Este documento presenta varios problemas relacionados con la programación lineal. El primer problema explica cómo representar desigualdades y encontrar la región definida por varias condiciones. Los problemas siguientes piden al estudiante que represente funciones, rectas y regiones, y encuentre puntos máximos y mínimos de funciones objetivo sujetas a restricciones lineales.
La compañía desea maximizar sus ingresos mensuales realizando auditorías y liquidaciones de impuestos. Para ello debe resolver un problema de programación lineal con restricciones en las horas de trabajo directo y de revisión disponibles, así como en el número máximo de liquidaciones. La solución óptima es realizar 100 liquidaciones que requieren 600 horas de trabajo directo, y 20 auditorías que requieren 220 horas de revisión, maximizando los ingresos en $10,500.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal. El Problema 1 explica cómo representar inecuaciones como rectas y determinar a qué semiplano pertenecen. Los Problemas 2 y 3 ilustran cómo representar regiones definidas por múltiples inecuaciones y encontrar puntos máximos y mínimos de funciones dentro de esas regiones. El Problema 4 encuentra el punto mínimo de una función dentro de una región dada.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal relacionados con la resolución de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones, así como la maximización de funciones objetivo sujetas a restricciones. Se proporcionan ejemplos de cómo representar gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones, así como cómo determinar los puntos donde una función alcanza sus valores máximos y mínimos dentro de un conjunto definido por restricciones. Finalmente, se plantea un problema de optimización sobre la producción de tartas sujeto
El documento describe una función que modela las ganancias o pérdidas de una empresa a lo largo del tiempo. Se determina que la empresa deja de tener pérdidas a los 2 años y que las ganancias son crecientes con el tiempo. Además, se calcula que las ganancias superan los 100.000 euros a partir de los 6 años y que el límite de las ganancias es 200.000 euros.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con las derivadas y sus aplicaciones. En la primera sección, se pide analizar las condiciones de crecimiento y decrecimiento de una función basadas en el signo de su primera y segunda derivada. Luego, se pide graficar una función con ciertas condiciones dadas en sus intervalos. En la segunda sección, se piden hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas en puntos específicos.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Este documento presenta el método gráfico y el método simplex para resolver modelos de programación lineal. Explica que el método gráfico solo se puede usar para problemas con dos variables, mientras que el método simplex puede resolver cualquier problema de programación lineal. Luego provee un ejemplo detallado de cómo usar el método gráfico para resolver un problema de mezcla de productos con dos variables de decisión.
El documento presenta varios ejercicios y problemas de programación lineal resueltos. Se muestran las regiones factibles, los vértices y valores de las funciones objetivo en cada caso. Los problemas involucran maximizar o minimizar funciones sujetas a restricciones de recursos, producción y costos. Se resuelven problemas de determinar la producción óptima, lotes y costos mínimos para satisfacer demanda u objetivos de ganancia.
La compañía desea maximizar sus ingresos mensuales realizando auditorías y liquidaciones de impuestos. Para ello debe resolver un problema de programación lineal con restricciones en las horas de trabajo directo y de revisión disponibles, así como en el número máximo de liquidaciones. La solución óptima es realizar 100 liquidaciones que requieren 600 horas de trabajo directo, y 20 auditorías que requieren 220 horas de revisión, maximizando los ingresos en $10,500.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal. El Problema 1 explica cómo representar inecuaciones como rectas y determinar a qué semiplano pertenecen. Los Problemas 2 y 3 ilustran cómo representar regiones definidas por múltiples inecuaciones y encontrar puntos máximos y mínimos de funciones dentro de esas regiones. El Problema 4 encuentra el punto mínimo de una función dentro de una región dada.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal relacionados con la resolución de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones, así como la maximización de funciones objetivo sujetas a restricciones. Se proporcionan ejemplos de cómo representar gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones, así como cómo determinar los puntos donde una función alcanza sus valores máximos y mínimos dentro de un conjunto definido por restricciones. Finalmente, se plantea un problema de optimización sobre la producción de tartas sujeto
El documento describe una función que modela las ganancias o pérdidas de una empresa a lo largo del tiempo. Se determina que la empresa deja de tener pérdidas a los 2 años y que las ganancias son crecientes con el tiempo. Además, se calcula que las ganancias superan los 100.000 euros a partir de los 6 años y que el límite de las ganancias es 200.000 euros.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con las derivadas y sus aplicaciones. En la primera sección, se pide analizar las condiciones de crecimiento y decrecimiento de una función basadas en el signo de su primera y segunda derivada. Luego, se pide graficar una función con ciertas condiciones dadas en sus intervalos. En la segunda sección, se piden hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas en puntos específicos.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Este documento presenta el método gráfico y el método simplex para resolver modelos de programación lineal. Explica que el método gráfico solo se puede usar para problemas con dos variables, mientras que el método simplex puede resolver cualquier problema de programación lineal. Luego provee un ejemplo detallado de cómo usar el método gráfico para resolver un problema de mezcla de productos con dos variables de decisión.
El documento presenta varios ejercicios y problemas de programación lineal resueltos. Se muestran las regiones factibles, los vértices y valores de las funciones objetivo en cada caso. Los problemas involucran maximizar o minimizar funciones sujetas a restricciones de recursos, producción y costos. Se resuelven problemas de determinar la producción óptima, lotes y costos mínimos para satisfacer demanda u objetivos de ganancia.
Este documento presenta un curso sobre programación lineal. Explica los objetivos del curso, que incluyen entender la programación lineal y cómo resolver problemas aplicando este método. También define conceptos clave como función objetivo, restricciones y región factible. Presenta ejemplos resueltos paso a paso y un algoritmo general para resolver problemas de programación lineal.
primer parcial de analisis del cbc ciencias economicasapuntescbc
1) El conjunto A se puede expresar como la unión de dos intervalos: A = (0, 1/2) ∪ (2, +∞). El ínfimo de A es 0 pero no tiene supremo.
2) El límite cuando x tiende a 0 del seno de 3x entre raíz cuadrada de x es 0.
3) Para calcular la demanda marginal en x=48 de la función de ingreso total R(x)=x(800-6x)^(1/3), se deriva R(x) y se evalúa en x=48.
1) El documento describe cuatro casos de integrales racionales dependiendo de la forma del denominador. 2) En cada caso se explica el artificio o método para resolver la integral racional. 3) Los casos van desde denominadores con factores lineales sin repetición hasta factores cuadráticos repetidos.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre dominios de funciones y gráficas de funciones. Los ejercicios 1-15 se enfocan en determinar el dominio de definición de diferentes funciones dadas sus expresiones analíticas. Los ejercicios 16-30 piden asociar gráficas de funciones con sus correspondientes expresiones analíticas. Los ejercicios 31-55 solicitan representar gráficamente diferentes funciones. Finalmente, los ejercicios 56-58 plantean problemas de áreas, perímetros y conversión de unidades relacionadas con
Este documento presenta una introducción teórica a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, crecimiento, funciones polinómicas y otros tipos de funciones. Luego, proporciona ejercicios resueltos sobre cómo hallar el dominio de funciones, calcular la inversa de funciones y otros conceptos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar conceptos básicos sobre funciones a través de ejemplos y problemas resueltos paso a paso.
Este documento contiene 30 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica de funciones, composición de funciones, funciones inversas y expresión de funciones en intervalos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para cada ejercicio de manera concisa.
Este documento presenta un ejemplo de resolución de un problema de programación lineal utilizando el método gráfico. El problema implica maximizar las ganancias de una empresa de televisión al producir televisores de 27" y 20" sujeto a restricciones de ventas máximas, horas de producción disponibles y demanda del mercado. El método gráfico se utiliza para graficar las restricciones y determinar los valores óptimos de X e Y que maximizan la función objetivo de Z = 120X + 80Y.
