáticas

37. El objetivo de la evaluación PISA consiste en medir hasta qué punto los alumnos a los que se les presentan problemas pueden activar sus conocimientos y competencias matemáticas para resolverlos con éxito. Evaluaci ón: Instrumentos El programa OCDE/PISA ha elegido preparar un conjunto de ítems que evalúen diferentes partes del proceso de matematizaci ón . Cada uno de estos ítems, o grupo de ellos, propone una tarea vinculada a un contexto y que puede tratarse como un problema matemático. La estrategia escogida para construir ítems que contemplen el dominio general tiene en cuenta las tres componentes que establecen el dominio y las considera como variables o dimensiones.

38. II Componentes que caracterizan el dominio 1. El contenido matemático que se debe utilizar para resolver el problema, que ya hemos enunciado y ahora describimos. 2. La situación o contexto en que se localiza el problema. 3. Las competencias que deben activarse para conectar el mundo real, donde surge el problema, con las matemáticas. Para mejor describir las tareas que evalúan el dominio se distinguen tres variables:

39. 1. Contenidos matem áticos: Las ideas fundamentales que satisfacen las condiciones de respetar el desarrollo histórico, cubrir el dominio y contribuir a la reflexión de las líneas principales del currículo escolar son: Incertidumbre Cantidad Espacio y forma Cambios y relaciones Estos cuatro grandes campos de herramientas matem áticas son los escogidos por el Proyecto PISA para estudiar la competencia matemática de los estudiantes al término de la educación obligatoria.

40. Cantidad. Estas herramientas responden a las necesidades de cuantificar, medir, ordenar, simbolizar y operar como v ías para entender y organizar el mundo. Incluye la comprensión de tamaños relativos, reconocimiento de patrones numéricos, uso de números para representar cantidades y atributos cuantificables de los objetos del mundo real. La cantidad se refiere al reconocimiento, procesamiento y comprensión de números, que se presentan de varios modos. El razonamiento cuantitativo incluye el sentido numérico, la representación de números de varios modos, la comprensión del significado de las operaciones, cálculo mental y estimación.

44. Espacio y forma Espacio y forma hacen referencia a fen ómenos y relaciones geométricos y espaciales, vinculados usualmente con la disciplina curricular de geometría. Este dominio requiere observar similitudes y diferencias, analizar las componentes de las formas y reconocer formas en diferentes representaciones y diferentes dimensiones, así como entender las propiedades de los objetos y sus posiciones relativas. Las regularidades se encuentran en todas partes: en el habla, la m úsica, los vídeos, el tráfico, las construcciones y el arte. Las formas pueden considerarse como regularidades: casas, edificios de oficinas, puentes, estrellas de mar, copos de nieve, callejeros, hojas de trébol, cristales y sombras. Las regularidades geom étricas pueden servir como modelos relativamente simples de muchas clases de hechos, y su estudio resulta posible y deseable en todos los niveles.

45. El estudio de las formas est á estrechamente vinculado al concepto de percepción espacial. Esto comporta aprender a reconocer, explorar y conquistar, para vivir, respirar y movernos con mayor conocimiento en el espacio en que vivimos. Tambi én presupone entender la representaci ón en dos dimensiones de los objetos tridimensionales, la formación de las sombras y cómo interpretarlas, qu é es la perspectiva y cómo funciona. Para conseguirlo es preciso comprender las propiedades de los objetos y sus posiciones realtivas. Debemos ser conscientes de c ómo vemos las cosas y de por qué las vemos de ese modo. Debemos aprender a orientarnos por el espacio y a través de las construcciones y formas. Ello significa entender la relación entre formas e imágenes, o representaciones visuales, tales como la relación entre una ciudad real y fotografías y callejeros de la ciudad.

48. Cambios y relaciones Cada fenómeno natural es una manifestación del cambio; el mundo en nuestro entorno muestra una multitud de relaciones temporales y permanentes entre fenómenos . Algunos de los procesos de cambio pueden ser descritos y modelados directamente mediante funciones matemáticas: lineales, exponenciales, periódicas o logísticas, discretas o continuas . Las relaciones matemáticas tienen usualmente la forma de ecuaciones o de desigualdades, pero también se presentan relaciones de naturaleza mas general . El pensamiento funcional, es decir, pensar en términos de y acerca de relaciones, es una de las metas disciplinares fundamental en la enseñanza de las matemáticas .

