La simulacion en la carrera de ingenieria de sistemas

1. TEMA Nro. 3
Generación de Variables
Aleatorias

2. Introducción
• Dos problemas: Determinísticos y estocásticos.
• En los métodos de simulación estocástica, cabe la
posibilidad que se pueda encontrarse una distribución
de probabilidad a un proceso estocástica
• Pese a que existen métodos analíticos para resolverlos,
la simulación ha demostrado ser más eficiente.
• La simulación es una técnica de análisis numérico que
se debe preferir sólo si su eficiencia relativa al
proporcionar soluciones numéricas resulta ser superior
a otras técnicas.

3. • Al considerar los procesos estocásticos que
involucran variables continuas o discretas,
pero siempre de tipo aleatorio, definimos una
función F(x) llamada función de distribución
acumulada de x, la cual denota la probabilidad
de que una variable aleatoria X tome un valor
menor o igual a x. f(x) recibe el nombre de
función de densidad probalística.

4. • La generación de variables aleatorias significa la
obtención de variables que siguen una
distribución de probabilidad determinada.
• Esto es, hasta ahora se trataron los datos
observados y se encontró que los mismos ajustan
a una distribución de probabilidad. Ahora, con
esta función de distribución de probabilidad se
generan datos (matemáticamente o por medio de
simulación) que siguen dicha distribución,
entonces, los mismos representan los datos
reales.

5. 0.00
0.03
0.05
0.08
0.10
0.13
0.15
0.18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
p(X = x)
Números
Aleatorios
Variables
U (0,1)
Generación de
Variables
Aleatorias
Xi+1=(aXi+c) mod m
Distribución Poisson
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Parámetros

6. Generación de Variables Aleatorias
Discretas
• El método de la transformada inversa
• Suponga que queremos generar el valor de
una variable aleatorio discreta X con
• función de masa de probabilidad

8. Generación de Variables Aleatorias Empíricas Discretas
Ejemplo 1. Suponga que un determinado
fenómeno aleatorio tiene la siguiente
distribución de probabilidad:
Variable Probabilidad Acumulada
20 grs. 0.3 0.3
19 grs. 0.4 0.7
18 grs. 0.3 1

9. Técnica de la Transformada Inversa (Generalización de
Montecarlo)
Variable Probabilidad Acumulada
20 grs. 0.3 0.3
19 grs. 0.4 0.7
18 grs. 0.3 1
0  R  0.3 entonces x = 20 grs.
0.3 < R  0.7 entonces x = 19 grs.
0.7 < R  1 entonces x = 18 grs.

10. Transformada Inversa
• Ejemplo 2. Suponga que se han coleccionado 100
tiempos de reparación de un elemento
intev.(hs) frecuencia frec.relativa frec.acumulda
0.0-0.5 31 0.31 0.31
0.5-1.0 10 0.10 0.41
1.0-1.5 25 0.25 0.66
1.5-2.0 34 0.34 1

11. Transformada Inversa
Distribuciones Empíricas
distribución empírica
0
0.31
0.41
0.66
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5 1 1.5 2
tiempos de reparación
probabilidad
acumulada
F(x)
)
(
ˆ x
F
Como no se conoce la D. Acum. Teórica , trabajo con la D. Empìrica

12. Transformada Inversa
Distribuciones Empíricas Continuas
• Gráficamente
distribución empírica
0
0.31
0.41
0.66
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 1 1.5 2
Generamos
Ri= 0.83
vamos hasta la
curva y
encontramos
Xi
Xi
 
i
R
F
X 1
1



13. Transformada Inversa
Distribuciones Empíricas Continuas
• Algebraicamente
Dado Ri= 0.83 (entre 0.66
y 1), Xi es computado
por una interpolación
lineal entre 1.5 y 2
 
5
.
1
2
66
.
0
1
66
.
0
5
.
1 




 i
i
R
X
distribución empírica
0
0.31
0.41
0.66
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 1 1.5 2

14. Transformada Inversa
Distribuciones Empíricas Continuas
• Algebráicamente
distribución empírica
0
0.31
0.41
0.66
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 1 1.5 2
Dado Ri= 0.83 (entre
0.66 y 1), Xi es
computado por una
interpolación lineal
entre 1.5 y 2
1.75
0.83
 
5
.
1
2
66
.
0
1
66
.
0
83
.
0
5
.
1
75
.
1 






15. Algoritmo
1. Generar U ~ U(0,1)
2. Si U  1 - p asignar X = 1
3. E.t.o.c. asigna X = 0
Generación de Variables Discretas