Sesion 01-M1-4020-2021. adicion-y-sustraccion-de-numeros-enterosJorge La Chira
Este documento introduce los conceptos básicos de la adición y sustracción de números enteros. Explica que la adición de enteros se puede interpretar como desplazamientos a lo largo de una recta numérica, donde los números positivos representan avanzar y los negativos retroceder. Luego presenta las reglas de signos para la adición y sustracción de enteros, así como algunas propiedades importantes como la conmutativa, asociativa y la existencia de un elemento neutro. Finalmente, propone ejercicios para practicar estas operaciones.
Este documento contiene 24 ejercicios de funciones que involucran conceptos como dominio de definición, gráficas de funciones, expresiones analíticas, representación gráfica de funciones y conversión de unidades. Los ejercicios van desde hallar el dominio de definición y representar gráficas de funciones dadas, hasta obtener funciones que relacionen diferentes magnitudes físicas.
1) Se presentan varios problemas de optimización que involucran hallar las dimensiones de figuras geométricas que maximicen el área, volumen u otro objetivo.
2) Los problemas se resuelven encontrando una expresión para la función objetivo en términos de las variables, derivando la función y hallando sus ceros para determinar los puntos críticos, y evaluando la segunda derivada para identificar máximos.
3) La mayoría de problemas concluyen que la figura óptima es un cuadrado u otro polígono regular.
Este documento presenta varios problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Explica cómo plantear dos ecuaciones para cada problema y resolver el sistema obteniendo las soluciones. Resuelve 8 problemas como ejemplos mostrando cada paso del proceso.
Este documento describe la función cuadrática y sus propiedades. Explica que una función cuadrática se define como f(x)=ax2+bx+c, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0. Señala que el signo de a determina si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y que el valor de c corresponde al punto donde la parábola intercepta el eje y. Finalmente, indica que dada una función cuadrática se pueden identificar sus elementos para graficarla.
segundo parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 4 ejercicios de análisis matemático con sus respectivas respuestas: 1) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de una función, 2) Calcular una integral definida, 3) Hallar el área de una región delimitada por curvas, 4) Estudiar la convergencia de una serie de potencias.
Este documento presenta 12 problemas de optimización que involucran funciones objetivo y condiciones. Cada problema describe una situación real y pide determinar las dimensiones óptimas para maximizar o minimizar alguna medida, como área, perímetro o costo. Los problemas se resuelven aplicando cálculo diferencial e integral para encontrar extremos locales y comprobar si son máximos o mínimos.
Primer trabajo de matemática iii(1)yenyjlo45328005
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo de integrales indefinidas e integrales definidas. Los ejercicios incluyen calcular integrales con funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como determinar áreas de regiones delimitadas por funciones. También incluye ejercicios sobre derivadas parciales, máximos y mínimos de funciones y cálculo de excedentes del consumidor y productor.
India and Japan agreed to an annual rowing race between 8-person teams. The first year, Japan won by 1 mile. In response, India established an analyst team to review and recommend solutions. It was found that the Japanese team had 7 rowers and 1 captain, while the Indian team had 7 captains and 1 rower. India hired consultants who concluded too many captains and too few rowers was the issue. They restructured to have 4 captains, 2 managers, 1 top manager, and 1 rower. The next year, Japan won by 2 miles, so India fired the rower but paid bonuses to management for their preparation efforts. The consultants determined the strategy was sound but the tool used needed improving
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to request help.
Thailand's dairy industry has modernized since commercial dairy farming began in 1962. The dairy cattle population declined slightly to 408,350 heads in 2004, with Holstein Friesian now comprising over 62.5% of the herd. Milk production has increased steadily, reaching 746,646 tons in 2004. The government is working to further modernize the industry through technology for dairy farm management, processing, and marketing to increase productivity and milk quality.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to indicate if they need help.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to request help.
Este documento presenta un curso sobre programación lineal. Explica los objetivos del curso, que incluyen entender la programación lineal y cómo resolver problemas aplicando este método. También define conceptos clave como función objetivo, restricciones y región factible. Presenta ejemplos resueltos paso a paso y un algoritmo general para resolver problemas de programación lineal.
primer parcial de analisis del cbc ciencias economicasapuntescbc
1) El conjunto A se puede expresar como la unión de dos intervalos: A = (0, 1/2) ∪ (2, +∞). El ínfimo de A es 0 pero no tiene supremo.
2) El límite cuando x tiende a 0 del seno de 3x entre raíz cuadrada de x es 0.
3) Para calcular la demanda marginal en x=48 de la función de ingreso total R(x)=x(800-6x)^(1/3), se deriva R(x) y se evalúa en x=48.
1) El documento describe cuatro casos de integrales racionales dependiendo de la forma del denominador. 2) En cada caso se explica el artificio o método para resolver la integral racional. 3) Los casos van desde denominadores con factores lineales sin repetición hasta factores cuadráticos repetidos.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre dominios de funciones y gráficas de funciones. Los ejercicios 1-15 se enfocan en determinar el dominio de definición de diferentes funciones dadas sus expresiones analíticas. Los ejercicios 16-30 piden asociar gráficas de funciones con sus correspondientes expresiones analíticas. Los ejercicios 31-55 solicitan representar gráficamente diferentes funciones. Finalmente, los ejercicios 56-58 plantean problemas de áreas, perímetros y conversión de unidades relacionadas con
Este documento presenta una introducción teórica a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, crecimiento, funciones polinómicas y otros tipos de funciones. Luego, proporciona ejercicios resueltos sobre cómo hallar el dominio de funciones, calcular la inversa de funciones y otros conceptos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar conceptos básicos sobre funciones a través de ejemplos y problemas resueltos paso a paso.
Este documento contiene 30 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica de funciones, composición de funciones, funciones inversas y expresión de funciones en intervalos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para cada ejercicio de manera concisa.
Este documento presenta un ejemplo de resolución de un problema de programación lineal utilizando el método gráfico. El problema implica maximizar las ganancias de una empresa de televisión al producir televisores de 27" y 20" sujeto a restricciones de ventas máximas, horas de producción disponibles y demanda del mercado. El método gráfico se utiliza para graficar las restricciones y determinar los valores óptimos de X e Y que maximizan la función objetivo de Z = 120X + 80Y.
Sesion 01-M1-4020-2021. adicion-y-sustraccion-de-numeros-enterosJorge La Chira
Este documento introduce los conceptos básicos de la adición y sustracción de números enteros. Explica que la adición de enteros se puede interpretar como desplazamientos a lo largo de una recta numérica, donde los números positivos representan avanzar y los negativos retroceder. Luego presenta las reglas de signos para la adición y sustracción de enteros, así como algunas propiedades importantes como la conmutativa, asociativa y la existencia de un elemento neutro. Finalmente, propone ejercicios para practicar estas operaciones.
Este documento contiene 24 ejercicios de funciones que involucran conceptos como dominio de definición, gráficas de funciones, expresiones analíticas, representación gráfica de funciones y conversión de unidades. Los ejercicios van desde hallar el dominio de definición y representar gráficas de funciones dadas, hasta obtener funciones que relacionen diferentes magnitudes físicas.
1) Se presentan varios problemas de optimización que involucran hallar las dimensiones de figuras geométricas que maximicen el área, volumen u otro objetivo.
2) Los problemas se resuelven encontrando una expresión para la función objetivo en términos de las variables, derivando la función y hallando sus ceros para determinar los puntos críticos, y evaluando la segunda derivada para identificar máximos.
3) La mayoría de problemas concluyen que la figura óptima es un cuadrado u otro polígono regular.
Este documento presenta varios problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Explica cómo plantear dos ecuaciones para cada problema y resolver el sistema obteniendo las soluciones. Resuelve 8 problemas como ejemplos mostrando cada paso del proceso.
