Teoría de Ginzburg-Landau y Superconductividad

1. Teora de Ginzburg-Landau y
Superconductividad
Yohana Bonilla Gutierrez
Departamento de Fsica, Universidad del Valle
Ciudad Universitaria Melendez, Santiago de Cali, Colombia

2. Teora de Ginzburg-Landau y
Superconductividad
Yohana Bonilla Gutierrez
Dr. Ruben A. Vargas
Trabajo presentado como Monografa para el curso electivo de
Transiciones de Fase
17 de Junio de 2011

3. Indice
1 Introduccion 1
2 Objetivos 2
2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Objetivos Espec

4. cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Breve rese~na sobre el descubrimiento de la superconductividad 3
3.1 Superconductividad: el fenomeno basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Algunos hallazgos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Modelo Teorico 5
4.1 La Teora de London como punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 La Teora (Teora de Ginzburg-Landau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.1 Las ecuaciones de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.2 Consideraciones sobre la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.3 Las dos longitudes caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras
volumetricas 12
6 Conclusiones 14
Referencias 15

5. Introduccion 1
1
Introduccion
Hasta el momento de la publicacion del trabajo de V.L. Ginzburg y L.D. Landau, On
the Theory of Superconductivity, Zh. Eksp. Teor. Fiz. (ZhETF) 20, 1064 (1950); la teora
fenomenologica existente para describir el estado superconductor era insatisfactoria [1].
Los modelos previos no permitan determinar la tension super

6. cial (energa super

7. cial) en
la frontera entre las fases normal y superconductora, y tampoco describan correctamente
la destruccion de la superconductividad por un campo magnetico o corriente externos. La
teora , conocida mas recientemente como la Teora de Ginzburg-Landau de la supercon-ductividad,
fue propuesta por Ginzburg y Landau en su trabajo de 1950, y resulto estar
exenta de las limitaciones anteriormente descritas.
La teora es una teora fenomenologica, construida sobre la base de la teora gene-ral
de Landau para describir la transicion entre dos fases en un sistema termodinamico.
Es notable observar que esta teora fue desarrollada completamente usando argumentos
heursticos y solo despues, cuando se establecio la teora BCS (microscopica), se entendio el
verdadero valor de la aproximacion de Ginzburg y Landau.
La teora permite expresar la tension super

8. cial en funcion del campo magnetico crtico
para el cual se destruye la superconductividad y la longitud de penetracion del campo
magnetico en los superconductores. La teora llevo a un gran numero de conclusiones
cualitativas nuevas, que han sido corroboradas experimentalmente y su descripcion sera el
tema central de esta monografa.

9. Objetivos 2
2
Objetivos
2.1 Objetivo General
Presentar una introduccion a la teora fenomenologica de Ginzburg-Landau predictiva de
muchas propiedades de los materiales superconductores.
2.2 Objetivos Espec

10. cos
1. Exponer algunos de los aspectos historicos que motivaron el desarrollo de la teora.
2. Describir el modelo teorico basico que sustenta la aproximacion de Ginzburg y Lan-dau.

11. Breve rese~na sobre el descubrimiento de la superconductividad 3
3
Breve rese~na sobre el descubrimiento de la
superconductividad
3.1 Superconductividad: el fenomeno basico
Un superconductor perfecto es un material que exhibe dos propiedades caractersticas:
? Resistencia electrica cero.
? Diamagnetismo perfecto
ambas, cuando se enfra el material por debajo de una temperatura particular Tc, llamada
la temperatura crtica [2].
Para temperaturas altas, un superconductor es un metal normal, que ordinariamente
no es muy buen conductor. Por ejemplo, el plomo (Pb), el tantalio (Ta), y el esta~no
(Sn) llegan a ser superconductores a las temperaturas adecuadas, mientras que materiales
como el cobre, la plata y el oro, no son superconductores. En el estado normal, algunos
metales superconductores son debilmente diamagneticos, y algunos son paramagneticos.
Por debajo de Tc estos materiales exhiben conductividad electrica perfecta y tambien
diamagnetismo perfecto o muy pronunciado [2].
Diamagnetismo perfecto, la segunda propiedad caracterstica, signi

