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Concepto de producto escalar y espacio euclídeo
Módulo de un vector, ángulo, distancia y ortogonalidad
Proceso de ortonormalización de Gramm-Schmidt
Variedad lineal ortogonal
Tema 5: Espacio Euclídeo
Matemáticas I
IITV

Contenidos
1 Concepto de producto escalar y espacio euclídeo
2 Módulo de un vector, ángulo, distancia y ortogonalidad
3 Proceso de ortonormalización de Gramm-Schmidt
4 Variedad lineal ortogonal

Producto escalar
En Rn, un producto escalar es una aplicacion
< ·, · >: Rn × Rn −→ R que verica:
1 x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ Rn
2 λx, y = λ x, y , x, λy = λ x, y , ∀x, y ∈ Rn,
∀λ ∈ R
3 x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇐⇒ x = 0; ∀x ∈ Rn
4 x, y = y, x , ∀x, y ∈ Rn
Espacio euclídeo
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial dotado de un
producto escalar: (V, ·, · )

Nota
Usaremos el producto escalar usual que viene dado por





x1
·
·
xn



 ,




y1
·
·
yn



 = x1y1 + . . . + xnyn
Ejemplo
Sean en R4 los vectores x =




1
2
−1
3



, y =




−1
1
2
0




x, y =




1
2
−1
3



 ,




−1
1
2
0



 = −1 + 2 − 2 + 0 = −1

Módulo o norma
Se dene la norma o módulo de un vector x ∈ Rn como
||x|| =
√
x, x
Propiedades
1 ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ Rn
2 ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
3 ||λx|| = |λ|||x||
4 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
5 | x, y | ≤ ||x|| ||y||
Expresión trigonométrica de producto escalar
Se verica que x, y = ||x|| ||y||cos(
z}|{
x, y )

Ángulo
Se dene el ángulo que forman dos vectores x, y ∈ Rn como
el único α ∈ [0, π] tal que cos(α) = x,y
||x|| ||y||
Perpendicularidad
Dos vectores, x, y ∈ Rn son perpendiculares u ortogonales
(x ⊥ y) si x, y = 0. Un vector se dice normalizado o
untario si ||x|| = 1.
Nota
Si x 6= 0, entonces y = x
||x|| es unitario.

base ortogonal y ortonormal
Una base B = {u1, . . . , un} es ortogonal si ui, uj = 0,
∀1 ≤ i j ≤ n. La base B es ortonormal si además se verica
||uk|| = 1, ∀1 ≤ k ≤ n.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Dada una base B = {x1, . . . , xn}, construímos una base
ortogonal B0 = {y1, . . . , yn} y otra ortonormal
B00 = {z1, . . . , zn}

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
y1 = x1, z1 = y1
||y1||
y2 = x2 + λy1, y2, y1 = 0, x2 + λy1, y1 = x2, y1
+λ y1, y1 = 0, λ = −x2,y1
y1,y1 . Así,
y2 = x2 − x2,y1
y1,y1 y1, z2 = y2
||y2||
y3 = x3 + λy1 + µy2, como
y3, y1 = x3 + λy1 + µy2, y1 = 0, deducimos que
λ = −x3,y1
y1,y1 . Además, como
y3, y2 = x3 + λy1 + µy2, y2 = 0, obtenemos que
µ = −x3,y2
y2,y2 . Así que
y3 = x3 − x3,y1
y1,y1 y1 − x3,y2
y2,y2 y2, z3 = y3
||y3|| .

Ejemplo
Ortonormalizar la base B = {


1
0
1

 ,


0
1
1

 ,


1
0
0

} Sea
y1 = x1 =


1
0
1

, z1 = y1
||y1|| =



1
√
2
0
1
√
2


. Ahora
y2 = x2 − x2,y1
y1,y1 y1 =


0
1
1

 −





0
1
1



,




1
0
1




2


1
0
1

 =


−1/2
1
1/2

 y z2 = y2
||y2|| =



−
√
6
6
√
6
3
√
6
6




y3 = x3 − x3,y1
y1,y1 y1 − x3,y2
y2,y2 y2 =


1
0
0

 −





1
0
0



,




1
0
1









1
0
1



,




1
0
1






1
0
1

 −





1
0
0



,




−1/2
1
1/2









−1/2
1
1/2



,




−1/2
1
1/2






−1/2
1
1/2

 =


1/3
1/3
−1/3

 y
z3 = y3
||y3|| =


1/
√
3
1/
√
3
−1/
√
3

 =


√
3/3
√
3/3
−
√
3/3



Dada una variedad lineal, L ∈ Rn, la variedad lineal ortogonal
a L es L⊥ = {y ∈ Rn | x, y = 0, ∀x ∈ L}
Nota
1 Las variedades ortogonales son variedades
complementarias.
2 Si {a1, a2, . . . , an} es base de L, entonces todo vector
x ∈ L⊥ verica x, ai = 0, ∀1 ≤ i ≤ n. De hecho las
ecuaciones implícitas de L⊥ son







x, a1 = 0
x, a2 = 0
. . .
x, an = 0

Ejemplo
Calcular la variedad lineal ortogonal a L cuya base es
BL = {


1
1
1

 ,


1
1
0

}.
0 =


x
y
z

 ,


1
1
1

 = x + y + z
0 =


x
y
z

 ,


1
1
0

 = x + y
Por tanto unas ecuaciones implícitas de L⊥ son

x + y + z = 0
x + y = 0

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