Este documento describe la función cuadrática y sus propiedades. Explica que una función cuadrática se define como f(x)=ax2+bx+c, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0. Señala que el signo de a determina si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y que el valor de c corresponde al punto donde la parábola intercepta el eje y. Finalmente, indica que dada una función cuadrática se pueden identificar sus elementos para graficarla.
segundo parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 4 ejercicios de análisis matemático con sus respectivas respuestas: 1) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de una función, 2) Calcular una integral definida, 3) Hallar el área de una región delimitada por curvas, 4) Estudiar la convergencia de una serie de potencias.
Este documento presenta 12 problemas de optimización que involucran funciones objetivo y condiciones. Cada problema describe una situación real y pide determinar las dimensiones óptimas para maximizar o minimizar alguna medida, como área, perímetro o costo. Los problemas se resuelven aplicando cálculo diferencial e integral para encontrar extremos locales y comprobar si son máximos o mínimos.
Primer trabajo de matemática iii(1)yenyjlo45328005
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo de integrales indefinidas e integrales definidas. Los ejercicios incluyen calcular integrales con funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como determinar áreas de regiones delimitadas por funciones. También incluye ejercicios sobre derivadas parciales, máximos y mínimos de funciones y cálculo de excedentes del consumidor y productor.
India and Japan agreed to an annual rowing race between 8-person teams. The first year, Japan won by 1 mile. In response, India established an analyst team to review and recommend solutions. It was found that the Japanese team had 7 rowers and 1 captain, while the Indian team had 7 captains and 1 rower. India hired consultants who concluded too many captains and too few rowers was the issue. They restructured to have 4 captains, 2 managers, 1 top manager, and 1 rower. The next year, Japan won by 2 miles, so India fired the rower but paid bonuses to management for their preparation efforts. The consultants determined the strategy was sound but the tool used needed improving
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to request help.
Thailand's dairy industry has modernized since commercial dairy farming began in 1962. The dairy cattle population declined slightly to 408,350 heads in 2004, with Holstein Friesian now comprising over 62.5% of the herd. Milk production has increased steadily, reaching 746,646 tons in 2004. The government is working to further modernize the industry through technology for dairy farm management, processing, and marketing to increase productivity and milk quality.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to indicate if they need help.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to request help.
This document contains questions related to MGS eLearning. It includes a table of contents and questions related to the use of words. The document appears to be a set of questions to test knowledge of an eLearning system and vocabulary.
This document contains questions related to MGS eLearning. It includes a table of contents and questions related to the use of words. The document appears to be a set of questions to test knowledge of an eLearning system and vocabulary.
¿De quién hablas?/ Who are you talking about? Spanish Mann
El documento describe las características físicas y personales de una mujer y un hombre. La mujer tiene el pelo rojo, es baja, simpática e inteligente con ojos verdes. El hombre es rubio, castaño o hermoso, alto, estudioso y fuerte.
Warren Buffet, the second richest man in the world who has donated $31 billion to charity, was interviewed for one hour on CNBC. Some interesting aspects of his life are that he bought his first stock at age 11, still lives in the same small house he purchased over 50 years ago, and gives his CEOs just two rules: do not lose shareholders' money and do not forget the first rule. His advice for young people includes investing in yourself, not going into debt, and living simply.
The document provides an activity grid for the Olympics 2012 that includes various spelling and word-related activities:
1) Finding a spelling rule and applying it to words.
2) Assigning numbers to letters to code words.
3) Conducting a survey and graphing spelling abilities.
4) Arranging words in alphabetical order.
5) Devising and recording ways to remember spellings.
Computer centers place a few computers in a section of the classroom to allow students to work independently on assignments. Teachers should practice using centers with students first, clearly state assignments, and have a signal for students to indicate if they need help.
The document provides financial information for Sharon Bio-Medicine Ltd for the years 2010-11 and 2009-10. It includes various liquidity, solvency, and valuation ratios calculated for the company. The current ratio improved from 9.08:1 in 2009-10 to 9.59:1 in 2010-11. The net asset value per share increased from Rs. 108.90 to Rs. 136.32 over the same period. The market capitalization grew from Rs. 10,608.78 lacs to Rs. 15,834 lacs between 2009-10 and 2010-11.
Este documento presenta información sobre los medios educativos pre-tecnológicos e Internet. Define los medios pre-tecnológicos como aquellos que no necesitan soporte técnico como libros, láminas y materiales manipulables. Explica que Internet es una red de redes que permite a los usuarios acceder a información y comunicarse. También describe foros educativos en línea y los riesgos de Internet como acceso a información no fiable, estafas, adicciones y acceso de menores a contenido inapropiado. Final
The document discusses pacemakers, including that they deliver electrical stimulation to cardiac tissue. It describes the different types of pacemakers and their indications. It then discusses the four parts of the pacing system: the pulse generator, lead(s), programmer, and patient. It provides details on pulse generators, lead systems, programming codes, implantation labs and their personnel, pre-implant protocols, implantation approaches, parameters, post-procedure management, complications, and discharge advice.
El documento presenta cuatro problemas de programación lineal. El primer problema maximiza la función objetivo F(x,y)=25x+20y sujeto a cuatro restricciones. El segundo problema maximiza y minimiza dos funciones objetivo sujeto a tres restricciones. El tercer problema maximiza la función objetivo z=x+y+1 sujeto a dos restricciones. El cuarto problema encuentra el valor mínimo de la función objetivo F(x,y)=2x+3y dentro de una región definida por cinco restricciones.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento contiene 13 ejercicios resueltos sobre derivadas de funciones reales de una variable real. Los ejercicios incluyen calcular derivadas utilizando la definición, encontrar intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, puntos de inflexión, ecuaciones de rectas tangentes y más. Las soluciones proporcionan los pasos detallados para resolver cada tipo de problema.
El documento presenta 6 ejercicios de programación lineal. El primer ejercicio involucra la distribución óptima de una inversión de €210,000 en dos tipos de acciones para obtener el máximo interés anual. El segundo ejercicio busca determinar la cantidad óptima de dos tipos de tartas para vender diariamente y maximizar los beneficios. El tercer ejercicio trata de encontrar la combinación óptima de autobuses de diferentes tamaños para transportar 400 estudiantes al menor costo posible.
Un fabricante debe suministrar pantalones y chaquetas deportivas a unos almacenes para maximizar las ventas. El fabricante tiene disponibles 750 m de algodón y 1000 m de poliéster. Cada prenda requiere cierta cantidad de cada material. Se define un modelo de programación lineal para maximizar los beneficios en función de las restricciones de materiales, buscando la combinación óptima de prendas a fabricar.
Este documento presenta 10 ejercicios resueltos sobre programación lineal. Cada ejercicio involucra representar gráficamente regiones definidas por sistemas de inecuaciones y hallar máximos o mínimos de funciones objetivo sujetas a restricciones. Los ejercicios se resuelven encontrando los vértices de las regiones y evaluando la función en cada vértice para determinar donde se alcanza el máximo o mínimo valor.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con ecuaciones, desigualdades e introducción a funciones. Incluye resolver ecuaciones cuadráticas y lineales, clasificar intervalos, determinar dominios de funciones, graficar puntos en el plano cartesiano, analizar sistemas de ecuaciones y más.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre números complejos, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades. Introduce los números complejos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i2 = -1. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, define expresiones algebraicas, términos, ecuaciones lineales y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Finalmente, introduce inecuaciones de primer grado y cómo resolverlas.
Este documento resume conceptos básicos de matemáticas como variables, ecuaciones lineales y cuadráticas, inecuaciones lineales y cuadráticas. Explica cómo resolver ecuaciones y encontrar el conjunto solución mediante métodos como factorización, cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados. También presenta ejemplos de problemas y su resolución aplicando estos conceptos.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y comprobar desigualdades hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y maximizar funciones.