51. Incertidumbre. Por incertidumbre se quieren entender dos tópicos relacionados: tratamiento de datos y azar. Estos fenómenos son la materia de estudio de la estadística y de la probabilidad, respectivamente . Los conceptos y actividades que son importantes en esta área son la recolección de datos, el análisis de datos y sus representaciones, la probabilidad y la inferencia .

52. EXAMEN DE CIENCIAS Pregunta 1: EXAMEN DE CIENCIAS M468Q01 En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace exámenes que se puntúan de 0 a 100. Irene tiene una media de 60 puntos de sus primeros cuatro exámenes de ciencias. En el quinto examen saca 80 puntos. ¿Cuál es la media de las notas de Irene en ciencias tras los cinco exámenes? Media:

54. 2. Situaciones y Contextos que caracterizan las tareas Utilizar y hacer matemáticas en una variedad de situaciones y contextos es aspecto importante de la Alfabetización Matemática. Trabajar con cuestiones que llevan por sí mismas a un tratamiento matemático, a la elección de métodos matemáticos y representaciones depende frecuentemente de las situaciones en las cuales se presentan los problemas. La situación es aquella parte del mundo del estudiante en la cual se sit úa la tarea. Las situaciones permiten establecer la localización de un problema en términos de los fenómenos de los que surge

55. Personales, Educativas y Ocupacionales, Públicas, Científicas. La segunda variable se refiere a la situación y toma cuatro valores, que se identifican en la delimitaci ón de tareas matemáticas y en la construcción de ítems. PISA considera cuatro tipos de situaciones:

56. Las situaciones personales están relacionadas con las actividades diarias de los alumnos. Se refieren a la forma en que un problema matemático afecta inmediatamente al individuo y al modo en que el individuo percibe el contexto del problema. Las situaciones educativas, ocupacionales o laborales las encuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno de trabajo. Se refieren al modo en que el centro escolar o el lugar de trabajo proponen al alumno una tarea que le impone una actividad matemática para encontrar su respuesta.

57. Las situaciones públicas se refieren a la comunidad local u otra más amplia, con la cual los estudiantes observen un aspecto determinado de su entorno. Requieren que los alumnos activen su comprensión, conocimiento y habilidades matemáticas para evaluar los aspectos de una situación externa con repercusiones importantes en la vida pública. Finalmente, las situaciones científicas son más abstractas y pueden implicar la comprensión de un proceso tecnológico, una interpretación teórica o un problema específicamente matemático.

58. 3. Competencias en las tareas El proyecto PISA considera que para alcanzar el logro en la resolución de problemas que se presentan en las tareas de evaluación, los estudiantes deben dominar un conjunto de competencias matemáticas generales . El concepto de competencia pone el acento en lo que el alumno es capaz de hacer con sus conocimientos y destrezas matemáticas, más que en el dominio formal de dichos conceptos y destrezas. De este modo el proyecto PISA enfatiza que la educación deberá centrarse en la adquisición de competencias por parte del alumno. Se trata de centrar la educación en el estudiante, en su aprendizaje y en el significado funcional de dicho proceso .

59. III Complejidad en las Competencias Los ítems que se diseñan proponen tres clases de tareas, que se diferencian por el grado de complejidad que requieren en las competencias. Primera clase: Reproducción y procedimientos rutinarios . Segunda clase: Conexiones e integración para resolver problemas estandarizados. Tercera clase: Razonamiento, argumentación, intuición y generalización para resolver problemas originales .

60. Los indicadores para la complejidad de las tareas en cada una de las categor í as se resumen en la siguiente tabla: • Tareas que requieren comprensi ó n y reflexi ó n • Creatividad • Ejemplificaci ó n y uso de conceptos • Relacionar conocimientos para resolver problemas complejos • Generalizar y justificar resultados obtenido • Contextos menos familiares • Interpretar y explicar • Manejar y relacionar diferentes sistemas de representaci ó n • Seleccionar y usar estrategias de resoluci ó n de problemas no rutinarios • Contextos familiares • Conocimientos ya practicados • Aplicaci ó n de algoritmos est á ndar • Realizaci ó n de operaciones sencillas • Uso de f ó rmulas elementales. REFLEXI Ó N CONEXI Ó N REPRODUCCI Ó N

61. En este caso la competencia hace relaci ón a la complejidad de la tarea. El requerimiento de procesos mas complejos, creativos o estructurados delimita distintos tipos de competencias en los estudiantes que, en principio, se concretan en esas tres clases. Alumnos m á s competentes llevar á n a cabo procesos de mayor complejidad; alumnos menos competentes s ó lo trabajar á n procesos de complejidad menor. En este caso la competencia de los estudiantes se refiere a las capacidades individualmente desarrolladas, que se ponen de manifiesto por el tipo de tareas abordadas con é xito Se acepta la hip ótesis de que los estudiantes que alcancen a dar respuesta a tareas de alta complejidad, muestran un alto nivel de competencia matemática con las herramientas utilizadas y en la situación considerada .

