Raices de ecuaciones

CÁLCULO DE RAÍCES DE
ECUACIONES NO LINEALES
Por Frednides Guillén

MÉTODO DE BISECCIÓN
• Este método consiste en hallar los ceros de una función
continua f(x).
• Primero se debe considerar un intervalo [xi, xs] en el que
se garantice que la función tiene raíz.
• Para ello f(xi) y f(xs) deben ser de diferentes signos. Por
lo tanto debe cumplirse que:
f(xi) • f(xs) < 0
• De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe
un numero xr en [xi, xs] tal que f(xr) = 0

xi xs
x
f(xi)
f(xs)
f(x)

• Si f(xi)=0 --> f(xi) es raíz.
• Si f(xs)=0 --> f(xs) es raíz
• El segmento [xi, xs] se bisecta, tomando el punto de
bisección xr como aproximación de la raíz buscada.
• Se determina el signo de f(xr) y se sustituye el extremo
cuyo signo coincida y se desecha el resto del intervalo.
2
is
r
xx
x



• De esta forma se generan intervalos que encierran la
raíz buscada y que son de longitud igual a la mitad de la
longitud del intervalo del paso anterior.
• El método divide a la mitad cada nuevo intervalo que se
genere.

xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)

Seudo Código:
• Se define un intervalo [x1, x2] de la función f(x), donde la esta es continua y
se verifica que f(x1)·f(x2) < 0. Se define la tolerancia ε y el numero máximo
de iteraciones Nitera y hacer Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Hacer x3= (x1+x2)/2
– Si f(x3)·f(x1) < 0
• Entonces x2 = x3
• Sino x1 = x3
– Fin del Si
• Hasta que |(x1 - x3)|< 2 ε o Iter == Nitera
• Imprimir “La raíz es: ” x3

• Cálculo del error:
• El error exacto no se puede calcular si no conocemos la
solución exacta (si se conoce, no es necesario el
método iterativo). En la práctica, se estima el error
mediante la distancia entre dos iteraciones
consecutivas.
)2ln(
ln
2
12
12







 



Error
xx
n
xx
Error n

Ejemplo:
• Calcular la raíz de f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2]. Calcular con una precisión de 3
decimales exactos. ¿Cuántos dígitos significativos tiene
la aproximación calculada después de la cuarta
iteración?
• Cuántas iteraciones serán necesarias para alcanzar una
precisión de 6 decimales exactos?

Iteración x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)
1 1 -4 2 3 1,5 -1,875
2 1,5 -1,875 2 3 1,75 0,171875
3 1,5 -1,875 1,75 0,171875 1,625 -0,943359
4 1,625 -0,943359 1,75 0,171875 1,6875 -0,409424
5 1,6875 -0,409424 1,75 0,171875 1,71875 -0,124786
6 1,71875 -0,124786 1,75 0,171875 1,734375 0,02203
7 1,71875 -0,124786 1,734375 0,02203 1,726563 -0,051755
8 1,726563 -0,051755 1,734375 0,02203 1,730469 -0,014957

Ventajas:
• Es robusto
• De fácil aplicación
• No necesita calcular la derivada
Desventajas
• Es lento
• No detecta ceros en mín. o máx. locales
• No detecta un número par de ceros

MÉTODO DE REGULA-FALSI
• Conocido también como método de falsa posición
• Primero se selecciona un intervalo [a, b] tal que
f(a)· f(b) < 0
• Hallar el punto c que divide el intervalo [a, b], al trazar
una recta de f(a) hasta f(b), para ello:
• Elegir, entre [a, c] y [c, b], un intervalo en el que la
función cambie de signo.
• Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión
deseada.
)()(
)(
afbf
ab
afac




f(x)
x

a b
f(x)
x
f(a)
f(b)

c
f(c)
a b
f(x)
x
f(a)
f(b)
Se hace b = c
La solución está en el
Intervalo [a, c]

• El método de Regula Falsi, como él de bisección, parte
de un intervalo en el que la función cambia de signo y lo
divide en dos partes. La diferencia es que los
subintervalos ahora son proporcionales a los valores de
la función en los extremos.
• El método converge generalmente con más rapidez que
la bisección, pero no garantiza que el intervalo de
búsqueda de la raíz se haga pequeño. Típicamente, un
extremo queda fijo mientras que el otro se acerca a la
raíz.