3) Se resuelven problemas relacionados con áreas de triángulos, coordenadas de puntos y restricciones para funciones.
Este documento presenta información sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como binomios utilizando un factor común. También muestra cómo resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas mediante la factorización. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar estas técnicas.
Este documento presenta información sobre el uso de ecuaciones cuadráticas y la factorización para modelar situaciones y resolver problemas. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como ecuaciones completas e incompletas de segundo grado. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran áreas, lados de figuras y ecuaciones.
Este problema de programación lineal busca minimizar el costo de una campaña publicitaria que requiere al menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres como audiencia. Las variables de decisión son el número de anuncios en programas de corazón y de fútbol, con costos de €50,000 y €100,000 respectivamente. El objetivo es encontrar la combinación óptima de anuncios que cumpla con los requisitos de audiencia al menor costo posible.
Este problema de programación lineal busca minimizar el coste de una campaña publicitaria que incluye anuncios en programas de corazón y partidos de fútbol. Las variables de decisión son el número de anuncios en cada programa, sujetas a restricciones sobre el número mínimo de espectadores por género y un límite de coste. El objetivo es encontrar los valores óptimos de los anuncios que minimicen el gasto total.
Este documento trata sobre funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax^2 +bx+c, donde a, b y c son constantes reales. También describe cómo calcular el vértice de una parábola usando completación de cuadrados, y cómo estudiar una función cuadrática trazando su gráfica.
Este documento resume los temas de diferenciación numérica, integración numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales en MATLAB. Explica cómo usar funciones como diff y quad para aproximar derivadas y calcular integrales numéricamente. También presenta ejemplos resueltos de cómo aproximar derivadas y calcular integrales usando reglas numéricas como la del trapecio. Por último, introduce funciones de MATLAB para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente.
Este documento presenta 12 problemas de optimización que involucran funciones objetivo y condiciones. Los problemas incluyen maximizar o minimizar áreas, perímetros y longitudes bajo restricciones dadas. Se resuelven analíticamente encontrando puntos críticos y comprobando si son máximos o mínimos.
Este problema de programación lineal busca minimizar el costo de una campaña publicitaria de Dorian Auto en programas de televisión. La empresa puede comprar anuncios en programas de corazón o partidos de fútbol. Cada anuncio tiene un costo y audiencia diferente. Dorian Auto debe decidir la cantidad de anuncios en cada programa para alcanzar una audiencia mínima a menor costo posible.
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial. Explica cómo resolver inecuaciones lineales y de segundo grado, incluyendo ejemplos. También cubre inecuaciones racionales y ejercicios de aplicación.
1. Página 104
Problema 1
Para representar y – x ≤ 2, representa la recta y – x = 2. Después, para deci-
dir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto
cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la
desigualdad.
Análogamente, representa:
x + 5y ≥ 10 x + 2y ≤ 16 2x + y ≤ 20
Página 105
Problema 2
Representa el recinto formado por las
siguientes condiciones:
y – x ≤ 2; x + 5y ≥ 10;
x + 2y ≤ 16; 2x + y ≤ 20
1Unidad 4. Programación lineal
PROGRAMACIÓN LINEALUNIDAD 4
2x+y=20
x + 2y = 16
x + 5y = 10
y
–
x
=
2
1
1
1
1
1
1
1
1
x + 5y ≥ 10
x + 2y ≤ 16
2
2
2x + y ≤ 20
y – x ≤ 2
2. Problema 3
Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 500 € y en
su furgoneta caben 700 kg.
En el mercado hay naranjas de tipo A a 0,5 € y de tipo B a 0,8 €. Él las podrá
vender a 0,58 € las de tipo A y a 0,9 € las de tipo B, y se cuestiona cuántos ki-
logramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficios
sean lo más altos posible.
a) Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, ¿cuántos kilos le caben aún
en su furgoneta?
b) Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A, ¿cuánto dinero le sobra? ¿Cuál
será el beneficio?
c) ¿Cuál será el beneficio si compra 400 kg de naranjas de tipo A y 300 kg de
tipo B?
a) 500 : 0,8 = 625 kg de naranjas de tipo B puede comprar.
700 – 625 = 75 kg le caben aún en su furgoneta.
b) 700 · 0,5 = 350 € se gasta.
500 – 350 = 150 € le sobran.
Beneficio = 700 · (0,58 – 0,5) = 56 €
c) 400 · (0,58 – 0,5) + 300(0,9 – 0,8) = 62 € de beneficio.
Página 118
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1 Minimiza la función f (x, y) = 2x + 8y sometida a las siguientes restriccio-
nes:
• Representamos las rectas:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en
cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.
2x + 4y = 8 → x + 2y = 4
2x – 5y = 0
–x + 5y = 5
x ≥ 0, y ≥ 0
2x + 4y ≥ 8
2x – 5y ≤ 0
–x + 5y ≤ 5
2Unidad 4. Programación lineal
3. • Representamos la dirección de las rectas z = 2x + 8y, dibujando la que pasa por
el origen de coordenadas: 2x + 8y = 0 → x + 4y = 0
• El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:
Punto ( , )
• El mínimo vale f ( , )= .
2 Maximiza y minimiza la función p = x + 2y – 3 con las siguientes restriccio-
nes:
• Representamos las rectas:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.
• Representamos la dirección de las rectas p = x + 2y – 3, dibujando la recta
x + 2y – 3 = 0:
La restricción 5y ≤ 9 es superflua. La región
sería la misma sin ella.
• El máximo se alcanza en el punto de inter-
sección de las rectas:
Punto ( , )
El máximo es p( , ) = + – 3 =
• No hay mínimo.
–13
9
8
9
2
3
4
9
2
3
4
9
2
3
2
x = —–
3
4
y = —
9
2x – 3y = 0
2
x = —
3
2x – 3y = 0
5y = 9
3x = 2
2x – 3y ≥ 0
5y ≤ 9
3x ≤ 2
104
9
8
9
20
9
8
9
20
9
20
x = —–
9
8
y = —
9
x + 2y = 4
2x – 5y = 0
3Unidad 4. Programación lineal
x + 4y = 0
x + 2y = 4
–x + 5y = 5
2x – 5y = 0
1 2 3 4 5
1
2
x + 2y – 3 = 0
1 2
1
2
y = —
9
5
x = —
2
3
2x – 3y = 0
4. 3 Maximiza la función z = 3x + 4y sujeta a las siguientes restricciones:
• Representamos las rectas:
y obtenemos la región que cumple las condiciones del problema.
• Representamos la dirección de las rectas z = 3x + 4y, dibujando la recta 3x + 4y = 0:
La restricción x + y ≥ 0 es superflua.
La región sería la misma sin ella.
• No hay máximo. La función 3x + 4y
se puede hacer tan grande como se
quiera en el recinto propuesto.
4 En la región determinada por 3x + y ≥ 5, x – y ≤ 0, x ≥ 0 e y ≥ 0, halla el
punto en que la función f (x, y) = 2x + 4y alcanza su valor mínimo. ¿Puede
alcanzar su máximo en esa región?
• Representamos las rectas:
y hallamos la región que cumple las
condiciones del problema, teniendo en
cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.
• Representamos la dirección de las rectas
z = 2x + 4y, dibujando la que pasa por
el origen de coordenadas:
2x + 4y = 0 → x + 2y = 0
3x + y = 5
x – 2y = 0
2x + 3y = 36
2x + 2y = 28 → x + y = 14
8x + 2y = 32 → 4x + y = 16
x + y = 0
2x + 3y ≥ 36
2x + 2y ≥ 28
8x + 2y ≥ 32
x + y ≥ 0
4Unidad 4. Programación lineal
1
1
x
+
y
=
0
x
+
y
=
14
3x +
4y =
0
4x+y=16
2x + 3y = 36
1
2x + 4y = 0
3x+y=5
x – 2y = 0
1
5. • El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas.