12. ca que un material
superconductor impide que un campo magnetico externo aplicado penetre en su interior.
Los superconductores que excluyen totalmente un
ujo magnetico aplicado, son conocidos
como superconductores Tipo I. Otros superconductores denominados superconductores de
Tipo II, son tambien conductores electricos perfectos, pero sus propiedades magneticas
son mas complejas [2]. Estos excluyen el
ujo magnetico totalmente cuando el campo
magnetico aplicado es bajo, pero solo lo excluyen parcialmente, cuando la intensidad del
campo aplicado es mas alta. Para tales campos, su diamagnetismo es mas bien de tipo
mixto, dando lugar al denominado estado de vortice [2].
3.2 Algunos hallazgos relevantes
En 1908 H. Kamerlingh Onnes, inicio el campo de la fsica de bajas temperaturas
logrando la licuefaccion del helio en su laboratorio de Leiden. Tres a~nos despues (1911),
encontro que por debajo de 4.15K la resistencia DC del mercurio desciende a cero (Fig. 1).
Este hallazgo fue el punto de partida del campo de la superconductividad [2].
En 1933, Meissner y Ochsenfeld encontraron que cuando una esfera metalica normal, se
enfra hasta su temperatura de transicion Tc en presencia de un campo magnetico, repele
la entrada del
ujo magnetico (Fig. 2). Tal efecto, conocido como efecto Meissner, implica
que la superconductividad, se debe destruir por un campo magnetico crtico Hc (Fig. 3),
relacionado termodinamicamente con la diferencia de energa libre entre los estados normal
y superconductor a campo cero [3].

13. Breve rese~na sobre el descubrimiento de la superconductividad 4
Figura 1: Curva historica de Resistencia (
) vs. Temperatura (K) del 26 de octubre de 1911.
El experimento mostro la transicion superconductora en 4.20K.
Figura 2: Curvatura de las lneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededor de
una esfera superconductora.
El campo crtico termodinamico se determina igualando la energa magnetica por unidad
de volumen H2
c =8 con la diferencia de las energas libres de Helmholtz por unidad de
volumen en las fases normal Fn0 y superconductora Fs0 en ausencia de campo [3]:
H2
c (T)
8
= Fn0(T) Fs0(T); (1)
Se encontro empricamente que el campo Hc(T)se puede aproximar muy bien, por una ley
parabolica
Hc(T) Hc(0)[1 (T=Tc)2] (2)
ilustrada en la Fig. 4.
Mientras la transicion a campo cero en Tc es de segundo orden, la transicion en presencia
de un campo, es de primer orden debido a que hay un cambio discontinuo en el estado
termodinamico del sistema y un calor latente asociado [3].

14. Modelo Teorico 5
Figura 3: Esquema del fenomeno de diamagnetismo perfecto a temperaturas inferiores a Tc y
para un campo externo aplicado inferior al crtico (Hc).
Figura 4: Dependencia de la temperatura del campo crtico termodinamico.
4
Modelo Teorico
4.1 La Teora de London como punto de partida
El reporte del efecto Meissner llevo a los hermanos London, Fritz y Heinz, a proponer
ecuaciones que explicaran este efecto y predijeran hasta que punto un campo magnetico
externo puede penetrar en un superconductor [3].
Un metal que exhibe los estados normal y superconductor, puede ser tratado como
una sustancia de dos fases, en un sentido termodinamico. Como un resultado, en 1934
surgio la as llamada aproximacion de dos-
uidos (two-
uid), que postula un
uido de
electrones normales mezclado con un
uido de electrones superconductores. Los dos
uidos
se interpenetran pero no interactuan [2]. De acuerdo al modelo de dos-
uidos, la densidad
de corriente electrica total en un superconductor es:
j = js + jn; (3)
donde js y jn son las densidades de corriente superconductora y normal respectivamente.
La corriente normal en un superconductor no di

15. ere de la corriente en un metal normal,

16. Modelo Teorico 6
en la aproximacion local:
jn = n(T)E; (4)
donde E es el campo electrico y n es la conductividad de la parte normal del lquido
electronico; por simplicidad, se tomara aqu jn=0 a menos que se especi