• El criterio de convergencia es diferente al método de
bisección. En este caso se utiliza:
| cactual – canterior |  ε
• También se puede emplear:
| f(c) |  ε

Ventajas:
• En algunos casos es más rápido que bisección
• No necesita calcular derivadas
Desventajas
• No detecta un número par de ceros
• No detecta ceros en mínimos locales

• Ejemplo:
el intervalo [1, 2]. Calcular con una precisión de 3
decimales exactos.
• ¿Cuántos dígitos significativos tiene la aproximación
calculada después de la cuarta iteración?.

Iteracion x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)
1 1 -4 2 3 1,5714 -1,364431
2 1,5714 -1,3644 2 3 1,7054 -0,247745
3 1,7054 -0,2477 2 3 1,7279 -0,039340
4 1,7279 -0,0393 2 3 1,7314 -0,006111
5 1,7314 -0,0061 2 3 1,7320 -0,000946
6 1,7320 -0,0009 2 3 1,7320 -0,000146
7 1,7320 -0,0001 2 3 1,7320 -0,000023
8 1,7320 0,0000 2 3 1,7321 -0,000004

Seudo Código:
• Se define un intervalo [x1, x2] de la función f(x), donde la esta es continua y
se verifica que f(x1)·f(x2) < 0. Se define la tolerancia ε y el numero máximo
de iteraciones Nitera y hacer Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Hacer x3= x1-f(x1)(x2-x1)/(f(x2)-f(x1))
– Si f(x3)·f(x1) < 0
• Entonces x2 = x3
• Sino x1 = x3
– Fin del Si
• Hasta que |f(x3)|< ε o Iter == Nitera

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• El método de Newton Raphson aplica si f(x), f’(x) y f’’(x)
son continuas y es uno de los algoritmos mas útiles y
mejor conocido.
• Se parte de una aproximación inicial x0 la cual es mejor
si está cerca de la raíz p

x0
f(x)
x
f(x0)

• Luego se obtiene el valor de la función por ese punto y
se traza una recta tangente a la función por ese punto.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x1, 0), constituye una segunda aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección xn coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.

f(x0)
x0
f(x)
xx1

x0
f(x)
x
f(x0)
x1
f(x1)

x0
f(x)
x
f(x0)
x1
f(x1)
x2 x3

• Primero se calcula la pendiente de la recta tangente:
• m es la pendiente de la recta tangente que pasa por el
punto x0; por lo tanto: m = f’(x0)
• Igualando las dos ecuaciones anteriores de m y
despejando x1 se tiene:
• Se puede emplear como criterio de convergencia:
| (x0 - x1)/ x1 | < ε (Error relativo)
01
0 )(0
xx
xf
m



)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx 

Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
f(x)
X3 X1
X0 X2
X

Seudo Código:
• Se define el valor inicial x0 de la función f(x)
• Se define la tolerancia ε y el número máximo de iteraciones Nitera y se
hace Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Calcular x1= x0-f(x0)/f’(x0)
– Calcular error = |x1 - x0 |
– Hacer X0 = X1
• Hasta que error < ε o Iter == Nitera

Código en Scilab:
x0=2; tol=1e-5; Niter=30;
for Iter=0:Niter
Iter = Iter + 1;
x1 = x0 - (x0^3+x0^2-3*x0-3)/(3*x0^2+2*x0-3);
err = abs(x1-x0);
x0 = x1;
if (err <= tol) then
break
end
end
disp (x0);

Ejemplo:
el intervalo [1, 2], utilice x0=2. Calcular con una precisión
de 3 decimales exactos.
• ¿Cuál es el error absoluto para la cuarta iteración?.