Punto ( , )
• No hay máximo. La función 2x + 4y se puede hacer tan grande como se quiera
en el recinto propuesto.
5 Calcula los puntos del recinto que hacen mínima o máxima la
función z = 2x + y. ¿Cuántas soluciones hay?
• Representamos las rectas
y obtenemos la región que cumple las restriccio-
nes dadas.
• Representamos la dirección de las rectas
z = 2x + y, dibujando la recta 2x+y = 0. Esta
recta es paralela a 2x + y = 20, que determina
uno de los lados del recinto:
• Hay infinitos puntos que hacen mínima la fun-
ción: todos los que están sobre el segmento de
recta y = 20 – 2x con 0 ≤ x ≤ 10.
• El máximo se alcanza en el punto de intersec-
ción de las rectas:
Punto (20, 20)
6 ¿Es posible maximizar y minimizar la función z = x + y + 1 sujeta a estas
restricciones?
• Representamos las rectas:
y obtenemos el recinto que cumple las restricciones del problema.
3x + 4y – 13 = 0
2x – 3y – 3 = 0
5x – y – 27 = 0
3x + 4y – 13 ≥ 0
2x – 3y – 3 ≤ 0
5x – y – 27 ≤ 0
x = 20
y = 20
2x – y = 20
y = 20
2x + y = 20
2x – y = 20
y = 20
y = 0
2x + y ≥ 20
2x – y ≤ 20
0 ≤ y ≤ 20
5
7
10
7
10
x = —–
7
5
y = —
7
3x + y = 5
x – 2y = 0
5Unidad 4. Programación lineal
4
6
8
10
2x+y=20
2x+y=0
2x–y=20
2 4 6 8
y = 20
y = 0
2
6. • Representamos la dirección de las rectas
z = x + y + 1,
dibujando la recta x + y + 1 = 0.
• No existe máximo ni mínimo.
7 Las rectas 2x + y = 18, 2x + 3y = 26 y x + y = 16 se cortan dos a dos en tres
puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S la intersección
del triángulo T con el primer cuadrante. Halla el máximo de la función
z = 5x + 3y cuando x e y varían en S.
• Representamos las rectas:
y obtenemos el triángulo T, y la re-
gión S.
• Representamos la dirección de las rectas
z = 5x + 3y, dibujando la recta:
5x + 3y = 0
• El máximo se alcanza en el punto de
corte de x + y = 16 con el eje X; es
decir, en el punto (16, 0).
• El máximo vale z = 5 · 16 + 3 · 0 = 80
8 Dibuja el recinto que cumple estas restricciones:
a) Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo
F(x, y) = x + y se hace máxima y mínima, respectivamente.
b) Sobre el mismo recinto, haz máxima y mínima la función
G(x, y) = 5x + y.
x ≥ 0
y – x + 1 ≥ 0
y – 4 ≤ 0
y + 2x – 5 ≤ 0
2x + y = 18
2x + 3y = 26
x + y = 16
6Unidad 4. Programación lineal
3x
+
4y =
13
2x – 3y = 3
5x–y=27
11
x
+
y
+
1
=
0
2x + 3y = 26
2
2
5x+3y=0
x
+
y
=
162x+y=18
7. 7Unidad 4. Programación lineal
• Representamos las rectas:
y obtenemos el recinto que cumple las
condiciones del problema.
• Representamos la dirección de las rectas
z = x + y, dibujando la recta x + y = 0.
• Representamos la dirección de las rectas
z = 5x + y, dibujando la recta 5x + y = 0.
a) • F(x, y) alcanza el máximo en el punto de intersección de las rectas:
Punto ( , 4)
• F(x, y) alcanza el mínimo en el punto de corte con el eje Y de la recta
y – x + 1 = 0, es decir, en el punto (0, –1).
b) • G(x, y) alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas:
Punto (2, 1)
El máximo vale G(2, 1) = 5 · 2 + 1 = 11
• G(x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, –1).
El mínimo vale G(0, –1) = –1.
9 Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razo-
nadamente:
a) El punto del triángulo donde la función f (x, y) = –4x + y + 9 alcanza el
máximo.
b) El punto del triángulo donde la función f (x, y) = 4x + y + 12 alcanza el
máximo.
Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice (o en un lado). Calculamos el
valor de la función dada en cada uno de los vértices:
a) f(x, y) = –4x + y + 9
Hay infinitos puntos que hacen máxima la función:
todos los puntos del lado que une los vértices (0, 0)
y (2, 8).
f(0, 0) = 9
f(2, 8) = 9
f(10, 3) = –28
x = 2
y = 1
y – x + 1 = 0
y + 2x – 5 = 0
1
2
1
x = —
2
y = 4
y + 2x – 5 = 0
y = 4
x = 0
y – x + 1 = 0
y – 4 = 0
y + 2x – 5 = 0
y+2x–5=0
x
+
y
=
0
y
–
x
+
1
=
0
5x+y=0
y = 4
x = 0
1
1
S
8. b) f(x, y) = 4x + y + 12
La función alcanza el máximo en el punto (10, 3).
PARA RESOLVER
10 Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empre-
sa A le paga 0,05 € por impreso repartido y la empresa B, con folletos más
grandes, le paga 0,07 € por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para
los impresos de tipo A, en la que le caben 120, y otra para los de tipo B, en
la que caben 100. Ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos co-
mo máximo.
¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio dia-
rio sea máximo?
• Llamamos x al n-º de impresos de tipo A e y al n-º de impresos de tipo B.
• Las restricciones son:
• La función que nos da el beneficio es f(x, y) = 0,05x + 0,07y. Tenemos que ma-
ximizar f(x, y), sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones y la recta
0,05x + 0,07y = 0 → 5x + 7y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 0,05x + 0,07y.
• El máximo se alcanza en el punto de intersec-
ción de las rectas:
Por tanto, habrá de repartir 50 impresos de tipo A
y 100 de tipo B. El beneficio será de:
f(50, 100) = 0,05 · 50 + 0,07 · 100 = 9,5 €
11 Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de
vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro uni-
dades. Además, el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la
producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades.
Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para
alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un
beneficio de 8 € y cada unidad de vinagre 2 €.
x = 50
y = 100
x + y = 150
y = 100
0 ≤ x ≤ 120
0 ≤ y ≤ 100
x + y ≤ 150
f(0, 0) = 12
f(2, 8) = 28
f(10, 3) = 55
8Unidad 4. Programación lineal
5x
+
7y =
0
x
+
y
=
150
y = 100
y = 0
x = 0 x = 120
20 40 60 80100
20
40
60
80
100
9. • Llamamos x a las unidades de vino e y a las de vinagre. Las restricciones son:
• La función que nos da el beneficio es f(x, y) = 8x + 2y. Tenemos que maximizar
f(x, y), sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones y la
recta 8x + 2y = 0 → 4x + y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 8x + 2y.
• El máximo se alcanza en el punto de intersec-
ción de las rectas:
Por tanto, hay que producir 3 unidades de vino y
2 de vinagre.
Página 119
12 Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 € y
a no fumadores al precio de 60 €.
Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg.
Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3 000 kg, ¿cuál de-
bería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio?
• Llamamos x al n-º de plazas para fumadores e y al n-º de plazas para no fuma-
dores.
• Las restricciones del problema son:
• Tenemos que maximizar la función:
f(x, y) = 100x + 60y, sujeta a las restricciones
anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones y la recta
100x + 60y = 0 → 5x + 3y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 100x + 60y:
• El máximo se alcanza en el punto (90, 0).