17. que lo contrario.
En 1935, F. London y H. London propusieron [4] para js las ecuaciones de London:
rot (js) =
1
c
H (5)
@ (js)
@t
= E (6)
Donde es una constante y la intensidad de campo magnetico H no di

18. ere en este caso
de la induccion magnetica B.
A tales ecuaciones se llega, por ejemplo, partiendo de las ecuaciones hidrodinamicas
para un lquido conductor constituido por partculas con carga e, masa m y velocidad
s (r; t):
@s
@t
= (sr) s +
e
m
E +
e
mc
sH (7)
=
e
m
E + r
2s
2
+ s
rots +
e
mc
H
: (8)
Tal ecuacion representa a un
uido de conductividad (ideal) in

19. nita y no predice la
oposicion en un superconductor a la presencia de un campo magnetico constante externo,
lo cual contradice la existencia del efecto Meissner. De esta forma, en la teora de London
se impuso la condicion adicional rots + e
mcH = 0, interpretada como la condicion para
el movimiento libre de vortices en un lquido cargado [1]. Si js se escribe en la forma
js = enss, donde ns es la concentracion de carga, la asuncion adicional ns =const implica:
=
m
e2ns
: (9)
Las ecuaciones de London (5), junto con la ecuacion de Maxwell
rotH =
4
c
js (10)
con =const (en el estado estacionario), lleva a las ecuaciones:
r2H
1
2H = 0; r2js
1
2 js = 0; donde 2 =
c2
4
=
mc2
4e2ns
: (11)
Para una frontera plana entre el estado superconductor y el vaco, las soluciones de la Ec.
(11) son:
H = H0exp
z
y js =
c
4
H; (12)
donde el campo externo H0 se toma paralelo a la frontera, que es normal al eje z. Las
soluciones de la Ec. (11) implican que el campo magnetico H y la densidad de corriente

20. Modelo Teorico 7
js decaen exponencialmente a traves del superconductor, donde z es la distancia a la
frontera), lo que da cuenta de la aparicion del efecto Meissner.
Las ecuaciones de London permanecen validas solamente en el caso de un campo debil:
H Hc; (13)
donde Hc es el campo magnetico crtico para el cual se destruye la superconductividad.
Particularmente, se hara enfasis en los superconductores de Tipo I. Para los superconduc-tores
Tipo II, la teora de London tiene un rango de aplicacion mas amplio, incluyendo
la fase de vortice para H Hc2 (Hc2 el campo crtico termodinamico para esta fase) a
cualquier temperatura [1]. Pero si el campo es fuerte, esto es, comparable con Hc, la teora
de London puede llegar a ser invalida o insu

21. ciente.
Como una aplicacion particular de la teora de London, y la revision de algunos pro-blemas
que presenta, se puede ver el siguiente caso:
Del tratamiento termodinamico de la transicion de una placa plana de ancho 2d, se
encuentra que el campo crtico Hc, para el cual su superconductividad se rompe es:
Hc
Hcb
2
=
1
d
tanh
d
1
; (14)
donde Hbc es el campo crtico para un especimen masivo [5{7]. Esta expresion para Hc
sin embargo contradice la evidencia experimental, ya que se ha encontrado que
que
debera ser constante, segun la teora de London, no lo es: para un valor de
Hc
Hcb
2
a una temperatura determinada depende fuertemente de d. Por ejemplo si T = 4K
entonces para d = 0;3 105cm, = 3;4 105cm, mientras que para d = 1;2 105cm,
= 2 105cm
Otro aspecto contradictorio de la teora de London, surge en la frontera que separa las
fases normal y superconductora del metal; la energa super

22. cial relacionada con el campo
y la supercorriente obtenidas de Ec. (14) es negativa [1], H2
bc=8.
ns + (0)
ns , ob-servada
Consecuentemente para obtener una tension super

23. cial positiva ns = (0)
para una frontera estable, es necesario introducir una cierta energa super

24. cial
(0)
ns H2
cm=8 de origen no magnetico. Sin embargo, la introduccion de tal energa com-parativamente
alta carece de fundamento fsico.
4.2 La Teora (Teora de Ginzburg-Landau)
La teora que generalizo la teora de London eliminando las di

