Metodologia para la resolución de problemas en matemáticas

1. Resolución de Problemas:
Situaciones y Contextos
Jose Luis Lupiáñez
Universidad de Granada
Un presentador de TV mostró el gráfico siguiente y dijo:
“Este gráfico muestra que hay un enorme aumento del
número de robos comparando 1998 con 1999”.
¿Consideras que la afirmación del
presentador es una interpretación
razonable del gráfico? Da una
explicación que fundamente tu
respuesta.

2. Vayamos por orden
Competencias matemáticas
Niveles de competencia
Situaciones y contextos en la resolución de
problemas
Grado de complejidad de tareas
Un poco de trabajo...
Algunas conclusiones
Competencias
Matemáticas

3. Hablar de competencias...
... ¿es una nueva moda en educación?
... ¿es simplemente hacer lo mismo que hasta
ahora pero llamándolo de otra forma?
... está bien, pero ¿qué es ser competente en
matemáticas?
... está bien, pero ¿cómo hago (como profesor)
para que mis alumnos sean más competentes en
matemáticas?
Competencias... ¿de pronto?
Competencias en proyectos de evaluación como
PISA o Pruebas de Diagnóstico, en proyectos
curriculares, como Tuning, o el nuevo marco de la
educación obligatoria,…
Competency-based Education: enfatiza
aprendizaje y demostración de competencias para
resolver tareas.
Lenguaje, Psicología, Empresa, Formación
Profesional,...

4. Competencias... ¿qué significa?
Visión funcional de las matemáticas:
“Matemáticas para...”
Un saber hacer, una actuación observable.
Afrontar satisfactoriamente la resolución de
problemas, en una amplia variedad de situaciones y
contextos.
Desarrollo de ciudadanos para que se
desenvuelvan en la sociedad que les rodea.
(...) razonar matemáticamente, comprender una
argumentación matemática y expresarse y
comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las
herramientas adecuadas e integrando el conocimiento
matemático con otros tipos de conocimiento para
obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para
enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado
de complejidad. (...) énfasis en la funcionalidad de los
aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo
que nos rodea o la misma selección de estrategias
para la resolución de un problema, para aplicar las
matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a
distintas situaciones de la vida cotidiana.

5. Conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes
necesarios para analizar y comprender las situaciones
de la vida real, identificar conceptos y procedimientos
matemáticos aplicables, razonar sobre las mismas,
generar soluciones y expresar los resultados de
manera adecuada.
La capacidad para identificar y comprender el papel
que desempeñan las matemáticas en el mundo actual,
emitir juicios bien fundamentados, utilizar las
matemáticas y comprometerse con ellas de manera
que puedan satisfacer las necesidades de la vida del
individuo como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo.

6. (...) que permita a los estudiantes enfrentarse a las
demandas de su entorno social y cultural en sus
diferentes esferas: educativa y laboral, privada, social y
comunitaria. (...) contribuir a su desarrollo y
socialización (...) para actuar como ciudadanos
competentes, activos, implicados y críticos:
capacidades de pensamiento autónomo e
independiente, de exploración e indagación, de
pensamiento divergente y creativo, de identificación y
resolución de problemas diversos, de modelización de
situaciones extra-matemáticas reales, de análisis y
valoración de los usos y roles de las matemáticas en el
contexto social, y de comprensión de las nuevas
tecnologías de la información en relación con las
matemáticas.
Competencias... ¿qué significa?
Visión funcional de las matemáticas:
“Matemáticas para...”
Un saber hacer, una actuación observable.
Afrontar satisfactoriamente la resolución de
problemas, en una amplia variedad de situaciones y
contextos.
Desarrollo de ciudadanos para que se
desenvuelvan en la sociedad que les rodea.