Iteración x0 f(x0) f '(x0) x1 Error
1 2 3 13 1,769230769 0,130434783
2 1,769230769 0,360491579 9,928994083 1,73292381 0,020951272
3 1,73292381 0,00826691 9,474922419 1,732051306 0,00050374
4 1,732051306 4,71824E-06 9,464107793 1,732050808 2,87832E-07
5 1,732050808 1,53921E-12 9,464101615 1,732050808 9,38406E-14

MÉTODO DE LAS SECANTES
• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1
para los cuales se evalúan los valores de la función:
• Se traza una recta secante a la función por esos dos
puntos.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección xn coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.

x0 x1 x2
x
f (x0)
x3
f (x)
f (x1)
f (x2)
f (x3)

• La pendiente de la recta se calcula como:
• La intercepción con el eje x es:
01
01
xx
)f(x)f(x
m



)()(
)(
)(
01
01
002
002
xfxf
xx
xfxx
mxfxx





Algoritmo
• Entrar los datos x0, x1, tol, Nitera, Iter=0
• Repetir
 Iter = Iter +1; x2=x0-f (x0)(x1-x0)/(f (x1)-f (x0))
 Hacer x0=x1 y x1=x2
 Error =│(x0 – x1) / x1│*100 (Error Relativo porcentual)
• Hasta que Error ≤ tol o Iter = Nitera
• Imprimir x2

Ejemplo:
el intervalo [1, 2], utilice x0=3 y x1=2. Calcular con una
precisión de 3 decimales exactos.

Iteración x0 x1 x2 Error Absoluto
1 3 2 1,857142857 0,076923077
2 2 1,857142857 1,750424448 0,060967161
3 1,857142857 1,750424448 1,733455735 0,009788951
4 1,750424448 1,733455735 1,732067544 0,000801465
5 1,733455735 1,732067544 1,732050823 9,6541E-06
6 1,732067544 1,732050823 1,732050808 8,88175E-09
7 1,732050823 1,732050808 1,732050808 9,73019E-14

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• Considera la descomposición de la función f(x) en una
diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la
segunda, siempre la función x.
f(x) = g(x) – x
• La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir,
cuando g(x) – x = 0, por lo que:
x = g(x)
• El punto de intersección de las dos funciones, da
entonces el valor exacto de la raíz.

• El método consiste en considerar un valor inicial x0,
como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta
función g(x0), considerando éste como una aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide
prácticamente con x.
• Se puede emplear como criterio de convergencia
| (x0 - x1)/ x1 | < ε (Error Relativo)

Algoritmo:
• Se inicializan las variables x0, tol, Nitera,
Iter=0
• Repetir
 Iter = Iter +1
 Hacer x1= g(x0)
 Error =│(x0 – x1) / x1│ (Error Absoluto)
 Hacer x0 = x1
• Hasta que Error ≤ tol o Iter = Nitera
• Imprimir x0

Ejemplo:
el intervalo [1, 2], utilice x0=2. Calcular con una precisión
de 3 decimales exactos.

Iteración x0 x1 Error Absoluto
1 2 1,709975947 0,169607095
2 1,709975947 1,733134316 0,013362132
3 1,733134316 1,731994802 0,00065792
4 1,731994802 1,732053695 3,40019E-05
5 1,732053695 1,732050659 1,75317E-06
6 1,732050659 1,732050815 9,04059E-08
7 1,732050815 1,732050807 4,66195E-09
8 1,732050807 1,732050808 2,40402E-10
3 2
33
)(
xxx
xgx



Raices de ecuaciones

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (9)

Similar a Raices de ecuaciones

Similar a Raices de ecuaciones (20)

Raices de ecuaciones