25. cultades anteriormente
indicadas y sugirio nuevas conclusiones fue la teora . Esta teora fue formulada en 1950
[8] por Ginzburg y Landau, y es mas comunmente conocida como la Teora de Ginzburg-
Landau.
En la ausencia de un campo magnetico, la transicion a la fase superconductora, es una
transicion de segundo orden. La teora general de transiciones de Fase, ya incluye un cierto

26. Modelo Teorico 8
parametro de orden [9], el cual en el equilibrio es nulo en la fase ordenada, y no nulo
en la fase desordenada. Por ejemplo, en el caso de los materiales ferroelectricos el papel
de es desempe~nado por la polarizacion espontanea Ps y en el caso de magnetos, por la
magnetizacion espontanea Ms.
En los superconductores, donde la fase ordenada es la fase superconductora, para el
parametro de orden se escoge una funcion compleja la cual desempe~na el papel de
una funcion de onda efectiva para los electrones superconductores, en un sentido es-tricto
sera una pseudo funcion de onda. En consencuencia, puede ser determinada
precisamente salvo una constante de fase.
Dado que no hay una conexion mecano-cuantica entre y las cantidades observables,
en esta teora, puede ser normalizada en una forma arbitraria de modo que j sj2 repre-sente
la concentracion ns de los electrones superconductores [1].
4.2.1. Las ecuaciones de Ginzburg-Landau
Se considerara primero un superconductor uniforme en ausencia de un campo magnetico,
y se asumira que es independiente de la posicion. La energa libre del superconductor,
de acuerdo con la teora general para las transiciones de fase de segundo orden, depende
solamente de j j2 y se puede expandir en series entorno a Tc. Utilizaremos la expansion
para la energa libre en ausencia de campo [1]:
Fs0 = Fn0 + j j2 +

27. 2
j j4 ; (15)
Cerca a Tc obtenemos para la energa libre Fs0:
Fs0 = Fn0 + j j2 =

28. 2
j j4 : (16)
En equilibrio termodinamico (mnimo de energa) @Fs0=@ j j2 = 0, @2Fs0=@2 j j2 0 y
debemos tener j j2=0 para T Tc y j j2 0 para T Tc.
Como se ilustra en la Fig. (5), como se ha encontrado que

29. 0 para estabilidad de la
teora, si 0 el mnimo se presenta en j j2 = 0, el estado normal. Si 0 el mnimo
ocurre cuando
j j2 j 1j2 =

30. (17)
donde la notacion 1 indica que se aproxima a este valor muy adentro en el supercon-ductor,
donde es apantallado de cualquier campo super

31. cial o corriente [3].
Sustitutyendo este valor de en la de

32. nicion de campo crtico termodinamico:
Fs0(T) Fn0(T) =
2
2

33. =
H2
c (T)
8
; (18)
0c
Como evidentemente (T) debe cambiar de signo en Tc, se puede considerar una expansion
de (T) en serie de Taylor: = (T Tc) =
d
dT
c (T Tc).

34. Modelo Teorico 9
Figura 5: Funciones de energa libre de Ginzburg-Landau para T Tc ( 0) y para T Tc
( 0). Puntos fuertes indican posiciones de equilibrio. Por simplicidad se tomo real [3].
En presencia de un campo magnetico independiente del tiempo, para obtener la densi-dad
de energa libre FsH, es necesario adicionar a la expansion de Fs0 la energa asociada
al campo H2=8 y la energa asociada a la posible aparicion de un gradiente de en pre-sencia
del campo. Esta ultima energa para valores peque~nos de jr j2 se puede expresar
como una densidad de energa cinetica en mecanica cuantica:
~
2m
2
jr j2 =
1
2m
ji~r j2 (19)
en la cual m es un coe

35. ciente determinado.
Considerando la interaccion entre el campo magnetico y la corriente que resulta debido
al termino r , se debe hacer el cambio i~r ! i~r e
c A, donde A es el potencial
vectorial del campo H = rotA y e es una carga. Despues en el contexto de la teora BCS
microscopica, e correspondera a la carga de un par de Cooper, por lo que suele asignarse-le
el valor de dos veces la carga del electron, tema que no se discutira en el presente trabajo.
As la densidad de energa, relacionada con la presencia de r y el campo H toma la
forma:
H2
8
+
1
2m