7. La aproximación funcional a las
matemáticas escolares ha sido
destacada y revitalizada por el
estudio PISA de la OCDE.
El objetivo general del estudio PISA consiste en
determinar cómo los estudiantes pueden utilizar lo
que han aprendido en situaciones usuales de la vida
cotidiana, no sólo en conocer cuáles contenidos del
currículo han aprendido.
Pensar y Razonar (PR)
Argumentar y Justificar (AJ)
Comunicar (C)
Plantear y Resolver Problemas (RP)
Representar (R)
Utilizar Lenguaje Simbólico, Formal y
Técnico y las Operaciones (LS)
Modelizar (M)
Competencias
PISA

8. Competencias en la Evaluación de Diagnóstico
El proyecto DeSeCo es a las competencias básicas
como Eurydice lo es a las competencias clave.
Combinación de conocimientos, capacidades y
actitudes.
Para su enunciado se requieren expresar
capacidades (qué hace el escolar), criterios de
desempeño (cómo lo hace) y una finalidad (para
qué lo hace).
Establece por tanto una relación entre capacidades
y competencias.
Competencia o Alfabetización Matemática.
Elementos de competencia: interés en las
capacidades de los escolares para analizar y
comprender situaciones, razonar sobre ellas,
identificar los conceptos y procedimientos
aplicables, generar soluciones y expresar los
resultados de forma adecuada.
No tanto énfasis en los conocimientos, como en la
aplicación de éstos en diferentes situaciones.
Competencia matemática según 3 dimensiones:
Competencias en la Evaluación de Diagnóstico

9. Organizar, Comprender e Interpretar
Información
Expresión Matemática
Plantear y Resolver Problemas
Competencias en la Evaluación de Diagnóstico
Expresarse usando vocabulario y símbolos
matemáticos
Expresar de manera oral o escrita ideas acerca de las
matemáticas
Usar formas adecuadas de representación según el
propósito y naturaleza de la situación
Escoger y relacionar formas de representación de acuerdo
con la situación y el propósito
Justificar resultados expresando argumentos con base
matemática
Elaborar argumentos que justifiquen afirmaciones o
respuestas
¿Se parecen en algo?

10. Traducir situaciones reales a esquemas o estructuras
matemáticas
Expresar matemáticamente un problema o situación real
Valorar la pertinencia de diferentes vías para
resolver problemas con base matemática
Resolver distintos tipos de problemas mediante una
diversidad de vías
Usar con precisión procedimientos de cálculo,
fórmulas y algoritmos para la resolución de
problemas
Utilizar variables, resolver ecuaciones y comprender los
cálculos
¿Se parecen en algo?
Existe cierto paralelismo entre esto...

11. ... y esto otro
¿Existen diferencias?
Pruebas de Diagnóstico: significado y organización
de la noción de competencia.
Desconexión con contenidos y tareas. Ausencia
de criterios.
PISA: Nueva organización de contenidos: Cantidad,
Espacio y Forma, Cambio y Relaciones, Incertidumbre,
acorde con una visión funcional.
Niveles de competencia, organización de
situaciones y contextos, y caracterización de
tareas según su complejidad.

12. Nivel de Competencia
1 2 3 4 5 6
PR
Responder a
cuestiones en
contextos muy
conocidos
Responder a
cuestiones en
contextos poco
familiares
Responder a
cuest. complejas
en multitud de
contextos
Formar y
relacionar
conceptos
AJ
Elaborar
argumentos
basados en sus
acciones
Formular los
razonamientos
desarrollados
Elaborar
argumentos desde
su propia reflexión
C
Describir
resultados
obtenidos
Realizar
explicaciones
sencillas
Comunicar
conclusiones con
precisión
M
Usar modelos
explícitos en
situaciones
concretas
Desarrollar y
usar modelos en
múltiples
situaciones
RP
Resolver
problemas con
datos sencillos
Seleccionar y
aplicar estrategias
sencillas
Seleccionar,
comparar y
evaluar
estrategias
Generalizar
resultados de
problemas
R
Leer datos
directamente de
tablas o figuras
Usar un único
tipo de
representación
Conocer y usar
diferentes sistemas
de representación
Vincular
diferentes SR,
incluyendo el
simbólico
Relacionar y
traducir con fluidez
diferentes SR
LS
Realizar
operaciones
básicas
Usar algoritmos y
fórmulas
elementales
Aplicar
procedimientos
descritos con
claridad
Representar
situaciones reales
mediante
símbolos
Dominar con rigor
el lenguaje
simbólico

