Este documento presenta el método de Müller para encontrar raíces de polinomios. Compara el método de Müller con el método de la secante, explicando que Müller usa una parábola de tres puntos mientras que la secante usa una línea recta de dos puntos. Luego, describe el procedimiento del método de Müller a través de varios pasos y desarrolla ejemplos para ilustrarlo. Finalmente, presenta cómo implementar el método de Müller en Matlab.

1. MÉTODO DE MMÉTODO DE MüüLLERLLER
Raíces de PolinomiosRaíces de Polinomios
Prof. Ing. Marvin Hernández C.Prof. Ing. Marvin Hernández C.

2. AgendaAgenda
 Comparación entre el Método de MComparación entre el Método de Müüller con el Métodoller con el Método
de la Secante.de la Secante.
 Procedimiento para desarrollar el Método de MProcedimiento para desarrollar el Método de Müüller.ller.
 Ventajas y Desventajas del método.Ventajas y Desventajas del método.
 Estrategias para desarrollar el método.Estrategias para desarrollar el método.
 Desarrollo de ejemplos.Desarrollo de ejemplos.
 Presentación del Método MPresentación del Método Müüller en Matlab.ller en Matlab.

3. Método de MMétodo de Müüller vs.ller vs.
Método de la SecanteMétodo de la Secante
Método de la SecanteMétodo de la Secante: usa una línea recta hasta: usa una línea recta hasta
el eje X con 2 valores de la función.el eje X con 2 valores de la función.
Método de MüllerMétodo de Müller: se hace con una parábola de: se hace con una parábola de
3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la
parábola que pasa por los puntos, estos separábola que pasa por los puntos, estos se
sustituyen en la fórmula y se obtiene el valorsustituyen en la fórmula y se obtiene el valor
donde la parábola interseca el eje X.donde la parábola interseca el eje X.

4. Método de MMétodo de Müüller vs.ller vs.
Método de la SecanteMétodo de la Secante
Método de la Secante Método de Müllerüller

5. ProcedimientoProcedimiento
 Se determina un X0, X1 y un X2.
 Segundo paso :
h0 = X1 – X0
h1 = X2 – X1
 Tercer paso:
δ0 = F (X1) - F (X0)
h0
δ1 = F (X2) - F (X1)
h1

6. ProcedimientoProcedimiento
acb 42
−
 Cuarto paso:
Se obtienen:
a = δ1 – δ0
h1 + h0
b = a * h1 + δ0
c = F (X2)
 Quinto paso:
X3 = X2 + - 2 * c
b ±

7. ProcedimientoProcedimiento
acb 42
−
acb 42
−
acb 42
−
 Sexto paso:
Si | b + | > | b - |
Se escoge: b +
Si no, se escoge : b -
 Calculo del Error.
Єa = X3 – X2 * 100%
X3
acb 42
−

8. VentajasVentajas
Por medio de este método se encuentranPor medio de este método se encuentran
tanto raíces reales como complejas.tanto raíces reales como complejas.

9. DesventajasDesventajas
En el Método de Müller se escoge el signo queEn el Método de Müller se escoge el signo que
coincida en el signo de “b”, esta eleccióncoincida en el signo de “b”, esta elección
proporciona como resultado el denominadorproporciona como resultado el denominador
mas grande, lo que dará la raíz estimada masmas grande, lo que dará la raíz estimada mas
cercana a Xcercana a X22. Una vez q se determino X. Una vez q se determino X33 elel
proceso se repite, esto trae de que un valor esproceso se repite, esto trae de que un valor es
descartado.descartado.

10. Estrategias Comúnmente UsadasEstrategias Comúnmente Usadas
Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2
valores originales más cercanos a la nueva raíz.valores originales más cercanos a la nueva raíz.
Si tenemos raíces reales y complejas, se usa unSi tenemos raíces reales y complejas, se usa un
método secuencial.método secuencial.
Ej.Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2X1, X2, X3 = X0, X1, X2

11. Ejemplo 7.2Ejemplo 7.2
Iteraciones X3 Ea (%)
0 5 ---------------
1 3.9765 25.7391
2 4.0011 0.6139
3 4.0000 0.0262
4 4.0000 1.7631 * 10 ^ - 5
X0 = 4.5
X1 = 5.5
X2 = 5
F(x) = x^3 – 13x -12

12. Problema 7.3Problema 7.3
Parte A.Parte A.
X0 = 1
X1 = 1.5
X2 = 1.75
Iteraciones X3 Ea (%)
0 1.75 ---------------
1 2.0112 12.9863
2 1.999882423 0.5648
3 1.99999997 0.0059
4 2 1.3686 * 10 ^ - 6
F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4

13. X0 = 0.4
X1 = 0.6
X2 = 0.8
Iteraciones X3 Ea (%)
0 0.8 ---------------
1 0.5007 59.7750
2 0.49999 0.141817
3 0.500000 0.00100
Problema 7.3Problema 7.3
Parte B.Parte B.
F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2

14. Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte A.Parte A.
Iteraciones X3 Ea (%)
0 0.75 ---------------
1 1.0402 27.8979
2 0.9983 4.1995
3 0.9999942 0.17249
4 0.9999999 5.7776 * 10 ^ - 4
X0 = 0.25
X1 = 0.50
X2 = 0.75
F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2

15. Iteraciones X3 Ea
0 2.25 -----------------
1 1.1778 – 0.71168i 93.51
2 0.9186 – 0.93051i 25.94
3 0.6845 – 1.1251i 23.11
4 0.5381 – 1.2720i 15.05
5 0.5030 – 1.3176i 4.03
6 0.5000 – 1.3228i 0.43
7 0.4999 – 1.3229i 0.005
8 0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ^ - 6
X0 = 1.75
X1 = 2
X2 = 2.25
Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte B.Parte B.
F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8

16. Iteraciones X3 Ea
0 2.75 -----------------
1 1.488 – 0.8219i 88.51
2 1.2052 – 1.1174i 24.92
3 0.8931 – 1.44559i 26.65
4 0.7503 – 1.9344i 24.54
5 1.0207 – 2.0602i 12.97
6 0.99658 – 1.9977i 2.996
7 0.999969 – 2.0000i 0.1819
8 0.999999 – 2.0000i 0.001366
X0 = 2
X1 = 2.5
X2 = 2.75
Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte C.Parte C.
F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5

17. Problema 7.17Problema 7.17
ho = 0.55 – 0.53 = 0.02
d0 = 58 – 19 = 1950
0.55 – 0.53
a = d1– d0 = -55000
h1 + ho
b = a h1 + d1 = 1950
c = 44
acb 42
−
s524.0
85.36711950
)44(2
54.0to =
+
−
+=
h1 = 0.54 – 0.55 = -0.01
d1 = 44 – 58 = 1400
0.54 – 0.55
= 3671.85
R/ La presión es cero en 0.524 s

18. Desarrollo del Método de MüllerDesarrollo del Método de Müller
en Matlaben Matlab