39. i~r
e
c

43. A
2
; (20)
consecuentemente,
FsH = Fs0 +
H2
8
+
1
2m

47. i~r
e
c

51. A
2
: (21)
En presencia de campo, la ecuacion para se encuentra partiendo del requerimiento que
la energa libre total de la muestra
R
FsHdV debe ser lo mas peque~na posible. As variando
la energa total con respecto a , encontramos:
1
2m
i~r
e
c
A
2
+
@Fs0
@ = 0 (22)

52. Modelo Teorico 10
1
2m
i~r
e
c
A
2
+ +

53. j j2 = 0 (23)
Si en la frontera del superconductor la variacion es arbitraria, por ejemplo, si no
hay condiciones adicionales impuestas sobre y si no hay terminos asociados a la energa
super

54. cial en (21), (15), entonces la condicion de mnima energa libre es as llamada la
condicion de frontera natural en la frontera superconductora:
n
i~r
e
c
A
= 0; (24)
donde n es el vector normal a la frontera. La condicion (24) se re

55. ere al caso de la frontera
entre un superconductor y el vaco o un dielectrico [1]. Aunque en principio parezca natural
exigir que la funcion de onda en la frontera sea nula, la validez de (24) radica en que la
funcion , as introducida, no es propiamente una funcion de onda de los electrones en el
metal, pero debe ser cierto tipo de cantidad promedio [1].
Expresion para la supercorriente j:
En lo que concierne a la ecuacion para A, si asumimos que divA=0 y variamos la energa
libre total asociadad la densidad FsH, con respecto a A, se obtiene la expresion usual
r2A =
4
c
j =
2ie2~
mc
( r r ) +
4e2
mc2
j j2A; (25)
en la cual el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente
j =
ie2~
2m
( r r )
e2
mc
A: (26)
Agrupando los resultados obtenidos, la solucion del problema de la distribucion de
campo y corriente en un superconductor, se reduce a una integracion apropiada de (23) y
(26).
4.2.2. Consideraciones sobre la funcion
Suponiendo que la funcion (r) esta directamente relacionada con la matriz densidad:
(r; r0) =
Z
(r; r0
i) (r; r0
i) dr0
i (27)
donde (r; r0
i) es la funcion de onda real de los electrones en el metal, que depende de
las coordenadas de todos los electrones, ri(i = 1; 2; :::;N). Las r0
i son las coordenadas de
todos los electrones excepto el electron considerado, cuyas coordenadas en dos puntos se
toman como r y r0. Para un sistema no superconductor (normal) teniendo orden de corto

56. Modelo Teorico 11
alcance, se puede pensar que cuando jr r0j ! 1, 0 = 0, mientras que en el estado
superconductor (jr r0j) ! 1 ) 06= 0. De esta forma suele relacionarse la funcion ,
propuesta inicialmente arbitrariamente, con la matriz densidad del sistema, mediante la
relacion:
(r; r0) = (r) (r0): (28)
4.2.3. Las dos longitudes caractersticas
Las ecuaciones de Ginzburg-Landau (23) y (26) introducen dos longitudes caractersti-cas
que discutiremos ahora:
a) Una longitud caracterstica toma lugar si introducimos efectos electromagneticos, por
ejemplo, la longitud de penetracion de campos debiles 0, mencionada tambien en el
contexto de la teora de London.
Para esta longitud caracterstica en la teora tenemos [1]:
2
0 =
mc2

57. c
4e2 jj
=
mc2
4e2 j 1j2 : (29)
Dado que la teora , para campos debiles debe transformar a la teora de London,
la longitud de penetracion 0 es frecuentemente llamada la longitud de penetracion de
London y se denota por L o L.
b) Para la otra longitud caracterstica, empezaremos considerando una situacion donde
no hay corrientes o campos magneticos. Eligiendo el gauge para el cual es real, en
una dimension Ec. (23) llega a ser [10]:
~2
2m
d 2
dx2 + +

58. 3 = 0; (30)
Hay dos soluciones obvias: (1) =0 la cual describe el estado normal, (2) = 0 tal
que
20
=

59. 0; (31)
la cual describe el estado superconductor usual. Esta segunda existe y es mas baja en
energa cuando 0, esto es T Tc. Sin embargo se deben considerar soluciones mas
generales. Con el