Por tanto, deben ofrecer 90 plazas para fumadores
y ninguna para no fumadores, para obtener el má-
ximo beneficio.
x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≤ 90
20x + 50y ≤ 3000 → 2x + 5y ≤ 300
x = 3
y = 2
2x = y + 4
3y + 4x = 18
x ≥ 0; y ≥ 0
2x ≤ y + 4
3y + 4x ≤ 18
9Unidad 4. Programación lineal
2x=y+4
3y+
4x
=
18
1
1
8x+2y=0
2x + 5y = 300
20 40 60 80
20
40
60
80
5x+3y=0
100
100
x
+
y
=
90
10. 13 Una persona quiere invertir 100 000 € en dos tipos de acciones, A y B. Las
de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de ti-
po B son más seguras, pero producen solo el 7% nominal.
Decide invertir como máximo 60 000 € en la compra de acciones A y, por lo
menos, 20 000 € en la compra de acciones B. Además, quiere que lo inverti-
do en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B.
¿Cómo debe invertir los 100 000 € para que el beneficio anual sea máximo?
• Llamamos x al dinero invertido en acciones de tipo A (en decenas de miles de eu-
ros) e y al dinero invertido en acciones de tipo B (en decenas de miles de euros).
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da el beneficio anual es: f(x, y) = 0,1x + 0,07y. Tenemos que
maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones, y la recta
0,1x + 0,07y = 0 → 10x + 7y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 0,1x + 0,07y.
• El máximo se alcanza en el punto de intersec-
ción de las rectas:
Por tanto, debe invertir 60000 € en acciones de ti-
po A y 40000 € en acciones de tipo B.
14 Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le
ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a
0,8 € el kg.
Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar
700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranjas de
tipo A a 0,58 € y el de tipo B a 0,9 €.
¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener
beneficio máximo?
• Llamamos x a los kg de naranjas del tipo A e y a los kg de naranjas del tipo B.
• Las restricciones del problema son:
x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≤ 700
0,5x + 0,8y ≤ 500 → 5x + 8y ≤ 5000
x = 6
y = 4
x + y = 10
x = 6
x + y ≤ 10
0 ≤ x ≤ 6
y ≥ 2
x ≥ y
10Unidad 4. Programación lineal
1
1
10x+7y=0
x
+
y
=
10
x
=
y
x = 0 x = 6
y = 2
11. • La función que nos da el beneficio es f(x, y) = 0,08 + 0,1y. Tenemos que maxi-
mizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restriccio-
nes, y la recta 0,08x + 0,1y = 0 →
→ 8x + 10y = 0 → 4x + 5y = 0, que
nos da la dirección de las rectas
z = 0,08x + 0,1y.
• El máximo se alcanza en el punto de
intersección de las rectas:
Por tanto, deberá comprar 200 kg de na-
ranjas del tipo A y 500 kg del tipo B.
15 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana.
Un traje de caballero requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido
de señora necesita 2 m2 de cada una de las telas.
Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para ma-
ximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio.
• Llamamos x al número de trajes e y
al número de vestidos. Resumamos en
una tabla la información:
• Las restricciones del problema son:
• Si llamamos k al beneficio obtenido por la venta de un traje o de un vestido, la
función que nos da el beneficio total es f(x, y) = k(x + y). Tenemos que maxi-
mizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones
y la recta k(x + y) = 0 → x + y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = k(x + y).
• El máximo se alcanza en el punto de in-
tersección de las rectas:
Por tanto, debe confeccionar 20 trajes y 30
vestidos.
x = 20
y = 30
3x + 2y = 120
x + 2y = 80
x ≥ 0; y ≥ 0
x + 2y ≤ 80
3x + 2y ≤ 120
x = 200
y = 500
x + y = 700
5x + 8y = 5000
11Unidad 4. Programación lineal
200 400 600 800 1000
200
400
600
800
4x
+
5y =
0
5x + 8y = 5000
x
+
y
=
700
20 40 60 80
20
40
60
3x+2y=120
x + 2y = 80
x
+
y
=
0
N-º ALGODÓN LANA
TRAJE x x 3x
VESTIDO y 2y 2y
TOTAL x + 2y 3x + 2y
12. 16 Se quiere promocionar una marca desconocida, D, de aceites, utilizando una
marca conocida, C. Para ello, se hace la siguiente oferta:
“Pague a solo 2,5 € el litro de aceite C y a 1,25 € el litro de aceite D siempre
y cuando compre en total 6 litros o más y la cantidad de aceite C esté com-
prendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D.”
Disponemos de un máximo de 31,25 €.
a) Representa gráficamente los modos existentes de acogernos a la oferta.
b) Acogiéndonos a la oferta, ¿cuál es la mínima cantidad de aceite D que po-
demos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?
• Llamamos x al n-º de litros de aceite D, e y al n-º de litros de aceite C.
• Las restricciones del problema son:
x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≥ 6
≤ y ≤ 2x
2,5y + 1,25x ≤ 21,25 → 2y + x ≤ 17
x, y enteros
a) Representamos gráficamente el recinto:
Hay 20 puntos en el recinto (20
modos de acogernos a la oferta).
b) La mínima cantidad de D son 2 litros y la máxima de C son 8 litros.
17 Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mí-
nimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitami-
na B, 30 mg de la C y 2 mg de la D.
Para ello, se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kilo
es, para ambos, de 0,3 € y cuyo contenido vitamínico en miligramos por ki-
lo es el siguiente:
¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo?
x
2
12Unidad 4. Programación lineal
1
1
ACEITE C
ACEITE D
2x + y = 17
y=2x
x
+
y
=
6
y = —
x
2
A B C D
P 1 1 20 2
Q 1 3 7,5 0
13. • Llamamos x al pienso de tipo P (en kg) e y al de tipo Q (en kg). Las res-
tricciones son las siguientes:
• La función que nos da el gasto es: f(x, y) = 0,3x + 0,3y = 0,3(x + y). Tenemos
que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restriccio-
nes, y la recta
0,3(x, y) = 0 → x + y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 0,3(x + y).
• Como la recta x + y = 0 es paralela a
x + y = 2, el mínimo se alcanza en
cualquier punto de la recta x + y = 2
comprendido entre A y B. Hallamos
las coordenadas de A y de B:
A: Punto de corte de las rectas:
A ( , )
B: Punto de corte de las rectas:
B ( , )
18 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingre-
dientes, A, B y C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fa-
bricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras
que para hacer una tarta T2 necesita 5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C.
a) Si se venden las tartas T1 a 10 €, y las tartas T2 a 23 €, ¿qué cantidad debe
fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
b) Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 15 €, ¿cuál será el precio de
una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo
T1 y 15 del tipo T2?
• Llamamos x al n-º de tartas de tipo T1 e y al n-º de tartas de tipo T2.
1
2
3
2
3
x = —–
2
1
y = —
2
x + y = 2
x + 3y = 3
4
5
6
5
6
x = —–
5
4
y = —
5
x + y = 2
8x + 3y = 12
x + y ≥ 2
x + 3y ≥ 3
20x + 7,5y ≥ 30 → 8x + 3y ≥ 12
2x ≥ 2 → x ≥ 1
y ≥ 0
13Unidad 4. Programación lineal
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
8x+3y=12
x + 3y = 3
x
+
y
=
0
x
+
y
=
2
x = 1
A
B
14. • Las restricciones del problema son:
a) • La función que nos da los ingresos es f(x, y) = 10x + 23y. Tenemos que ma-
ximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones, y la
recta 10x + 23y = 0, que nos da la dirección
de las rectas z = 10x + 23y:
• El máximo se alcanza en el punto de intersec-
ción de las rectas:
Por tanto, deben fabricarse 50 tartas de tipo T1
y 20 tartas de tipo T2.
b) • Si llamamos k al precio de la tarta de tipo T2, los ingresos vendrían dados
por la función g(x, y) = 15x + ky.
