Diapositivas del curso de Probabilidad y Estadística en la Prepa-UVAQ campus Santo Tomas Moro. Vemos lo que es una distribución de probabilidad, y aprendemos a calcular la esperanza, la varianza y la desviación típica(desviación estándar) de una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta.

1. Estadística y
Probabilidad II
Distribuciones de
Probabilidad
Ciclo escolar 2014-2015

2. Variable Aleatoria
• Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada
elemento del espacio muestral Ω un número real.
• Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables
aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar
valores concretos de las mismas.
• Ejemplos de variables aleatorias
– El numero de veces que sale águila al lanzar una moneda 4 veces
– La altura de los alumnos de una clase
– La horas de duración de una pila
– Cantidad de artículos defectuosos en un lote que se examina para
control de calidad
– Cantidad de usuarios en un sitio de internet durante determinado día
– Nivel de azúcar en la sangre en una muestra de pacientes
– Cantidad de puntos con los que cierra la Bolsa Mexicana de Valores
cada día de operaciones
– Numero de goles que anota un equipo de futbol durante un partido

3. Variable Aleatoria
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas
• Una variable aleatoria discreta puede tomar un numero
finito o infinito contable de valores. Por lo general estas
variables se asocian a procesos de contar por lo que toman
valores como 0, 1, 2, …
– Ejemplos: El número de hijos de una familia, la puntuación
obtenida al lanzar un dado.
• Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier
valor dentro de un intervalo dado, por tal motivo es común
que se expresen mediante rangos de valores. Por lo común
estas variables se asocian a procesos de medir
– Ejemplos: La temperatura de una ciudad durante el día, la
calificación de un examen.

4. Distribución de Probabilidad de una
variable aleatoria discreta
• Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la
aplicación que asocia a cada valor de 𝑥𝑖 de la variable su respectiva
probabilidad 𝑝𝑖 y se representa por 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖.
• Las funciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta satisfacen
 𝑓 𝑥𝑖 ≥ 0 para todo 𝑥𝑖
 𝑖 𝑓 𝑥𝑖 = 1.
• Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad del numero de águilas
obtenidas al lanzar 3 monedas, y calcule también
a) 𝑃 2
b) 𝑃 𝑋 < 2
c) 𝑃 𝑋 ≤ 2
d) 𝑃 𝑋 > 2

5. Actividad
• Calcule la función de probabilidad de las
puntuaciones que se obtienen al lanzar un par de
dados, y calcule las probabilidades siguientes.
• 𝑃 𝑋 = 2
• 𝑃 4 < 𝑋 < 8
• 𝑃 𝑋 ≥ 7
• 𝑃 𝑋 = 5
• 𝑃 𝑋 > 3
• 𝑃 7 < 𝑋 ≤ 9

6. Esperanza Matemática
• Un concepto muy importante en probabilidad y
estadística es el de la esperanza matemática, valor
esperado o brevemente esperanza de una variable
aleatoria. Tiene muchas aplicaciones no solo teóricas
donde se da un indicio de que se puede esperar de
ciertas distribuciones de probabilidad, sino también
practica como en juegos de apuestas, calcular
esperanza de vida para estimar el precio de un seguro,
así como valorar si el precio de una rifa es justo o no.
Definición: La esperanza matemática de una variable
aleatoria discreta se define y denota por
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑃(𝑥)

7. Ejemplo: Calcule la esperanza matemática de la distribución
de probabilidad del problema del par de dados
Actividad:
I. Calcula la esperanza matemática de la
distribución de probabilidad binomial con
los siguientes datos.
a) n=4, p=0.1, q=0.9
b) n=6, p=0.4, q=0.6
II. Calcule la esperanza matemática de las
siguientes distribuciones de probabilidad.
x p(x)
2 0.0278
3 0.0556
4 0.0833
5 0.1111
6 0.1389
7 0.1667
8 0.1389
9 0.1111
10 0.0833
11 0.0556
12 0.0278
1
xp(x)
x p(x)
33 0.1
21 0.2
2 0.3
7 0.4
x p(x)
6 0.01
7.5 0.21
4 0.32
-2 0.31
2 0.15

8. Varianza y Desviación Típica
• Anteriormente habíamos mostrado la importancia de la esperanza
matemática la cual se denota por 𝜇. Otra cantidad de gran importancia en
Probabilidad y Estadística se llama la varianza y se define por
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2
• Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad 𝑝 𝑥 ,
entonces la varianza es
𝜎2
= 𝑥 − 𝜇 2
𝑝 𝑥
• La Varianza es un numero no negativo. A la raíz cuadrada positiva de la
varianza se le llama desviación típica (o también desviación estándar en
otros textos) y esta dada por
𝜎 = 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋

9. Ejemplo: Use el ejemplo de par de dados y calcule su varianza y
desviación típica.
𝜎2
xp(x)
0.0556
0.1667
0.3333
0.5556
0.8333
1.1667
1.1111
1.0000
0.8333
0.6111
0.3333
7.0000
x p(x)
2 0.0278
3 0.0556
4 0.0833
5 0.1111
6 0.1389
7 0.1667
8 0.1389
9 0.1111
10 0.0833
11 0.0556
12 0.0278
1
𝜇
x-m (x-m)² (x-m)²p(x)
Actividad: Calcula
la esperanza
matemática, la
varianza y la
desviación típica
de la distribución
de probabilidad
cuando
n=5, p=0.2, q=0.8