Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. Primero, se debe verificar si la ecuación es homogénea evaluando si los términos M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Luego, se realiza un cambio de variable sustituyendo x o y para dejar la ecuación en forma de variables separables que puede integrarse obteniendo la solución.

1. Solución de Ecuaciones Diferenciales Homogeneas Fabián Israel Trejo Garcia 9310383

2. Homogéneas Un poco de teoria A partir de la siguiente ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Se dice que es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado EJEMPLO: Sea𝑓𝑥,𝑦=𝑥3−𝑥2es homogénea Sea𝑓𝑥,𝑦=𝑥3−𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑦No es homogénea Forma básica

3. Homogéneas Como evaluar….? Por inspección Tomando en cuenta la siguiente forma f(𝑡𝑥𝑛,𝑡𝑦𝑛)=𝑡𝑛𝑓(𝑥𝑛,𝑦𝑛) Evaluamos la siguiente ecuación: (𝑡𝑥)2𝑡𝑦+4𝑡𝑥3+3𝑡𝑥𝑡𝑦2 𝑡3 𝑥2𝑦+4𝑡3𝑥3+3𝑡3𝑥 𝑦2 𝑡3( 𝑥2𝑦+4𝑥3+3𝑥 𝑦2) Obtenemos 𝑡3 la ecuación es de grado 3 este procedimiento aplica para M y N si ambos son del mismo grado la ecuación es homogénea 𝑓𝑥,𝑦=𝑥2𝑦+4𝑥3+3𝑥𝑦2

4. Homogéneas Suma de exponentes Este es método es mas sencillo pero necesita ser mas atento y conocer bien las propiedades de los exponentes EJEMPLO 𝐲𝟐+𝐱𝐲𝐝𝐱+𝐱𝟐𝐝𝐲=𝟎 El 1er termino es de grado dos, el segundo termino es una multiplicación de variables y sus exponentes se suman siendo dos para M para en solo es una variable que es de grado dos, la ecuación es homogénea GRAFICAMENTE 𝑦2=2do grado 𝑥1𝑦1= 2do grado 𝑥2=2do grado 𝑀𝑦2+𝑥𝑦=𝑁(𝑥2)

5. Ya acabamos…? Los pasos anteriores son solo para verificar si la ecuación es homogénea y que grado tiene. El siguiente paso es CAMBIO DE VARIABLE Homogéneas

6. Homogéneas Cambio de variable Lo que aremos a continuación es; sustituir alguno de los términos (x) o (y), por las ecuaciones en (u) y = uxdy= udx + xdu x = uy dx = udy + ydu u = x +y dy= du - dx

7. Homogéneas EJEMPLO Tenemos (𝑦+𝑥cos𝑦𝑥𝑑𝑥)−𝑥𝑑𝑦=0 Sustituimos a ("𝑦") por 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 por (𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢) Y tenemos (𝒖𝒙+𝒙𝒄𝒐𝒔𝒖𝒙𝒙𝒅𝒙)−𝒙(𝒖𝒅𝒙+𝒙𝒅𝒖) =𝟎 Factorizando("𝑥")en el primer termino tenemos: (𝒙(𝒖+𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒙)=𝒙(𝒖𝒅𝒙+𝒙𝒅𝒖) Si dividimos toda la ecuacion÷(x) nos queda: (𝒖+𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒙)=𝒖𝒅𝒙+𝒙𝒅u

8. Homogéneas Si multiplicamos 𝒅𝒙 𝒖𝒅𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒙=𝒖𝒅𝒙+𝒙𝒅u Se puede eliminar 𝒖𝒅𝒙 Quedando así: 𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒙−𝒙𝒅u=𝟎 Ahora tenemos una ecuación de variables separables 𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒙−𝒙𝒅u=𝟎 Integrando : 𝑑𝑥𝑥=−cos𝑢𝑑𝑢 Obtenemos: 𝐥𝐨𝐠|𝒙|=𝐥𝐨𝐠|𝐬𝐞𝐜𝒖+𝐭𝐚𝐧𝒖|+𝑪 Sustituyendo “u” 𝐥𝐨𝐠|𝒙|=𝐥𝐨𝐠|𝐬𝐞𝐜𝒚𝒙+𝐭𝐚𝐧𝒚𝒙|+𝑪

9. Homogéneas Resumen En este método primero se tiene que verificar si la ecuación es homogénea Existen dos formas de saberlo Después de eso tenemos que sustituir alguna de las variables Factorizary eliminar los términos semejantes Dejando así una ecuación de variables separables Separando cada derivada con su función e integramos

10. Referencias y Conclusion Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería EvgueniiKurmyshev Editorial Limusa Pág. 5 Apuntes de clase Esta presentacion es muy simple tratando se ser breves sin tanto rollo para que sea mas entendible espero sea de utilidad para los demás que necesiten de estos temas Homogéneas