16. Generación de una variable discreta finita
Ejemplo 3. Se desea simular una v.a.d. con función de cuantía
pi= P(X=i) y función de distribución Fi
i 1 2 3 4
pi 0,15 0,05 0,35 0,45
Fi 0,15 0,20 0,55 1,00
Generación de Variables Discretas

17. Algoritmo
Generar U ~ U(0,1)
- si U < 0,15  X = 1
- si U < 0,20  X = 2
- si U < 0,55  X = 3
- si U  0,55  X = 4
Generación de Variables Discretas

18. Ejemplo 4
• Diseñar un generador de variables aleatorias para:
e
-5
5
x
x!
• Se trata de una distribución Poisson
0.00
0.03
0.05
0.08
0.10
0.13
0.15
0.18
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
p(X = x)

19. Ejemplo 4
Calculando la
distribución de
probabilidad y la
distribución acumulada.
Para x: 1,2,3,4,….,15

20. λ =
5
L l e g a d a s ( x ) p ( X = x )
P(X ≤ x)
0 0.0067 0.0067
1 0.0337 0.0404
2 0.0842 0.1247
3 0.1404 0.2650
4 0.1755 0.4405
5 0.1755 0.6160
6 0.1462 0.7622
7 0.1044 0.8666
8 0.0653 0.9319
9 0.0363 0.9682
10 0.0181 0.9863
11 0.0082 0.9945
12 0.0034 0.9980
13 0.0013 0.9993
14 0.0005 0.9998
15 0.0002 0.9999

21. Generando 50 números
aleatorios distribuidos
uniformemente y
buscando en P(X < x)

22. 0.3212 3
0.9151 7
0.4291 3
0.4843 4
0.4058 3
0.2691 3
0.6162 5
0.1410 2
0.1779 2
0.5402 4
0.5709 4
0.7136 5
0.6967 5
0.8528 6
0.3470 3
0.0457 1
0.5646 4
0.8186 6
0.3240 3
0.7684 6
0.6512 5
0.9283 7
0.3475 3
0.0110 0
0.3767 3
aleatorio P(X = x)
0.5195 4
0.0436 1
0.1724 2
0.2611 2
0.5735 4
0.4649 4
0.7395 5
0.2967 3
0.4714 4
0.5463 4
0.9120 7
0.0088 0
0.1799 2
0.7590 5
0.1902 2
0.7708 6
0.5170 4
0.3827 3
0.9435 8
0.1835 2
0.3138 3
0.1551 2
0.3612 3
0.4110 3
0.9226 7

23. Generando la
distribución de
frecuencias de la
VA obtenida

24. x frecuencia
0 2
1 2
2 8
3 13
4 10
5 6
6 4
7 4
8 1
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 0
15 0
16 0
17 0
18 0
19 0
20 0
50

29. • EJEMPLO 5. Sea la función de distribución de
probabilidad de Poisson, dada por
• con ? = 1.5;
• Primero evaluamos las funciones de
distribución y de distribución acumulada:

30. x f(x) F(x)
0 0.223 0.223
1 0.335 0.558
2 0.251 0.804
3 0.125 0.934
4 0.047 0.981
5 0.014 0.995
6 0.005 1.000

31. • lo que podemos abreviar en la siguiente tabla como:
• La que recibe el nombre de función tabulada de
transformada inversa. Si queremos generar o simular
tres valores de la variable aleatoria X, dados los
siguientes números aleatorios RND = 0.818, 0.510,
0.300; tendremos x = 3, 1, 1; respectivamente.
INTERVALO RDN
VALOR GENERADO DE
X
0.000 - 0.223 0
0.224 - 0.558 1
0.559 - 0.809 2
0.810 - 0.934 3
0.935 - 0.981 4
0.982 - 0.995 5
0.996 - 1.000 6

32. Transformada Inversa
• Sea f(x) la distribución a generar.
• Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución f(x).
• F(x)  (0-1)
• F(x) = R x = F-1 (R)
Dificultad:
• Algunas veces es difícil encontrar la transformada inversa

33. Transformada Inversa
R
F(x)
x
x
f(x)
x = F-1
(R)
x
Distribución
uniforme

34. Ejemplo 6
λ e-λx si x ≥ 0
0 si x ≥ 0
f(x) =
F(x) = ∫λ e-λt dt = 1 - e-λx
R = 1 - e-λx
e-λx = 1 – R
e-λx = 1 - R
x = - 1/λ ln R
Integral de 0 a x
R y 1 – R tienen una distribución uniforme
Por lo que es indistinto usarlos