• Si la función g(x, y) alcanza el máximo en el punto (60, 15), que no es un
vértice, será porque hay infinitas soluciones y la recta 15x + ky = 0 será para-
lela a x + 2y = 90. Por tanto:
= – → k = 30
Por tanto, el precio de una tarta del tipo T2 será de 30 €.
Página 120
19 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas —de cortar, co-
ser y teñir— se emplean en la producción.
Fabricar una chaqueta representa usar la máquina de cortar una hora, la de
coser, tres horas y la de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones represen-
ta usar la máquina de cortar una hora, la de coser, una hora y la de teñir,
ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de
coser, doce y la de cortar, siete.
Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros
por cada chaqueta y cinco por cada pantalón.
¿Cómo emplearemos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?
1
2
–15
k
15
15x + ky = 0 → pendiente = – —–
k
1
x + 2y = 90 → pendiente = – —
2
x = 50
y = 20
x + 5y = 150
x + 2y = 90
x ≥ 0; y ≥ 0
x + 5y ≤ 150
x + 2y ≤ 90
2x + y ≤ 150
14Unidad 4. Programación lineal
50
100
10x + 23y = 0
x + 2y = 90
x + 5y = 150
2x+y=150
50
100
15. • Llamamos x al n-º de chaquetas e y al n-º de pantalones.
• Las restricciones del problema son:
x, y enteros
• La función que nos da el beneficio es f(x, y) = 8x + 5y. Tenemos que maximizar
esta función sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el conjunto de restricciones y la
recta 8x + 5y = 0, que nos da la dirección de
las rectas z = 8x + 5y:
• El máximo se alcanza en el punto (2, 5). Por tan-
to, han de fabricarse 2 chaquetas y 5 pantalones.
20 Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y
6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos
tipos de pienso P1 y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que
aparecen en la tabla:
Si el kilogramo de pienso P1 vale 0,4 € y el del P2 0,6 €, ¿cómo deben mez-
clarse los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste
mínimo?
• Llamamos x a los kg de pienso P1 e y a los kg de pienso P2.
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da el coste es f(x, y) = 0,4x + 0,6y. Tenemos que minimizar
esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
x ≥ 0, y ≥ 0
2x + 4y ≥ 4 → x + 2y ≥ 2
6x + 3y ≥ 6 → 2x + y ≥ 2
x ≥ 0, y ≥ 0
x ≤ 3
x + y ≤ 7
3x + y ≤ 12
15Unidad 4. Programación lineal
1
8x+5y=0
3x+y=12
1
x
+
y
=
7
x = 3
A B
P1 2 6
P2 4 3
S
16. • Representamos el conjunto de restriccio-
nes y la recta
0,4x + 0,6y = 0 → 2x + 3y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 0,4x + 0,6y.
• El mínimo se alcanza en el punto de
intersección de las rectas:
Por tanto, se deben mezclar kg de pienso P1 con kg de pienso P2.
21 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a traba-
jar electricistas y mecánicos.
Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número
de mecánicos que de electricistas y del número de mecánicos no supere al
doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20
mecánicos.
El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 €
por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo
beneficio?
• Llamamos x al n-º de electricistas e y al de mecánicos.
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da el beneficio es:
f(x, y) = 150x + 120y
Tenemos que maximizar esta función,
sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el conjunto de restriccio-
nes y la recta
150x + 120y = 0 → 5x + 4y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 150x + 120y.
x ≥ 0, y ≥ 0; x ≤ 30; y ≤ 20
y ≥ x
y ≤ 2x
x, y enteros
2
3
2
3
2
x = —
3
2
y = —
3
2x + y = 2
x + 2y = 2
16Unidad 4. Programación lineal
1 2 3 4 5
2x + 3y = 0
2x+y=2
1
2
3
4
5
x + 2y = 2
10 20 30 40 50 60
5x
+
4y
=
0
10
20
30
40
50
60
y=2x
y = 20
y
=
x
x = 30
S
17. • Solo hay 4 puntos en el conjunto de restricciones: (0, 0), (10, 10), (10, 20) y
(20, 20). El máximo se alcanza en el punto (20, 20). Por tanto, deben elegirse 20
electricistas y 20 mecánicos.
22 Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial
y la tarta de Lima.
La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 hue-
vos y tiene un precio de venta de 8 €.
La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de
venta de 10 €.
En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar y 120 huevos.
a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?
Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b)¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener
el mayor ingreso por ventas?
a) • Llamamos x al n-º de tartas de tipo Imperial e y al n-º de tartas de Lima.
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da los ingresos por ventas es f(x, y) = 8x + 10y. Tendre-
mos que maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 10y = 0 → 4x + 5y = 0,
que nos da la dirección de las rectas z = 8x + 10y:
(Puntos de coordenadas enteras
dentro de este recinto)
b) El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:
Por tanto, han de fabricar 10 tartas Imperiales y 5 de Lima.
x = 10
y = 5
x + y = 15
x + 2y = 20
x ≥ 0, y ≥ 0; x, y enteros
0,5x + y ≤ 10 → x + 2y ≤ 20
8x + 8y ≤ 120 → x + y ≤ 15
17Unidad 4. Programación lineal
5 10 15 20
8x
+
10y =
0
5
10
15
20
x
+
y
=
15
x + 2y = 20
S
18. 23 Un orfebre fabrica dos tipos de joyas.
La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €.
La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata.
Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de
cada tipo para obtener el máximo beneficio?
• Llamamos x al n-º de unidades de tipo A e y al n-º de unidades de tipo B.
• Las restricciones del problema son:
• La función que tenemos que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es:
f(x, y) = 25x + 30y
• Representamos el conjunto de restriccio-
nes y la recta
25x + 30y = 0 → 5x + 6y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 25x + 30y.
• El máximo se alcanza en el punto de
corte de las rectas:
Por tanto, ha de fabricar 300 joyas de ca-
da uno de los dos tipos.
24 Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener
como mínimo 10 unidades de cada una de ellas.
Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.
El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y de A están en
relación de 4 a 1 y hay una unidad de A.
El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en
relación de 4 a 1 y hay una unidad de B.
El primer proveedor vende cada lote a 10 € y el segundo al doble. Ambos
proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos.
¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?
• Llamamos x a los lotes del primer proveedor e y a los lotes del segundo pro-
veedor.
x = 300
y = 300
1,5x + y = 750
x + 1,5y = 750
x ≥ 0; y ≥ 0
x + 1,5y ≤ 750
1,5x + y ≤ 750
18Unidad 4. Programación lineal
100 200 300 400 500 600 70025x
+
30y
=
0
100
200
300
400
500
600
x + 1,5y = 750
1,5x+y=750
S
S
19. • Las restricciones del problema son:
• La función que nos da el coste es f(x, y) = 10x + 20y. Tenemos que minimizar
esta función sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el conjunto de restriccio-
nes y la recta
10x + 20y = 0 → x + 2y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 10x + 20y:
• El mínimo se alcanza en el punto de
corte de las rectas:
Por tanto, hemos de comprar 2 lotes de
cada uno de los dos tipos.
Página 121
25 Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta
mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas dia-
rias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de
hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1
de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0,3 € y el de
pienso compuesto 0,52 €, se pide:
a) ¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del
granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el gran-
jero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?
Razona la respuesta.
a) • Llamamos x al n-º de kg de maíz e y al n-º de kg de pienso.