60. n de

61. jar la escala de longitud, es util escribir (30) en terminos de
las variables reducidas = 0f y
2(T) =
~2
2mjj
(32)
donde (T) tiene las dimensiones de longitud. La Ec. (30) se reexpresa [10]:
2(T)
df2
dx2
f + f3 = 0 (33)

62. Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 12
El signi

63. cado de (T) es el de una longitud caracterstica para las variaciones de
(o f), la cual llamaremos la longitud de coherencia a la temperatura T o el radio de
correlacion [1].
=
p ~
2mjj
=
p ~
2m0c
(Tc T)
=
~1=2
p
2m0c
Tc
= (0)1=2; (34)
p
2m0c
donde = (Tc T) =Tc y (0) = ~=
Tc es un radio de correlacion condicional
para T = 0; condicional puesto que la teora , es estrictamente aplicable solamente
en la vecindad de Tc.
(T) = (0)
Tc
Tc T
1=2
(35)
de modo que las variaciones de que tienen lugar dentro de la longitud (T) son suaves
respecto a (0) si T es cercana a Tc
Hasta el momento se han de

64. nido las dos longitudes caractersticas (T) y L(T)
(o 0(T)), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca al punto de
transicion. Ambas divergen cuando T ! Tc. Se de

65. ne la razon
=
(T)
(T)
(36)
como el parametro de Ginzburg-Landau de la sustancia. Usando las de

66. niciones de
(T) y L(T)
=
mc
e2~

67. c
2
1=2
: (37)
Cuando . 1, ( ) el superconductor es de tipo I, cuando 1, ( ) el
material es del segundo tipo. Se encontro que la separacion exacta entre los dos tipos de
p
superconductores, ocurre para = 1=
2.
5
Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad
en muestras volumetricas
Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad en una mues-tra
volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direccion z [3]. Un gauge
conveniente es:
Ay = Hx (38)
Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion de Ginzburg-Landau,
bajo el supuesto de que j j2 2
1, para un campo externo determinado [3]. En la
aproximacion lineal
i~r
e
c
A
2
= ; (39)

68. Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 13
Utilizando el resultado conocido, que establece que el
ujo magnetico debe estar cuantizado
[3], se representa el cuanto de
ujo por 0 = hc=e con h, la constante de Planck, as:
1
i
r
2
0
A
2
=
2m
~2
2(T)
(40)
sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (40), encontramos:
r2 +
4i
0
Hx
@
@y
+
2H
0
2
x2
#
=
2(T)
(41)
as es razonable buscar soluciones del tipo
= eikyyeikzzf(x) (42)
sustituyendo en (41) y reagrupando terminos, encontramos:
f00(x) +
2H
0
2
(x x0)2f =
1
2
k2
z
f (43)
x0 =
ky0
2H
: (44)
Se pueden obtener soluciones de (43) inmediatamente, notando que esta corresponde
a la ecuacion de Schrodinger para una partcula de masa m en un potencial armonico con
fuerza constante (2H=0)2 =m. Este problema es formalmente el mismo correspondiente
a encontrar los estados cuantizados de una partcula en presencia de un campo magnetico,
lo cual lleva a los niveles de Landau, separados por la frecuencia ciclotronica ~! [3].
Los autovalores resultantes son:
n =
n +
1
2
~! =
n +
1
2
~
2eH
mc
(45)
igualando con ~2=2m
1
k2
2 z
,
H =
0
2n(2n + 1)
1
2
k2
z
; (46)

69. Conclusiones 14
6
Conclusiones
Se mostro que la teora fenomenologica de Ginzburg-Landau se fundamenta en un
metodo variacional que asume una expansion de la energa libre en terminos del
parametro de orden, de acuerdo con la teora general de Landau para las transiciones
de Fase.
La teora de Ginzburg-Landau, permite encontrar bajo argumentos netamente intui-tivos,
los parametros que caracterizan el estado superconductor de un sistema.

70. Referencias 15
Referencias
[1] V. L. Ginzburg, On Superconductivity and Super
uidity: A Scienti

71. c Autobiography
(Springer, 2008).
[2] C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic
Press. Inc, 2007 2nd ed).
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