13. Nivel 1
Nivel 4

14. Situaciones y
Contextos
Tipos de Situaciones (PISA)
Una situación viene dada por una referencia al
mundo (natural, cultural y social) en la cual se
sitúan las tareas y cuestiones matemáticas que se
proponen a los estudiantes.
Las situaciones permiten localizar un problema y
delimitar el campo de fenómenos de los que surge.
Personales
Educativas, ocupacionales o laborales
Públicas
Científicas

15. Tipos de Situaciones (PISA)
Personales
Relacionadas con las actividades diarias de los
alumnos.
Se refieren a la forma en que un problema
matemático afecta inmediatamente al individuo y al
modo en que el individuo percibe el contexto del
problema.
Tipos de Situaciones (PISA)

16. Tipos de Situaciones (PISA)
Educativas, ocupacionales o Laborales
Las encuentra el alumno en el centro escolar o
en un entorno de trabajo.
Se refieren al modo en que el centro escolar o el
lugar de trabajo proponen al una tarea que le
impone una actividad matemática para encontrar
su respuesta.
Tipos de Situaciones (PISA)

17. Tipos de Situaciones (PISA)
Públicas
Se refieren a la comunidad local u otra más
amplia, en la cual los estudiantes observen
determinados aspectos de su entorno.
También se incluyen aquella información que
aparezcan en los medios de comunicación.
Tipos de Situaciones (PISA)

18. Tipos de Situaciones (PISA)
Científicas
Son más abstractas y pueden implicar la
comprensión de un proceso tecnológico, o una
interpretación teórica de un problema científico.
Aquí se incluyen los problemas específicamente
matemáticos.
Tipos de Situaciones (PISA)

19. Contextos
¿A qué cuestiones básicas responde un tema
de matemáticas?
¿Para qué se usan los conceptos y
procedimientos que conforman ese tema?
Pensemos en los números naturales. ¿A qué
cuestiones dan respuesta?
¿Cuántos hay?
¿Qué lugar ocupa?
¿Cuánto mide?
¿Cuál es el resultado?
¿Cuál es el código?
Contextos

20. Grado de complejidad
de las tareas
REPRODUCCIÓN CONEXIÓN REFLEXIÓN
Contextos
familiares
Conocimientos ya
practicados
Aplicación de
algoritmos estándar
Realización de
operaciones sencillas
Uso de fórmulas
elementales
Contextos menos
familiares
Interpretar y
explicar
Manejar y
relacionar diferentes
sistemas de
representación
Seleccionar y usar
estrategias de
resolución de
problemas no
rutinarios
Tareas que
requieren
comprensión y
reflexión
Creatividad
Ejemplificación y
uso de conceptos
Relacionar
conocimientos para
resolver problemas
complejos
Generalizar y
justificar resultados
obtenidos

21. Un poco de trabajo...
Un poco de trabajo...
Considerad un tema matemático y seleccionad un
curso en el que se trabaje ese tema.
Diseñad 3 tareas (una de cada grado de
complejidad), indicando:
Qué objetivo pretenden (qué se espera que los
escolares hagan / pongan en juego).
Al desarrollo de qué competencias contribuyen.
Porqué son de ese grado de complejidad.
A qué tipos de situaciones se refieren.

22. Cerremos ideas...
Competencia: no es sólo terminología de moda.
Algunas implicaciones:
Una visión funcional de las matemáticas
Expectativas de aprendizaje basadas en
actuaciones concretas
Énfasis en aspectos sociales como la comunicación
y la argumentación
Ir más allá del mero aprendizaje de contenidos.
Cerremos ideas...

23. Cerremos ideas...
Necesidad de más directrices y recomendaciones.
Importancia del papel del profesor:
Autonomía
No se parte del vacío
Planificación: un libro, y no el libro de texto
... o mejor dejemos varias aún abiertas.
Resolución de Problemas:
Situaciones y Contextos
Jose Luis Lupiáñez
Universidad de Granada
lupi@ugr.es