70. ¿C ómo determinar entonces el nivel de competencia matemático alcanzado por un estudiante concreto? ¿Y por un grupo de estudiantes? ¿Y por los estudiantes de un país? La respuesta del Informe PISA es una respuesta emp írica. Establece los niveles de complejidad de acuerdo con los resultados de la evaluación realizada; las tareas mas complejas tienen una doble caracterización: teórica y empírica. IV Resultados Emp í ricos

71. Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecuci ón de las tareas. De este modo se determinan empíricamente seis niveles de competencia, que admiten una descripción general y también una descripción por cada uno de los campos de contenido. Cada nivel de competencia se caracteriza por lo que saben hacer los alumnos, en grupos de tareas de dificultad creciente. De este modo es posible entender cada nivel en relaci ón con la descripción del tipo de competencia matemática que el alumno necesita alcanzar.

72. Esto se confirma con el escalamiento que se produce en las respuestas de los estudiantes: alumnos que resuelven problemas de mayor complejidad tambi é n responden a los problemas de complejidad inferior. Los datos emp í ricos muestran mayor riqueza de niveles que el planteamiento te ó rico en tres categor í as. Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecuci ó n de las tareas. De este modo se determinan emp í ricamente seis niveles de competencia, que admiten una descripci ó n general y tambi é n una descripci ó n m á s detallada por cada uno de los campos de contenido.

73. Indicadores de las competencias seg ún los niveles empíricos Comunicar conclusiones con precisi ón Realizar explicaciones sencillas Describir resultados obtenidos Comunicar Elaborar argumentos desde su propia reflexi ón Formular razonamientos desarrollados Elaborar argumentos basados en acciones Argumentar y Justificar Responder a cuestiones complejas en multitud de contextos Responder a cuestiones en contextos poco familiares Responder a cuestiones en contextos muy conocidos Pensar y razonar 6 5 4 3 2 1 Niveles Competencias

74. Desarrollar y usar modelos en m últiples situaciones Usar modelos expl ícitos en situaciones concretas Modelizar Generalizar resultados de problemas Seleccionar, comparar y evaluar estrategias Seleccionar y aplicar estrategias sencillas Resolver con datos sencillos Resolver problemas Relacionar y traducir con fluidez diferentes sistemas Vincular diferentes sistemas, incluido el simb ólico Conocer y usar diferentes sistemas Usar un único tipo de representación Leer datos de tablas o figuras Representar Dominar con rigor el lenguaje simb ólico Representar por s ímbolos situaciones reales Aplicar procedi-mientos descritos con claridad Usar algoritmos y f órmulas elementales Realizar operaciones b ásicas Lenguaje Simb ólico

75. Tres nociones centrales en el Informe PISA Concepci ón instrumental de las matemáticas escolares, como modo de entender el hacer matemáticas y la propia naturaleza del conocimiento Matemático. Noción de Competencia, con cuatro significados diferentes La noci ón de competencia es central en el estudio PISA y desempeña diferentes funciones: Expresa una finalidad prioritaria en la enseñanza de las matemáticas. Expresa un conjunto de procesos cognitivos que caracterizan un esquema pragmático de entender el hacer matemáticas. Concreta variables de tarea para los ítems en la evaluación; destaca por los grados de complejidad. Marca niveles de dominio en las tareas de hacer matemáticas.

76. Marco curricular del estudio. Atiende a las cuestiones b ásicas: ¿por qué enseñar matemáticas? ¿qué matemáticas hay que aprender y enseñar? ¿cómo enseñar y aprender matemáticas? ¿cómo evaluar el aprendizaje ? El marco matem ático de PISA se sustenta en una propuesta curricular, basada en un modo singular de interpretar el conocimiento matem ático y sostenida por una noción amplia de competencia Muchas gracias