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da el coste es f(x, y) = 0,3x + 0,52y. Tenemos que mi-
nimizar esta función sujeta a las restricciones anteriores.
x ≥ 0; y ≥ 0
2,5x + y ≥ 3
x + 2y ≥ 4
x = 2
y = 2
x + 4y = 10
4x + y = 10
x ≥ 0; y ≥ 0
x + 4y ≥ 10
4x + y ≥ 10
19Unidad 4. Programación lineal
4x+y=10
x + 4y = 10
x + 2y = 0
1
1
S
20. • Representamos el conjunto de res-
tricciones y la recta
0,3x + 0,52y = 0 → 15x + 26y = 0,
que nos da la dirección de las rectas
z = 0,3x + 0,52y.
• El mínimo se alcanza en el punto
de corte de las rectas:
Por tanto, debe utilizar kg de maíz y kg de pienso compuesto.
b) • Si añadimos la restricción y ≤ 1 a las anteriores, el recinto sería:
• El mínimo en este caso se alcanzaría en el punto de corte de:
En este caso, debería utilizar 2 kg de maíz y 1 kg de pienso compuesto.
CUESTIONES TEÓRICAS
26 ¿Puede una función objetivo alcanzar su valor óptimo en un punto interior
de la región factible? (Es decir, no situado en el borde).
¿Puede ocurrir si se admiten valores decimales en x e y ?
Sí puede alcanzar su valor óptimo en el interior cuando tratamos con valores enteros.
No puede ocurrir si los valores son decimales.
x = 2
y = 1
x + 2y = 4
y = 1
7
4
1
2
1
x = —
2
7
y = —
4
x + 2y = 4
2,5x + y = 3
20Unidad 4. Programación lineal
x + 2y = 4
2,5x+y=3
15x + 26y = 0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
x + 2y = 4
2,5x+y=3
15x + 26y = 0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8
y = 1
21. 27 ¿Puede una función objetivo representarse por una recta horizontal? ¿Y por
una vertical?
Sí se puede representar por una recta horizontal, y también por una vertical.
28 ¿Tiene máximo la función z en el recinto señalado? ¿Y
mínimo?
No tiene máximo ni mínimo.
29 Al representar las distintas restricciones de un proble-
ma, comprobamos que no hay ningún punto que cum-
pla todas a la vez (la región de validez es vacía). ¿Qué
podemos afirmar sobre la solución del problema?
La solución no existe, ya que no hay ningún punto que cumpla las restricciones.
PARA PROFUNDIZAR
30 Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las
locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas
en la estación N y 15 en la S. Los costes de trasla-
do son, por cada una, los que se indican en la ta-
bla (en miles de euros):
Averigua cómo conviene hacer el reparto para
que el coste sea mínimo.
• Hacemos una tabla:
• Las restricciones del problema son:
(para que todos los datos de la tabla sean positivos o cero)
(x, y enteros)
• La función que nos da el coste (en miles de euros) es:
f(x, y) = 6x + 15y + 3(11 – x – y) + 4(9 – x) + 20(10 – y) + 5(x + y – 4) =
= 4x – 3y + 249
Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≥ 4
x + y ≤ 11
x ≤ 9
y ≤ 10
21Unidad 4. Programación lineal
;
;;;
;;;
;
z
A B C
N 6 15 3
S 4 20 5
A B C
N x y 11 – x – y 11
S 9 – x 10 – y x + y – 4 15
9 10 7 26
22. • Representamos el recinto de restricciones:
(x, y enteros)
Los vértices del recinto son:
A (0, 10) B (1, 10)
C (9, 2) D (9, 0)
E (4, 0) F (0, 4)
• Hallamos f(x, y) en cada uno de los vértices:
f(0, 10) = 219 f(1, 10) = 223
f(9, 2) = 279 f(9, 0) = 285
f(4, 0) = 265 f(0, 4) = 237
• El mínimo se alcanza en el punto A (0, 10).
Por tanto, el reparto debe efectuarse así:
31 Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos va-
riedades de tabacos VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendi-
miento de 9 600 €/ha, pero necesita 3 h/ha de uso de maquinaria y 80 h/ha
de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha por plan-
tación.
La variedad PROCESADO produce un rendimiento de 7 500 €/ha y utiliza
2 h/ha de uso de maquinaria y 60 h/ha de mano de obra.
La cooperativa local le ha asignado 190 h de uso de maquinaria, pero solo se
dispone de 5 420 horas de mano de obra a 12 €/h. ¿Cuántas hectáreas debe
dedicar a cada variedad de tabaco?
• Llamamos x a las hectáreas dedicadas a VIRGINIA e y a las dedicadas a PROCESADO.
• Las restricciones del problema son:
x ≥ 0; y ≥ 0
x ≤ 30
x + y ≤ 85
3x + 2y ≤ 190
80x + 60y ≤ 5420 → 4x + 3y ≤ 271
22Unidad 4. Programación lineal
A B C
N 0 10 1 11
S 9 0 6 15
9 10 7 26
4
11
4 9 11
x = 9
y = 10A
B
C
DE
F
10
x
+
y
=
4
x
+
y
=
11
23. • La función que nos da el beneficio será igual al rendimiento menos el coste de la
mano de obra:
f(x, y) = (9600x – 960x) + (7500y – 720y) = 8640x + 6780y
Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el recinto de restricciones, y la recta 8640x + 6780y = 0 →
→ 144x + 113y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 8640x + 6780y:
• Hallamos los puntos A y B, y obtenemos el valor de f(x, y) en cada uno de los dos:
A(16, 69) → f(16, 69) = 606060
B(28, 53) → f(28, 53) = 601260
Por tanto, el máximo se alcanza en el punto A; es decir, debe dedicar 16 ha a VIR-
GINIA y 69 ha a PROCESADO.
32 Don Elpidio decide emplear hasta 30 000 € de su patrimonio en la adquisi-
ción de acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA.
El precio de cada acción es de 10 € cada una, y en ambos casos.
BLL dedica el 35% de su actividad al sector seguros, el 45% al sector inmobi-
liario y el 20% al industrial.
ISSA dedica el 30% de sus recursos al sector seguros, el 25% al inmobiliario y
el 45% al industrial.
D. Elpidio no quiere invertir más del 40% de su capital en el sector indus-
trial ni más del 35% en el inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de
cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de 1,2 €/acción e ISSA de
1 €/acción?
x = 28
y = 53
4x + 3y = 271
3x + 2y = 190
x = 16
y = 69
x + y = 85
4x + 3y = 271
23Unidad 4. Programación lineal
4x
+
3y=
271
3x+2y=190
144x
+
113y
=
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
10 20 40 50 60 70 80 90
x = 30
A
B
30
x
+
y
=
85
24. • Llamamos x al n-º de acciones que adquiere de BLL e y al n-º de acciones que
adquiere de ISSA.
• Hagamos una tabla que resuma la información que nos dan:
• Las restricciones del problema son:
• La función que nos da los beneficios es f(x, y) = 1,2x + y. Tenemos que maxi-
mizarla, sujeta a las restricciones anteriores.
• Representamos el conjunto de restricciones y la recta 1,2x + y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 1,2x + y:
• El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas:
Por tanto, debe adquirir 1500 acciones de cada una de las dos sociedades.
x = 1500
y = 1500
x + y = 3000
4,5x + 2,5y = 10500
x ≥ 0, y ≥ 0
10x + 10y ≤ 30000 → x + y ≤ 3000
2x + 4,5y ≤ 12000
4,5x + 2,5y ≤ 10500
24Unidad 4. Programación lineal
N-º PRECIO SEGUROS INMOBILIARIA INDUSTRIAL
ACCIONES BBL x 10x 3,5x 4,5x 2x
ACCIONES ISSA y 10y 3y 2,5y 4,5y
TOTAL 10x + 10y 3,5x + 3y 4,5x + 2,5y 2x + 4,5y
1,2x
+
y
=
0
1000
2000
3000
4000
1000 2000 3000 4000 5000 6000
x
+
y
=
3000
4,5x+2,5y=10500
2x + 4,5y = 12000