35. Ejemplo 7
si a ≤ x ≤ b
si a > x > b
f(x) =
F(x) = ∫
1 .
b - a
0
1 .
b - a
dt = x - a.
b - a
x - a.
b - a
= R
x = a + (b – a) R

36. EJERCICIOS
• EJERCICIO 1. Hallar el generador de
variaciones aleatorias cuya función de
densidad de probabilidad es:
• Hallar los valores generados de x
correspondientes a los números aleatorios
RND = 0.074, 0.262, 0.871;

37. • Ejercicio 2. Sea la siguiente f.d.p.
• Hallar los valores generados de X,
correspondientes a los números aleatorios
RND = 0.868, 0.617, 0.232

38. • EJERCICIO 3. Sea la función de densidad de
probabilidad uniforme en (a, b), definida por:
• En particular supongamos que a = 10 y b = 20,
con el generador de variaciones aleatorias
correspondiente, si los números aleatorios son
RND = 0.716, 0.586, 0.313; entonces, x= ?

39. Ejercicio 4
• Para los ejercicios 1,2 y 3 generar 10 valores
de la variable aleatoria para los siguientes
números aleatorios.
0.8191 0.7084 0.4739 0.3617 0.0511
0.9358 0.3175 0.7858 0.6605 0.6238

40. • A continuación generamos un número
aleatorio uniforme RND, y si:
• 0.000 <= RND ? 0.223, entonces x = 0
0.224 <= RND <= 0.558, “ “ x = 1
0.559 <= RND <= 0.809, “ “ x = 2
0.810 <= RND <= 0.934, “ “ x = 3
0.935 <= RND <= 0.981, “ “ x = 4
0.982 <= RND <= 0.995, “ “ x = 5
0.996 <= RND <= 1.000, “ “ x = 6

41. Práctica: EJERCICIO DE SIMULACION
• UNA CADENA DE PANADERIAS REPARTE CIERTO TIPO DE PAN
DIARIAMENTE. SE TIENEN LAS DISTRIBUCIONES SIGUIENTES:
– NUMERO DE PANES ENTREGADOS DIARIAMENTE
– NUMERO DE CLIENTES QUE BUSCAN DIARIAMENTE ESE
PAN
– NUMERO DE PANES QUE SE COMPRAN POR CLIENTE

42. NUMERO DE PANES ENTREGADOS POR CLIENTE
PANES FRECUENCIA PROBABILIDAD
´POR DIA
10 5
11 10
12 20
13 30
14 20
15 10
16 5

43. NUMERO DE CLIENTES QUE BUSCAN ESE PAN
DIARIAMENTE
NO DE FRECUENCIA PROBABILIDAD
CLIENTES
5 10
6 15
7 20
8 40
9 10
10 5

44. NUMERO DE PANES COMPRADOS POR
CLIENTE
NO. DE FRECUENCIA PROBABILIDAD
PANES POR
CLIENTE
1 40
2 40
3 20

45. QUE SE DESEA?
• SE DESEA ESTIMAR EL NUMERO PROMEDIO
DE:
– PANES NO VENDIDOS
– VENTAS PERDIDAS DEBIDO A QUE NO HAY
SUFICIENTE PAN
– NOTA: EL PAN QUE SE QUEDA UN DIA, SE REGALA
AL FINAL DEL DIA.

46. PROCEDIMIENTO
• 1. OBTENER LAS FUNCIONES DE
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
ACUMULADAS.
• 2. SELECCIONAR NUMEROS ALEATORIOS
ENTRE 0 Y 1 Y ENCONTRAR LOS VALORES DE
CADA VARIABLE.
• 3. EVALUAR RESULTADOS

47. Día Nro.
Aleato
rio
Panes
a ven-
der Nro.
Aleator
io
Clien-
tes
Nro.
Aleatori
o
Panes
por
Cliente
Panes
no
vendi-
dos
Ventas
no
realiza-
das
Panes
regala-
dos en
la
noche
1 0.608 0.981 0.321
2 0.861 0.24 0.915
3 0.215 0.207 0.429
4 0.38 0.987 0.269
5 0.775 0.32 0.576
6 0.022 0.574 0.856
7 0.048 0.502 0.347
8 0.029 0.396 0.564
9 0.333 0.815 0.045
10 0.844 0.43 0.321
totales